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江苏省南京市文枢高级中学2024-2025学年高二下学期6月期末学业质量监测数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，集合，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：集合，集合，所以，
故答案为：C.
【分析】本题考查集合的交集运算，核心是先解对数不等式确定集合B，再找出集合A与B的公共元素。
2．已知函数，则 (　　)
A．4 B． C．-4 D．-
【答案】B
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值
【解析】【分析】因为.选B。
【点评】分段函数求值问题关键看自变量x取值的范围，根据不同的取值范围，确定不同的对应关系，本小题可先求出，因而求.
3．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：由图可知，图2和图3是正相关，图1和图4是负相关，
囷1和图2的点相对更加集中，所以相关性更强，所以接近于，接近1，
所以，
故答案为：A
【分析】本题考查散点图与相关系数的关系，核心是根据散点图判断正负相关，再通过点的集中程度判断相关性强弱，进而比较相关系数的大小。
4．下列函数中最小值为4的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数型复合函数的性质及应用；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：A，，当且仅当时取等号，
所以其最小值为，A错误；
B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，
所以其最小值不为，B错误；
C，因为函数定义域为，而，，
当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C正确；
D，，函数定义域为，而且，
如当，，D错误．
故答案为：C．
【分析】根据基本不等式“一正二定三相等”的条件，结合函数的定义域、单调性，逐一分析每个选项的最小值是否为4。
5．设函数 在区间 上是减函数，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的图象；二次函数的性质
【解析】【解答】函数 的对称轴为 ，
又 函数在 上为减函数，
，即 ．
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的图象和性质即可求解.
6．甲、乙，丙3人各自从这3个景点中随机选1个去旅游，设事件“3个人都没去A景点”，事件“甲独自去一个景点”，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：由题意可得：，，则．
故答案为：B.
【分析】利用古典概型概率公式，结合条件概率公式求解即可.
7．已知函数在x=1处取得极大值，则m的值为（　　）
A．1 B．3 C．1或3 D．2或
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解： 函数 ，求导可得，
因为在x=1处取得极大值，所以，解得或，
当时，，
令，解得或，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，所以在处取得极小值，不符合题意，故舍去；
当时，，
令，解得或，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
则在处取得极大值，故满足题意，
综上.
故答案为：B.
【分析】求导，由题意可得，求得m值，再分别将和代入导函数，利用导数判断函数的单调性，验证是否在 x=1处取得极大值即可.
8．已知随机变量的分布列为
1 2 3 6
当在上变化时，的数学期望的变化情况为（　　）
A．单调递增 B．先减后增 C．单调递减 D．先增后减
【答案】D
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二次函数模型
【解析】【解答】解：由题意得，，
当时，单调递增，当时，单调递减，所以的数学期望是先增后减.
故答案为：D
【分析】本题考查离散型随机变量数学期望的计算及二次函数的单调性，核心是先根据分布列求出期望关于p的函数，再利用二次函数的性质判断其单调性。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分.
9．下列命题成立的是（　　）
A．若 ， ，则
B．若不等式 的解集是 ，则
C．若 ， ，则
D．若a，b满足 ，则 的取值范围是
【答案】B,C
【知识点】一元二次不等式及其解法；不等式的基本性质
【解析】【解答】对于A，取 ， ， ， ，则 ，则A不符合题意；
对于B，方程 的两根分别为1和2，则 ， ，解得 ， ，所以 ，则B符合题意；
因为 ， ，所以 ，则C符合题意；
由 ， ，得 ，又 ，所以 ，即a-b的取值范围是 ，则D不符合题意.
故答案为：BC
【分析】根据题意由不等式的简单性质即可判断出选项A错误；由一元二次不等式和一元二次方程之间的关系结合韦达定理即可判断出选项B正确；由不等式的性质即可判断出选项C正确、D错误，由此即可得出答案。
10．为了探讨学生的物理成绩与数学成绩之间的关系，从某批学生中随机抽取10名学生的成绩，并已计算出，物理成绩关于数学成绩的线性回归方程为，下列说法正确的有（　　）
A．
B．相关系数
C．样本数据的残差为
D．当某学生数学成绩为100时，物理成绩一定为92.5
【答案】A,B,C
【知识点】线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：A：因为线性回归方程必过样本中心点，由题意可得：，故A正确；
B：因为，即线性回归方程为的图象是上升的，可知与满足正相关，所以相关系数，故B正确；
C：令，可得，所以样本数据的残差为，故C正确；
D：令，可得，但回归方程只能用于预测结果，并不一定与实际结果完全相等，所以预测物理成绩为92.5，故D错误；
故答案为：ABC.
【分析】A：利用线性回归方程必过样本中心点，代入计算；
B：根据回归方程的斜率正负判断变量间的相关性，进而判断相关系数的符号；
C：先计算时的预测值，再根据残差定义（残差）计算；
D：结合回归方程的意义，判断其是预测值而非确定值。
11．已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（　　）
A．所有奇数项的二项式系数和为
B．所有项的系数和为
C．二项式系数最大的项为第6项或第7项
D．有理项共5项
【答案】B,D
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：由题意可得，则奇数项的二项式系数和为，故A错误；
令，得所有项的系数和为，故B正确；
由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项，故C错误；
因为展开式通项为，
当为整数时，，3，6，9，12，共有5项，故D正确．
故答案为：BD．
【分析】由题意可得，根据二项式系数为，奇数项、偶数项二项式系数各一半据此求解即可判断A；利用辅助法求所有项系数的和即可判断B；根据二项式系数的性质即可判断C；写出展开式的通项，根据通项求解即可判断D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知随机变量X服从正态分布 ，且 ，则 　 　．
【答案】0.14
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】因为 ，所以 ，因此 ．
故答案为：0.14
【分析】根据正态分布曲线的性质即可求解．
13．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有　 　种.(用数字填写答案)
【答案】16
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】，没有女生入选有 种选法，
从6名学生中任意选3人有 种选法，
故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20-4=16种，
故答案为：16.
【分析】由至少有女生不入选，分成1女2男和3男两类，由组合数公式求选法种数.
14．四棱锥的底面是平行四边形，且，若则　 　．
【答案】
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：
如图，由于，则运用三点共线的向量表达式可以得到，．
即
则，则.
故答案为：.
【分析】本题考查空间向量的线性运算，核心是利用三点共线的向量表达式，将转化为与的线性组合，再进一步用、、表示，最后求出并计算其乘积。
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．已知集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}（a＞0），B＝{x|x2+3x﹣4≤0}.
（1）若a＝3，求A∪B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数a的取值范围.
【答案】（1）解：当a＝3时，A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}＝[﹣1，5]，B＝{x|x2+3x﹣4≤0}＝[﹣4，1]，
所以，A∪B＝[﹣4，5]
（2）解：A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}（a＞0），B＝{x|x2+3x﹣4≤0}＝[﹣4，1]，
因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，
所以，
所以，所以a≥6.
所以，当a≥6时，“x∈A”是“x∈B”的必要条件.
【知识点】并集及其运算；必要条件；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】(1) 先分别求出集合 、，再根据并集的定义求 ；
(2) 根据必要条件的定义，转化为集合包含关系 ，列不等式组求解 的取值范围。
16．已知二次函数，满足，.
（1）求函数的解析式；
（2）求在区间上的值域；
（3）若函数在区间上单调，求实数的取值范围.
【答案】解：（1）由，得，由，得，
故，解得，
所以.
（2）由（1）得：，
则的图象的对称轴方程为，.
又，，
所以在区间上取值域为；
（3）由于函数在区间上单调，
因为二次函数的二次项系数不等于.且图象的对称轴方程为，
所以或，解得：或，
因此的取值范围为：.
【知识点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；函数的单调性及单调区间
【解析】【分析】(1) 由已知 可得 ，再利用 建立方程组，求解 得到函数解析式；
(2) 对函数配方，分析对称轴与区间的位置关系，结合端点和顶点函数值求值域；
(3) 根据二次函数的对称性，建立区间端点与对称轴的不等式，求解 的取值范围。
17．如图，四棱锥中，平面，，，是平面内以为直径的半圆的三等分点．
（1）证明：平面平面；
（2）求与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以，
因为是平面内以为直径的半圆的三等分点，
所以，所以，所以，
因为，平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
（2）解：以为坐标原点，垂直于的方向为轴正方向，的方向分别为轴，轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
故，，，
设平面的一个法向量为，则，可得，
设直线与平面所成角为，
所以，
故与平面所成角的正弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质和垂直判定定理求证平面，再根据面面垂直判定定理证明平面平面即可；
（2）以为坐标原点，垂直于的方向为轴正方向，的方向分别为轴，轴正方向，
建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）因为平面，平面，所以，
因为是平面内以为直径的半圆的三等分点，
所以，所以，所以，
因为，平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面PBC．
（2）以为坐标原点，垂直于的方向为轴正方向，的方向分别为轴，轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
故，，，
设平面的一个法向量为，
则，可以取，
设直线与平面所成角为，
所以，
故与平面所成角的正弦值为．
18．已知曲线在点处的切线的斜率为3，且当时，函数取得极值.
（1）求函数的极值；
（2）若存在，使得不等式成立，求的取值范围.
【答案】（1）解：，由导数的几何意义可知，，
且，得，
所以，，得或，
，得或，，得，
所以的增区间是和，减区间是，
所以的极大值是，极小值是；
（2）解：由（1）可知，在区间单调递增，在区间单调递减，，
所以在区间的最大值为，，
若存在，使得不等式成立，则，
所以.
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1) 由切线斜率与极值条件，求出函数解析式，再用导数判断单调性，进而求极值；
(2) 分析函数在区间上的最值，根据存在性条件求解的取值范围。
（1），由导数的几何意义可知，，
且，得，
所以，，得或，
，得或，，得，
所以的增区间是和，减区间是，
所以的极大值是，极小值是；
（2）由（1）可知，在区间单调递增，在区间单调递减，，
所以在区间的最大值为，，
若存在，使得不等式成立，则，
所以.
19．某中学即将迎来百年校庆，校方准备组织校史知识竞猜比赛.比赛规则如下：比赛分成三轮，每轮比赛没有通过的学生直接淘汰，通过的学生可以领取奖品结束比赛，也可以放弃本轮奖品继续下一轮比赛，三轮都通过的学生可获得奖品一纪念版手办.已知学生每轮通过的概率都为，通过第一轮比赛后领取奖品结束比赛的概率为，通过第二轮比赛后领取奖品结束比赛的概率为.
（1）求学生小杰获得奖品的概率；
（2）已知学生小杰获得奖品，求他至少通过两轮比赛的概率；
（3）求学生小杰通过的比赛轮数的分布列与数学期望.
【答案】（1）解：记事件：学生通过第轮，事件：学生通过第轮就选择奖品离开，
事件：学生通过第轮且继续答题，），
由题意得，.
记事件：学生获得奖品.则，
，
，
，
.
（2）解：学生小杰获得奖品，则至少通过两轮比赛的概率：.
（3）解：由题意，随机变量可取，
可得，
，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2 3
所以期望为.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；全概率公式；条件概率
【解析】【分析】（1）记事件：学生通过第轮，事件：学生通过第轮就选择奖品离开，事件：学生通过第轮且继续答题，结合全概率公式和求解即可；
（2）由题意，结合求解即可；
（3）由题意，随机变量可取，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式求解即可.
（1）记事件：学生通过第轮，事件：学生通过第轮就选择奖品离开，
事件：学生通过第轮且继续答题，），
由题意得，.
记事件：学生获得奖品.则，
，
，
，
.
（2）学生小杰获得奖品，则至少通过两轮比赛的概率：.
（3）由题意，随机变量可取，
可得，
，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2 3
所以期望为.
1 / 1江苏省南京市文枢高级中学2024-2025学年高二下学期6月期末学业质量监测数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，集合，则 （　　）
A． B． C． D．
2．已知函数，则 (　　)
A．4 B． C．-4 D．-
3．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列函数中最小值为4的是（　　）
A． B． C． D．
5．设函数 在区间 上是减函数，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．甲、乙，丙3人各自从这3个景点中随机选1个去旅游，设事件“3个人都没去A景点”，事件“甲独自去一个景点”，则（　　）
A． B． C． D．
7．已知函数在x=1处取得极大值，则m的值为（　　）
A．1 B．3 C．1或3 D．2或
8．已知随机变量的分布列为
1 2 3 6
当在上变化时，的数学期望的变化情况为（　　）
A．单调递增 B．先减后增 C．单调递减 D．先增后减
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分.
9．下列命题成立的是（　　）
A．若 ， ，则
B．若不等式 的解集是 ，则
C．若 ， ，则
D．若a，b满足 ，则 的取值范围是
10．为了探讨学生的物理成绩与数学成绩之间的关系，从某批学生中随机抽取10名学生的成绩，并已计算出，物理成绩关于数学成绩的线性回归方程为，下列说法正确的有（　　）
A．
B．相关系数
C．样本数据的残差为
D．当某学生数学成绩为100时，物理成绩一定为92.5
11．已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（　　）
A．所有奇数项的二项式系数和为
B．所有项的系数和为
C．二项式系数最大的项为第6项或第7项
D．有理项共5项
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知随机变量X服从正态分布 ，且 ，则 　 　．
13．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有　 　种.(用数字填写答案)
14．四棱锥的底面是平行四边形，且，若则　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．已知集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}（a＞0），B＝{x|x2+3x﹣4≤0}.
（1）若a＝3，求A∪B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数a的取值范围.
16．已知二次函数，满足，.
（1）求函数的解析式；
（2）求在区间上的值域；
（3）若函数在区间上单调，求实数的取值范围.
17．如图，四棱锥中，平面，，，是平面内以为直径的半圆的三等分点．
（1）证明：平面平面；
（2）求与平面所成角的正弦值．
18．已知曲线在点处的切线的斜率为3，且当时，函数取得极值.
（1）求函数的极值；
（2）若存在，使得不等式成立，求的取值范围.
19．某中学即将迎来百年校庆，校方准备组织校史知识竞猜比赛.比赛规则如下：比赛分成三轮，每轮比赛没有通过的学生直接淘汰，通过的学生可以领取奖品结束比赛，也可以放弃本轮奖品继续下一轮比赛，三轮都通过的学生可获得奖品一纪念版手办.已知学生每轮通过的概率都为，通过第一轮比赛后领取奖品结束比赛的概率为，通过第二轮比赛后领取奖品结束比赛的概率为.
（1）求学生小杰获得奖品的概率；
（2）已知学生小杰获得奖品，求他至少通过两轮比赛的概率；
（3）求学生小杰通过的比赛轮数的分布列与数学期望.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：集合，集合，所以，
故答案为：C.
【分析】本题考查集合的交集运算，核心是先解对数不等式确定集合B，再找出集合A与B的公共元素。
2．【答案】B
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值
【解析】【分析】因为.选B。
【点评】分段函数求值问题关键看自变量x取值的范围，根据不同的取值范围，确定不同的对应关系，本小题可先求出，因而求.
3．【答案】A
【知识点】样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：由图可知，图2和图3是正相关，图1和图4是负相关，
囷1和图2的点相对更加集中，所以相关性更强，所以接近于，接近1，
所以，
故答案为：A
【分析】本题考查散点图与相关系数的关系，核心是根据散点图判断正负相关，再通过点的集中程度判断相关性强弱，进而比较相关系数的大小。
4．【答案】C
【知识点】指数型复合函数的性质及应用；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：A，，当且仅当时取等号，
所以其最小值为，A错误；
B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，
所以其最小值不为，B错误；
C，因为函数定义域为，而，，
当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C正确；
D，，函数定义域为，而且，
如当，，D错误．
故答案为：C．
【分析】根据基本不等式“一正二定三相等”的条件，结合函数的定义域、单调性，逐一分析每个选项的最小值是否为4。
5．【答案】B
【知识点】二次函数的图象；二次函数的性质
【解析】【解答】函数 的对称轴为 ，
又 函数在 上为减函数，
，即 ．
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的图象和性质即可求解.
6．【答案】B
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：由题意可得：，，则．
故答案为：B.
【分析】利用古典概型概率公式，结合条件概率公式求解即可.
7．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解： 函数 ，求导可得，
因为在x=1处取得极大值，所以，解得或，
当时，，
令，解得或，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，所以在处取得极小值，不符合题意，故舍去；
当时，，
令，解得或，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
则在处取得极大值，故满足题意，
综上.
故答案为：B.
【分析】求导，由题意可得，求得m值，再分别将和代入导函数，利用导数判断函数的单调性，验证是否在 x=1处取得极大值即可.
8．【答案】D
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二次函数模型
【解析】【解答】解：由题意得，，
当时，单调递增，当时，单调递减，所以的数学期望是先增后减.
故答案为：D
【分析】本题考查离散型随机变量数学期望的计算及二次函数的单调性，核心是先根据分布列求出期望关于p的函数，再利用二次函数的性质判断其单调性。
9．【答案】B,C
【知识点】一元二次不等式及其解法；不等式的基本性质
【解析】【解答】对于A，取 ， ， ， ，则 ，则A不符合题意；
对于B，方程 的两根分别为1和2，则 ， ，解得 ， ，所以 ，则B符合题意；
因为 ， ，所以 ，则C符合题意；
由 ， ，得 ，又 ，所以 ，即a-b的取值范围是 ，则D不符合题意.
故答案为：BC
【分析】根据题意由不等式的简单性质即可判断出选项A错误；由一元二次不等式和一元二次方程之间的关系结合韦达定理即可判断出选项B正确；由不等式的性质即可判断出选项C正确、D错误，由此即可得出答案。
10．【答案】A,B,C
【知识点】线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：A：因为线性回归方程必过样本中心点，由题意可得：，故A正确；
B：因为，即线性回归方程为的图象是上升的，可知与满足正相关，所以相关系数，故B正确；
C：令，可得，所以样本数据的残差为，故C正确；
D：令，可得，但回归方程只能用于预测结果，并不一定与实际结果完全相等，所以预测物理成绩为92.5，故D错误；
故答案为：ABC.
【分析】A：利用线性回归方程必过样本中心点，代入计算；
B：根据回归方程的斜率正负判断变量间的相关性，进而判断相关系数的符号；
C：先计算时的预测值，再根据残差定义（残差）计算；
D：结合回归方程的意义，判断其是预测值而非确定值。
11．【答案】B,D
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：由题意可得，则奇数项的二项式系数和为，故A错误；
令，得所有项的系数和为，故B正确；
由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项，故C错误；
因为展开式通项为，
当为整数时，，3，6，9，12，共有5项，故D正确．
故答案为：BD．
【分析】由题意可得，根据二项式系数为，奇数项、偶数项二项式系数各一半据此求解即可判断A；利用辅助法求所有项系数的和即可判断B；根据二项式系数的性质即可判断C；写出展开式的通项，根据通项求解即可判断D.
12．【答案】0.14
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】因为 ，所以 ，因此 ．
故答案为：0.14
【分析】根据正态分布曲线的性质即可求解．
13．【答案】16
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】，没有女生入选有 种选法，
从6名学生中任意选3人有 种选法，
故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20-4=16种，
故答案为：16.
【分析】由至少有女生不入选，分成1女2男和3男两类，由组合数公式求选法种数.
14．【答案】
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：
如图，由于，则运用三点共线的向量表达式可以得到，．
即
则，则.
故答案为：.
【分析】本题考查空间向量的线性运算，核心是利用三点共线的向量表达式，将转化为与的线性组合，再进一步用、、表示，最后求出并计算其乘积。
15．【答案】（1）解：当a＝3时，A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}＝[﹣1，5]，B＝{x|x2+3x﹣4≤0}＝[﹣4，1]，
所以，A∪B＝[﹣4，5]
（2）解：A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}（a＞0），B＝{x|x2+3x﹣4≤0}＝[﹣4，1]，
因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，
所以，
所以，所以a≥6.
所以，当a≥6时，“x∈A”是“x∈B”的必要条件.
【知识点】并集及其运算；必要条件；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】(1) 先分别求出集合 、，再根据并集的定义求 ；
(2) 根据必要条件的定义，转化为集合包含关系 ，列不等式组求解 的取值范围。
16．【答案】解：（1）由，得，由，得，
故，解得，
所以.
（2）由（1）得：，
则的图象的对称轴方程为，.
又，，
所以在区间上取值域为；
（3）由于函数在区间上单调，
因为二次函数的二次项系数不等于.且图象的对称轴方程为，
所以或，解得：或，
因此的取值范围为：.
【知识点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；函数的单调性及单调区间
【解析】【分析】(1) 由已知 可得 ，再利用 建立方程组，求解 得到函数解析式；
(2) 对函数配方，分析对称轴与区间的位置关系，结合端点和顶点函数值求值域；
(3) 根据二次函数的对称性，建立区间端点与对称轴的不等式，求解 的取值范围。
17．【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以，
因为是平面内以为直径的半圆的三等分点，
所以，所以，所以，
因为，平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
（2）解：以为坐标原点，垂直于的方向为轴正方向，的方向分别为轴，轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
故，，，
设平面的一个法向量为，则，可得，
设直线与平面所成角为，
所以，
故与平面所成角的正弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质和垂直判定定理求证平面，再根据面面垂直判定定理证明平面平面即可；
（2）以为坐标原点，垂直于的方向为轴正方向，的方向分别为轴，轴正方向，
建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）因为平面，平面，所以，
因为是平面内以为直径的半圆的三等分点，
所以，所以，所以，
因为，平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面PBC．
（2）以为坐标原点，垂直于的方向为轴正方向，的方向分别为轴，轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
故，，，
设平面的一个法向量为，
则，可以取，
设直线与平面所成角为，
所以，
故与平面所成角的正弦值为．
18．【答案】（1）解：，由导数的几何意义可知，，
且，得，
所以，，得或，
，得或，，得，
所以的增区间是和，减区间是，
所以的极大值是，极小值是；
（2）解：由（1）可知，在区间单调递增，在区间单调递减，，
所以在区间的最大值为，，
若存在，使得不等式成立，则，
所以.
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1) 由切线斜率与极值条件，求出函数解析式，再用导数判断单调性，进而求极值；
(2) 分析函数在区间上的最值，根据存在性条件求解的取值范围。
（1），由导数的几何意义可知，，
且，得，
所以，，得或，
，得或，，得，
所以的增区间是和，减区间是，
所以的极大值是，极小值是；
（2）由（1）可知，在区间单调递增，在区间单调递减，，
所以在区间的最大值为，，
若存在，使得不等式成立，则，
所以.
19．【答案】（1）解：记事件：学生通过第轮，事件：学生通过第轮就选择奖品离开，
事件：学生通过第轮且继续答题，），
由题意得，.
记事件：学生获得奖品.则，
，
，
，
.
（2）解：学生小杰获得奖品，则至少通过两轮比赛的概率：.
（3）解：由题意，随机变量可取，
可得，
，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2 3
所以期望为.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；全概率公式；条件概率
【解析】【分析】（1）记事件：学生通过第轮，事件：学生通过第轮就选择奖品离开，事件：学生通过第轮且继续答题，结合全概率公式和求解即可；
（2）由题意，结合求解即可；
（3）由题意，随机变量可取，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式求解即可.
（1）记事件：学生通过第轮，事件：学生通过第轮就选择奖品离开，
事件：学生通过第轮且继续答题，），
由题意得，.
记事件：学生获得奖品.则，
，
，
，
.
（2）学生小杰获得奖品，则至少通过两轮比赛的概率：.
（3）由题意，随机变量可取，
可得，
，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2 3
所以期望为.
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