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江苏省泰州市2024-2025学年高一下学期期末调研测试数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知向量，若，则实数的值为（　　）
A．16 B．4 C．-4 D．-16
【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：，.
故答案为：B.
【分析】本题考查向量平行的坐标表示，核心是利用两向量平行的充要条件列方程求解参数 t。
2．某工厂6月份生产三种产品的数量比为，现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中产品的数量为600，则的值为（　　）
A．1200 B．1440 C．1800 D．2400
【答案】B
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：，解得.
故答案为：B.
【分析】本题考查分层抽样的计算，核心是利用各层数量比等于样本中各层数量比，建立方程求解样本容量 n。
3．已知复数在复平面内所对应的点分别为和，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为复数在复平面内所对应的点分别为和，
所以，
则.
故答案为：A.
【分析】本题考查复数的几何意义与除法运算，核心是先根据复平面内的点写出复数，再通过分母实数化进行除法运算。
4．已知事件和事件独立，若，则（　　）
A．0.21 B．0.51 C．0.79 D．0.91
【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意可得，，
则.
故答案为：C.
【分析】根据独立事件结合对立事件的概率公式计算，再利用并事件的概率加法公式求解即可.
5．已知平面和不重合的两条直线，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、若，则或，或或与相交，故A错误；
B、若，则或，故B错误；
C、若，则或，故C错误；
D、若，则，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据空间中线线、线面位置关系逐项分析判断即可.
6．已知函数，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；辅助角公式
【解析】【解答】解：函数，由，得，
由，得，则，，
所以
.
故答案为：A
【分析】本题考查三角函数的辅助角公式与和角公式，核心是先将函数化为 的形式，再利用和角公式求解 。
7．已知一个圆锥型容器的底面直径与母线长相等，若容器壁和底的厚度不计，该容器内部所能容纳的最大球的体积为，则该圆锥的侧面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆锥底面半径为，圆锥高为，底面直径与母线长相等，则母线长，
再设圆锥内部所能容纳的最大球的半径为，
根据勾股定理，，
画出圆锥的轴截面，此时圆锥的轴截面是一个等边三角形，其内部的最大圆是该等边三角形的内切圆，根据轴截面的相似三角形关系得：，即，，，
已知球的体积为，则，解得，，
所以，，
根据圆锥的侧面积公式，该圆锥的侧面积为.
故答案为：C.
【分析】本题考查圆锥的内切球与侧面积计算，核心是利用圆锥轴截面（等边三角形）的几何关系，结合球体积公式求出相关参数，再计算侧面积。
8．已知的内角的对边分别为.若，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解三角形；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，因为，
所以，所以，
因为，所以，
所以，因为，，
所以，所以，
因为，即，
所以，
将代入上式得，解得（负值舍去），
所以（负值舍去），所以.
故答案为：B.
【分析】本题考查三角形中的正弦定理、余弦定理及面积公式，核心是利用正弦定理建立边与角的关系，结合余弦定理求解边长，再计算三角形面积。
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分.
9．设是的共轭复数，则下列说法正确的有（　　）
A．是纯虚数 B．是实数
C．是实数 D．
【答案】B,C,D
【知识点】复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：设复数，则，
所以，当时，为实数，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，，
所以，故D正确；
故答案为：BCD.
【分析】本题考查复数的共轭运算及性质，核心是设复数 （），则 ，通过四则运算、模长公式验证各选项。
10．已知，若，则（　　）
A．
B．
C．
D．在上的投影向量为
【答案】A,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；简单的三角恒等变换；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：A：，，故A正确；
BC：，
，即，
相加得，
解得，
，
，故BC错误；
D：
，
在上的投影向量为，故D正确；
故答案为：AD.
【分析】A：直接利用向量模长公式计算；B：先求向量差的坐标，再计算模长；C：通过向量和的坐标等式，结合三角恒等式求 ；D：根据投影向量公式计算 在 上的投影向量。
11．半径为1的球完全在半径为的球的内部，且两球球面有唯一的公共点，球表面上三点确定的平面与球相切，若，，则（　　）
A．三点共线
B．
C．直线与平面所成角小于
D．三棱锥的体积为
【答案】A,C,D
【知识点】球内接多面体；直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：
因为两球球面有唯一的公共点，所以它们有唯一公切线，所以三点共线，故A正确；
设外接圆半径为，外心为，又确定的平面与球相切，
所以平面，，，
在，，则，
，故B错误；
因为平面，所以就是直线与平面所成角，
，故C正确；
又，所以，
又，所以为直角三角形，
则，，
，故D正确；
故答案为：ACD.
【分析】A：根据两球的位置关系（内切）判断三点共线；B：利用正弦定理计算BC的长度；C：根据线面角的定义，通过三角函数值判断角度大小；D：先求△ABC的面积，再结合三棱锥的高计算体积。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知一组数据，则这组数据的方差为　 　.
【答案】2
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：这组数据的平均数为，
则这组数据的方差为.
故答案为：2.
【分析】本题考查方差的计算，核心是先求平均数，再利用方差公式求解。
13．已知四棱锥的底面为平行四边形，过点的平面与棱分别交于.若三棱锥的体积是三棱锥体积的倍，则的值为　 　.
【答案】
【知识点】直线与平面平行的性质；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：
因为底面为平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面，即平面，
所以，
所以点到平面的距离是点到平面距离的，
即，所以.
故答案为：.
【分析】本题考查四棱锥中的线面平行与三棱锥体积比，核心是利用底面平行四边形的性质得到线面平行关系，再结合体积比推导线段长度比。
14．连续抛掷一颗质地均匀的正方体骰子两次（正方体六个面上的点数分别为），记录抛掷结果向上的点数.设事件：第一次点数为1，事件：两次点数之和为，若事件与事件互斥，则的最小值为　 　；若事件与事件相互独立，则的值为　 　.
【答案】8；7
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件
【解析】【解答】解：因为事件与事件互斥，所以它们不能同时发生，
所以两次点数之和至少为8，才能保证第一次点数不为1，所以的最小值为8；
因为事件与事件相互独立，所以，
当时，第一次点数不可能为1，此时，
当时，，又，所以，
又时，对应概率分别为，所以的值为7.
故答案为：8，7.
【分析】根据互斥事件的定义可知：两次点数之和至少为8，才能保证第一次点数不为1，则的最小值为8；分和讨论，根据独立事件的定义求解即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15．从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率直方图如图所示.观察图形，回答以下问题：
（1）这一组的频率和频数分别为多少？
（2）估计该次环保知识竞赛的及格率（60分以上为及格）；
（3）估计这组数据的80百分位数.
【答案】（1）解：频率为，频数为；
（2）解：及格率为；
（3）解：因为数据落在的频率为0.7，
数据落在的频率为0.25.
设这组数据的80百分位数为，
所以，
所以，故，
即这组数据的80百分位数为83.5.
【知识点】频率分布直方图；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】本题考查频率分布直方图的应用，核心公式为：
（1）频率=（频率 / 组距）× 组距
（2）频数=频率×样本容量
（3）百分位数计算：先确定累计频率，再通过组内线性插值估算。
（1）频率为，频数为；
（2）及格率为；
（3）因为数据落在的频率为0.7，
数据落在的频率为0.25.
设这组数据的80百分位数为，
所以，
所以，故，
即这组数据的80百分位数为83.5.
16．已知，求下列各式的值.
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：因为，
所以，
所以.
（2）解：因为，
分母不能为0，故，
所以，
即.
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】(1) 利用两角差的正切公式展开已知等式，直接求解；
(2) 利用三角恒等式化简分式，结合弦化切的方法，代入的值求解。
（1）因为，
所以，
所以.
（2）方法一：
因为，
分母不能为0，故，
所以，
即.
方法二：
由得角的终边在第一象限或第三象限，
（）当角的终边在第一象限时，
全由得，
所以，
所以；
（）当角的终边在第三象限时，
由得，
所以，
所以.
综上所述，.
17．如图，已知的夹角为.
（1）求的值；
（2）若线段的中点分别为.
（i）求实数的值；
（ii）求线段的长.
【答案】（1）解：因为
，
由得，
所以
.
（2）（i）解：因为，
因为的中点分别为，
所以
即，
由不共线得.
（ii）解：因为
，
所以.
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】(1) 利用向量的线性运算，将原式转化为与相关的表达式，再结合向量数量积公式计算；
(2)(i) 利用中点性质，通过向量的线性运算将用和表示，求出；
(ii) 利用向量模的计算公式，通过求线段的长度。
（1）因为
，
由得，
所以
.
（2）（i）方法一：
因为，
因为的中点分别为，
所以，即，
由不共线得.
方法二：
连结，取的中点，
则，
由不共线得.
（ii）因为
，
所以.
18．如图，在长方体中，点在平面内，是棱上一点（不包括端点），的中点为.
（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）若二面角与二面角的大小都为，四棱锥的体积为，求的长.
【答案】（1）证明：在长方体中，
所以四边形为矩形，所以，
又因为平面平面，
所以平面.
（2）证明：取的中点，连接，
因为为的中点，所以，
因为，所以，因为为的中点，所以，
因为平面，所以平面，
因为平面，所以.
（3）解：因为二面角的大小为，
由（2）可知为二面角的平面角，所以，所以，
过作，垂足为，连结，因为为的中点，
所以，因为平面平面，
所以，因为相交，且平面，
所以平面，因为平面，所以.
因为平面，所以平面，
因为平面，所以，
所以为二面角的平面角，即，所以，
因为为的中点，所以，
所以，
所以，因为平面，点在平面内，
所以为平面与平面的距离，故，
所以.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】(1) 利用长方体对边平行的性质，结合线面平行的判定定理证明；
(2) 通过构造辅助线，证明 垂直于平面 ，从而得到 ；
(3) 结合二面角的平面角、线面垂直的判定与性质，以及四棱锥体积公式求解 的长度。
（1）在长方体中，
所以四边形为矩形，所以，
又因为平面平面，
所以平面.
（2）取的中点，连接，
因为为的中点，所以，
因为，所以，因为为的中点，所以，
因为平面，所以平面，
因为平面，所以.
（3）因为二面角的大小为，
由（2）可知为二面角的平面角，所以，所以，
过作，垂足为，连结，因为为的中点，
所以，因为平面平面，
所以，因为相交，且平面，
所以平面，因为平面，所以.
因为平面，所以平面，
因为平面，所以，
所以为二面角的平面角，即，所以，
因为为的中点，所以，
所以，
所以，因为平面，点在平面内，
所以为平面与平面的距离，故，
所以.
19．在中，，设分别为.
（1）若.
（i）求的值；
（ii）求的最小值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）（i）解：因为，
所以.
（ii）解：由得，
即
，
所以，
，当且仅当时等号成立，即，
因为，所以，即，
所以，所以的最小值为3.
（2）解：设，则，
在中，
由正弦定理得，
即，
因为，所以，①
在中，由余弦定理得，②
，③
由②③得，
由①②得，
故，即，所以，
所以，
所以.
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算；解三角形
【解析】【分析】(1) (i) 利用向量线性运算将 转化为 ，结合 时 ，直接计算数量积；
(ii) 由 ，求 的最小值即求 的最大值，利用基本不等式或三角恒等变换求 的最小值，进而得 的最大值；
(2) 结合正弦定理、余弦定理，联立方程求解 ，再利用二倍角公式求 。
（1）（i）因为，
所以.
（ii）方法一：
由得，
即
，
所以，
，当且仅当时等号成立，即，
因为，所以，即，
所以，所以的最小值为3.
方法二：
设，则，
因为，故，
所以，
在中，由正弦定理得，
即，所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为，所以，
当且仅当时等号成立，
因为，所以，即，
所以，所以的最小值为3；
（2）设，则，
在中，
由正弦定理得，
即，
因为，所以，①
在中，由余弦定理得，②
，③
由②③得，
由①②得，
故，即，所以，
所以，
所以.
1 / 1江苏省泰州市2024-2025学年高一下学期期末调研测试数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知向量，若，则实数的值为（　　）
A．16 B．4 C．-4 D．-16
2．某工厂6月份生产三种产品的数量比为，现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中产品的数量为600，则的值为（　　）
A．1200 B．1440 C．1800 D．2400
3．已知复数在复平面内所对应的点分别为和，则（　　）
A． B． C． D．
4．已知事件和事件独立，若，则（　　）
A．0.21 B．0.51 C．0.79 D．0.91
5．已知平面和不重合的两条直线，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．已知函数，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．已知一个圆锥型容器的底面直径与母线长相等，若容器壁和底的厚度不计，该容器内部所能容纳的最大球的体积为，则该圆锥的侧面积为（　　）
A． B． C． D．
8．已知的内角的对边分别为.若，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分.
9．设是的共轭复数，则下列说法正确的有（　　）
A．是纯虚数 B．是实数
C．是实数 D．
10．已知，若，则（　　）
A．
B．
C．
D．在上的投影向量为
11．半径为1的球完全在半径为的球的内部，且两球球面有唯一的公共点，球表面上三点确定的平面与球相切，若，，则（　　）
A．三点共线
B．
C．直线与平面所成角小于
D．三棱锥的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知一组数据，则这组数据的方差为　 　.
13．已知四棱锥的底面为平行四边形，过点的平面与棱分别交于.若三棱锥的体积是三棱锥体积的倍，则的值为　 　.
14．连续抛掷一颗质地均匀的正方体骰子两次（正方体六个面上的点数分别为），记录抛掷结果向上的点数.设事件：第一次点数为1，事件：两次点数之和为，若事件与事件互斥，则的最小值为　 　；若事件与事件相互独立，则的值为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15．从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率直方图如图所示.观察图形，回答以下问题：
（1）这一组的频率和频数分别为多少？
（2）估计该次环保知识竞赛的及格率（60分以上为及格）；
（3）估计这组数据的80百分位数.
16．已知，求下列各式的值.
（1）；
（2）.
17．如图，已知的夹角为.
（1）求的值；
（2）若线段的中点分别为.
（i）求实数的值；
（ii）求线段的长.
18．如图，在长方体中，点在平面内，是棱上一点（不包括端点），的中点为.
（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）若二面角与二面角的大小都为，四棱锥的体积为，求的长.
19．在中，，设分别为.
（1）若.
（i）求的值；
（ii）求的最小值；
（2）若，求的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：，.
故答案为：B.
【分析】本题考查向量平行的坐标表示，核心是利用两向量平行的充要条件列方程求解参数 t。
2．【答案】B
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：，解得.
故答案为：B.
【分析】本题考查分层抽样的计算，核心是利用各层数量比等于样本中各层数量比，建立方程求解样本容量 n。
3．【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为复数在复平面内所对应的点分别为和，
所以，
则.
故答案为：A.
【分析】本题考查复数的几何意义与除法运算，核心是先根据复平面内的点写出复数，再通过分母实数化进行除法运算。
4．【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意可得，，
则.
故答案为：C.
【分析】根据独立事件结合对立事件的概率公式计算，再利用并事件的概率加法公式求解即可.
5．【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、若，则或，或或与相交，故A错误；
B、若，则或，故B错误；
C、若，则或，故C错误；
D、若，则，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据空间中线线、线面位置关系逐项分析判断即可.
6．【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；辅助角公式
【解析】【解答】解：函数，由，得，
由，得，则，，
所以
.
故答案为：A
【分析】本题考查三角函数的辅助角公式与和角公式，核心是先将函数化为 的形式，再利用和角公式求解 。
7．【答案】C
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆锥底面半径为，圆锥高为，底面直径与母线长相等，则母线长，
再设圆锥内部所能容纳的最大球的半径为，
根据勾股定理，，
画出圆锥的轴截面，此时圆锥的轴截面是一个等边三角形，其内部的最大圆是该等边三角形的内切圆，根据轴截面的相似三角形关系得：，即，，，
已知球的体积为，则，解得，，
所以，，
根据圆锥的侧面积公式，该圆锥的侧面积为.
故答案为：C.
【分析】本题考查圆锥的内切球与侧面积计算，核心是利用圆锥轴截面（等边三角形）的几何关系，结合球体积公式求出相关参数，再计算侧面积。
8．【答案】B
【知识点】解三角形；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，因为，
所以，所以，
因为，所以，
所以，因为，，
所以，所以，
因为，即，
所以，
将代入上式得，解得（负值舍去），
所以（负值舍去），所以.
故答案为：B.
【分析】本题考查三角形中的正弦定理、余弦定理及面积公式，核心是利用正弦定理建立边与角的关系，结合余弦定理求解边长，再计算三角形面积。
9．【答案】B,C,D
【知识点】复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：设复数，则，
所以，当时，为实数，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，，
所以，故D正确；
故答案为：BCD.
【分析】本题考查复数的共轭运算及性质，核心是设复数 （），则 ，通过四则运算、模长公式验证各选项。
10．【答案】A,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；简单的三角恒等变换；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：A：，，故A正确；
BC：，
，即，
相加得，
解得，
，
，故BC错误；
D：
，
在上的投影向量为，故D正确；
故答案为：AD.
【分析】A：直接利用向量模长公式计算；B：先求向量差的坐标，再计算模长；C：通过向量和的坐标等式，结合三角恒等式求 ；D：根据投影向量公式计算 在 上的投影向量。
11．【答案】A,C,D
【知识点】球内接多面体；直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：
因为两球球面有唯一的公共点，所以它们有唯一公切线，所以三点共线，故A正确；
设外接圆半径为，外心为，又确定的平面与球相切，
所以平面，，，
在，，则，
，故B错误；
因为平面，所以就是直线与平面所成角，
，故C正确；
又，所以，
又，所以为直角三角形，
则，，
，故D正确；
故答案为：ACD.
【分析】A：根据两球的位置关系（内切）判断三点共线；B：利用正弦定理计算BC的长度；C：根据线面角的定义，通过三角函数值判断角度大小；D：先求△ABC的面积，再结合三棱锥的高计算体积。
12．【答案】2
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：这组数据的平均数为，
则这组数据的方差为.
故答案为：2.
【分析】本题考查方差的计算，核心是先求平均数，再利用方差公式求解。
13．【答案】
【知识点】直线与平面平行的性质；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：
因为底面为平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面，即平面，
所以，
所以点到平面的距离是点到平面距离的，
即，所以.
故答案为：.
【分析】本题考查四棱锥中的线面平行与三棱锥体积比，核心是利用底面平行四边形的性质得到线面平行关系，再结合体积比推导线段长度比。
14．【答案】8；7
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件
【解析】【解答】解：因为事件与事件互斥，所以它们不能同时发生，
所以两次点数之和至少为8，才能保证第一次点数不为1，所以的最小值为8；
因为事件与事件相互独立，所以，
当时，第一次点数不可能为1，此时，
当时，，又，所以，
又时，对应概率分别为，所以的值为7.
故答案为：8，7.
【分析】根据互斥事件的定义可知：两次点数之和至少为8，才能保证第一次点数不为1，则的最小值为8；分和讨论，根据独立事件的定义求解即可.
15．【答案】（1）解：频率为，频数为；
（2）解：及格率为；
（3）解：因为数据落在的频率为0.7，
数据落在的频率为0.25.
设这组数据的80百分位数为，
所以，
所以，故，
即这组数据的80百分位数为83.5.
【知识点】频率分布直方图；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】本题考查频率分布直方图的应用，核心公式为：
（1）频率=（频率 / 组距）× 组距
（2）频数=频率×样本容量
（3）百分位数计算：先确定累计频率，再通过组内线性插值估算。
（1）频率为，频数为；
（2）及格率为；
（3）因为数据落在的频率为0.7，
数据落在的频率为0.25.
设这组数据的80百分位数为，
所以，
所以，故，
即这组数据的80百分位数为83.5.
16．【答案】（1）解：因为，
所以，
所以.
（2）解：因为，
分母不能为0，故，
所以，
即.
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】(1) 利用两角差的正切公式展开已知等式，直接求解；
(2) 利用三角恒等式化简分式，结合弦化切的方法，代入的值求解。
（1）因为，
所以，
所以.
（2）方法一：
因为，
分母不能为0，故，
所以，
即.
方法二：
由得角的终边在第一象限或第三象限，
（）当角的终边在第一象限时，
全由得，
所以，
所以；
（）当角的终边在第三象限时，
由得，
所以，
所以.
综上所述，.
17．【答案】（1）解：因为
，
由得，
所以
.
（2）（i）解：因为，
因为的中点分别为，
所以
即，
由不共线得.
（ii）解：因为
，
所以.
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】(1) 利用向量的线性运算，将原式转化为与相关的表达式，再结合向量数量积公式计算；
(2)(i) 利用中点性质，通过向量的线性运算将用和表示，求出；
(ii) 利用向量模的计算公式，通过求线段的长度。
（1）因为
，
由得，
所以
.
（2）（i）方法一：
因为，
因为的中点分别为，
所以，即，
由不共线得.
方法二：
连结，取的中点，
则，
由不共线得.
（ii）因为
，
所以.
18．【答案】（1）证明：在长方体中，
所以四边形为矩形，所以，
又因为平面平面，
所以平面.
（2）证明：取的中点，连接，
因为为的中点，所以，
因为，所以，因为为的中点，所以，
因为平面，所以平面，
因为平面，所以.
（3）解：因为二面角的大小为，
由（2）可知为二面角的平面角，所以，所以，
过作，垂足为，连结，因为为的中点，
所以，因为平面平面，
所以，因为相交，且平面，
所以平面，因为平面，所以.
因为平面，所以平面，
因为平面，所以，
所以为二面角的平面角，即，所以，
因为为的中点，所以，
所以，
所以，因为平面，点在平面内，
所以为平面与平面的距离，故，
所以.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】(1) 利用长方体对边平行的性质，结合线面平行的判定定理证明；
(2) 通过构造辅助线，证明 垂直于平面 ，从而得到 ；
(3) 结合二面角的平面角、线面垂直的判定与性质，以及四棱锥体积公式求解 的长度。
（1）在长方体中，
所以四边形为矩形，所以，
又因为平面平面，
所以平面.
（2）取的中点，连接，
因为为的中点，所以，
因为，所以，因为为的中点，所以，
因为平面，所以平面，
因为平面，所以.
（3）因为二面角的大小为，
由（2）可知为二面角的平面角，所以，所以，
过作，垂足为，连结，因为为的中点，
所以，因为平面平面，
所以，因为相交，且平面，
所以平面，因为平面，所以.
因为平面，所以平面，
因为平面，所以，
所以为二面角的平面角，即，所以，
因为为的中点，所以，
所以，
所以，因为平面，点在平面内，
所以为平面与平面的距离，故，
所以.
19．【答案】（1）（i）解：因为，
所以.
（ii）解：由得，
即
，
所以，
，当且仅当时等号成立，即，
因为，所以，即，
所以，所以的最小值为3.
（2）解：设，则，
在中，
由正弦定理得，
即，
因为，所以，①
在中，由余弦定理得，②
，③
由②③得，
由①②得，
故，即，所以，
所以，
所以.
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算；解三角形
【解析】【分析】(1) (i) 利用向量线性运算将 转化为 ，结合 时 ，直接计算数量积；
(ii) 由 ，求 的最小值即求 的最大值，利用基本不等式或三角恒等变换求 的最小值，进而得 的最大值；
(2) 结合正弦定理、余弦定理，联立方程求解 ，再利用二倍角公式求 。
（1）（i）因为，
所以.
（ii）方法一：
由得，
即
，
所以，
，当且仅当时等号成立，即，
因为，所以，即，
所以，所以的最小值为3.
方法二：
设，则，
因为，故，
所以，
在中，由正弦定理得，
即，所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为，所以，
当且仅当时等号成立，
因为，所以，即，
所以，所以的最小值为3；
（2）设，则，
在中，
由正弦定理得，
即，
因为，所以，①
在中，由余弦定理得，②
，③
由②③得，
由①②得，
故，即，所以，
所以，
所以.
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