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江苏省南京市励志高级中学2024-2025学年高一下学期第五次调研考试（6月期末）数学试题
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．复数满足，则（　　）
A． B． C． D．
2．（　　）
A． B．0 C． D．
3．用抽签法抽取的一个容量为5的样本，它们的变量值分别为2，4，5，7，9，则该样本的平均数为（　　）
A．4.5 B．4.8 C．5.4 D．6
4．已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
5．已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，是中点，则（　　）
A．2 B． C． D．
6．已知直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（　　）
A． B．
C． D．
7．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”．类比“赵爽弦图”，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若，．则（　　）
A． B． C． D．
8．一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且．设这组数据的平均数为，中位数为m．下列条件一定能使得的是（　　）
A． B．
C． D．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．下列说法错误的是（　　）
A．在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程表示
B．方程表示的直线斜率一定存在
C．经过点，倾斜角为的直线方程为
D．经过两点，的直线方程为
10．已知，为锐角，，，则（　　）
A． B．
C． D．
11．在中，，，分别是角，，的对边，其外接圆半径为，内切圆半径为，满足，的面积，则（　　）
A． B．
C． D．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．已知，则　 　.
13．若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，则实数的取值范围为　 　．
14．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中描述了一种五面体——刍甍（chúméng），其底面为矩形，顶棱和底面矩形的一组对边平行．现有如图所示一刍甍，，侧面和为等边三角形，且与底面所成角相等；若，到底面的距离为，则该刍甍的体积为　 　．
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
15．如图，在平行四边形 中，点是的中点，连接，记它们的交点为，设 .
（1）用 ， 表示；
（2）求< >的余弦值.
16．已知角，满足，，且，.
（1）求的值；
（2）求的大小.
17．2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.阜阳三中高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
（1）求a，b的值；
（2）若根据这次成绩，学校准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？
（3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，，，…，，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差．
18．如图，在三棱柱中，，平面平面，且，点为棱的中点．
（1）求证：直线平面；
（2）若，，，求直线与平面所成角的正弦值．
19．若内一点满足，则称点为的布洛卡点，为的布洛卡角．如图，已知中，，点为的布洛卡点，为的布洛卡角．
（1）若，且满足，
①求的大小；
②若，求布洛卡角的正切值；
（2）若平分，试问是否存在常实数，使得，若存在，求出常数t；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：方法一：因为，所以.
方法二：因为，所以．
故答案为：A.
【分析】利用两种方法求解.
方法1：利用复数模的性质和复数的模的计算公式，从而得出复数z的模.
方法2：利用复数除法运算法则求出复数，再利用复数求模公式，从而求出复数z的模.
2．【答案】D
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】利用向量加法法则和向量减法法则，从而化简得出所求复数.
3．【答案】C
【知识点】简单随机抽样；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：该样本平均数为.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和平均数公式，从而得出该样本的平均数.
4．【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、若，则或，故A错误；
B、若，则或与是异面直线，故B错误；
C、若，则或，故C错误；
D、若，则，又因为所以，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据空间中线线、线面以及面面的位置关系判断即可.
5．【答案】D
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：利用正弦定理结合已知条件，
可知，则，
由余弦定理，得，
则，
所以，，
在中，由余弦定理，可知：，
在中，由余弦定理，可知：，
整理得：，则.
故答案为：D.
【分析】先利用正弦定理和已知条件，从而得出a，c的关系式，再利用余弦定理得出a，c的值，最后根据余弦定理求BD的长即可.
6．【答案】B
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】解：因为直线的方程为，
所以，则直线的斜率，
又因为，所以，
因为直线的倾斜角的取值范围为，
由正切函数的性质，可得直线的倾斜角范围为.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件结合转化的方法，从而得出直线的斜率，再利用直线的斜率和正切函数的单调性，从而得出直线的倾斜角的取值范围.
7．【答案】A
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：由，知，
所以为正三角形，则∵，
设，则，
由正弦定理，得，
则，所以，
在中，，
则，
所以，则．
故答案为：A.
【分析】由题意结合全等三角形的性质和等边三角形的定义，从而判断出是等边三角形，设，再利用正弦定理可得，再根据余弦定理可得的值，从而得出DB的长.
8．【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：令样本数据总个数为，
A、，故A不是；
B、，故B不是；
C、，故C是；
D、，故D不是.
故答案为：C.
【分析】令样本数据总个数为，利用平均数、中位数的定义求解判断即可.
9．【答案】A,C
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；直线的两点式方程；直线的截距式方程
【解析】【解答】解：对于A：因为直线在两坐标轴上的截距相等，
但不能用表示，故选项A错误；
对于B：因为方程表示的直线斜率为，故选项B正确；
对于C：若，则直线斜率不存在，直线不能用点斜式表示，故选项C错；
对于D：由直线两点式方程可知，故选项D正确.
故答案为：AC.
【分析】根据已知条件和截距式方程，则判断出选项A；利用直线方程求斜率的方法，则判断出选项B；利用直线的斜率与点斜式方程的关系，则判断出选项C；利用两点式方程判断出选项D，从而找出说法错误的选项.
10．【答案】B,D
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：对于A，因为，，
所以，
解得，，故A错误；
对于B，因为，故B正确；
对于C，因为，为锐角，所以，
又因为，所以，则，
所以，故C错误；
对于D，因为，为锐角，所以，
又因为，所以，，
因为，解得，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】由两角和的余弦公式和同角三角函数基本关系式，则判断出选项A和选项B；利用三角函数值在各象限的符号和同角三角函数基本关系式，从而得出的值，再利用同角三角函数基本关系式得出，则判断出选项C；利用已知条件和两角和的正弦公式，从而得出的值，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：A、在中，，
解得，故A正确；
B、由，
得，
整理得，故B正确；
D、，
即，又，，
则，
整理得，
又，
则，，故D正确；
C、，，由正弦定理得
故，故C错误.
故答案为：ABD.
【分析】根据的面积 以及内切圆半径，求得即可判断A；利用正弦定理，结合正弦的二倍角公式求解即可判断B；利用正弦的两角和、差公式，结合三角形面积公式求解即可判断D；由，，利用正弦定理求解即可判断C.
12．【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和二倍角的余弦公式，从而得出的值.
13．【答案】
【知识点】概率的基本性质；互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：由随机事件互斥，且发生的概率均不等0 ，且，
则，即，解得.
故答案为：.
【分析】根据事件互斥 ，且，结合概率的性质列不等式组求解实数的取值范围即可.
14．【答案】
【知识点】柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：在刍甍中，过作底面的垂线，垂足为，
则，取的中点，则，，
所以．分别取，的中点，
则刍甍被分为四棱锥和三棱柱．
因为，
，
又因为
所以，
则该刍甍的体积为．
故答案为：.
【分析】分别取，的中点，将刍甍分为四棱锥和三棱柱，再利用棱锥体积公式和棱柱的体积公式以及棱柱体积与棱锥体积的关系式，从而得出该刍甍的体积.
15．【答案】（1）解：在平行四边形ABCD 中，点E是AB的中点，所以，且，
所以，所以，即，
根据向量的加法法则可得；
（2）解：由，，
可得，即，
又因为，
所以.
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）由题意，在平行四边形ABCD 中，推出，，根据向量加法的平行四边形法则求解即可；
（2）根据向量的数量积运算，结合，利用向量的夹角公式求解即可.
（1）在平行四边形ABCD 中，点E是AB的中点，所以，且
所以，所以，即，
根据向量的加法法则，∴
（2）由，，
于是，∴
又，
∴.
16．【答案】（1）解：因为，，所以，
所以，；
因为，所以；
所以.
（2）解：因为，，所以；
因为，所以，故，
所以；
又因为，所以，；
所以，
又因为，所以.
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【分析】（1）根据同角三角函数基本关系式、二倍角公式、分别求出，，，，再利用两角差的正弦公式计算即可；
（2）先根据题意缩小角的范围到和，进而得出，再根据二倍角公式和两角和的余弦公式计算的值即可求解.
17．【答案】（1）解：由题意知，所以，解得，
由，解得，
则，；
（2）解：成绩落在内的频率为：，
落在内的频率为：，
设第80百分位数为m，则，解得，
所以晋级分数线划为78分合理；
（3）解：由，可得，
又，，
剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为，，，…，，
平均数与标准差分别为，，
则剩余8个分数的平均数；
方差．
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）根据第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积列式求得的值，再根据频率分布直方图各矩形面积和为1，列式求得b的值；
（2）先分别计算成绩落在、内的频率，设第80百分位数为m，利用频率分布直方图计算第80百分位数即可；
（3）由题意先求得，，剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为，，，…，，平均数与标准差分别为，，根据平均数和方差的计算公式计算即可.
（1）由题意知，所以，解得，
又，解得．
所以，，
（2）成绩落在内的频率为：，
落在内的频率为：，
设第80百分位数为m，则，
解得，所以晋级分数线划为78分合理．
（3），故：．
又，，
剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为，，，…，，
平均数与标准差分别为，，
则剩余8个分数的平均数：；
方差：．
18．【答案】（1）证明：因为，过点A作，交边BC于点H，
又因为，平面平面，平面平面，
平面，
所以面，平面，
则，
因为，，平面，
所以平面．
（2）解：因为，，，面，
所以平面，
又因为平面，
所以，平面平面，
过点C作，交直线于点E，
因为平面平面，平面，则面．
所以直线CD与面所成角为，
又因为，，
所以，
因为，，，
所以，，，
则，，
所以，
则直线CD与面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）过点A作，交边BC于点H，利用已知条件和面面垂直的性质定理得出线线垂直再利用线线垂直证出线面垂直，即证出直线平面.
（2）过点C作，交直线于点E，确定直线CD与面所成角为，利用线线垂直和勾股定理和直角三角形对应边成比例，从而计算出各线段长度，再根据正弦函数的定义，从而得出直线CD与面所成角的正弦值.
（1），过点A作，交边BC于点H．
，平面平面，平面平面，
平面，故面，平面，故，
又，，平面，故平面．
（2），，，面，故平面，
平面，故平面平面．
过点C作，交直线于点E，
平面平面，平面，则面．
故直线CD与面所成角即，
，，故，又，，，
故，，，
，，
故，
即直线CD与面所成角的正弦值为
19．【答案】（1）解：①若，则，得，
因为点满足，则，
在与中，，，
所以与相似，则，
所以，则，
在中，，
因为，所以.
②在中，由余弦定理和三角形面积公式，
得：，
，
同理可得：，
三式相加，可得：。
在内，由余弦定理以及三角形面积公式，
得：，
在，内，
同理可得：，，
三式相等，得，
因为点在内，则
由等比数列性质，得：，
所以，
由①知，，，
所以
则.
（2）解：因为
则，
所以，
在，，中，分别由余弦定理，可得：
，
，
，
三式相加整理，得：，
则，
因为平分，所以，，
则，
由余弦定理，可得：，
所以，
则，所以，
若平分，则存在常实数，使得.
【知识点】等比数列的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）①先利用已知条件判断与相似，再利用两三角形相似得到，根据余弦定理和三角形中角的取值范围，从而得出的值.
②在中，利用余弦定理和三角形面积公式，从而化简得到，同理在，，内结合三角形的面积关系式和等比数列的性质，从而得到，由①得到，从而得出布洛卡角的正切值.
（2）利用已知条件和三角形的面积关系式以及余弦定理，从而得出与的等量关系，再利用余弦定理和三角形面积公式以及平分，则当平分时，存在常实数，使得.
（1）①若，即，得，
点满足，则，
在与中，，，
所以与相似，则，即，
所以；
在中，，
因为，
所以
②在中，应用余弦定理以及三角形面积公式得：
，
，
同理可得：，
三式相加可得：。
在内，应用余弦定理以及三角形面积公式得：
，
在，内，同理可得：
，，
三式相等：，
因为点在内，则
由等比性质的：，
所以：，
由①知，，，
所以，
则
（2）因为，
即，
所以，
在，，中，
分别由余弦定理可得：，
，
，
三式相加整理得：，即，
因为平分，则，，
所以，
由余弦定理可得：，
所以，
即，则，
所以若平分，试问是否存在常实数，使得
1 / 1江苏省南京市励志高级中学2024-2025学年高一下学期第五次调研考试（6月期末）数学试题
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．复数满足，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：方法一：因为，所以.
方法二：因为，所以．
故答案为：A.
【分析】利用两种方法求解.
方法1：利用复数模的性质和复数的模的计算公式，从而得出复数z的模.
方法2：利用复数除法运算法则求出复数，再利用复数求模公式，从而求出复数z的模.
2．（　　）
A． B．0 C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】利用向量加法法则和向量减法法则，从而化简得出所求复数.
3．用抽签法抽取的一个容量为5的样本，它们的变量值分别为2，4，5，7，9，则该样本的平均数为（　　）
A．4.5 B．4.8 C．5.4 D．6
【答案】C
【知识点】简单随机抽样；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：该样本平均数为.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和平均数公式，从而得出该样本的平均数.
4．已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、若，则或，故A错误；
B、若，则或与是异面直线，故B错误；
C、若，则或，故C错误；
D、若，则，又因为所以，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据空间中线线、线面以及面面的位置关系判断即可.
5．已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，是中点，则（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：利用正弦定理结合已知条件，
可知，则，
由余弦定理，得，
则，
所以，，
在中，由余弦定理，可知：，
在中，由余弦定理，可知：，
整理得：，则.
故答案为：D.
【分析】先利用正弦定理和已知条件，从而得出a，c的关系式，再利用余弦定理得出a，c的值，最后根据余弦定理求BD的长即可.
6．已知直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】解：因为直线的方程为，
所以，则直线的斜率，
又因为，所以，
因为直线的倾斜角的取值范围为，
由正切函数的性质，可得直线的倾斜角范围为.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件结合转化的方法，从而得出直线的斜率，再利用直线的斜率和正切函数的单调性，从而得出直线的倾斜角的取值范围.
7．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”．类比“赵爽弦图”，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若，．则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：由，知，
所以为正三角形，则∵，
设，则，
由正弦定理，得，
则，所以，
在中，，
则，
所以，则．
故答案为：A.
【分析】由题意结合全等三角形的性质和等边三角形的定义，从而判断出是等边三角形，设，再利用正弦定理可得，再根据余弦定理可得的值，从而得出DB的长.
8．一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且．设这组数据的平均数为，中位数为m．下列条件一定能使得的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：令样本数据总个数为，
A、，故A不是；
B、，故B不是；
C、，故C是；
D、，故D不是.
故答案为：C.
【分析】令样本数据总个数为，利用平均数、中位数的定义求解判断即可.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．下列说法错误的是（　　）
A．在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程表示
B．方程表示的直线斜率一定存在
C．经过点，倾斜角为的直线方程为
D．经过两点，的直线方程为
【答案】A,C
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；直线的两点式方程；直线的截距式方程
【解析】【解答】解：对于A：因为直线在两坐标轴上的截距相等，
但不能用表示，故选项A错误；
对于B：因为方程表示的直线斜率为，故选项B正确；
对于C：若，则直线斜率不存在，直线不能用点斜式表示，故选项C错；
对于D：由直线两点式方程可知，故选项D正确.
故答案为：AC.
【分析】根据已知条件和截距式方程，则判断出选项A；利用直线方程求斜率的方法，则判断出选项B；利用直线的斜率与点斜式方程的关系，则判断出选项C；利用两点式方程判断出选项D，从而找出说法错误的选项.
10．已知，为锐角，，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B,D
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：对于A，因为，，
所以，
解得，，故A错误；
对于B，因为，故B正确；
对于C，因为，为锐角，所以，
又因为，所以，则，
所以，故C错误；
对于D，因为，为锐角，所以，
又因为，所以，，
因为，解得，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】由两角和的余弦公式和同角三角函数基本关系式，则判断出选项A和选项B；利用三角函数值在各象限的符号和同角三角函数基本关系式，从而得出的值，再利用同角三角函数基本关系式得出，则判断出选项C；利用已知条件和两角和的正弦公式，从而得出的值，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．在中，，，分别是角，，的对边，其外接圆半径为，内切圆半径为，满足，的面积，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：A、在中，，
解得，故A正确；
B、由，
得，
整理得，故B正确；
D、，
即，又，，
则，
整理得，
又，
则，，故D正确；
C、，，由正弦定理得
故，故C错误.
故答案为：ABD.
【分析】根据的面积 以及内切圆半径，求得即可判断A；利用正弦定理，结合正弦的二倍角公式求解即可判断B；利用正弦的两角和、差公式，结合三角形面积公式求解即可判断D；由，，利用正弦定理求解即可判断C.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．已知，则　 　.
【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和二倍角的余弦公式，从而得出的值.
13．若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，则实数的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】概率的基本性质；互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：由随机事件互斥，且发生的概率均不等0 ，且，
则，即，解得.
故答案为：.
【分析】根据事件互斥 ，且，结合概率的性质列不等式组求解实数的取值范围即可.
14．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中描述了一种五面体——刍甍（chúméng），其底面为矩形，顶棱和底面矩形的一组对边平行．现有如图所示一刍甍，，侧面和为等边三角形，且与底面所成角相等；若，到底面的距离为，则该刍甍的体积为　 　．
【答案】
【知识点】柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：在刍甍中，过作底面的垂线，垂足为，
则，取的中点，则，，
所以．分别取，的中点，
则刍甍被分为四棱锥和三棱柱．
因为，
，
又因为
所以，
则该刍甍的体积为．
故答案为：.
【分析】分别取，的中点，将刍甍分为四棱锥和三棱柱，再利用棱锥体积公式和棱柱的体积公式以及棱柱体积与棱锥体积的关系式，从而得出该刍甍的体积.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
15．如图，在平行四边形 中，点是的中点，连接，记它们的交点为，设 .
（1）用 ， 表示；
（2）求< >的余弦值.
【答案】（1）解：在平行四边形ABCD 中，点E是AB的中点，所以，且，
所以，所以，即，
根据向量的加法法则可得；
（2）解：由，，
可得，即，
又因为，
所以.
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）由题意，在平行四边形ABCD 中，推出，，根据向量加法的平行四边形法则求解即可；
（2）根据向量的数量积运算，结合，利用向量的夹角公式求解即可.
（1）在平行四边形ABCD 中，点E是AB的中点，所以，且
所以，所以，即，
根据向量的加法法则，∴
（2）由，，
于是，∴
又，
∴.
16．已知角，满足，，且，.
（1）求的值；
（2）求的大小.
【答案】（1）解：因为，，所以，
所以，；
因为，所以；
所以.
（2）解：因为，，所以；
因为，所以，故，
所以；
又因为，所以，；
所以，
又因为，所以.
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【分析】（1）根据同角三角函数基本关系式、二倍角公式、分别求出，，，，再利用两角差的正弦公式计算即可；
（2）先根据题意缩小角的范围到和，进而得出，再根据二倍角公式和两角和的余弦公式计算的值即可求解.
17．2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.阜阳三中高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
（1）求a，b的值；
（2）若根据这次成绩，学校准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？
（3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，，，…，，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差．
【答案】（1）解：由题意知，所以，解得，
由，解得，
则，；
（2）解：成绩落在内的频率为：，
落在内的频率为：，
设第80百分位数为m，则，解得，
所以晋级分数线划为78分合理；
（3）解：由，可得，
又，，
剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为，，，…，，
平均数与标准差分别为，，
则剩余8个分数的平均数；
方差．
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）根据第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积列式求得的值，再根据频率分布直方图各矩形面积和为1，列式求得b的值；
（2）先分别计算成绩落在、内的频率，设第80百分位数为m，利用频率分布直方图计算第80百分位数即可；
（3）由题意先求得，，剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为，，，…，，平均数与标准差分别为，，根据平均数和方差的计算公式计算即可.
（1）由题意知，所以，解得，
又，解得．
所以，，
（2）成绩落在内的频率为：，
落在内的频率为：，
设第80百分位数为m，则，
解得，所以晋级分数线划为78分合理．
（3），故：．
又，，
剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为，，，…，，
平均数与标准差分别为，，
则剩余8个分数的平均数：；
方差：．
18．如图，在三棱柱中，，平面平面，且，点为棱的中点．
（1）求证：直线平面；
（2）若，，，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：因为，过点A作，交边BC于点H，
又因为，平面平面，平面平面，
平面，
所以面，平面，
则，
因为，，平面，
所以平面．
（2）解：因为，，，面，
所以平面，
又因为平面，
所以，平面平面，
过点C作，交直线于点E，
因为平面平面，平面，则面．
所以直线CD与面所成角为，
又因为，，
所以，
因为，，，
所以，，，
则，，
所以，
则直线CD与面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）过点A作，交边BC于点H，利用已知条件和面面垂直的性质定理得出线线垂直再利用线线垂直证出线面垂直，即证出直线平面.
（2）过点C作，交直线于点E，确定直线CD与面所成角为，利用线线垂直和勾股定理和直角三角形对应边成比例，从而计算出各线段长度，再根据正弦函数的定义，从而得出直线CD与面所成角的正弦值.
（1），过点A作，交边BC于点H．
，平面平面，平面平面，
平面，故面，平面，故，
又，，平面，故平面．
（2），，，面，故平面，
平面，故平面平面．
过点C作，交直线于点E，
平面平面，平面，则面．
故直线CD与面所成角即，
，，故，又，，，
故，，，
，，
故，
即直线CD与面所成角的正弦值为
19．若内一点满足，则称点为的布洛卡点，为的布洛卡角．如图，已知中，，点为的布洛卡点，为的布洛卡角．
（1）若，且满足，
①求的大小；
②若，求布洛卡角的正切值；
（2）若平分，试问是否存在常实数，使得，若存在，求出常数t；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：①若，则，得，
因为点满足，则，
在与中，，，
所以与相似，则，
所以，则，
在中，，
因为，所以.
②在中，由余弦定理和三角形面积公式，
得：，
，
同理可得：，
三式相加，可得：。
在内，由余弦定理以及三角形面积公式，
得：，
在，内，
同理可得：，，
三式相等，得，
因为点在内，则
由等比数列性质，得：，
所以，
由①知，，，
所以
则.
（2）解：因为
则，
所以，
在，，中，分别由余弦定理，可得：
，
，
，
三式相加整理，得：，
则，
因为平分，所以，，
则，
由余弦定理，可得：，
所以，
则，所以，
若平分，则存在常实数，使得.
【知识点】等比数列的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）①先利用已知条件判断与相似，再利用两三角形相似得到，根据余弦定理和三角形中角的取值范围，从而得出的值.
②在中，利用余弦定理和三角形面积公式，从而化简得到，同理在，，内结合三角形的面积关系式和等比数列的性质，从而得到，由①得到，从而得出布洛卡角的正切值.
（2）利用已知条件和三角形的面积关系式以及余弦定理，从而得出与的等量关系，再利用余弦定理和三角形面积公式以及平分，则当平分时，存在常实数，使得.
（1）①若，即，得，
点满足，则，
在与中，，，
所以与相似，则，即，
所以；
在中，，
因为，
所以
②在中，应用余弦定理以及三角形面积公式得：
，
，
同理可得：，
三式相加可得：。
在内，应用余弦定理以及三角形面积公式得：
，
在，内，同理可得：
，，
三式相等：，
因为点在内，则
由等比性质的：，
所以：，
由①知，，，
所以，
则
（2）因为，
即，
所以，
在，，中，
分别由余弦定理可得：，
，
，
三式相加整理得：，即，
因为平分，则，，
所以，
由余弦定理可得：，
所以，
即，则，
所以若平分，试问是否存在常实数，使得
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