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广东梅州市2026届高三下学期3月总复习质检数学试题
1．在复平面内，复数对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由复数的乘法可得，
而复数对应的点在第三象限，故，解得，
则实数的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】先根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数在复平面内的表示求解即可.
2．已知为等差数列，，，则（　　）
A．36 B．24 C．18 D．12
【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，易知，
则.
故答案为：B.
【分析】设等差数列的公差为，由题意，先计算等差数列的公差，再利用等差数列的通项求解即可．
3．为督导学生体育锻炼，某中学举行一分钟跳绳测试，其成绩（单位：次）近似服从正态分布，且，则该校2000名学生中约有（　　）人一分钟跳绳超过200次.
A．100 B．150 C．200 D．250
【答案】A
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为 ，则有，
所以，
则该校2000名学生中，一分钟跳绳超过200次人数约为.
故答案为：A.
【分析】 成绩近似服从正态分布 ，利用正态分布曲线特点求解即可.
4．已知全集，，则下列结论不一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】集合间关系的判断；交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为，所以，，所以，故A正确；
对于任意，则，又，所以，所以，故B正确；
若，则，又，则，则，
与矛盾，所以，同理，，故，故C正确；
若时，可得不成立，故D错误.
故答案为：D.
【分析】根据集合混合运算，元素和集合的关系，以及集合的包含关系求解判断即可.
5．已知椭圆与双曲线有公共的焦点，椭圆与双曲线的一个交点为，则的面积为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：易知椭圆和双曲线的焦点都在轴上，
由椭圆，可得，则，
双曲线，可得，则，
因为椭圆和双曲线有公共的焦点，可得，解得，
所以椭圆且双曲线，则，可得，
不妨设，椭圆与双曲线的一个交点为位于第一象限，
由椭圆的定义可得，
又由双曲线的定义，可得，
联立方程组，解得，
则满足，可得，所以为直角三角形，
故的面积为.
故答案为：B.
【分析】易知椭圆和双曲线的焦点都在轴上，分别求，根据椭圆与双曲线有公共的焦点，求得，得到，不妨设椭圆与双曲线的一个交点为位于第一象限，再由椭圆和双曲线的定义，联立方程组求得，结合勾股定理，得到为直角三角形，最后利用三角形的面积公式求解即可.
6．甲乙两人下棋比赛，规则是谁先赢2局，谁便赢得奖金5400元.根据以往的交手记录，每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局比赛相互独立.然而因突发事件，比赛未能举行，为公平服众，奖金按照比赛正常进行时各自赢得比赛的概率之比进行分配，则甲分得奖金（　　）元.
A．3600 B．3800 C．4000 D．4200
【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：甲要赢得比赛，需要先赢两局，可能的比赛局数为2局或3局，
2局结束，即甲连赢2局，概率为；
3局结束，即前2局甲、乙各赢1局，第3局甲赢，概率为，
所以甲赢得比赛的总概率为，
同理可求得乙赢得比赛的总概率为，
则甲分得奖金为元.
故答案为：C.
【分析】由题意可知：甲要赢得比赛，需要先赢两局，可能的比赛局数为2局或3局，分别计算2局结束和3局结束的概率，利用互斥事件的概率加法公式求得甲赢得比赛的概， 同理再求乙赢得比赛的概率，根据概率计算甲分得的奖金即可.
7．某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：cm）与时间（单位：s）之间的关系为，则当位移时，弹簧振子的瞬时速度大小为（　　）.
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】导数的四则运算；瞬时变化率
【解析】【解答】解：由题可得瞬时速度，
当位移时，可得，解得，即，
则，故当位移时，弹簧振子的瞬时速度大小为.
故答案为：A.
【分析】求导，利用导数计算瞬时度即可.
8．已知实数和（其中）满足方程：，则下列不等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：由且，可得，
而，故，所以，故，
设，则，即为上的减函数，
而，即，则，故D成立；
由，可得，即，
故，
所以，所以，即，故A错误；
B、取，由D的分析可得，
若，则即，
设，，
而均为上的减函数，故为上的减函数，
故，
所以在上为减函数，
所以，故，
所以不成立，故B错误；
C、取，则，即，
仍取D分析中的函数，考虑方程的解，
设，因为为上的减函数，
所以为上的减函数，而，
故，故此时不成立，故C错误.
故答案为：D.
【分析】原式变形可得，由，可得且，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，由单调性可得，即可判断AD；取，由D的分析可得，利用导数可得时不成立即可判断B；利用零点存在定理可判断当时不成立即可判断C.
9．近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地域是否具有相关性，某品牌车商随机调查了甲、乙两地各200名消费者，得出统计图如下，根据此统计图，下列结论正确的是（　　）
附：，.
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
A．在所调查的甲地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20人
B．在所调查的乙地购车者中，若用分层随机抽样抽取20人，则其中新能源车主有12人
C．根据小概率值的独立性检验，消费者的购车类型与地域有关
D．从所调查消费者中随机选一人，在已知其为新能源车主的条件下，其来自甲地的概率为0.4
【答案】B,C,D
【知识点】分层抽样方法；独立性检验的应用；条件概率
【解析】【解答】解：A、甲地购买燃油车人数为，购买新能源车人数为，
则购买燃油车的人数比新能源车的多人，故A错误；
B、乙地购买新能源车比例为，故用分层随机抽样抽取20人时，新能源车主有人，故B正确；
C、列出列联表：
甲地 乙地 总计
燃油车 120 80 200
新能源车 80 120 200
总计 200 200 400
则.
小概率值时，，
因为，所以根据小概率值的独立性检验，消费者的购车类型与地域有关，故C正确；
D、所调查的新能源车主共有人，其中甲地80人，在已知其为新能源车主的条件下，其来自甲地的概率为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据甲、乙两地各200名消费者的统计图所给比例，结合分层抽样计算相应人数即可判断AB；由题意，列出列联表，根据卡方公式计算的值，与临界值比较即可判断C；先计算所调差的新能源车主得人数，根据条件概率公式求解即可判断D.
10．关于函数，以下结论正确的有（　　）
A．的图象是轴对称图形
B．的最大值为1
C．是以为一个周期的周期函数
D．在上有4个零点
【答案】A,C,D
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为R，
且，
即为偶函数，的图象是轴对称图形，故A正确；
B、
，
令，则，
当时，取最大值，即的最大值为，故B错误；
C、，
即是以为一个周期的周期函数，故C正确；
D、令，即，故或，
当时，在上有满足题意；
当时，在上有满足题意；
故在上有共4个零点，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】求函数的定义域，利用奇偶性的定义判断函数为偶函数，即可判断A；利用三角恒等变换公式将化简为，令，利用换元法，结合二次函数的性质求解即可判断B；判断周期，利用周期函数的定义，验证是否成立来即可判断C；令，求函数的零点，结合三角函数的零点性质求解，再统计上的零点个数即可判断D.
11．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，、分别为棱、上的动点，设，，则（　　）
A．当时，存在，使得平面
B．当时，存在，使得
C．当，且与相交时，
D．三棱锥的外接球在底面上的截痕长为
【答案】A,C
【知识点】球内接多面体；空间向量的数量积运算；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【解答】解：以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
易知，
A、当时，，在上，则，
则，，
设平面的一个法向量，则，
取，则，即，
，若平面，则，
即，故存在，故A正确；
B、当时，，，，
若，则，
即，
不满足，故B 错误；
C、当时，，，
若与相交，则存在唯一使得，
即，解得，故 C 正确；
D、 因为底面是直角三角形，外接圆半径 ，
平面，设外接球半径为，则，
三棱锥的外接球在底面上的截痕为底面的外接圆，截痕长为 ，故D错误.
故答案为：AC
【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，求出平面的一个法向量，利用求解即可判断A；当时，若，则，根据向量数量积的坐标表示列式求解即可判断B；当时，若与相交，则存在唯一使得，据此求解即可判断C；底面是直角三角形，外接圆半径 ，根据三棱锥的外接球在底面上的截痕为底面的外接圆即可判断D.
12．已知某趟往返梅州与广州的高铁，沿途共有梅州西、兴宁南、五华、河源东、惠州北、广州等6个站点，则此趟高铁沿途需要准备　 　种不同的车票.
【答案】30
【知识点】排列数的基本计算
【解析】【解答】解：每2个站点之间都需要准备2种车票，从6个站点中任取2个站点，共种.
故答案为：30.
【分析】由题意可知：每2个站点之间都需要准备2种车票，利用排列知识求解即可.
13．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为圆上的动点，则的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：如图所示：
由图可得，且，
则，
要使最小，只需反向共线，此时，故的最小值为.
故答案为：.
【分析】作出图形，由图可得，，利用向量的数量积运算，结合图形确定的最小值即可.
14．数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列.初始数列经过次扩充后的新数列记为，项数记为，所有项的和记为.现若扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，如：数列经过一次扩充后得到数列，，.已知初始数列，则　 　；　 　.
【答案】；
【知识点】等比数列概念与表示；数列的应用
【解析】【解答】解：因为数列经一次扩充后是在原来数列的相邻两项中增加一项，
所以经第次扩充后增加的项数为，所以，
所以，因为，所以可得数列是以4为首项，公比为2的等比数列，
所以，即；
设第n次扩充后数列的各项为，
则，
因为每一次扩充是在原数列的相邻两项中增加这两项的和，
所以
，
又，所以是首项为3，公比为3的等比数列，故，
综上，，.
故答案为：；.
【分析】由题意，经第次扩充后增加的项数为，可得的关系，推出数列是首项为4，公比为2的等比数列，利用等比数列的定义求得；再根据的关系，推出是等比数列，利用等比数列的定义即可求.
15．如图，是抛物线的焦点，是抛物线在第一象限上的一点，，.
（1）求抛物线的方程；
（2）求抛物线在点处的切线方程.
【答案】（1）解：抛物线，的准线，
过作，垂足为，过作，垂足为，如图所示：
设，，，
由抛物线定义知，，
在中，，，所以，即，
则，解得，
因此抛物线的方程为；
（2）解：由（1）得，
代入抛物线的方程得，，所以，
可设抛物线在点处的切线方程为，
联立方程，显然切线不平行轴，故其斜率，
将代入，消去整理得，
因为相切，所以，即，解得，
则抛物线在点处的切线方程为，即.
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）易知抛物线的准线方程，过作，过作，设，由题意，利用抛物线的定义求出参数，即可得抛物线的方程；
（2）由（1）得，代入抛物线求得点，设抛物线在点处的切线方程为，联立切线与抛物线，根据直线与抛物线相切，求出参数，即可得切线方程.
（1）以题意知，抛物线，的准线，
如图，过作，垂足为，过作，垂足为，
设，，，
由抛物线定义知，，
在中，，，
所以，即有，
于是有，解得：，
因此抛物线的方程为.
（2）由（1）得，
代入抛物线的方程得，，所以，
可设抛物线在点处的切线方程为，
联立方程，显然切线不平行轴，故其斜率，
将代入，消去，整理得：，
因为相切，有，
即有：，因此，
所以抛物线在点处的切线方程为，即.
16．如图，在斜三棱柱中，侧面底面，是等腰直角三角形，，是边长为2的等边三角形.
（1）求点到平面的距离；
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）解：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立坐标系，如图所示：
易知，，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
所以，令，得，，
得到平面的一个法向量，
又因为，所以点到平面的距离等于；
（2）解：由（1）可知为平面的一个法向量，
又由（1）知平面的法向量为，
所以，
因此二面角的正弦值为，即为.
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求点到平面的距离即可；
（2）由（1）可知为平面的一个法向量，利用向量法求二面角的正弦值.
（1）取中点，连接，.
由题意，易得，，，
法一：因为侧面底面，侧面底面，
所以平面.所以是三棱锥的高.
又因为在中，，
而，，
所以为等腰三角形，且边上的高等于，
所以，
记点到平面的距离为，
由，得，
即，于是得.
法二：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立坐标系，
易知，，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
所以，令，得，，
得到平面的一个法向量，
又因为，
所以点到平面的距离等于.
（2）法一：设点在平面上的投影为，的中点为，连接和，
因为是边长为2的等边三角形，
所以，且，
而平面，平面，
所以，平面，，
所以平面，平面，
所以，
因此为二面角的平面角，
在中，.
法二：由（1）可知为平面的一个法向量，
又由（1）知平面的法向量为，
所以，
因此二面角的正弦值为，即为.
17．在中，角所对的边分别为，已知.
（1）求角的大小；
（2）若为边上一点，满足，且，求的面积最大值.
【答案】（1）解：，由正弦定理得，
整理可得，
又因为，所以，
所以，
所以，
因为，所以，可得，所以，
又因为，所以；
（2）解：因为为边上，满足，
所以，所以，所以，
所以，
即有，
即，
所以，所以，即，
当且仅当时，即时，取等号，
则，
即的面积最大值为.
【知识点】平面向量的数量积运算；两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合三角形内角和定义以及两角和的正弦公式化简求的值即可；
（2）由题意可得，，利用向量的数量积，结合基本不等式求得，再根据三角形的面积公式求解即可.
（1）解：因为，
由正弦定理得，
所以，
又因为，可得，
所以，
所以，
因为，所以，可得，所以，
又因为，故.
（2）解：因为为边上，满足，
所以，所以，所以，
所以，
即有，
即，
所以，所以，即，
当且仅当时，即时，取等号，
所以，
即的面积最大值为.
18．（1）求函数在区间上的值域；
（2）设函数.
①求证：当时，有唯一零点；
②，分别是的两个不相等的极值点，求证：.
【答案】（1）解：函数，求导可得，
令，得，
当，，在上单调递减；
当，，在上单调递增，
则，
因为，所以，
故在上的值域为；
（2）证明：①当时，，，，
令，，则.
由，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，即，
因此在上单调递增，
而，
当时，；当时，；
所以在上有唯一零点；
②对函数求导，得，、
结合①，可得在上单调递减，在上单调递增，则
因为，；，，
所以要使得有两个不等的极值点，即有两个不等的零点，
则，即，
不妨设，则，，
即，，
要证，即证，
下证：，
令，，
则，
令，，则，
所以在上单调递增，则，即，
所以在上单调递减，
则，即.
因为，所以，
即，
因为在上单调递增，且，，
所以，即证得.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）求导，利用导数判断函数在区间上的单调性，求最值，即可得函数在区间上的值域；
（2）①、当时，，求定义域，以及导函数，利用导数判断的单调性，结合单调性证明零点唯一即可；
②、求导，结合①可得的单调性，要使得有两个不等的极值点，即有两个不等的零点，要证，先对等式变形证明，构造函数，，求导，利用导数判断函数的单调性，利用极值点偏移证明即可.
19．（1）一个袋子中有30个大小相同的球，其中有10个红球、20个白球，从中随机放回地逐次摸一个球作为样本，5次摸球后停止，用表示停止时摸出红球的次数.
①求的分布列和数学期望；
②若用样本中红球的比例估计总体中红球的比例，求误差的绝对值不超过0.2的概率.
（2）某节目上，有三扇关闭的门，其中一扇门后面为汽车，另两扇门后面为山羊，节目参加者从这三扇门中选择一扇，然后所选之门后面的物品则归其所有.当参加者选定一扇门后，节目主持人开启了剩余两扇门中后面为山羊的一扇门，并询问节目参加者是否更换选择.问：参加者这时候更换选择会更好吗？请用概率解释.（备注：汽车的价值要远大于羊.）
【答案】解：（1）①每次有放回的抽取，每次抽到红球的概率为，所以，
即，，，，，，，
得到的分布列为
0 1 2 3 4 5
期望为；
②依题意，样本比例为，现要求，得，即，，
所以用样本中红球的比例估计总体的误差绝对值不超过0.2的概率为；
（2）记表示初始选择时选得汽车的事件，表示更换选择后选得汽车的事件，
则，，，，
则，
因此不换门选中汽车的概率是，换门选中汽车的概率是，
故而得结论：当主持人开启剩余的山羊门后，节目参加者换门更好，因为此时其获得汽车的概率是不换门的两倍.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；全概率公式
【解析】【分析】（1）①、有放回的抽取，每次抽到红球的概率为，服从二项分布，利用二项分布求概率，列分布列，并求期望即可；
②、样本比例为，，得，，再根据求解即可；
（2）先记事件，利用全概率公式求解即可．
1 / 1广东梅州市2026届高三下学期3月总复习质检数学试题
1．在复平面内，复数对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．已知为等差数列，，，则（　　）
A．36 B．24 C．18 D．12
3．为督导学生体育锻炼，某中学举行一分钟跳绳测试，其成绩（单位：次）近似服从正态分布，且，则该校2000名学生中约有（　　）人一分钟跳绳超过200次.
A．100 B．150 C．200 D．250
4．已知全集，，则下列结论不一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
5．已知椭圆与双曲线有公共的焦点，椭圆与双曲线的一个交点为，则的面积为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．甲乙两人下棋比赛，规则是谁先赢2局，谁便赢得奖金5400元.根据以往的交手记录，每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局比赛相互独立.然而因突发事件，比赛未能举行，为公平服众，奖金按照比赛正常进行时各自赢得比赛的概率之比进行分配，则甲分得奖金（　　）元.
A．3600 B．3800 C．4000 D．4200
7．某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：cm）与时间（单位：s）之间的关系为，则当位移时，弹簧振子的瞬时速度大小为（　　）.
A． B． C． D．
8．已知实数和（其中）满足方程：，则下列不等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
9．近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地域是否具有相关性，某品牌车商随机调查了甲、乙两地各200名消费者，得出统计图如下，根据此统计图，下列结论正确的是（　　）
附：，.
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
A．在所调查的甲地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20人
B．在所调查的乙地购车者中，若用分层随机抽样抽取20人，则其中新能源车主有12人
C．根据小概率值的独立性检验，消费者的购车类型与地域有关
D．从所调查消费者中随机选一人，在已知其为新能源车主的条件下，其来自甲地的概率为0.4
10．关于函数，以下结论正确的有（　　）
A．的图象是轴对称图形
B．的最大值为1
C．是以为一个周期的周期函数
D．在上有4个零点
11．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，、分别为棱、上的动点，设，，则（　　）
A．当时，存在，使得平面
B．当时，存在，使得
C．当，且与相交时，
D．三棱锥的外接球在底面上的截痕长为
12．已知某趟往返梅州与广州的高铁，沿途共有梅州西、兴宁南、五华、河源东、惠州北、广州等6个站点，则此趟高铁沿途需要准备　 　种不同的车票.
13．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为圆上的动点，则的最小值为　 　.
14．数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列.初始数列经过次扩充后的新数列记为，项数记为，所有项的和记为.现若扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，如：数列经过一次扩充后得到数列，，.已知初始数列，则　 　；　 　.
15．如图，是抛物线的焦点，是抛物线在第一象限上的一点，，.
（1）求抛物线的方程；
（2）求抛物线在点处的切线方程.
16．如图，在斜三棱柱中，侧面底面，是等腰直角三角形，，是边长为2的等边三角形.
（1）求点到平面的距离；
（2）求二面角的正弦值.
17．在中，角所对的边分别为，已知.
（1）求角的大小；
（2）若为边上一点，满足，且，求的面积最大值.
18．（1）求函数在区间上的值域；
（2）设函数.
①求证：当时，有唯一零点；
②，分别是的两个不相等的极值点，求证：.
19．（1）一个袋子中有30个大小相同的球，其中有10个红球、20个白球，从中随机放回地逐次摸一个球作为样本，5次摸球后停止，用表示停止时摸出红球的次数.
①求的分布列和数学期望；
②若用样本中红球的比例估计总体中红球的比例，求误差的绝对值不超过0.2的概率.
（2）某节目上，有三扇关闭的门，其中一扇门后面为汽车，另两扇门后面为山羊，节目参加者从这三扇门中选择一扇，然后所选之门后面的物品则归其所有.当参加者选定一扇门后，节目主持人开启了剩余两扇门中后面为山羊的一扇门，并询问节目参加者是否更换选择.问：参加者这时候更换选择会更好吗？请用概率解释.（备注：汽车的价值要远大于羊.）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由复数的乘法可得，
而复数对应的点在第三象限，故，解得，
则实数的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】先根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数在复平面内的表示求解即可.
2．【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，易知，
则.
故答案为：B.
【分析】设等差数列的公差为，由题意，先计算等差数列的公差，再利用等差数列的通项求解即可．
3．【答案】A
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为 ，则有，
所以，
则该校2000名学生中，一分钟跳绳超过200次人数约为.
故答案为：A.
【分析】 成绩近似服从正态分布 ，利用正态分布曲线特点求解即可.
4．【答案】D
【知识点】集合间关系的判断；交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为，所以，，所以，故A正确；
对于任意，则，又，所以，所以，故B正确；
若，则，又，则，则，
与矛盾，所以，同理，，故，故C正确；
若时，可得不成立，故D错误.
故答案为：D.
【分析】根据集合混合运算，元素和集合的关系，以及集合的包含关系求解判断即可.
5．【答案】B
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：易知椭圆和双曲线的焦点都在轴上，
由椭圆，可得，则，
双曲线，可得，则，
因为椭圆和双曲线有公共的焦点，可得，解得，
所以椭圆且双曲线，则，可得，
不妨设，椭圆与双曲线的一个交点为位于第一象限，
由椭圆的定义可得，
又由双曲线的定义，可得，
联立方程组，解得，
则满足，可得，所以为直角三角形，
故的面积为.
故答案为：B.
【分析】易知椭圆和双曲线的焦点都在轴上，分别求，根据椭圆与双曲线有公共的焦点，求得，得到，不妨设椭圆与双曲线的一个交点为位于第一象限，再由椭圆和双曲线的定义，联立方程组求得，结合勾股定理，得到为直角三角形，最后利用三角形的面积公式求解即可.
6．【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：甲要赢得比赛，需要先赢两局，可能的比赛局数为2局或3局，
2局结束，即甲连赢2局，概率为；
3局结束，即前2局甲、乙各赢1局，第3局甲赢，概率为，
所以甲赢得比赛的总概率为，
同理可求得乙赢得比赛的总概率为，
则甲分得奖金为元.
故答案为：C.
【分析】由题意可知：甲要赢得比赛，需要先赢两局，可能的比赛局数为2局或3局，分别计算2局结束和3局结束的概率，利用互斥事件的概率加法公式求得甲赢得比赛的概， 同理再求乙赢得比赛的概率，根据概率计算甲分得的奖金即可.
7．【答案】A
【知识点】导数的四则运算；瞬时变化率
【解析】【解答】解：由题可得瞬时速度，
当位移时，可得，解得，即，
则，故当位移时，弹簧振子的瞬时速度大小为.
故答案为：A.
【分析】求导，利用导数计算瞬时度即可.
8．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：由且，可得，
而，故，所以，故，
设，则，即为上的减函数，
而，即，则，故D成立；
由，可得，即，
故，
所以，所以，即，故A错误；
B、取，由D的分析可得，
若，则即，
设，，
而均为上的减函数，故为上的减函数，
故，
所以在上为减函数，
所以，故，
所以不成立，故B错误；
C、取，则，即，
仍取D分析中的函数，考虑方程的解，
设，因为为上的减函数，
所以为上的减函数，而，
故，故此时不成立，故C错误.
故答案为：D.
【分析】原式变形可得，由，可得且，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，由单调性可得，即可判断AD；取，由D的分析可得，利用导数可得时不成立即可判断B；利用零点存在定理可判断当时不成立即可判断C.
9．【答案】B,C,D
【知识点】分层抽样方法；独立性检验的应用；条件概率
【解析】【解答】解：A、甲地购买燃油车人数为，购买新能源车人数为，
则购买燃油车的人数比新能源车的多人，故A错误；
B、乙地购买新能源车比例为，故用分层随机抽样抽取20人时，新能源车主有人，故B正确；
C、列出列联表：
甲地 乙地 总计
燃油车 120 80 200
新能源车 80 120 200
总计 200 200 400
则.
小概率值时，，
因为，所以根据小概率值的独立性检验，消费者的购车类型与地域有关，故C正确；
D、所调查的新能源车主共有人，其中甲地80人，在已知其为新能源车主的条件下，其来自甲地的概率为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据甲、乙两地各200名消费者的统计图所给比例，结合分层抽样计算相应人数即可判断AB；由题意，列出列联表，根据卡方公式计算的值，与临界值比较即可判断C；先计算所调差的新能源车主得人数，根据条件概率公式求解即可判断D.
10．【答案】A,C,D
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为R，
且，
即为偶函数，的图象是轴对称图形，故A正确；
B、
，
令，则，
当时，取最大值，即的最大值为，故B错误；
C、，
即是以为一个周期的周期函数，故C正确；
D、令，即，故或，
当时，在上有满足题意；
当时，在上有满足题意；
故在上有共4个零点，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】求函数的定义域，利用奇偶性的定义判断函数为偶函数，即可判断A；利用三角恒等变换公式将化简为，令，利用换元法，结合二次函数的性质求解即可判断B；判断周期，利用周期函数的定义，验证是否成立来即可判断C；令，求函数的零点，结合三角函数的零点性质求解，再统计上的零点个数即可判断D.
11．【答案】A,C
【知识点】球内接多面体；空间向量的数量积运算；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【解答】解：以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
易知，
A、当时，，在上，则，
则，，
设平面的一个法向量，则，
取，则，即，
，若平面，则，
即，故存在，故A正确；
B、当时，，，，
若，则，
即，
不满足，故B 错误；
C、当时，，，
若与相交，则存在唯一使得，
即，解得，故 C 正确；
D、 因为底面是直角三角形，外接圆半径 ，
平面，设外接球半径为，则，
三棱锥的外接球在底面上的截痕为底面的外接圆，截痕长为 ，故D错误.
故答案为：AC
【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，求出平面的一个法向量，利用求解即可判断A；当时，若，则，根据向量数量积的坐标表示列式求解即可判断B；当时，若与相交，则存在唯一使得，据此求解即可判断C；底面是直角三角形，外接圆半径 ，根据三棱锥的外接球在底面上的截痕为底面的外接圆即可判断D.
12．【答案】30
【知识点】排列数的基本计算
【解析】【解答】解：每2个站点之间都需要准备2种车票，从6个站点中任取2个站点，共种.
故答案为：30.
【分析】由题意可知：每2个站点之间都需要准备2种车票，利用排列知识求解即可.
13．【答案】
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：如图所示：
由图可得，且，
则，
要使最小，只需反向共线，此时，故的最小值为.
故答案为：.
【分析】作出图形，由图可得，，利用向量的数量积运算，结合图形确定的最小值即可.
14．【答案】；
【知识点】等比数列概念与表示；数列的应用
【解析】【解答】解：因为数列经一次扩充后是在原来数列的相邻两项中增加一项，
所以经第次扩充后增加的项数为，所以，
所以，因为，所以可得数列是以4为首项，公比为2的等比数列，
所以，即；
设第n次扩充后数列的各项为，
则，
因为每一次扩充是在原数列的相邻两项中增加这两项的和，
所以
，
又，所以是首项为3，公比为3的等比数列，故，
综上，，.
故答案为：；.
【分析】由题意，经第次扩充后增加的项数为，可得的关系，推出数列是首项为4，公比为2的等比数列，利用等比数列的定义求得；再根据的关系，推出是等比数列，利用等比数列的定义即可求.
15．【答案】（1）解：抛物线，的准线，
过作，垂足为，过作，垂足为，如图所示：
设，，，
由抛物线定义知，，
在中，，，所以，即，
则，解得，
因此抛物线的方程为；
（2）解：由（1）得，
代入抛物线的方程得，，所以，
可设抛物线在点处的切线方程为，
联立方程，显然切线不平行轴，故其斜率，
将代入，消去整理得，
因为相切，所以，即，解得，
则抛物线在点处的切线方程为，即.
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）易知抛物线的准线方程，过作，过作，设，由题意，利用抛物线的定义求出参数，即可得抛物线的方程；
（2）由（1）得，代入抛物线求得点，设抛物线在点处的切线方程为，联立切线与抛物线，根据直线与抛物线相切，求出参数，即可得切线方程.
（1）以题意知，抛物线，的准线，
如图，过作，垂足为，过作，垂足为，
设，，，
由抛物线定义知，，
在中，，，
所以，即有，
于是有，解得：，
因此抛物线的方程为.
（2）由（1）得，
代入抛物线的方程得，，所以，
可设抛物线在点处的切线方程为，
联立方程，显然切线不平行轴，故其斜率，
将代入，消去，整理得：，
因为相切，有，
即有：，因此，
所以抛物线在点处的切线方程为，即.
16．【答案】（1）解：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立坐标系，如图所示：
易知，，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
所以，令，得，，
得到平面的一个法向量，
又因为，所以点到平面的距离等于；
（2）解：由（1）可知为平面的一个法向量，
又由（1）知平面的法向量为，
所以，
因此二面角的正弦值为，即为.
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求点到平面的距离即可；
（2）由（1）可知为平面的一个法向量，利用向量法求二面角的正弦值.
（1）取中点，连接，.
由题意，易得，，，
法一：因为侧面底面，侧面底面，
所以平面.所以是三棱锥的高.
又因为在中，，
而，，
所以为等腰三角形，且边上的高等于，
所以，
记点到平面的距离为，
由，得，
即，于是得.
法二：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立坐标系，
易知，，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
所以，令，得，，
得到平面的一个法向量，
又因为，
所以点到平面的距离等于.
（2）法一：设点在平面上的投影为，的中点为，连接和，
因为是边长为2的等边三角形，
所以，且，
而平面，平面，
所以，平面，，
所以平面，平面，
所以，
因此为二面角的平面角，
在中，.
法二：由（1）可知为平面的一个法向量，
又由（1）知平面的法向量为，
所以，
因此二面角的正弦值为，即为.
17．【答案】（1）解：，由正弦定理得，
整理可得，
又因为，所以，
所以，
所以，
因为，所以，可得，所以，
又因为，所以；
（2）解：因为为边上，满足，
所以，所以，所以，
所以，
即有，
即，
所以，所以，即，
当且仅当时，即时，取等号，
则，
即的面积最大值为.
【知识点】平面向量的数量积运算；两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合三角形内角和定义以及两角和的正弦公式化简求的值即可；
（2）由题意可得，，利用向量的数量积，结合基本不等式求得，再根据三角形的面积公式求解即可.
（1）解：因为，
由正弦定理得，
所以，
又因为，可得，
所以，
所以，
因为，所以，可得，所以，
又因为，故.
（2）解：因为为边上，满足，
所以，所以，所以，
所以，
即有，
即，
所以，所以，即，
当且仅当时，即时，取等号，
所以，
即的面积最大值为.
18．【答案】（1）解：函数，求导可得，
令，得，
当，，在上单调递减；
当，，在上单调递增，
则，
因为，所以，
故在上的值域为；
（2）证明：①当时，，，，
令，，则.
由，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，即，
因此在上单调递增，
而，
当时，；当时，；
所以在上有唯一零点；
②对函数求导，得，、
结合①，可得在上单调递减，在上单调递增，则
因为，；，，
所以要使得有两个不等的极值点，即有两个不等的零点，
则，即，
不妨设，则，，
即，，
要证，即证，
下证：，
令，，
则，
令，，则，
所以在上单调递增，则，即，
所以在上单调递减，
则，即.
因为，所以，
即，
因为在上单调递增，且，，
所以，即证得.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）求导，利用导数判断函数在区间上的单调性，求最值，即可得函数在区间上的值域；
（2）①、当时，，求定义域，以及导函数，利用导数判断的单调性，结合单调性证明零点唯一即可；
②、求导，结合①可得的单调性，要使得有两个不等的极值点，即有两个不等的零点，要证，先对等式变形证明，构造函数，，求导，利用导数判断函数的单调性，利用极值点偏移证明即可.
19．【答案】解：（1）①每次有放回的抽取，每次抽到红球的概率为，所以，
即，，，，，，，
得到的分布列为
0 1 2 3 4 5
期望为；
②依题意，样本比例为，现要求，得，即，，
所以用样本中红球的比例估计总体的误差绝对值不超过0.2的概率为；
（2）记表示初始选择时选得汽车的事件，表示更换选择后选得汽车的事件，
则，，，，
则，
因此不换门选中汽车的概率是，换门选中汽车的概率是，
故而得结论：当主持人开启剩余的山羊门后，节目参加者换门更好，因为此时其获得汽车的概率是不换门的两倍.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；全概率公式
【解析】【分析】（1）①、有放回的抽取，每次抽到红球的概率为，服从二项分布，利用二项分布求概率，列分布列，并求期望即可；
②、样本比例为，，得，，再根据求解即可；
（2）先记事件，利用全概率公式求解即可．
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