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四川成都市2026届高三下学期第二次模拟测试数学试题
1．设集合，若，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】集合间关系的判断；集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】解：集合，若，则.故答案为：D.
【分析】根据集合的包含关系求参数的取值范围即可.
2．复数的共轭复数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：，则的共轭复数为.
故答案为：B.
【分析】根据复数代数形式的乘除运算化简原式，再根据共轭复数定义求解即可.
3．已知函数，则（　　）
A．在上单调递增 B．在上单调递增
C．在上单调递减 D．在上单调递减
【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：若，，由正弦函数单调性可知函数在上有增有减，不单调，故AC错误；
若，，由正弦函数单调性可知函数在上单调递增，故B正确，D错误.
故答案为：B.
【分析】根据正弦型函数的性质逐项分析判断即可.
4．已知平面向量．若，则（　　）
A． B． C． D．2
【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，所以 ，
展开整理得，
又因为，
所以，，
，代入等式得：，解得.
故答案为：A.
【分析】根据向量模、向量数量积的坐标表示分别求，再根据向量垂直数量积为零求解即可.
5．已知函数的图象如图所示，则其解析式可能为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、的图像是一条直线，故A错误；
B、定义域为，时，，则，故B错误；
C、对数函数在单调递增，满足题意，故C正确；
D 、的定义域为，又，
由，，所以，故D错误.
故答案为：C.
【分析】函数的图象是一条直线即可判断A；定义域为，当时，，则即可判断B；根据对数函数图象即可判断C；易知函数的定义域，根据指数型函数的性质求解即可判断D.
6．已知5张奖券中只有2张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张，设甲、乙、丙中奖的概率分别为，则（　　）
A．最大 B．最大 C．最大 D．
【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；全概率公式
【解析】【解答】解：计算甲中奖概率：甲第一个抽取，5张奖券共2张有奖，因此；
计算乙中奖概率，乙中奖分两种情况：甲中奖后乙中奖：概率为；
甲未中奖后乙中奖：概率为；
；
计算丙中奖概率，分情况计算丙中奖情况：
甲中、乙中、丙中：；
甲中、乙不中、丙中：；
甲不中、乙中、丙中：；
甲不中、乙不中、丙中：；
；
因此.
故答案为：D.
【分析】利用古典概型概率公式以及全概率公式分别求解，比较判断即可.
7．已知，设甲：，乙：，则（　　）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；两角和与差的余弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：不妨取，满足，但，
不满足，所以甲不能推出乙，即充分性不成立；
若，不妨假设，
因为，且，则，因为在上是单调递减函数，
所以，则，
因为，则，此时，则，
所以与矛盾，则假设不成立，所以乙能推出甲，
综上，甲是乙的必要条件但不是充分条件.
故答案为：B.
【分析】不妨取，满足，但不满足，即充分性不成立；
若，不妨假设，根据余弦函数的单调性推出，求出的范围，推出矛盾可得乙能推出甲，即必要性成立，综上即可判断甲是乙的必要条件但不是充分条件 .
8．已知抛物线的准线与对称轴的交点为，直线与抛物线交于A，B两点，则的外接圆在x轴上截得的弦长为（　　）
A． B．12 C． D．
【答案】C
【知识点】圆的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：易知抛物线的准线为，由题意得，解得，
联立，消元整理可得，
故或8，当时，，当时，，
不妨设，
设的外接圆方程为，
将和代入得，解得，
故的外接圆方程为，
令得，解得或，
所以的外接圆在x轴上截得的弦长为.
故答案为：C.
【分析】易知抛物线的准线为，由题意求得的值，确定抛物线方程，联立直线与抛物线方程，求得交点坐标，再求出三角形外接圆方程，求弦长即可.
9．记为等差数列的前n项和．已知，则（　　）
A． B．
C．为等差数列 D．为等比数列
【答案】A,C,D
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等比数列概念与表示；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，由题意可得，解得，
故.
A、由通项易得，故A正确；
B、因，而，即，故B错误；
C、因，则，由，可得数列为等差数列，故C正确；
D、因，则，由，可得为等比数列，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】设等差数列的公差为，由题意，列关于首项和公差的方程组，求得首项与公差，确定数列的通项，根据通项求，即可判断AB；根据等差数列的求和公式得，结合等差数列的定义求解即可判断C；由，可得，利用等比数列的定义即可判断D.
10．如图，平行六面体的底面ABCD是边长为1的菱形，且，平面，则（　　）
A．平面平面
B．
C．
D．平行六面体的体积为
【答案】A,B,D
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；空间向量的数量积运算；柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、因为，，所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
同理可知，平面，
又，平面，所以平面平面，故A正确；
B、连接，因为底面ABCD是边长为1的菱形，所以⊥，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，故B正确；
C、因为平面，平面，所以，
，，
则，
即，
又，，设的长度为，
故，解得，负值舍去，
又，
故
，
所以，故C错误；
D、，
又，
故，故，
过点作⊥于点，则，
因为平面，平面，所以，
因为平面，为相交直线，
所以⊥平面，故为平行六面体的高，
菱形的面积为，
则平行六面体的体积为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】 根据平行六面体 的特征，结合线面平行的判定定理证明平面，得到面面平行即可判断A；连接，由线面垂直的判定定理和性质定理证明即可判断B；根据线面垂直得性质得到线线垂直，再根据空间向量数量积结合向量的模长公式得到的长度，进而求出即可判断C；过点作⊥于点，求出平行六面体的高，再根据棱柱的体积公式求平行六面体的体积，即可判断D.
11．已知是定义在上的函数，若，则（　　）
A．当函数均为奇函数时，为奇函数
B．当函数均为增函数时，为增函数
C．当函数均有最小值时，有最小值
D．当函数均有最大值时，有最大值
【答案】B,C
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A、设，，则，即，此时为偶函数，故A错误；
B、若，都有，则，为增函数；
若，都有，则，为增函数；
若，假设时，时，
则在上的最大值，在上的最小值，
且必有，此时为增函数，故B正确；
C、由，设，
若最小值为，最小值为，记，
，有，，
则，且使得，即有最小值，故C正确；
D、取，取，
则，此时为上的增函数，无最大值，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】设，，利用函数的奇偶性求解即可判断A；根据函数单调性定义即可判断B；由，设，根据函数最小值定义求解可判断C；分别取，，判断函数的单调性，求最值即可判断D.
12．在的展开式中，项的系数为　 　．
【答案】10
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：展开式中项，
可以看作，，，四个括号中三个括号取，一个括号取常数，
则项的系数为.
故答案为：10.
【分析】要想得项，即，，，四个括号中三个括号取，一个括号取常数，据此求解即可.
13．已知双曲线的左、右焦点分别为，P是双曲线上一点，且为等腰直角三角形，则C的离心率为　 　．
【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：当时，为等腰直角三角形，，这与双曲线定义矛盾；
当时，为等腰直角三角形，，
根据勾股定理，得，
再根据双曲线定义得，即，化简得，整理可得，即，
当时，为等腰直角三角形，，
根据勾股定理，得，
再根据双曲线定义得，即，
化简得.
综上，C的离心率为.
故答案为：.
【分析】由题意，分，和讨论，利用勾股定理以及双曲线的定义求解即可.
14．在直角三角形ABC中，，D为斜边AB上一点，若与的内切圆面积相等，则　 　．
【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；解三角形；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：
由题设，两圆半径相等，设内切圆半径为，
设圆为的内切圆，该圆与的切点为，
圆为的内切圆，该圆与的切点为，则为的平分线，
因为，故，
故，故（负值舍去），
同理，
设，则，，
故且，
所以，即，
故，故（负值舍去），
故，而为锐角，
故，而，因为锐角，
故，，
所以
，
在中，由正弦定理可得，
故，故，故.
故答案为：.
【分析】由题意，设两个内切圆的半径为，圆为的内切圆，该圆与的切点为，易知，利用正切的二倍角公式求得，同理，设，则，，根据且，求得，再利用两角和的正弦公式，结合正弦定理求解即可.
15．国民体质是国家和社会发展的重要基础．为贯彻落实《“健康中国2030”规划纲要》《体育强国建设纲要》，2025年国家体育总局开展了第六次全国国民体质监测工作，旨在提高国民体质和健康水平，促进国家经济建设和社会发展．《国民体质测定标准（2023年修订）》将体质情况综合评级为优秀、良好、合格和不合格四个等级．某地区为了解国民体质情况是否与爱好运动有关，从该地区体质达到“合格”及以上的人群中随机抽取了人进行问卷调查，得到如下列联表：
体质情况 组别 合格 良好及以上 合计
爱好运动
不爱好运动
合计
（1）求的值，并依据小概率值的独立性检验，分析体质情况是否与爱好运动有关；
（2）在体质情况综合评级为“合格”的对象中，按是否爱好运动进行分层，用比例分配的分层随机抽样方法，从样本中抽取6人作进一步调查，再从这6人中随机抽取2人线下访谈，记这2人中“爱好运动”的人数为X，求X的分布列及数学期望．
附：，其中．
【答案】（1）解：由表中数据可得，表格完善如下：
体质情况 组别 合格 良好及以上 合计
爱好运动
不爱好运动
合计
设：体质情况与爱好运动无关，
则，
根据依据小概率值的独立性检验，否定，故体质情况与爱好运动有关；
（2）解：易知名体质情况“合格”对象中有人爱好运动，人不爱好运动，
的所有可能取值为0，1，2，
，，，
即所求分布列为
0 1 2
则的期望.
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布
【解析】【分析】（1）由题意，完成列联表，再进行零假设，根据公式计算的值，与临界值比较判断即可；
（2）根据分层抽样，先求名体质情况“合格”对象中爱好运动和不爱好运动的人数，确定的所有可能取值，根据超几何分布计算概率，列分布列，再求即可.
（1）由表中数据可得，表格完善如下：
体质情况 组别 合格 良好及以上 合计
爱好运动
不爱好运动
合计
设：体质情况与爱好运动无关，
则，
根据依据小概率值的独立性检验，否定，故体质情况与爱好运动有关.
（2）易知名体质情况“合格”对象中有人爱好运动，人不爱好运动，
故的所有可能取值为0，1，2，
，，，
即所求分布列为
0 1 2
所以的期望.
16．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧面PAD为正三角形，侧面底面ABCD，M是PD的中点．
（1）求证：；
（2）求平面MAC与平面ABCD的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：因为底面为正方形，所以，
又侧面底面，平面，平面平面，所以平面，
又平面，故，
因为侧面为正三角形，是的中点，所以，
又因为，平面，，所以平面，
又因为平面，所以；
（2）解：不妨设，以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，
过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则由题设可得，，，
，.
因为底面，得平面的一个法向量；
设是平面的法向量，则，
即，可得平面的一个法向量，
则.
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）因为底面为正方形，所以，
又侧面底面，平面，平面平面，
所以平面.
又平面，故.
因为侧面为正三角形，是的中点，所以.
又，平面，，所以平面.
又平面，所以.
（2）不妨设，以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，
过点垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则由题设可得，，，
，.
因为底面，得平面的一个法向量；
设是平面的法向量，则，
即，可得平面的一个法向量，
则.
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
17．已知函数在处的切线方程为．
（1）求，；
（2）设是方程的两根，求证：．
（注：…是自然对数的底数）
【答案】（1）解：函数的定义域为，求导可得，
因为在处的切线方程为，所以，
即，解方程得；
（2）解：令，，
由题意可知方程的两根，即为函数的两个零点，不妨设，
求导，因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以函数在区间上单调递增，又，，
根据零点存在定理可知存在唯一的使得，
所以当，，函数在区间上单调递减；
当，，函数在区间上单调递增，
由，得，从而，
又因为，
，
所以，故.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，由题意可得，求解即可；
（2）令，由题意可知方程的两根，即为函数的两个零点，求导，利用导数结合零点存在定理求出单调性，易得的一个根为，再利用零点存在定理找到另一个根的范围证明结论即可.
（1）由题意可得，
因为在处的切线方程为，
所以，即，解方程得.
（2）令，，
由题意可知方程的两根，即为函数的两个零点，不妨设.
求导，因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以函数在区间上单调递增，又，，
根据零点存在定理可知存在唯一的使得.
所以当，，函数在区间上单调递减；
当，，函数在区间上单调递增.
由，得，从而，
又因为，，
所以，故.
18．设椭圆的右焦点为，上顶点为．已知（O为坐标原点）的面积为．
（1）求的离心率；
（2）设B为椭圆上一动点，已知的最大值为2．
（i）求的方程；
（ii）若在第一象限内，连接，过作的平行线交于另一点，记与的面积分别为，求的最大值．
【答案】（1）解：易知，由的面积为，可得，解得，
因为，所以；
故的离心率为；
（2）解：（i）由（1）可知的方程设为，
设，则，可得，又，
故，
因为，所以时，取得最大值为，即，解得，故的方程为；
（ii）设，则，所以；
当时，此时直线的斜率不存在，可得，，
故，
当时，此时直线的斜率为，可得直线的方程为，如图所示：
联立可得，解得，
因为，与共底边，
所以，
又因为，所以，可得，
令，因为，所以；
因此；
当时，取得最大值为4，此时，解得，
因为点在第一象限内，故，即，
综上可知，的最大值为4.
【知识点】平面内两点间的距离公式；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）易知，根据的面积求得，再根据椭圆中的关系求得的关系，最后根据离心率公式求解即可；
（2）（i）由（1）设椭圆方程为，，由点在椭圆上，利用两点间距离公式，结合二次函数的性质以及取得最大值为，求得，即可得椭圆的方程；
（ii）设，则，易知，分和讨论直线的斜率是否存在，当时，直线的斜率为，直线的方程为，联立直线与椭圆方程，解得，再由三角形面积关系可求得，利用椭圆范围以及二次函数最值求的最大值即可.
（1）易知，
所以的面积为，可得，
又因为，可知；
故的离心率为
（2）（i）由（1）可知的方程可设为；
设，则，可得，又，
故
因为，所以时，取得最大值为，
即，解得.
故的方程为.
（ii）设，则，所以；
当时，此时直线的斜率不存在，可得，，
故，
当时，此时直线的斜率为，可得直线的方程为，如下图：
联立可得，
解得，
因为，与共底边，
所以
又因为，所以，
可得，
令，因为，所以；
因此；
当时，取得最大值为4，
此时，解得，
因为点在第一象限内，故，即；
综上可知，的最大值为4.
19．在数列中，，设的前n项和为．记表示不超过x的最大整数．
（1）求；
（2）是否存在常数A，，使得？若存在，求A和的值；若不存在，请说明理由；
（3）求．
【答案】（1）解：因为，所以，故；
又，故，，所以；
同理，故，
因，则，故，
所以，故；
（2）解：假设存在常数A，使得，
则由（1）得，即，
因为，可得，解得（负值舍去），
故.又，则得，即，故，
此时，，
所以存在，满足题意；
（3）解：当时，，所以，
当时，因为，所以，故，
设函数，则，
所以在上单调递增，故，即，
所以，
则
，
因为，所以，则，
综上，当时，，故，
令，则当时，
，
又因为满足，所以，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；等差数列的前n项和；数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据数列的递推公式，利用赋值法求出，再根据取整函数的定义求解即可；
（2）假设存在常数A，使得，由（1）得结论，代入，求出，即可得数列的通项，验证即可；
（3）当时，求得，当时，推出，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，证明，再利用其将数列的通项放缩，根据等比数列求和公式推得，结合可得，最后利用等差数列求和公式求解即可.
（1）因为，所以，故；
又，故，，所以；
同理，故，
因，则，故，
所以，故.
（2）假设存在常数A，使得，
则由（1）得，即.
因为，可得，解得（负值舍去）.
故.又，则得，即，故.
此时，.
所以存在，满足题意.
（3）当时，，所以.
当时，因为，所以，故.
设函数，则.
所以在上单调递增，故，即.
所以.
则
，因，
所以.故.
综上，当时，，故.
令，则当时，
.
又因为满足，所以，.
1 / 1四川成都市2026届高三下学期第二次模拟测试数学试题
1．设集合，若，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．复数的共轭复数是（　　）
A． B． C． D．
3．已知函数，则（　　）
A．在上单调递增 B．在上单调递增
C．在上单调递减 D．在上单调递减
4．已知平面向量．若，则（　　）
A． B． C． D．2
5．已知函数的图象如图所示，则其解析式可能为（　　）
A． B． C． D．
6．已知5张奖券中只有2张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张，设甲、乙、丙中奖的概率分别为，则（　　）
A．最大 B．最大 C．最大 D．
7．已知，设甲：，乙：，则（　　）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8．已知抛物线的准线与对称轴的交点为，直线与抛物线交于A，B两点，则的外接圆在x轴上截得的弦长为（　　）
A． B．12 C． D．
9．记为等差数列的前n项和．已知，则（　　）
A． B．
C．为等差数列 D．为等比数列
10．如图，平行六面体的底面ABCD是边长为1的菱形，且，平面，则（　　）
A．平面平面
B．
C．
D．平行六面体的体积为
11．已知是定义在上的函数，若，则（　　）
A．当函数均为奇函数时，为奇函数
B．当函数均为增函数时，为增函数
C．当函数均有最小值时，有最小值
D．当函数均有最大值时，有最大值
12．在的展开式中，项的系数为　 　．
13．已知双曲线的左、右焦点分别为，P是双曲线上一点，且为等腰直角三角形，则C的离心率为　 　．
14．在直角三角形ABC中，，D为斜边AB上一点，若与的内切圆面积相等，则　 　．
15．国民体质是国家和社会发展的重要基础．为贯彻落实《“健康中国2030”规划纲要》《体育强国建设纲要》，2025年国家体育总局开展了第六次全国国民体质监测工作，旨在提高国民体质和健康水平，促进国家经济建设和社会发展．《国民体质测定标准（2023年修订）》将体质情况综合评级为优秀、良好、合格和不合格四个等级．某地区为了解国民体质情况是否与爱好运动有关，从该地区体质达到“合格”及以上的人群中随机抽取了人进行问卷调查，得到如下列联表：
体质情况 组别 合格 良好及以上 合计
爱好运动
不爱好运动
合计
（1）求的值，并依据小概率值的独立性检验，分析体质情况是否与爱好运动有关；
（2）在体质情况综合评级为“合格”的对象中，按是否爱好运动进行分层，用比例分配的分层随机抽样方法，从样本中抽取6人作进一步调查，再从这6人中随机抽取2人线下访谈，记这2人中“爱好运动”的人数为X，求X的分布列及数学期望．
附：，其中．
16．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧面PAD为正三角形，侧面底面ABCD，M是PD的中点．
（1）求证：；
（2）求平面MAC与平面ABCD的夹角的余弦值．
17．已知函数在处的切线方程为．
（1）求，；
（2）设是方程的两根，求证：．
（注：…是自然对数的底数）
18．设椭圆的右焦点为，上顶点为．已知（O为坐标原点）的面积为．
（1）求的离心率；
（2）设B为椭圆上一动点，已知的最大值为2．
（i）求的方程；
（ii）若在第一象限内，连接，过作的平行线交于另一点，记与的面积分别为，求的最大值．
19．在数列中，，设的前n项和为．记表示不超过x的最大整数．
（1）求；
（2）是否存在常数A，，使得？若存在，求A和的值；若不存在，请说明理由；
（3）求．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】集合间关系的判断；集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】解：集合，若，则.故答案为：D.
【分析】根据集合的包含关系求参数的取值范围即可.
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：，则的共轭复数为.
故答案为：B.
【分析】根据复数代数形式的乘除运算化简原式，再根据共轭复数定义求解即可.
3．【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：若，，由正弦函数单调性可知函数在上有增有减，不单调，故AC错误；
若，，由正弦函数单调性可知函数在上单调递增，故B正确，D错误.
故答案为：B.
【分析】根据正弦型函数的性质逐项分析判断即可.
4．【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，所以 ，
展开整理得，
又因为，
所以，，
，代入等式得：，解得.
故答案为：A.
【分析】根据向量模、向量数量积的坐标表示分别求，再根据向量垂直数量积为零求解即可.
5．【答案】C
【知识点】函数的图象；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、的图像是一条直线，故A错误；
B、定义域为，时，，则，故B错误；
C、对数函数在单调递增，满足题意，故C正确；
D 、的定义域为，又，
由，，所以，故D错误.
故答案为：C.
【分析】函数的图象是一条直线即可判断A；定义域为，当时，，则即可判断B；根据对数函数图象即可判断C；易知函数的定义域，根据指数型函数的性质求解即可判断D.
6．【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；全概率公式
【解析】【解答】解：计算甲中奖概率：甲第一个抽取，5张奖券共2张有奖，因此；
计算乙中奖概率，乙中奖分两种情况：甲中奖后乙中奖：概率为；
甲未中奖后乙中奖：概率为；
；
计算丙中奖概率，分情况计算丙中奖情况：
甲中、乙中、丙中：；
甲中、乙不中、丙中：；
甲不中、乙中、丙中：；
甲不中、乙不中、丙中：；
；
因此.
故答案为：D.
【分析】利用古典概型概率公式以及全概率公式分别求解，比较判断即可.
7．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；两角和与差的余弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：不妨取，满足，但，
不满足，所以甲不能推出乙，即充分性不成立；
若，不妨假设，
因为，且，则，因为在上是单调递减函数，
所以，则，
因为，则，此时，则，
所以与矛盾，则假设不成立，所以乙能推出甲，
综上，甲是乙的必要条件但不是充分条件.
故答案为：B.
【分析】不妨取，满足，但不满足，即充分性不成立；
若，不妨假设，根据余弦函数的单调性推出，求出的范围，推出矛盾可得乙能推出甲，即必要性成立，综上即可判断甲是乙的必要条件但不是充分条件 .
8．【答案】C
【知识点】圆的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：易知抛物线的准线为，由题意得，解得，
联立，消元整理可得，
故或8，当时，，当时，，
不妨设，
设的外接圆方程为，
将和代入得，解得，
故的外接圆方程为，
令得，解得或，
所以的外接圆在x轴上截得的弦长为.
故答案为：C.
【分析】易知抛物线的准线为，由题意求得的值，确定抛物线方程，联立直线与抛物线方程，求得交点坐标，再求出三角形外接圆方程，求弦长即可.
9．【答案】A,C,D
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等比数列概念与表示；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，由题意可得，解得，
故.
A、由通项易得，故A正确；
B、因，而，即，故B错误；
C、因，则，由，可得数列为等差数列，故C正确；
D、因，则，由，可得为等比数列，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】设等差数列的公差为，由题意，列关于首项和公差的方程组，求得首项与公差，确定数列的通项，根据通项求，即可判断AB；根据等差数列的求和公式得，结合等差数列的定义求解即可判断C；由，可得，利用等比数列的定义即可判断D.
10．【答案】A,B,D
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；空间向量的数量积运算；柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、因为，，所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
同理可知，平面，
又，平面，所以平面平面，故A正确；
B、连接，因为底面ABCD是边长为1的菱形，所以⊥，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，故B正确；
C、因为平面，平面，所以，
，，
则，
即，
又，，设的长度为，
故，解得，负值舍去，
又，
故
，
所以，故C错误；
D、，
又，
故，故，
过点作⊥于点，则，
因为平面，平面，所以，
因为平面，为相交直线，
所以⊥平面，故为平行六面体的高，
菱形的面积为，
则平行六面体的体积为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】 根据平行六面体 的特征，结合线面平行的判定定理证明平面，得到面面平行即可判断A；连接，由线面垂直的判定定理和性质定理证明即可判断B；根据线面垂直得性质得到线线垂直，再根据空间向量数量积结合向量的模长公式得到的长度，进而求出即可判断C；过点作⊥于点，求出平行六面体的高，再根据棱柱的体积公式求平行六面体的体积，即可判断D.
11．【答案】B,C
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A、设，，则，即，此时为偶函数，故A错误；
B、若，都有，则，为增函数；
若，都有，则，为增函数；
若，假设时，时，
则在上的最大值，在上的最小值，
且必有，此时为增函数，故B正确；
C、由，设，
若最小值为，最小值为，记，
，有，，
则，且使得，即有最小值，故C正确；
D、取，取，
则，此时为上的增函数，无最大值，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】设，，利用函数的奇偶性求解即可判断A；根据函数单调性定义即可判断B；由，设，根据函数最小值定义求解可判断C；分别取，，判断函数的单调性，求最值即可判断D.
12．【答案】10
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：展开式中项，
可以看作，，，四个括号中三个括号取，一个括号取常数，
则项的系数为.
故答案为：10.
【分析】要想得项，即，，，四个括号中三个括号取，一个括号取常数，据此求解即可.
13．【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：当时，为等腰直角三角形，，这与双曲线定义矛盾；
当时，为等腰直角三角形，，
根据勾股定理，得，
再根据双曲线定义得，即，化简得，整理可得，即，
当时，为等腰直角三角形，，
根据勾股定理，得，
再根据双曲线定义得，即，
化简得.
综上，C的离心率为.
故答案为：.
【分析】由题意，分，和讨论，利用勾股定理以及双曲线的定义求解即可.
14．【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；解三角形；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：
由题设，两圆半径相等，设内切圆半径为，
设圆为的内切圆，该圆与的切点为，
圆为的内切圆，该圆与的切点为，则为的平分线，
因为，故，
故，故（负值舍去），
同理，
设，则，，
故且，
所以，即，
故，故（负值舍去），
故，而为锐角，
故，而，因为锐角，
故，，
所以
，
在中，由正弦定理可得，
故，故，故.
故答案为：.
【分析】由题意，设两个内切圆的半径为，圆为的内切圆，该圆与的切点为，易知，利用正切的二倍角公式求得，同理，设，则，，根据且，求得，再利用两角和的正弦公式，结合正弦定理求解即可.
15．【答案】（1）解：由表中数据可得，表格完善如下：
体质情况 组别 合格 良好及以上 合计
爱好运动
不爱好运动
合计
设：体质情况与爱好运动无关，
则，
根据依据小概率值的独立性检验，否定，故体质情况与爱好运动有关；
（2）解：易知名体质情况“合格”对象中有人爱好运动，人不爱好运动，
的所有可能取值为0，1，2，
，，，
即所求分布列为
0 1 2
则的期望.
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布
【解析】【分析】（1）由题意，完成列联表，再进行零假设，根据公式计算的值，与临界值比较判断即可；
（2）根据分层抽样，先求名体质情况“合格”对象中爱好运动和不爱好运动的人数，确定的所有可能取值，根据超几何分布计算概率，列分布列，再求即可.
（1）由表中数据可得，表格完善如下：
体质情况 组别 合格 良好及以上 合计
爱好运动
不爱好运动
合计
设：体质情况与爱好运动无关，
则，
根据依据小概率值的独立性检验，否定，故体质情况与爱好运动有关.
（2）易知名体质情况“合格”对象中有人爱好运动，人不爱好运动，
故的所有可能取值为0，1，2，
，，，
即所求分布列为
0 1 2
所以的期望.
16．【答案】（1）证明：因为底面为正方形，所以，
又侧面底面，平面，平面平面，所以平面，
又平面，故，
因为侧面为正三角形，是的中点，所以，
又因为，平面，，所以平面，
又因为平面，所以；
（2）解：不妨设，以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，
过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则由题设可得，，，
，.
因为底面，得平面的一个法向量；
设是平面的法向量，则，
即，可得平面的一个法向量，
则.
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）因为底面为正方形，所以，
又侧面底面，平面，平面平面，
所以平面.
又平面，故.
因为侧面为正三角形，是的中点，所以.
又，平面，，所以平面.
又平面，所以.
（2）不妨设，以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，
过点垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则由题设可得，，，
，.
因为底面，得平面的一个法向量；
设是平面的法向量，则，
即，可得平面的一个法向量，
则.
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
17．【答案】（1）解：函数的定义域为，求导可得，
因为在处的切线方程为，所以，
即，解方程得；
（2）解：令，，
由题意可知方程的两根，即为函数的两个零点，不妨设，
求导，因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以函数在区间上单调递增，又，，
根据零点存在定理可知存在唯一的使得，
所以当，，函数在区间上单调递减；
当，，函数在区间上单调递增，
由，得，从而，
又因为，
，
所以，故.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，由题意可得，求解即可；
（2）令，由题意可知方程的两根，即为函数的两个零点，求导，利用导数结合零点存在定理求出单调性，易得的一个根为，再利用零点存在定理找到另一个根的范围证明结论即可.
（1）由题意可得，
因为在处的切线方程为，
所以，即，解方程得.
（2）令，，
由题意可知方程的两根，即为函数的两个零点，不妨设.
求导，因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以函数在区间上单调递增，又，，
根据零点存在定理可知存在唯一的使得.
所以当，，函数在区间上单调递减；
当，，函数在区间上单调递增.
由，得，从而，
又因为，，
所以，故.
18．【答案】（1）解：易知，由的面积为，可得，解得，
因为，所以；
故的离心率为；
（2）解：（i）由（1）可知的方程设为，
设，则，可得，又，
故，
因为，所以时，取得最大值为，即，解得，故的方程为；
（ii）设，则，所以；
当时，此时直线的斜率不存在，可得，，
故，
当时，此时直线的斜率为，可得直线的方程为，如图所示：
联立可得，解得，
因为，与共底边，
所以，
又因为，所以，可得，
令，因为，所以；
因此；
当时，取得最大值为4，此时，解得，
因为点在第一象限内，故，即，
综上可知，的最大值为4.
【知识点】平面内两点间的距离公式；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）易知，根据的面积求得，再根据椭圆中的关系求得的关系，最后根据离心率公式求解即可；
（2）（i）由（1）设椭圆方程为，，由点在椭圆上，利用两点间距离公式，结合二次函数的性质以及取得最大值为，求得，即可得椭圆的方程；
（ii）设，则，易知，分和讨论直线的斜率是否存在，当时，直线的斜率为，直线的方程为，联立直线与椭圆方程，解得，再由三角形面积关系可求得，利用椭圆范围以及二次函数最值求的最大值即可.
（1）易知，
所以的面积为，可得，
又因为，可知；
故的离心率为
（2）（i）由（1）可知的方程可设为；
设，则，可得，又，
故
因为，所以时，取得最大值为，
即，解得.
故的方程为.
（ii）设，则，所以；
当时，此时直线的斜率不存在，可得，，
故，
当时，此时直线的斜率为，可得直线的方程为，如下图：
联立可得，
解得，
因为，与共底边，
所以
又因为，所以，
可得，
令，因为，所以；
因此；
当时，取得最大值为4，
此时，解得，
因为点在第一象限内，故，即；
综上可知，的最大值为4.
19．【答案】（1）解：因为，所以，故；
又，故，，所以；
同理，故，
因，则，故，
所以，故；
（2）解：假设存在常数A，使得，
则由（1）得，即，
因为，可得，解得（负值舍去），
故.又，则得，即，故，
此时，，
所以存在，满足题意；
（3）解：当时，，所以，
当时，因为，所以，故，
设函数，则，
所以在上单调递增，故，即，
所以，
则
，
因为，所以，则，
综上，当时，，故，
令，则当时，
，
又因为满足，所以，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；等差数列的前n项和；数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据数列的递推公式，利用赋值法求出，再根据取整函数的定义求解即可；
（2）假设存在常数A，使得，由（1）得结论，代入，求出，即可得数列的通项，验证即可；
（3）当时，求得，当时，推出，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，证明，再利用其将数列的通项放缩，根据等比数列求和公式推得，结合可得，最后利用等差数列求和公式求解即可.
（1）因为，所以，故；
又，故，，所以；
同理，故，
因，则，故，
所以，故.
（2）假设存在常数A，使得，
则由（1）得，即.
因为，可得，解得（负值舍去）.
故.又，则得，即，故.
此时，.
所以存在，满足题意.
（3）当时，，所以.
当时，因为，所以，故.
设函数，则.
所以在上单调递增，故，即.
所以.
则
，因，
所以.故.
综上，当时，，故.
令，则当时，
.
又因为满足，所以，.
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