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贵州省六盘水市2026届高三下学期数学素养训练
1．复数的虚部为（　　）
A． B． C．5 D．3
【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，则复数的虚部为3.
故答案为：D.
【分析】先根据复数代数形式的乘除运算法则化简，再根据复数的概念判断即可.
2．集合的子集的个数为（　　）
A．64 B．16 C．6 D．4
【答案】A
【知识点】集合的表示方法；子集与真子集
【解析】【解答】解：由题意且，可得的值为：，
则有6个元素，集合的子集有：个.
故答案为：A.
【分析】根据集合的特征先求集合，再根据集合中元素的个数确定集合的子集个数即可.
3．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解三角形；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：，由余弦定理可得，
整理得，即，
则，因为，所以.
故答案为：C.
【分析】利用余弦定理求解即可.
4．已知随机变量，若，则（　　）
A．88 B．90 C．92 D．94
【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为，所以，所以.
故答案为：B.
【分析】 随机变量， 根据正态分布曲线的对称性求解即可.
5．已知函数的值域为，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：当时，，则，，
若，当时，，此时函数在上的值域为，不符合题意；
若，当时，，
函数在上的值域为，不是，不符合题意；
若，当时，，
此时函数在上的值域为，
所以，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】根据指数函数的单调性先求函数在上的值域，再分、和讨论时，该函数在上的值域，结合已知条件可得出关于的不等式求解即可.
6．已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：因为，所以，
，
则.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用诱导公式、余弦的二倍角公式化简求解即可.
7．已知是抛物线上一点，为的准线，过点作的垂线，垂足为，记为的中点，为坐标原点，为的焦点.若，则（　　）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】C
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】b【解答】解：易知抛物线的焦点，准线，
设，则，
由，得，化简得，
整理可得，解得，
则.
故答案为：C.
【分析】易知抛物线的焦点坐标和准线方程，设，利用中点坐标公式求得点的坐标，再根据，求得，最后根据抛物线的定义求即可.
8．如图所示的容器由两个共底面的圆锥组成，已知两个圆锥的高之和为10，底面半径为4，且两个圆锥的顶点和底面圆周在同一个球的球面上.在该容器内放置一个球，则这个球的表面积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：易知该容器外接球的半径为5，且外接球的球心为两圆锥顶点连线的中点，
因为圆锥的底面半径为，所以外接球的球心到底面的距离为，则两个圆锥的高分别为和，
所以这两个圆锥对应的母线分别为和，
该容器内放置的球的半径的最大值即为该容器轴截面的内切圆半径，设为，
则，解得，
此时，这个球的表面积最大，最大值为.
故答案为：B.
【分析】由题意求得该容器外接球的半径以及两个圆锥的高，再分别计算两个圆锥的母线长，该容器内放置的球的半径的最大值即为该容器轴截面的内切圆半径，设为，利用等体积法求得，再计算球的表面积即可.
9．已知向量，，则下列结论正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A,D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，
AB、若，则，即，所以A正确，B错误；
CD、若，则，即，所以D正确，C错误.
故答案为：AD.
【分析】根据向量平行的坐标表示求解即可判断AB；根据向量垂直的坐标表示列式求解即可判断CD.
10．如图，从双曲线的左焦点发出的光线，到达C上的点P后的反射光线，其反向延长线会经过C的右焦点，且C在点P的切线l恰好为的角平分线所在的直线.已知，C的离心率为2，则下列结论正确的是（　　）
A．C的渐近线方程为
B．若，则的面积为
C．若l与x轴交于点，则
D．若l的斜率为2，则为直角三角形
【答案】B,C,D
【知识点】导数的几何意义；双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：A、由题意可得，解得，
所以，则C的渐近线方程为，故A错误；
B、若，则，解得，则的面积为，故B正确；
C、若l与x轴交于点，则，
又，所以，故C正确；
D、若l的斜率为2，则点在第一象限，设，
由，得当时，，，
令，得，则，即，
又因为，所以，则为直角三角形，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由题意，列关于的方程组，求得基本量，即可得双曲线的方程，再求双曲线的渐近线的方程即可判断A；将，代入双曲线的方程求得点的坐标，再求的面积即可判断B；若l与x轴交于点，由角平分线定理结合双曲线的定义求即可判断C；若l的斜率为2，则点在第一象限，设，双曲线方程变形可得，求导，利用导数的几何意义求得点的坐标，易知，判断的形状即可判断D.
11．记函数的导函数为，已知，且，，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C．若为偶函数，则 D．可能为二次函数
【答案】A,C,D
【知识点】函数的奇偶性；导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由，得，
因为，所以，即，是减函数，
则，即，故A正确；
，即，故B不正确；
若为偶函数，则，两边求导得，则是奇函数，
由，，得，，故C正确；
假设，则，
由，得，
由，得，，
由，得，即恒成立；
则，即，
令，则成立，
所以可能为二次函数，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由，得，构造函数，利用导数判断函数的单调性即可判断A；利用A的结论，可得，整理可得即可判断B；若函数为偶函数，满足，两边求导，得为奇函数，再由题意，，可得即可判断C；假设，求导，由，求得，再由，得恒成立，利用特殊值法求解即可判断D.
12．函数的极大值点为　 　.
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
，
所以当或时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的极大值点为.
故答案为：.
【分析】求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，求极大值点即可.
13．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃被分成如图所示的5个部分.现栽种3种不同品种的花，花圃的每部分只栽种一种品种的花，有公共边的部分（仅有1个公共点的两个部分不认为有公共边）不能栽种相同品种的花，且3种品种的花都有栽种，则不同的栽种方法数为　 　.
【答案】42
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：先从3种花卉中任选1种栽种在1区，其余区域只要不与和它相邻的1区栽同种花即可，此时总共有种不同的栽种方案；其中2种花卉栽种的不符合要求的情况，这类仅用两种花的情况一共有种，因此满足"有公共边的区域不栽同种花，且3种花卉全部都要使用"的栽种方案数为种.
故答案为：.
【分析】利用排除法求解：先计算出1区任选一种花，其余区域仅满足不和1区同色的总栽种方法数，再减去只用到两种花的不符合要求的情况，即可得正确答案.
14．若对于任意的，关于x的方程在上始终有解，则m的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】解：令，
则，
即的周期为，
则关于x的方程在上始终有解等价于方程在上有解，
令，，
当时，，，
则，
当时，，，
则，
当时，，，
则，
综上，m的取值范围为.
故答案为：.
【分析】令，先求函数的周期，问题转化为在上有解，令，可得，分、和讨论，结合辅助角公式以及正弦函数的性质求解即可.
15．某医院调查安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度，得到如下列联表：
单位：人
义肢类型 满意度 合计
满意 不满意
传统义肢 60 40 100
智能义肢 80 20 100
合计 140 60 200
（1）任选3位安装智能义肢的截肢患者，若每位患者能完成精细抓握的概率均为0.8，求其中至少有2人能完成精细抓握的概率；
（2）依据的独立性检验，能否认为安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度与义肢类型有关？
附：，
0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）解：根据每位患者能完成精细抓握的概率均为0.8，
则至少有2人能完成精细抓握的概率为；
（2）解：零假设：安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度与义肢类型无关，
根据列联表中的数据可以求得
，
由于，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度与义肢类型有关.
【知识点】独立性检验的应用；互斥事件的概率加法公式；二项分布
【解析】【分析】（1）根据二项分布的概率公式结合互斥事件概率的加法公式求解即可；
（2）先进行零假设，再根据列联表，计算，与临界值比较判断即可.
（1）根据每位患者能完成精细抓握的概率均为0.8，
则至少有2人能完成精细抓握的概率如下，
为；
（2）零假设：安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度与义肢类型无关，
根据列联表中的数据可以求得
，
由于，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度与义肢类型有关.
16．如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，平面，E是PC的中点.
（1）证明：平面．
（2）若，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明：因为四边形是菱形，所以，
设，则是中点，且是的中点，所以，
因为平面，则平面，平面，所以，
因为平面，所以平面；
（2）解：因为，分别以，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为且，则为等边三角形，则，
又，则，则，，，，
可得，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，
取，则，，则.
设平面的一个法向量为，
设二面角为，，
因为为锐角，所以.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）设，根据菱形的对角线垂直、中位线的性质以及直线与平面垂直的性质证明平面即可；
（2）由，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量法求解即可.
（1）因为四边形是菱形，所以，
设，则是中点，且是的中点，所以，
因为平面，则平面，平面，所以，
因为平面，所以平面．
（2）因为，分别以，为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为且，则为等边三角形，则，
又，则，则，，，，
可得，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，
取，则，，则.
设平面的一个法向量为，
设二面角为，，
因为为锐角，所以.
17．已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若恒成立，求a的取值范围.
【答案】（1）解：若，函数定义域为，，则，，
曲线在点处的切线方程为，即；
（2）解：函数定义域为，
若，则是减函数，值域为，不满足恒成立，所以，
若，，
令，解得或，
当时，恒成立，所以当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增，所以在处取得极小值，即最小值，
若恒成立，则，即，化简得，解得，
当时，恒成立，所以当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增，所以在处取得极小值，即最小值，
若恒成立，则，即，化简得，解得，
综上，a的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）将代入，求函数的定义域，再求导，利用导数的几何意义，结合点斜式求切线方程即可；
（2）求函数的定义域，再分三种情况，利用导数判断函数的单调性，并求函数的最小值，结合恒成立，求a的取值范围即可.
（1）若，函数，定义域为，
，
所以，.
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）函数，定义域为.
若，则是减函数，值域为，不满足恒成立，所以.
若，.
令，得或.
当时，恒成立，
所以当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增.
所以在处取得极小值，即最小值.
若恒成立，则，即，
化简得，解得.
当时，恒成立，
所以当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增.
所以在处取得极小值，即最小值.
若恒成立，则，即，
化简得，解得.
综上，a的取值范围是.
18．已知椭圆的焦距为2，且过点．
（1）求椭圆C的方程.
（2）设B为椭圆C的右顶点，过点的直线l与椭圆C交于M，N两点（异于点B）．
（ⅰ）记直线的斜率分别为，证明：为定值.
（ⅱ）求的面积的取值范围.
【答案】（1）解：由椭圆的焦距为2，得，
由点在椭圆上，得，联立解得，
则椭圆的方程为；
（2）解：（ⅰ）由（1）得，直线不垂直于轴，设其方程为，，
由消去得，，
则，即为定值；
（ⅱ）由（ⅰ）得
，
令，，函数在上单调递增，
函数的值域为，即，因此，
故面积的取值范围是.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；对勾函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）由焦距为2，可得，再根据在椭圆上得，联立求得，即可得椭圆的方程；
（2）（ⅰ）由（1）得，直线不垂直于轴，设其方程为，，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，结合斜率坐标公式求证即可；
（ⅱ）由（ⅰ）用表示面积，，利用换元法，结合对勾函数性质以及不等式性质求面积的取值范围即可.
（1）由椭圆的焦距为2，得，
由点在椭圆上，得，联立解得，
所以椭圆的方程为.
（2）（ⅰ）由（1）得，直线不垂直于轴，设其方程为，，
由消去得，，
则，
所以为定值.
（ⅱ）由（ⅰ）得
，
令，，函数在上单调递增，
函数的值域为，即，因此，
所以面积的取值范围是.
19．若正项数列满足对于给定的正数，，，（为的前n项和），则称为“稳定数列”.
（1）若为“稳定数列”，且，求的取值范围.
（2）若，证明：数列为“稳定数列”.
（3）若为“稳定数列”，证明，．
【答案】（1）解：由题意，是稳定数列，则对，，
，则 （），对，有，
解左边不等式，得正根 ；
解右边不等式，得正根 ，
故的取值范围为；
（2）证明：当时，，满足，当时，对于任意正整数，有，
则，
则由，可得，
又由，可得，
所以，
则，
所以数列为“稳定数列”；
（3）证明：因为为“稳定数列”，所以，则，，
则，由，可得，
由为“稳定数列”可得，则，
当时，，则，
因为，所以，故，.
由得，结合，则，则，
当时，，则，
当时，，故，
从而，.
【知识点】数列的应用；数列的求和；数列的递推公式；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）由题意可得对，，根据，求得，代入对应的不等式，再解一元二次不等式，即可求得 的取值范围；
（2） 若 ，化简得，求数列的前n项和，利用裂项放缩，得到放缩范围后，代入证明对任意正整数n都有即可；
（3）利用变形，结合稳定数列定义对差式放缩，再累加放缩后的不等式，分别证明不等式的左右两边.
（1）由题意，是稳定数列，故对，.
已知，则 （），对，有，
解左边不等式，得正根 ； 解右边不等式，得正根 ，
故的取值范围为.
（2）当时，，满足，
当时，对于任意正整数，有，则，
则由，可得，
又由，可得，
所以，
则，
所以数列为“稳定数列”.
（3）因为为“稳定数列”，所以，则，，
则，由，可得，
由为“稳定数列”可得，则，
当时，，则，
因为，所以，故，.
由得，结合，则，则，
当时，，则，
当时，，故，
从而，.
1 / 1贵州省六盘水市2026届高三下学期数学素养训练
1．复数的虚部为（　　）
A． B． C．5 D．3
2．集合的子集的个数为（　　）
A．64 B．16 C．6 D．4
3．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则（　　）
A． B． C． D．
4．已知随机变量，若，则（　　）
A．88 B．90 C．92 D．94
5．已知函数的值域为，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
6．已知，则（　　）
A． B． C． D．
7．已知是抛物线上一点，为的准线，过点作的垂线，垂足为，记为的中点，为坐标原点，为的焦点.若，则（　　）
A． B．1 C．2 D．4
8．如图所示的容器由两个共底面的圆锥组成，已知两个圆锥的高之和为10，底面半径为4，且两个圆锥的顶点和底面圆周在同一个球的球面上.在该容器内放置一个球，则这个球的表面积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
9．已知向量，，则下列结论正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．如图，从双曲线的左焦点发出的光线，到达C上的点P后的反射光线，其反向延长线会经过C的右焦点，且C在点P的切线l恰好为的角平分线所在的直线.已知，C的离心率为2，则下列结论正确的是（　　）
A．C的渐近线方程为
B．若，则的面积为
C．若l与x轴交于点，则
D．若l的斜率为2，则为直角三角形
11．记函数的导函数为，已知，且，，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C．若为偶函数，则 D．可能为二次函数
12．函数的极大值点为　 　.
13．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃被分成如图所示的5个部分.现栽种3种不同品种的花，花圃的每部分只栽种一种品种的花，有公共边的部分（仅有1个公共点的两个部分不认为有公共边）不能栽种相同品种的花，且3种品种的花都有栽种，则不同的栽种方法数为　 　.
14．若对于任意的，关于x的方程在上始终有解，则m的取值范围为　 　.
15．某医院调查安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度，得到如下列联表：
单位：人
义肢类型 满意度 合计
满意 不满意
传统义肢 60 40 100
智能义肢 80 20 100
合计 140 60 200
（1）任选3位安装智能义肢的截肢患者，若每位患者能完成精细抓握的概率均为0.8，求其中至少有2人能完成精细抓握的概率；
（2）依据的独立性检验，能否认为安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度与义肢类型有关？
附：，
0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
16．如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，平面，E是PC的中点.
（1）证明：平面．
（2）若，求二面角的余弦值.
17．已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若恒成立，求a的取值范围.
18．已知椭圆的焦距为2，且过点．
（1）求椭圆C的方程.
（2）设B为椭圆C的右顶点，过点的直线l与椭圆C交于M，N两点（异于点B）．
（ⅰ）记直线的斜率分别为，证明：为定值.
（ⅱ）求的面积的取值范围.
19．若正项数列满足对于给定的正数，，，（为的前n项和），则称为“稳定数列”.
（1）若为“稳定数列”，且，求的取值范围.
（2）若，证明：数列为“稳定数列”.
（3）若为“稳定数列”，证明，．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，则复数的虚部为3.
故答案为：D.
【分析】先根据复数代数形式的乘除运算法则化简，再根据复数的概念判断即可.
2．【答案】A
【知识点】集合的表示方法；子集与真子集
【解析】【解答】解：由题意且，可得的值为：，
则有6个元素，集合的子集有：个.
故答案为：A.
【分析】根据集合的特征先求集合，再根据集合中元素的个数确定集合的子集个数即可.
3．【答案】C
【知识点】解三角形；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：，由余弦定理可得，
整理得，即，
则，因为，所以.
故答案为：C.
【分析】利用余弦定理求解即可.
4．【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为，所以，所以.
故答案为：B.
【分析】 随机变量， 根据正态分布曲线的对称性求解即可.
5．【答案】A
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：当时，，则，，
若，当时，，此时函数在上的值域为，不符合题意；
若，当时，，
函数在上的值域为，不是，不符合题意；
若，当时，，
此时函数在上的值域为，
所以，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】根据指数函数的单调性先求函数在上的值域，再分、和讨论时，该函数在上的值域，结合已知条件可得出关于的不等式求解即可.
6．【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：因为，所以，
，
则.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用诱导公式、余弦的二倍角公式化简求解即可.
7．【答案】C
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】b【解答】解：易知抛物线的焦点，准线，
设，则，
由，得，化简得，
整理可得，解得，
则.
故答案为：C.
【分析】易知抛物线的焦点坐标和准线方程，设，利用中点坐标公式求得点的坐标，再根据，求得，最后根据抛物线的定义求即可.
8．【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：易知该容器外接球的半径为5，且外接球的球心为两圆锥顶点连线的中点，
因为圆锥的底面半径为，所以外接球的球心到底面的距离为，则两个圆锥的高分别为和，
所以这两个圆锥对应的母线分别为和，
该容器内放置的球的半径的最大值即为该容器轴截面的内切圆半径，设为，
则，解得，
此时，这个球的表面积最大，最大值为.
故答案为：B.
【分析】由题意求得该容器外接球的半径以及两个圆锥的高，再分别计算两个圆锥的母线长，该容器内放置的球的半径的最大值即为该容器轴截面的内切圆半径，设为，利用等体积法求得，再计算球的表面积即可.
9．【答案】A,D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，
AB、若，则，即，所以A正确，B错误；
CD、若，则，即，所以D正确，C错误.
故答案为：AD.
【分析】根据向量平行的坐标表示求解即可判断AB；根据向量垂直的坐标表示列式求解即可判断CD.
10．【答案】B,C,D
【知识点】导数的几何意义；双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：A、由题意可得，解得，
所以，则C的渐近线方程为，故A错误；
B、若，则，解得，则的面积为，故B正确；
C、若l与x轴交于点，则，
又，所以，故C正确；
D、若l的斜率为2，则点在第一象限，设，
由，得当时，，，
令，得，则，即，
又因为，所以，则为直角三角形，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由题意，列关于的方程组，求得基本量，即可得双曲线的方程，再求双曲线的渐近线的方程即可判断A；将，代入双曲线的方程求得点的坐标，再求的面积即可判断B；若l与x轴交于点，由角平分线定理结合双曲线的定义求即可判断C；若l的斜率为2，则点在第一象限，设，双曲线方程变形可得，求导，利用导数的几何意义求得点的坐标，易知，判断的形状即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数的奇偶性；导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由，得，
因为，所以，即，是减函数，
则，即，故A正确；
，即，故B不正确；
若为偶函数，则，两边求导得，则是奇函数，
由，，得，，故C正确；
假设，则，
由，得，
由，得，，
由，得，即恒成立；
则，即，
令，则成立，
所以可能为二次函数，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由，得，构造函数，利用导数判断函数的单调性即可判断A；利用A的结论，可得，整理可得即可判断B；若函数为偶函数，满足，两边求导，得为奇函数，再由题意，，可得即可判断C；假设，求导，由，求得，再由，得恒成立，利用特殊值法求解即可判断D.
12．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
，
所以当或时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的极大值点为.
故答案为：.
【分析】求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，求极大值点即可.
13．【答案】42
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：先从3种花卉中任选1种栽种在1区，其余区域只要不与和它相邻的1区栽同种花即可，此时总共有种不同的栽种方案；其中2种花卉栽种的不符合要求的情况，这类仅用两种花的情况一共有种，因此满足"有公共边的区域不栽同种花，且3种花卉全部都要使用"的栽种方案数为种.
故答案为：.
【分析】利用排除法求解：先计算出1区任选一种花，其余区域仅满足不和1区同色的总栽种方法数，再减去只用到两种花的不符合要求的情况，即可得正确答案.
14．【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】解：令，
则，
即的周期为，
则关于x的方程在上始终有解等价于方程在上有解，
令，，
当时，，，
则，
当时，，，
则，
当时，，，
则，
综上，m的取值范围为.
故答案为：.
【分析】令，先求函数的周期，问题转化为在上有解，令，可得，分、和讨论，结合辅助角公式以及正弦函数的性质求解即可.
15．【答案】（1）解：根据每位患者能完成精细抓握的概率均为0.8，
则至少有2人能完成精细抓握的概率为；
（2）解：零假设：安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度与义肢类型无关，
根据列联表中的数据可以求得
，
由于，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度与义肢类型有关.
【知识点】独立性检验的应用；互斥事件的概率加法公式；二项分布
【解析】【分析】（1）根据二项分布的概率公式结合互斥事件概率的加法公式求解即可；
（2）先进行零假设，再根据列联表，计算，与临界值比较判断即可.
（1）根据每位患者能完成精细抓握的概率均为0.8，
则至少有2人能完成精细抓握的概率如下，
为；
（2）零假设：安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度与义肢类型无关，
根据列联表中的数据可以求得
，
由于，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度与义肢类型有关.
16．【答案】（1）证明：因为四边形是菱形，所以，
设，则是中点，且是的中点，所以，
因为平面，则平面，平面，所以，
因为平面，所以平面；
（2）解：因为，分别以，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为且，则为等边三角形，则，
又，则，则，，，，
可得，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，
取，则，，则.
设平面的一个法向量为，
设二面角为，，
因为为锐角，所以.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）设，根据菱形的对角线垂直、中位线的性质以及直线与平面垂直的性质证明平面即可；
（2）由，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量法求解即可.
（1）因为四边形是菱形，所以，
设，则是中点，且是的中点，所以，
因为平面，则平面，平面，所以，
因为平面，所以平面．
（2）因为，分别以，为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为且，则为等边三角形，则，
又，则，则，，，，
可得，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，
取，则，，则.
设平面的一个法向量为，
设二面角为，，
因为为锐角，所以.
17．【答案】（1）解：若，函数定义域为，，则，，
曲线在点处的切线方程为，即；
（2）解：函数定义域为，
若，则是减函数，值域为，不满足恒成立，所以，
若，，
令，解得或，
当时，恒成立，所以当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增，所以在处取得极小值，即最小值，
若恒成立，则，即，化简得，解得，
当时，恒成立，所以当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增，所以在处取得极小值，即最小值，
若恒成立，则，即，化简得，解得，
综上，a的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）将代入，求函数的定义域，再求导，利用导数的几何意义，结合点斜式求切线方程即可；
（2）求函数的定义域，再分三种情况，利用导数判断函数的单调性，并求函数的最小值，结合恒成立，求a的取值范围即可.
（1）若，函数，定义域为，
，
所以，.
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）函数，定义域为.
若，则是减函数，值域为，不满足恒成立，所以.
若，.
令，得或.
当时，恒成立，
所以当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增.
所以在处取得极小值，即最小值.
若恒成立，则，即，
化简得，解得.
当时，恒成立，
所以当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增.
所以在处取得极小值，即最小值.
若恒成立，则，即，
化简得，解得.
综上，a的取值范围是.
18．【答案】（1）解：由椭圆的焦距为2，得，
由点在椭圆上，得，联立解得，
则椭圆的方程为；
（2）解：（ⅰ）由（1）得，直线不垂直于轴，设其方程为，，
由消去得，，
则，即为定值；
（ⅱ）由（ⅰ）得
，
令，，函数在上单调递增，
函数的值域为，即，因此，
故面积的取值范围是.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；对勾函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）由焦距为2，可得，再根据在椭圆上得，联立求得，即可得椭圆的方程；
（2）（ⅰ）由（1）得，直线不垂直于轴，设其方程为，，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，结合斜率坐标公式求证即可；
（ⅱ）由（ⅰ）用表示面积，，利用换元法，结合对勾函数性质以及不等式性质求面积的取值范围即可.
（1）由椭圆的焦距为2，得，
由点在椭圆上，得，联立解得，
所以椭圆的方程为.
（2）（ⅰ）由（1）得，直线不垂直于轴，设其方程为，，
由消去得，，
则，
所以为定值.
（ⅱ）由（ⅰ）得
，
令，，函数在上单调递增，
函数的值域为，即，因此，
所以面积的取值范围是.
19．【答案】（1）解：由题意，是稳定数列，则对，，
，则 （），对，有，
解左边不等式，得正根 ；
解右边不等式，得正根 ，
故的取值范围为；
（2）证明：当时，，满足，当时，对于任意正整数，有，
则，
则由，可得，
又由，可得，
所以，
则，
所以数列为“稳定数列”；
（3）证明：因为为“稳定数列”，所以，则，，
则，由，可得，
由为“稳定数列”可得，则，
当时，，则，
因为，所以，故，.
由得，结合，则，则，
当时，，则，
当时，，故，
从而，.
【知识点】数列的应用；数列的求和；数列的递推公式；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）由题意可得对，，根据，求得，代入对应的不等式，再解一元二次不等式，即可求得 的取值范围；
（2） 若 ，化简得，求数列的前n项和，利用裂项放缩，得到放缩范围后，代入证明对任意正整数n都有即可；
（3）利用变形，结合稳定数列定义对差式放缩，再累加放缩后的不等式，分别证明不等式的左右两边.
（1）由题意，是稳定数列，故对，.
已知，则 （），对，有，
解左边不等式，得正根 ； 解右边不等式，得正根 ，
故的取值范围为.
（2）当时，，满足，
当时，对于任意正整数，有，则，
则由，可得，
又由，可得，
所以，
则，
所以数列为“稳定数列”.
（3）因为为“稳定数列”，所以，则，，
则，由，可得，
由为“稳定数列”可得，则，
当时，，则，
因为，所以，故，.
由得，结合，则，则，
当时，，则，
当时，，故，
从而，.
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