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河北石家庄市第一中学2026届高三高考第一次模拟考试数学试卷
1．已知集合，，则=（　　）
A． B． C． D．
2．已知{an}是首项为1，公差为3的等差数列，如果an＝2023，则序号n等于（　　）
A．667 B．668 C．669 D．675
3．为虚数单位，则复数（　　）
A． B． C． D．
4．在音乐理论中，若音的频率为，音的频率为，则它们的音分差.当音与音的频率比为时，音分差为，当音与音的频率比为时，音分差为，则（　　）
A． B． C． D．
5．设随机变量服从正态分布，若，则的值为（　　）
A． B． C．3 D．5
6．已知直线与圆相交，则实数的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
7．已知向量，都是单位向量，若，则向量，的夹角的大小为（　　）
A． B． C． D．
8．已知为坐标原点，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，若直线和的倾斜角分别为和，且，则双曲线的离心率为（　　）
A． B．5 C．2 D．
9．圆柱的轴截面为正方形，则下列结论正确的有（　　）
A．圆柱内切球的半径与图柱底面半径相等
B．圆柱内切球的表面积与圆柱表面积比为
C．圆柱内接圆锥的表面积与圆柱表面积比为
D．圆柱内切球的体积与圆柱体积比为
10．已知，，，则（　　）
A．的最小值为4 B．的最小值为
C．的最小值为3 D．的最小值为
11．数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美 对称美 和谐美的产物，曲线为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（　　）
A．方程，表示的曲线在第二和第四象限；
B．曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过；
C．曲线构成的四叶玫瑰线面积大于；
D．曲线上有个整点（横 纵坐标均为整数的点）.
12．的展开式中的系数为　 　（用数字作答）.
13． 的内角 的对边分别为 .若 ，则 的面积为　 　.
14．现有n（，）个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第k（，2，3，…，n）个袋中有k个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出四个球（每个取后不放回），若第四次取出的球为白球的概率是，则　 　.
15．如图，三棱锥的侧面是等边三角形，底面是直角三角形，斜边的中点为．
（1）证明：；
（2）若，求与平面所成角的正弦值．
16．直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受.针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司2023年前5个月的带货金额：
月份 1 2 3 4 5
带货金额万元 350 440 580 700 880
（1）计算变量的相关系数（结果精确到0.01）.
（2）求变量之间的线性回归方程，并据此预测2023年6月份该公司的直播带货金额.
参考数据：，
参考公式：相关系数，线性回归方程的斜率，截距.
17．已知数列满足，且．
（1）若，证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和．
18．已知函数，直线是曲线在点处的切线.
（1）当时，求直线的方程；
（2）求证：函数有唯一零点；
（3）记的零点为，当直线与轴相交时，交点横坐标为.若，求的取值范围.
19．已知圆：与x正半轴交于点A，与直线在第一象限的交点为B．点为圆O上任一点，且满足，以x，y为坐标的动点的轨迹记为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）若两条直线：和：分别交曲线于点E、F和M、N，求四边形面积的最大值，并求此时的k的值；
（3）研究曲线的对称性并证明为椭圆，并求椭圆的焦点坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】集合的含义；集合的表示方法；补集及其运算
【解析】【解答】解：易知集合，集合，则.
故答案为：A.
【分析】根据集合特征分别求得集合AB，再根据集合的补集运算求解即可.
2．【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：依题意，得，
由，解得.
故答案为：D.
【分析】依题意结合等差数列的通项公式求出，再利用已知条件建立方程得出n的值.
3．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】根据复数的除法运算法则，从而化简复数.
4．【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由题意，可知：，
，
联立方程组，得，
消去，可得：.
故答案为：C.
【分析】根据题意，将数据分别代入，从而建立方程组求出和的值，进而逐项判断找出正确的选项.
5．【答案】A
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由题意，根据正态分布的对称性，得：
.
故答案为：A.
【分析】根据正态分布对应的概率密度函数图象的对称性求解即可.
6．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为圆的圆心为，半径为，
若直线与圆相交，
则，所以，
则两边同时平方化简，可得，
解得，
所以，实数的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】由题意结合直线与圆位置关系判断方法，再利用点到直线的距离公式结合圆心到直线的距离小于半径，从而列不等式求解得出实数k的取值范围.
7．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：由题意可得，
若，两边平方可得，整理可得，
则，
又因为，所以.
故答案为：B.
【分析】易知，将两边平方，结合向量的数量积运算化简求得，代入向量的夹角公式求解即可.
8．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意，得，
所以，直线的斜率为，直线的斜率为，
设，则，
解得，
代入双曲线方程，得，
又因为，
所以，
化简可得：，，
则，
解得或(因为，所以舍去).
故答案为：B.
【分析】先计算出直线的斜率和直线的斜率，再利用两点求斜率公式得出点P的坐标与c的关系式，再代入双曲线方程和双曲线中建立a，b，c三者的关系式求解.
9．【答案】A,B,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：设圆柱的底面半径为，则圆柱的高为，
所以，内切球的半径为，故A正确；
因为圆柱的表面积为，内切球的表面积为，
所以圆柱内切球的表面积与圆柱表面积比为，故B正确；
因为圆柱内接圆锥的表面积为，
所以，圆柱内接圆锥的表面积与圆柱表面积比为故C错误；
因为圆柱内切球的体积，又因为圆柱的体积，
所以，故D正确.
故答案为：.
【分析】利用圆柱轴截面是正方形的结构特征得出圆柱内切球半径等于圆柱底面半径，则判断出选项A；利用圆柱的表面积公式和内切球的表面积，从而得出圆柱内切球的表面积与圆柱表面积比，则判断出选项B；利用圆柱内接圆锥的表面积公式和圆柱的表面积公式，从而得出圆柱内接圆锥的表面积与圆柱表面积比，则判断出选项C；再利用圆柱内切球的体积和圆柱的体积，从而得出圆柱内切球的体积与圆柱体积比，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
10．【答案】B,C,D
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，，，
A、，当且仅当时，等号成立，故A错误；
B、，，
，，，，
当时，的最小值为，故B正确；
C、因为，且，所以，所以，
，当且仅当时，等号成立，故C正确；
D、，当且仅当时等号成立，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】直接利用基本不等式求解即可判断A； 双变量转化为单变量，结合二次函数的性质求解即可判断B；根据对数运算，结合基本不等式求解即可判断C；根据指数函数的运算，结合基本不等式求解算即可判断 D.
11．【答案】A,B
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】解：A、因为，所以、异号，则曲线在第二和第四象限，故A正确；
B、因为，当且仅当时等号成立，
所以，，即，，故B正确；
C、以为圆心、为半径的圆的面积为，显然曲线构成的四叶玫瑰线面积小于圆的面积，故C错误；
D、可以先讨论第一象限内的图像上是否有整点，
因为曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过，
所以可将、、、、、代入曲线的方程中，
通过验证可知，仅有点在曲线上，
故结合曲线的对称性可知，曲线仅经过整点，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】由可得、异号，则曲线在第二和第四象限即可判断A；利用基本不等式将转化为，求得即可判断B；以为圆心、为半径的圆的面积为，根据曲线构成的面积小于以为圆心、为半径的圆的面积即可判断C；根据曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过以及曲线的对称性即可判断D.
12．【答案】56
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：因为，
令，解得，所以，
则的展开式中的系数为56.
故答案为：56.
【分析】根据二项式定理得出展开式的通项，再利用展开式的通项得出的展开式中的系数.
13．【答案】
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】 【解答】由余弦定理得， ，由题得：b=6，a=2c， ，代入化简得 ，
解得 c1=2，c2=-2 （舍），则a=2c=4 ，所以
故答案为：
【分析】首先利用余弦定理代入数值求出c的值，从而求出a的值，再由三角形的面积公式代入数值求出结果即可。
14．【答案】9
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：设选出的是第k个袋，连续四次取球的方法数为，
第四次取出的是白球的取法有如下四种情形：
4白，取法数为：；
1红3白，取法数为：；
2红2白，取法数为：；
3红1白：取法数为：，
所以，第四次取出的是白球的总情形数为：
，
则在第k个袋子中取出的是白球的概率为：，
因为选取第k个袋的概率为，
所以，任选袋子取第四个球是白球的概率为：
，
当时，.
故答案为：．
【分析】根据已知条件和分类讨论的方法求和得出第四次取出的是白球的总情形数，再利用古典概率公式得出在第k个袋子中取出的是白球的概率，再利用选取第k个袋的概率为，从而得出任选袋子取第四个球是白球的概率，再根据第四次取出的球为白球的概率是，从而得出n的值.
15．【答案】（1）证明：取的中点，连接，由是中点，得，
依题意，，则，由是等边三角形，得，
又平面，因此平面，而平面，所以；
（2）解：不妨设，则，
连接，在中，，
则，即，又平面，
因此平面，直线两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
设平面的法向量为，由，令，得，
设与平面所成角为，则，
所以与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）取的中点，连接，利用线面垂直的判定性质证明即可；
（2）不妨设，连接，在中，利用勾股定理推出，再根据线面垂直的判定定理证明平面，得直线两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量法求解即可.
（1）取的中点，连接，由是中点，得，
依题意，，则，由是等边三角形，得，
又平面，因此平面，而平面，
所以.
（2）不妨设，则，
连接，在中，，
则，即，又平面，
因此平面，直线两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，由，令，得，
设与平面所成角为，则，
所以与平面所成角的正弦值为.
16．【答案】（1）解：
.
（2）解：因为
所以，
则变量之间的线性回归方程为，
当时，（万元），
所以，预测2023年6月份该公司的直播带货金额为986万元.
【知识点】线性回归方程；回归分析的初步应用；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【分析】（1）利用已知条件代入相关系数公式，从而计算出变量的相关系数.
（2）利用已知条件和最小二乘法求出线性回归方程，再代入，从而预测出2023年6月份该公司的直播带货金额.
（1）
（2）因为，
所以，
所以变量之间的线性回归方程为，
当时，（万元）.
所以预测2023年6月份该公司的直播带货金额为986万元.
17．【答案】（1）解：因为，
所以，
所以，即，
又，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列
（2）解：由（1）可得，
所以，
所以前项和
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列概念与表示；等比数列的前n项和
【解析】【分析】(1)直接利用数列的递推关系式和等比数列的定义的应用证出数列是等比数列；
(2)利用(1)的结论，再利用分组法求出数列的前项和．
18．【答案】（1）解：由，
可得，，
当时，，
因为直线是曲线在点处的切线，
所以直线的方程为，
则直线的方程为，即.
（2）证明：由（1）可知，，
令，可得，
列表可得：
单调递减 极小值 单调递增
当，，此时函数无零点，
当时，单调递增，
又因为，，
根据零点存在性定理，函数存在唯一零点.
（3）解：由（1）可知，直线的方程为，
因为直线与轴相交，且交点的横坐标为，，
令，当时，则，
设，
则.
又因为，
所以，
由（2）知，且当，且，
则当或时，；
当或时，，
列表可得：
单调递增 极大值 单调递减 单调递减 极小值 单调递增
当时，，不满足，
当时，，则成立，
综上可知，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义得出切线的斜率，再利用代入法得出切点坐标，根据点斜式得出直线的方程.
（2）先利用导数的正负判断函数的单调性，再结合零点存在性定理证出函数有唯一零点.
（3）先解，构造函数，再用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的极值，分类讨论的方法得出函数的最值，则由已知条件得出实数a的取值范围.
（1）由，可得，.又因为时，.
因为直线是曲线在点处的切线，所以直线的方程为，
所以，直线的方程为，即.
（2）由（1）可知，令可得，列表可得
单调递减 极小值 单调递增
当，，此时函数无零点
当时，单调递增，又，，
所以根据零点存在性定理，函数存在唯一零点.
（3）由（1）可知直线的方程为，
因为直线与轴相交，且交点的横坐标为，，
所以令，当时，有.
设，则.
又，所以，
由（2）知，且当，且.
所以当或时，；当或时，.
列表可得
单调递增 极大值 单调递减 单调递减 极小值 单调递增
当时，，不满足，
当时，，即成立
综上可知，.
19．【答案】（1）解：由题意，可得，
则.
由，
得，
则将代入，
化简得，
则曲线的方程为.
（2）解：由，消得，
解得，
由已知直线交曲线于，
不妨设，，
所以，
同理可得.
由题意知 ，
所以四边形的面积，则
，
∵，
∴，
当且仅当时等号成立，此时，
∴ 当时，四边形的面积最大值为.
（3）解：因为曲线的方程为，
它关于直线、和原点对称，
下面证明：
设曲线上任一点的坐标为，
则，点关于直线的对称点为，
因为，所以点在曲线上，则曲线关于直线对称，
同理可得点关于直线的对称点也在曲线上，
则曲线关于直线对称，
同理可证曲线关于原点对称.
下面证明为椭圆，
证明：①联立曲线和直线方程，
解得交点坐标为，
联立曲线和直线方程，
解得交点坐标为，
则，，，
所以.
在上取点，
设为曲线上任一点，则
（因为）
，
则曲线上任一点到两定点的距离之和为定值.
②若点到两定点的距离之和为定值，
设为曲线上任一点，
则
移项得
平方整理得，，
再移项平方，得
化简可得
则点的轨迹方程为，
综上所述曲线是椭圆，其焦点坐标为.
【知识点】曲线与方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由已知条件得出点A和点B的坐标，利用表示出点坐标，再代入圆方程可得曲线的方程．
（2）把直线方程代入曲线的方程得出两点的坐标，利用两点距离公式得出，同理可得，再由和三角形面积公式，从而得出，利用整体换元法结合基本不等式求最值的方法，从而得出四边形面积的最大值并求此时的k的值.
（3）由曲线的方程可得图形的对称性，即关于直线对称和关于原点对称；若为椭圆则可求出它与对称轴的交点即为顶点坐标，从而得出的值，进而求出的值，则可得焦点坐标，再证明满足椭圆定义，从而证明为椭圆.
（1）由题意可得，即.
由得，，
则将代入，化简得.
故曲线的方程为.
（2）由，消得，
解得，由已知直线交曲线于，
不妨设，，
所以，同理.
由题意知 ，所以四边形的面积.
.
∵，∴，
当且仅当时等号成立，此时.
∴ 当时，四边形的面积最大值为.
（3）曲线的方程为，它关于直线、和原点对称，
下面证明：
设曲线上任一点的坐标为，
则，点关于直线的对称点为，
因为，所以点在曲线上，故曲线关于直线对称，
同理可得点关于直线的对称点也在曲线上，
故曲线关于直线对称，
同理可证曲线关于原点对称.
下面证明为椭圆.
证明：①联立曲线和直线方程，
解得交点坐标为，
联立曲线和直线方程，
解得交点坐标为，
则，，，.
在上取点，
设为曲线上任一点，则
（因为）
.
即曲线上任一点到两定点的距离之和为定值.
②若点到两定点的距离之和为定值，
设为曲线上任一点，则
，
移项得
平方整理得，，
再移项平方得
化简可得
故点的轨迹方程为，
综上所述曲线是椭圆，其焦点坐标为.
1 / 1河北石家庄市第一中学2026届高三高考第一次模拟考试数学试卷
1．已知集合，，则=（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】集合的含义；集合的表示方法；补集及其运算
【解析】【解答】解：易知集合，集合，则.
故答案为：A.
【分析】根据集合特征分别求得集合AB，再根据集合的补集运算求解即可.
2．已知{an}是首项为1，公差为3的等差数列，如果an＝2023，则序号n等于（　　）
A．667 B．668 C．669 D．675
【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：依题意，得，
由，解得.
故答案为：D.
【分析】依题意结合等差数列的通项公式求出，再利用已知条件建立方程得出n的值.
3．为虚数单位，则复数（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】根据复数的除法运算法则，从而化简复数.
4．在音乐理论中，若音的频率为，音的频率为，则它们的音分差.当音与音的频率比为时，音分差为，当音与音的频率比为时，音分差为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由题意，可知：，
，
联立方程组，得，
消去，可得：.
故答案为：C.
【分析】根据题意，将数据分别代入，从而建立方程组求出和的值，进而逐项判断找出正确的选项.
5．设随机变量服从正态分布，若，则的值为（　　）
A． B． C．3 D．5
【答案】A
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由题意，根据正态分布的对称性，得：
.
故答案为：A.
【分析】根据正态分布对应的概率密度函数图象的对称性求解即可.
6．已知直线与圆相交，则实数的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为圆的圆心为，半径为，
若直线与圆相交，
则，所以，
则两边同时平方化简，可得，
解得，
所以，实数的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】由题意结合直线与圆位置关系判断方法，再利用点到直线的距离公式结合圆心到直线的距离小于半径，从而列不等式求解得出实数k的取值范围.
7．已知向量，都是单位向量，若，则向量，的夹角的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：由题意可得，
若，两边平方可得，整理可得，
则，
又因为，所以.
故答案为：B.
【分析】易知，将两边平方，结合向量的数量积运算化简求得，代入向量的夹角公式求解即可.
8．已知为坐标原点，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，若直线和的倾斜角分别为和，且，则双曲线的离心率为（　　）
A． B．5 C．2 D．
【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意，得，
所以，直线的斜率为，直线的斜率为，
设，则，
解得，
代入双曲线方程，得，
又因为，
所以，
化简可得：，，
则，
解得或(因为，所以舍去).
故答案为：B.
【分析】先计算出直线的斜率和直线的斜率，再利用两点求斜率公式得出点P的坐标与c的关系式，再代入双曲线方程和双曲线中建立a，b，c三者的关系式求解.
9．圆柱的轴截面为正方形，则下列结论正确的有（　　）
A．圆柱内切球的半径与图柱底面半径相等
B．圆柱内切球的表面积与圆柱表面积比为
C．圆柱内接圆锥的表面积与圆柱表面积比为
D．圆柱内切球的体积与圆柱体积比为
【答案】A,B,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：设圆柱的底面半径为，则圆柱的高为，
所以，内切球的半径为，故A正确；
因为圆柱的表面积为，内切球的表面积为，
所以圆柱内切球的表面积与圆柱表面积比为，故B正确；
因为圆柱内接圆锥的表面积为，
所以，圆柱内接圆锥的表面积与圆柱表面积比为故C错误；
因为圆柱内切球的体积，又因为圆柱的体积，
所以，故D正确.
故答案为：.
【分析】利用圆柱轴截面是正方形的结构特征得出圆柱内切球半径等于圆柱底面半径，则判断出选项A；利用圆柱的表面积公式和内切球的表面积，从而得出圆柱内切球的表面积与圆柱表面积比，则判断出选项B；利用圆柱内接圆锥的表面积公式和圆柱的表面积公式，从而得出圆柱内接圆锥的表面积与圆柱表面积比，则判断出选项C；再利用圆柱内切球的体积和圆柱的体积，从而得出圆柱内切球的体积与圆柱体积比，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
10．已知，，，则（　　）
A．的最小值为4 B．的最小值为
C．的最小值为3 D．的最小值为
【答案】B,C,D
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，，，
A、，当且仅当时，等号成立，故A错误；
B、，，
，，，，
当时，的最小值为，故B正确；
C、因为，且，所以，所以，
，当且仅当时，等号成立，故C正确；
D、，当且仅当时等号成立，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】直接利用基本不等式求解即可判断A； 双变量转化为单变量，结合二次函数的性质求解即可判断B；根据对数运算，结合基本不等式求解即可判断C；根据指数函数的运算，结合基本不等式求解算即可判断 D.
11．数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美 对称美 和谐美的产物，曲线为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（　　）
A．方程，表示的曲线在第二和第四象限；
B．曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过；
C．曲线构成的四叶玫瑰线面积大于；
D．曲线上有个整点（横 纵坐标均为整数的点）.
【答案】A,B
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】解：A、因为，所以、异号，则曲线在第二和第四象限，故A正确；
B、因为，当且仅当时等号成立，
所以，，即，，故B正确；
C、以为圆心、为半径的圆的面积为，显然曲线构成的四叶玫瑰线面积小于圆的面积，故C错误；
D、可以先讨论第一象限内的图像上是否有整点，
因为曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过，
所以可将、、、、、代入曲线的方程中，
通过验证可知，仅有点在曲线上，
故结合曲线的对称性可知，曲线仅经过整点，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】由可得、异号，则曲线在第二和第四象限即可判断A；利用基本不等式将转化为，求得即可判断B；以为圆心、为半径的圆的面积为，根据曲线构成的面积小于以为圆心、为半径的圆的面积即可判断C；根据曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过以及曲线的对称性即可判断D.
12．的展开式中的系数为　 　（用数字作答）.
【答案】56
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：因为，
令，解得，所以，
则的展开式中的系数为56.
故答案为：56.
【分析】根据二项式定理得出展开式的通项，再利用展开式的通项得出的展开式中的系数.
13． 的内角 的对边分别为 .若 ，则 的面积为　 　.
【答案】
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】 【解答】由余弦定理得， ，由题得：b=6，a=2c， ，代入化简得 ，
解得 c1=2，c2=-2 （舍），则a=2c=4 ，所以
故答案为：
【分析】首先利用余弦定理代入数值求出c的值，从而求出a的值，再由三角形的面积公式代入数值求出结果即可。
14．现有n（，）个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第k（，2，3，…，n）个袋中有k个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出四个球（每个取后不放回），若第四次取出的球为白球的概率是，则　 　.
【答案】9
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：设选出的是第k个袋，连续四次取球的方法数为，
第四次取出的是白球的取法有如下四种情形：
4白，取法数为：；
1红3白，取法数为：；
2红2白，取法数为：；
3红1白：取法数为：，
所以，第四次取出的是白球的总情形数为：
，
则在第k个袋子中取出的是白球的概率为：，
因为选取第k个袋的概率为，
所以，任选袋子取第四个球是白球的概率为：
，
当时，.
故答案为：．
【分析】根据已知条件和分类讨论的方法求和得出第四次取出的是白球的总情形数，再利用古典概率公式得出在第k个袋子中取出的是白球的概率，再利用选取第k个袋的概率为，从而得出任选袋子取第四个球是白球的概率，再根据第四次取出的球为白球的概率是，从而得出n的值.
15．如图，三棱锥的侧面是等边三角形，底面是直角三角形，斜边的中点为．
（1）证明：；
（2）若，求与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：取的中点，连接，由是中点，得，
依题意，，则，由是等边三角形，得，
又平面，因此平面，而平面，所以；
（2）解：不妨设，则，
连接，在中，，
则，即，又平面，
因此平面，直线两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
设平面的法向量为，由，令，得，
设与平面所成角为，则，
所以与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）取的中点，连接，利用线面垂直的判定性质证明即可；
（2）不妨设，连接，在中，利用勾股定理推出，再根据线面垂直的判定定理证明平面，得直线两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量法求解即可.
（1）取的中点，连接，由是中点，得，
依题意，，则，由是等边三角形，得，
又平面，因此平面，而平面，
所以.
（2）不妨设，则，
连接，在中，，
则，即，又平面，
因此平面，直线两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，由，令，得，
设与平面所成角为，则，
所以与平面所成角的正弦值为.
16．直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受.针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司2023年前5个月的带货金额：
月份 1 2 3 4 5
带货金额万元 350 440 580 700 880
（1）计算变量的相关系数（结果精确到0.01）.
（2）求变量之间的线性回归方程，并据此预测2023年6月份该公司的直播带货金额.
参考数据：，
参考公式：相关系数，线性回归方程的斜率，截距.
【答案】（1）解：
.
（2）解：因为
所以，
则变量之间的线性回归方程为，
当时，（万元），
所以，预测2023年6月份该公司的直播带货金额为986万元.
【知识点】线性回归方程；回归分析的初步应用；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【分析】（1）利用已知条件代入相关系数公式，从而计算出变量的相关系数.
（2）利用已知条件和最小二乘法求出线性回归方程，再代入，从而预测出2023年6月份该公司的直播带货金额.
（1）
（2）因为，
所以，
所以变量之间的线性回归方程为，
当时，（万元）.
所以预测2023年6月份该公司的直播带货金额为986万元.
17．已知数列满足，且．
（1）若，证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）解：因为，
所以，
所以，即，
又，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列
（2）解：由（1）可得，
所以，
所以前项和
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列概念与表示；等比数列的前n项和
【解析】【分析】(1)直接利用数列的递推关系式和等比数列的定义的应用证出数列是等比数列；
(2)利用(1)的结论，再利用分组法求出数列的前项和．
18．已知函数，直线是曲线在点处的切线.
（1）当时，求直线的方程；
（2）求证：函数有唯一零点；
（3）记的零点为，当直线与轴相交时，交点横坐标为.若，求的取值范围.
【答案】（1）解：由，
可得，，
当时，，
因为直线是曲线在点处的切线，
所以直线的方程为，
则直线的方程为，即.
（2）证明：由（1）可知，，
令，可得，
列表可得：
单调递减 极小值 单调递增
当，，此时函数无零点，
当时，单调递增，
又因为，，
根据零点存在性定理，函数存在唯一零点.
（3）解：由（1）可知，直线的方程为，
因为直线与轴相交，且交点的横坐标为，，
令，当时，则，
设，
则.
又因为，
所以，
由（2）知，且当，且，
则当或时，；
当或时，，
列表可得：
单调递增 极大值 单调递减 单调递减 极小值 单调递增
当时，，不满足，
当时，，则成立，
综上可知，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义得出切线的斜率，再利用代入法得出切点坐标，根据点斜式得出直线的方程.
（2）先利用导数的正负判断函数的单调性，再结合零点存在性定理证出函数有唯一零点.
（3）先解，构造函数，再用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的极值，分类讨论的方法得出函数的最值，则由已知条件得出实数a的取值范围.
（1）由，可得，.又因为时，.
因为直线是曲线在点处的切线，所以直线的方程为，
所以，直线的方程为，即.
（2）由（1）可知，令可得，列表可得
单调递减 极小值 单调递增
当，，此时函数无零点
当时，单调递增，又，，
所以根据零点存在性定理，函数存在唯一零点.
（3）由（1）可知直线的方程为，
因为直线与轴相交，且交点的横坐标为，，
所以令，当时，有.
设，则.
又，所以，
由（2）知，且当，且.
所以当或时，；当或时，.
列表可得
单调递增 极大值 单调递减 单调递减 极小值 单调递增
当时，，不满足，
当时，，即成立
综上可知，.
19．已知圆：与x正半轴交于点A，与直线在第一象限的交点为B．点为圆O上任一点，且满足，以x，y为坐标的动点的轨迹记为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）若两条直线：和：分别交曲线于点E、F和M、N，求四边形面积的最大值，并求此时的k的值；
（3）研究曲线的对称性并证明为椭圆，并求椭圆的焦点坐标．
【答案】（1）解：由题意，可得，
则.
由，
得，
则将代入，
化简得，
则曲线的方程为.
（2）解：由，消得，
解得，
由已知直线交曲线于，
不妨设，，
所以，
同理可得.
由题意知 ，
所以四边形的面积，则
，
∵，
∴，
当且仅当时等号成立，此时，
∴ 当时，四边形的面积最大值为.
（3）解：因为曲线的方程为，
它关于直线、和原点对称，
下面证明：
设曲线上任一点的坐标为，
则，点关于直线的对称点为，
因为，所以点在曲线上，则曲线关于直线对称，
同理可得点关于直线的对称点也在曲线上，
则曲线关于直线对称，
同理可证曲线关于原点对称.
下面证明为椭圆，
证明：①联立曲线和直线方程，
解得交点坐标为，
联立曲线和直线方程，
解得交点坐标为，
则，，，
所以.
在上取点，
设为曲线上任一点，则
（因为）
，
则曲线上任一点到两定点的距离之和为定值.
②若点到两定点的距离之和为定值，
设为曲线上任一点，
则
移项得
平方整理得，，
再移项平方，得
化简可得
则点的轨迹方程为，
综上所述曲线是椭圆，其焦点坐标为.
【知识点】曲线与方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由已知条件得出点A和点B的坐标，利用表示出点坐标，再代入圆方程可得曲线的方程．
（2）把直线方程代入曲线的方程得出两点的坐标，利用两点距离公式得出，同理可得，再由和三角形面积公式，从而得出，利用整体换元法结合基本不等式求最值的方法，从而得出四边形面积的最大值并求此时的k的值.
（3）由曲线的方程可得图形的对称性，即关于直线对称和关于原点对称；若为椭圆则可求出它与对称轴的交点即为顶点坐标，从而得出的值，进而求出的值，则可得焦点坐标，再证明满足椭圆定义，从而证明为椭圆.
（1）由题意可得，即.
由得，，
则将代入，化简得.
故曲线的方程为.
（2）由，消得，
解得，由已知直线交曲线于，
不妨设，，
所以，同理.
由题意知 ，所以四边形的面积.
.
∵，∴，
当且仅当时等号成立，此时.
∴ 当时，四边形的面积最大值为.
（3）曲线的方程为，它关于直线、和原点对称，
下面证明：
设曲线上任一点的坐标为，
则，点关于直线的对称点为，
因为，所以点在曲线上，故曲线关于直线对称，
同理可得点关于直线的对称点也在曲线上，
故曲线关于直线对称，
同理可证曲线关于原点对称.
下面证明为椭圆.
证明：①联立曲线和直线方程，
解得交点坐标为，
联立曲线和直线方程，
解得交点坐标为，
则，，，.
在上取点，
设为曲线上任一点，则
（因为）
.
即曲线上任一点到两定点的距离之和为定值.
②若点到两定点的距离之和为定值，
设为曲线上任一点，则
，
移项得
平方整理得，，
再移项平方得
化简可得
故点的轨迹方程为，
综上所述曲线是椭圆，其焦点坐标为.
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