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广东省珠海市香洲区拱北中学2025-2026学年度第二学期八年级期中质量监测数学试卷
1．若二次根式有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．为一切实数
【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数．
∴对于，有．
∴解得．
故选：B．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
2．在中，所对的边分别为a、b、c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、∵，
∴ 是直角三角形，本选项不符合题意；
B、∵，设，，，
∵，，
∴， 是直角三角形，本选项不符合题意；
C、∵，，，
∴，
∴是直角三角形，本选项不符合题意；
D、∵，三角形内角和为，
∴最大角，
∴ 不是直角三角形，本选项符合题意．
故答案为：D
【分析】根据勾股定理逆定理，三角形内角和定理逐项进行判断即可求出答案.
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的乘除混合运算；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：∵，而选项A中结果为，∴ A错误．
∵，而选项B中结果为16，∴ B错误．
∵，与选项C结果一致，∴ C正确．
∵，而选项D中结果为，∴ D错误．
故选：C．
【分析】根据立方根性质，二次根式的乘法，完全平方公式，二次根式性质逐项进行判断即可求出答案.
4．一个八边形的内角和等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：八边形内角和为．
故答案为：C
【分析】根据多边形内角和定理即可求出答案.
5．若一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的边数为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：多边形的外角的个数是．
所以多边形的边数是8．
故选：B．
【分析】根据正多边形的外角即可求出答案.
6．如图，在中，的平分线交于点M．若，则的长为（　　）
A．3 B．2.5 C．2 D．1
【答案】A
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，
平分，
．
又，
，
，
，
，
，
．
故选：A．
【分析】根据平行四边形性质可得，根据角平分线定义可得，根据直线平行性质可得，则，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
7．铁道工人把铁轨下面的每根枕木做成一模一样的依据是（　　）
A．平行线间的距离处处相等 B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短 D．两点确定一条直线
【答案】A
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：A、铁轨是平行的两条直线，枕木位于两轨之间，若枕木形状相同，则无论放置在哪个位置，都能保证与两轨的距离一致，符合平行线间距离处处相等，故A正确；
B、此选项强调两点间最短路径，与枕木形状无关，故B不合题意；
C、垂线段最短是点到直线的垂直距离，与枕木横向支撑无关，故C不合题意；
D、此选项用于解释直线方向的确定，与枕木形状的统一性无关，故D不合题意．
故选：A．
【分析】根据平行线之间的距离逐项进行判断即可求出答案.
8．如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A、B的点C，找到、的中点D、E，并且测出的长为，则A、B间的距离为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E分别为，的中点，
∴，故A正确．
故选：A．
【分析】根据三角形中位线定理即可求出答案.
9．如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理；矩形的判定
【解析】【解答解：A、，无法推出或有直角，故无法证明平行四边形是矩形；
B、，对角线相等，可证平行四边形是矩形；
C、，则，可证平行四边形是矩形；
D、由，则，又，，则，可证平行四边形是矩形．
故答案为：A.
【分析】利用矩形的判定方法（①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形）分析求解即可.
10．如图，中，，点为的中点．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，点D为的中点，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】根据直角三角形斜边长的中线性质可得CD=BD，再根据等边对等角即可求出答案.
11．计算：　 　．
【答案】4
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：原式．
故答案为：4
【分析】根据平方差公式即可求出答案.
12．如图所示，在数轴上点A表示的实数是　 　．
【答案】
【知识点】实数在数轴上的表示；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长，
∴点A表示的实数是，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理可得斜边长，再根据数轴上点的位置即可求出答案.
13．已知：如图，四边形中，，要使四边形为平行四边形，需添加一个条件是：　 　.(只需填一个你认为正确的条件即可)
【答案】.(答案不唯一)
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：添加：BO=OD．
理由：∵在四边形ABCD中，BO=DO，AO=CO，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
故答案为：.(答案不唯一)
【分析】根据平行四边形判定定理即可求出答案.
14．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小芳家有一个菱形中国结装饰，将该中国结简化成菱形，测得，，则该菱形的周长为　 　．
【答案】20
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵菱形，，，
∴，，，
∴，
∴该菱形的周长为；
故答案为：20．
【分析】根据菱形性质可得，，，再根据勾股定理可得AB，再根据菱形周长即可求出答案.
15．我们都知道，四边形具有不稳定性，老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取教具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为，则四边形的面积减少了　 　．
【答案】200
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：四边形是正方形，发生形变后，四条边长度不变，依然相等，
，
四边形是菱形，也是平行四边形，
过点C，作的垂线，垂足为E；为平行四边形在边上的高，
，是直角三角形，
，
，
，
．
故答案为：200
【分析】根据正方形性质可得，则四边形是菱形，也是平行四边形，过点C，作的垂线，垂足为E；为平行四边形在边上的高，根据含30°角的直角三角形性质可得CE，再根据平行四边形，正方形面积即可求出答案.
16．计算．
（1）
（2）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
.
【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算；实数的绝对值；求算术平方根
【解析】【分析】（1）根据算术平方根，0指数幂，绝对值性质化简，再计算加减即可求出答案.
（2）根据二次根式的混合运算即可求出答案.
（1）解：
；
（2）解：
.
17．如图，在中，，，垂足分别为，．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，，
，
，
四边形是平行四边形．
【知识点】垂线的概念；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】 已知AE⊥BD，CF⊥BD，根据“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，可得AE∥CF，在△ABE和△CDF中，AB=CD，∠AEB=∠CFD=，∠ABE=∠CDF，可得，由此可得结果。
18．如图是某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架，，两轮中心的距离．
（1）判断支架，是否垂直；
（2）求点C到的距离
【答案】（1）解：，
理由：∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴．
（2）解：如图，过C作于D，
∵，
∴，解得，
即点C到的距离为．
【知识点】三角形的面积；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理逆定理即可求出答案.
（2）过C作于D，根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：，
理由：∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴．
（2）解：如图，过C作于D，
∵，
∴，解得，
即点C到的距离为．
19．如图，已知，延长到，使，连接，，，若．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：如图，连接，
由（）得，，，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】二次根式的性质与化简；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据平行四边形判定定理及性质，结合矩形判定定理即可求出答案.
（2）连接，由（）得，，，根据边之间的关系可得AE，再根据矩形性质可得，，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：如图，连接，
由（）得，，，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
20．如图，中，对角线，相交于点，点是上一点，连接，．且．
（1）求证：；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
又，
．
（2）解：由（1）得，
四边形是菱形，，
在中，，
，
，
，
∴，
，，
．
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质即可求出答案.
（2）根据菱形判定定理可得四边形是菱形，，根据直角三角形两锐角互余可得∠ABO，再根据含30°角的直角三角形性质可得AO，再根据勾股定理可得BO，再根据平行四边形面积即可求出答案.
（1）证明：四边形是平行四边形，
，
又，
．
（2）解：由（1）得，
四边形是菱形，，
在中，，
，
，
，
∴，
，，
．
21．如图，在正方形中，点分别在上，且，与相交于点，是的中点，连接．
（1）与之间有怎样的关系？请说明理由．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）解：与垂直且相等，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴与垂直且相等；
（2）解：∵四边形是正方形，，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∵点是的中点，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据正方形性质可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据角之间的关系可得∠AOB，再根据垂直平分线判定定理即可求出答案.
（2）根据正方形性质可得，，根据边之间的关系可得CF，再根据勾股定理可得BF，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
（1）解：与垂直且相等，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴与垂直且相等；
（2）解：∵四边形是正方形，，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∵点是的中点，
∴．
22．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．
材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为．
请选择合适的材料解决下面的问题：
（1）点的“横负纵变点”为______________________，点的“横负纵变点”为______________________；
（2）化简：；
（3）已知a为常数，点且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是_________________________．
【答案】（1）；
（2）解：
；
（3）
【知识点】二次根式的性质与化简；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：（1），
∴点的“横负纵变点”为；
，
∴点的“横负纵变点”为；
故答案为：；．
（3）解：∵，
∴，
，
．
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】（1）根据横负纵变点的定义进行判断即可求出答案.
（2）根据完全平方公式，结合二次根式性质化简即可求出答案.
（3）根据不等式的性质可得，再根据完全平方公式，结合二次根式性质可得，再根据横负纵变点定义即可求出答案.
23．如图①正方形中，点E是对角线上任意一点，连接．
（1）求证：；
（2）当时，求的度数；
（3）如图②，过点E作交于点F，当时，若．求的长．
【答案】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴；
（3）解：过点作，
在和中，
，
∴，
∴，
在四边形中
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
设，
则，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴
解得，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据等边对等角及三角形内角和定理即可求出答案.
（3）过点作，根据全等三角形判定定理可得，则，根据角之间的关系可得，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，设，则，根据勾股定理可得ME，再根据等腰直角三角形性质可得，再根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
（1）证明：在和中，
，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∴；
（3）过点作，
在和中，
，
∴，
∴，
在四边形中
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
设，
则，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴
解得，
∴．
1 / 1广东省珠海市香洲区拱北中学2025-2026学年度第二学期八年级期中质量监测数学试卷
1．若二次根式有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．为一切实数
2．在中，所对的边分别为a、b、c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．一个八边形的内角和等于（　　）
A． B． C． D．
5．若一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的边数为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．如图，在中，的平分线交于点M．若，则的长为（　　）
A．3 B．2.5 C．2 D．1
7．铁道工人把铁轨下面的每根枕木做成一模一样的依据是（　　）
A．平行线间的距离处处相等 B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短 D．两点确定一条直线
8．如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A、B的点C，找到、的中点D、E，并且测出的长为，则A、B间的距离为(　　)
A． B． C． D．
9．如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，中，，点为的中点．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
11．计算：　 　．
12．如图所示，在数轴上点A表示的实数是　 　．
13．已知：如图，四边形中，，要使四边形为平行四边形，需添加一个条件是：　 　.(只需填一个你认为正确的条件即可)
14．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小芳家有一个菱形中国结装饰，将该中国结简化成菱形，测得，，则该菱形的周长为　 　．
15．我们都知道，四边形具有不稳定性，老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取教具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为，则四边形的面积减少了　 　．
16．计算．
（1）
（2）
17．如图，在中，，，垂足分别为，．求证：四边形是平行四边形．
18．如图是某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架，，两轮中心的距离．
（1）判断支架，是否垂直；
（2）求点C到的距离
19．如图，已知，延长到，使，连接，，，若．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长．
20．如图，中，对角线，相交于点，点是上一点，连接，．且．
（1）求证：；
（2）若，，求的面积．
21．如图，在正方形中，点分别在上，且，与相交于点，是的中点，连接．
（1）与之间有怎样的关系？请说明理由．
（2）若，，求的长．
22．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．
材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为．
请选择合适的材料解决下面的问题：
（1）点的“横负纵变点”为______________________，点的“横负纵变点”为______________________；
（2）化简：；
（3）已知a为常数，点且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是_________________________．
23．如图①正方形中，点E是对角线上任意一点，连接．
（1）求证：；
（2）当时，求的度数；
（3）如图②，过点E作交于点F，当时，若．求的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数．
∴对于，有．
∴解得．
故选：B．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、∵，
∴ 是直角三角形，本选项不符合题意；
B、∵，设，，，
∵，，
∴， 是直角三角形，本选项不符合题意；
C、∵，，，
∴，
∴是直角三角形，本选项不符合题意；
D、∵，三角形内角和为，
∴最大角，
∴ 不是直角三角形，本选项符合题意．
故答案为：D
【分析】根据勾股定理逆定理，三角形内角和定理逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的乘除混合运算；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：∵，而选项A中结果为，∴ A错误．
∵，而选项B中结果为16，∴ B错误．
∵，与选项C结果一致，∴ C正确．
∵，而选项D中结果为，∴ D错误．
故选：C．
【分析】根据立方根性质，二次根式的乘法，完全平方公式，二次根式性质逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：八边形内角和为．
故答案为：C
【分析】根据多边形内角和定理即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：多边形的外角的个数是．
所以多边形的边数是8．
故选：B．
【分析】根据正多边形的外角即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，
平分，
．
又，
，
，
，
，
，
．
故选：A．
【分析】根据平行四边形性质可得，根据角平分线定义可得，根据直线平行性质可得，则，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：A、铁轨是平行的两条直线，枕木位于两轨之间，若枕木形状相同，则无论放置在哪个位置，都能保证与两轨的距离一致，符合平行线间距离处处相等，故A正确；
B、此选项强调两点间最短路径，与枕木形状无关，故B不合题意；
C、垂线段最短是点到直线的垂直距离，与枕木横向支撑无关，故C不合题意；
D、此选项用于解释直线方向的确定，与枕木形状的统一性无关，故D不合题意．
故选：A．
【分析】根据平行线之间的距离逐项进行判断即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E分别为，的中点，
∴，故A正确．
故选：A．
【分析】根据三角形中位线定理即可求出答案.
9．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理；矩形的判定
【解析】【解答解：A、，无法推出或有直角，故无法证明平行四边形是矩形；
B、，对角线相等，可证平行四边形是矩形；
C、，则，可证平行四边形是矩形；
D、由，则，又，，则，可证平行四边形是矩形．
故答案为：A.
【分析】利用矩形的判定方法（①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形）分析求解即可.
10．【答案】D
【知识点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，点D为的中点，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】根据直角三角形斜边长的中线性质可得CD=BD，再根据等边对等角即可求出答案.
11．【答案】4
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：原式．
故答案为：4
【分析】根据平方差公式即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】实数在数轴上的表示；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长，
∴点A表示的实数是，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理可得斜边长，再根据数轴上点的位置即可求出答案.
13．【答案】.(答案不唯一)
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：添加：BO=OD．
理由：∵在四边形ABCD中，BO=DO，AO=CO，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
故答案为：.(答案不唯一)
【分析】根据平行四边形判定定理即可求出答案.
14．【答案】20
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵菱形，，，
∴，，，
∴，
∴该菱形的周长为；
故答案为：20．
【分析】根据菱形性质可得，，，再根据勾股定理可得AB，再根据菱形周长即可求出答案.
15．【答案】200
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：四边形是正方形，发生形变后，四条边长度不变，依然相等，
，
四边形是菱形，也是平行四边形，
过点C，作的垂线，垂足为E；为平行四边形在边上的高，
，是直角三角形，
，
，
，
．
故答案为：200
【分析】根据正方形性质可得，则四边形是菱形，也是平行四边形，过点C，作的垂线，垂足为E；为平行四边形在边上的高，根据含30°角的直角三角形性质可得CE，再根据平行四边形，正方形面积即可求出答案.
16．【答案】（1）解：
；
（2）解：
.
【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算；实数的绝对值；求算术平方根
【解析】【分析】（1）根据算术平方根，0指数幂，绝对值性质化简，再计算加减即可求出答案.
（2）根据二次根式的混合运算即可求出答案.
（1）解：
；
（2）解：
.
17．【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，，
，
，
四边形是平行四边形．
【知识点】垂线的概念；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】 已知AE⊥BD，CF⊥BD，根据“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，可得AE∥CF，在△ABE和△CDF中，AB=CD，∠AEB=∠CFD=，∠ABE=∠CDF，可得，由此可得结果。
18．【答案】（1）解：，
理由：∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴．
（2）解：如图，过C作于D，
∵，
∴，解得，
即点C到的距离为．
【知识点】三角形的面积；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理逆定理即可求出答案.
（2）过C作于D，根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：，
理由：∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴．
（2）解：如图，过C作于D，
∵，
∴，解得，
即点C到的距离为．
19．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：如图，连接，
由（）得，，，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】二次根式的性质与化简；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据平行四边形判定定理及性质，结合矩形判定定理即可求出答案.
（2）连接，由（）得，，，根据边之间的关系可得AE，再根据矩形性质可得，，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：如图，连接，
由（）得，，，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
20．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
又，
．
（2）解：由（1）得，
四边形是菱形，，
在中，，
，
，
，
∴，
，，
．
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质即可求出答案.
（2）根据菱形判定定理可得四边形是菱形，，根据直角三角形两锐角互余可得∠ABO，再根据含30°角的直角三角形性质可得AO，再根据勾股定理可得BO，再根据平行四边形面积即可求出答案.
（1）证明：四边形是平行四边形，
，
又，
．
（2）解：由（1）得，
四边形是菱形，，
在中，，
，
，
，
∴，
，，
．
21．【答案】（1）解：与垂直且相等，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴与垂直且相等；
（2）解：∵四边形是正方形，，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∵点是的中点，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据正方形性质可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据角之间的关系可得∠AOB，再根据垂直平分线判定定理即可求出答案.
（2）根据正方形性质可得，，根据边之间的关系可得CF，再根据勾股定理可得BF，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
（1）解：与垂直且相等，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴与垂直且相等；
（2）解：∵四边形是正方形，，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∵点是的中点，
∴．
22．【答案】（1）；
（2）解：
；
（3）
【知识点】二次根式的性质与化简；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：（1），
∴点的“横负纵变点”为；
，
∴点的“横负纵变点”为；
故答案为：；．
（3）解：∵，
∴，
，
．
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】（1）根据横负纵变点的定义进行判断即可求出答案.
（2）根据完全平方公式，结合二次根式性质化简即可求出答案.
（3）根据不等式的性质可得，再根据完全平方公式，结合二次根式性质可得，再根据横负纵变点定义即可求出答案.
23．【答案】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴；
（3）解：过点作，
在和中，
，
∴，
∴，
在四边形中
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
设，
则，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴
解得，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据等边对等角及三角形内角和定理即可求出答案.
（3）过点作，根据全等三角形判定定理可得，则，根据角之间的关系可得，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，设，则，根据勾股定理可得ME，再根据等腰直角三角形性质可得，再根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
（1）证明：在和中，
，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∴；
（3）过点作，
在和中，
，
∴，
∴，
在四边形中
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
设，
则，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴
解得，
∴．
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