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一次函数与反比例函综合题 重点考点押题练 2026年初中数学中考复习备考
1．如图在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点、交反比例函数的图象于点，点在反比例函数的图象上，横坐标为，轴交直线于点，连接、．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求面积的最大值．
2．已知，如图，一次函数 (为常数且)的图象与轴、轴分别交于两点，且与反比例函数(为常数且)的图象在第二象限交于点．若轴于，若．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式．
(2)若一次函数与反比例函数的另一个交点坐标为，连接，求面积．
3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B．

(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)点P是x轴正半轴上一动点，过点P作x轴的垂线l，交一次函数的图象于点D，交反比例函数的图象于点E．
ⅰ)若，求线段的长；
ⅱ)将反比例函数的图象沿直线l翻折，翻折后的图象与一次函数的图象有两个交点M，N(点N的横坐标大于点M的横坐标)，连接，，若，求点P的坐标．
4．如图，一次函数与反比例函数图象交于A，B两点，与x轴交于点C，点A的横坐标为1，．
(1)求一次函数及反比例函数的表达式；
(2)直接写出反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围．
5．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，轴，的面积是面积的3倍．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式．
(2)若点A关于原点的对称点是点，请判断点是否在反比例函数图象上．若将一次函数图象向上平移，使其经过点，求平移的距离．
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、，且与y轴交于点C．
(1)求一次函数、反比例函数的表达式；
(2)连接，求的面积．
7．如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于，两点．

(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)将一次函数的图象向下平移个单位，当平移后的函数图象与反比例函数的图象只有一个交点时，求的值．
8．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且一次函数的图象交x轴于点C，交y轴于点D．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)在第四象限的反比例图象上有一点P，使得，请求出点P的坐标；
(3)对于反比例函数，当时，直接写出x的取值范围．
9．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、两点．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)当反比例函数大于一次函数时，直接写出自变量x的取值范围；
(3)若点C为线段上一点，且，连接，求．
10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式．
(2)请直接写出一次函数大于反比例函数时，x的取值范围．
11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点、交反比例函数的图象于点，点在反比例函数的图象上，横坐标为，轴交直线于点，D是y轴上任意一点
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求面积的最大值．
12．如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．
(1)求出一次函数与反比例函数的解析式；
(2)点是线段上一点（不与，重合），过点作轴的平行线与该反比例函数的图象交于点，连接，，，当时，求点的坐标；
(3)如图，在（）的前提下，将沿射线方向平移一定的距离后，得到，若点的对应点恰好落在该反比例函数图象上，求出点的坐标．
参考答案
1．(1)；
(2)面积的最大值是
【分析】（1）由、的坐标可求出一次函数的关系式，进而求出点的坐标，代入，求得反比例函数解析式；
（2）设点，点，得出关于与的关系式，进而根据三角形面积公式求解，根据二次函数的性质即可求得最大值．
【详解】（1）解：把、代入一次函数得：
，
解得：，
∴一次函数的关系式为，
将点代入，得，
∴点，
将点代入，
得出
∴，
（2）∵点在反比例函数的图象上，点在一次函数的图象上，，
设点，点，
∴，
∴，
∵，
∴当时，，
所以，面积的最大值是．
【点睛】本题考查反比例函数、一次函数的解析式，将面积用函数的数学模型表示出来，利用函数的最值求解是解决问题的基本思路．
2．(1)，
(2)
【分析】（1）根据求得，把代入反比例函数，可得反比例函数的解析式，把，代入一次函数，即可得一次函数解析式；
（2）联立一次函数与反比例数求得点的坐标，继而即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
把代入反比例函数，得，
∴反比例函数的解析式为，
把，代入一次函数，
得，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：联立
解得：或，
∴，
∵，
∴
．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法求解析式，求三角形面积，已知正切求边长，掌握以上知识是解题的关键．
3．(1)，
(2)ⅰ)或 ⅱ)点P的坐标为
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的综合问题，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质综合等知识，利用数形结合思想是解题的关键．
（1）将点代入一次函数和反比例函数的解析式即可求出a、k，从而得出反比例函数的表达式，令解出x即可得出点B的坐标；
（2）ⅰ)设点P的坐标为，，用m表示出点D、E的坐标，从而求出、，利用列方程求解出m，继而得解；
ⅱ)由求得，从而求出点N的坐标，继而求出其关于直线l对称的对称点的坐标，代入反比例函数解析式可求出m，从而得解．
【详解】（1）∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点
∴，解得：，
∴，反比例函数的表达式为，
∵令得：，
∴；
（2）ⅰ)设点P的坐标为，，
∵过点P作x轴的垂线l交一次函数的图象于点D，交反比例函数的图象于点E，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴或，
∴解得：，，，
∵，
∴或2，
∴或；
ⅱ)∵，
∴
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
过点A作，垂足为H，过点N作轴，垂足为G，则，
∵，
∴，
∴，
∵，垂足为H，，
∴，，
∴，，
∴
设点N关于直线l的对称点为，
∴，
∵将反比例函数的图象沿直线l翻折，翻折后的图象与一次函数的图象有两个交点M，N，
∴在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴点P的坐标为．
4．(1)，
(2)或
【分析】（1）根据，求出点坐标，利用待定系数法求出解析式即可；
（2）联立解析式，求出点的坐标，根据图象法求出x的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵点，
∴，
∴，
∴，
∴；
把点，，代入，得：
，解得：，
∴
∵反比例函数图象过A点，
∴，
∴；
（2）解：联立，解得：或，
∴，
由图象可知：反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围为：或．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用．解题的关键是正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解．
5．(1)一次函数的解析式为：，反比例函数的解析式为：．
(2)平移的距离为．
【分析】（1）先求解，结合三角形的面积可得，再进一步求解函数解析式即可．
（2）先求解，进一步代入解析式判断，设平移后的解析式为，进一步求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数，
当，则，
∴，
∵轴，的面积是面积的3倍．
∴，
∴，，
把代入，得：
∴，，
解得：，
一次函数的解析式为：，反比例函数的解析式为：．
（2）解：∵点关于原点的对称点是点，
∴，
∵反比例函数的解析式为：．
当时，，
∴在反比例函数的图象上．
设平移后的解析式为，
∴，
解得：，
∴平移的距离为．
6．(1)，
(2)8
【分析】（1）待定系数法求解；
（2）求出点的坐标，然后利用三角形面积公式求解．
【详解】（1）解：把点代入，得，
所以；
把代入，得，即，
把点，分别代入中，
，
解得，，
所以；
（2）解：直线与y轴的交点坐标为，
．
7．(1)（）
(2)
【分析】（1）将点代入，得出，将其代入反比例函数解析式即可求解；
（2）设将一次函数的图象向下平移个单位后的函数表达式为，根据题意得出相应的一元二次方程，利用根的判别式即可求解．
【详解】（1）解：将点代入，
得，解得，
∴，
将点代入，得，解得，
∴反比例函数的表达式为（）；
（2）设将一次函数的图象向下平移个单位后的函数表达式为，
一次函数的图象与反比例函数的图象只有一个交点，
即，整理得，
∴，
解得或（舍去），
∴平移后的函数图象与反比例函数的图象只有一个交点时，的值为．
【点睛】题目主要考查一次函数与二次函数综合问题及交点，一元二次方程根的情况与判别式，熟练掌握一次函数及反比例函数的基本性质是解题关键．
8．(1)一次函数的解析式为；
(2)点P的坐标为
(3)或
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，求一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，数形结合是解题的关键．
（1）先将点的坐标代入反比例函数的解析式求出，从而求出反比例函数的解析式，最后将点的坐标代入解析式就可以求出的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式．
（2）由直线解析式求得、的坐标，进而求得，进一步根据题意得到，即，求得的纵坐标，进而求得横坐标；
（3）通过图象观察就可以直接看出当时的取值范围．
【详解】（1）反比例函数的图象过点，
∴，
∴，
∵在双曲线上．
∴，
∴，
∴，
∵一次函数的图象经过A、B两点，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）在中，当时，；当时，则，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵点P在第四象限，
∴，
代入得，，
解得，
∴点P的坐标为；
（3）观察图象可知，对于反比例函数，当时，x的取值范围是或．
9．(1)一次函数的解析式为：，反比例函数的解析式为
(2)自变量x的取值范围为或
(3)
【分析】（1）由待定系数法求解即可；
（2）根据函数图象即可求解；
（3）先求出点，再由求解，再根据共高三角形面积比等于底之比求解．
【详解】（1）解：由题意得：，
则反比例函数的解析式为：，
将点B的坐标代入上式得：，
即点，
将点，代入
则，
解得
∴一次函数的解析式为：；
（2）解：一次函数与反比例函数的图象相交于、，
反比例函数大于一次函数时，自变量x的取值范围为或；
（3）解：连接，
对于，当时，则，
解得
∴点，
∴，
，
∴
则．
10．(1)反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为
(2)或
【分析】（1）将代入反比例函数求出的值，即可得出反比例函数的表达式，计算出，再利用待定系数法计算即可得出一次函数的表达式；
（2）结合函数图象即可得出结果．
【详解】（1）解：将代入反比例函数可得，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
将代入反比例函数可得，即，
∴，
将，代入一次函数的表达式可得，
解得：，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：由图象可得：一次函数大于反比例函数时，x的取值范围为或．
11．(1)一次函数的关系式为，反比例函数的关系式为；
(2)面积的最大值是4．
【分析】（1）由、的坐标可求出一次函数的关系式，进而求出点的坐标，代入，求得反比例函数解析式；
（2）设点，点，得出关于与的关系式，进而根据三角形面积公式求解，根据二次函数的性质即可求得最大值．
【详解】（1）解：把、代入一次函数得：
，
解得：，
一次函数的关系式为，
将点代入，得，
点，
将点代入，
得出，
；
（2）解：点在反比例函数的图象上，点在一次函数的图象上，，
设点，点，
，
，
，
当时，，
所以，面积的最大值是4．
【点睛】本题考查求反比例函数、一次函数的解析式，二次函数的性质，坐标与图形，三角形的面积，将面积用函数的数学模型表示出来，利用函数的最值求解是解决问题的基本思路．
12．(1)，；
(2)
(3)．
【分析】（）利用待定系数法解答即可求解；
（）设，则有，过作于点，则，，根据可得，解方程即可求解；
（）如图，连接，由平移可得，根据平移可得直线的解析式为，联立函数式，解方程组即可求解；
此题考查了待定系数法求一次函数及反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，平移的性质，三角函数等，掌握一次函数及反比例函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵点在直线上，
∴，
解得，
∴一次函数解析式为，
∵在的图象上，
∴，
解得，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：设，则有，
如图，过作于点，则，，
∵，
∴，即，
∴，
解得，，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接，由平移可得，
∴直线的解析式为，
联立函数式得，，
解得或 (不合题意，舍去)，
∴．
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