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南京师大附中2026届高三年级模拟考试数学试题
命题人：高三数学备课组 时间：2026.5
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，则
A． B．
C． D．
2．若，则
A． B．i C． D．1
3．在某次期中考试中，从800名考生中随机抽取100名考生的数学成绩进行统计分析，绘制如图所示的频率分布直方图（满分100分）．则下列说法错误的是
A． B．成绩在的频数为35
C．成绩中位数在区间内 D．成绩平均数在区间内
4．已知平面向量满足且，则向量和向量的夹角的余弦值为
A． B． C． D．
5．若，则
A． B． C． D．
6．已知圆锥的底面和圆台的下底面相同，它们的高均为2，且圆台的上、下底面圆的半径之比是，圆锥的侧面积是，则该圆台的侧面积是
A． B． C． D．
7．若曲线关于直线对称，则
A． B．2 C．0 D．1
8．如图，设曲线上的点与轴上的点顺次构成等腰直角三角形，直角顶点在曲线上，则点的横坐标为
A．20 B．21
C．100 D．101
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．记为等比数列的前项和，为的公比且．若，则下列说法正确的是
A． B．数列是等比数列
C． D．数列是公差为2的等差数列
10．袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．记第一次取出球的数字为，第二次取出球的数字为．设，其中表示不超过的最大整数，则
A． B．
C．事件“”与“”互斥 D．事件“”与“”相互独立
11．在平面直角坐标系中有与轴分别交于两点，为上的动点，以为直径的的位置随点位置的变化而变化，当点逆时针转过一周时，扫过的区域记作，则下列说法正确的是
A．若，则与轴公共点坐标为和
B．若以为圆心的圆可以完全覆盖区域，则该圆的面积的最小值为
C．内的点到轴距离的最大值为
D．与轴的公共部分上的点到轴距离平方的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，则的展开式中的系数为 ．
13．已知定义在上的函数的图象关于直线对称，且．当时，，则 ．
14．已知函数，设曲线在点处切线的斜率为．若均不相等，且，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
在中，内角对边分别是．已知，且的外接圆面积为．
（1）求的大小；
（2）若，求的面积．
16．（本小题满分15分）
已知数列的前项和为，对任意，满足，且．数列满足，且其前两项和为6，前4项和为．
（1）求数列，的通项公式；
（2）将数列，的项按照“当为奇数时，放在的前面；当为偶数时，放在的前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：．求该数列前39项的和．
17．（本小题满分15分）
如图，在三棱柱中，平面平面，，，，．
（1）证明：平面；
（2）求的长；
（3）求平面与平面夹角的余弦值．
18．（本小题满分17分）
双曲线的左右顶点为，其渐近线上有一点，且轴．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点作直线交于点，点在第一象限．
（i）若的面积为14，求直线方程；
（ii）若为钝角，过作的垂线，垂足为，求的最大值．
19．（本小题满分17分）
（1）设函数，求证：．
（2）已知均为大于1的整数，个同学每人在1到这个正整数中任取一个数字，记为仅被选取到一次的数字的个数．
（i）若，求的分布列与期望；
（ii）若，求证：．

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