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浙江省杭州市2025-2026学年七年级下学期第一次月考数学试卷（第一、二章）
1．下列方程中是二元一次方程的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、含有三个未知数，不是二元一次方程，故此选项不符合题意；
B、是二元一次方程，故此选项符合题意；
C、未知数x的最高次数是2，不是二元一次方程故此选项不符合题意；
D、是分式方程，不是二元一次方程，故此选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程.
2．如图，下列判断正确的是(　　)
A．和是同位角 B．和是内错角
C．和是同旁内角 D．和是对顶角
【答案】B
【知识点】对顶角及其性质；同位角的概念；内错角的概念；同旁内角的概念
【解析】【解答】解：A.∠1和∠2是直线AD，直线BE，被直线AC所截的内错角，因此选项A不符合题意；
B.∠3和∠4是直线AB，直线CD，被直线AC所截的内错角，因此选项B符合题意；
C.∠1和∠5不是同旁内角，因此选项C不符合题意；
D.∠2和∠4不是对顶角，因此选项D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角以及对顶角、邻补角的定义结合具体图形逐项进行判断即可.
3．如图，木工师傅用图中的角尺画平行线的依据是（　　）
A．同位角相等，两直线平行
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行两直线平行，同位角相等
D．两直线平行，同位角相等
【答案】A
【知识点】同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：由题意知，木工用图中的角尺画平行线的依据是：同位角相等，两直线平行，
故选：A．
【分析】根据同位角相等，两直线平行解答即可．
4．关于，的方程中“”处的系数印刷不清楚，已知是这个方程的一组解，则“”处的数是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：根据题意，设“”为a，
把x=1，y=2代入方程3x-ay=1，
得3-2a=1，
解得：a=1
故答案为：B.
【分析】根据方程的解的定义，把方程的解代入方程，求解即可.
5．如图，与，，分别交于点，，，且，，则下列结论错误的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；正切的概念；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2-30°，
∴AB//CD，故A正确，不符合题意；
∵EF⊥AB，
∴∠3-180°-30°-90°=60°，故B正确，不符合题意；
∵AB//CD，EF⊥AB
∴EF⊥CD，即：∠GFC=90°，故D正确，不符合题意；
又∵∠2=30°，
∴，即：，故C错误，符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据平行线的判定定理，可判断A，根据平行线的性质，可判断B，D，根据锐角三角函数的定义，可判断C，进而即可得到答案.
6．已知方程组的解满足则的值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：
①×6-②×5解得：
将代入①解得：
∵方程组的解满足x-y=m-1，
∴，
∴m=-1.
故答案为：C.
【分析】通过方程组，得到x，y的值，即可解答.
7．已知关于，的方程是二元一次方程，则，的值为(　　)
A．， B．， C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵关于x，y的方程x2m-n-2+4ym+n+1=6是二元一次方程，
∴
解得：
故答案为：A.
【分析】根据二元一次方程的定义，得出x、y的指数均为1，从而列出关于m、n的方程组，求解得出m、n的值.
8．如图是一台可折叠的床头伸缩壁灯，图是其示意图已知调整前、后的灯杆，调整前臂杆之间的夹角，调整后臂杆之间的夹角，则调整前后同一臂杆变化的角度(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵AB//CD，
∴∠ABC=∠OCD=85°
∵∠ABC是△OAB的外角
∴∠AOC=∠ABC-∠OAB=85°-60°=25°
故答案为：D.
【分析】根据AB//CD的性质得出∠ABC的度数，根据∠ABC是△OAB的外角求解即可.
9．若关于、的方程组的解为，则方程组的解是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：将恒等变形为，
∵关于x、y的方程组的解为
∴关于x、y的方程组的解为
解得
故答案为：B.
【分析】先将恒等变形为，由与的解相同可得，直接求解即可得到答案.
10．如图，已知，交于点，且，平分，点是上的一个定点，点是所在直线上的一个动点，则点在运动过程中，与的关系不可能是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；平行公理的推论
【解析】【解答】解： ∵AB//CD，∠C=α，
∴∠BGC=∠C=α，
∵GE平分∠BGC，
∴，
如图所示，过点P作PM//AB，
∴，
∵AB//CD，
∴PM//CD，
∴
∴，
即2∠GPH-2∠PHC=α，故A是可能的；
如图所示，过点P作PN//AB，
∴，
∵PN//AB，
∴，
∵AB//CD，
∴PN//CD，
∴∠NPH=∠PHC ，
∵∠FPN+∠NPH+∠GPH=180°，
∴，
∴，故C成立，故D不可能成立；
如图所示，过点P作PK//AB，
∴，
∵AB//CD，
∴PK//CD，
∴∠CHP=∠HPK，
∴，
∴
∴2∠GPH+2∠PHC=α，故B成立，
故答案为：D.
【分析】根据点P的位置不同，分别画出图形，从中探求出∠GPH与∠PHC的关系，再作出选择.
11．已知方程，用关于的代数式表示，则　 　 ．
【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：已知方程3x+5y=8，用关于的代数式表示y，
3x+5y=8，
则
故答案为：.
【分析】将x看作已知数求出y即可.
12．如图，将沿方向平移得到，与相交于点，若，，，则图中阴影四边形的面积为　 　 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；平移的性质
【解析】【解答】解：将Rt△ABC(∠ABC=90°)沿BC方向平移得到Rt△DEF(∠DEF=90°)，DE与AC相交于点G，
∵Rt△ABC沿BC边向右平移得到Rt△DEF，AB=6.
∴DE=AB=6，AB//DE，∠B=90°，S△ABC=S△DEF，
∵S△DEF=S阴影+S△CEG，S△ABC=S△CEG+S梯形ABEG，
∴S阴影+S△CEG=S△CEG+S梯形ABEG，
∴S阴影=S梯形ABEG，
∵，BE=2，AB=6
∴
∴
故答案为：.
【分析】根据AB的长度求出EG的长度，再利用梯形的面积公式求解即可.
13．如图，线段与射线交于点，为射线上一动点不与点，重合，连接，过点作直线，过点作直线，交于点点与不重合若，则的度数为　 　 ．
【答案】或
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：当点C在点A左侧时，如图所示，
延长BA交EC于点M，
∵∠ABC=15°，BC⊥CE.
∴∠BME=90°-15°=75°
∵DF//AB.
∴∠CGD=∠BME=75°
当点C在点A右侧时，如图所示，
令AB，CE的交点为N
∵∠ABC=15°，BC⊥CE
∴∠BNE=90°+15°=105°
∵DF//AB
∴∠CGD=∠BNE=105°
综上所述，∠CGD的度数为75°或105°
故答案为：75°或105°.
【分析】分两种情况：当点C在点A左边时，如图，延长BA交CG于点H；当点C在点A右边时，如图，BA交EG交于点H，先由已知求出∠BHC=75°，再根据平行线的性质求解即可.
14．小华看到如图所示的一幅图片并根据其设计了如下数学问题：若设桌子的高度是，站立的小猫的高度为，趴着的小猫的高度为，则桌子的高度为　 　．
【答案】130
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设桌子的高度为x厘米，站立的小猫高度为y厘米，趴下的小猫高度为z厘米，
根据题意得，
①+②得，2x=260，
∴x=130，
∴桌子的高度为130厘米.
故答案为：130.
【分析】设桌子的高度为x厘米，站立的小猫高度为y厘米，趴下的小猫高度为z厘米，根据第一图示：桌子高度+站立小猫高度-趴下小猫高度=150；第二图示：桌子高度+趴下小猫高度-站立小猫高度=110列出方程组进行解答便可.
15．把张完全相同的长方形纸片阴影和两本完全相同的长方形课本空白按下图方式摆放。根据图中标注的尺寸，可得长方形纸片的长与宽之差为　 　。
【答案】5
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，
根据题意，得20+y-x=10+x-y，即2x-2y=20-10
整理，得.
故小长方形的长与宽的差是5.
故答案为：5.
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据图形的摆放方式列出等式，进而即可求解.
16．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，，，直线现将三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时将三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图所示设旋转时间为，当时，若边与三角尺的一条直角边平行，则所有满足条件的的值为　 　．
【答案】或或
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：由题意得：∠HAC=∠BAH+∠BAC=t°+30°，∠FDM=3t°
当BC//DE时，
如图所示：延长AC交MN于点P，
①DE在MN上方，
∵DE//BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴AP//DF.
∴∠FDM=∠MPA，
∵MN//GH
∴∠MPA=∠HAC
∴∠FDM=∠HAC
即3t=t+30，t=15；
②DE1在MN下方时，
∴∠F1DP=(3t-180)°
∵DE1//BC，DE1⊥DF1，AC⊥BC，
∴AP//DF1，
∴∠F1DM=∠MPA
∵MN//GH.
∴∠MPA=∠HAC
∴∠F1DM=∠HAC
即3t-180=t+30，
解得：t=105；
如图：当BC//DF时，延长AC交MN于点I，
①DF在MN上方，∠FDN=(180-3t)°
∵DF//BC，AC⊥BC，
∴AI//DE
∴∠FDN+∠MIA=90°
∵MN//GH，
∴∠MIA=∠HAC
∴∠FDN+∠HAC=90°.
即180-3t+t+30=90，解得：t=60；
②DF在MN下方，∠F2DN=(3t-180)°
∵DF2//BC，AC⊥BC，ED2⊥DF2，
∴AC//DE2，
∴∠AIM=∠MDE2，
∵MN//GH
∴∠MIA=∠HAC
∴∠E2DM=∠HAC
即3t-270=t+30，解得：t=150(舍去)
综上可知：所有满足条件的t的值为：15或105或60.
故答案为：15或105或60.
【分析】分类讨论：延长AC交MN于点P，①DE在MN上方，②DE1在MN下方时，当BC//DF时，延长AC交MN于点I，①DF在MN上方，②DF在MN下方，根据题意画出旋转后的图形，利用平行线的旋转，求出旋转角之间的关系，列出方程解答即可.
17．解方程组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
得：，
解得：，
将代入得：，
解得：，
（2）解：原方程组可化为，
得：，
解得：，
将代入得，
解得：，
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】(1)根据加减消元法计算即可；
(2)原方程组可化为，根据加减消元法计算即可.
18．完成下面的证明如图是某老旧小区在改造天然气管道，从处出发沿北偏东方向到达处，由于人工湖的影响，从处沿北偏西方向到处，从处沿着与垂直的方向铺设，就可以保持与的方向一致即，，到达天然气管道终点处天然气公司解释理由如下，请你补充完整．
证明：因为已知，
所以垂直的定义．
因为，已知
所以 ▲
因为，已知，
所以 ▲ ．
所以 ▲
所以
【答案】解：因为已知，
所以垂直的定义．
因为已知，
所以两直线平行，同旁内角互补．
因为，已知，
所以．
所以等量代换．
所以内错角相等，两直线平行．
故答案为：，两直线平行，同旁内角互补，，，等量代换，内错角相等，两直线平行．
【知识点】垂线的概念；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】根据垂直的定义及平行线的判定及性质定理解答.
19．如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点，，及点在网格的格点上，平移后的对应点为．、
（1）在网格中画出平移后所得的；
（2）连接，，则与的关系是　 　；
【答案】（1）解：出平移后所得的，如图：
（2）AA1//CC1，
【知识点】平移的性质；作图﹣平移
【解析】【解答】解：（2）图和平移的性质可知：AA1//CC1，；
故答案为：AA1//CC1，．
【分析】(1)由题意可得，△ABC向右平移3个单位长度，向下平移4个单位长度得到△A1B1C1，再根据平移的性质作图即可；
(2)根据平移的性质即可得解.
20．如图，已知平分交于点，。
（1）试说明的理由。
（2）若于点，，求的度数。
【答案】（1）解：因为BC平分ABD，
所以1=2
因为1=3，
所以2=3
所以AB//CD
（2）解：因为ADBD，
所以ADB=
因为CDA=，
所以CDB=CDA+ADB=+=
因为AB//CD，
所以ABD+CDB=
所以ABD=-=
因为BC平分ABD，1=3，
所以3=1=2=ABD=
【知识点】角平分线的概念；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】(1)由角平分线的定义得到1=2，即得2=3，即可判定AB//CD；
(2)由垂直的定义得出ADB=90°，可得CDB=CDA+ADB=124°，由平行线的性质得出∠ABD=56°，根据角平分线的定义即可得解.
21．在数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题：
已知关于，的二元一次方程组的解满足十，求的值。
（1）按照小云的方法，的值为　 　，的值为　 　。
（2）请按照小辉的思路求出的值。
【答案】（1）5；-3
（2）解：①+②，得4x+6y=5-3m，
即2(2x+3y)=5-3m，
所以2x+3y=。
因为2x+3y=1，
所以=1，
解得m=1
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：(1)①③联立得到
①×2-③×3得，-y=3，
解得y=-3
把y=-3代入①得，3x+4×(-3)=3，
解得x=5，
故答案为：5；-3.
【分析】(1)将①③联立得到，①×2-③×3得，-y=3，解得y=-3，把y=-3代入①求得x=5即可；
(2)①+②得4x+6y=5-3m，则2(2x+3y)=5-3m，得到，即可得到，求出m的值即可.
22．如图所示，交于点，点在的延长线上，点在线段上，与相交于点，。
（1）求证：。
（2）若点在的延长线上，且，，则和相等吗请说明理由。
（3）在的条件下，若，，求的度数。
【答案】（1）证明：BDA+CEG=，BDA+ADC=，
ADC=CEG
AD//EF
（2）解：BAD和CAD相等
理由如下：
EDH=C，
DH//AC
H=AGF
F=H，
F=AGF
AD//EF，
BAD=F，CAD=AGF
BAD=CAD
（3）解：FHBC，
CEG=
C=，
CGE=--=。
F=AGF=CGE=。
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】(1)根据同位角相等，两直线平行即可求解；
(2)根据平行线的性质可得∠BAD=∠F，∠CAD=∠AGF，进而即可求解；
(3)根据垂线的概念可知∠CEG=，再根据三角形的内角和定理即可求解.
23．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计板材裁切方案？
素材 图中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为图是靠背与座垫的尺寸示意图．
素材 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫已知该板材长为，宽为裁切时不计损耗
我是板材裁切师
任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法． 方法一：裁切靠背张和座垫张． 方法二：裁切靠背 ▲ 张和坐垫 ▲ 张． 方法三：裁切靠背 ▲ 张和坐垫 ▲ 张．
任务二 确定搭配数量 若该工厂购进张该型号板材，能制作成多少张学生椅？
任务三 解决实际问题 现需要制作张学生椅，该工厂仓库现有张座垫和张靠背，还需要购买该型号板材多少张恰好全部用完？并给出一种裁切方案。
【答案】解：任务一：9，3，2，6.
任务二：张，
该工厂购进张该型号板材，能制作成张学生椅．
任务三：设用张板材裁切靠背张和坐垫张，用张板材裁切靠背张和坐垫张．
根据题意，得解得
张，
需要购买该型号板材张，用其中张板材裁切靠背张和坐垫张，用张板材裁切靠背张和坐垫张．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：任务一：设一张该板材裁切靠背张，坐垫张．
根据题意，得，．
，为非负整数，或或
故答案为：9，3，2，6.
【分析】任务一：设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张，可得：15m+35n=240，求出非负整数解即可；
任务二：列式计算得能制作成240张学生椅；
任务三：设用x张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用y张板材裁切靠背2张和坐垫6张，可得：解方程组可得答案.
24．如图，，被直线所截，点是线段上的点，过点作，连结，．
（1）请说明的理由．
（2）将线段沿着直线平移得到线段，连结．
如图，当时，求的度数
在整个运动中，当时，则　 　．
【答案】（1）解：DE//AB，BAE+E=.
B=E，BAE+B=，AE//BC.
（2）解：①如图2，过点D作DF//AE交AB于点F.PQ//AE，DF//PQ.E=，EDF=.DEDQ，EDQ=，FDQ=--=DPQ+QDP=，Q=-=.②或.
【知识点】平行公理及推论；平移的性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：（2）②如图3，过D作DF//AE交AB于点F.PQ//AE，DF//PQ，QDF=-Q.Q=2EDQ，
EDQ=Q.E=，EDF=，-Q-Q=Q=.
如图4，过D作DF//AE交AB于点F.PQ//AE，DF//PQ，QDF=-Q.Q=2EDQ，
EDQ=Q.E=，EDF=，-Q+Q=，Q=.
综上所述，Q=或.
故答案为：或.
【分析】(1)根据平行线的性质得到BAE+E=180°，利用等量代换得到BAE+B=180°，即可证出 AE//BC；
(2)①过点D作DF//AE交AB于点F，根据平行线的性质即可得到结论；
②分两种情况，运用类比的方法，当点P在线段AD上时，过点D作DF//AE交AB于点F，根据平行线的性质即可得到答案；当点P在线段DA的延长线上时，过点D作DF//AE交AB于点F，根据平行线的性质即可得到答案.
1 / 1浙江省杭州市2025-2026学年七年级下学期第一次月考数学试卷（第一、二章）
1．下列方程中是二元一次方程的是(　　)
A． B． C． D．
2．如图，下列判断正确的是(　　)
A．和是同位角 B．和是内错角
C．和是同旁内角 D．和是对顶角
3．如图，木工师傅用图中的角尺画平行线的依据是（　　）
A．同位角相等，两直线平行
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行两直线平行，同位角相等
D．两直线平行，同位角相等
4．关于，的方程中“”处的系数印刷不清楚，已知是这个方程的一组解，则“”处的数是(　　)
A． B． C． D．
5．如图，与，，分别交于点，，，且，，则下列结论错误的是(　　)
A． B． C． D．
6．已知方程组的解满足则的值为(　　)
A． B． C． D．
7．已知关于，的方程是二元一次方程，则，的值为(　　)
A．， B．， C． D．
8．如图是一台可折叠的床头伸缩壁灯，图是其示意图已知调整前、后的灯杆，调整前臂杆之间的夹角，调整后臂杆之间的夹角，则调整前后同一臂杆变化的角度(　　)
A． B． C． D．
9．若关于、的方程组的解为，则方程组的解是(　　)
A． B． C． D．
10．如图，已知，交于点，且，平分，点是上的一个定点，点是所在直线上的一个动点，则点在运动过程中，与的关系不可能是(　　)
A． B．
C． D．
11．已知方程，用关于的代数式表示，则　 　 ．
12．如图，将沿方向平移得到，与相交于点，若，，，则图中阴影四边形的面积为　 　 ．
13．如图，线段与射线交于点，为射线上一动点不与点，重合，连接，过点作直线，过点作直线，交于点点与不重合若，则的度数为　 　 ．
14．小华看到如图所示的一幅图片并根据其设计了如下数学问题：若设桌子的高度是，站立的小猫的高度为，趴着的小猫的高度为，则桌子的高度为　 　．
15．把张完全相同的长方形纸片阴影和两本完全相同的长方形课本空白按下图方式摆放。根据图中标注的尺寸，可得长方形纸片的长与宽之差为　 　。
16．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，，，直线现将三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时将三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图所示设旋转时间为，当时，若边与三角尺的一条直角边平行，则所有满足条件的的值为　 　．
17．解方程组：
（1）；
（2）．
18．完成下面的证明如图是某老旧小区在改造天然气管道，从处出发沿北偏东方向到达处，由于人工湖的影响，从处沿北偏西方向到处，从处沿着与垂直的方向铺设，就可以保持与的方向一致即，，到达天然气管道终点处天然气公司解释理由如下，请你补充完整．
证明：因为已知，
所以垂直的定义．
因为，已知
所以 ▲
因为，已知，
所以 ▲ ．
所以 ▲
所以
19．如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点，，及点在网格的格点上，平移后的对应点为．、
（1）在网格中画出平移后所得的；
（2）连接，，则与的关系是　 　；
20．如图，已知平分交于点，。
（1）试说明的理由。
（2）若于点，，求的度数。
21．在数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题：
已知关于，的二元一次方程组的解满足十，求的值。
（1）按照小云的方法，的值为　 　，的值为　 　。
（2）请按照小辉的思路求出的值。
22．如图所示，交于点，点在的延长线上，点在线段上，与相交于点，。
（1）求证：。
（2）若点在的延长线上，且，，则和相等吗请说明理由。
（3）在的条件下，若，，求的度数。
23．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计板材裁切方案？
素材 图中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为图是靠背与座垫的尺寸示意图．
素材 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫已知该板材长为，宽为裁切时不计损耗
我是板材裁切师
任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法． 方法一：裁切靠背张和座垫张． 方法二：裁切靠背 ▲ 张和坐垫 ▲ 张． 方法三：裁切靠背 ▲ 张和坐垫 ▲ 张．
任务二 确定搭配数量 若该工厂购进张该型号板材，能制作成多少张学生椅？
任务三 解决实际问题 现需要制作张学生椅，该工厂仓库现有张座垫和张靠背，还需要购买该型号板材多少张恰好全部用完？并给出一种裁切方案。
24．如图，，被直线所截，点是线段上的点，过点作，连结，．
（1）请说明的理由．
（2）将线段沿着直线平移得到线段，连结．
如图，当时，求的度数
在整个运动中，当时，则　 　．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、含有三个未知数，不是二元一次方程，故此选项不符合题意；
B、是二元一次方程，故此选项符合题意；
C、未知数x的最高次数是2，不是二元一次方程故此选项不符合题意；
D、是分式方程，不是二元一次方程，故此选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程.
2．【答案】B
【知识点】对顶角及其性质；同位角的概念；内错角的概念；同旁内角的概念
【解析】【解答】解：A.∠1和∠2是直线AD，直线BE，被直线AC所截的内错角，因此选项A不符合题意；
B.∠3和∠4是直线AB，直线CD，被直线AC所截的内错角，因此选项B符合题意；
C.∠1和∠5不是同旁内角，因此选项C不符合题意；
D.∠2和∠4不是对顶角，因此选项D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角以及对顶角、邻补角的定义结合具体图形逐项进行判断即可.
3．【答案】A
【知识点】同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：由题意知，木工用图中的角尺画平行线的依据是：同位角相等，两直线平行，
故选：A．
【分析】根据同位角相等，两直线平行解答即可．
4．【答案】B
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：根据题意，设“”为a，
把x=1，y=2代入方程3x-ay=1，
得3-2a=1，
解得：a=1
故答案为：B.
【分析】根据方程的解的定义，把方程的解代入方程，求解即可.
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；正切的概念；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2-30°，
∴AB//CD，故A正确，不符合题意；
∵EF⊥AB，
∴∠3-180°-30°-90°=60°，故B正确，不符合题意；
∵AB//CD，EF⊥AB
∴EF⊥CD，即：∠GFC=90°，故D正确，不符合题意；
又∵∠2=30°，
∴，即：，故C错误，符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据平行线的判定定理，可判断A，根据平行线的性质，可判断B，D，根据锐角三角函数的定义，可判断C，进而即可得到答案.
6．【答案】C
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：
①×6-②×5解得：
将代入①解得：
∵方程组的解满足x-y=m-1，
∴，
∴m=-1.
故答案为：C.
【分析】通过方程组，得到x，y的值，即可解答.
7．【答案】A
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵关于x，y的方程x2m-n-2+4ym+n+1=6是二元一次方程，
∴
解得：
故答案为：A.
【分析】根据二元一次方程的定义，得出x、y的指数均为1，从而列出关于m、n的方程组，求解得出m、n的值.
8．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵AB//CD，
∴∠ABC=∠OCD=85°
∵∠ABC是△OAB的外角
∴∠AOC=∠ABC-∠OAB=85°-60°=25°
故答案为：D.
【分析】根据AB//CD的性质得出∠ABC的度数，根据∠ABC是△OAB的外角求解即可.
9．【答案】B
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：将恒等变形为，
∵关于x、y的方程组的解为
∴关于x、y的方程组的解为
解得
故答案为：B.
【分析】先将恒等变形为，由与的解相同可得，直接求解即可得到答案.
10．【答案】D
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；平行公理的推论
【解析】【解答】解： ∵AB//CD，∠C=α，
∴∠BGC=∠C=α，
∵GE平分∠BGC，
∴，
如图所示，过点P作PM//AB，
∴，
∵AB//CD，
∴PM//CD，
∴
∴，
即2∠GPH-2∠PHC=α，故A是可能的；
如图所示，过点P作PN//AB，
∴，
∵PN//AB，
∴，
∵AB//CD，
∴PN//CD，
∴∠NPH=∠PHC ，
∵∠FPN+∠NPH+∠GPH=180°，
∴，
∴，故C成立，故D不可能成立；
如图所示，过点P作PK//AB，
∴，
∵AB//CD，
∴PK//CD，
∴∠CHP=∠HPK，
∴，
∴
∴2∠GPH+2∠PHC=α，故B成立，
故答案为：D.
【分析】根据点P的位置不同，分别画出图形，从中探求出∠GPH与∠PHC的关系，再作出选择.
11．【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：已知方程3x+5y=8，用关于的代数式表示y，
3x+5y=8，
则
故答案为：.
【分析】将x看作已知数求出y即可.
12．【答案】
【知识点】三角形的面积；平移的性质
【解析】【解答】解：将Rt△ABC(∠ABC=90°)沿BC方向平移得到Rt△DEF(∠DEF=90°)，DE与AC相交于点G，
∵Rt△ABC沿BC边向右平移得到Rt△DEF，AB=6.
∴DE=AB=6，AB//DE，∠B=90°，S△ABC=S△DEF，
∵S△DEF=S阴影+S△CEG，S△ABC=S△CEG+S梯形ABEG，
∴S阴影+S△CEG=S△CEG+S梯形ABEG，
∴S阴影=S梯形ABEG，
∵，BE=2，AB=6
∴
∴
故答案为：.
【分析】根据AB的长度求出EG的长度，再利用梯形的面积公式求解即可.
13．【答案】或
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：当点C在点A左侧时，如图所示，
延长BA交EC于点M，
∵∠ABC=15°，BC⊥CE.
∴∠BME=90°-15°=75°
∵DF//AB.
∴∠CGD=∠BME=75°
当点C在点A右侧时，如图所示，
令AB，CE的交点为N
∵∠ABC=15°，BC⊥CE
∴∠BNE=90°+15°=105°
∵DF//AB
∴∠CGD=∠BNE=105°
综上所述，∠CGD的度数为75°或105°
故答案为：75°或105°.
【分析】分两种情况：当点C在点A左边时，如图，延长BA交CG于点H；当点C在点A右边时，如图，BA交EG交于点H，先由已知求出∠BHC=75°，再根据平行线的性质求解即可.
14．【答案】130
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设桌子的高度为x厘米，站立的小猫高度为y厘米，趴下的小猫高度为z厘米，
根据题意得，
①+②得，2x=260，
∴x=130，
∴桌子的高度为130厘米.
故答案为：130.
【分析】设桌子的高度为x厘米，站立的小猫高度为y厘米，趴下的小猫高度为z厘米，根据第一图示：桌子高度+站立小猫高度-趴下小猫高度=150；第二图示：桌子高度+趴下小猫高度-站立小猫高度=110列出方程组进行解答便可.
15．【答案】5
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，
根据题意，得20+y-x=10+x-y，即2x-2y=20-10
整理，得.
故小长方形的长与宽的差是5.
故答案为：5.
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据图形的摆放方式列出等式，进而即可求解.
16．【答案】或或
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：由题意得：∠HAC=∠BAH+∠BAC=t°+30°，∠FDM=3t°
当BC//DE时，
如图所示：延长AC交MN于点P，
①DE在MN上方，
∵DE//BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴AP//DF.
∴∠FDM=∠MPA，
∵MN//GH
∴∠MPA=∠HAC
∴∠FDM=∠HAC
即3t=t+30，t=15；
②DE1在MN下方时，
∴∠F1DP=(3t-180)°
∵DE1//BC，DE1⊥DF1，AC⊥BC，
∴AP//DF1，
∴∠F1DM=∠MPA
∵MN//GH.
∴∠MPA=∠HAC
∴∠F1DM=∠HAC
即3t-180=t+30，
解得：t=105；
如图：当BC//DF时，延长AC交MN于点I，
①DF在MN上方，∠FDN=(180-3t)°
∵DF//BC，AC⊥BC，
∴AI//DE
∴∠FDN+∠MIA=90°
∵MN//GH，
∴∠MIA=∠HAC
∴∠FDN+∠HAC=90°.
即180-3t+t+30=90，解得：t=60；
②DF在MN下方，∠F2DN=(3t-180)°
∵DF2//BC，AC⊥BC，ED2⊥DF2，
∴AC//DE2，
∴∠AIM=∠MDE2，
∵MN//GH
∴∠MIA=∠HAC
∴∠E2DM=∠HAC
即3t-270=t+30，解得：t=150(舍去)
综上可知：所有满足条件的t的值为：15或105或60.
故答案为：15或105或60.
【分析】分类讨论：延长AC交MN于点P，①DE在MN上方，②DE1在MN下方时，当BC//DF时，延长AC交MN于点I，①DF在MN上方，②DF在MN下方，根据题意画出旋转后的图形，利用平行线的旋转，求出旋转角之间的关系，列出方程解答即可.
17．【答案】（1）解：，
得：，
解得：，
将代入得：，
解得：，
（2）解：原方程组可化为，
得：，
解得：，
将代入得，
解得：，
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】(1)根据加减消元法计算即可；
(2)原方程组可化为，根据加减消元法计算即可.
18．【答案】解：因为已知，
所以垂直的定义．
因为已知，
所以两直线平行，同旁内角互补．
因为，已知，
所以．
所以等量代换．
所以内错角相等，两直线平行．
故答案为：，两直线平行，同旁内角互补，，，等量代换，内错角相等，两直线平行．
【知识点】垂线的概念；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】根据垂直的定义及平行线的判定及性质定理解答.
19．【答案】（1）解：出平移后所得的，如图：
（2）AA1//CC1，
【知识点】平移的性质；作图﹣平移
【解析】【解答】解：（2）图和平移的性质可知：AA1//CC1，；
故答案为：AA1//CC1，．
【分析】(1)由题意可得，△ABC向右平移3个单位长度，向下平移4个单位长度得到△A1B1C1，再根据平移的性质作图即可；
(2)根据平移的性质即可得解.
20．【答案】（1）解：因为BC平分ABD，
所以1=2
因为1=3，
所以2=3
所以AB//CD
（2）解：因为ADBD，
所以ADB=
因为CDA=，
所以CDB=CDA+ADB=+=
因为AB//CD，
所以ABD+CDB=
所以ABD=-=
因为BC平分ABD，1=3，
所以3=1=2=ABD=
【知识点】角平分线的概念；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】(1)由角平分线的定义得到1=2，即得2=3，即可判定AB//CD；
(2)由垂直的定义得出ADB=90°，可得CDB=CDA+ADB=124°，由平行线的性质得出∠ABD=56°，根据角平分线的定义即可得解.
21．【答案】（1）5；-3
（2）解：①+②，得4x+6y=5-3m，
即2(2x+3y)=5-3m，
所以2x+3y=。
因为2x+3y=1，
所以=1，
解得m=1
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：(1)①③联立得到
①×2-③×3得，-y=3，
解得y=-3
把y=-3代入①得，3x+4×(-3)=3，
解得x=5，
故答案为：5；-3.
【分析】(1)将①③联立得到，①×2-③×3得，-y=3，解得y=-3，把y=-3代入①求得x=5即可；
(2)①+②得4x+6y=5-3m，则2(2x+3y)=5-3m，得到，即可得到，求出m的值即可.
22．【答案】（1）证明：BDA+CEG=，BDA+ADC=，
ADC=CEG
AD//EF
（2）解：BAD和CAD相等
理由如下：
EDH=C，
DH//AC
H=AGF
F=H，
F=AGF
AD//EF，
BAD=F，CAD=AGF
BAD=CAD
（3）解：FHBC，
CEG=
C=，
CGE=--=。
F=AGF=CGE=。
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】(1)根据同位角相等，两直线平行即可求解；
(2)根据平行线的性质可得∠BAD=∠F，∠CAD=∠AGF，进而即可求解；
(3)根据垂线的概念可知∠CEG=，再根据三角形的内角和定理即可求解.
23．【答案】解：任务一：9，3，2，6.
任务二：张，
该工厂购进张该型号板材，能制作成张学生椅．
任务三：设用张板材裁切靠背张和坐垫张，用张板材裁切靠背张和坐垫张．
根据题意，得解得
张，
需要购买该型号板材张，用其中张板材裁切靠背张和坐垫张，用张板材裁切靠背张和坐垫张．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：任务一：设一张该板材裁切靠背张，坐垫张．
根据题意，得，．
，为非负整数，或或
故答案为：9，3，2，6.
【分析】任务一：设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张，可得：15m+35n=240，求出非负整数解即可；
任务二：列式计算得能制作成240张学生椅；
任务三：设用x张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用y张板材裁切靠背2张和坐垫6张，可得：解方程组可得答案.
24．【答案】（1）解：DE//AB，BAE+E=.
B=E，BAE+B=，AE//BC.
（2）解：①如图2，过点D作DF//AE交AB于点F.PQ//AE，DF//PQ.E=，EDF=.DEDQ，EDQ=，FDQ=--=DPQ+QDP=，Q=-=.②或.
【知识点】平行公理及推论；平移的性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：（2）②如图3，过D作DF//AE交AB于点F.PQ//AE，DF//PQ，QDF=-Q.Q=2EDQ，
EDQ=Q.E=，EDF=，-Q-Q=Q=.
如图4，过D作DF//AE交AB于点F.PQ//AE，DF//PQ，QDF=-Q.Q=2EDQ，
EDQ=Q.E=，EDF=，-Q+Q=，Q=.
综上所述，Q=或.
故答案为：或.
【分析】(1)根据平行线的性质得到BAE+E=180°，利用等量代换得到BAE+B=180°，即可证出 AE//BC；
(2)①过点D作DF//AE交AB于点F，根据平行线的性质即可得到结论；
②分两种情况，运用类比的方法，当点P在线段AD上时，过点D作DF//AE交AB于点F，根据平行线的性质即可得到答案；当点P在线段DA的延长线上时，过点D作DF//AE交AB于点F，根据平行线的性质即可得到答案.
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