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湖南长沙市华益中学2026年初中学业水平考试模拟试卷数学（二）
1．下列实数中，比小的是（　　）
A． B．0 C． D．
【答案】D
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】先估算的大小，再根据正数大于0，0大于负数，负数绝对值大的反而小解答即可.
2．下列立体图形中，主视图和俯视图相同的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A.主视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意；
B.主视图是一个矩形(矩形内部有一条纵向的虚线)，俯视图是三角形，故本选项不合题意；
C.主视图和俯视图是圆，故本选项符合题意；
D.主视图是三角形，三角形的内部有一条纵向的实线，俯视图是四边形，四边形的内部有一点与三角形的四个顶点相连，故本选项不合题意；
故答案为：C.
【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形进行分析.
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；二次根式的加减法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
B、a3÷a3=a3-3=a0=1≠a，选项计算错误，不符合题意；
C、(-a3)2=(-1)2·(a3)2=a3×2=a6，选项计算正确，符合题意；
D、a2·a3=a2+3=a5≠a6，选项计算错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的加法运算法则、同底数幂的乘法、除法运算法则，幂的乘方、积的乘方运算法则一一判断即可.
4．下列调查中，最适宜采用全面调查方式的是（　　）
A．调查国庆中秋假期游客对长沙热门景点的满意度
B．调查“神舟二十二号”飞船重要零部件的产品质量
C．了解我国中学生的视力情况
D．了解某品牌灯泡使用寿命
【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A.国庆假期游客数量多，范围广，不需要对每一名游客调查，因此适宜抽样调查，不符合题意；
B.飞船重要零部件的质量直接影响飞行安全，每一个零部件都必须检查，不能出错，因此最适宜采用全面调查方式，符合题意；
C.我国中学生总数大，范围广，适宜抽样调查，不符合题意；
D.测试灯泡使用寿命的过程具有破坏性，无法对所有灯泡进行测试，适宜抽样调查，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据调查对象的性质、范围及实际需求，判断应选择全面调查还是抽样调查即可得到答案.
5．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　）
A．且 B．
C．且 D．
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：式子在实数范围内有意义，
则
解得得x≥-1且x≠5.
故答案为：A.
【分析】式子在实数范围内有意义，需满足二次根式被开方数非负，分母不为零，据此求解即可.
6．如图，，垂足为，，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂线的概念；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵BC⊥AE
∴∠BCE=90°
∵CD//AB，∠A=40°
∴∠DCE=∠A=40°
∴∠BCD=∠BCE-∠DCE=90°-40°=50°
故答案为：B.
【分析】根据垂直的定义得到∠BCE=90°，由平行的性质得到∠DCE=∠A=40°，最后根据角的和差即可求解.
7．如图，的对角线相交于点，且，则的周长是（　　）
A．5 B．7 C．10 D．11
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2OC，BD=2OB，BC=AD=3
∵AC+BD=8，AD=3，
∴2OC+2OB=8，
即OC+OB=4
∴△BOC的周长为：OB+OC+BC=4+3=7
故答案为：B.
【分析】直接利用平行四边形的性质得出AC=2CO，BD=2BO，BC=AD=3，再求出2OB+2OC=8，得出OB+OC=4，即可得到答案.
8．求一组数据方差的算式为：，对于这组数据，下列说法正确的是（　　）
A．的值为4 B． C．众数是6 D．中位数是6
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：求一组数据方差的算式为：
∵根据方差的定义，方差算式中的项数等于数据个数n，
观察算式可知，共有4个项，
∴n=4，选项A正确；
可得这组数据为4，5，5，6
∵
∴选项B错误；
∵数据中5出现次数最多
∴众数为5，选项C错误；
将数据从小到大排列为4，5，5，6，中间两个数为5，5
∴中位数为，选项D错误.
故答案为：A.
【分析】根据方差的定义确定数据个数n，再计算这组数据的平均数，众数和中位数，逐一判断选项即可.
9．如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（　　）
A．第二次购买时，每个魔方涨价10元，结果比第一次多买了5个
B．第二次购买时，每个魔方涨价10元，结果比第一次少买了5个
C．第二次购买时，每个魔方优惠10元，结果比第一次多买了5个
D．第二次购买时，每个魔方优惠10元，结果比第一次少买了5个
【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意列分式方程为
∴第二次购买魔方的单价比第一次低10元，
∴被墨水污染部分的文字为：第二次购买时，每个魔方优惠10元，结果比第一次少买了5个，
故答案为：D.
【分析】由x表示第一次购买魔方的数量，可得出(x-5)表示第二次购买魔方的数量，进而可得出第二次比第一次少买5个，利用单价=总价÷数量，结合所列方程，可得出第二次购买魔方的单价比第一次低10元，进而可找出被墨水污染部分的文字.
10．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点（且），直线分别与轴、轴相交于两点，连接，则下列结论中：①点在反比例函数的图象上；②；③；④的值随的增大而增大．正确结论的序号为（　　）
A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标系中的两点距离公式；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：对于①，当x=m时，；
当x=1时，；
∴点P，Q在反比例函数的图象上；符合题意；
对于②，设直线PQ的解析式为y=kx+b，代入P，Q坐标得：
解得
∴直线PQ的解析式为y=-x+m+1，
令y=0，得x=m+1，即A(m+1，0)；
令x=0，得y=m+1，即B(0，m+1)；
∴OA=OB=m+1，
又∵∠AOB=90°
∴△AOB是等腰直角三角形
∴∠OAB=45°；符合题意；
对于③，
∴AP=BQ，符合题意；
对于④，如图，过点O作OC⊥AB交于点C，过点Q作QD⊥OP交于点D，
由②知，
∵，，
又∵，
∴
∴
当0则当m增大时，sinZPOQ减小，即ZPOQ逐渐减小；
当m>1时.
m增大，∠POQ逐渐增大，因此∠POQ不随m的增大一直增大，④错误，不符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数性质，待定系数法求一次函数解析式，等腰直角三角形性质，两点间距离公式，逐一判断每个结论，即可得到答案.
11．稀土是宝贵的战略资源，广泛应用于尖端科技领域和军工领域，被称为“新材料之母”．我国是全球稀土储量最多的国家，截至年已探明稀土储量吨，约占全球总储量的，数据用科学记数法表示为　 　．
【答案】4.4×107
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：44000000=4.4×107
故答案为：4.4×107.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数.
12．中国画以墨代色，产生了墨分五色的说法，唐代张彦远《历代名画记》中曰：运墨而五色具，五色：焦、浓、重、淡、清，美术老师想从这五色中随机选择一色让学生重点练习，则选中浓的概率为　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可知，从焦、浓、重、淡、清共5种颜色中随机选择一色，共有5种等可能的结果，其中选中浓的结果有1种
∴随机选择一色，选中浓的概率为
故答案为：.
【分析】直接利用概率公式求解即可.
13．在平面直角坐标系中，将点向下平移个单位长度得到点，则点的坐标是　 　．
【答案】(-3，-1)
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：将点A(-3，2)向下平移3个单位长度是(-3，2-3)，即(-3，-1).
故答案为：(-3，-1).
【分析】根据平面直角坐标系平移的性质即可求解.
14．计算：　 　．
【答案】1
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
故答案为：1.
【分析】根据同分母分式减法法则：分母相同，分子直接相减，化简后即可得到结果.
15．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为　 　．
【答案】2030
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵x=a是一元二次方程x2-2x-4=0的一个根，
∴a2-2a-4=0
∴a2-2a=4，
∴a2-2a+2026=4+2026=2030
故答案为：2030.
【分析】把x=a代入x2-2x-4=0并变形得到a2-2a=4，然后再整体代入求值.
16．如图，在中，为直径上一点，弦经过点．若，，，则弦的长为　 　．
【答案】
【知识点】垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵AM=1， BM=5
∴AB=AM+BM=1+5=6
∴圆的半径
∵点O为AB的中点
∴OA=3
∴OM=OA-AM=3-1=2
过点O作OE⊥CD于点E，连接OD，
∵OE⊥CD
∴∠OEM=90°，CD=2DE
在Rt△OME中，∠OME=∠DMB=60°
∴
在Rt△ODE中，OD=3，
根据勾股定理得：
∴
故答案为：.
【分析】先求出OM，过点O作OE⊥CD于点E，连接OD，解Rt△OME求出OE的长，再在Rt△ODE中利用勾股定理求出DE的长，最后根据垂径定理求出CD的长.
17．计算：．
【答案】解：原式
=2
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】原式利用二次根式性质，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果.
18．解不等式组：
【答案】解：
解不等式2x+1≥-3得，x≥-2，
解不等式得，x<4，
∴原不等式组的解集为-2≤x<4.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解每一个不等式，再取解集的公共部分作为不等式组的解集即可.
19．如图，在矩形中，点和点在边上，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：在矩形ABCD中，点E和点F在边BC上，且AF=DE，
∵矩形ABCD
∴AB=CD，∠B=∠C=90°，
∵AF=DE
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)
（2）解：∵△ABF≌△DCE
∴BF=CE
∴BC-BF=BC-CE， 即CF=BE.
∵BC=11，EF=7
∴.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；矩形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)利用HL证明即可△ABF≌△DCE；
(2)由全等三角形的性质求得BF=CE，得到CF=BE，据此求解即可.
20．根据2026年长沙体育中考详细方案，2026年体育满分从40分增加到50分，测试项目保持不变，且拟于2028年在传统三大球（篮球、足球、排球）的基础上新增乒乓球和羽毛球．为了解某地区七年级学生对这五项球类运动的喜爱情况，从该地区随机抽取部分七年级学生进行问卷调查（参与问卷调查的每名同学只能选择其中一项运动），收集数据，并将调查得到的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表．
运动项目 人数
羽毛球 40
乒乓球 100
篮球
足球
排球 30
根据图表中所给信息，解答下列问题：
（1）计算出表中的值；
（2）求扇形统计图中表示“足球”部分所对应的扇形的圆心角度数：
（3）若该地区七年级学生共有20000人，试估计该地区七年级学生中喜爱“羽毛球”类运动的学生有多少人？
【答案】（1）解：喜爱乒乓球的有100人，百分比为20%，
∴100÷20%=500(人).
∴m=500×36%=180(人)，
则n=500-40-100-180-30=150(人)；
（2）解：
（3）解：若该地区七年级学生共有20000人，试估计该地区七年级学生中喜爱“羽毛球”类运动的学生有(人)
∴该地区七年级学生中喜爱“羽毛球”类运动的学生约有1600人
【知识点】统计表；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】(1)根据乒乓球的人数与百分比得到样本容量，再算各项人数即可；
(2)由圆心角度数的计算方法求解即可；
(3)根据样本估算总体数量即可.
21． 2025年，“湘”超湘味、“湘”当韵味的首届湖南省足球联赛（简称“湘超联赛”）席卷三湘大地，赛场外以红嘴相思鸟和超级稻为原型的湘超联赛吉祥物“湘湘”和“超超”玩偶深受喜爱．购买某商家生产的吉祥物玩偶时，买4个湘湘比买3个超超多用10元，买1个湘湘和2个超超共用140元．
（1）湘湘和超超的单价分别是多少元？
（2）某公益组织决定购买湘湘和超超共60个送给学生做纪念品，总费用不超过2700元，则至少应购买湘湘多少个？
【答案】（1）解：设湘湘的单价是x元，超超的单价是y元
根据题意得：
解得：
答：湘湘的单价是40元，超超的单价是50元.
（2）解：设应购买湘湘m个，则购买超超(60-m)个，
根据题意得：40m+50(60-m)≤2700
解得：m≥30
答：至少应购买湘湘30个.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设湘湘的单价是x元，超超的单价是y元，根据“买4个湘湘比买3个超超多用10元，买1个湘湘和2个超超共用140元”建立二元一次方程组，解方程组即可；
(2)设购买湘湘m个，则购买超超(60-m)个，根据“总费用不超过2700元”建立一元一次不等式，解不等式即可.
22． 2025年8月17日，岳麓山顶的长沙广播电视发射塔（如图1）焕新升级后以“长沙之眼”观景平台的新身份亮相，在“长沙之眼”里踱着步，转个圈，橘子洲、五一商圈、梅溪湖国际艺术中心等长沙地标就尽收眼底．如图2．“长沙之眼”高度为，从距离塔底点26米的点出发，沿着一段坡度为的斜坡走50米到达点，此时回头看塔顶点，仰角刚好是，已知点在点的正下方，三点在同一水平线上．点，在同一平面内，请回答下列问题：
（1）求斜坡的高度；
（2）求“长沙之眼”的高度．
【答案】（1）解：根据题意可知CD=50米，且坡度为
∴
设DE=7x，CE=24x，根据勾股定理，得DE2+CE2=CD2，
即(7x)2+(24x)2=502
解得：x=2
∴DE=14米，CE=48米
（2）解：如图所示，过点D作DF⊥AB，交于点F，
根据题意知AC=26米，
∴AE=CE+AC=48+26=74(米)
∵∠E=∠EAF=∠AFD=90°，
∴AF=DE=14米，AE=DF=74米.
由题意可得：∠BDF=∠B=45°
∴BF=DF=74米
∴AB=BF+AF=74+14=88(米)，
所以“长沙之眼”的高度是88米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；矩形底座模型
【解析】【分析】(1)根据坡度可得，再设DE=7x，CE=24x，根据勾股定理可得答案；
(2)作DF⊥AB，根据题意知AC=26米，再求出AE(米)，然后根据矩形的性质可得AF，DF，接下来根据等腰三角形的性质求出BF，最后根据AB=BF+AF得出答案.
23．如图，是的直径，直线与相切于点，过点作于点．
（1）求证：；
（2）若的半径为4，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：AB是⊙O的直径，直线CE与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥CE于点D，连接OC，
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=∠OCA+∠1=90°
∵OB=OC
∴∠B=∠1，
∵直线CE与⊙O相切于点C，
∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=90°
∴∠ACD=∠B
∵∠ACB=∠ADC=90°
∴△ABC∽△ACD
（2）解：∵∠ACE=30°，∠OCD=90°
∴∠OCA=60°
∵OA=OC
∴△OCA是等边三角形
∴∠COA=60°， AC=OA=4.
∵∠ACE=30°，∠ADC=90°
∴，，
∴阴影部分的面积
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质；扇形面积的计算；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)利用圆周角定理和切线的性质求得∠ACD=∠B，根据∠ACB=∠ADC=90°，即可得到△ABC∽△ACD；
(2)求得△OCA是等边三角形，，，据此求解即可.
24．定义：在平面直角坐标系中，我们把直线称为抛物线的“向阳线”．如直线是抛物线的“向阳线”．
（1）求抛物线与它的“向阳线”的交点坐标；
（2）抛物线与轴交于两点，与它的“向阳线”相交于两点，已知点的横坐标为，点不在轴上，试说明：无论为何值．点始终在一条确定的直线上：
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为，若点和点到直线的距离相等，求的值．
【答案】（1）解：根据题意得，抛物线y=x2-2x+3的“向阳线”为y=x+3，
联立抛物线与“向阳线”得
解得或
∴抛物线y=x2-2x+3与它的“向阳线”的交点坐标为(0，3)和(3，6).
（2）解：无论b为何值，点D始终在一条确定的直线l上.
∵抛物线过点A(-2，0)，
∴，，
解得c=2b-2.
∴抛物线为，
∴其“向阳线”为，
联立抛物线与“向阳线”得
∴x2+(2b-1)x=0，
解得或
∵点D不在y轴上，
∴点D的坐标为，
设直线的解析式为y=kx+m，
将D点代入直线l得，，
∵无论b为何值时，上式都成立，
∴
解得
∴直线l的解析式为，即无论b为何值时，点D始终在直线上
（3）解：由(2)得，抛物线解析式为，
∴其顶点坐标的横坐标为，
将x=-b代入抛物线中，得.
∴顶点M的坐标为，
令，x2+2bx+4b-4=0，
设点B的横坐标为x0，
∵点A的横坐标为-2，
∴-2+x0=-2b， 即x0=2-2b，
∴点B的坐标为(2-2b，0)，
当直线MB与直线平行时，设直线MB解析式为y=k1x+b1，
则
将点B和点M的坐标代入得
b2-5b+6=0，
(b-2)(b-3)=0
解得b=2或b=3
当直线l经过线段MB的中点时，
则MB的中点坐标为
∵中点在直线上，
∴-b2+6+2=0，
(b-2)(b+1)=0，
解得b=2或b=-1
由题意得，令，
∴Δ=(2b)2-4×1×(4b-4)=4(b-2)2
∴当Δ>0时，b≠2(b=2时A，B重合，不符合题意).
∴若点M和点B到直线[的距离相等，则b的值为-1或3
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】(1)根据“向阳线”定义，抛物线y=x2-2x+3的向阳线为y=x+3，联立，进行求解即可；
(2)将A(-2，0)代入抛物线得c=2b-2，联立抛物线与向阳线，解得，由恒成立条件列方程组，得直线的解析式为，故D恒在该直线上；
(3)根据题意求出顶点和B(2-2b，0)，再分MB//l和过MB中点两种情况，进行求解即
可.
25．如图，将的边绕点逆时针旋转得到．
（1）如图1，当时，连接，若，求的大小；
（2）如图2，当时，连接，若，，，求的长：
（3）如图3，当时，已知，，连接，，点，分别是边上的动点（点不与端点重合，且位于两侧），连接．是否存在实数，使得代数式为定值，若存在，求出实数的值：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵将△ABC的边AB绕点A逆时针旋转α得到AD，α=50°
∴∠BAD=α=50°， AB=AD，
∵AC⊥BD，
∴
（2）解：连接BD，作DE⊥AC于点E，
∵将△ABC的边AB绕点A逆时针旋转α得到AD，α=90°
∴AB=AD，∠BAD=90°
∴∠ABD=∠ADB=45°
∵∠ABC+∠ADC=180°
∴A，B，C，D四点共圆
∴∠BCD=180°-∠BAD=90°，BD为直径，∠ACD=∠ABD=45°
∴CD=4，BC=2，
在直角三角形BCD中，由勾股定理得：，
∴，
∵DE⊥AC，∠ACD=45°，
∴△CED为等腰三角形
∴，
∴，
∴
（3）解：存在实数t，使得代数式为定值；
理由如下：
如图3，过点A作∠KAM=∠MAN交BC于点K，过点D作DL//AK交BC的延长线于点L，
∵AB=AC，∠ABC=60°.
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠BAC=∠BCA=60°
∵将△ABC的边AB绕点A逆时针旋转α得到AD，α=120°，
∴AB=AD，∠BAD=120°
∴AC=AD，∠CAD=60°，∠ABD=∠ADB=30°
∴△ACD是等边三角形
∴AB=AD=BC=CD，∠ACD=∠ADC=60°
∴四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，∠KAM=∠MAN=∠BDC=30°，
∴AB=2AO，，，∠BAK+∠CAM=∠CAN+∠CAM=30°
∴∠BAK=∠CAN
又∵AB=AC，∠ABC=∠ACD=60°，
∴△ABK≌△ACN(ASA)，
∴BK=CN
∵DL//AK，
∴∠L=∠AKC
∵∠BCD=∠BCA+∠ACD=120°，
∴∠DCL=60°=∠ABK.
∵AB=DC，
∴△ABK≌△DCL(AAS)，
∴∠BAK=∠CDL， BK=CL
∴CL=CN，
∵∠KAM=∠BDC=30°
∴∠BAK+∠KAM=∠BDC+∠CDL，即∠BAM=∠BDL，
∵∠ABD=∠DBC=30°
∴△BDL∽△BAM
∴
∴
∵BL=BC+CL，
∴BL=CD+CN=CD+CD-DN=2CD-DN
∴，
∴为定值BM
∴当实数t=2时，为定值
【知识点】菱形的判定与性质；旋转的性质；四点共圆模型；圆与四边形的综合；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】(1)根据旋转得到∠BAD=α=50°，AB=AD，三线合一求出∠BAC即可；
(2)连接BD，作DE⊥AC于点E，根据∠ABC+∠ADC=180°，得到A，B，C，D四点共圆，进而得到∠ACD=∠ABD=45°，勾股定理求出AE，CE，即可得出结果；
(3)过点A作∠KAM=∠MAN交BC于点K，过点D作DL//AK交BC的延长线于点L，先证明四边形ABCD是菱形，推出AB=2AO，，，证明△ABK≌△ACN(ASA)，得到BK=CN，再证明△ABK≌△DCL(AAS)，得到∠BAK=∠CDL，BK=CL，进而得到CL=CN，证明△BDL∽△BAM，得到，进而得到，根据线段的和差关系以及等量代换，推出， 即可得出结论.
1 / 1湖南长沙市华益中学2026年初中学业水平考试模拟试卷数学（二）
1．下列实数中，比小的是（　　）
A． B．0 C． D．
2．下列立体图形中，主视图和俯视图相同的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列调查中，最适宜采用全面调查方式的是（　　）
A．调查国庆中秋假期游客对长沙热门景点的满意度
B．调查“神舟二十二号”飞船重要零部件的产品质量
C．了解我国中学生的视力情况
D．了解某品牌灯泡使用寿命
5．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　）
A．且 B．
C．且 D．
6．如图，，垂足为，，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，的对角线相交于点，且，则的周长是（　　）
A．5 B．7 C．10 D．11
8．求一组数据方差的算式为：，对于这组数据，下列说法正确的是（　　）
A．的值为4 B． C．众数是6 D．中位数是6
9．如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（　　）
A．第二次购买时，每个魔方涨价10元，结果比第一次多买了5个
B．第二次购买时，每个魔方涨价10元，结果比第一次少买了5个
C．第二次购买时，每个魔方优惠10元，结果比第一次多买了5个
D．第二次购买时，每个魔方优惠10元，结果比第一次少买了5个
10．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点（且），直线分别与轴、轴相交于两点，连接，则下列结论中：①点在反比例函数的图象上；②；③；④的值随的增大而增大．正确结论的序号为（　　）
A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③
11．稀土是宝贵的战略资源，广泛应用于尖端科技领域和军工领域，被称为“新材料之母”．我国是全球稀土储量最多的国家，截至年已探明稀土储量吨，约占全球总储量的，数据用科学记数法表示为　 　．
12．中国画以墨代色，产生了墨分五色的说法，唐代张彦远《历代名画记》中曰：运墨而五色具，五色：焦、浓、重、淡、清，美术老师想从这五色中随机选择一色让学生重点练习，则选中浓的概率为　 　．
13．在平面直角坐标系中，将点向下平移个单位长度得到点，则点的坐标是　 　．
14．计算：　 　．
15．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为　 　．
16．如图，在中，为直径上一点，弦经过点．若，，，则弦的长为　 　．
17．计算：．
18．解不等式组：
19．如图，在矩形中，点和点在边上，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
20．根据2026年长沙体育中考详细方案，2026年体育满分从40分增加到50分，测试项目保持不变，且拟于2028年在传统三大球（篮球、足球、排球）的基础上新增乒乓球和羽毛球．为了解某地区七年级学生对这五项球类运动的喜爱情况，从该地区随机抽取部分七年级学生进行问卷调查（参与问卷调查的每名同学只能选择其中一项运动），收集数据，并将调查得到的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表．
运动项目 人数
羽毛球 40
乒乓球 100
篮球
足球
排球 30
根据图表中所给信息，解答下列问题：
（1）计算出表中的值；
（2）求扇形统计图中表示“足球”部分所对应的扇形的圆心角度数：
（3）若该地区七年级学生共有20000人，试估计该地区七年级学生中喜爱“羽毛球”类运动的学生有多少人？
21． 2025年，“湘”超湘味、“湘”当韵味的首届湖南省足球联赛（简称“湘超联赛”）席卷三湘大地，赛场外以红嘴相思鸟和超级稻为原型的湘超联赛吉祥物“湘湘”和“超超”玩偶深受喜爱．购买某商家生产的吉祥物玩偶时，买4个湘湘比买3个超超多用10元，买1个湘湘和2个超超共用140元．
（1）湘湘和超超的单价分别是多少元？
（2）某公益组织决定购买湘湘和超超共60个送给学生做纪念品，总费用不超过2700元，则至少应购买湘湘多少个？
22． 2025年8月17日，岳麓山顶的长沙广播电视发射塔（如图1）焕新升级后以“长沙之眼”观景平台的新身份亮相，在“长沙之眼”里踱着步，转个圈，橘子洲、五一商圈、梅溪湖国际艺术中心等长沙地标就尽收眼底．如图2．“长沙之眼”高度为，从距离塔底点26米的点出发，沿着一段坡度为的斜坡走50米到达点，此时回头看塔顶点，仰角刚好是，已知点在点的正下方，三点在同一水平线上．点，在同一平面内，请回答下列问题：
（1）求斜坡的高度；
（2）求“长沙之眼”的高度．
23．如图，是的直径，直线与相切于点，过点作于点．
（1）求证：；
（2）若的半径为4，，求图中阴影部分的面积．
24．定义：在平面直角坐标系中，我们把直线称为抛物线的“向阳线”．如直线是抛物线的“向阳线”．
（1）求抛物线与它的“向阳线”的交点坐标；
（2）抛物线与轴交于两点，与它的“向阳线”相交于两点，已知点的横坐标为，点不在轴上，试说明：无论为何值．点始终在一条确定的直线上：
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为，若点和点到直线的距离相等，求的值．
25．如图，将的边绕点逆时针旋转得到．
（1）如图1，当时，连接，若，求的大小；
（2）如图2，当时，连接，若，，，求的长：
（3）如图3，当时，已知，，连接，，点，分别是边上的动点（点不与端点重合，且位于两侧），连接．是否存在实数，使得代数式为定值，若存在，求出实数的值：若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】先估算的大小，再根据正数大于0，0大于负数，负数绝对值大的反而小解答即可.
2．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A.主视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意；
B.主视图是一个矩形(矩形内部有一条纵向的虚线)，俯视图是三角形，故本选项不合题意；
C.主视图和俯视图是圆，故本选项符合题意；
D.主视图是三角形，三角形的内部有一条纵向的实线，俯视图是四边形，四边形的内部有一点与三角形的四个顶点相连，故本选项不合题意；
故答案为：C.
【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形进行分析.
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；二次根式的加减法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
B、a3÷a3=a3-3=a0=1≠a，选项计算错误，不符合题意；
C、(-a3)2=(-1)2·(a3)2=a3×2=a6，选项计算正确，符合题意；
D、a2·a3=a2+3=a5≠a6，选项计算错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的加法运算法则、同底数幂的乘法、除法运算法则，幂的乘方、积的乘方运算法则一一判断即可.
4．【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A.国庆假期游客数量多，范围广，不需要对每一名游客调查，因此适宜抽样调查，不符合题意；
B.飞船重要零部件的质量直接影响飞行安全，每一个零部件都必须检查，不能出错，因此最适宜采用全面调查方式，符合题意；
C.我国中学生总数大，范围广，适宜抽样调查，不符合题意；
D.测试灯泡使用寿命的过程具有破坏性，无法对所有灯泡进行测试，适宜抽样调查，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据调查对象的性质、范围及实际需求，判断应选择全面调查还是抽样调查即可得到答案.
5．【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：式子在实数范围内有意义，
则
解得得x≥-1且x≠5.
故答案为：A.
【分析】式子在实数范围内有意义，需满足二次根式被开方数非负，分母不为零，据此求解即可.
6．【答案】B
【知识点】垂线的概念；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵BC⊥AE
∴∠BCE=90°
∵CD//AB，∠A=40°
∴∠DCE=∠A=40°
∴∠BCD=∠BCE-∠DCE=90°-40°=50°
故答案为：B.
【分析】根据垂直的定义得到∠BCE=90°，由平行的性质得到∠DCE=∠A=40°，最后根据角的和差即可求解.
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2OC，BD=2OB，BC=AD=3
∵AC+BD=8，AD=3，
∴2OC+2OB=8，
即OC+OB=4
∴△BOC的周长为：OB+OC+BC=4+3=7
故答案为：B.
【分析】直接利用平行四边形的性质得出AC=2CO，BD=2BO，BC=AD=3，再求出2OB+2OC=8，得出OB+OC=4，即可得到答案.
8．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：求一组数据方差的算式为：
∵根据方差的定义，方差算式中的项数等于数据个数n，
观察算式可知，共有4个项，
∴n=4，选项A正确；
可得这组数据为4，5，5，6
∵
∴选项B错误；
∵数据中5出现次数最多
∴众数为5，选项C错误；
将数据从小到大排列为4，5，5，6，中间两个数为5，5
∴中位数为，选项D错误.
故答案为：A.
【分析】根据方差的定义确定数据个数n，再计算这组数据的平均数，众数和中位数，逐一判断选项即可.
9．【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意列分式方程为
∴第二次购买魔方的单价比第一次低10元，
∴被墨水污染部分的文字为：第二次购买时，每个魔方优惠10元，结果比第一次少买了5个，
故答案为：D.
【分析】由x表示第一次购买魔方的数量，可得出(x-5)表示第二次购买魔方的数量，进而可得出第二次比第一次少买5个，利用单价=总价÷数量，结合所列方程，可得出第二次购买魔方的单价比第一次低10元，进而可找出被墨水污染部分的文字.
10．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标系中的两点距离公式；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：对于①，当x=m时，；
当x=1时，；
∴点P，Q在反比例函数的图象上；符合题意；
对于②，设直线PQ的解析式为y=kx+b，代入P，Q坐标得：
解得
∴直线PQ的解析式为y=-x+m+1，
令y=0，得x=m+1，即A(m+1，0)；
令x=0，得y=m+1，即B(0，m+1)；
∴OA=OB=m+1，
又∵∠AOB=90°
∴△AOB是等腰直角三角形
∴∠OAB=45°；符合题意；
对于③，
∴AP=BQ，符合题意；
对于④，如图，过点O作OC⊥AB交于点C，过点Q作QD⊥OP交于点D，
由②知，
∵，，
又∵，
∴
∴
当0则当m增大时，sinZPOQ减小，即ZPOQ逐渐减小；
当m>1时.
m增大，∠POQ逐渐增大，因此∠POQ不随m的增大一直增大，④错误，不符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数性质，待定系数法求一次函数解析式，等腰直角三角形性质，两点间距离公式，逐一判断每个结论，即可得到答案.
11．【答案】4.4×107
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：44000000=4.4×107
故答案为：4.4×107.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数.
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可知，从焦、浓、重、淡、清共5种颜色中随机选择一色，共有5种等可能的结果，其中选中浓的结果有1种
∴随机选择一色，选中浓的概率为
故答案为：.
【分析】直接利用概率公式求解即可.
13．【答案】(-3，-1)
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：将点A(-3，2)向下平移3个单位长度是(-3，2-3)，即(-3，-1).
故答案为：(-3，-1).
【分析】根据平面直角坐标系平移的性质即可求解.
14．【答案】1
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
故答案为：1.
【分析】根据同分母分式减法法则：分母相同，分子直接相减，化简后即可得到结果.
15．【答案】2030
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵x=a是一元二次方程x2-2x-4=0的一个根，
∴a2-2a-4=0
∴a2-2a=4，
∴a2-2a+2026=4+2026=2030
故答案为：2030.
【分析】把x=a代入x2-2x-4=0并变形得到a2-2a=4，然后再整体代入求值.
16．【答案】
【知识点】垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵AM=1， BM=5
∴AB=AM+BM=1+5=6
∴圆的半径
∵点O为AB的中点
∴OA=3
∴OM=OA-AM=3-1=2
过点O作OE⊥CD于点E，连接OD，
∵OE⊥CD
∴∠OEM=90°，CD=2DE
在Rt△OME中，∠OME=∠DMB=60°
∴
在Rt△ODE中，OD=3，
根据勾股定理得：
∴
故答案为：.
【分析】先求出OM，过点O作OE⊥CD于点E，连接OD，解Rt△OME求出OE的长，再在Rt△ODE中利用勾股定理求出DE的长，最后根据垂径定理求出CD的长.
17．【答案】解：原式
=2
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】原式利用二次根式性质，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果.
18．【答案】解：
解不等式2x+1≥-3得，x≥-2，
解不等式得，x<4，
∴原不等式组的解集为-2≤x<4.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解每一个不等式，再取解集的公共部分作为不等式组的解集即可.
19．【答案】（1）证明：在矩形ABCD中，点E和点F在边BC上，且AF=DE，
∵矩形ABCD
∴AB=CD，∠B=∠C=90°，
∵AF=DE
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)
（2）解：∵△ABF≌△DCE
∴BF=CE
∴BC-BF=BC-CE， 即CF=BE.
∵BC=11，EF=7
∴.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；矩形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)利用HL证明即可△ABF≌△DCE；
(2)由全等三角形的性质求得BF=CE，得到CF=BE，据此求解即可.
20．【答案】（1）解：喜爱乒乓球的有100人，百分比为20%，
∴100÷20%=500(人).
∴m=500×36%=180(人)，
则n=500-40-100-180-30=150(人)；
（2）解：
（3）解：若该地区七年级学生共有20000人，试估计该地区七年级学生中喜爱“羽毛球”类运动的学生有(人)
∴该地区七年级学生中喜爱“羽毛球”类运动的学生约有1600人
【知识点】统计表；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】(1)根据乒乓球的人数与百分比得到样本容量，再算各项人数即可；
(2)由圆心角度数的计算方法求解即可；
(3)根据样本估算总体数量即可.
21．【答案】（1）解：设湘湘的单价是x元，超超的单价是y元
根据题意得：
解得：
答：湘湘的单价是40元，超超的单价是50元.
（2）解：设应购买湘湘m个，则购买超超(60-m)个，
根据题意得：40m+50(60-m)≤2700
解得：m≥30
答：至少应购买湘湘30个.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设湘湘的单价是x元，超超的单价是y元，根据“买4个湘湘比买3个超超多用10元，买1个湘湘和2个超超共用140元”建立二元一次方程组，解方程组即可；
(2)设购买湘湘m个，则购买超超(60-m)个，根据“总费用不超过2700元”建立一元一次不等式，解不等式即可.
22．【答案】（1）解：根据题意可知CD=50米，且坡度为
∴
设DE=7x，CE=24x，根据勾股定理，得DE2+CE2=CD2，
即(7x)2+(24x)2=502
解得：x=2
∴DE=14米，CE=48米
（2）解：如图所示，过点D作DF⊥AB，交于点F，
根据题意知AC=26米，
∴AE=CE+AC=48+26=74(米)
∵∠E=∠EAF=∠AFD=90°，
∴AF=DE=14米，AE=DF=74米.
由题意可得：∠BDF=∠B=45°
∴BF=DF=74米
∴AB=BF+AF=74+14=88(米)，
所以“长沙之眼”的高度是88米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；矩形底座模型
【解析】【分析】(1)根据坡度可得，再设DE=7x，CE=24x，根据勾股定理可得答案；
(2)作DF⊥AB，根据题意知AC=26米，再求出AE(米)，然后根据矩形的性质可得AF，DF，接下来根据等腰三角形的性质求出BF，最后根据AB=BF+AF得出答案.
23．【答案】（1）证明：AB是⊙O的直径，直线CE与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥CE于点D，连接OC，
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=∠OCA+∠1=90°
∵OB=OC
∴∠B=∠1，
∵直线CE与⊙O相切于点C，
∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=90°
∴∠ACD=∠B
∵∠ACB=∠ADC=90°
∴△ABC∽△ACD
（2）解：∵∠ACE=30°，∠OCD=90°
∴∠OCA=60°
∵OA=OC
∴△OCA是等边三角形
∴∠COA=60°， AC=OA=4.
∵∠ACE=30°，∠ADC=90°
∴，，
∴阴影部分的面积
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质；扇形面积的计算；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)利用圆周角定理和切线的性质求得∠ACD=∠B，根据∠ACB=∠ADC=90°，即可得到△ABC∽△ACD；
(2)求得△OCA是等边三角形，，，据此求解即可.
24．【答案】（1）解：根据题意得，抛物线y=x2-2x+3的“向阳线”为y=x+3，
联立抛物线与“向阳线”得
解得或
∴抛物线y=x2-2x+3与它的“向阳线”的交点坐标为(0，3)和(3，6).
（2）解：无论b为何值，点D始终在一条确定的直线l上.
∵抛物线过点A(-2，0)，
∴，，
解得c=2b-2.
∴抛物线为，
∴其“向阳线”为，
联立抛物线与“向阳线”得
∴x2+(2b-1)x=0，
解得或
∵点D不在y轴上，
∴点D的坐标为，
设直线的解析式为y=kx+m，
将D点代入直线l得，，
∵无论b为何值时，上式都成立，
∴
解得
∴直线l的解析式为，即无论b为何值时，点D始终在直线上
（3）解：由(2)得，抛物线解析式为，
∴其顶点坐标的横坐标为，
将x=-b代入抛物线中，得.
∴顶点M的坐标为，
令，x2+2bx+4b-4=0，
设点B的横坐标为x0，
∵点A的横坐标为-2，
∴-2+x0=-2b， 即x0=2-2b，
∴点B的坐标为(2-2b，0)，
当直线MB与直线平行时，设直线MB解析式为y=k1x+b1，
则
将点B和点M的坐标代入得
b2-5b+6=0，
(b-2)(b-3)=0
解得b=2或b=3
当直线l经过线段MB的中点时，
则MB的中点坐标为
∵中点在直线上，
∴-b2+6+2=0，
(b-2)(b+1)=0，
解得b=2或b=-1
由题意得，令，
∴Δ=(2b)2-4×1×(4b-4)=4(b-2)2
∴当Δ>0时，b≠2(b=2时A，B重合，不符合题意).
∴若点M和点B到直线[的距离相等，则b的值为-1或3
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】(1)根据“向阳线”定义，抛物线y=x2-2x+3的向阳线为y=x+3，联立，进行求解即可；
(2)将A(-2，0)代入抛物线得c=2b-2，联立抛物线与向阳线，解得，由恒成立条件列方程组，得直线的解析式为，故D恒在该直线上；
(3)根据题意求出顶点和B(2-2b，0)，再分MB//l和过MB中点两种情况，进行求解即
可.
25．【答案】（1）解：∵将△ABC的边AB绕点A逆时针旋转α得到AD，α=50°
∴∠BAD=α=50°， AB=AD，
∵AC⊥BD，
∴
（2）解：连接BD，作DE⊥AC于点E，
∵将△ABC的边AB绕点A逆时针旋转α得到AD，α=90°
∴AB=AD，∠BAD=90°
∴∠ABD=∠ADB=45°
∵∠ABC+∠ADC=180°
∴A，B，C，D四点共圆
∴∠BCD=180°-∠BAD=90°，BD为直径，∠ACD=∠ABD=45°
∴CD=4，BC=2，
在直角三角形BCD中，由勾股定理得：，
∴，
∵DE⊥AC，∠ACD=45°，
∴△CED为等腰三角形
∴，
∴，
∴
（3）解：存在实数t，使得代数式为定值；
理由如下：
如图3，过点A作∠KAM=∠MAN交BC于点K，过点D作DL//AK交BC的延长线于点L，
∵AB=AC，∠ABC=60°.
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠BAC=∠BCA=60°
∵将△ABC的边AB绕点A逆时针旋转α得到AD，α=120°，
∴AB=AD，∠BAD=120°
∴AC=AD，∠CAD=60°，∠ABD=∠ADB=30°
∴△ACD是等边三角形
∴AB=AD=BC=CD，∠ACD=∠ADC=60°
∴四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，∠KAM=∠MAN=∠BDC=30°，
∴AB=2AO，，，∠BAK+∠CAM=∠CAN+∠CAM=30°
∴∠BAK=∠CAN
又∵AB=AC，∠ABC=∠ACD=60°，
∴△ABK≌△ACN(ASA)，
∴BK=CN
∵DL//AK，
∴∠L=∠AKC
∵∠BCD=∠BCA+∠ACD=120°，
∴∠DCL=60°=∠ABK.
∵AB=DC，
∴△ABK≌△DCL(AAS)，
∴∠BAK=∠CDL， BK=CL
∴CL=CN，
∵∠KAM=∠BDC=30°
∴∠BAK+∠KAM=∠BDC+∠CDL，即∠BAM=∠BDL，
∵∠ABD=∠DBC=30°
∴△BDL∽△BAM
∴
∴
∵BL=BC+CL，
∴BL=CD+CN=CD+CD-DN=2CD-DN
∴，
∴为定值BM
∴当实数t=2时，为定值
【知识点】菱形的判定与性质；旋转的性质；四点共圆模型；圆与四边形的综合；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】(1)根据旋转得到∠BAD=α=50°，AB=AD，三线合一求出∠BAC即可；
(2)连接BD，作DE⊥AC于点E，根据∠ABC+∠ADC=180°，得到A，B，C，D四点共圆，进而得到∠ACD=∠ABD=45°，勾股定理求出AE，CE，即可得出结果；
(3)过点A作∠KAM=∠MAN交BC于点K，过点D作DL//AK交BC的延长线于点L，先证明四边形ABCD是菱形，推出AB=2AO，，，证明△ABK≌△ACN(ASA)，得到BK=CN，再证明△ABK≌△DCL(AAS)，得到∠BAK=∠CDL，BK=CL，进而得到CL=CN，证明△BDL∽△BAM，得到，进而得到，根据线段的和差关系以及等量代换，推出， 即可得出结论.
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