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广东省汕头市潮南区2024-2025学年高一下学期期末统考数学试题
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，满分40分.每小题只有一项符合题目要求）
1．设，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：，，则，
故答案为：C
【分析】本题考查集合交集的定义，核心是找出同时属于两个集合的元素。
2．已知复数，则的虚部是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，故虚部为1，
故答案为：B
【分析】本题考查复数的除法运算与虚部的定义，核心是先将复数化简为标准形式，再确定其虚部。
3．（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】解：，
故答案为：A
【分析】本题考查余弦和角公式的应用，核心是将拆分为特殊角的和，再代入公式计算。
4．已知，且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：由可得，解得，
故答案为：C
【分析】本题考查向量垂直的坐标表示，核心是利用两向量垂直时数量积为 0 的性质求解参数。
5．已知函数，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：函数，
则.
故答案为：C.
【分析】本题考查分段函数的求值，核心是根据自变量的范围选择对应的函数表达式，并结合指数与对数的运算性质进行计算。
6．已知，是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A， 如图三棱柱中，， 平面，平面，但是平面与平面相交，故A错误，
B，如图在长方体中，，平面，平面，但平面与平面相交，故B错误，
C， 若，，，则，C正确，
D， 若，，，则或者异面，故D错误，
故答案为：C
【分析】A：通过举反例判断平面是否平行；B：通过举反例判断平面是否平行；C：根据线面垂直的性质判断平面是否垂直；D：根据面面平行的性质判断直线是否平行。
7．从长度为2，3，5，6，8的5条线段中任取3条，这三条线段能构成一个三角形的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：从长度为2，3，5，6，8的5条线段中任取3条，构成的样本空间有共有10个样本点，
能构成三角形的样本点有共有4个，
故概率为，
故答案为：A
【分析】本题考查古典概型与三角形三边关系，核心是先列出所有基本事件，再筛选出能构成三角形的事件，最后计算概率。
8．如图，在中，已知，，，边上的两条中线，相交于点，则的正切值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：在中，令，，则，，
因为边上的两条中线，相交于点，则，，
于是，
，
，
所以，
因为，
所以，
故
故答案为：D
【分析】本题考查向量法在三角形中的应用，核心是利用向量作为基底，通过数量积公式求出中线向量的夹角余弦，再推导其正切值。
二、选择题（共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分）
9．某水果店为了解本店苹果的日销售情况，依据过去60天苹果的日销售量（单位：kg）绘制了频率分布直方图（同一组数据用区间中点值作代表），则下列选项正确的有（　　）
A．直方图中的
B．过去60天苹果日销售量的平均数估计值为52kg
C．过去60天苹果日销售量的众数估计值为50kg
D．过去60天苹果日销售量的中位数估计值为55kg
【答案】A,B
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：A，，解得，故A正确；
B，平均数为，B正确；
C，众数为频率最大的一组的中间值，故C错误；
D，由于，设中位数为，则，解得，故D错误.
故答案为：AB
【分析】A：根据频率分布直方图中各组频率之和为1求解a；B：根据频率分布直方图的平均数公式，用区间中点值计算平均数；C：根据频率分布直方图的众数定义，取频率最大一组的中点；D：根据频率分布直方图的中位数公式，计算累计频率为 0.5 时对应的数值。
10．已知函数，则（　　）
A．的最小正周期为
B．的一个对称中心为
C．在区间上单调递增
D．的图像向右平移个单位后，解析式为
【答案】A,B,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【解答】解：A， 由于，则的最小正周期为，故A正确，
B，时，则，故是的一个对称中心，故B正确，
C，当时，，由于，故在区间上不是单调递增，C错误
D，的图像向右平移个单位后得到，故D正确，
故答案为：ABD
【分析】A：根据正切函数的周期公式求最小正周期；B：根据正切函数对称中心的性质，验证点是否为对称中心；C：分析函数在区间内的单调性；D：根据三角函数图象平移的规则，求平移后的解析式。
11．如图，在棱长为4的正方体中，E，F分别是棱的中点，P是正方形内的动点，则下列结论正确的是（　　）
A．若平面CEF，则点P的轨迹长度为
B．若，则点P的轨迹长度为
C．若P是正方形的中心，Q在线段EF上，则的最小值为
D．若P是棱的中点，三棱锥的外接球球心为O，则平面截球O所得截面的面积为
【答案】A,C,D
【知识点】空间中两点间的距离公式；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题；球内接多面体；直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解：如图，取的中点为N，M，连接MN，DN，BD，BM，NE，，
所以，又E，F分别是棱的中点，
所以，所以，
平面CEF，平面CEF，
∴平面CEF，
因为N，E分别是棱的中点，所以，且，
所以四边形CDNE为平行四边形，
所以，又平面CEF，平面CEF，
∴平面CEF，
又，MN，平面BDNM，
所以平面平面CEF，
点P是正方形内的动点，且平面CEF，
所以点P的轨迹为线段MN，由勾股定理得，故A正确；
如图，以A为原点，建立空间直角坐标系，
由题意得，设，
，
所以，所以点P的轨迹为为圆心，半径为1的个圆，
所以点P的轨迹长度为，故B错误：
如图，将平面CEF翻折到与平面共面，
连接PC，与EF交于点Q，此时取到最小值，
∵，且，
所以点Q为EF的中点，所以，
所以，
即的最小值为，故C正确：
如图，连接PF，交于点，连接PE，设三棱锥的外接球的半径为，
若P是棱的中点，则，
所以FP是外接圆的一条直径，所以是外接圆的圆心，
过点作平面ABCD的垂线，则三棱锥的外接球的球心O一定在该垂线上，
连接OP，设，则，
连接OC，，所以，
所以，解得，
所以，
点到平面的距离为，
则球心到平面的距离为，
则截面圆的半径为，
所以截面的面积为，故D正确；
故答案为：ACD．
【分析】A：证明平面平面，确定点轨迹并求长度；B：根据，确定点轨迹并求长度；C：通过翻折法求的最小值；D：先确定三棱锥的外接球球心，再求平面截球所得截面的面积。
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12．圆锥的底面半径扩大到原来的2倍，高缩小为原来的，则其体积是原来的　 　倍.
【答案】2
【知识点】锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径以及高分别为，则变化之后的半径和高分别为，
则原来的体积为，变化后的体积为，故，
故答案为：2
【分析】本题考查圆锥体积公式的应用，核心是分别表示出变化前后的体积，再计算倍数关系。
13．一台机床生产一种零件，10天中生产的次品数为：，则这10天生产次品数的方差是　 　.
【答案】
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：平均数为，故方差为，
故答案为：
【分析】本题考查方差的计算，核心是先求出数据的平均数，再代入方差公式求解。
14．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，的平分线交AC于点D，且，则的最小值为　 　．
【答案】16
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由题可知，
则由角平分线性质和三角形面积公式可得：
，
化简得，即，
所以，
当且仅当即时，取等号.
故答案为：.
【分析】本题考查三角形面积公式与基本不等式的综合应用，核心是先通过面积关系得出，再利用“乘1法”和基本不等式求的最小值。
四、解答题（共5小题，共77分.需写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知向量，满足，.
（1）若向量与的夹角为，求的值；
（2）若，求的值；
（3）若，求向量，的夹角.
【答案】（1）解：，
（2）解：由可得，解得，
故，
（3）解：由可得，故，
故，
由于，故
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】这道题围绕向量的基本运算（点积、模长、夹角）展开，核心是利用向量点积公式和模长公式进行计算：
（1）利用数量积的定义求解，（2）根据模长公式求解，（3）根据垂直关系以及夹角公式求解.
（1），
（2）由可得，解得，
故，
（3）由可得，故，
故，
由于，故
16．一个箱子里有6个大小颜色相同的小球，编号为，从中有放回地抽取2次（每次取1个球）.设事件：“第一次取出的球的号码大于3”，事件：“两次取出的球的号码之和为偶数”.
（1）求事件的概率；
（2）判断事件与事件是否相互独立，并说明理由.
【答案】（1）解：由题意有：设表示第一次取得小球号码，表示第二次取得小球号码，
表示2次取得小球号码，
则共有36个样本点，共有18个样本点，
所以；
（2）解：(4，2)， (4，4)， (4，6)， (5，1)， (5，3)， (5，5)， (6，2)， (6，4)， (6，6)}共有18个样本点，
共有个样本点，
所以，，所以，
所以事件与事件相互独立.
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】(1) 利用古典概型，计算样本空间和事件A的样本点数，求事件A的概率；
(2) 计算事件B和事件AB的概率，验证 ，判断独立性。
（1）由题意有：设表示第一次取得小球号码，表示第二次取得小球号码，表示2次取得小球号码，
则共有36个样本点，共有18个样本点，
所以；
（2）共有18个样本点，
共有个样本点，
所以，，所以，
所以事件与事件相互独立.
17．如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点．
（1）求证：//平面；
（2）若，求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明：取中点，连接，，
因为是中点，所以，，
因为是中点，所以，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面．
（2）解：取中点，连接，
在正三棱柱中，
所以，且，
因为平面平面，所以，
因为，平面，平面，
所以平面，即平面，
所以的长为点到平面的距离，
又的面积为，
所以，
所以三棱锥的体积为．
【知识点】直线与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】(1) 通过构造平行四边形，利用线面平行的判定定理证明 平面 ；
(2) 取 中点 ，证明 为点 到平面 的距离，再用体积公式计算三棱锥 的体积。
（1）解法一：取中点，连接，，
因为是中点，所以，，
因为是中点，所以，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面．
解法二：取中点，连接，，
因为是中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面．
因为是中点，是中点
所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，
所以平面，
因为平面，平面，，
所以平面平面，
因为平面，所以平面．
（2）取中点，连接，
在正三棱柱中，
所以，且，
因为平面平面，所以，
因为，平面，平面，
所以平面，即平面，
所以的长为点到平面的距离，
又的面积为，
所以，
所以三棱锥的体积为．
18．如图，四棱锥中，，，，侧面底面ABCD，E为PC的中点．
（1）求证：平面PCD；
（2）若，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明：取中点，连接，
因为为中点，
所以且，
又因为且，
所以且，
则四边形为平行四边形，
所以，
因为平面平面，交线为，，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以，
因为，为中点，
所以，
又因为，平面，
所以平面，
则平面.
（2）解：取中点，在平面内过作交延长线于，连接
因为，
所以，
又因为平面平面，交线为，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
又因为，
所以平面，
因为平面，
所以，
则为二面角的平面角，
设，则，
所以，
则二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）取中点，再利用中位线定理得出线线平行，再利用平行四边形定义判断出四边形为平行四边形，则得出线线平行，再利用面面垂直的性质定理得出线面垂直，再根据线面垂直的定义得出线线垂直，再由线线垂直证出线面垂直，即证出平面.
（2）取中点，过作交延长线于，再利用等腰三角形三线合一得出线线垂直，再根据线面垂直和线线垂直的推导关系，从而得出为二面角的平面角，设，再利用三角函数定义和同角三角函数基本关系式，从而得出二面角的余弦值.
（1）取中点，连接，
因为为中点，所以且，
又且，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面平面，交线为，，平面，
所以平面，又平面，所以，
又，为中点，所以，
又，平面，所以平面，
所以平面；
（2）取中点，在平面内过作交延长线于，连接，
因为，所以，
又平面平面，交线为，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，所以平面，因为平面，所以，
所以为二面角的平面角，
设，则，，
所以二面角的余弦值为.
19．为锐角三角形，内角的对边分别为.已知为的外心，为上一点，且，.
（1）求角；
（2）若，求面积的取值范围；
（3）若，求的取值范围.
【答案】（1）解：因为，由正弦定理得：，
又，
所以，又，所以，
即，由，
所以；
（2）解：由题意有，
由正弦定理有：，所以，
由（1）由，所以，所以，
又为锐角三角形，所以，所以，所以，
所以，，所以，
所以面积的取值范围为；
（3）解：设为外接圆的半径，由正弦定理有，即，
所以，由余弦定理有，
所以，
同理，
又
，
所以，所以
，
又由正弦定理得，
所以
，
又，所以，所以，所以，
所以，即，
所以的取值范围为.
【知识点】平面向量的数量积运算；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1) 由正弦定理和两角和的正弦公式求出角 ；
(2) 结合正弦定理、锐角三角形条件，求边 的范围，再代入面积公式求取值范围；
(3) 先由正弦定理求外接圆半径，再利用向量线性运算和数量积公式，将 转化为三角函数形式，结合角 的范围求取值范围。
（1）因为，由正弦定理得：，
又，
所以，又，所以，
即，由，
所以；
（2）由题意有，
由正弦定理有：，所以，
由（1）由，所以，所以，
又为锐角三角形，所以，所以，所以，
所以，，所以，
所以面积的取值范围为；
（3）设为外接圆的半径，由正弦定理有，即，
所以，由余弦定理有，
所以，
同理，
又
，
所以，所以
，
又由正弦定理得，
所以
，
又，所以，所以，所以，
所以，即，
所以的取值范围为.
1 / 1广东省汕头市潮南区2024-2025学年高一下学期期末统考数学试题
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，满分40分.每小题只有一项符合题目要求）
1．设，，则（　　）
A． B． C． D．
2．已知复数，则的虚部是（　　）
A． B． C． D．
3．（　　）
A． B． C． D．
4．已知，且，则（　　）
A． B． C． D．
5．已知函数，则（　　）
A． B． C． D．
6．已知，是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
7．从长度为2，3，5，6，8的5条线段中任取3条，这三条线段能构成一个三角形的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在中，已知，，，边上的两条中线，相交于点，则的正切值是（　　）
A． B． C． D．
二、选择题（共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分）
9．某水果店为了解本店苹果的日销售情况，依据过去60天苹果的日销售量（单位：kg）绘制了频率分布直方图（同一组数据用区间中点值作代表），则下列选项正确的有（　　）
A．直方图中的
B．过去60天苹果日销售量的平均数估计值为52kg
C．过去60天苹果日销售量的众数估计值为50kg
D．过去60天苹果日销售量的中位数估计值为55kg
10．已知函数，则（　　）
A．的最小正周期为
B．的一个对称中心为
C．在区间上单调递增
D．的图像向右平移个单位后，解析式为
11．如图，在棱长为4的正方体中，E，F分别是棱的中点，P是正方形内的动点，则下列结论正确的是（　　）
A．若平面CEF，则点P的轨迹长度为
B．若，则点P的轨迹长度为
C．若P是正方形的中心，Q在线段EF上，则的最小值为
D．若P是棱的中点，三棱锥的外接球球心为O，则平面截球O所得截面的面积为
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12．圆锥的底面半径扩大到原来的2倍，高缩小为原来的，则其体积是原来的　 　倍.
13．一台机床生产一种零件，10天中生产的次品数为：，则这10天生产次品数的方差是　 　.
14．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，的平分线交AC于点D，且，则的最小值为　 　．
四、解答题（共5小题，共77分.需写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知向量，满足，.
（1）若向量与的夹角为，求的值；
（2）若，求的值；
（3）若，求向量，的夹角.
16．一个箱子里有6个大小颜色相同的小球，编号为，从中有放回地抽取2次（每次取1个球）.设事件：“第一次取出的球的号码大于3”，事件：“两次取出的球的号码之和为偶数”.
（1）求事件的概率；
（2）判断事件与事件是否相互独立，并说明理由.
17．如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点．
（1）求证：//平面；
（2）若，求三棱锥的体积．
18．如图，四棱锥中，，，，侧面底面ABCD，E为PC的中点．
（1）求证：平面PCD；
（2）若，求二面角的余弦值．
19．为锐角三角形，内角的对边分别为.已知为的外心，为上一点，且，.
（1）求角；
（2）若，求面积的取值范围；
（3）若，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：，，则，
故答案为：C
【分析】本题考查集合交集的定义，核心是找出同时属于两个集合的元素。
2．【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，故虚部为1，
故答案为：B
【分析】本题考查复数的除法运算与虚部的定义，核心是先将复数化简为标准形式，再确定其虚部。
3．【答案】A
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】解：，
故答案为：A
【分析】本题考查余弦和角公式的应用，核心是将拆分为特殊角的和，再代入公式计算。
4．【答案】C
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：由可得，解得，
故答案为：C
【分析】本题考查向量垂直的坐标表示，核心是利用两向量垂直时数量积为 0 的性质求解参数。
5．【答案】C
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：函数，
则.
故答案为：C.
【分析】本题考查分段函数的求值，核心是根据自变量的范围选择对应的函数表达式，并结合指数与对数的运算性质进行计算。
6．【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A， 如图三棱柱中，， 平面，平面，但是平面与平面相交，故A错误，
B，如图在长方体中，，平面，平面，但平面与平面相交，故B错误，
C， 若，，，则，C正确，
D， 若，，，则或者异面，故D错误，
故答案为：C
【分析】A：通过举反例判断平面是否平行；B：通过举反例判断平面是否平行；C：根据线面垂直的性质判断平面是否垂直；D：根据面面平行的性质判断直线是否平行。
7．【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：从长度为2，3，5，6，8的5条线段中任取3条，构成的样本空间有共有10个样本点，
能构成三角形的样本点有共有4个，
故概率为，
故答案为：A
【分析】本题考查古典概型与三角形三边关系，核心是先列出所有基本事件，再筛选出能构成三角形的事件，最后计算概率。
8．【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：在中，令，，则，，
因为边上的两条中线，相交于点，则，，
于是，
，
，
所以，
因为，
所以，
故
故答案为：D
【分析】本题考查向量法在三角形中的应用，核心是利用向量作为基底，通过数量积公式求出中线向量的夹角余弦，再推导其正切值。
9．【答案】A,B
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：A，，解得，故A正确；
B，平均数为，B正确；
C，众数为频率最大的一组的中间值，故C错误；
D，由于，设中位数为，则，解得，故D错误.
故答案为：AB
【分析】A：根据频率分布直方图中各组频率之和为1求解a；B：根据频率分布直方图的平均数公式，用区间中点值计算平均数；C：根据频率分布直方图的众数定义，取频率最大一组的中点；D：根据频率分布直方图的中位数公式，计算累计频率为 0.5 时对应的数值。
10．【答案】A,B,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【解答】解：A， 由于，则的最小正周期为，故A正确，
B，时，则，故是的一个对称中心，故B正确，
C，当时，，由于，故在区间上不是单调递增，C错误
D，的图像向右平移个单位后得到，故D正确，
故答案为：ABD
【分析】A：根据正切函数的周期公式求最小正周期；B：根据正切函数对称中心的性质，验证点是否为对称中心；C：分析函数在区间内的单调性；D：根据三角函数图象平移的规则，求平移后的解析式。
11．【答案】A,C,D
【知识点】空间中两点间的距离公式；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题；球内接多面体；直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解：如图，取的中点为N，M，连接MN，DN，BD，BM，NE，，
所以，又E，F分别是棱的中点，
所以，所以，
平面CEF，平面CEF，
∴平面CEF，
因为N，E分别是棱的中点，所以，且，
所以四边形CDNE为平行四边形，
所以，又平面CEF，平面CEF，
∴平面CEF，
又，MN，平面BDNM，
所以平面平面CEF，
点P是正方形内的动点，且平面CEF，
所以点P的轨迹为线段MN，由勾股定理得，故A正确；
如图，以A为原点，建立空间直角坐标系，
由题意得，设，
，
所以，所以点P的轨迹为为圆心，半径为1的个圆，
所以点P的轨迹长度为，故B错误：
如图，将平面CEF翻折到与平面共面，
连接PC，与EF交于点Q，此时取到最小值，
∵，且，
所以点Q为EF的中点，所以，
所以，
即的最小值为，故C正确：
如图，连接PF，交于点，连接PE，设三棱锥的外接球的半径为，
若P是棱的中点，则，
所以FP是外接圆的一条直径，所以是外接圆的圆心，
过点作平面ABCD的垂线，则三棱锥的外接球的球心O一定在该垂线上，
连接OP，设，则，
连接OC，，所以，
所以，解得，
所以，
点到平面的距离为，
则球心到平面的距离为，
则截面圆的半径为，
所以截面的面积为，故D正确；
故答案为：ACD．
【分析】A：证明平面平面，确定点轨迹并求长度；B：根据，确定点轨迹并求长度；C：通过翻折法求的最小值；D：先确定三棱锥的外接球球心，再求平面截球所得截面的面积。
12．【答案】2
【知识点】锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径以及高分别为，则变化之后的半径和高分别为，
则原来的体积为，变化后的体积为，故，
故答案为：2
【分析】本题考查圆锥体积公式的应用，核心是分别表示出变化前后的体积，再计算倍数关系。
13．【答案】
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：平均数为，故方差为，
故答案为：
【分析】本题考查方差的计算，核心是先求出数据的平均数，再代入方差公式求解。
14．【答案】16
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由题可知，
则由角平分线性质和三角形面积公式可得：
，
化简得，即，
所以，
当且仅当即时，取等号.
故答案为：.
【分析】本题考查三角形面积公式与基本不等式的综合应用，核心是先通过面积关系得出，再利用“乘1法”和基本不等式求的最小值。
15．【答案】（1）解：，
（2）解：由可得，解得，
故，
（3）解：由可得，故，
故，
由于，故
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】这道题围绕向量的基本运算（点积、模长、夹角）展开，核心是利用向量点积公式和模长公式进行计算：
（1）利用数量积的定义求解，（2）根据模长公式求解，（3）根据垂直关系以及夹角公式求解.
（1），
（2）由可得，解得，
故，
（3）由可得，故，
故，
由于，故
16．【答案】（1）解：由题意有：设表示第一次取得小球号码，表示第二次取得小球号码，
表示2次取得小球号码，
则共有36个样本点，共有18个样本点，
所以；
（2）解：(4，2)， (4，4)， (4，6)， (5，1)， (5，3)， (5，5)， (6，2)， (6，4)， (6，6)}共有18个样本点，
共有个样本点，
所以，，所以，
所以事件与事件相互独立.
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】(1) 利用古典概型，计算样本空间和事件A的样本点数，求事件A的概率；
(2) 计算事件B和事件AB的概率，验证 ，判断独立性。
（1）由题意有：设表示第一次取得小球号码，表示第二次取得小球号码，表示2次取得小球号码，
则共有36个样本点，共有18个样本点，
所以；
（2）共有18个样本点，
共有个样本点，
所以，，所以，
所以事件与事件相互独立.
17．【答案】（1）证明：取中点，连接，，
因为是中点，所以，，
因为是中点，所以，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面．
（2）解：取中点，连接，
在正三棱柱中，
所以，且，
因为平面平面，所以，
因为，平面，平面，
所以平面，即平面，
所以的长为点到平面的距离，
又的面积为，
所以，
所以三棱锥的体积为．
【知识点】直线与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】(1) 通过构造平行四边形，利用线面平行的判定定理证明 平面 ；
(2) 取 中点 ，证明 为点 到平面 的距离，再用体积公式计算三棱锥 的体积。
（1）解法一：取中点，连接，，
因为是中点，所以，，
因为是中点，所以，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面．
解法二：取中点，连接，，
因为是中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面．
因为是中点，是中点
所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，
所以平面，
因为平面，平面，，
所以平面平面，
因为平面，所以平面．
（2）取中点，连接，
在正三棱柱中，
所以，且，
因为平面平面，所以，
因为，平面，平面，
所以平面，即平面，
所以的长为点到平面的距离，
又的面积为，
所以，
所以三棱锥的体积为．
18．【答案】（1）证明：取中点，连接，
因为为中点，
所以且，
又因为且，
所以且，
则四边形为平行四边形，
所以，
因为平面平面，交线为，，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以，
因为，为中点，
所以，
又因为，平面，
所以平面，
则平面.
（2）解：取中点，在平面内过作交延长线于，连接
因为，
所以，
又因为平面平面，交线为，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
又因为，
所以平面，
因为平面，
所以，
则为二面角的平面角，
设，则，
所以，
则二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）取中点，再利用中位线定理得出线线平行，再利用平行四边形定义判断出四边形为平行四边形，则得出线线平行，再利用面面垂直的性质定理得出线面垂直，再根据线面垂直的定义得出线线垂直，再由线线垂直证出线面垂直，即证出平面.
（2）取中点，过作交延长线于，再利用等腰三角形三线合一得出线线垂直，再根据线面垂直和线线垂直的推导关系，从而得出为二面角的平面角，设，再利用三角函数定义和同角三角函数基本关系式，从而得出二面角的余弦值.
（1）取中点，连接，
因为为中点，所以且，
又且，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面平面，交线为，，平面，
所以平面，又平面，所以，
又，为中点，所以，
又，平面，所以平面，
所以平面；
（2）取中点，在平面内过作交延长线于，连接，
因为，所以，
又平面平面，交线为，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，所以平面，因为平面，所以，
所以为二面角的平面角，
设，则，，
所以二面角的余弦值为.
19．【答案】（1）解：因为，由正弦定理得：，
又，
所以，又，所以，
即，由，
所以；
（2）解：由题意有，
由正弦定理有：，所以，
由（1）由，所以，所以，
又为锐角三角形，所以，所以，所以，
所以，，所以，
所以面积的取值范围为；
（3）解：设为外接圆的半径，由正弦定理有，即，
所以，由余弦定理有，
所以，
同理，
又
，
所以，所以
，
又由正弦定理得，
所以
，
又，所以，所以，所以，
所以，即，
所以的取值范围为.
【知识点】平面向量的数量积运算；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1) 由正弦定理和两角和的正弦公式求出角 ；
(2) 结合正弦定理、锐角三角形条件，求边 的范围，再代入面积公式求取值范围；
(3) 先由正弦定理求外接圆半径，再利用向量线性运算和数量积公式，将 转化为三角函数形式，结合角 的范围求取值范围。
（1）因为，由正弦定理得：，
又，
所以，又，所以，
即，由，
所以；
（2）由题意有，
由正弦定理有：，所以，
由（1）由，所以，所以，
又为锐角三角形，所以，所以，所以，
所以，，所以，
所以面积的取值范围为；
（3）设为外接圆的半径，由正弦定理有，即，
所以，由余弦定理有，
所以，
同理，
又
，
所以，所以
，
又由正弦定理得，
所以
，
又，所以，所以，所以，
所以，即，
所以的取值范围为.
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