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江苏省南京市南京航空航天大学附属高级中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．已知集合，，则集合中元素的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若关于的不等式的解集为或，则（　　）
A．70 B．90 C．180 D．495
3．下表是某企业在2023年1月—5月的5个月内购买某品牌碳酸锂价格（单位：千元）与月份代码的统计数据．由表中数据计算得到经验回归方程为，则预测2023年8月购买该品牌碳酸锂价格约为（　　）
月份代码 1 2 3 4 5
碳酸锂价格 0.5 0.7 1 1.2 1.6
A．2.41千元 B．2.38千元 C．2.35千元 D．2.32千元
4．已知随机变量服从正态分布，则“”是“”的（　　）
A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5．函数的大致图象为　　
A． B．
C． D．
6．下列说法中正确的是（　　）
①设随机变量服从二项分布，则
②一批零件共有20个，其中有3个不合格，随机抽取8个零件进行检测，则至少有一件不合格的概率为
③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则；
④；.
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③
7．已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．已知，则x，y，z的大小关系不可能是（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分．
9．若正数，满足，则（　　）
A． B．
C． D．
10．甲、乙两个不透明的袋子中分别装两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有3个红球和4个绿球；乙袋中装有5个红球和2个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机获出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”，则下列说法正确的是（　　）
A．，是对立事件 B．，是独立事件
C． D．
11．已知正方体的棱长为1，为平面内一动点，则下列结论正确的有（　　）
A．平面
B．若直线与平面所成角为，则点的轨迹是椭圆
C．存在点，使得
D．正方体的外接球被平面所截得的截面面积为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
12．“，”为真命题，请写出一个满足条件的实数a的值　 　．
13．假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品.现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件，则取出的零件是次品的概率是　 　.
14．将一颗骰子连续抛掷三次，向上的点数依次为，则的概率为　 　．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15．某地区为了解居民体育锻炼达标情况与性别之间的关系，随机调查了600位居民，得到如下数据：
　 不达标 达标 合计
男 　 　 300
女 100 　 300
合计 　 450 600
（1）完成列联表.根据小概率值的独立性检验，能否认为体育锻炼达标与性别有关联？
（2）若体育锻炼达标的居民体能测试合格的概率为，体育锻炼未达标的居民体能测试合格的概率为.用上表中居民体育达标的频率估计该地区居民体育达标的概率，从该地区居民中随机抽取3人参加体能测试，求3人中合格的人数的分布列及期望.（对应值见下表.，）
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
16．已知函数且.
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若，当时，求的值域.
17．2025年春晚为观众带来了一场精彩纷呈的视觉盛宴，同时，也是传统文化与现代科技完美融合的展现．魔术师刘谦为大家呈现了一个精妙绝伦的魔术《守岁共此时》，小明深受启发，在家尝试对这个魔术进行改良，小明准备了甲、乙两个一模一样的袋子，甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4．乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，小明用左右手分别从甲、乙两袋中取球．
（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；
（2）若左手取完两球后，右手再取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手完成各取两球为两次取球）的成功取法次数的随机变量，求的分布列及．
18．如图，在四棱锥中，平面，，，，．点在棱上且与，不重合，平面交棱于点．
（1）求证：；
（2）若为棱的中点，求二面角的正弦值；
（3）记点，到平面的距离分别为，，求的最小值．
19．在平面直角坐标系中，已知椭圆E：的离心率为，右焦点F到椭圆E上任意一点的最小距离为1．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设A，B为椭圆E的左，右顶点，过点F作直线l交椭圆E于C，D两点，C与A，B不重合），连接，交于点Q．
①求证：点Q在定直线上：
②设，，求的最大值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：解不等式，可得，即集合，
集合，则.
故答案为：C.
【分析】先解一元二次不等式求得集合，再根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】A
【知识点】一元二次不等式及其解法；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：关于的不等式的解集为或，
则，
得，
所以．
故答案为：A．
【分析】利用一元二次不等式的求解方法与相应的一元二次方程的根的关系，再结合韦达定理求出的值，再利用组合数公式得出的值.
3．【答案】C
【知识点】线性回归方程；回归分析
【解析】【解答】解：由已知得，，
因为回归方程必过样本中心点为，
所以，解得，则，
即预测2023年8月购买该品牌碳酸锂价格约为千元，
故答案为：C.
【分析】先求数据的平均值，再根据回归方程必过样本中心点求，求得回归方程，最后利用回归方程预测8月该品牌碳酸锂的价格即可.
4．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为随机变量服从正态分布，
则该正态分布曲线的对称轴为，
又因为，
所以，
则，
解得或，
所以，“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：.
【分析】根据正态曲线对应的概率密度函数图象的对称性求概率公式和充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
5．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：，则函数是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，C，，排除B.
故答案为：D．
【分析】根据函数奇偶性的定义，结合特殊值的符号判断即可．
6．【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；条件概率
【解析】【解答】解：①、由随机变量服从二项分布可知，故①正确；
②、易知20个零件中有17个合格品，从20个零件中随机抽取8个零件，都是合格品的概率为，“至少有一件不合格”与“都是合格品”为对立事件，则至少有一件不合格的概率为，故②正确；
③、易知4个人去4个景点有种可能，则“小赵独自去一个景点”的概率；且“4个人去的景点互不相同”共有种可能，则，
，故③正确；
④、由期望值性质可知；，故④错误.
故答案为：D.
【分析】利用二项分布求即可判断①；利用古典概型概率公式以及对立事件概率公式求解即可判断②；利用条件概率公式求解即可判断③；根据方差和期望性质求解即可判断④.
7．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为为偶函数，所以，
所以，所以，又因为，
所以，所以，所以，
所以8为函数的周期，
又，所以，所以，
则.
故答案为：A.
【分析】由题意，求得函数的周期为8，结合，利用函数的周期性求值即可.
8．【答案】B
【知识点】指数函数的图象与性质；指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：设，则，
作出函数的图象，如图所示：
由图可知：随着的变化可能出现：，，，.
故答案为：B．
【分析】设，则，作出函数图象，数形结合求解即可.
9．【答案】A,B,C
【知识点】函数的值域；对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性；基本不等式
【解析】【解答】解：因为，且，
所以（当且仅当时取“”），
所以，故A正确；
因为，故B正确；
设（），则在上恒成立，
所以函数在上单调递增，所以，
所以成立，故C正确；
因为，
又因为，所以，
即，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】利用基本不等式求最值的方法和对数的运算法则、指数幂的运算法则，从而判断出选项A和选项B；设（），利用求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的值域，进而得出，则判断出选项C；利用a+b=1和平方法以及基本不等式求最值的方法，从而得出，则判断出选项D，进而找出正确的选项.
10．【答案】A,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；条件概率
【解析】【解答】解：A、由题意知，每次只摸出一个球，，，
则，即对立，故A正确；
B、，，
则，所以不相互独立，故B错误；
C、，故C错误；
D、，，
所以，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】题意知，每次只摸出一个球，，，根据对立事件的定义即可判断A；根据独立事件的定义求解即可判断B；根据条件概率公式求解即可判断CD.
11．【答案】A,C,D
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球内接多面体；空间向量的夹角与距离求解公式；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【解答】解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
，，，，
所以，，，
所以，，所以，，
即，，又，平面，
所以平面，故A正确；
设，则，又平面的法向量可以为，
依题意，所以，
则直线与平面所成角为，即点的轨迹是圆，故B错误；
因为，
，所以当时满足，故C正确；
正方体的外接球的直径为正方体的体对角线，
则外接球的半径，球心为的中点，设为，则，
由平面，所以平面的一个法向量为，
又因为，所以点到平面的距离，
设平面被外接球所截的截面圆的半径为，
则，截面圆的面积，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项求解判断即可.
12．【答案】5（答案不唯一）
【知识点】命题的真假判断与应用；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：若，则，
当时，不等式可化为，
解得，此时不等式的解集为，不合题意；
当时，不等式可化为，
此时不等式的解集为，符合题意；
当时，
由不等式的解集为，
可得，
则，
所以，
解得或，
综上可知，实数a的取值范围是，
所以，一个满足条件的实数a的值可以为：5.
故答案为：5.
【分析】讨论当时，即当时，是否满足条件；当时，由不等式的解集为，可得，从而解出得到实数a的取值范围，再从a的取值范围取一个满足条件即可.
13．【答案】
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】设 （ ，2）表示从第 箱取到的零件是次品， 表示从第一箱中取零件， 表示从第二箱中取零件，
由全概率计算公式得取出的零件是次品的概率是：
.
故答案为： .
【分析】设 （ ，2）表示从第 箱取到的零件是次品， 表示从第一箱中取零件， 表示从第二箱中取零件，由全概率计算公式能求出取出的零件是次品的概率.
14．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；分类加法计数原理
【解析】【解答】解：考虑取定的值，分类统计事件“”所含的样本点数，
将对应的值作为一个数组，列表如下：
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
第一类：时，满足“”的样本点有个；
第二类：时，满足“”的样本点有个；
第三类：时，满足“”的样本点有个；
第四类：时，满足“”的样本点有个；
第五类：时，满足“”的样本点有个；
第六类：时，满足“”的样本点有1个.
由分类加法计数原理，满足“”的样本点共有：个，
而一颗骰子抛掷一次有6种结果，抛掷三次有个样本点，
因结果有限，且每个样本点发生的可能性相等，故是古典概型，
则“”的概率为.
故答案为：.
【分析】取定的值，分类统计事件“”所含的样本点数，将对应的值作为一个数组，利用分类加法计数原理，结合古典概型概率公式计算即可.
15．【答案】（1）解：由题意，列联表如下表：
不达标 达标 合计
男 50 250 300
女 100 200 300
合计 150 450 600
零假设为体育锻炼达标与性别独立，即体育锻炼达标与性别无关，
则.
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为体育锻炼达标与性别有关联，该推断犯错误的概率不超过0.01.
（2）解：方法一：设事件“随机抽取一人体育锻炼达标”，
事件“随机抽取一人体能测试合格”，
则，，，，
所以，
则的可能取值为：0，1，2，3
，
，
，
，
所以的分布列为：
X 0 1 2 3
P
则.
方法二：设事件“随机抽取一人体育锻炼达标”，
事件“随机抽取一人体能测试合格”，
则，，，，
所以，
因为，
所以，，
则.
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；二项分布；全概率公式
【解析】【分析】（1）由已知表中数据完成列联表，再计算出的值，再与临界值比较，从而认为体育锻炼达标与性别有关联，该推断犯错误的概率不超过0.01.
（2）根据题意，利用两种方法结合已知条件概率公式和全概率公式，从而求出随机抽取一人体能测试合格的概率，再利用二项分布求出对应概率，进而得出3人中合格的人数的分布列，再利用随机变量分布列求数学期望公式，从而得出3人中合格的人数的数学期望.
（1）列联表如下表
不达标 达标 合计
男 50 250 300
女 100 200 300
合计 150 450 600
零假设为体育锻炼达标与性别独立，即体育锻炼达标与性别无关.
.
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为体育锻炼达标与性别有关联，该推断犯错误的概率不超过0.01.
（2）方法一：设事件“随机抽取一人体育锻炼达标”，事件“随机抽取一人体能测试合格”，则，，，.
所以；
的可能取值为：0，1，2，3
，
，
，
，
所以的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以.
方法二：设事件“随机抽取一人体育锻炼达标”，事件“随机抽取一人体能测试合格”，则，，，.
所以.
因为.
所以，.
所以.
16．【答案】（1）解：为奇函数，理由如下：
由，解得，的定义域为；
，为定义在上的奇函数；
（2）解：，，
，
令，
在上单调递减，，，
，，即的值域为.
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据对数函数有意义，列式求得函数的定义域，结合奇偶性定义判断即可；
（2）根据求得的值，化简函数可得，令，利用函数的单调性，确定的值域.
（1）为奇函数，理由如下：
由得：，的定义域为；
，为定义在上的奇函数.
（2），，
；
方法一：当时，，，，
，即的值域为；
方法二：令，
在上单调递减，，，
，，即的值域为.
17．【答案】（1）解：左手分别取出红色球、黑色球、白色球的概率为，
右手分别取出红色球、黑色球、白色球的概率为，
故两只手中所取的球颜色不同的概率为；
（2）解：由题意可得：的可能取值为0，1，2，
左手所取两球颜色相同的概率为，
右手所取两球颜色相同的概率为，
则，
，
，
分布列如下：
0 1 2
.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）由题意，先分别计算左、右手分别取出红、黑、白色球的概率，再根据独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求解即可；
（2）由题意可得：的可能取值为0，1，2，再计算出左右手所取两球颜色相同的概率，求的每个值对应的概率，列分布列，求数学期望即可.
（1）左手分别取出红色球、黑色球、白色球的概率为，
右手分别取出红色球、黑色球、白色球的概率为，
故两只手中所取的球颜色不同的概率为；
（2）的可能取值为0，1，2，
左手所取两球颜色相同的概率为，
右手所取两球颜色相同的概率为，
故，
，
，
分布列如下：
0 1 2
期望为.
18．【答案】（1）证明：因为，平面，平面，所以平面.
又因为平面，平面平面，
则；
（2）如图：
取中点，连接.
因为平面，平面，所以.
在四边形中，，且，
所以四边形为矩形.所以平面.
又在和中，，，.
所以（）.
所以，.
故，，两两垂直，所以以为原点，建立如图空间直角坐标系.
当为中点时，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，取，
设平面的法向量为，
则，取，
所以，
则二面角的正弦值为：；
（3）解：设，（） ，则，，，
设平面的法向量为，
则，取.
则到平面的距离为：，
到平面的距离为：，
所以
设，则，
，当且仅当，即时等号成立，
则.
【知识点】直线与平面平行的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）先证平面，再根据线面平行的性质定理证明即可；
（2）先证，，两两垂直，再以为原点，建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，利用空间向量法求二面角的三角函数值即可；
（3）设，求平面的法向量，利用点到平面的距离的向量求法表示出，再结合不等式求其最小值即可.
19．【答案】（1）解：由题意得，解得，
则椭圆E的方程为；
（2）解：①、由（1），，，故可设直线，
联立，
则，设，
则，，，
由题意可知直线与直线斜率存在，
则，，
联立
，
所以，故点Q在定直线上；
②、由上以及，得：
，，
故，， 即，，
则，
因为，所以，所以最大值为，即的最大值为.
【知识点】向量在几何中的应用；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意列关于、、的方程组，求解即可得椭圆方程；
（2）①、先由（1）的椭圆方程，易知相应点的坐标，设直线、、，
联立直线与椭圆方程，由韦达定理可得，，由点斜式可得，，结合点、在直线上联立直线与直线得点横坐标是一个定值即可；
②、由①以及，，利用向量的坐标运算求得和，结合（1）中韦达定理，化简求最值即可.
（1）由题意得，，
所以椭圆E的方程为.
（2）①由（1），，，故可设直线，
联立，
则，设，
则，，，
由题意可知直线与直线斜率存在，
则，，
联立
，
所以，故点Q在定直线上.
②由上以及，得：
，，
故，， 即，，
所以，
因为，故，所以最大值为，即的最大值为.
1 / 1江苏省南京市南京航空航天大学附属高级中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．已知集合，，则集合中元素的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：解不等式，可得，即集合，
集合，则.
故答案为：C.
【分析】先解一元二次不等式求得集合，再根据集合的交集运算求解即可.
2．若关于的不等式的解集为或，则（　　）
A．70 B．90 C．180 D．495
【答案】A
【知识点】一元二次不等式及其解法；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：关于的不等式的解集为或，
则，
得，
所以．
故答案为：A．
【分析】利用一元二次不等式的求解方法与相应的一元二次方程的根的关系，再结合韦达定理求出的值，再利用组合数公式得出的值.
3．下表是某企业在2023年1月—5月的5个月内购买某品牌碳酸锂价格（单位：千元）与月份代码的统计数据．由表中数据计算得到经验回归方程为，则预测2023年8月购买该品牌碳酸锂价格约为（　　）
月份代码 1 2 3 4 5
碳酸锂价格 0.5 0.7 1 1.2 1.6
A．2.41千元 B．2.38千元 C．2.35千元 D．2.32千元
【答案】C
【知识点】线性回归方程；回归分析
【解析】【解答】解：由已知得，，
因为回归方程必过样本中心点为，
所以，解得，则，
即预测2023年8月购买该品牌碳酸锂价格约为千元，
故答案为：C.
【分析】先求数据的平均值，再根据回归方程必过样本中心点求，求得回归方程，最后利用回归方程预测8月该品牌碳酸锂的价格即可.
4．已知随机变量服从正态分布，则“”是“”的（　　）
A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为随机变量服从正态分布，
则该正态分布曲线的对称轴为，
又因为，
所以，
则，
解得或，
所以，“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：.
【分析】根据正态曲线对应的概率密度函数图象的对称性求概率公式和充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
5．函数的大致图象为　　
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：，则函数是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，C，，排除B.
故答案为：D．
【分析】根据函数奇偶性的定义，结合特殊值的符号判断即可．
6．下列说法中正确的是（　　）
①设随机变量服从二项分布，则
②一批零件共有20个，其中有3个不合格，随机抽取8个零件进行检测，则至少有一件不合格的概率为
③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则；
④；.
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③
【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；条件概率
【解析】【解答】解：①、由随机变量服从二项分布可知，故①正确；
②、易知20个零件中有17个合格品，从20个零件中随机抽取8个零件，都是合格品的概率为，“至少有一件不合格”与“都是合格品”为对立事件，则至少有一件不合格的概率为，故②正确；
③、易知4个人去4个景点有种可能，则“小赵独自去一个景点”的概率；且“4个人去的景点互不相同”共有种可能，则，
，故③正确；
④、由期望值性质可知；，故④错误.
故答案为：D.
【分析】利用二项分布求即可判断①；利用古典概型概率公式以及对立事件概率公式求解即可判断②；利用条件概率公式求解即可判断③；根据方差和期望性质求解即可判断④.
7．已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为为偶函数，所以，
所以，所以，又因为，
所以，所以，所以，
所以8为函数的周期，
又，所以，所以，
则.
故答案为：A.
【分析】由题意，求得函数的周期为8，结合，利用函数的周期性求值即可.
8．已知，则x，y，z的大小关系不可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数的图象与性质；指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：设，则，
作出函数的图象，如图所示：
由图可知：随着的变化可能出现：，，，.
故答案为：B．
【分析】设，则，作出函数图象，数形结合求解即可.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分．
9．若正数，满足，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】函数的值域；对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性；基本不等式
【解析】【解答】解：因为，且，
所以（当且仅当时取“”），
所以，故A正确；
因为，故B正确；
设（），则在上恒成立，
所以函数在上单调递增，所以，
所以成立，故C正确；
因为，
又因为，所以，
即，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】利用基本不等式求最值的方法和对数的运算法则、指数幂的运算法则，从而判断出选项A和选项B；设（），利用求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的值域，进而得出，则判断出选项C；利用a+b=1和平方法以及基本不等式求最值的方法，从而得出，则判断出选项D，进而找出正确的选项.
10．甲、乙两个不透明的袋子中分别装两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有3个红球和4个绿球；乙袋中装有5个红球和2个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机获出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”，则下列说法正确的是（　　）
A．，是对立事件 B．，是独立事件
C． D．
【答案】A,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；条件概率
【解析】【解答】解：A、由题意知，每次只摸出一个球，，，
则，即对立，故A正确；
B、，，
则，所以不相互独立，故B错误；
C、，故C错误；
D、，，
所以，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】题意知，每次只摸出一个球，，，根据对立事件的定义即可判断A；根据独立事件的定义求解即可判断B；根据条件概率公式求解即可判断CD.
11．已知正方体的棱长为1，为平面内一动点，则下列结论正确的有（　　）
A．平面
B．若直线与平面所成角为，则点的轨迹是椭圆
C．存在点，使得
D．正方体的外接球被平面所截得的截面面积为
【答案】A,C,D
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球内接多面体；空间向量的夹角与距离求解公式；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【解答】解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
，，，，
所以，，，
所以，，所以，，
即，，又，平面，
所以平面，故A正确；
设，则，又平面的法向量可以为，
依题意，所以，
则直线与平面所成角为，即点的轨迹是圆，故B错误；
因为，
，所以当时满足，故C正确；
正方体的外接球的直径为正方体的体对角线，
则外接球的半径，球心为的中点，设为，则，
由平面，所以平面的一个法向量为，
又因为，所以点到平面的距离，
设平面被外接球所截的截面圆的半径为，
则，截面圆的面积，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项求解判断即可.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
12．“，”为真命题，请写出一个满足条件的实数a的值　 　．
【答案】5（答案不唯一）
【知识点】命题的真假判断与应用；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：若，则，
当时，不等式可化为，
解得，此时不等式的解集为，不合题意；
当时，不等式可化为，
此时不等式的解集为，符合题意；
当时，
由不等式的解集为，
可得，
则，
所以，
解得或，
综上可知，实数a的取值范围是，
所以，一个满足条件的实数a的值可以为：5.
故答案为：5.
【分析】讨论当时，即当时，是否满足条件；当时，由不等式的解集为，可得，从而解出得到实数a的取值范围，再从a的取值范围取一个满足条件即可.
13．假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品.现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件，则取出的零件是次品的概率是　 　.
【答案】
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】设 （ ，2）表示从第 箱取到的零件是次品， 表示从第一箱中取零件， 表示从第二箱中取零件，
由全概率计算公式得取出的零件是次品的概率是：
.
故答案为： .
【分析】设 （ ，2）表示从第 箱取到的零件是次品， 表示从第一箱中取零件， 表示从第二箱中取零件，由全概率计算公式能求出取出的零件是次品的概率.
14．将一颗骰子连续抛掷三次，向上的点数依次为，则的概率为　 　．
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；分类加法计数原理
【解析】【解答】解：考虑取定的值，分类统计事件“”所含的样本点数，
将对应的值作为一个数组，列表如下：
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
第一类：时，满足“”的样本点有个；
第二类：时，满足“”的样本点有个；
第三类：时，满足“”的样本点有个；
第四类：时，满足“”的样本点有个；
第五类：时，满足“”的样本点有个；
第六类：时，满足“”的样本点有1个.
由分类加法计数原理，满足“”的样本点共有：个，
而一颗骰子抛掷一次有6种结果，抛掷三次有个样本点，
因结果有限，且每个样本点发生的可能性相等，故是古典概型，
则“”的概率为.
故答案为：.
【分析】取定的值，分类统计事件“”所含的样本点数，将对应的值作为一个数组，利用分类加法计数原理，结合古典概型概率公式计算即可.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15．某地区为了解居民体育锻炼达标情况与性别之间的关系，随机调查了600位居民，得到如下数据：
　 不达标 达标 合计
男 　 　 300
女 100 　 300
合计 　 450 600
（1）完成列联表.根据小概率值的独立性检验，能否认为体育锻炼达标与性别有关联？
（2）若体育锻炼达标的居民体能测试合格的概率为，体育锻炼未达标的居民体能测试合格的概率为.用上表中居民体育达标的频率估计该地区居民体育达标的概率，从该地区居民中随机抽取3人参加体能测试，求3人中合格的人数的分布列及期望.（对应值见下表.，）
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
【答案】（1）解：由题意，列联表如下表：
不达标 达标 合计
男 50 250 300
女 100 200 300
合计 150 450 600
零假设为体育锻炼达标与性别独立，即体育锻炼达标与性别无关，
则.
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为体育锻炼达标与性别有关联，该推断犯错误的概率不超过0.01.
（2）解：方法一：设事件“随机抽取一人体育锻炼达标”，
事件“随机抽取一人体能测试合格”，
则，，，，
所以，
则的可能取值为：0，1，2，3
，
，
，
，
所以的分布列为：
X 0 1 2 3
P
则.
方法二：设事件“随机抽取一人体育锻炼达标”，
事件“随机抽取一人体能测试合格”，
则，，，，
所以，
因为，
所以，，
则.
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；二项分布；全概率公式
【解析】【分析】（1）由已知表中数据完成列联表，再计算出的值，再与临界值比较，从而认为体育锻炼达标与性别有关联，该推断犯错误的概率不超过0.01.
（2）根据题意，利用两种方法结合已知条件概率公式和全概率公式，从而求出随机抽取一人体能测试合格的概率，再利用二项分布求出对应概率，进而得出3人中合格的人数的分布列，再利用随机变量分布列求数学期望公式，从而得出3人中合格的人数的数学期望.
（1）列联表如下表
不达标 达标 合计
男 50 250 300
女 100 200 300
合计 150 450 600
零假设为体育锻炼达标与性别独立，即体育锻炼达标与性别无关.
.
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为体育锻炼达标与性别有关联，该推断犯错误的概率不超过0.01.
（2）方法一：设事件“随机抽取一人体育锻炼达标”，事件“随机抽取一人体能测试合格”，则，，，.
所以；
的可能取值为：0，1，2，3
，
，
，
，
所以的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以.
方法二：设事件“随机抽取一人体育锻炼达标”，事件“随机抽取一人体能测试合格”，则，，，.
所以.
因为.
所以，.
所以.
16．已知函数且.
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若，当时，求的值域.
【答案】（1）解：为奇函数，理由如下：
由，解得，的定义域为；
，为定义在上的奇函数；
（2）解：，，
，
令，
在上单调递减，，，
，，即的值域为.
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据对数函数有意义，列式求得函数的定义域，结合奇偶性定义判断即可；
（2）根据求得的值，化简函数可得，令，利用函数的单调性，确定的值域.
（1）为奇函数，理由如下：
由得：，的定义域为；
，为定义在上的奇函数.
（2），，
；
方法一：当时，，，，
，即的值域为；
方法二：令，
在上单调递减，，，
，，即的值域为.
17．2025年春晚为观众带来了一场精彩纷呈的视觉盛宴，同时，也是传统文化与现代科技完美融合的展现．魔术师刘谦为大家呈现了一个精妙绝伦的魔术《守岁共此时》，小明深受启发，在家尝试对这个魔术进行改良，小明准备了甲、乙两个一模一样的袋子，甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4．乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，小明用左右手分别从甲、乙两袋中取球．
（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；
（2）若左手取完两球后，右手再取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手完成各取两球为两次取球）的成功取法次数的随机变量，求的分布列及．
【答案】（1）解：左手分别取出红色球、黑色球、白色球的概率为，
右手分别取出红色球、黑色球、白色球的概率为，
故两只手中所取的球颜色不同的概率为；
（2）解：由题意可得：的可能取值为0，1，2，
左手所取两球颜色相同的概率为，
右手所取两球颜色相同的概率为，
则，
，
，
分布列如下：
0 1 2
.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）由题意，先分别计算左、右手分别取出红、黑、白色球的概率，再根据独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求解即可；
（2）由题意可得：的可能取值为0，1，2，再计算出左右手所取两球颜色相同的概率，求的每个值对应的概率，列分布列，求数学期望即可.
（1）左手分别取出红色球、黑色球、白色球的概率为，
右手分别取出红色球、黑色球、白色球的概率为，
故两只手中所取的球颜色不同的概率为；
（2）的可能取值为0，1，2，
左手所取两球颜色相同的概率为，
右手所取两球颜色相同的概率为，
故，
，
，
分布列如下：
0 1 2
期望为.
18．如图，在四棱锥中，平面，，，，．点在棱上且与，不重合，平面交棱于点．
（1）求证：；
（2）若为棱的中点，求二面角的正弦值；
（3）记点，到平面的距离分别为，，求的最小值．
【答案】（1）证明：因为，平面，平面，所以平面.
又因为平面，平面平面，
则；
（2）如图：
取中点，连接.
因为平面，平面，所以.
在四边形中，，且，
所以四边形为矩形.所以平面.
又在和中，，，.
所以（）.
所以，.
故，，两两垂直，所以以为原点，建立如图空间直角坐标系.
当为中点时，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，取，
设平面的法向量为，
则，取，
所以，
则二面角的正弦值为：；
（3）解：设，（） ，则，，，
设平面的法向量为，
则，取.
则到平面的距离为：，
到平面的距离为：，
所以
设，则，
，当且仅当，即时等号成立，
则.
【知识点】直线与平面平行的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）先证平面，再根据线面平行的性质定理证明即可；
（2）先证，，两两垂直，再以为原点，建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，利用空间向量法求二面角的三角函数值即可；
（3）设，求平面的法向量，利用点到平面的距离的向量求法表示出，再结合不等式求其最小值即可.
19．在平面直角坐标系中，已知椭圆E：的离心率为，右焦点F到椭圆E上任意一点的最小距离为1．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设A，B为椭圆E的左，右顶点，过点F作直线l交椭圆E于C，D两点，C与A，B不重合），连接，交于点Q．
①求证：点Q在定直线上：
②设，，求的最大值．
【答案】（1）解：由题意得，解得，
则椭圆E的方程为；
（2）解：①、由（1），，，故可设直线，
联立，
则，设，
则，，，
由题意可知直线与直线斜率存在，
则，，
联立
，
所以，故点Q在定直线上；
②、由上以及，得：
，，
故，， 即，，
则，
因为，所以，所以最大值为，即的最大值为.
【知识点】向量在几何中的应用；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意列关于、、的方程组，求解即可得椭圆方程；
（2）①、先由（1）的椭圆方程，易知相应点的坐标，设直线、、，
联立直线与椭圆方程，由韦达定理可得，，由点斜式可得，，结合点、在直线上联立直线与直线得点横坐标是一个定值即可；
②、由①以及，，利用向量的坐标运算求得和，结合（1）中韦达定理，化简求最值即可.
（1）由题意得，，
所以椭圆E的方程为.
（2）①由（1），，，故可设直线，
联立，
则，设，
则，，，
由题意可知直线与直线斜率存在，
则，，
联立
，
所以，故点Q在定直线上.
②由上以及，得：
，，
故，， 即，，
所以，
因为，故，所以最大值为，即的最大值为.
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