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江苏省苏州市常熟市梅李高级中学2024-2025学年高二下学期学业质量阳光指标调研卷数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的.
1．已知全集 ，集合 ， ，则 （　　）
A． B．
C． D．
2．已知复数，则复数在复平面内所对应的点的坐标为（　　）
A．（3，1） B． C． D．
3．若，则（　　）
A． B． C． D．
4．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围（　　）
A． B． C． D．
5．函数的大致图像是（　　）
A． B．
C． D．
6．已知等差数列的前项和为，若，则（　　）
A． B． C． D．
7．已知随机事件，，，，，则等于（　　）
A． B． C． D．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与曲线的右支交于一点，直线平分，过点，作直线的垂线，垂足分别为，，为坐标原点，则的面积为（　　）
A．10 B．12 C．16 D．8
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9．下列命题正确的是（　　）
A．数据4，6，7，7，8，9，11，14，15，19的分位数为11
B．已知变量x，y的线性回归方程，且，则
C．已知随机变量，最大，则的取值为3或4
D．已知随机变量，，则
10．已知定义在R上的函数的导函数为，且，，则下列命题正确的是（　　）
A．只有最大值，没有最小值 B．只有最小值，没有最大值
C．有两个零点 D．只有一个极值点
11．在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，为椭圆上与椭圆顶点不重合的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，则（　　）
A．椭圆的离心率为
B．当时，
C．
D．当点在第三象限时，若，则
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知函数若，则实数的取值范围是　 　.
13．已知，，且，则的最小值为　 　
14．棱长为1的正方体中，点在棱上运动，点在侧面上运动，满足平面，则线段的最小值为　 　.
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．今年立秋以后，川渝地区持续性高温登上热搜，引发关注讨论.根据专家推测，主要是由于大陆高压和西太平洋副热带高压呈现非常强大，在高压的控制下，川渝地区上空晴朗少云，在太阳辐射增温和气流下沉增温的共同作用下，两个地区的气温出现了直接攀升的状态.川东北某城市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可自由选择A和B两个套餐之一；该游泳馆在App平台上推出了优惠券活动，下表是App平台统计某周内周一到周六销售优惠券情况.
星期t 1 2 3 4 5 6
销售量y（张） 218 224 230 232 236 90
经计算可得：，，.
（1）因为优惠券销售火爆，App平台在周六时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除周六数据，求y关于t的经验回归方程；
（2）若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，并且A套餐包含两张优惠券，B套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为，求；
（3）记（2）中所得概率的值构成数列.求的最值.
参考公式：，.
16．如图，四棱柱的底面是边长为2的正方形，，侧面底面，E是棱BC上一点，平面.
（1）求证：是的中点；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个条件作为已知，使四棱柱唯一确定，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）设直线与平面的交点为P，求的值.
条件①：；条件②：；条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
17．某企业从生产的一批零件中抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值m（其中：，得到频率分布 并依据质量指标值划分等级如表所示：
质量指标值m 50≤m<350 100≤m<150或350≤m≤400
等级 A级 B级
（1）根据频率分布直方图估计产品的质量指标值的中位数；
（2）从样本的B级零件中随机抽3件，记其中质量指标值在[350，400]的零件的件数为，求的分布列和数学期望；
（3）该企业为节省检测成本，采用混装的方式将所有的零件按500个一箱包装，已知一个A级零件的利润是10元，一个B级零件的利润是5元，以样本分布的频率作为总体分布的概率，试估计每箱零件的利润.
18．设椭圆，离心率为，长轴长为4.过点的直线l与椭圆交于，两点，直线l与轴不重合.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点，直线与轴交于，与轴交于，直线与轴交于，与轴交于，若，求直线的斜率.
19．已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）证明：当，曲线的切线不经过点；
（3）当时，若曲线与直线在区间上有两个不同的交点，求实数a的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】 ，则
故答案为：A
【分析】本题根据交集、补集的定义可得.
2．【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，
可得复数在复平面内所对应的点的坐标为.
故答案为：B．
【分析】利用复数的运算法则得出复数z，再利用复数的几何意义得出复数在复平面内所对应的点的坐标.
3．【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：可知，
代入，得.
故答案为：D.
【分析】本题考查三角恒等变换，核心是利用诱导公式与二倍角公式，建立已知角与所求角之间的关系，再代入计算。
4．【答案】C
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：令，
∵在上单调递减，
∴在内递增，且恒大于0，
且，
．
故答案为：C．
【分析】令，则函数g (x)在区间[2， +∞)内单调递增，且恒大于0，可得不等式，求解可得a的取值范围.
5．【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：因为，
所以，故排除选项C和选项D；
当时，恒成立，故排除选项A.
故答案为：B．
【分析】由排除选项C和选项D；当时，，则排除选项A，从而找出函数的大致图象．
6．【答案】A
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：由，
得，
则
．
故答案为：A．
【分析】由等差数列前项和公式与等差数列的性质，从而得出的值，再利用等差数列的性质得出公差的值，再根据等差数列前n项和公式得出的值.
7．【答案】B
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：已知且，故，
已知，故，
因为，则，
所以．
故答案为：B
【分析】利用条件概率公式结合题意可得、，再结合全概率公式及对立事件概率关系求.
8．【答案】D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：延长，交于点，延长，交于点，
由题意知，为直径，
所以，
因为直线平分，
所以，且，分别为，的中点，
则，，
所以，
则，
所以为等腰直角三角形.
又因为，
所以的面积为.
故答案为：D.
【分析】根据直径所对的圆周角为直角，再结合平行线的性质、等腰三角形的判定定理和性质、双曲线的定义以及三角形的面积公式，从而得出的面积.
9．【答案】B,C,D
【知识点】线性回归方程；二项分布；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A，因为，所以这组数据的75%分位数为14，故A错误；
B，由，解得，故B正确；
C，，其中．
又，，，
故，故C正确；
D，，故D正确．
故答案为：BCD．
【分析】A：根据百分位数的定义计算；B：利用线性回归直线过样本中心点求解；C：根据二项分布的概率单调性，计算相邻项的比值判断最大值点；D：利用正态分布的对称性求解。
10．【答案】A,D
【知识点】命题的真假判断与应用；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：将化为．
设，则，
所以(k为常数)，
则，
解得，
所以，
则，．
令，得；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则在处取得极大值，也是最大值，没有最小值，
故选项A、选项D正确；选项B错误；
令，得，方程有唯一的实数根，故C错误．
故答案为：AD.
【分析】整理等式和导数为零构造函数，设，再利用赋值法得出k的值，从而得出，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的极值，进而得出函数的最值，则判断出选项A、选项B和选项D；再利用函数零点的定义，则判断出选项C，从而找出真命题的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：对A，由，可得，故A选项正确；
对B，由，可得，故B选项错误；
对C，设点，有，又由，直线的方程为，
令，可得点的纵坐标为，直线的方程为，
令，可得点的横坐标为，有，故C选项正确；
对D，若，由直线的斜率为，有，有，
代入，有，有，
平方后有，代入，有，
有，
又由，有，可得，
可得，故D选项正确．
故答案为：ACD
【分析】椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系，需结合椭圆的基本量计算、向量垂直、距离公式、斜率关系等知识逐一分析选项.根据椭圆方程确定基本量，再针对每个选项分别建立关系进行推导.
12．【答案】
【知识点】函数的值；指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：当时，，不合题意；
当时，，符合题意，
因为，
所以.
故答案为：.
【分析】利用分段函数的解析式和代入法，再利用分类讨论的方法，从而得出满足要求的实数a的取值范围.
13．【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：，则，
同除以可得，
则，
因为，所以，则，
当且仅当时等号成立，则，
又因为，所以当取得最大值时，取得最小值，且最小值为.
故答案为：.
【分析】先利用正弦的和差公式、二倍角公式以及同角三角函数基本关系化简原式得到，再利用基本不等式和三角函数的性质求最值即可.
14．【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；直线与平面垂直的性质；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图：
则，
设，则，
所以，
，
因为平面，
所以，
则，
因为，
所以，其中，
则，
所以，当时，，此时满足要求，
则线段PQ的最小值为.
故答案为：.
【分析】利用已知条件建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，设，，从而得出向量的坐标，再利用线面垂直得出线线垂直，再根据两向量垂直数量积为0，从而得出和，再由数量积求向量的模的公式和二次函数求最值的方法，从而得出线段PQ的最小值.
15．【答案】（1）解：由题意，
则，，
所以，
则，
所以，y关于t的经验回归方程为.
（2）解：由题意，可知，，
当时，，
则，
因为，
则当时，数列为各项都为1的常数列，
所以，
则，，
又因为，
所以，数列为首项为公比为的等比数列，
则，
所以.
（3）解：由（2）知，，
当为偶数时，，且随的增大而减小，
因此的最大值为；
当为奇数时，，且随的增大而增大，
因此的最小值为，
综上所述，的最大值为，最小值为.
【知识点】数列的函数特性；等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；线性回归方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件和表中数据结合平均数公式以及最小二乘法，从而得出y关于t的经验回归方程.
（2）由题意得出，其中，，再利用常数列定义和等比数列的定义，从而判断出数列为首项为公比为的等比数列，再利用等比数列的通项公式得出.
（3）由（2）知，再分n为偶数和奇数两种情况讨论，再结合指数函数的单调性得出的最值.
（1）由题意，，，
则，
，
所以y关于t的经验回归方程为.
（2）由题意，可知，，
当时，，即，
又，
所以当时，数列为各项都为1的常数列，
即，
所以，，又，
所以数列为首项为公比为的等比数列，
所以，即.
（3）由（2）知，，
当为偶数时，，且随的增大而减小，
因此的最大值为；
当为奇数时，，且随的增大而增大，
因此的最小值为，
综上所述，的最大值为，最小值为.
16．【答案】（1）证明：连接交于，连接，
因为平面，平面，平面平面，
所以，
又因为四边形是平行四边形，
所以是的中点，
则是的中点.
（2）解：（i）选择条件①：
因为底面是正方形，
所以，
又因为侧面平面，
且侧面平面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
则四边形为矩形，
又因为，
所以，
与选择条件①：等价，
则条件不能进一步确定的夹角大小，
所以，二面角不能确定；
选择条件②：
连结，因为底面是正方形，
所以，
又因为侧面平面，
且侧面平面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
在中，又因为，，
所以，
在中，因为，，
所以，
又因为平面，
所以平面，
因为，
则如图建立空间直角坐标系，
其中，，，，
且，，
易知为平面的一个法向量，
设为平面面的一个法向量，
则，
所以.
不妨设，则，可得，
所以，
因为二面角的平面角是钝角，设为 ，
则，
所以二面角的余弦值为；
选择条件③：
因为底面是正方形，
所以，
又因为，且平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
又因为侧面平面，
且侧面平面，平面，
所以平面，
因为，
则如图建立空间直角坐标系，（下面同选择条件②）.
（ii）设，
因为，，
所以，
则，
所以，
又因为平面，
所以，
则，
解得，
所以.
【知识点】共线（平行）向量；直线与平面平行的性质；平面与平面垂直的性质；二面角及二面角的平面角；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【分析】（1）连接交于，连接，利用线面平行的定义得出，再利用平行四边形的性质，从而证出点是的中点，进而证出点是的中点.
（2）（i）选①：利用正方形的结构特征和面面垂直的性质定理得出线线垂直，从而判断出四边形为矩形，从而得出的长，再说明条件不能确定棱柱特点，从而得出二面角不能确定；选②和选③：利用正方形的结构特征和面面垂直的性质定理，从而得出线线垂直，进而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量和平面面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和二面角的平面角是钝角，从而得出二面角的余弦值.
（ii）设，再利用向量共线的坐标表示，从而得出，再根据和数量积的坐标表示，从而得出的值，进而得出的值.
（1）连接交于，连接，
因为平面，平面，平面平面，
所以，又因为四边形是平行四边形，所以是的中点，
所以是的中点；
（2）（i）
选择条件①：
因为底面是正方形，所以，
侧面平面，且侧面平面，平面，
故平面，又平面，则，
即四边形为矩形，因为，则，
与选择条件①：等价，故条件不能进一步确定的夹角大小，故二面角不能确定；
选择条件②：
连结，因为底面是正方形，所以，
又因为侧面平面，且侧面平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
在中，因为，，所以，
在中，因为，，所以，
又平面，所以平面，又，
所以如图建立空间直角坐标系，其中，，，，
且，，易知为平面的一个法向量，
设为平面面的一个法向量，则，即.
不妨设，则，可得，
所以，
因为二面角的平面角是钝角，设为 ，故，
所以二面角的余弦值为.
选择条件③：
因为底面是正方形，所以，
因为，且平面，
所以平面，因为平面，所以，
因为侧面平面，且侧面平面，平面，
所以平面，又，
所以如图建立空间直角坐标系，（下面同选择条件②）.
（ii）设，又，，
则，所以，
所以，因为平面，
所以，所以，解得，
所以.
17．【答案】（1）解：由题意知，设中位数为，
则，
解得，
所以产品质量指标值的中位数为275.
（2）解：因为样本的B级零件个数为10个，质量指标值在[350，400]的零件为5个，
所以可能取的值为0，1，2，3，
则相应的概率为：，，
，，
所以，随机变量的分布列为：
0 1 2 3
则数学期望.
（3）解：设每箱零件中A级零件有个，每箱零件的利润为元，
则级零件有个，
由题意知，
因为，
所以，
则(元).
【知识点】众数、中位数、平均数；离散型随机变量及其分布列；二项分布
【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图求中位数的方法，从而估计出产品的质量指标值的中位数.
(2)先计算出零件为B级零件的个数，从而得出质量指标值在[350，400]的零件个数，则得出随机变量的取值，再利用组合数公式和古典概率公式，从而得出随机变量的分布列，再利用随机变量分布列求数学期望公式，从而得出随机变量的数学期望.
(3)设每箱零件中A级零件有个，每箱零件的利润为元，从而得出B级零件个数，进而得出，再利用随机变量X服从二项分布，从而得出随机变量X的数学期望，再利用数学期望的性质得出随机变量Y的数学期望.
（1）由题意知，设中位数为，则
，
解得，所以产品质量指标值的中位数为275；
（2）样本的B级零件个数为10个，质量指标值在[350，400]的零件为5个，
可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：
，，
，.
随机变量的分布列为
0 1 2 3
所以期望.
（3）设每箱零件中A级零件有个，每箱零件的利润为元，则级零件有个，
由题意知，
因为，
所以，
所以(元).
18．【答案】（1）解：因为椭圆的长轴长为4，
所以，
解得，
又因为，
所以，
则，
所以，椭圆.
（2）解：因为过点的直线l与椭圆交于两点，直线l与轴不重合，
所以，直线l的斜率不为0，
设直线，，
则，
所以，
则，
所以或，
则，
因为，；
，；
所以，
则直线，直线，
令，则，，
令，则，，
所以，
则
所以，
则，
所以，，
则直线斜率为，
综上所述，直线的斜率为.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的长轴长得出a的值，再利用椭圆的离心率公式得出c的值，再根据椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得出b的值，进而得出椭圆的方程.
（2）利用已知条件设出直线方程，再将直线方程与椭圆方程联立，再利用判别式法得出m的取值范围，再根据韦达定理表示出，，，，再由和三角形的面积公式，从而可得，进而得出直线AT方程和直线BT的方程，再根据赋值法得出点的坐标，从而建立方程求解得出m的值，进而得出满足要求的直线的斜率.
（1）因为椭圆的长轴长为4，所以，解得；
又，所以，得，
所以.
（2）因为过点的直线l与椭圆交于两点，直线l与轴不重合，所以直线l的斜率不为0.
设直线，
，
，即，即或，；
，；
，；
，
直线，直线，
令，，，
令，，，
则，
即
也即
则，，斜率为；
综上，直线的斜率为.
19．【答案】（1）解：当时，，
因为的定义域为.
又因为，
令，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）证明：当时，，
则.
设曲线的切点为，
则切线方程为，
假设切线过原点，则，
整理得：，
令，
所以.
则当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则对任意，，
所以，方程无解，
综上可知，曲线在点的切线不过原点.
（3）解：因为曲线与直线在区间上有两个不同的交点，
等价于在区间上有两个不同的解，
则，在区间上有两个不同的解，
设，
则，
令，
解得，
又因为，所以，
当，，所以单调递增；
当，，所以单调递减，
则，
当时，，
当时，，
要使在区间上有两个不同的解，
只需使即可，
所以，实数a的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系；函数极限
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的单调区间.
（2）利用a的值得出函数的解析式，再利用导数求出切线的方程，再根据代入法得出，令，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最值，进而得出方程无解，则证出当，曲线的切线不经过点.
（3）利用两函数的交点的横坐标等价于方程的根，则将问题转化为在区间上有两个不同的解，即在区间上有两个不同的解，设，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最值，再根据函数求极限的方法，从而得出实数a的取值范围.
（1）当时，，的定义域为.
，
令，解得.
当时，，单调递增，
当时，，单调递减.
所以的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）当时，，.
设曲线的切点为，
则切线方程为，
假设切线过原点，则有，
整理得：.
令，则.
所以当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以对任意，，
所以方程无解.
综上可知，曲线在点的切线不过原点.
（3）曲线与直线在区间上有两个不同的交点，
等价于在区间上有两个不同的解，
即，在区间上有两个不同的解，
设，则，
令，解得，
又因为，所以，
当，，所以单调递增；
当，，所以单调递减；
所以，
当时，，
当时，，
要使在区间上有两个不同的解，
只需使即可.
所以实数a的取值范围是.
1 / 1江苏省苏州市常熟市梅李高级中学2024-2025学年高二下学期学业质量阳光指标调研卷数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的.
1．已知全集 ，集合 ， ，则 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】 ，则
故答案为：A
【分析】本题根据交集、补集的定义可得.
2．已知复数，则复数在复平面内所对应的点的坐标为（　　）
A．（3，1） B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，
可得复数在复平面内所对应的点的坐标为.
故答案为：B．
【分析】利用复数的运算法则得出复数z，再利用复数的几何意义得出复数在复平面内所对应的点的坐标.
3．若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：可知，
代入，得.
故答案为：D.
【分析】本题考查三角恒等变换，核心是利用诱导公式与二倍角公式，建立已知角与所求角之间的关系，再代入计算。
4．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：令，
∵在上单调递减，
∴在内递增，且恒大于0，
且，
．
故答案为：C．
【分析】令，则函数g (x)在区间[2， +∞)内单调递增，且恒大于0，可得不等式，求解可得a的取值范围.
5．函数的大致图像是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：因为，
所以，故排除选项C和选项D；
当时，恒成立，故排除选项A.
故答案为：B．
【分析】由排除选项C和选项D；当时，，则排除选项A，从而找出函数的大致图象．
6．已知等差数列的前项和为，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：由，
得，
则
．
故答案为：A．
【分析】由等差数列前项和公式与等差数列的性质，从而得出的值，再利用等差数列的性质得出公差的值，再根据等差数列前n项和公式得出的值.
7．已知随机事件，，，，，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：已知且，故，
已知，故，
因为，则，
所以．
故答案为：B
【分析】利用条件概率公式结合题意可得、，再结合全概率公式及对立事件概率关系求.
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与曲线的右支交于一点，直线平分，过点，作直线的垂线，垂足分别为，，为坐标原点，则的面积为（　　）
A．10 B．12 C．16 D．8
【答案】D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：延长，交于点，延长，交于点，
由题意知，为直径，
所以，
因为直线平分，
所以，且，分别为，的中点，
则，，
所以，
则，
所以为等腰直角三角形.
又因为，
所以的面积为.
故答案为：D.
【分析】根据直径所对的圆周角为直角，再结合平行线的性质、等腰三角形的判定定理和性质、双曲线的定义以及三角形的面积公式，从而得出的面积.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9．下列命题正确的是（　　）
A．数据4，6，7，7，8，9，11，14，15，19的分位数为11
B．已知变量x，y的线性回归方程，且，则
C．已知随机变量，最大，则的取值为3或4
D．已知随机变量，，则
【答案】B,C,D
【知识点】线性回归方程；二项分布；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A，因为，所以这组数据的75%分位数为14，故A错误；
B，由，解得，故B正确；
C，，其中．
又，，，
故，故C正确；
D，，故D正确．
故答案为：BCD．
【分析】A：根据百分位数的定义计算；B：利用线性回归直线过样本中心点求解；C：根据二项分布的概率单调性，计算相邻项的比值判断最大值点；D：利用正态分布的对称性求解。
10．已知定义在R上的函数的导函数为，且，，则下列命题正确的是（　　）
A．只有最大值，没有最小值 B．只有最小值，没有最大值
C．有两个零点 D．只有一个极值点
【答案】A,D
【知识点】命题的真假判断与应用；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：将化为．
设，则，
所以(k为常数)，
则，
解得，
所以，
则，．
令，得；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则在处取得极大值，也是最大值，没有最小值，
故选项A、选项D正确；选项B错误；
令，得，方程有唯一的实数根，故C错误．
故答案为：AD.
【分析】整理等式和导数为零构造函数，设，再利用赋值法得出k的值，从而得出，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的极值，进而得出函数的最值，则判断出选项A、选项B和选项D；再利用函数零点的定义，则判断出选项C，从而找出真命题的选项.
11．在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，为椭圆上与椭圆顶点不重合的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，则（　　）
A．椭圆的离心率为
B．当时，
C．
D．当点在第三象限时，若，则
【答案】A,C,D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：对A，由，可得，故A选项正确；
对B，由，可得，故B选项错误；
对C，设点，有，又由，直线的方程为，
令，可得点的纵坐标为，直线的方程为，
令，可得点的横坐标为，有，故C选项正确；
对D，若，由直线的斜率为，有，有，
代入，有，有，
平方后有，代入，有，
有，
又由，有，可得，
可得，故D选项正确．
故答案为：ACD
【分析】椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系，需结合椭圆的基本量计算、向量垂直、距离公式、斜率关系等知识逐一分析选项.根据椭圆方程确定基本量，再针对每个选项分别建立关系进行推导.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知函数若，则实数的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】函数的值；指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：当时，，不合题意；
当时，，符合题意，
因为，
所以.
故答案为：.
【分析】利用分段函数的解析式和代入法，再利用分类讨论的方法，从而得出满足要求的实数a的取值范围.
13．已知，，且，则的最小值为　 　
【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：，则，
同除以可得，
则，
因为，所以，则，
当且仅当时等号成立，则，
又因为，所以当取得最大值时，取得最小值，且最小值为.
故答案为：.
【分析】先利用正弦的和差公式、二倍角公式以及同角三角函数基本关系化简原式得到，再利用基本不等式和三角函数的性质求最值即可.
14．棱长为1的正方体中，点在棱上运动，点在侧面上运动，满足平面，则线段的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；直线与平面垂直的性质；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图：
则，
设，则，
所以，
，
因为平面，
所以，
则，
因为，
所以，其中，
则，
所以，当时，，此时满足要求，
则线段PQ的最小值为.
故答案为：.
【分析】利用已知条件建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，设，，从而得出向量的坐标，再利用线面垂直得出线线垂直，再根据两向量垂直数量积为0，从而得出和，再由数量积求向量的模的公式和二次函数求最值的方法，从而得出线段PQ的最小值.
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．今年立秋以后，川渝地区持续性高温登上热搜，引发关注讨论.根据专家推测，主要是由于大陆高压和西太平洋副热带高压呈现非常强大，在高压的控制下，川渝地区上空晴朗少云，在太阳辐射增温和气流下沉增温的共同作用下，两个地区的气温出现了直接攀升的状态.川东北某城市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可自由选择A和B两个套餐之一；该游泳馆在App平台上推出了优惠券活动，下表是App平台统计某周内周一到周六销售优惠券情况.
星期t 1 2 3 4 5 6
销售量y（张） 218 224 230 232 236 90
经计算可得：，，.
（1）因为优惠券销售火爆，App平台在周六时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除周六数据，求y关于t的经验回归方程；
（2）若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，并且A套餐包含两张优惠券，B套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为，求；
（3）记（2）中所得概率的值构成数列.求的最值.
参考公式：，.
【答案】（1）解：由题意，
则，，
所以，
则，
所以，y关于t的经验回归方程为.
（2）解：由题意，可知，，
当时，，
则，
因为，
则当时，数列为各项都为1的常数列，
所以，
则，，
又因为，
所以，数列为首项为公比为的等比数列，
则，
所以.
（3）解：由（2）知，，
当为偶数时，，且随的增大而减小，
因此的最大值为；
当为奇数时，，且随的增大而增大，
因此的最小值为，
综上所述，的最大值为，最小值为.
【知识点】数列的函数特性；等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；线性回归方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件和表中数据结合平均数公式以及最小二乘法，从而得出y关于t的经验回归方程.
（2）由题意得出，其中，，再利用常数列定义和等比数列的定义，从而判断出数列为首项为公比为的等比数列，再利用等比数列的通项公式得出.
（3）由（2）知，再分n为偶数和奇数两种情况讨论，再结合指数函数的单调性得出的最值.
（1）由题意，，，
则，
，
所以y关于t的经验回归方程为.
（2）由题意，可知，，
当时，，即，
又，
所以当时，数列为各项都为1的常数列，
即，
所以，，又，
所以数列为首项为公比为的等比数列，
所以，即.
（3）由（2）知，，
当为偶数时，，且随的增大而减小，
因此的最大值为；
当为奇数时，，且随的增大而增大，
因此的最小值为，
综上所述，的最大值为，最小值为.
16．如图，四棱柱的底面是边长为2的正方形，，侧面底面，E是棱BC上一点，平面.
（1）求证：是的中点；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个条件作为已知，使四棱柱唯一确定，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）设直线与平面的交点为P，求的值.
条件①：；条件②：；条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）证明：连接交于，连接，
因为平面，平面，平面平面，
所以，
又因为四边形是平行四边形，
所以是的中点，
则是的中点.
（2）解：（i）选择条件①：
因为底面是正方形，
所以，
又因为侧面平面，
且侧面平面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
则四边形为矩形，
又因为，
所以，
与选择条件①：等价，
则条件不能进一步确定的夹角大小，
所以，二面角不能确定；
选择条件②：
连结，因为底面是正方形，
所以，
又因为侧面平面，
且侧面平面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
在中，又因为，，
所以，
在中，因为，，
所以，
又因为平面，
所以平面，
因为，
则如图建立空间直角坐标系，
其中，，，，
且，，
易知为平面的一个法向量，
设为平面面的一个法向量，
则，
所以.
不妨设，则，可得，
所以，
因为二面角的平面角是钝角，设为 ，
则，
所以二面角的余弦值为；
选择条件③：
因为底面是正方形，
所以，
又因为，且平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
又因为侧面平面，
且侧面平面，平面，
所以平面，
因为，
则如图建立空间直角坐标系，（下面同选择条件②）.
（ii）设，
因为，，
所以，
则，
所以，
又因为平面，
所以，
则，
解得，
所以.
【知识点】共线（平行）向量；直线与平面平行的性质；平面与平面垂直的性质；二面角及二面角的平面角；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【分析】（1）连接交于，连接，利用线面平行的定义得出，再利用平行四边形的性质，从而证出点是的中点，进而证出点是的中点.
（2）（i）选①：利用正方形的结构特征和面面垂直的性质定理得出线线垂直，从而判断出四边形为矩形，从而得出的长，再说明条件不能确定棱柱特点，从而得出二面角不能确定；选②和选③：利用正方形的结构特征和面面垂直的性质定理，从而得出线线垂直，进而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量和平面面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和二面角的平面角是钝角，从而得出二面角的余弦值.
（ii）设，再利用向量共线的坐标表示，从而得出，再根据和数量积的坐标表示，从而得出的值，进而得出的值.
（1）连接交于，连接，
因为平面，平面，平面平面，
所以，又因为四边形是平行四边形，所以是的中点，
所以是的中点；
（2）（i）
选择条件①：
因为底面是正方形，所以，
侧面平面，且侧面平面，平面，
故平面，又平面，则，
即四边形为矩形，因为，则，
与选择条件①：等价，故条件不能进一步确定的夹角大小，故二面角不能确定；
选择条件②：
连结，因为底面是正方形，所以，
又因为侧面平面，且侧面平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
在中，因为，，所以，
在中，因为，，所以，
又平面，所以平面，又，
所以如图建立空间直角坐标系，其中，，，，
且，，易知为平面的一个法向量，
设为平面面的一个法向量，则，即.
不妨设，则，可得，
所以，
因为二面角的平面角是钝角，设为 ，故，
所以二面角的余弦值为.
选择条件③：
因为底面是正方形，所以，
因为，且平面，
所以平面，因为平面，所以，
因为侧面平面，且侧面平面，平面，
所以平面，又，
所以如图建立空间直角坐标系，（下面同选择条件②）.
（ii）设，又，，
则，所以，
所以，因为平面，
所以，所以，解得，
所以.
17．某企业从生产的一批零件中抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值m（其中：，得到频率分布 并依据质量指标值划分等级如表所示：
质量指标值m 50≤m<350 100≤m<150或350≤m≤400
等级 A级 B级
（1）根据频率分布直方图估计产品的质量指标值的中位数；
（2）从样本的B级零件中随机抽3件，记其中质量指标值在[350，400]的零件的件数为，求的分布列和数学期望；
（3）该企业为节省检测成本，采用混装的方式将所有的零件按500个一箱包装，已知一个A级零件的利润是10元，一个B级零件的利润是5元，以样本分布的频率作为总体分布的概率，试估计每箱零件的利润.
【答案】（1）解：由题意知，设中位数为，
则，
解得，
所以产品质量指标值的中位数为275.
（2）解：因为样本的B级零件个数为10个，质量指标值在[350，400]的零件为5个，
所以可能取的值为0，1，2，3，
则相应的概率为：，，
，，
所以，随机变量的分布列为：
0 1 2 3
则数学期望.
（3）解：设每箱零件中A级零件有个，每箱零件的利润为元，
则级零件有个，
由题意知，
因为，
所以，
则(元).
【知识点】众数、中位数、平均数；离散型随机变量及其分布列；二项分布
【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图求中位数的方法，从而估计出产品的质量指标值的中位数.
(2)先计算出零件为B级零件的个数，从而得出质量指标值在[350，400]的零件个数，则得出随机变量的取值，再利用组合数公式和古典概率公式，从而得出随机变量的分布列，再利用随机变量分布列求数学期望公式，从而得出随机变量的数学期望.
(3)设每箱零件中A级零件有个，每箱零件的利润为元，从而得出B级零件个数，进而得出，再利用随机变量X服从二项分布，从而得出随机变量X的数学期望，再利用数学期望的性质得出随机变量Y的数学期望.
（1）由题意知，设中位数为，则
，
解得，所以产品质量指标值的中位数为275；
（2）样本的B级零件个数为10个，质量指标值在[350，400]的零件为5个，
可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：
，，
，.
随机变量的分布列为
0 1 2 3
所以期望.
（3）设每箱零件中A级零件有个，每箱零件的利润为元，则级零件有个，
由题意知，
因为，
所以，
所以(元).
18．设椭圆，离心率为，长轴长为4.过点的直线l与椭圆交于，两点，直线l与轴不重合.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点，直线与轴交于，与轴交于，直线与轴交于，与轴交于，若，求直线的斜率.
【答案】（1）解：因为椭圆的长轴长为4，
所以，
解得，
又因为，
所以，
则，
所以，椭圆.
（2）解：因为过点的直线l与椭圆交于两点，直线l与轴不重合，
所以，直线l的斜率不为0，
设直线，，
则，
所以，
则，
所以或，
则，
因为，；
，；
所以，
则直线，直线，
令，则，，
令，则，，
所以，
则
所以，
则，
所以，，
则直线斜率为，
综上所述，直线的斜率为.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的长轴长得出a的值，再利用椭圆的离心率公式得出c的值，再根据椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得出b的值，进而得出椭圆的方程.
（2）利用已知条件设出直线方程，再将直线方程与椭圆方程联立，再利用判别式法得出m的取值范围，再根据韦达定理表示出，，，，再由和三角形的面积公式，从而可得，进而得出直线AT方程和直线BT的方程，再根据赋值法得出点的坐标，从而建立方程求解得出m的值，进而得出满足要求的直线的斜率.
（1）因为椭圆的长轴长为4，所以，解得；
又，所以，得，
所以.
（2）因为过点的直线l与椭圆交于两点，直线l与轴不重合，所以直线l的斜率不为0.
设直线，
，
，即，即或，；
，；
，；
，
直线，直线，
令，，，
令，，，
则，
即
也即
则，，斜率为；
综上，直线的斜率为.
19．已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）证明：当，曲线的切线不经过点；
（3）当时，若曲线与直线在区间上有两个不同的交点，求实数a的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，
因为的定义域为.
又因为，
令，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）证明：当时，，
则.
设曲线的切点为，
则切线方程为，
假设切线过原点，则，
整理得：，
令，
所以.
则当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则对任意，，
所以，方程无解，
综上可知，曲线在点的切线不过原点.
（3）解：因为曲线与直线在区间上有两个不同的交点，
等价于在区间上有两个不同的解，
则，在区间上有两个不同的解，
设，
则，
令，
解得，
又因为，所以，
当，，所以单调递增；
当，，所以单调递减，
则，
当时，，
当时，，
要使在区间上有两个不同的解，
只需使即可，
所以，实数a的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系；函数极限
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的单调区间.
（2）利用a的值得出函数的解析式，再利用导数求出切线的方程，再根据代入法得出，令，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最值，进而得出方程无解，则证出当，曲线的切线不经过点.
（3）利用两函数的交点的横坐标等价于方程的根，则将问题转化为在区间上有两个不同的解，即在区间上有两个不同的解，设，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最值，再根据函数求极限的方法，从而得出实数a的取值范围.
（1）当时，，的定义域为.
，
令，解得.
当时，，单调递增，
当时，，单调递减.
所以的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）当时，，.
设曲线的切点为，
则切线方程为，
假设切线过原点，则有，
整理得：.
令，则.
所以当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以对任意，，
所以方程无解.
综上可知，曲线在点的切线不过原点.
（3）曲线与直线在区间上有两个不同的交点，
等价于在区间上有两个不同的解，
即，在区间上有两个不同的解，
设，则，
令，解得，
又因为，所以，
当，，所以单调递增；
当，，所以单调递减；
所以，
当时，，
当时，，
要使在区间上有两个不同的解，
只需使即可.
所以实数a的取值范围是.
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