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广东省汕头市潮阳区河溪中学2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题
一、单项选择题（本大题共8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上.）
1．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数满足，则（　　）
A．1 B．2 C． D．5
3．甲、乙两人独立破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是，，密码被成功破译的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，，则（　　）
A． B． C． D．1
5．已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为．
A． B．
C． D．
6．计算：（ ）
A． B． C． D．
7．如图是函数的部分图象，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，在三棱锥中，底面，，、分别是，的中点，，以下说法错误的是（ ）
A．平面 B．
C． D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9．胡晓统计了他爸爸9月的手机通话明细清单，发现他爸爸该月共通话60次.胡晓按每次通话的时间长短进行分组（每组为左闭右开），画出了频率分布直方图.
以下说法正确的是（　　）
A．手机通话时长在区间的次数为9
B．手机通话时长的众数为2.5
C．手机通话时长的平均数为11.6
D．手机通话时长在10分钟以上的频率为0.5
10．已知角都是锐角，，，则（　　）
A． B．
C． D．
11．下列命题中的真命题有（　　）
A．当时，的最小值是3
B．的最小值是2
C．当时，的最大值是5
D．对正实数x，y，若，则的最大值为3
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.)
12．函数的定义域为　 　
13．已知三棱锥的三条棱，，两两垂直，且，则该三棱锥的外接球的表面积为　 　．
14．甲船在岛B的正南A处，，甲船以每小时4 km的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6 km的速度向北偏东的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是　 　 h，最近距离是　 　 km．
四、解答题(本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知a，b，c为的内角A，B，C所对的边，向量，，且.
（1）求；
（2）若，的面积为，且，求线段的长.
16．在一个文艺比赛中，5名专业人士和5名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分.下面是两组评委对同一名选手的打分：
组 42 47 48 46 52
组 52 36 70 38 39
（1）分别计算两组评委打分的极差和平均数；
（2）分别计算两组评委打分的方差，并判断哪组更像是由专业人士组成的评委小组；
（3）甲、乙是该场比赛的专业人士评委，要从五位专业人士的评委小组中任意选取2人对该选手点评，求恰好甲、乙同时被选中的概率.
17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是中点．
（1）求证：
（2）求侧面与底面所成二面角的正弦值.
18．已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调递减区间；
（3）将求函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，求在的值域.
19．已知结论：设函数的定义域为，若对恒成立，则的图象关于点中心对称，反之亦然．特别地，当时，的图象关于原点对称，此时为奇函数．设定义在上的函数，满足，．
（1）求函数的解析式；
（2）计算的值，并根据结论写出函数的图象的对称中心；
（3）若对任意，均有恒成立，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】解：由题意可知，，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据补集的定义先求得，再根据交集的定义求得即可.
2．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：方法一：因为，
所以.
方法二：.
故答案为：C.
【分析】利用两种方法求解.
方法一：利用复数的乘除法运算法则求出复数，再根据复数求模公式得出的值.
方法二：利用复数的模的运算法则和复数的模的求解方法，从二得出复数z的模.
3．【答案】B
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：甲乙都没有成功破译密码的概率为，
则密码被成功破译的概率是.
故答案为：B.
【分析】用对立事件的概率性质，先求密码未被破译的概率（即甲、乙都未破译的概率），再用1减去该概率得到成功破译的概率.
4．【答案】A
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为 ，所以
所以 ，
所以所以 ，
故答案为：A.
【分析】利用条件，将 作为基底表示即可求解 .
5．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；一元二次不等式
【解析】【解答】解：由题意可知，函数f(x)图象如图所示，
即或，解得x>4或x<-4，
所以不等式的解集为，故选.
故答案为：A
【分析】利用函数的奇偶性先画出函数f(x)的图象，结合图象即可求出不等式的解集.
6．【答案】B
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】利用指数幂和对数的运算性质计算即可.
7．【答案】A
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：由图象易知，而，∴，
，，
∵图象过点∴，
又，.
故答案为：A.
【分析】结合图象即可求得A和周期，进而利用周期公式可求出，再代入点坐标结合正弦函数的性质即可求得.
8．【答案】C
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的性质；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A，因为、分别是，的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，故选项A正确；
B，因为底面，平面，所以，
因为，平面，
所以平面，又平面，所以，故选项B正确；
C，，故选项C错误；
D，由，，，，，
所以，
则，故选项D正确.
故答案为：C.
【分析】根据中位线定理可证得，再利用线面平行的判定定理可证得平面即可判断选项A；由线面垂直得性质可得，再结合利用线面垂直的判定定理可得平面，进而再根据线面垂直的性质可得到即可判断选项B；由根据三棱锥的体积公式求解即可判断选项C；分别求出三棱锥各个面的面积即可判断选项D.
9．【答案】A,B,C
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：A，手机通话时长在区间的次数为，故选项A正确；
B，手机通话时长的众数为，故选项B正确；
C，手机通话时长的平均数为
，故选项C正确；
D，手机通话时长在10分钟以上的频率为，故选项D错误.
故答案为：ABC.
【分析】先根据图算出频率，进而即可算出对应区间的次数即可判断选项A； 最高矩形的中点计算即可判断选项B； 各组的中值× 该组频率，再求和计算即可判断选项C； 算出手机通话时长在10~30分钟的频率之和即可判断选项D.
10．【答案】B,D
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的余弦公式；半角公式；同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：A，因为角是锐角，所以，所以，故选项A错误；
B，因为角是锐角，所以
由题意得，，解得，，故选项B正确；
C，，所以，故选项C错误.
D，因为角是锐角，所以是锐角，所以，所以，故选项D正确；
故答案为：BD.
【分析】根据同角三角函数的基本关系求出，，，，再结合降幂公式、诱导公式、两角差的正切公式求解判断各选项即可.
11．【答案】A,C
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A：当时，则，
当且仅当时，即当时取得等号，故A正确；
对于B：因为，
令，则，
令，
因为在上单调递增，
所以，
则的最小值为，也是的最小值为，故B错误；
对于C：因为，当且仅当时，即当时取得等号，
则当时，的最大值是，故C正确；
对于D：因为，且，
显然满足题意，此时有，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】将目标式进行配凑，再利用基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值，则判断出选项A；令，构造对勾函数，再利用对勾函数的单调性求出的最小值，则判断出选项B；利用基本不等式求最值的方法，则判断出选项C；利用已知条件，从而取特殊值，则可判断选项D，从而找出真命题的选项.
12．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：由题意可知，，解得，且，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
【分析】由偶次被开方数非负，分母不为0，对数的真数大于0列出使函数解析式有意义的不等式组，进而求出不等式的解集即可求得函数的定义域．
13．【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：因为三棱锥的三条棱，，两两垂直，且，
可得把三棱锥补成一个棱长为1的正方体，
则三棱锥的外接球和所补成的正方体的外接球为同一个球，
设三棱锥的外接球的半径为，则，所以，
所以三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：.
【分析】把三棱锥补成一个棱长为1的正方体，则三棱锥的外接球和所补成的正方体的外接球为同一个球，结合正方体的性质，求得外接球的半径，利用球的表面积公式即可求得该三棱锥的外接球的表面积.
14．【答案】；
【知识点】解三角形；余弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：如图所示，
假设t小时后甲船行驶到D处，乙船行驶到C处，此时两船相距最近，
则，
在中，由余弦定理得，
所以当，即航行时间为小时时，最小，
即甲、乙两船相距最近，最近距离是．
故答案为：；.
【分析】假设t小时后甲船行驶到D处，乙船行驶到C处，此时两船相距最近，得到，然后在中，利用余弦定理结合二次函数的性质求解即可.
15．【答案】（1）解：因为，所以.
由正弦定理，得，即，
由余弦定理，得.
因为，所以.
（2）解：，解得.
因为，所以为的三等分点，，则，
所以，所以.
【知识点】平面向量的数量积运算；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用平面向量垂直的坐标表示可得，再利用正弦定理化角为边可得，进而利用余弦定理即可求出；
（2）先根据面积公式求出，利用向量线性运算可得，进而利用模长公式计算即可求得的长.
（1）因为，所以.
由正弦定理，得，即，
由余弦定理，得.
因为，所以.
（2），解得.
因为，所以为的三等分点，，则，
所以，.
16．【答案】（1）解：由表格数据知：组评委打分的极差为，
平均数为，
组评委打分的极差为，
平均数为.
（2）解：组评委打分的方差为，
组评委打分的方差为，
则，
又，所以小组打分波动较小，
故小组更像是由专业人士组成的评委小组.
（3）解：记五位专业人士分别为，甲，乙，
从五位专业人士的评委小组中任意选取2人，基本情况为，，（，甲），（，乙），，（，甲），（，乙），（，甲），（，乙），（甲，乙），共10种情况，其中甲、乙同时被选中的情况有1种情况，
所以恰好甲、乙同时被选中的概率为.
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据极差和平均数的定义分别计算即可求得两组评委打分的极差和平均数；
（2）根据方差的定义计算即可，进而根据方差的意义即可判断哪组更像是由专业人士组成的评委小组；
（3）列举出所有的基本情况，根据古典概型的概率公式计算即可求得恰好甲、乙同时被选中的概率.
（1）由表格数据知：组评委打分的极差为，
平均数为，
组评委打分的极差为，
平均数为，
（2）组评委打分的方差为，
组评委打分的方差为，
则，又，小组打分波动较小，
故小组更像是由专业人士组成的评委小组.
（3）记五位专业人士分别为，甲，乙，
从五位专业人士的评委小组中任意选取2人，
基本情况为，，（，甲），（，乙），，（，甲），（，乙），
（，甲），（，乙），（甲，乙），共10种情况，
其中甲、乙同时被选中的情况有1种情况，
所以恰好甲、乙同时被选中的概率为.
17．【答案】（1）证明：在正方形中，，
因为侧面底面，侧面底面，底面，
所以平面，
因为平面，所以，
又因为是正三角形，是的中点，所以，
又，，平面，
所以平面，
因为平面，所以.
（2）解：如图所示，取，的中点分别为，，连接，，，
则，，
因为，所以，
又在正中，，
因为，，平面，
所以平面，
在正方形中，因为，所以平面，
又，平面，
所以，，
所以是侧面与底面所成二面角的平面角，
因为平面，，
所以平面，
因为平面，所以， .
设正方形的边长，则，，
由勾股定理可知，
所以，
即侧面与底面所成二面角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得平面，进而根据线面垂直的性质可得到，结合可得平面，进而即可证得 ；
（2）取，的中点分别为，，连接，，，证得平面，进而根据线面垂直的性质可得，，可得是侧面与底面所成二面角的平面角，在直角三角形中利用三角函数求解即可求得侧面与底面所成二面角的正弦值 .
（1）在正方形中，，
因为侧面底面，侧面底面，底面，
所以平面，
因为平面，所以，
又因为是正三角形，是的中点，所以，
又，，平面，
所以平面，
因为平面，所以.
（2）取，的中点分别为，，连接，，，
则，，
因为，所以，
又在正中，，
因为，，平面，
所以平面，
正方形中，，平面，
又，平面，
所以，，
所以是侧面与底面所成二面角的平面角，
因为平面，，
所以平面，
因为平面，所以， .
设正方形的边长，则，，
所以，所以，
即侧面与底面所成二面角的正弦值为.
18．【答案】（1）解：
，
所以函数的最小正周期是.
（2）解：令，
解得，
所以函数单调递减区间为.
（3）解：由题意可知，，
因为，所以，
则，
所以在的值域为.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）先结合三角恒等变换和辅助角公式得到，再利用周期公式即可求得函数的最小正周期；
（2）结合正弦函数的单调性求解即可；
（3）根据图象平移写出的解析式，结合正弦型函数性质求区间值域即可.
（1），则.
（2）令，
解得，
所以函数单调递减区间为.
（3）因为函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，
所以，
因为，所以，
则，
所以在的值域为.
19．【答案】（1）解：因为， ，所以，解得，
所以.

（2）解：因为，
所以函数的图象的对称中心是.
（3）解：因为，所以，
所以，
因为在上单调递增且恒为正，则在上单调递减，
故在上恒成立，
令，由，则，
则有在上恒成立，
即在上恒成立，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，
故，则，
故实数的取值范围为.
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数恒成立问题；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）由，可列方程组，进而解方程组求得a、的值，即可求得的解析式；
（2）求得的值，根据对称的性质即可求得的对称中心；
（3）由(2)可知，进而可得，进而根据函数 的单调性可得在上恒成立，借助换元法令，可得在上恒成立，结合二次函数性质即可求得m的取值范围.
（1）由题意可得，解得，
故.
（2），
故关于中心对称.
（3）由，则，
则，
因在上单调递增且恒为正，则在上单调递减，
故在上恒成立，
令，由，则，
则有在上恒成立，
即在上恒成立，
因函数在上单调递增，在上单调递减，
故，则，
故实数的取值范围为.
1 / 1广东省汕头市潮阳区河溪中学2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题
一、单项选择题（本大题共8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上.）
1．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】解：由题意可知，，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据补集的定义先求得，再根据交集的定义求得即可.
2．复数满足，则（　　）
A．1 B．2 C． D．5
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：方法一：因为，
所以.
方法二：.
故答案为：C.
【分析】利用两种方法求解.
方法一：利用复数的乘除法运算法则求出复数，再根据复数求模公式得出的值.
方法二：利用复数的模的运算法则和复数的模的求解方法，从二得出复数z的模.
3．甲、乙两人独立破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是，，密码被成功破译的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：甲乙都没有成功破译密码的概率为，
则密码被成功破译的概率是.
故答案为：B.
【分析】用对立事件的概率性质，先求密码未被破译的概率（即甲、乙都未破译的概率），再用1减去该概率得到成功破译的概率.
4．如图，在中，，，则（　　）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为 ，所以
所以 ，
所以所以 ，
故答案为：A.
【分析】利用条件，将 作为基底表示即可求解 .
5．已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为．
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；一元二次不等式
【解析】【解答】解：由题意可知，函数f(x)图象如图所示，
即或，解得x>4或x<-4，
所以不等式的解集为，故选.
故答案为：A
【分析】利用函数的奇偶性先画出函数f(x)的图象，结合图象即可求出不等式的解集.
6．计算：（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】利用指数幂和对数的运算性质计算即可.
7．如图是函数的部分图象，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：由图象易知，而，∴，
，，
∵图象过点∴，
又，.
故答案为：A.
【分析】结合图象即可求得A和周期，进而利用周期公式可求出，再代入点坐标结合正弦函数的性质即可求得.
8．如图，在三棱锥中，底面，，、分别是，的中点，，以下说法错误的是（ ）
A．平面 B．
C． D．
【答案】C
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的性质；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A，因为、分别是，的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，故选项A正确；
B，因为底面，平面，所以，
因为，平面，
所以平面，又平面，所以，故选项B正确；
C，，故选项C错误；
D，由，，，，，
所以，
则，故选项D正确.
故答案为：C.
【分析】根据中位线定理可证得，再利用线面平行的判定定理可证得平面即可判断选项A；由线面垂直得性质可得，再结合利用线面垂直的判定定理可得平面，进而再根据线面垂直的性质可得到即可判断选项B；由根据三棱锥的体积公式求解即可判断选项C；分别求出三棱锥各个面的面积即可判断选项D.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9．胡晓统计了他爸爸9月的手机通话明细清单，发现他爸爸该月共通话60次.胡晓按每次通话的时间长短进行分组（每组为左闭右开），画出了频率分布直方图.
以下说法正确的是（　　）
A．手机通话时长在区间的次数为9
B．手机通话时长的众数为2.5
C．手机通话时长的平均数为11.6
D．手机通话时长在10分钟以上的频率为0.5
【答案】A,B,C
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：A，手机通话时长在区间的次数为，故选项A正确；
B，手机通话时长的众数为，故选项B正确；
C，手机通话时长的平均数为
，故选项C正确；
D，手机通话时长在10分钟以上的频率为，故选项D错误.
故答案为：ABC.
【分析】先根据图算出频率，进而即可算出对应区间的次数即可判断选项A； 最高矩形的中点计算即可判断选项B； 各组的中值× 该组频率，再求和计算即可判断选项C； 算出手机通话时长在10~30分钟的频率之和即可判断选项D.
10．已知角都是锐角，，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B,D
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的余弦公式；半角公式；同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：A，因为角是锐角，所以，所以，故选项A错误；
B，因为角是锐角，所以
由题意得，，解得，，故选项B正确；
C，，所以，故选项C错误.
D，因为角是锐角，所以是锐角，所以，所以，故选项D正确；
故答案为：BD.
【分析】根据同角三角函数的基本关系求出，，，，再结合降幂公式、诱导公式、两角差的正切公式求解判断各选项即可.
11．下列命题中的真命题有（　　）
A．当时，的最小值是3
B．的最小值是2
C．当时，的最大值是5
D．对正实数x，y，若，则的最大值为3
【答案】A,C
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A：当时，则，
当且仅当时，即当时取得等号，故A正确；
对于B：因为，
令，则，
令，
因为在上单调递增，
所以，
则的最小值为，也是的最小值为，故B错误；
对于C：因为，当且仅当时，即当时取得等号，
则当时，的最大值是，故C正确；
对于D：因为，且，
显然满足题意，此时有，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】将目标式进行配凑，再利用基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值，则判断出选项A；令，构造对勾函数，再利用对勾函数的单调性求出的最小值，则判断出选项B；利用基本不等式求最值的方法，则判断出选项C；利用已知条件，从而取特殊值，则可判断选项D，从而找出真命题的选项.
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.)
12．函数的定义域为　 　
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：由题意可知，，解得，且，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
【分析】由偶次被开方数非负，分母不为0，对数的真数大于0列出使函数解析式有意义的不等式组，进而求出不等式的解集即可求得函数的定义域．
13．已知三棱锥的三条棱，，两两垂直，且，则该三棱锥的外接球的表面积为　 　．
【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：因为三棱锥的三条棱，，两两垂直，且，
可得把三棱锥补成一个棱长为1的正方体，
则三棱锥的外接球和所补成的正方体的外接球为同一个球，
设三棱锥的外接球的半径为，则，所以，
所以三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：.
【分析】把三棱锥补成一个棱长为1的正方体，则三棱锥的外接球和所补成的正方体的外接球为同一个球，结合正方体的性质，求得外接球的半径，利用球的表面积公式即可求得该三棱锥的外接球的表面积.
14．甲船在岛B的正南A处，，甲船以每小时4 km的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6 km的速度向北偏东的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是　 　 h，最近距离是　 　 km．
【答案】；
【知识点】解三角形；余弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：如图所示，
假设t小时后甲船行驶到D处，乙船行驶到C处，此时两船相距最近，
则，
在中，由余弦定理得，
所以当，即航行时间为小时时，最小，
即甲、乙两船相距最近，最近距离是．
故答案为：；.
【分析】假设t小时后甲船行驶到D处，乙船行驶到C处，此时两船相距最近，得到，然后在中，利用余弦定理结合二次函数的性质求解即可.
四、解答题(本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知a，b，c为的内角A，B，C所对的边，向量，，且.
（1）求；
（2）若，的面积为，且，求线段的长.
【答案】（1）解：因为，所以.
由正弦定理，得，即，
由余弦定理，得.
因为，所以.
（2）解：，解得.
因为，所以为的三等分点，，则，
所以，所以.
【知识点】平面向量的数量积运算；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用平面向量垂直的坐标表示可得，再利用正弦定理化角为边可得，进而利用余弦定理即可求出；
（2）先根据面积公式求出，利用向量线性运算可得，进而利用模长公式计算即可求得的长.
（1）因为，所以.
由正弦定理，得，即，
由余弦定理，得.
因为，所以.
（2），解得.
因为，所以为的三等分点，，则，
所以，.
16．在一个文艺比赛中，5名专业人士和5名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分.下面是两组评委对同一名选手的打分：
组 42 47 48 46 52
组 52 36 70 38 39
（1）分别计算两组评委打分的极差和平均数；
（2）分别计算两组评委打分的方差，并判断哪组更像是由专业人士组成的评委小组；
（3）甲、乙是该场比赛的专业人士评委，要从五位专业人士的评委小组中任意选取2人对该选手点评，求恰好甲、乙同时被选中的概率.
【答案】（1）解：由表格数据知：组评委打分的极差为，
平均数为，
组评委打分的极差为，
平均数为.
（2）解：组评委打分的方差为，
组评委打分的方差为，
则，
又，所以小组打分波动较小，
故小组更像是由专业人士组成的评委小组.
（3）解：记五位专业人士分别为，甲，乙，
从五位专业人士的评委小组中任意选取2人，基本情况为，，（，甲），（，乙），，（，甲），（，乙），（，甲），（，乙），（甲，乙），共10种情况，其中甲、乙同时被选中的情况有1种情况，
所以恰好甲、乙同时被选中的概率为.
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据极差和平均数的定义分别计算即可求得两组评委打分的极差和平均数；
（2）根据方差的定义计算即可，进而根据方差的意义即可判断哪组更像是由专业人士组成的评委小组；
（3）列举出所有的基本情况，根据古典概型的概率公式计算即可求得恰好甲、乙同时被选中的概率.
（1）由表格数据知：组评委打分的极差为，
平均数为，
组评委打分的极差为，
平均数为，
（2）组评委打分的方差为，
组评委打分的方差为，
则，又，小组打分波动较小，
故小组更像是由专业人士组成的评委小组.
（3）记五位专业人士分别为，甲，乙，
从五位专业人士的评委小组中任意选取2人，
基本情况为，，（，甲），（，乙），，（，甲），（，乙），
（，甲），（，乙），（甲，乙），共10种情况，
其中甲、乙同时被选中的情况有1种情况，
所以恰好甲、乙同时被选中的概率为.
17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是中点．
（1）求证：
（2）求侧面与底面所成二面角的正弦值.
【答案】（1）证明：在正方形中，，
因为侧面底面，侧面底面，底面，
所以平面，
因为平面，所以，
又因为是正三角形，是的中点，所以，
又，，平面，
所以平面，
因为平面，所以.
（2）解：如图所示，取，的中点分别为，，连接，，，
则，，
因为，所以，
又在正中，，
因为，，平面，
所以平面，
在正方形中，因为，所以平面，
又，平面，
所以，，
所以是侧面与底面所成二面角的平面角，
因为平面，，
所以平面，
因为平面，所以， .
设正方形的边长，则，，
由勾股定理可知，
所以，
即侧面与底面所成二面角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得平面，进而根据线面垂直的性质可得到，结合可得平面，进而即可证得 ；
（2）取，的中点分别为，，连接，，，证得平面，进而根据线面垂直的性质可得，，可得是侧面与底面所成二面角的平面角，在直角三角形中利用三角函数求解即可求得侧面与底面所成二面角的正弦值 .
（1）在正方形中，，
因为侧面底面，侧面底面，底面，
所以平面，
因为平面，所以，
又因为是正三角形，是的中点，所以，
又，，平面，
所以平面，
因为平面，所以.
（2）取，的中点分别为，，连接，，，
则，，
因为，所以，
又在正中，，
因为，，平面，
所以平面，
正方形中，，平面，
又，平面，
所以，，
所以是侧面与底面所成二面角的平面角，
因为平面，，
所以平面，
因为平面，所以， .
设正方形的边长，则，，
所以，所以，
即侧面与底面所成二面角的正弦值为.
18．已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调递减区间；
（3）将求函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，求在的值域.
【答案】（1）解：
，
所以函数的最小正周期是.
（2）解：令，
解得，
所以函数单调递减区间为.
（3）解：由题意可知，，
因为，所以，
则，
所以在的值域为.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）先结合三角恒等变换和辅助角公式得到，再利用周期公式即可求得函数的最小正周期；
（2）结合正弦函数的单调性求解即可；
（3）根据图象平移写出的解析式，结合正弦型函数性质求区间值域即可.
（1），则.
（2）令，
解得，
所以函数单调递减区间为.
（3）因为函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，
所以，
因为，所以，
则，
所以在的值域为.
19．已知结论：设函数的定义域为，若对恒成立，则的图象关于点中心对称，反之亦然．特别地，当时，的图象关于原点对称，此时为奇函数．设定义在上的函数，满足，．
（1）求函数的解析式；
（2）计算的值，并根据结论写出函数的图象的对称中心；
（3）若对任意，均有恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：因为， ，所以，解得，
所以.

（2）解：因为，
所以函数的图象的对称中心是.
（3）解：因为，所以，
所以，
因为在上单调递增且恒为正，则在上单调递减，
故在上恒成立，
令，由，则，
则有在上恒成立，
即在上恒成立，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，
故，则，
故实数的取值范围为.
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数恒成立问题；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）由，可列方程组，进而解方程组求得a、的值，即可求得的解析式；
（2）求得的值，根据对称的性质即可求得的对称中心；
（3）由(2)可知，进而可得，进而根据函数 的单调性可得在上恒成立，借助换元法令，可得在上恒成立，结合二次函数性质即可求得m的取值范围.
（1）由题意可得，解得，
故.
（2），
故关于中心对称.
（3）由，则，
则，
因在上单调递增且恒为正，则在上单调递减，
故在上恒成立，
令，由，则，
则有在上恒成立，
即在上恒成立，
因函数在上单调递增，在上单调递减，
故，则，
故实数的取值范围为.
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