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江苏省部分高中2024-2025学年高二下学期期末迎考数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．已知全集，集合A，B满足，则下列关系一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】子集与真子集；集合间关系的判断；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【解答】解：由集合间的基本关系可得，
A、当为的真子集时，不成立，故A错误；
B、当为的真子集时，也不成立，故B错误；
C、，恒成立，故C正确；
D、当为的真子集时，不成立，故D错误；
故答案为：C.
【分析】根据已知条件易得，再进行选择即可.
2．“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：由，所以，可得，故充分性成立；
由，可得，取，，但是不成立，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】分别验证“”能否推出“”（充分性），以及“”能否推出“”（必要性）.
3．随着“一带一路”经贸合作持续深化，西安某地对外贸易近几年持续繁荣，2023年6月18日，该地很多商场都在搞“”促销活动.市物价局派人对某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价（单位：元）和销售量（单位：百件）之间的一组数据：
20 25 30 35 40
5 7 8 9 11
用最小二乘法求得与之间的经验回归方程是，当售价为45元时，预测该商品的销售量件数大约为（　　）（单位：百件）
A．11.2 B．11.75 C．12 D．12.2
【答案】D
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：因为，
，
所以回归直线过点，
故，解得，
所以，
将代入中，
得，
即当售价为45元时，该商品的销售量件数大约为百件.
故选：D.
【分析】本题主要考查了线性回归方程的性质和应用，求出，，根据回归直线方程必过样本中心点求出，即可得到回归直线方程，最后代入计算可得.
4．溶液酸碱度是通过pH计算的，pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.若胃酸中氢离子的浓度是摩尔/升，则胃酸的pH为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由题意，得若胃酸中氢离子的浓度是摩尔/升，
则胃酸的pH为：
.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和对数运算法则，从而得出胃酸的pH的值.
5．某小麦种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)近似服从正态分布．已知时，有，则下列说法正确的是（　　）
A．该地小麦的平均株高约为10cm
B．该地小麦株高的方差约为10
C．该地株高超过110cm的小麦约占
D．该地株高低于130cm的小麦约占
【答案】D
【知识点】正态分布的期望与方差
【解析】【解答】解：某小麦种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)近似服从正态分布．
A：该地小麦的平均株高约为cm，A错误；
B：该地小麦株高的方差约为，B错误；
C：因为该地株高超过110cm的小麦约占，C错误；
因为，该地株高超过130cm的小麦约占，
D：则该地株高低于130cm的小麦约占，D正确.
故答案为：D.
【分析】本题考查正态分布的性质，核心是利用正态分布的均值、标准差及对称性，对各选项逐一进行判断。
6．设函数在附近有定义，且，为常数，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】解：在中用替换，知.
所以.
故.
故答案为：D.
【分析】本题考查导数的定义，核心是先通过变量替换得到 的表达式，再代入导数定义的极限式求解。
7．如图，在一个的区域内（每个交叉点可视为一个通信节点位置），有16个潜在的通信节点位置，为了建立一个稳定的通信网络，需要选择3个节点，且这3个节点不能在同一条直线上（否则会存在信号干扰或覆盖缺陷），则不同的节点选择方案数量为（　　）
A．576 B．528 C．520 D．516
【答案】D
【知识点】排列、组合的实际应用；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：在一个的区域内有16个潜在的通信节点位置，需要选择3个节点，共有种情况；
4点共线有10种情况，3点共线有4种情况，所以满足条件的点有.
故答案为：D.
【分析】本题考查组合计数中的 “补集思想”，核心是先算出从 16 个节点中任选 3 个的总方案数，再减去所有三点共线的情况，从而得到满足条件的方案数量。
8．已知函数是定义在上的偶函数，函数的图象关于点中心对称，若，则（　　）
A． B． C．3 D．5
【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：由函数的图象关于点中心对称可知，
，即，
可得，则，
由，可得，
由为上的偶函数可得．
故答案为：B．
【分析】本题考查函数的奇偶性与对称性，核心是先利用的中心对称性推导出的对称轴，再结合求出的值，最后利用的偶函数性质与对称性求解。
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分．
9．在的展开式中（　　）
A．所有奇数项的二项式系数的和为128
B．二项式系数最大的项为第5项
C．有理项共有两项
D．所有项的系数的和为
【答案】A,B
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式
【解析】【解答】解：对于A，因为二项式系数和为，
所以，所有奇数项的二项式系数的和为，故A正确；
对于B， 因为二项式系数最大为，
所以二项式系数最大的项为第5项，故B正确；
对于C，因为，为有理项，
则可取的值为，
所以有理项共有三项，故C错误；
对于D，令，则所有项系数和为，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】先利用已知条件求出二项式系数和，再利用奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，则得出所有奇数项的二项式系数的和，从而判断出选项A；利用二项式系数的最大项为中间项，则判断出选项B；利用二项式定理得出通项公式，再对赋值，则判断出选项C；令，从而求出所有项的系数的和，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．下列命题正确的是（　　）
A．若实数满足，则
B．若，则的取值范围是
C．若正实数满足，则的最大值为
D．若正实数满足，则
【答案】B,C
【知识点】不等关系与不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：A：实数满足，则，
因为，所以，所以，所以，A错误；
B：因为，则，则的取值范围是，B正确；
C：正实数满足，则，所以，当且仅当时取最大值为，C正确；
D：正实数满足，取，，D错误.
故答案为：BC.
【分析】A：用作差法比较与的大小；B：利用不等式的性质，求的取值范围；C：利用基本不等式求的最大值；D：用特殊值法判断的取值。
11．已知函数，则（　　）
A．只有2个极小值点
B．曲线在点处的切线斜率为3
C．当有3个零点时，的取值范围为
D．当只有1个零点时，的取值范围为
【答案】A,C,D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：因为，
当或时，则，
所以当或时，当时，
所以在，上单调递增，在上单调递减；
当时，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减；
则在、处取得极小值，故有个极小值点，故A正确；
因为，所以曲线在点处的切线斜率为，故B错误；
，则的图象如下所示：
有3个零点时，零点个数问题转化为函数的图象与直线的交点个数问题.
因为，，，，
要使有3个零点， 可得的取值范围为，故C正确；
要使只有1个零点，则的取值范围为，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】A：分区间讨论函数表达式，通过导数判断单调性，找出极小值点；B：直接计算函数在x=3处的导数值，即切线斜率；C：根据函数单调性画出大致图像，结合图像判断零点个数为3时m的取值范围；D：同理，结合图像判断零点个数为1时m的取值范围。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数，则的解集为　 　．
【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由题可设，若，可得，即；
若，可得；
综上，不等式的解集为.
故答案为：
【分析】本题考查分段函数不等式的求解，核心是按分段函数的定义域分段讨论，分别解不等式，再结合指数函数与对数函数的单调性，合并得到最终解集。
13．某果园有单棵产量为95千克的“高产果树”3棵，有单棵产量为55千克的“低产果树”2棵，从这5棵果树中任意抽取2棵，则2棵果树的产量之和的方差为　 　．
【答案】576
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量的方差
【解析】【解答】解：由题意得，的可能取值为190，150，110，
且，，，
则的期望，
所以方差.
故答案为：576
【分析】本题考查离散型随机变量的方差计算，核心是先确定产量和X的所有可能取值及对应概率，再计算期望E(X)，最后代入方差公式求解。
14．一项工程在某阶段内的施工效率为，另一相关工程在阶段内完成的工作量为．若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】函数的值域；函数的单调性及单调区间；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：由，得，对任意的，总存在使等式成立，即函数在上的值域是函数在上值域的子集，
由，则，
设，根据对勾函数图形可知，在上单调递减，在上单调递增，在处取得最小值，，
可知，所以在上的值域是，
则在上的值域为.
由，可知函数开口向上，关于对称，
当，即时，函数在上单调递增，可得，即，解得，
当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，可得，即，无解，
当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，可得，即，无解，
当，即时，函数在上单调递减，可得，即，解得，
综上所述，实数的取值范围为
故答案为：.
【分析】本题考查双变量恒成立问题，核心是先通过变形将条件转化为值域包含关系，分别求出两个函数的值域，再根据值域间的包含关系分情况讨论，解不等式组得到参数a的取值范围。
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．高质量发展是全面建设社会主义现代化国家的首要任务，创新研发是高质量发展的重要前提．某公司研发新产品的投入（单位：百万元）与该产品的收益（单位：百万元）的5组统计数据如下表所示，且经验回归方程为．
x 5 6 8 9 12
y 16 20 25 28
（1）求的值；
（2）若将图表中的点去掉，判断样本相关系数是否改变，并说明你的理由．
参考数据：样本相关系数
【答案】（1）解：由题设，，
所以，可得；
（2）解：由（1）知，，故去掉点后样本中心仍然是，
去掉点前，
去掉点后，
显然前后数值没有改变，同理，的值都没有变化，所以相关系数不变.
【知识点】线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【分析】(1) 利用样本中心在回归直线上，计算m的值；
(2) 分析去掉点(8，25)后，相关系数公式的分子和分母是否变化，判断r是否改变。
（1）由题设，，
所以，可得；
（2）由（1）知，，故去掉点后样本中心仍然是，
去掉点前，
去掉点后，
显然前后数值没有改变，同理，的值都没有变化，
所以相关系数不变.
16．随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活．现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”．某市社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示：
　 喜欢网上买菜 不喜欢网上买菜 合计
年龄不超过45岁的市民 40 10 50
年龄超过45岁的市民 20 30 50
合计 60 40 100
（1）试根据的独立性检验，分析社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄是否有关；
（2）社区的市民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜，如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，求小张周二选择平台买菜的概率．
参考公式及数据：，其中．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）解：零假设：是否喜欢网上买菜与年龄无关（即独立）.
，
因此拒绝，认为两者相关.
（2）解：
.
【知识点】独立性检验的应用；全概率公式
【解析】【分析】(1) 利用卡方独立性检验，计算统计量并与临界值比较，判断是否有关；
(2) 用全概率公式计算小张周二选择B平台买菜的概率。
（1）零假设：是否喜欢网上买菜与年龄无关（即独立）.
，
因此拒绝，认为两者相关.
（2）.
17．已知．
（1）讨论的单调性；
（2）若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：因为，该函数在 处未定义，因此定义域为 .
设 ，则 ，故 .
.
分母（当 )，分子中 恒正.
令 ，则，当 时 ，当 时 ；
，且 ( ).
因此，分子 （ )，故 （ ).
从而 （).
综上， 在 和 上均单调递增.
（2）解：由可得，
因 （)，两边除以 ：，
整理为：，即.
设，则方程为 ，需求 在 时有两个不同的根.
求导：，分母 （).
分子中：（当 )；当 ， ，当 ， .
所以，当，；当，；当，.
因此， 在 上单调递减，在 上单调递增，
在 处取极小值，.
又， ； ， .
综上， 的值域为 ，且在 上由 递减至 ，在 上由 递增至 .
要使 有两个不同的实根，需 ，此时，在 和 上各有一根，且两根不同.
当 时，仅一根 ；当 时，无实根.
故实数 的取值范围为 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1) 对求导，分析导数的符号，判断单调性；
(2) 对方程进行变形，构造函数，通过分析其单调性和值域，确定的取值范围。
（1）因为，该函数在 处未定义，因此定义域为 .
设 ，则 ，故 .
.
分母（当 )，分子中 恒正.
令 ，则，当 时 ，当 时 ；
，且 ( ).
因此，分子 （ )，故 （ ).
从而 （).
综上， 在 和 上均单调递增.
（2）由可得，
因 （)，两边除以 ：，
整理为：，即.
设，则方程为 ，需求 在 时有两个不同的根.
求导：，分母 （).
分子中：（当 )；当 ， ，当 ， .
所以，当，；当，；当，.
因此， 在 上单调递减，在 上单调递增，
在 处取极小值，.
又， ； ， .
综上， 的值域为 ，且在 上由 递减至 ，在 上由 递增至 .
要使 有两个不同的实根，需 ，此时，在 和 上各有一根，且两根不同.
当 时，仅一根 ；当 时，无实根.
故实数 的取值范围为 .
18．某学校高二年级乒乓球社团举办了一次乒乓球比赛，进入决赛的9名选手来自于3个不同的班级，三个班级的选手人数分别是2，3，4，本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名选手进行8场比赛，每场比赛采取5局3胜制，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束，根据积分选出最后的冠军．如果最终积分相同，则同分选手加赛决出排名，积分规则如下：比赛中以或取胜的选手积3分，失败的选手积0分；而在比赛中以取胜的选手积2分，失败的选手积1分．已知第6场是甲、乙之间的比赛，设每局比赛甲取胜的概率为．
（1）若进入决赛的9名选手获得冠亚军的概率相等，则比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级的概率是多少？
（2）在第6场比赛中，当时，设甲所得积分为，求的分布列及期望
（3）在第6场比赛中，记甲取胜的概率为，求的最大值．
【答案】（1）解：记比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级为事件，则；
（2）解：由题意可知：的可能取值为，
，
，
，
，
显然的分布列为
；
（3）解：由题意，，，
令，解得，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
则在处取得极大值，即最大值，且.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算即可；
（2）由题意可知：的可能取值为，求出所对应的概率，列分布列，计算数学期望即可；
（3）依题意，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最大值.
（1）记比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级为事件，
则；
（2）依题意的可能取值为，
所以，
，
，
.
所以的分布列为
所以的期望为.
（3）依题意，，
则，
令，得，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以在处取得极大值，即最大值，
所以.
19．已知函数，若其定义域为，且满足对一切恒成立，则称为一个“反比函数”．
（1）设，判断是否为“反比函数”，并说明理由；
（2）若，求证：函数是“反比函数”；
（3）已知“反比函数”满足对任意的，都有，且，求证：对任意的，关于的方程无解．
【答案】（1）解：函数，求导得，
对，，
所以是 “反比函数”.
（2）证明：设，则，
当时，；当时，，
函数在上递减，在上递增，因此，
依题意，，由，得，
于是
即对，，
所以函数是“反比函数”.
（3）证明：设，则，
函数在上单调递增，
当时，有，即对任意，；
假设存在，使，由及零点存在定理，存在使得，
由，知，矛盾，
因此对任意，；
假设存在，使得，由及零点存在定理，存在使得，
从而对任意，有，
当时，，矛盾，
即对任意，有，
因此对任意的，都有成立，
所以对任意，关于的方程一定无解.
【知识点】函数的单调性及单调区间；利用导数研究函数的单调性；不等式的证明；函数零点存在定理
【解析】【分析】(1) 代入函数验证“反函数”的定义，判断是否满足条件；
(2) 构造函数，利用其单调性和已知条件证明不等式；
(3) 构造辅助函数，利用单调性和题设条件证明对所有成立，从而方程（）无解。
（1）函数，求导得，
对，，
所以是 “反比函数”.
（2）设，则，当时，；当时，，
函数在上递减，在上递增，因此，
依题意，，由，得，
于是
即对，，
所以函数是“反比函数”.
（3）设，则，
函数在上单调递增，
当时，有，即对任意，；
假设存在，使，由及零点存在定理，存在使得，
由，知，矛盾，
因此对任意，；
假设存在，使得，由及零点存在定理，存在使得，
从而对任意，有，
当时，，矛盾，
即对任意，有，
因此对任意的，都有成立，
所以对任意，关于的方程一定无解.
1 / 1江苏省部分高中2024-2025学年高二下学期期末迎考数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．已知全集，集合A，B满足，则下列关系一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．随着“一带一路”经贸合作持续深化，西安某地对外贸易近几年持续繁荣，2023年6月18日，该地很多商场都在搞“”促销活动.市物价局派人对某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价（单位：元）和销售量（单位：百件）之间的一组数据：
20 25 30 35 40
5 7 8 9 11
用最小二乘法求得与之间的经验回归方程是，当售价为45元时，预测该商品的销售量件数大约为（　　）（单位：百件）
A．11.2 B．11.75 C．12 D．12.2
4．溶液酸碱度是通过pH计算的，pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.若胃酸中氢离子的浓度是摩尔/升，则胃酸的pH为（　　）
A． B． C． D．
5．某小麦种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)近似服从正态分布．已知时，有，则下列说法正确的是（　　）
A．该地小麦的平均株高约为10cm
B．该地小麦株高的方差约为10
C．该地株高超过110cm的小麦约占
D．该地株高低于130cm的小麦约占
6．设函数在附近有定义，且，为常数，则（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在一个的区域内（每个交叉点可视为一个通信节点位置），有16个潜在的通信节点位置，为了建立一个稳定的通信网络，需要选择3个节点，且这3个节点不能在同一条直线上（否则会存在信号干扰或覆盖缺陷），则不同的节点选择方案数量为（　　）
A．576 B．528 C．520 D．516
8．已知函数是定义在上的偶函数，函数的图象关于点中心对称，若，则（　　）
A． B． C．3 D．5
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分．
9．在的展开式中（　　）
A．所有奇数项的二项式系数的和为128
B．二项式系数最大的项为第5项
C．有理项共有两项
D．所有项的系数的和为
10．下列命题正确的是（　　）
A．若实数满足，则
B．若，则的取值范围是
C．若正实数满足，则的最大值为
D．若正实数满足，则
11．已知函数，则（　　）
A．只有2个极小值点
B．曲线在点处的切线斜率为3
C．当有3个零点时，的取值范围为
D．当只有1个零点时，的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数，则的解集为　 　．
13．某果园有单棵产量为95千克的“高产果树”3棵，有单棵产量为55千克的“低产果树”2棵，从这5棵果树中任意抽取2棵，则2棵果树的产量之和的方差为　 　．
14．一项工程在某阶段内的施工效率为，另一相关工程在阶段内完成的工作量为．若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围为　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．高质量发展是全面建设社会主义现代化国家的首要任务，创新研发是高质量发展的重要前提．某公司研发新产品的投入（单位：百万元）与该产品的收益（单位：百万元）的5组统计数据如下表所示，且经验回归方程为．
x 5 6 8 9 12
y 16 20 25 28
（1）求的值；
（2）若将图表中的点去掉，判断样本相关系数是否改变，并说明你的理由．
参考数据：样本相关系数
16．随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活．现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”．某市社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示：
　 喜欢网上买菜 不喜欢网上买菜 合计
年龄不超过45岁的市民 40 10 50
年龄超过45岁的市民 20 30 50
合计 60 40 100
（1）试根据的独立性检验，分析社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄是否有关；
（2）社区的市民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜，如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，求小张周二选择平台买菜的概率．
参考公式及数据：，其中．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17．已知．
（1）讨论的单调性；
（2）若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围．
18．某学校高二年级乒乓球社团举办了一次乒乓球比赛，进入决赛的9名选手来自于3个不同的班级，三个班级的选手人数分别是2，3，4，本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名选手进行8场比赛，每场比赛采取5局3胜制，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束，根据积分选出最后的冠军．如果最终积分相同，则同分选手加赛决出排名，积分规则如下：比赛中以或取胜的选手积3分，失败的选手积0分；而在比赛中以取胜的选手积2分，失败的选手积1分．已知第6场是甲、乙之间的比赛，设每局比赛甲取胜的概率为．
（1）若进入决赛的9名选手获得冠亚军的概率相等，则比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级的概率是多少？
（2）在第6场比赛中，当时，设甲所得积分为，求的分布列及期望
（3）在第6场比赛中，记甲取胜的概率为，求的最大值．
19．已知函数，若其定义域为，且满足对一切恒成立，则称为一个“反比函数”．
（1）设，判断是否为“反比函数”，并说明理由；
（2）若，求证：函数是“反比函数”；
（3）已知“反比函数”满足对任意的，都有，且，求证：对任意的，关于的方程无解．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】子集与真子集；集合间关系的判断；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【解答】解：由集合间的基本关系可得，
A、当为的真子集时，不成立，故A错误；
B、当为的真子集时，也不成立，故B错误；
C、，恒成立，故C正确；
D、当为的真子集时，不成立，故D错误；
故答案为：C.
【分析】根据已知条件易得，再进行选择即可.
2．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：由，所以，可得，故充分性成立；
由，可得，取，，但是不成立，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】分别验证“”能否推出“”（充分性），以及“”能否推出“”（必要性）.
3．【答案】D
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：因为，
，
所以回归直线过点，
故，解得，
所以，
将代入中，
得，
即当售价为45元时，该商品的销售量件数大约为百件.
故选：D.
【分析】本题主要考查了线性回归方程的性质和应用，求出，，根据回归直线方程必过样本中心点求出，即可得到回归直线方程，最后代入计算可得.
4．【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由题意，得若胃酸中氢离子的浓度是摩尔/升，
则胃酸的pH为：
.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和对数运算法则，从而得出胃酸的pH的值.
5．【答案】D
【知识点】正态分布的期望与方差
【解析】【解答】解：某小麦种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)近似服从正态分布．
A：该地小麦的平均株高约为cm，A错误；
B：该地小麦株高的方差约为，B错误；
C：因为该地株高超过110cm的小麦约占，C错误；
因为，该地株高超过130cm的小麦约占，
D：则该地株高低于130cm的小麦约占，D正确.
故答案为：D.
【分析】本题考查正态分布的性质，核心是利用正态分布的均值、标准差及对称性，对各选项逐一进行判断。
6．【答案】D
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】解：在中用替换，知.
所以.
故.
故答案为：D.
【分析】本题考查导数的定义，核心是先通过变量替换得到 的表达式，再代入导数定义的极限式求解。
7．【答案】D
【知识点】排列、组合的实际应用；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：在一个的区域内有16个潜在的通信节点位置，需要选择3个节点，共有种情况；
4点共线有10种情况，3点共线有4种情况，所以满足条件的点有.
故答案为：D.
【分析】本题考查组合计数中的 “补集思想”，核心是先算出从 16 个节点中任选 3 个的总方案数，再减去所有三点共线的情况，从而得到满足条件的方案数量。
8．【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：由函数的图象关于点中心对称可知，
，即，
可得，则，
由，可得，
由为上的偶函数可得．
故答案为：B．
【分析】本题考查函数的奇偶性与对称性，核心是先利用的中心对称性推导出的对称轴，再结合求出的值，最后利用的偶函数性质与对称性求解。
9．【答案】A,B
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式
【解析】【解答】解：对于A，因为二项式系数和为，
所以，所有奇数项的二项式系数的和为，故A正确；
对于B， 因为二项式系数最大为，
所以二项式系数最大的项为第5项，故B正确；
对于C，因为，为有理项，
则可取的值为，
所以有理项共有三项，故C错误；
对于D，令，则所有项系数和为，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】先利用已知条件求出二项式系数和，再利用奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，则得出所有奇数项的二项式系数的和，从而判断出选项A；利用二项式系数的最大项为中间项，则判断出选项B；利用二项式定理得出通项公式，再对赋值，则判断出选项C；令，从而求出所有项的系数的和，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．【答案】B,C
【知识点】不等关系与不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：A：实数满足，则，
因为，所以，所以，所以，A错误；
B：因为，则，则的取值范围是，B正确；
C：正实数满足，则，所以，当且仅当时取最大值为，C正确；
D：正实数满足，取，，D错误.
故答案为：BC.
【分析】A：用作差法比较与的大小；B：利用不等式的性质，求的取值范围；C：利用基本不等式求的最大值；D：用特殊值法判断的取值。
11．【答案】A,C,D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：因为，
当或时，则，
所以当或时，当时，
所以在，上单调递增，在上单调递减；
当时，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减；
则在、处取得极小值，故有个极小值点，故A正确；
因为，所以曲线在点处的切线斜率为，故B错误；
，则的图象如下所示：
有3个零点时，零点个数问题转化为函数的图象与直线的交点个数问题.
因为，，，，
要使有3个零点， 可得的取值范围为，故C正确；
要使只有1个零点，则的取值范围为，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】A：分区间讨论函数表达式，通过导数判断单调性，找出极小值点；B：直接计算函数在x=3处的导数值，即切线斜率；C：根据函数单调性画出大致图像，结合图像判断零点个数为3时m的取值范围；D：同理，结合图像判断零点个数为1时m的取值范围。
12．【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由题可设，若，可得，即；
若，可得；
综上，不等式的解集为.
故答案为：
【分析】本题考查分段函数不等式的求解，核心是按分段函数的定义域分段讨论，分别解不等式，再结合指数函数与对数函数的单调性，合并得到最终解集。
13．【答案】576
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量的方差
【解析】【解答】解：由题意得，的可能取值为190，150，110，
且，，，
则的期望，
所以方差.
故答案为：576
【分析】本题考查离散型随机变量的方差计算，核心是先确定产量和X的所有可能取值及对应概率，再计算期望E(X)，最后代入方差公式求解。
14．【答案】
【知识点】函数的值域；函数的单调性及单调区间；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：由，得，对任意的，总存在使等式成立，即函数在上的值域是函数在上值域的子集，
由，则，
设，根据对勾函数图形可知，在上单调递减，在上单调递增，在处取得最小值，，
可知，所以在上的值域是，
则在上的值域为.
由，可知函数开口向上，关于对称，
当，即时，函数在上单调递增，可得，即，解得，
当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，可得，即，无解，
当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，可得，即，无解，
当，即时，函数在上单调递减，可得，即，解得，
综上所述，实数的取值范围为
故答案为：.
【分析】本题考查双变量恒成立问题，核心是先通过变形将条件转化为值域包含关系，分别求出两个函数的值域，再根据值域间的包含关系分情况讨论，解不等式组得到参数a的取值范围。
15．【答案】（1）解：由题设，，
所以，可得；
（2）解：由（1）知，，故去掉点后样本中心仍然是，
去掉点前，
去掉点后，
显然前后数值没有改变，同理，的值都没有变化，所以相关系数不变.
【知识点】线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【分析】(1) 利用样本中心在回归直线上，计算m的值；
(2) 分析去掉点(8，25)后，相关系数公式的分子和分母是否变化，判断r是否改变。
（1）由题设，，
所以，可得；
（2）由（1）知，，故去掉点后样本中心仍然是，
去掉点前，
去掉点后，
显然前后数值没有改变，同理，的值都没有变化，
所以相关系数不变.
16．【答案】（1）解：零假设：是否喜欢网上买菜与年龄无关（即独立）.
，
因此拒绝，认为两者相关.
（2）解：
.
【知识点】独立性检验的应用；全概率公式
【解析】【分析】(1) 利用卡方独立性检验，计算统计量并与临界值比较，判断是否有关；
(2) 用全概率公式计算小张周二选择B平台买菜的概率。
（1）零假设：是否喜欢网上买菜与年龄无关（即独立）.
，
因此拒绝，认为两者相关.
（2）.
17．【答案】（1）解：因为，该函数在 处未定义，因此定义域为 .
设 ，则 ，故 .
.
分母（当 )，分子中 恒正.
令 ，则，当 时 ，当 时 ；
，且 ( ).
因此，分子 （ )，故 （ ).
从而 （).
综上， 在 和 上均单调递增.
（2）解：由可得，
因 （)，两边除以 ：，
整理为：，即.
设，则方程为 ，需求 在 时有两个不同的根.
求导：，分母 （).
分子中：（当 )；当 ， ，当 ， .
所以，当，；当，；当，.
因此， 在 上单调递减，在 上单调递增，
在 处取极小值，.
又， ； ， .
综上， 的值域为 ，且在 上由 递减至 ，在 上由 递增至 .
要使 有两个不同的实根，需 ，此时，在 和 上各有一根，且两根不同.
当 时，仅一根 ；当 时，无实根.
故实数 的取值范围为 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1) 对求导，分析导数的符号，判断单调性；
(2) 对方程进行变形，构造函数，通过分析其单调性和值域，确定的取值范围。
（1）因为，该函数在 处未定义，因此定义域为 .
设 ，则 ，故 .
.
分母（当 )，分子中 恒正.
令 ，则，当 时 ，当 时 ；
，且 ( ).
因此，分子 （ )，故 （ ).
从而 （).
综上， 在 和 上均单调递增.
（2）由可得，
因 （)，两边除以 ：，
整理为：，即.
设，则方程为 ，需求 在 时有两个不同的根.
求导：，分母 （).
分子中：（当 )；当 ， ，当 ， .
所以，当，；当，；当，.
因此， 在 上单调递减，在 上单调递增，
在 处取极小值，.
又， ； ， .
综上， 的值域为 ，且在 上由 递减至 ，在 上由 递增至 .
要使 有两个不同的实根，需 ，此时，在 和 上各有一根，且两根不同.
当 时，仅一根 ；当 时，无实根.
故实数 的取值范围为 .
18．【答案】（1）解：记比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级为事件，则；
（2）解：由题意可知：的可能取值为，
，
，
，
，
显然的分布列为
；
（3）解：由题意，，，
令，解得，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
则在处取得极大值，即最大值，且.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算即可；
（2）由题意可知：的可能取值为，求出所对应的概率，列分布列，计算数学期望即可；
（3）依题意，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最大值.
（1）记比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级为事件，
则；
（2）依题意的可能取值为，
所以，
，
，
.
所以的分布列为
所以的期望为.
（3）依题意，，
则，
令，得，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以在处取得极大值，即最大值，
所以.
19．【答案】（1）解：函数，求导得，
对，，
所以是 “反比函数”.
（2）证明：设，则，
当时，；当时，，
函数在上递减，在上递增，因此，
依题意，，由，得，
于是
即对，，
所以函数是“反比函数”.
（3）证明：设，则，
函数在上单调递增，
当时，有，即对任意，；
假设存在，使，由及零点存在定理，存在使得，
由，知，矛盾，
因此对任意，；
假设存在，使得，由及零点存在定理，存在使得，
从而对任意，有，
当时，，矛盾，
即对任意，有，
因此对任意的，都有成立，
所以对任意，关于的方程一定无解.
【知识点】函数的单调性及单调区间；利用导数研究函数的单调性；不等式的证明；函数零点存在定理
【解析】【分析】(1) 代入函数验证“反函数”的定义，判断是否满足条件；
(2) 构造函数，利用其单调性和已知条件证明不等式；
(3) 构造辅助函数，利用单调性和题设条件证明对所有成立，从而方程（）无解。
（1）函数，求导得，
对，，
所以是 “反比函数”.
（2）设，则，当时，；当时，，
函数在上递减，在上递增，因此，
依题意，，由，得，
于是
即对，，
所以函数是“反比函数”.
（3）设，则，
函数在上单调递增，
当时，有，即对任意，；
假设存在，使，由及零点存在定理，存在使得，
由，知，矛盾，
因此对任意，；
假设存在，使得，由及零点存在定理，存在使得，
从而对任意，有，
当时，，矛盾，
即对任意，有，
因此对任意的，都有成立，
所以对任意，关于的方程一定无解.
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