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江苏省南京市江宁区2024-2025学年高一下学期6月期末考试数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1．下列统计量中，能度量样本的离散程度的是（　　）
A．样本的众数 B．样本的中位数
C．样本的极差 D．样本的平均数
【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：由题意得，平均数、众数和中位数均刻画了样本数据的集中趋势，由极差的定义可知，极差是用来反应最大值与最小值之间的差距，刻画一组数据的离散程度.
故答案为： C
【分析】本题考查描述性统计量的含义，核心是区分刻画数据集中趋势与离散程度的统计量。
2．若复数满足为虚数单位)，则（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：因为，所以，，
所以.
故答案为：B
【分析】本题考查复数的运算、共轭复数及模长的计算，核心是先求出复数 z，再计算其共轭复数的模。
3．某校文艺部有5名学生，其中高一年级有3名、高二年级有2名.从这5名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：设高一年级的3名学生为，高二年级的2名学生为，
则从这5名学生中随机选2名组织校文艺汇演包含的基本事件有：
，共计10个，
其中这2名学生来自不同年级有，计6个，
所以这2名学生来自不同年级的概率为.
故答案为：D.
【分析】本题考查古典概型的概率计算，核心是先求出所有可能的基本事件总数，再计算满足条件的事件数，最后用公式求解。
4．在中，，若最长边的长为，则最短边的长为（　　）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系；解三角形
【解析】【解答】解：由，，，则，所以，
又，
又，故，
所以，则，为最短边，
由，则，解得，
由正弦定理，.
故答案为：C.
【分析】本题考查三角形中三角函数与正弦定理的应用，核心是先通过两角和的正切公式求出最大角，再利用正弦定理计算最短边。
5．已知l，m是两条不同的直线，为平面，，下列说法中正确的是（　　）
A．若，则
B．若与不平行，则与一定不平行
C．若，则
D．若与不垂直，则与一定不垂直
【答案】C
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A，若，则与可能平行或异面，故A错误；
B，若与不平行，当时，与可能平行，故B错误；
C，若，又，则，故C正确；
D，若与不垂直，与可能垂直，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据给定条件，利用线面位置关系逐项分析判断：
A：若，分析与的位置关系；
B：若与不平行，分析与是否一定不平行；
C：若，结合，判断与的位置关系；
D：若与不垂直，分析与是否一定不垂直。
6．中，，则（　　）
A．是等腰三角形
B．是直角三角形
C．是等腰三角形或直角三角形
D．是等腰直角三角形
【答案】C
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：由，
得，
由正弦定理，得，
因为，
所以，
则，
又因为，
或，
则或，
所以是等腰或直角三角形.
故答案为：C.
【分析】利用切化弦和正弦定理边角转化，再利用二倍角的正弦公式，从而得出，再利用三角形中角的取值范围，进而得出或，则或，从而判断出三角形的形状.
7．的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：
.
故答案为：A.
【分析】本题考查三角恒等变换，核心是利用二倍角公式与和角公式对表达式进行化简，消去变量θ后求值。
8．已知菱形的边长为是菱形所在平面内的动点，则）的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：如图，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
因为菱形得边长为1，，所以，，，
设，则，，，
所以
，
，，当且仅当时，取等号，
所以的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】本题考查向量数量积的坐标运算，核心是通过建立平面直角坐标系，将向量运算转化为坐标运算，再利用配方法求取值范围。
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分.
9．下列各式正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A,B,D
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；二倍角的正切公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：A，，又，，故A正确；
B，，故B正确；
C，，故C错误；
D，由，所以，得，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】A：先利用诱导公式将化为，再通过平方结合二倍角正弦公式求解；B：直接利用二倍角的正切公式变形求解；C：先利用诱导公式将化为，再结合二倍角正弦公式求解；D：利用两角和的正切公式变形求解。
10．欧拉公式为自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.若在复数范围内关于的方程的两根为，其中，则（　　）
A．复数对应的点位于第二象限
B．
C．
D．若复数满足，则的最大值为
【答案】B,C,D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数的模；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：因为，所以，
则复数对应的点位于第一象限，故A错误；
BC：因为在复数范围内关于x的方程（a，）的两根为，，
所以，且，即，
则，解得：.所以，
，故BC正确；
D：由知，在复平面内表示复数的点在以原点为圆心的单位圆上，
可看作单位圆上的点到点的距离，因为圆心到的距离为，
则该单位圆上的点到点的距离最大值为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】A：先根据欧拉公式化简 ，再判断其对应点所在象限；B：利用实系数一元二次方程根与系数的关系，结合 求出另一根 ；C：由根与系数的关系求出 ，再计算复数 的模；D：根据复数的几何意义，结合点与圆的位置关系求 的最大值。
11．已知正四面体的各棱长均为2，各顶点均在球的球面上，则（　　）
A．正四面体的高为 B．正四面体的体积为
C．二面角的余弦值为 D．球的表面积为
【答案】A,C,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A：如图，是正四面体的高，是外接球球心，设外接球半径为，
∵正四面体棱长为，∴，，故A正确.
B：正四面体的体积为：，故B错误，
C：取线段中点，连结因为在正四面体中，所以分别为的高，
所以为二面角的平面角，又因为棱锥长为
所以
在中，由余弦定理知：
，故C正确，
D：，，由得，
解得，∴故D正确
故答案为：ACD.
【分析】A：通过底面正三角形的中心，计算正四面体的高；B：利用三棱锥体积公式计算正四面体的体积；C：通过取棱中点，构造二面角的平面角并计算余弦值；D：利用正四面体外接球半径与棱长的关系，计算球的表面积。
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
12．在复平面内，复数所对应的点分别为A，B，C，四边形为平行四边形，则点对应的复数为　 　.
【答案】
【知识点】复数的基本概念；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：根据题意，，设，
由，则，解得，
所以点的坐标为，其对应的复数为.
故答案为：.
【分析】 本题考查复数的几何意义与向量运算，核心是利用平行四边形的对边向量相等，建立方程求解点D的坐标，再转化为对应的复数。
13．一个封闭的正三棱柱容器，内装水若干，水面高度为3（如图（1），底面处于水平状态）.将容器放倒（如图（2），一个侧面处于水平状态），若此时水面与各棱的交点分别为所在棱的中点，则该正三棱柱容器的高为　 　.
【答案】4
【知识点】柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设正三棱柱的底面积为，高为，则水的体积，
因为分别为所在棱的中点，所以，，
所以图（2）中水的体积为，又，
，解得.
所以该正三棱柱容器的高为4.
故答案为：4.
【分析】本题考查等体积法的应用，核心是利用容器中水的体积不变，分别计算两种放置方式下的水体积，建立方程求解容器的高。
14．如图，在三棱锥中，平面，现从该三棱锥的6条棱中任选2条，则这2条棱不互相垂直的概率为　 　.
【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：由已知平面，所以，.
由，平面，
所以平面，所以.
从该三棱锥的6条棱中任选2条共有种不同的选法，
而其中互相垂直的2条棱有，共5种情况，
所以这2条棱不互相垂直的概率为.
故答案为：.
【分析】本题考查古典概型与线线垂直的判定，核心是先找出三棱锥中所有互相垂直的棱对，再利用对立事件的概率公式求解。
四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15．已知，
（1）若，求与夹角的余弦值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）解：由题意得：，
所以 ，解得，
所以，
所以.
（2）解：，解得，
，
故.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；二倍角的余弦公式
【解析】【分析】(1) 先由求出，再用向量夹角公式计算余弦值；
(2) 由求出，再结合诱导公式和二倍角公式求。
（1）由题：，
所以 ，解得，
所以，
所以.
（2），解得，
，
故.
16．一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去100天的日销售量（单位：，将全部数据按区间分成5组，得到下图所示的频率分布直方图.
（1）求图中的值；并估计该水果店过去100天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）若一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需要（在100天中，大约有88天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少苹果？
【答案】（1）解：由题意得，解得：，
平均数为.
（2）解：因为
所以满足顾客的需要的进货数在第五组，
.
所以每天应该进96苹果.
【知识点】频率分布直方图；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】(1) 利用频率分布直方图中矩形面积和为1求a，再用各组中点值计算平均数；
(2) 计算累计频率，找到第88百分位数，确定每天应进的苹果量。
（1）由题：，解得：，
平均数为
.
（2）因为
所以满足顾客的需要的进货数在第五组，
.
所以每天应该进96苹果.
17．中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，
（1）求角；
（2）若，且AB边上的高为，求周长.
【答案】（1）解：在中，，
由余弦定理得：，
即，
所以，
故，
又，所以.
（2）解：面积，
因为，所以，所以，
又由余弦定理：，所以，
所以，所以，
故周长.
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1) 结合余弦定理化简已知条件，求出，进而得到角；
(2) 利用三角形面积公式和余弦定理，求出，进而得到三角形周长。
（1）在中，，
由余弦定理得：，
即，
所以，
故，
又，所以.
（2）由题：面积，
因为，所以，所以，
又由余弦定理：，所以，
所以，所以，
故周长.
18．如图（1），在直角梯形中，分别是的中点，沿将梯形翻折，使，如图（2）.
（1）证明：平面平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）求与平面所成角的正切值.
【答案】（1）证明：因为分别为的中点，
所以，
因为，所以，
又平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面.
（2）解：如图所示，取中点，连接，
因为，所以为等边三角形，
所以，，
又因为平面平面，平面平面平面，
所以平面
因为分别为的中点，所以为梯形中位线，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，同理可得，，
又因为，
所以是等腰三角形，
所以，
设点到平面的距离为，
则三棱锥的体积为，
所以，解得，.
所以点到平面的距离为.
（3）解：如图所示，过作，使，过作，垂足为，连接HC，
所以，
所以四边形为矩形，
所以，
又，所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，所以平面，
所以即为与平面所成角，
因为，
所以，
故与平面所成角的正切值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】(1) 证明平面，从而推出平面平面；
(2) 利用等体积法求点到平面的距离；
(3) 找到与平面所成角，计算其正切值。
（1）因为分别为的中点，
所以，
因为，
所以，
又平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面.
（2）如图所示，取中点，连接，
因为，
所以为等边三角形，
所以，，
又因为平面平面，平面平面平面，
所以平面
因为分别为的中点，
所以为梯形中位线，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
同理可得，，
又因为，
所以是等腰三角形，
所以，
设点到平面的距离为，
则三棱锥的体积为，
所以，
解得，.
所以点到平面的距离为.
（3）如图所示，过作，使，过作，垂足为，连接HC，
所以，
所以四边形为矩形，
所以，
又，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，
所以平面，
所以即为与平面所成角，
因为，
所以，
故与平面所成角的正切值为.
19．布洛卡点是三角形内部的一特殊的点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，它通过等角条件联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价值的点.其定义如下：设是内一点，若，则称点为的布洛卡点，角为的布洛卡角.如图，在中，记它的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为的面积为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下各题：
（1）若，求；
（2）已知，
①若，求的值；
②若，求S.
【答案】（1）解：在中，，所以，
所以，
在中，，所以，
在中，，所以，
所以，故.
（2）解：
因为，所以，即，
①，所以
在中，，
在中，，
在中，，
三式相加得
，
整理得：.
②又
又由①知，
所以，
故，
整理得：，
即，
所以，即，
所以.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1) 利用布洛卡点的角度关系，结合正弦定理求；
(2) ① 由三角形面积公式和余弦定理，结合布洛卡角的条件，求；
② 由，利用布洛卡点的性质求面积。
（1）在中，，所以，
所以，
在中，，所以，
在中，，所以，
所以，故.
（2）
因为，所以，即，
①，所以
在中，，
在中，，
在中，，
三式相加得
，
整理得：.
②又
又由①知，
所以，
故，
整理得：，
即，
所以，即，
所以.
1 / 1江苏省南京市江宁区2024-2025学年高一下学期6月期末考试数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1．下列统计量中，能度量样本的离散程度的是（　　）
A．样本的众数 B．样本的中位数
C．样本的极差 D．样本的平均数
2．若复数满足为虚数单位)，则（　　）
A．1 B． C． D．
3．某校文艺部有5名学生，其中高一年级有3名、高二年级有2名.从这5名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．在中，，若最长边的长为，则最短边的长为（　　）
A．1 B． C．2 D．3
5．已知l，m是两条不同的直线，为平面，，下列说法中正确的是（　　）
A．若，则
B．若与不平行，则与一定不平行
C．若，则
D．若与不垂直，则与一定不垂直
6．中，，则（　　）
A．是等腰三角形
B．是直角三角形
C．是等腰三角形或直角三角形
D．是等腰直角三角形
7．的值为（　　）
A． B． C． D．
8．已知菱形的边长为是菱形所在平面内的动点，则）的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分.
9．下列各式正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
10．欧拉公式为自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.若在复数范围内关于的方程的两根为，其中，则（　　）
A．复数对应的点位于第二象限
B．
C．
D．若复数满足，则的最大值为
11．已知正四面体的各棱长均为2，各顶点均在球的球面上，则（　　）
A．正四面体的高为 B．正四面体的体积为
C．二面角的余弦值为 D．球的表面积为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
12．在复平面内，复数所对应的点分别为A，B，C，四边形为平行四边形，则点对应的复数为　 　.
13．一个封闭的正三棱柱容器，内装水若干，水面高度为3（如图（1），底面处于水平状态）.将容器放倒（如图（2），一个侧面处于水平状态），若此时水面与各棱的交点分别为所在棱的中点，则该正三棱柱容器的高为　 　.
14．如图，在三棱锥中，平面，现从该三棱锥的6条棱中任选2条，则这2条棱不互相垂直的概率为　 　.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15．已知，
（1）若，求与夹角的余弦值；
（2）若，求的值.
16．一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去100天的日销售量（单位：，将全部数据按区间分成5组，得到下图所示的频率分布直方图.
（1）求图中的值；并估计该水果店过去100天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）若一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需要（在100天中，大约有88天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少苹果？
17．中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，
（1）求角；
（2）若，且AB边上的高为，求周长.
18．如图（1），在直角梯形中，分别是的中点，沿将梯形翻折，使，如图（2）.
（1）证明：平面平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）求与平面所成角的正切值.
19．布洛卡点是三角形内部的一特殊的点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，它通过等角条件联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价值的点.其定义如下：设是内一点，若，则称点为的布洛卡点，角为的布洛卡角.如图，在中，记它的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为的面积为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下各题：
（1）若，求；
（2）已知，
①若，求的值；
②若，求S.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：由题意得，平均数、众数和中位数均刻画了样本数据的集中趋势，由极差的定义可知，极差是用来反应最大值与最小值之间的差距，刻画一组数据的离散程度.
故答案为： C
【分析】本题考查描述性统计量的含义，核心是区分刻画数据集中趋势与离散程度的统计量。
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：因为，所以，，
所以.
故答案为：B
【分析】本题考查复数的运算、共轭复数及模长的计算，核心是先求出复数 z，再计算其共轭复数的模。
3．【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：设高一年级的3名学生为，高二年级的2名学生为，
则从这5名学生中随机选2名组织校文艺汇演包含的基本事件有：
，共计10个，
其中这2名学生来自不同年级有，计6个，
所以这2名学生来自不同年级的概率为.
故答案为：D.
【分析】本题考查古典概型的概率计算，核心是先求出所有可能的基本事件总数，再计算满足条件的事件数，最后用公式求解。
4．【答案】C
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系；解三角形
【解析】【解答】解：由，，，则，所以，
又，
又，故，
所以，则，为最短边，
由，则，解得，
由正弦定理，.
故答案为：C.
【分析】本题考查三角形中三角函数与正弦定理的应用，核心是先通过两角和的正切公式求出最大角，再利用正弦定理计算最短边。
5．【答案】C
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A，若，则与可能平行或异面，故A错误；
B，若与不平行，当时，与可能平行，故B错误；
C，若，又，则，故C正确；
D，若与不垂直，与可能垂直，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据给定条件，利用线面位置关系逐项分析判断：
A：若，分析与的位置关系；
B：若与不平行，分析与是否一定不平行；
C：若，结合，判断与的位置关系；
D：若与不垂直，分析与是否一定不垂直。
6．【答案】C
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：由，
得，
由正弦定理，得，
因为，
所以，
则，
又因为，
或，
则或，
所以是等腰或直角三角形.
故答案为：C.
【分析】利用切化弦和正弦定理边角转化，再利用二倍角的正弦公式，从而得出，再利用三角形中角的取值范围，进而得出或，则或，从而判断出三角形的形状.
7．【答案】A
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：
.
故答案为：A.
【分析】本题考查三角恒等变换，核心是利用二倍角公式与和角公式对表达式进行化简，消去变量θ后求值。
8．【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：如图，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
因为菱形得边长为1，，所以，，，
设，则，，，
所以
，
，，当且仅当时，取等号，
所以的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】本题考查向量数量积的坐标运算，核心是通过建立平面直角坐标系，将向量运算转化为坐标运算，再利用配方法求取值范围。
9．【答案】A,B,D
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；二倍角的正切公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：A，，又，，故A正确；
B，，故B正确；
C，，故C错误；
D，由，所以，得，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】A：先利用诱导公式将化为，再通过平方结合二倍角正弦公式求解；B：直接利用二倍角的正切公式变形求解；C：先利用诱导公式将化为，再结合二倍角正弦公式求解；D：利用两角和的正切公式变形求解。
10．【答案】B,C,D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数的模；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：因为，所以，
则复数对应的点位于第一象限，故A错误；
BC：因为在复数范围内关于x的方程（a，）的两根为，，
所以，且，即，
则，解得：.所以，
，故BC正确；
D：由知，在复平面内表示复数的点在以原点为圆心的单位圆上，
可看作单位圆上的点到点的距离，因为圆心到的距离为，
则该单位圆上的点到点的距离最大值为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】A：先根据欧拉公式化简 ，再判断其对应点所在象限；B：利用实系数一元二次方程根与系数的关系，结合 求出另一根 ；C：由根与系数的关系求出 ，再计算复数 的模；D：根据复数的几何意义，结合点与圆的位置关系求 的最大值。
11．【答案】A,C,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A：如图，是正四面体的高，是外接球球心，设外接球半径为，
∵正四面体棱长为，∴，，故A正确.
B：正四面体的体积为：，故B错误，
C：取线段中点，连结因为在正四面体中，所以分别为的高，
所以为二面角的平面角，又因为棱锥长为
所以
在中，由余弦定理知：
，故C正确，
D：，，由得，
解得，∴故D正确
故答案为：ACD.
【分析】A：通过底面正三角形的中心，计算正四面体的高；B：利用三棱锥体积公式计算正四面体的体积；C：通过取棱中点，构造二面角的平面角并计算余弦值；D：利用正四面体外接球半径与棱长的关系，计算球的表面积。
12．【答案】
【知识点】复数的基本概念；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：根据题意，，设，
由，则，解得，
所以点的坐标为，其对应的复数为.
故答案为：.
【分析】 本题考查复数的几何意义与向量运算，核心是利用平行四边形的对边向量相等，建立方程求解点D的坐标，再转化为对应的复数。
13．【答案】4
【知识点】柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设正三棱柱的底面积为，高为，则水的体积，
因为分别为所在棱的中点，所以，，
所以图（2）中水的体积为，又，
，解得.
所以该正三棱柱容器的高为4.
故答案为：4.
【分析】本题考查等体积法的应用，核心是利用容器中水的体积不变，分别计算两种放置方式下的水体积，建立方程求解容器的高。
14．【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：由已知平面，所以，.
由，平面，
所以平面，所以.
从该三棱锥的6条棱中任选2条共有种不同的选法，
而其中互相垂直的2条棱有，共5种情况，
所以这2条棱不互相垂直的概率为.
故答案为：.
【分析】本题考查古典概型与线线垂直的判定，核心是先找出三棱锥中所有互相垂直的棱对，再利用对立事件的概率公式求解。
15．【答案】（1）解：由题意得：，
所以 ，解得，
所以，
所以.
（2）解：，解得，
，
故.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；二倍角的余弦公式
【解析】【分析】(1) 先由求出，再用向量夹角公式计算余弦值；
(2) 由求出，再结合诱导公式和二倍角公式求。
（1）由题：，
所以 ，解得，
所以，
所以.
（2），解得，
，
故.
16．【答案】（1）解：由题意得，解得：，
平均数为.
（2）解：因为
所以满足顾客的需要的进货数在第五组，
.
所以每天应该进96苹果.
【知识点】频率分布直方图；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】(1) 利用频率分布直方图中矩形面积和为1求a，再用各组中点值计算平均数；
(2) 计算累计频率，找到第88百分位数，确定每天应进的苹果量。
（1）由题：，解得：，
平均数为
.
（2）因为
所以满足顾客的需要的进货数在第五组，
.
所以每天应该进96苹果.
17．【答案】（1）解：在中，，
由余弦定理得：，
即，
所以，
故，
又，所以.
（2）解：面积，
因为，所以，所以，
又由余弦定理：，所以，
所以，所以，
故周长.
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1) 结合余弦定理化简已知条件，求出，进而得到角；
(2) 利用三角形面积公式和余弦定理，求出，进而得到三角形周长。
（1）在中，，
由余弦定理得：，
即，
所以，
故，
又，所以.
（2）由题：面积，
因为，所以，所以，
又由余弦定理：，所以，
所以，所以，
故周长.
18．【答案】（1）证明：因为分别为的中点，
所以，
因为，所以，
又平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面.
（2）解：如图所示，取中点，连接，
因为，所以为等边三角形，
所以，，
又因为平面平面，平面平面平面，
所以平面
因为分别为的中点，所以为梯形中位线，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，同理可得，，
又因为，
所以是等腰三角形，
所以，
设点到平面的距离为，
则三棱锥的体积为，
所以，解得，.
所以点到平面的距离为.
（3）解：如图所示，过作，使，过作，垂足为，连接HC，
所以，
所以四边形为矩形，
所以，
又，所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，所以平面，
所以即为与平面所成角，
因为，
所以，
故与平面所成角的正切值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】(1) 证明平面，从而推出平面平面；
(2) 利用等体积法求点到平面的距离；
(3) 找到与平面所成角，计算其正切值。
（1）因为分别为的中点，
所以，
因为，
所以，
又平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面.
（2）如图所示，取中点，连接，
因为，
所以为等边三角形，
所以，，
又因为平面平面，平面平面平面，
所以平面
因为分别为的中点，
所以为梯形中位线，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
同理可得，，
又因为，
所以是等腰三角形，
所以，
设点到平面的距离为，
则三棱锥的体积为，
所以，
解得，.
所以点到平面的距离为.
（3）如图所示，过作，使，过作，垂足为，连接HC，
所以，
所以四边形为矩形，
所以，
又，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，
所以平面，
所以即为与平面所成角，
因为，
所以，
故与平面所成角的正切值为.
19．【答案】（1）解：在中，，所以，
所以，
在中，，所以，
在中，，所以，
所以，故.
（2）解：
因为，所以，即，
①，所以
在中，，
在中，，
在中，，
三式相加得
，
整理得：.
②又
又由①知，
所以，
故，
整理得：，
即，
所以，即，
所以.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1) 利用布洛卡点的角度关系，结合正弦定理求；
(2) ① 由三角形面积公式和余弦定理，结合布洛卡角的条件，求；
② 由，利用布洛卡点的性质求面积。
（1）在中，，所以，
所以，
在中，，所以，
在中，，所以，
所以，故.
（2）
因为，所以，即，
①，所以
在中，，
在中，，
在中，，
三式相加得
，
整理得：.
②又
又由①知，
所以，
故，
整理得：，
即，
所以，即，
所以.
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