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江苏省部分高中2024-2025学年高一下学期期末迎考数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．设复数，则的共轭复数的虚部为（　　）
A． B． C． D．
2．在中，，则最大角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
3．某生活超市2025年第一季度各区域营业收入占比和净利润占比统计如下表所示：
　 生鲜区 熟食区 乳制品区 日用品区 其他区
营业收入占比 48.6% 15.8% 20.1% 10.8% 4.7%
净利润占比 65.8% -4.3% 16.5% 20.2% 1.8%
已知该生活超市本季度的总营业利润率为32.5%（营业利润率是净利润占营业收入的百分比），下列结论不正确的是（　　）
A．本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区
B．本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区
C．本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过40%
D．本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区
4．已知，则（　　）
A． B． C． D．
5．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列结论正确的是（　　）
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
6．若O为所在平面内任一点，且满足，则的形状为（　　）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
7．如图，在直三棱柱中，，，分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
8．已知△ABC是边长为2的等边三角形，M是△ABC内一点，且，若，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分．
9．射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为. 记事件为 “两人都击中”，事件为 “至少 1 人击中”，事件 为 “无人击中”，则下列说法正确的是（　　）
A．事件与 是互斥事件 B．事件 与 是对立事件
C．事件与 相互独立 D．
10．设z为复数（i为虚数单位），下列命题正确的有（　　）
A．若，则
B．对任意复数，，有
C．对任意复数，，有
D．在复平面内，若，则集合M所构成区域的面积为
11．在中，已知，，，且为边上一点，则下列说法正确的是（　　）
A．的外接圆半径 B．若是边上的高，则
C．若是的平分线，则 D．若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，则　 　．
13．某高一班级有40名学生，在一次物理考试中统计出平均分数为70，方差为95，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得70分却记为50分，乙实得60分却记为80分，则更正后的方差是　 　.
14．已知圆锥的轴截面面积为，侧面展开图是一个半圆，则此圆锥外接球的表面积为　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知向量．
（1）求向量在向量上的投影向量；
（2）求向量与夹角为钝角，求m的取值范围．
16．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，．
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分的分位数（保留一位小数）；
（3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率．
17．在中，内角对应的边分别是，且．
（1）求角A的大小；
（2）若的面积是，求的周长；
（3）若为锐角三角形，求的取值范围．
18．如图，在四棱锥中，平面⊥平面，底面为正方形，分别为的中点，设平面平面．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，二面角的大小为，求与底面所成角的正弦值．
19．如图，在矩形ABCD中，P，Q分别是边DC，BC上的两点，．
（1）如果P，Q分别是边DC，BC的中点，求的值．
（2）若，求△PAQ的面积S△PAQ的最小值．
（3）若，连接AP交BC的延长线于点T，Q为BC的中点，试探究线段AB上是否存在一点H，使得∠THQ最大．若存在，求BH的长；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以的共轭复数的虚部为.
故答案为：D
【分析】先通过分母实数化将复数z化简为标准的代数形式a+bi，再根据共轭复数的定义求出z，最后依据复数虚部的定义（虚部为实数，不含i）确定答案。
2．【答案】A
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：由题意可知，所以，所以最大，
设，
由余弦定理得：，
故答案为：A
【分析】先由正弦定理将角的正弦比转化为边的比，确定最大角，再用余弦定理计算该角的余弦值。
3．【答案】D
【知识点】频率分布表
【解析】【解答】解：生鲜区的净利润占比，故A正确．
生鲜区的营业利润率为，故C正确．
熟食区的营业利润率为；
乳制品区的营业利润率为；
其他区的营业利润率为；
日用品区的营业利润率为，最高，故B正确．
由题中数据知，其他区的营业收入占比4.7%为最低的，故D错误．
故答案为：D
【分析】本题考查统计图表的解读与营业利润率的计算，核心是利用营业利润率公式（营业利润率=净利润/营业收入），结合表格中的占比数据，逐一分析选项。
4．【答案】D
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由，
得，
则，
因此.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和同角三角函数基本关系式，从而可得的值，再根据两角差的正切公式，从而得出的值.
5．【答案】C
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A，若，，，则直线m，n平行或异面，A错误．
B，若，，则或，B错误．
C，根据垂直于同一个平面的两条直线互相平行，C正确．
D，β，γ两平面可能相交或平行，D错误．
故答案为：C
【分析】A：判断两个平行平面内直线的位置关系；B：判断平行于同一平面的直线的位置关系；C：判断垂直于同一平面的两条直线的位置关系；D：判断垂直于同一平面的两个平面的位置关系。
6．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：如图，取中点，
则，
所以，
则，
因为，
所以，
则为等腰三角形.
故答案为：C．
【分析】取中点，则将结合数量积的运算律，从而化为，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系，从而得出线线垂直，再利用得出，再利用等腰三角形的定义判断出的形状.
7．【答案】A
【知识点】异面直线所成的角
【解析】【解答】解：如图，把直三棱柱 补成一个底面为菱形的直四棱柱.
因为 ，且 ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ，所以异面直线与所成的角为 或其补角.
不妨设 ，因为 ，
所以 ，所以为等边三角形，
所以 ，所以 .
因为 为边长为 的等边三角形，所以 .
又因为 ，
所以在 中，由余弦定理可得 ，
故异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故答案为：A
【分析】本题考查异面直线所成角的求解，核心是通过平移将异面直线转化为相交直线，构造三角形后用余弦定理计算夹角的余弦值。
8．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：取 的中点 ，以 为坐标原点， 所在的直线分别为 轴、 轴建立平面直角坐标系
则 . 设 ，
则 .
因为 ，且 ，所以 )，且 ，
即 可得
因为点 在 内部，
所以 可得 ，所以 .
因为 ，
所以 ，
所以当 时， 取最小值 .
故答案为：C
【分析】本题考查向量线性运算与数量积的最值问题，核心是通过建立坐标系，将向量运算转化为坐标运算，再结合二次函数的性质求最小值。
9．【答案】A,B,D
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件
【解析】【解答】解：依题意，
则，
，
.
对于A，因为“两人都击中”的对立事件为“至多1人击中”，
所以，包括“无人击中”，“1人击中”，
则事件与 是互斥事件，故A正确；
对于B，因为“至少 1 人击中”包括“1人击中”，“2人击中”两种情况，
所以，其对立事件即“无人击中”，故B正确；
对于C，依题意，因为，
所以，
又因为，
所以，事件与不相互独立，故C错误；
对于D，因为，所以，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据独立事件乘法求概率公式、对立事件求概率公式，从而得出事件A的概率、事件B的概率和事件C的概率，再利用互斥事件的定义、对立事件的定义、独立事件的定义和互斥事件加法求概率公式，从而找出说法正确的选项.
10．【答案】B,C
【知识点】命题的真假判断与应用；复数相等的充要条件；复数在复平面中的表示；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：对于A：因为，
所以，
则，故A错误；
对于B：设、，
则
，
所以，故B正确；
对于C：设、，
则，
则，
，故，故C正确；
对于D：设，
则，
所以集合M所构成区域为以为圆心，半径为的圆，
则，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】借助复数的运算法则、共轭复数定义、复数的模求解公式以及复数的几何意义，从而逐项判断找出真命题的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】平面向量的数量积运算；解三角形；余弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：A、由余弦定理，
可得，由正弦定理的外接圆半径，故A正确；
B、若是边上的高，则，
即，故B错误；
C、若是的平分线，则，
则由得，
所以，故C正确；
D、因为，所以，
则，即，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】先利用余弦定理求出，再利用由正弦定理求外接圆的半径即可判断A；利用等面积法求解即可判断B；若是的平分线，则，利用
求解即可判断C；由，可得，再两边平方，结合向量的数量积求解即可判断D.
12．【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，
所以，
又因为，
所以，
则
.
故答案为：.
【分析】根据角的取值范围和同角三角函数基本关系式，从而得出的值，再结合角之间的关系式和两角和的正弦公式，从而得出的值.
13．【答案】85
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：设更正前甲，乙，丙...的成绩依次为，
则，
所以，
则，
所以，
则，
所以.
则更正后的平均分，
所以，更正后的方差为：
.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和平均数公式、方差公式，从而得出更正后的方差.
14．【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，
所以圆锥的侧面积为，所以，
又因为圆锥的轴截面面积为：，
解得：，所以圆锥的高为，
设圆锥外接球的半径为，圆锥外接球的球心在高上，
所以，
解得：，
所以圆锥外接球的表面积为.
故答案为：.
【分析】本题考查圆锥的性质与外接球表面积计算，核心是先利用侧面展开图与轴截面面积求出圆锥的底面半径、母线长与高，再通过几何关系求出外接球半径，最后用球的表面积公式计算。
15．【答案】（1）解：由，
则，，
所以，向量在向量上的投影向量为：.
（2）解：由，
得，，
因为向量与夹角为钝角，
所以，且与不共线，
则，
解得且，
所以m的取值范围为．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的投影向量
【解析】【分析】（1）根据已知条件和数量积的坐标表示得出平面向量的数量积、再利用向量的模的坐标表示求出向量的模，再结合数量积求投影向量的公式，从而得出向量在向量上的投影向量.
（2）由题意结合三角函数值在各象限的符号，从而可得且与不共线，再利用共线的坐标表示，从而得出实数m的取值范围.
（1）由，
则，，
所以向量在向量上的投影向量为.
（2）由，
则，，
因为向量与夹角为钝角，
所以，且与不共线，
则，解得且，
所以m的取值范围为．
16．【答案】（1）解：由题意：.
（2）解：因为评分在的频率为：，
评分在的频率为：.
所以评分的第分位数在，
由.
所以估计该企业的职工对该部门评分的分位数为：.
（3）解：受访职工中评分在的人数为：人，设为，
受访职工中评分在的人数为：人，设为，
从中任取两人的结果有：，，，，，，，，，，共10个，且每个结果出现的可能性相同.
2人评分都在的结果有：，，，共3个.
所以此2人评分都在的概率为：.
【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】(1) 利用频率分布直方图的性质：所有矩形面积之和为1，求解a的值；
(2) 先计算累计频率，确定50%分位数所在区间，再用线性插值法估算；
(3) 先计算区间内的人数，再用古典概型计算概率。
（1）由题意：.
（2）因为评分在的频率为：，
评分在的频率为：.
所以评分的第分位数在，
由.
所以估计该企业的职工对该部门评分的分位数为：.
（3）受访职工中评分在的人数为：人，设为，
受访职工中评分在的人数为：人，设为，
从中任取两人的结果有：，，，，，，，，，，共10个，且每个结果出现的可能性相同.
2人评分都在的结果有：，，，共3个.
所以此2人评分都在的概率为：.
17．【答案】（1）解：由正弦定理，可得，
则，
因为，所以，
则，
所以.
（2）解：因为，
所以，
由余弦定理，可得，
则，
所以，
则，
所以，
则的周长为.
（3）解：由，可得，
则
，且为锐角三角形，
则，
解得，
所以，
则，
所以，
则的取值范围是.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，再利用三角形中角A的取值范围，从而得出角A的余弦值，进而得出角A的值.
（2）由三角形的面积公式得出的值，再由余弦定理得出的值，从而可得的值，再利用三角形的周长公式得出的周长.
（3）由三角形的内角和定理，则将转化为关于的式子，再由锐角三角形中角的千分之五和不等式的基本性质，再利用正弦型函数求值域的方法，从而得出的取值范围.
（1）由正弦定理可得，
即，因为，所以，
则，即.
（2）因为，所以，
由余弦定理可得，
即，所以，
则，所以，
则的周长为.
（3）由可得，
则
，
且为锐角三角形，则，解得，
所以，则，
所以，
即的取值范围是.
18．【答案】（1）解：因为底面为正方形，
所以，
又因为平面平面，平面平面，平面
所以平面，
因为平面，
所以.
（2）解：取的中点，连接，，
因为点分别为的中点，
所以，且，
又因为，
所以，
则四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面.
又因为平面，平面平面
所以.
（3）解：因为平面，平面，
所以，
又因为，
所以是二面角的平面角，
则，
设则，
连接，则，
因为，平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，
则为与底面所成角，
又因为平面，平面，
所以，
则，
所以，在直角三角形中，.
则直线与底面所成角的正弦值为.
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面所成的角；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）根据正方形的结构特征得出，再利用面面垂直的性质定理得出平面，再根据线面垂直的定义，从而证出.
（2）取的中点，连接，，利用平行四边形的定义判断出四边形为平行四边形，从而出得，再根据线面平行的判定定理得出直线平面，再利用线面平行性质定理证出
（3）由二面角的定义得出是二面角的平面角，由此可设再由面面垂直的判定定理得出直线平面，从而得出为直线与底面所成角，再利用线面垂直的定义得出线线垂直，再根据勾股定理和正弦函数的定义，从而得出直线与底面所成角的正弦值.
（1）因为底面为正方形，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又因为平面，
所以.
（2）取的中点，连接，，
因为点分别为的中点，
所以，且，
因为，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
又因为平面，平面平面
所以.
（3）因为平面，平面，所以，又，
是二面角的平面角，所以，
设则，连接，，
因为，平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，所以即为与底面所成角，
因为平面，平面，所以，
所以，
所以在直角三角形中，.
所以与底面所成角的正弦值为.
19．【答案】（1）解：因为P，Q分别是边DC，BC的中点，所以，
，
因为，
所以
.
（2）解：设，以点为坐标原点，为轴，为轴，建立直角坐标系，
因为，所以，则，
于是，，
因为，
则△PAQ的面积，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立.
即的最小值为.
所以△PAQ的面积的最小值为．
（3）解：同（1）问建立相同直角坐标系，
则可得即，
假设存在点，使得最大，由，即有最大，
设，当时，角度为，此时不可能最大，故，即，
则
，
当且仅当，即时，等号成立，
即线段AB上存在一点H，使得∠THQ最大，此时.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1) 利用向量的线性运算与数量积定义求解；
(2) 建立坐标系，设角为参数，结合向量数量积与基本不等式求面积最小值；
(3) 建立坐标系，设 ，利用两角差的正切公式结合基本不等式，求使 最大的 。
（1）因为P，Q分别是边DC，BC的中点，所以，
，
因为，
所以
.
（2）设，以点为坐标原点，为轴，为轴，建立直角坐标系，
因为，所以，则，
于是，，
因为，
则△PAQ的面积，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立.
即的最小值为.
所以△PAQ的面积的最小值为．
（3）同（1）问建立相同直角坐标系，
则可得即，
假设存在点，使得最大，由，即有最大，
设，当时，角度为，此时不可能最大，故，即，
则
，
当且仅当，即时，等号成立，
即线段AB上存在一点H，使得∠THQ最大，此时.
1 / 1江苏省部分高中2024-2025学年高一下学期期末迎考数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．设复数，则的共轭复数的虚部为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以的共轭复数的虚部为.
故答案为：D
【分析】先通过分母实数化将复数z化简为标准的代数形式a+bi，再根据共轭复数的定义求出z，最后依据复数虚部的定义（虚部为实数，不含i）确定答案。
2．在中，，则最大角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：由题意可知，所以，所以最大，
设，
由余弦定理得：，
故答案为：A
【分析】先由正弦定理将角的正弦比转化为边的比，确定最大角，再用余弦定理计算该角的余弦值。
3．某生活超市2025年第一季度各区域营业收入占比和净利润占比统计如下表所示：
　 生鲜区 熟食区 乳制品区 日用品区 其他区
营业收入占比 48.6% 15.8% 20.1% 10.8% 4.7%
净利润占比 65.8% -4.3% 16.5% 20.2% 1.8%
已知该生活超市本季度的总营业利润率为32.5%（营业利润率是净利润占营业收入的百分比），下列结论不正确的是（　　）
A．本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区
B．本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区
C．本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过40%
D．本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区
【答案】D
【知识点】频率分布表
【解析】【解答】解：生鲜区的净利润占比，故A正确．
生鲜区的营业利润率为，故C正确．
熟食区的营业利润率为；
乳制品区的营业利润率为；
其他区的营业利润率为；
日用品区的营业利润率为，最高，故B正确．
由题中数据知，其他区的营业收入占比4.7%为最低的，故D错误．
故答案为：D
【分析】本题考查统计图表的解读与营业利润率的计算，核心是利用营业利润率公式（营业利润率=净利润/营业收入），结合表格中的占比数据，逐一分析选项。
4．已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由，
得，
则，
因此.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和同角三角函数基本关系式，从而可得的值，再根据两角差的正切公式，从而得出的值.
5．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列结论正确的是（　　）
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】C
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A，若，，，则直线m，n平行或异面，A错误．
B，若，，则或，B错误．
C，根据垂直于同一个平面的两条直线互相平行，C正确．
D，β，γ两平面可能相交或平行，D错误．
故答案为：C
【分析】A：判断两个平行平面内直线的位置关系；B：判断平行于同一平面的直线的位置关系；C：判断垂直于同一平面的两条直线的位置关系；D：判断垂直于同一平面的两个平面的位置关系。
6．若O为所在平面内任一点，且满足，则的形状为（　　）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：如图，取中点，
则，
所以，
则，
因为，
所以，
则为等腰三角形.
故答案为：C．
【分析】取中点，则将结合数量积的运算律，从而化为，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系，从而得出线线垂直，再利用得出，再利用等腰三角形的定义判断出的形状.
7．如图，在直三棱柱中，，，分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】异面直线所成的角
【解析】【解答】解：如图，把直三棱柱 补成一个底面为菱形的直四棱柱.
因为 ，且 ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ，所以异面直线与所成的角为 或其补角.
不妨设 ，因为 ，
所以 ，所以为等边三角形，
所以 ，所以 .
因为 为边长为 的等边三角形，所以 .
又因为 ，
所以在 中，由余弦定理可得 ，
故异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故答案为：A
【分析】本题考查异面直线所成角的求解，核心是通过平移将异面直线转化为相交直线，构造三角形后用余弦定理计算夹角的余弦值。
8．已知△ABC是边长为2的等边三角形，M是△ABC内一点，且，若，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：取 的中点 ，以 为坐标原点， 所在的直线分别为 轴、 轴建立平面直角坐标系
则 . 设 ，
则 .
因为 ，且 ，所以 )，且 ，
即 可得
因为点 在 内部，
所以 可得 ，所以 .
因为 ，
所以 ，
所以当 时， 取最小值 .
故答案为：C
【分析】本题考查向量线性运算与数量积的最值问题，核心是通过建立坐标系，将向量运算转化为坐标运算，再结合二次函数的性质求最小值。
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分．
9．射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为. 记事件为 “两人都击中”，事件为 “至少 1 人击中”，事件 为 “无人击中”，则下列说法正确的是（　　）
A．事件与 是互斥事件 B．事件 与 是对立事件
C．事件与 相互独立 D．
【答案】A,B,D
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件
【解析】【解答】解：依题意，
则，
，
.
对于A，因为“两人都击中”的对立事件为“至多1人击中”，
所以，包括“无人击中”，“1人击中”，
则事件与 是互斥事件，故A正确；
对于B，因为“至少 1 人击中”包括“1人击中”，“2人击中”两种情况，
所以，其对立事件即“无人击中”，故B正确；
对于C，依题意，因为，
所以，
又因为，
所以，事件与不相互独立，故C错误；
对于D，因为，所以，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据独立事件乘法求概率公式、对立事件求概率公式，从而得出事件A的概率、事件B的概率和事件C的概率，再利用互斥事件的定义、对立事件的定义、独立事件的定义和互斥事件加法求概率公式，从而找出说法正确的选项.
10．设z为复数（i为虚数单位），下列命题正确的有（　　）
A．若，则
B．对任意复数，，有
C．对任意复数，，有
D．在复平面内，若，则集合M所构成区域的面积为
【答案】B,C
【知识点】命题的真假判断与应用；复数相等的充要条件；复数在复平面中的表示；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：对于A：因为，
所以，
则，故A错误；
对于B：设、，
则
，
所以，故B正确；
对于C：设、，
则，
则，
，故，故C正确；
对于D：设，
则，
所以集合M所构成区域为以为圆心，半径为的圆，
则，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】借助复数的运算法则、共轭复数定义、复数的模求解公式以及复数的几何意义，从而逐项判断找出真命题的选项.
11．在中，已知，，，且为边上一点，则下列说法正确的是（　　）
A．的外接圆半径 B．若是边上的高，则
C．若是的平分线，则 D．若，则
【答案】A,C,D
【知识点】平面向量的数量积运算；解三角形；余弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：A、由余弦定理，
可得，由正弦定理的外接圆半径，故A正确；
B、若是边上的高，则，
即，故B错误；
C、若是的平分线，则，
则由得，
所以，故C正确；
D、因为，所以，
则，即，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】先利用余弦定理求出，再利用由正弦定理求外接圆的半径即可判断A；利用等面积法求解即可判断B；若是的平分线，则，利用
求解即可判断C；由，可得，再两边平方，结合向量的数量积求解即可判断D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，则　 　．
【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，
所以，
又因为，
所以，
则
.
故答案为：.
【分析】根据角的取值范围和同角三角函数基本关系式，从而得出的值，再结合角之间的关系式和两角和的正弦公式，从而得出的值.
13．某高一班级有40名学生，在一次物理考试中统计出平均分数为70，方差为95，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得70分却记为50分，乙实得60分却记为80分，则更正后的方差是　 　.
【答案】85
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：设更正前甲，乙，丙...的成绩依次为，
则，
所以，
则，
所以，
则，
所以.
则更正后的平均分，
所以，更正后的方差为：
.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和平均数公式、方差公式，从而得出更正后的方差.
14．已知圆锥的轴截面面积为，侧面展开图是一个半圆，则此圆锥外接球的表面积为　 　．
【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，
所以圆锥的侧面积为，所以，
又因为圆锥的轴截面面积为：，
解得：，所以圆锥的高为，
设圆锥外接球的半径为，圆锥外接球的球心在高上，
所以，
解得：，
所以圆锥外接球的表面积为.
故答案为：.
【分析】本题考查圆锥的性质与外接球表面积计算，核心是先利用侧面展开图与轴截面面积求出圆锥的底面半径、母线长与高，再通过几何关系求出外接球半径，最后用球的表面积公式计算。
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知向量．
（1）求向量在向量上的投影向量；
（2）求向量与夹角为钝角，求m的取值范围．
【答案】（1）解：由，
则，，
所以，向量在向量上的投影向量为：.
（2）解：由，
得，，
因为向量与夹角为钝角，
所以，且与不共线，
则，
解得且，
所以m的取值范围为．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的投影向量
【解析】【分析】（1）根据已知条件和数量积的坐标表示得出平面向量的数量积、再利用向量的模的坐标表示求出向量的模，再结合数量积求投影向量的公式，从而得出向量在向量上的投影向量.
（2）由题意结合三角函数值在各象限的符号，从而可得且与不共线，再利用共线的坐标表示，从而得出实数m的取值范围.
（1）由，
则，，
所以向量在向量上的投影向量为.
（2）由，
则，，
因为向量与夹角为钝角，
所以，且与不共线，
则，解得且，
所以m的取值范围为．
16．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，．
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分的分位数（保留一位小数）；
（3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率．
【答案】（1）解：由题意：.
（2）解：因为评分在的频率为：，
评分在的频率为：.
所以评分的第分位数在，
由.
所以估计该企业的职工对该部门评分的分位数为：.
（3）解：受访职工中评分在的人数为：人，设为，
受访职工中评分在的人数为：人，设为，
从中任取两人的结果有：，，，，，，，，，，共10个，且每个结果出现的可能性相同.
2人评分都在的结果有：，，，共3个.
所以此2人评分都在的概率为：.
【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】(1) 利用频率分布直方图的性质：所有矩形面积之和为1，求解a的值；
(2) 先计算累计频率，确定50%分位数所在区间，再用线性插值法估算；
(3) 先计算区间内的人数，再用古典概型计算概率。
（1）由题意：.
（2）因为评分在的频率为：，
评分在的频率为：.
所以评分的第分位数在，
由.
所以估计该企业的职工对该部门评分的分位数为：.
（3）受访职工中评分在的人数为：人，设为，
受访职工中评分在的人数为：人，设为，
从中任取两人的结果有：，，，，，，，，，，共10个，且每个结果出现的可能性相同.
2人评分都在的结果有：，，，共3个.
所以此2人评分都在的概率为：.
17．在中，内角对应的边分别是，且．
（1）求角A的大小；
（2）若的面积是，求的周长；
（3）若为锐角三角形，求的取值范围．
【答案】（1）解：由正弦定理，可得，
则，
因为，所以，
则，
所以.
（2）解：因为，
所以，
由余弦定理，可得，
则，
所以，
则，
所以，
则的周长为.
（3）解：由，可得，
则
，且为锐角三角形，
则，
解得，
所以，
则，
所以，
则的取值范围是.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，再利用三角形中角A的取值范围，从而得出角A的余弦值，进而得出角A的值.
（2）由三角形的面积公式得出的值，再由余弦定理得出的值，从而可得的值，再利用三角形的周长公式得出的周长.
（3）由三角形的内角和定理，则将转化为关于的式子，再由锐角三角形中角的千分之五和不等式的基本性质，再利用正弦型函数求值域的方法，从而得出的取值范围.
（1）由正弦定理可得，
即，因为，所以，
则，即.
（2）因为，所以，
由余弦定理可得，
即，所以，
则，所以，
则的周长为.
（3）由可得，
则
，
且为锐角三角形，则，解得，
所以，则，
所以，
即的取值范围是.
18．如图，在四棱锥中，平面⊥平面，底面为正方形，分别为的中点，设平面平面．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，二面角的大小为，求与底面所成角的正弦值．
【答案】（1）解：因为底面为正方形，
所以，
又因为平面平面，平面平面，平面
所以平面，
因为平面，
所以.
（2）解：取的中点，连接，，
因为点分别为的中点，
所以，且，
又因为，
所以，
则四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面.
又因为平面，平面平面
所以.
（3）解：因为平面，平面，
所以，
又因为，
所以是二面角的平面角，
则，
设则，
连接，则，
因为，平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，
则为与底面所成角，
又因为平面，平面，
所以，
则，
所以，在直角三角形中，.
则直线与底面所成角的正弦值为.
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面所成的角；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）根据正方形的结构特征得出，再利用面面垂直的性质定理得出平面，再根据线面垂直的定义，从而证出.
（2）取的中点，连接，，利用平行四边形的定义判断出四边形为平行四边形，从而出得，再根据线面平行的判定定理得出直线平面，再利用线面平行性质定理证出
（3）由二面角的定义得出是二面角的平面角，由此可设再由面面垂直的判定定理得出直线平面，从而得出为直线与底面所成角，再利用线面垂直的定义得出线线垂直，再根据勾股定理和正弦函数的定义，从而得出直线与底面所成角的正弦值.
（1）因为底面为正方形，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又因为平面，
所以.
（2）取的中点，连接，，
因为点分别为的中点，
所以，且，
因为，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
又因为平面，平面平面
所以.
（3）因为平面，平面，所以，又，
是二面角的平面角，所以，
设则，连接，，
因为，平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，所以即为与底面所成角，
因为平面，平面，所以，
所以，
所以在直角三角形中，.
所以与底面所成角的正弦值为.
19．如图，在矩形ABCD中，P，Q分别是边DC，BC上的两点，．
（1）如果P，Q分别是边DC，BC的中点，求的值．
（2）若，求△PAQ的面积S△PAQ的最小值．
（3）若，连接AP交BC的延长线于点T，Q为BC的中点，试探究线段AB上是否存在一点H，使得∠THQ最大．若存在，求BH的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：因为P，Q分别是边DC，BC的中点，所以，
，
因为，
所以
.
（2）解：设，以点为坐标原点，为轴，为轴，建立直角坐标系，
因为，所以，则，
于是，，
因为，
则△PAQ的面积，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立.
即的最小值为.
所以△PAQ的面积的最小值为．
（3）解：同（1）问建立相同直角坐标系，
则可得即，
假设存在点，使得最大，由，即有最大，
设，当时，角度为，此时不可能最大，故，即，
则
，
当且仅当，即时，等号成立，
即线段AB上存在一点H，使得∠THQ最大，此时.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1) 利用向量的线性运算与数量积定义求解；
(2) 建立坐标系，设角为参数，结合向量数量积与基本不等式求面积最小值；
(3) 建立坐标系，设 ，利用两角差的正切公式结合基本不等式，求使 最大的 。
（1）因为P，Q分别是边DC，BC的中点，所以，
，
因为，
所以
.
（2）设，以点为坐标原点，为轴，为轴，建立直角坐标系，
因为，所以，则，
于是，，
因为，
则△PAQ的面积，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立.
即的最小值为.
所以△PAQ的面积的最小值为．
（3）同（1）问建立相同直角坐标系，
则可得即，
假设存在点，使得最大，由，即有最大，
设，当时，角度为，此时不可能最大，故，即，
则
，
当且仅当，即时，等号成立，
即线段AB上存在一点H，使得∠THQ最大，此时.
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