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江苏省南京市第一中学2024-2025学年高一下学期6月期末考试数学试题
1．复数满足，则复数的虚部为（　　）
A． B． C． D．1
2．圆台的上、下底面半径分别是1和5，且圆台的母线长为5，则该圆台的体积是（　　）．
A． B． C． D．
3．已知，若，则实数的值为（　　）
A． B． C． D．2
4．书架上有2本体育杂志和3本文学杂志，从中任意挑选2本，则挑选的杂志类型相同的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．若，则 （　　）
A． B． C． D．
6．在中，点满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．一艘轮船从处出发，以海里/小时的速度沿西偏南的方向直线航行，分钟后到达处.在处有一座灯塔，轮船在处观察灯塔，其方向是东偏南，在处观察灯塔，其方向是北偏东，则，两点间的距离为（　　）
A．海里 B．海里
C．海里 D．海里
8．直四棱柱的底面是边长为的正方形，侧棱，分别是的中点，则过点的平面截直四棱柱所得截面的面积为（　　）
A． B． C． D．
9．下列说法正确的是（　　）
A．与向量方向相同的单位向量的坐标为
B．为非零向量，则向量在向量上的投影向量为
C．为非零向量，且相互不共线，则
D．若与共线，则
10．盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，“两个球颜色不同”．则（　　）
A．与互为对立事件 B．与互斥
C．与相互独立 D．
11．如图，已知等边的边长为，是边上的高，沿将平面折起，得到四面体，若二面角的平面角大小为，是四面体棱的中点，是内的动点，则下列说法正确的是（　　）
A．平面
B．设二面角的平面角大小为，则
C．若平面，则点的轨迹长度为
D．点到平面的距离为
12．若，，，的方差为，则，，，的方差为　 　.
13．在中，满足，则的形状为　 　.
14．直角中，，是线段上一点，，，设，则　 　.
15．为了解甲 乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同 摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：
记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不高于5.5”，根据直方图得到的估计值为0.30.
（1）求乙离子残留百分比直方图中的值；
（2）求甲离子残留百分比的第百分位数；
（3）估计乙离子残留百分比的均值.（同一组数据用该组区间的中点值为代表）
16．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，分别是棱的中点．
（1）证明：；
（2）证明：平面．
17．已知函数
（1）若，求的值；
（2）令，若，求的值.
18．已知在中，角的对边分别为，，，D为边的中点.
（1）若，证明：；
（2）求BD的最大值.
19．如图，在四面体中，是边长为2的等边三角形，为直角三角形，其中D为直角顶点，．分别是线段、、、上的动点，且四边形为平行四边形，设二面角的平面角的大小为.
（1）当时，求四面体的外接球的表面积；
（2）当线段时，求直线与平面所成角的正切值；
（3）当点满足，且是以为底的等腰三角形时，求多面体的体积.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为复数满足，
所以，
则复数的虚部为.
故答案为：C.
【分析】利用复数的除法运算法则求出复数，从而得出复数z的虚部.
2．【答案】B
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：因为圆台的上、下底面半径分别是1和5，且圆台的母线长为5，
所以，该圆台的高为，
则该圆台的体积为.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和勾股定理得出该圆台的高，再利用圆台的体积公式得出该圆台的体积.
3．【答案】A
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，所以，
，
若，则，
解得.
故答案为：A.
【分析】利用向量的坐标运算和两向量垂直数量积为0以及数量积的坐标表示，从而得出实数k的值.
4．【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：从5本杂志中任意挑选2本有种不同的选法，
其中挑选的杂志类型相同的选法有，
所以，挑选的杂志类型相同的概率为.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和组合数公式以及古典概率公式，从而得出挑选的杂志类型相同的概率.
5．【答案】C
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：若，则，
解得，
则.
故答案为：C.
【分析】利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、同角三角函数基本关系式，从而求出的值，再由两角差的正切公式可得的值.
6．【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：在中，因为，则为的中点，
所以，
又因为，所以，
因为三点共线，可得，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据题意结合中点的性质以及平面向量基本定理，从而得出，再根据三点共线判断方法，从而得出的值.
7．【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：如图，
由题意知
，
由正弦定理，，
则.
故答案为：A.
【分析】依题意作出图形，再利用中点的性质和角之间的关系以及内角和定理，从而求出相关边长和角，再利用正弦定理和角之间的关系式以及两角和的正弦公式，从而得出，两点间的距离.
8．【答案】D
【知识点】棱柱的结构特征；平面的基本性质及推论；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：设直线分别交的延长线于点，连接，交于点，
连接，交于点，连接，
所以，过点的平面截直四棱柱的截面为五边形，
由平行线分线段比例，可知：，则，
所以为等腰直角三角形，
则，所以，
则，.
连接，易知，
所以，五边形可以分成等边三角形和等腰梯形两部分，
则等腰梯形的高，
所以，等腰梯形的面积为.
又因为，
所以，五边形的面积为.
故答案为：D.
【分析】先利用基本事实得到截面，再利用直四棱柱的棱长和结构特征，从而得到截面的各边长，再利用分割法和等边三角形的面积公式和等腰梯形的面积公式，从而求和得出过点的平面截直四棱柱所得截面的面积.
9．【答案】A,D
【知识点】单位向量；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：对于A，与向量方向相同的单位向量为，故A正确；
对于B，因为向量在向量上的投影向量为，故B错误；
对于C，由与为数字，且不共线，则，故C错误；
对于D，由与共线，则，解得，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据单位向量的坐标表示求解方法，则判断出选项A；根据数量积求投影向量的公式，则判断出选项B；根据数量积的运算法则和向量共线定理，则判断出选项C；根据共线向量的坐标表示，从而得出x的值，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．【答案】A,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：设盒子里两个红球为，，两个白球为，，
从中不放回地依次取出2个球，所有的基本事件有：
，，，，，，，，，，，，共12个.
事件“两个球颜色相同”，包含，，，共4个基本事件，
所以；
“第1次取出的是红球”，包含，，，，，
共6个基本事件，
所以；
“第2次取出的是红球”，包含，，，，，
共6个基本事件，
所以；
“两个球颜色不同”，包含，，，，，，，，共8个基本事件，
所以，
因为，所以，对立，故A正确；
因为事件包含，2个基本事件，
所以事件，可以同时发生，所以事件，不互斥，故B错误；
因为事件包含，2个基本事件，
所以，
又因为，
所以，
所以事件，相互独立，故C正确；
因为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件和古典概率公式，从而分别计算出事件的概率，再根据互斥事件加法求概率公式、交事件求概率公式、独立事件求概率公式、古典概率公式，从而逐项判断找出正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：因为为等边三角形，是边上的高，
所以，
翻折后得到，
又因为，，平面，
所以平面，故A正确；
连接，因为，
所以二面角的平面角为，
则为等边三角形，所以，
由选项A可知，平面，平面，所以，
又因为，，平面，所以平面，
过点G作，连接，
因为平面，平面，所以，
又因为，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
则为二面角的平面角，
又因为，，
在中，，
则，故B错误；
取的中点分别为，连接，
所以，
因为平面，平面，所以平面，
又因为平面，平面，所以平面，
因为，平面，平面，
所以平面平面，
又因为平面平面，
所以，点的轨迹为线段，且，则点的轨迹长度为，故C正确；
设点到平面的距离为，在中，，
所以边上的高为，
则的面积为，
根据，可得，
所以，
则点到平面的距离为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用等边三角形三线合一得出线线垂直，再利用线线垂直证出线面垂直，则判断出选项A； 利用二面角的平面角定义作出平面角，求出正切值判断出选项B；利用中位线定理得出线线平行，再利用线面平行、面面平行得出点的轨迹为线段可判断出选项C；利用勾股定理和三角形的面积以及等体积法，则由三棱锥的体积公式得出点到平面的距离，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
12．【答案】12
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：依题意，的方差为，
那么的方差为.
故答案为：12.
【分析】根据方差的公式和方差的性质，从而得出，，，的方差.
13．【答案】等腰或直角三角形
【知识点】二倍角的正弦公式；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：根据题意，则，
所以，
利用正弦定理，得，
则，，
所以或，
则或，
所以的形状为等腰或直角三角形.
故答案为：等腰或直角三角形.
【分析】利用正弦定理边化角，从而得出，再利用二倍角的正弦公式和等腰三角形的定义、直角三角形的定义，从而判断出的形状.
14．【答案】
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：如图，因为，
所以.
又因为，所以.
则，所以，
在中，根据正弦定理，得，
化简得.
因为，所以.
则，
化简得.
解得.
又因为，所以，此时.
故答案为：.
【分析】先根据角度关系得到，再根据正弦定理可得，从而建立关于的一元二次方程，解得的值可得到的值.
15．【答案】（1）解：由题意可得：，解得，则；
（2）解：根据直方图，易知甲离子残留百分比的第百分位数在区间，设第75百分位数为，
则，解得，
则甲离子残留百分比的第百分位数为；
（3）解：乙离子残留百分比的平均值的估计值为.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）由题意可求出，再利用频率分布直方图各矩形面积之和为1求的值即可；
（2）根据频率分布直方图中的第百分位数计算方法求解即可；
（3）根据频率分布直方图中平均数的计算公式求解即可.
（1）由已知得，解得，
所以．
（2）根据直方图，易知甲离子残留百分比的第百分位数在区间，设为，
则，解得，
所以甲离子残留百分比的第百分位数为.
（3）乙离子残留百分比的平均值的估计值为.
16．【答案】（1）证明：如图，连接交于点，
由四边形是正方形，
可得，
因为平面，平面，
所以，
又因为，平面，
所以平面，
因为平面，
所以．
（2）证明：如图，取的中点，连接，
由分别是棱的中点，
可得，
因为，
所以，
则可得，
所以
因平面，平面，
所以平面．
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）先利用线线在证出线面垂直，再根据线面垂直的定义得出.
（2）取的中点，先判断出四边形是平行四边形，从而得出，再由线线平行证出线面平行，即证出平面．
（1）如图，连接交于点，由四边形是正方形，可得，
因平面，平面，则，
又，平面，
所以平面，又平面，
所以．
（2）如图，取的中点，连接，
由分别是棱的中点．可得，
又，则，即得，所以
因平面，平面，
所以平面．
17．【答案】（1）解：因为函数
由，
可得，
又因为，
所以，
则或，
解得或.
（2）解：因为，
所以，
又因为，
所以，
则，，
所以
.

【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为正弦型函数，再根据已知条件和角的取值范围，从而得出的值.
（2）先得出函数，再根据已知条件和诱导公式、同角三角函数基本关系式，从而化简得出角的正弦值和余弦值，再利用两角和的正弦公式，从而得出的值.
（1）由函数
，
由，可得，
因，则，从而或，
解得或.
（2）因，
则，，
因为，所以，
则，，
则
18．【答案】（1）证明：依题意，，，
由余弦定理，可得，
则，
所以，
则，
因为，所以，
又因为，
所以，
解得，
在中，由正弦定理，得：①，
在中，由正弦定理，得：②，
两式相除，得，
则.
（2）解：在中，由余弦定理，得：，
在中，由余弦定理，
得：
两式相加，得：，
因为，
所以，
则，当且仅当等号成立，
所以，当且仅当取到最大值.
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）由余弦定理和已知条件整理化简等式从而得出角B的值，再根据余弦定理得出a的值，利用正弦定理结合作商法，从而证出.
（2）由已知条件和余弦定理相加，从而得出，再利用结合基本不等式求最值的方法，从而得出BD的最大值.
（1）依题意，，
由余弦定理可得，则，
即，，
又，故，
又，即，解得，
在中，由正弦定理得：①
在中，由正弦定理得：②
两式相除得，即.
（2）在中，由余弦定理：，
在中，由余弦定理：，
两式相加从而得：，
又，即，
从而，当且仅当等号成立.
则，当且仅当取到最大值.
19．【答案】（1）解：当时，平面平面，
由题意，则的外心为中点，连接，
所以，四面体外接球的球心在直线上，
因为为等边三角形，
所以的中心为球心，
则，
所以.
（2）解：依题意，则，
因为，
所以，点在平面内的投影到点和点的距离相等，
则点在的垂直平分线（也是的角平分线）上，
又因为点在平面内的投影且应该在过点且与垂直的直线上，
则得出点为的三等分点且靠近，
所以，平面平面，
则为直线与平面所成角，
在中，，，
所以，
则.
（3）解：因为，，且为等腰三角形，
所以，
连接，，，，
由题意，得：，，，
满足，
根据勾股定理，可知，
因为平面，
所以平面．
则，
又因为四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
又因为平面，平面平面，
所以，，
则，
所以，，
则，
所以，
又因为，
所以，
则，
所以，多面体的体积为.
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；球的表面积与体积公式及应用；直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）根据球的性质可知球心为等边的中心，再利用正三角形的性质求出球的半径，从而可得四面体的外接球的表面积.
（2）先确定点在平面内的投影为的三等分点且靠近，再利用线面角的定义知为直线与平面所成角，则在中结合勾股定理和正切函数的定义，从而得出直线与平面所成角的正切值.
（3）连接，，，，利用线面垂直的判定定理证出直线平面，求出四面体的体积，再根据线面平行的判定定理和性质定理得出，，再利用两直线平行对应边成比例，再利用比例求出和的值结合分割法求和得出多面体的体积．
（1）当时，平面平面，
由题意的外心为中点，连接，
则四面体外接球的球心在直线上，
又为等边三角形，则的中心即为球心，
于是，所以；
（2）依题意，因为，
所以点在平面内的投影到点和点的距离相等，
即点在的垂直平分线（也是的角平分线）上，
而点在平面内的投影又应该在过点且与垂直的直线上，
从而得出点即为的三等分点且靠近，
于是平面平面，则即为直线与平面所成角，
在中，，，所以，
则；
（3）因为，，且为等腰三角形，所以．
连接，，，，
由题意得：，，，
满足，根据勾股定理可知，
又平面，
所以平面．
所以，
因为四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
因为平面，平面平面，所以，，
则，
于是，，
又，从而，
则，
即多面体的体积为.
1 / 1江苏省南京市第一中学2024-2025学年高一下学期6月期末考试数学试题
1．复数满足，则复数的虚部为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为复数满足，
所以，
则复数的虚部为.
故答案为：C.
【分析】利用复数的除法运算法则求出复数，从而得出复数z的虚部.
2．圆台的上、下底面半径分别是1和5，且圆台的母线长为5，则该圆台的体积是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：因为圆台的上、下底面半径分别是1和5，且圆台的母线长为5，
所以，该圆台的高为，
则该圆台的体积为.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和勾股定理得出该圆台的高，再利用圆台的体积公式得出该圆台的体积.
3．已知，若，则实数的值为（　　）
A． B． C． D．2
【答案】A
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，所以，
，
若，则，
解得.
故答案为：A.
【分析】利用向量的坐标运算和两向量垂直数量积为0以及数量积的坐标表示，从而得出实数k的值.
4．书架上有2本体育杂志和3本文学杂志，从中任意挑选2本，则挑选的杂志类型相同的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：从5本杂志中任意挑选2本有种不同的选法，
其中挑选的杂志类型相同的选法有，
所以，挑选的杂志类型相同的概率为.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和组合数公式以及古典概率公式，从而得出挑选的杂志类型相同的概率.
5．若，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：若，则，
解得，
则.
故答案为：C.
【分析】利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、同角三角函数基本关系式，从而求出的值，再由两角差的正切公式可得的值.
6．在中，点满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：在中，因为，则为的中点，
所以，
又因为，所以，
因为三点共线，可得，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据题意结合中点的性质以及平面向量基本定理，从而得出，再根据三点共线判断方法，从而得出的值.
7．一艘轮船从处出发，以海里/小时的速度沿西偏南的方向直线航行，分钟后到达处.在处有一座灯塔，轮船在处观察灯塔，其方向是东偏南，在处观察灯塔，其方向是北偏东，则，两点间的距离为（　　）
A．海里 B．海里
C．海里 D．海里
【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：如图，
由题意知
，
由正弦定理，，
则.
故答案为：A.
【分析】依题意作出图形，再利用中点的性质和角之间的关系以及内角和定理，从而求出相关边长和角，再利用正弦定理和角之间的关系式以及两角和的正弦公式，从而得出，两点间的距离.
8．直四棱柱的底面是边长为的正方形，侧棱，分别是的中点，则过点的平面截直四棱柱所得截面的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】棱柱的结构特征；平面的基本性质及推论；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：设直线分别交的延长线于点，连接，交于点，
连接，交于点，连接，
所以，过点的平面截直四棱柱的截面为五边形，
由平行线分线段比例，可知：，则，
所以为等腰直角三角形，
则，所以，
则，.
连接，易知，
所以，五边形可以分成等边三角形和等腰梯形两部分，
则等腰梯形的高，
所以，等腰梯形的面积为.
又因为，
所以，五边形的面积为.
故答案为：D.
【分析】先利用基本事实得到截面，再利用直四棱柱的棱长和结构特征，从而得到截面的各边长，再利用分割法和等边三角形的面积公式和等腰梯形的面积公式，从而求和得出过点的平面截直四棱柱所得截面的面积.
9．下列说法正确的是（　　）
A．与向量方向相同的单位向量的坐标为
B．为非零向量，则向量在向量上的投影向量为
C．为非零向量，且相互不共线，则
D．若与共线，则
【答案】A,D
【知识点】单位向量；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：对于A，与向量方向相同的单位向量为，故A正确；
对于B，因为向量在向量上的投影向量为，故B错误；
对于C，由与为数字，且不共线，则，故C错误；
对于D，由与共线，则，解得，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据单位向量的坐标表示求解方法，则判断出选项A；根据数量积求投影向量的公式，则判断出选项B；根据数量积的运算法则和向量共线定理，则判断出选项C；根据共线向量的坐标表示，从而得出x的值，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，“两个球颜色不同”．则（　　）
A．与互为对立事件 B．与互斥
C．与相互独立 D．
【答案】A,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：设盒子里两个红球为，，两个白球为，，
从中不放回地依次取出2个球，所有的基本事件有：
，，，，，，，，，，，，共12个.
事件“两个球颜色相同”，包含，，，共4个基本事件，
所以；
“第1次取出的是红球”，包含，，，，，
共6个基本事件，
所以；
“第2次取出的是红球”，包含，，，，，
共6个基本事件，
所以；
“两个球颜色不同”，包含，，，，，，，，共8个基本事件，
所以，
因为，所以，对立，故A正确；
因为事件包含，2个基本事件，
所以事件，可以同时发生，所以事件，不互斥，故B错误；
因为事件包含，2个基本事件，
所以，
又因为，
所以，
所以事件，相互独立，故C正确；
因为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件和古典概率公式，从而分别计算出事件的概率，再根据互斥事件加法求概率公式、交事件求概率公式、独立事件求概率公式、古典概率公式，从而逐项判断找出正确的选项.
11．如图，已知等边的边长为，是边上的高，沿将平面折起，得到四面体，若二面角的平面角大小为，是四面体棱的中点，是内的动点，则下列说法正确的是（　　）
A．平面
B．设二面角的平面角大小为，则
C．若平面，则点的轨迹长度为
D．点到平面的距离为
【答案】A,C,D
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：因为为等边三角形，是边上的高，
所以，
翻折后得到，
又因为，，平面，
所以平面，故A正确；
连接，因为，
所以二面角的平面角为，
则为等边三角形，所以，
由选项A可知，平面，平面，所以，
又因为，，平面，所以平面，
过点G作，连接，
因为平面，平面，所以，
又因为，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
则为二面角的平面角，
又因为，，
在中，，
则，故B错误；
取的中点分别为，连接，
所以，
因为平面，平面，所以平面，
又因为平面，平面，所以平面，
因为，平面，平面，
所以平面平面，
又因为平面平面，
所以，点的轨迹为线段，且，则点的轨迹长度为，故C正确；
设点到平面的距离为，在中，，
所以边上的高为，
则的面积为，
根据，可得，
所以，
则点到平面的距离为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用等边三角形三线合一得出线线垂直，再利用线线垂直证出线面垂直，则判断出选项A； 利用二面角的平面角定义作出平面角，求出正切值判断出选项B；利用中位线定理得出线线平行，再利用线面平行、面面平行得出点的轨迹为线段可判断出选项C；利用勾股定理和三角形的面积以及等体积法，则由三棱锥的体积公式得出点到平面的距离，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
12．若，，，的方差为，则，，，的方差为　 　.
【答案】12
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：依题意，的方差为，
那么的方差为.
故答案为：12.
【分析】根据方差的公式和方差的性质，从而得出，，，的方差.
13．在中，满足，则的形状为　 　.
【答案】等腰或直角三角形
【知识点】二倍角的正弦公式；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：根据题意，则，
所以，
利用正弦定理，得，
则，，
所以或，
则或，
所以的形状为等腰或直角三角形.
故答案为：等腰或直角三角形.
【分析】利用正弦定理边化角，从而得出，再利用二倍角的正弦公式和等腰三角形的定义、直角三角形的定义，从而判断出的形状.
14．直角中，，是线段上一点，，，设，则　 　.
【答案】
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：如图，因为，
所以.
又因为，所以.
则，所以，
在中，根据正弦定理，得，
化简得.
因为，所以.
则，
化简得.
解得.
又因为，所以，此时.
故答案为：.
【分析】先根据角度关系得到，再根据正弦定理可得，从而建立关于的一元二次方程，解得的值可得到的值.
15．为了解甲 乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同 摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：
记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不高于5.5”，根据直方图得到的估计值为0.30.
（1）求乙离子残留百分比直方图中的值；
（2）求甲离子残留百分比的第百分位数；
（3）估计乙离子残留百分比的均值.（同一组数据用该组区间的中点值为代表）
【答案】（1）解：由题意可得：，解得，则；
（2）解：根据直方图，易知甲离子残留百分比的第百分位数在区间，设第75百分位数为，
则，解得，
则甲离子残留百分比的第百分位数为；
（3）解：乙离子残留百分比的平均值的估计值为.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）由题意可求出，再利用频率分布直方图各矩形面积之和为1求的值即可；
（2）根据频率分布直方图中的第百分位数计算方法求解即可；
（3）根据频率分布直方图中平均数的计算公式求解即可.
（1）由已知得，解得，
所以．
（2）根据直方图，易知甲离子残留百分比的第百分位数在区间，设为，
则，解得，
所以甲离子残留百分比的第百分位数为.
（3）乙离子残留百分比的平均值的估计值为.
16．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，分别是棱的中点．
（1）证明：；
（2）证明：平面．
【答案】（1）证明：如图，连接交于点，
由四边形是正方形，
可得，
因为平面，平面，
所以，
又因为，平面，
所以平面，
因为平面，
所以．
（2）证明：如图，取的中点，连接，
由分别是棱的中点，
可得，
因为，
所以，
则可得，
所以
因平面，平面，
所以平面．
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）先利用线线在证出线面垂直，再根据线面垂直的定义得出.
（2）取的中点，先判断出四边形是平行四边形，从而得出，再由线线平行证出线面平行，即证出平面．
（1）如图，连接交于点，由四边形是正方形，可得，
因平面，平面，则，
又，平面，
所以平面，又平面，
所以．
（2）如图，取的中点，连接，
由分别是棱的中点．可得，
又，则，即得，所以
因平面，平面，
所以平面．
17．已知函数
（1）若，求的值；
（2）令，若，求的值.
【答案】（1）解：因为函数
由，
可得，
又因为，
所以，
则或，
解得或.
（2）解：因为，
所以，
又因为，
所以，
则，，
所以
.

【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为正弦型函数，再根据已知条件和角的取值范围，从而得出的值.
（2）先得出函数，再根据已知条件和诱导公式、同角三角函数基本关系式，从而化简得出角的正弦值和余弦值，再利用两角和的正弦公式，从而得出的值.
（1）由函数
，
由，可得，
因，则，从而或，
解得或.
（2）因，
则，，
因为，所以，
则，，
则
18．已知在中，角的对边分别为，，，D为边的中点.
（1）若，证明：；
（2）求BD的最大值.
【答案】（1）证明：依题意，，，
由余弦定理，可得，
则，
所以，
则，
因为，所以，
又因为，
所以，
解得，
在中，由正弦定理，得：①，
在中，由正弦定理，得：②，
两式相除，得，
则.
（2）解：在中，由余弦定理，得：，
在中，由余弦定理，
得：
两式相加，得：，
因为，
所以，
则，当且仅当等号成立，
所以，当且仅当取到最大值.
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）由余弦定理和已知条件整理化简等式从而得出角B的值，再根据余弦定理得出a的值，利用正弦定理结合作商法，从而证出.
（2）由已知条件和余弦定理相加，从而得出，再利用结合基本不等式求最值的方法，从而得出BD的最大值.
（1）依题意，，
由余弦定理可得，则，
即，，
又，故，
又，即，解得，
在中，由正弦定理得：①
在中，由正弦定理得：②
两式相除得，即.
（2）在中，由余弦定理：，
在中，由余弦定理：，
两式相加从而得：，
又，即，
从而，当且仅当等号成立.
则，当且仅当取到最大值.
19．如图，在四面体中，是边长为2的等边三角形，为直角三角形，其中D为直角顶点，．分别是线段、、、上的动点，且四边形为平行四边形，设二面角的平面角的大小为.
（1）当时，求四面体的外接球的表面积；
（2）当线段时，求直线与平面所成角的正切值；
（3）当点满足，且是以为底的等腰三角形时，求多面体的体积.
【答案】（1）解：当时，平面平面，
由题意，则的外心为中点，连接，
所以，四面体外接球的球心在直线上，
因为为等边三角形，
所以的中心为球心，
则，
所以.
（2）解：依题意，则，
因为，
所以，点在平面内的投影到点和点的距离相等，
则点在的垂直平分线（也是的角平分线）上，
又因为点在平面内的投影且应该在过点且与垂直的直线上，
则得出点为的三等分点且靠近，
所以，平面平面，
则为直线与平面所成角，
在中，，，
所以，
则.
（3）解：因为，，且为等腰三角形，
所以，
连接，，，，
由题意，得：，，，
满足，
根据勾股定理，可知，
因为平面，
所以平面．
则，
又因为四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
又因为平面，平面平面，
所以，，
则，
所以，，
则，
所以，
又因为，
所以，
则，
所以，多面体的体积为.
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；球的表面积与体积公式及应用；直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）根据球的性质可知球心为等边的中心，再利用正三角形的性质求出球的半径，从而可得四面体的外接球的表面积.
（2）先确定点在平面内的投影为的三等分点且靠近，再利用线面角的定义知为直线与平面所成角，则在中结合勾股定理和正切函数的定义，从而得出直线与平面所成角的正切值.
（3）连接，，，，利用线面垂直的判定定理证出直线平面，求出四面体的体积，再根据线面平行的判定定理和性质定理得出，，再利用两直线平行对应边成比例，再利用比例求出和的值结合分割法求和得出多面体的体积．
（1）当时，平面平面，
由题意的外心为中点，连接，
则四面体外接球的球心在直线上，
又为等边三角形，则的中心即为球心，
于是，所以；
（2）依题意，因为，
所以点在平面内的投影到点和点的距离相等，
即点在的垂直平分线（也是的角平分线）上，
而点在平面内的投影又应该在过点且与垂直的直线上，
从而得出点即为的三等分点且靠近，
于是平面平面，则即为直线与平面所成角，
在中，，，所以，
则；
（3）因为，，且为等腰三角形，所以．
连接，，，，
由题意得：，，，
满足，根据勾股定理可知，
又平面，
所以平面．
所以，
因为四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
因为平面，平面平面，所以，，
则，
于是，，
又，从而，
则，
即多面体的体积为.
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