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浙江省嘉兴市嘉善县2026年质量调研二模数学
1． 2026的倒数是(　　)
A． B．–2026 C． D．|2026|
【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：2026的倒数是
故选： A.
【分析】利用乘积为1的两个数互为倒数求解即可.
2．2026年1月17日，我国首台串列型高能氢离子注入机POWER-750H成功出束，它能产生7500000电子伏特高能束流.那么，数字“7500000”用科学记数法可写作(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故选： D.
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
3．如图所示的三视图所对应的正三棱柱是(注：箭头方向为主视方向)(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：选项C的几何体的三视图符合题意.
故选： C.
【分析】找到从正、上和左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中.
4．已知正比例函数与反比例函数的图象交于M，N两点，若点M 的坐标是(2，-1)，则点N的坐标是(　　)
A．(-2，1) B．(1，-2) C．(-2，-1) D．(-1，-2)
【答案】A
【知识点】反比例函数图象的对称性
【解析】【解答】解：由题知，
因为正比例函数与反比例函数的图象都关于坐标原点对称，
所以当正比例函数与反比例函数的图象有交点时，两个交点也关于原点对称.
因为正比例函数 与反比例函数
的图象交于M，N两点且点M的坐标是(2，-1)，
所以点N的坐标为((-2，1).
故选： A.
【分析】根据正比例函数图象与反比例函数图象的对称性即可解决问题.
5．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，两弧交于点M和N；②直线MN交边AB于点E.已知AC=5，BE=4，∠B=45°，则AB的长为(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：连结CE，如图，
由作法得MN垂直平分BC，
在 中， CE=4，
故答案为：B.
【分析】连结CE，如图，利用基本作图得到MN垂直平分BC，则根据线段垂直平分线的性质得到BE=CE=4，所以 然后在 中利用勾股定理计算出AE，最后计算AE+BE即可.
6．如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形.已知OA=2，AD=3，若△ABC的面积为4，则△DEF的面积为(　　)
A．6 B．9 C．10 D．25
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解： ∵△ABC与 是位似图形，
∴△ABC∽△DEF， AB∥DE，
∴△AOB∽△DOE，
∵OA=2， AD=3，
∴OD=OA+AD=5，
∵△ABC的面积为4，
∴△DEF的面积为25，
故答案为：D.
【分析】根据位似图形的概念得到 ，AB∥DE，得到 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可.
7．振华中学开设了五门校本课程，分别是“围棋”、“足球”、“篮球”、“书法”、“茶艺”，要求每位同学都参与选课报名，并且每人限报一门课程.学校学生会为及时了解同学们的报名情况，随机抽取了部分同学进行调查，最后绘制了两幅调查统计图，但是由于工作人员的疏忽，其中的条形统计图不慎被墨水污染(如图所示).在扇形统计图中，“茶艺”课程对应扇形的圆心角α= (　　)
A．32° B．36° C．40° D．45°
【答案】B
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：本次抽取的学生人数： (人)，
故选： B.
【分析】先求出抽取的学生人数，再用 乘以茶艺所占百分比.
8．我国在太空通讯领域成就斐然，2026年初，中国向国际电信联盟(ITU)提交了总数超过20万颗卫星的轨道资源申请.卫星绕地运行的周期T与其轨道半径R之间存在如下关系： (K为常数).现有两颗人造卫星，其绕地运行周期之比 则其轨道半径之比 (　　)
A． B．2：3 C． D．3：4
【答案】D
【知识点】立方根的实际应用
【解析】【解答】解：
又 (K为常数)，
故选： D.
【分析】根据立方根的定义进行计算即可.
9．如果一个矩形的内部可以用若干个正方形不重叠、无缝隙地铺满，就称其为“完美矩形”.如图中的“完美矩形”ABCD，其周长为26，则正方形d的边长为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设正方形b的边长为x，则正方形a的边长为2x，正方形c的边长为3x，正方形d的边长为5x，
依题意得：(3x+5x+5x)×2=26，
解得：x=1，
即正方形d的边长为5.
故选： C.
【分析】设正方形b的边长为x，则正方形a的边长为2x，正方形c的边长为3x，正方形d的边长为5x，利用矩形的周长计算公式，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出x的值，再将其代入5x中即可求出结论.
10．已知平面直角坐标系内的三点A，B，C，其中A，B两点的坐标分别为(-2，0)，(a，6-a)，点C满足∠ACO=45°(O为坐标原点)，则BC的最小值是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；等腰直角三角形；定角定弦辅助圆模型
【解析】【解答】解：由题知，
因为点B坐标为(a，6-a)，
所以点B在直线y=6-x上.
因为
所以点C在如图所示的圆弧上.
过点M作直线y=6-x的垂线，当点B在垂足处，点C在垂线与圆弧的交点处时，BC取得最小值.
过点M作x轴的平行线，交直线y=6-x于点N.
将y=1代入y=6-x得，x=5，
所以点N坐标为(5，1)，
则MN=5-(-1)=6.
因为△BMN是等腰直角三角形，
所以
因为
即圆M的半径为
所以
即BC的最小值是
故选： B.
【分析】根据题意，得出点B在直线y=6-x上，再结合 得出点C的位置，利用数形结合的数学思想即可解决问题.
11．计算： 　 　.
【答案】5
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：
=1+4
=5，
故答案为：5.
【分析】先根据零指数幂、算术平方根的定义计算，再根据有理数加法法则计算即可.
12．关于x的不等式组 的解如图所示，则a的值为　 　.
【答案】3
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解第二个不等式得：
则原不等式组的解集为
由数轴可得a=3，
故答案为：3.
【分析】解不等式组求得其解集后根据数轴即可求得答案.
13．连续掷一枚质地均匀的骰子(一种正方体形状玩具，各面分别标有数字1~6)两次，那么两次所得点数之和为5的概率为　 　.
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图为：
共有36种等可能的结果数，其中掷两次所得的点数之和等于5的结果数为4，
所以掷两次所得的点数之和等于5的概率
故答案为
【分析】先画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找掷两次所得的点数之和等于5的结果数，然后根据概率公式求解.
14．某山区城市所辖的A，B两座小城长期被一条大江阻隔，为促进当地的经济发展，政府决定在 A，B两城间建造一座特大型跨江大桥.如图，观测点C与小城B在江的同一侧，从小城A释放的一架无人机以1.5千米/分钟的速度径直飞往观测点C，2分钟后到达点C，同时测得∠BAC=30°，∠ACB=120°.则A，B两座小城相距　 　千米.
【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D.
由题意可知， AC=1.5×2=3(千米).
∵∠ACB=120°，
∴∠DCB=60°.
在Rt△BCD中，
在Rt△DAB中，
∵AD-CD=AC=3，
(千米).
在Rt△DAB中，
∵∠DAB=30°，
(千米).
故答案为：
【分析】过点B作BD⊥AC，先在Rt△BCD中用含BD的代数式表示出CD，在Rt△BAD中用含BD的代数式表示出AD，再根据线段的和差关系得关于BD的方程，求出BD，最后利用特殊角的边角关系得结论.
15．如图1，在盛有某种液体的烧杯上方有一弹簧测力计，该测力计下方悬挂着一个质地均匀的圆柱体金属块，一开始金属块的下底面恰与烧杯口齐平.随着金属块匀速下降，弹簧测力计的示数(单位：N)与金属块下降的高度x(单位：cm)之间的关系如图2所示.已知当该金属块刚好被液体完全浸没时，金属块下底面距烧杯底部的高度恰好是烧杯高度的一半(烧杯底部厚度不计)，则该烧杯的高度　 　
(知识小贴士：①金属块所受浮力与其排开液体的体积成正比；②当金属块在液面上方时， ；③当金属块浸入液体后，．)
【答案】24
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：当x<8cm时，
即金属块重力(G=6N.
当 时， 恒定，说明金属块已完全浸没，此时浮力F浮=G-F拉力=2N，
从x=8cm(刚接触液面)到x=12cm(完全浸没)，拉力线性下降，
表明排开体积随深度线性增加，符合圆柱体匀速浸入特征.
因此金属块高度.H=12-8=4cm.
金属块完全浸没时，其下底面距烧杯底部高度为
此时金属块下底面下降总高度为x=12cm，
而初始液面距烧杯口为8cm，
故有：
解得：h=24cm.
故答案为：24.
【分析】结合函数图象与物理浮力知识，通过分析弹簧测力计示数随金属块下降高度的变化，确定金属块重力、浸入液体的过程及完全浸没时的状态，再利用几何关系求解烧杯高度.
16．如图，在 中， AD平分∠BAC交BC于点D，AD的垂直平分线交BC的延长线于点E，连结AE，若BE=5BC=10， 则DE= 　 　.
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设BD=x，
∵BE=5BC=10，
∴DE=10-x， EC=8，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AD的垂直平分线交BC的延长线于点E，
∴AE=DE=10-x，
∴∠EAD=∠EDA，
即
整理得：
解得： 不合题意，舍去)，
则
故答案为：
【分析】设BD=x，根据题意用x表示出DE，根据线段垂直平分线的性质得到AE=DE，得到∠EAD=∠EDA，根据角平分线的定义、三角形的外角性质得到∠EAC=∠B，证明△AEC∽△BEA，根据相似三角形的性质列出比例式，求出x，进而求出DE.
17．先化简，再求值：其中
【答案】解：
将 代入得
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】根据完全平方公式和平方差公式展开，然后合并同类项化简，再代入a，b的值计算即可.
18．解方程组：
【答案】解：将原方程组变形为：
由①，得x=5y③，
把③代入②，得2×5y-3y=7，
∴7y=7，
∴y=1，
把y=1代入③，得x=5×1=5，
∴方程组的解为 .
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】将原方程组变形为： ，然后利用代入消元法解方程组即可.
19．每年的5月12日是“全国防灾减灾日”，为提高同学们的防灾减灾意识、普及防灾救助知识，振华中学在七、八年级开展了一次知识测试问卷调查活动.为快速了解测试情况，学校团委从这两个年级各随机抽取了15名同学的测试成绩，并对收集到的成绩(单位：分)进行了整理分析.部分信息如下：
■数据收集
所抽取的七年级学生的测试成绩：
72，75，88，95，68，88，72，62，94，96，78，68，63，93，88
■数据整理
所抽取的七年级学生成绩的频数分布统计表(成绩用x表示)：
分组 60≤x<70 70≤x<80 80≤x<90
频数 4 m 3 4
所抽取的七年级、八年级学生成绩的统计量，如下表：
　 众数 平均数 中位数
七年级 88 80 n
八年级 86 82 85
（1）请你写出： m=　 　， n= 　 　；
（2）■ 数据分析
请你依据以上信息，解决下列问题.
已知学生小魏发现自己的测试成绩进不了本年级的前50%，为了解另外一个年级的情况，小魏与另一年级的学生小唐进行了交流，小唐说：“你的成绩在我们年级能妥妥地排进前50%”.据此，请你判断小魏所在的年级，并说明理由；
（3）此次知识测试成绩不低于90分为优秀等第，已知振华中学八年级共有300名学生参加此次测试，且八年级学生的优秀率是七年级的1.5倍，请你估算在本次测试中，该校八年级获得优秀等第的学生人数.
【答案】（1）4；78
（2）解：小魏所在的年级是八年级，
∵所抽取的七年级学生成绩的中位数是78，八年级学生成绩的中位数是85，
又学生小魏发现自己的测试成绩进不了本年级的前50%，在小唐的年级能妥妥地排进前50%，
∴小魏所在的年级是八年级；
（3）解：被抽取的15个七年级学生中成绩不低于90分的同学有4个，
故七年级学生的优秀率是
∵八年级学生的优秀率是七年级的1.5倍，
∴八年级学生的优秀率为
∴参加测试的300名八年级学生中，获优秀等级的学生人数为：300×0.4=120(人).
【知识点】频数（率）分布表；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)∵学校团委从这两个年级各随机抽取了15名同学的测试成绩，
所抽取的七年级学生的测试成绩从小到大排序为：62， 63， 68， 68， 72， 72， 75， 78， 88， 88， 88，93， 94， 95， 96，
故答案为： 4， 78；
【分析】(1)根据抽取总数和中位数的定义求出m、n即可；
(2)根据七、八年级的中位数结合小魏和小唐的说法即可得到答案；
(3)根据样本中八年级的优秀率乘以300即可得到答案.
20．观察下列等式：
根据以上规律，请完成下面问题：
（1）求x5的值；
（2）比较与2026的大小，并说明理由.
【答案】（1）解：
……，
∴
（2）解：
【知识点】二次根式的混合运算；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【分析】(1)观察已知条件中的等式，找出规律进行解答即可；
(2)先根据(1)中的规律，求出 的值，再进行比较即可.
21．如图，在△ABC中， AE⊥AB交BC于点E， D为BE的中点，连结AD，AD=4，AE=2EC=2.
（1）作AH⊥BC，垂足为H，求AH的长；
（2）求tan∠EAC的值.
【答案】（1）解： ∵B，
∵D为BE的中点，.AD=4，
由勾股定理得到：
∵AH⊥BE，
∴△ABE的面积
（2）解：过点E作EF⊥AE，交AC于F，
∵AB⊥AE， ∴EF∥AB，
∴△CEF∽△CBA，
∵BE=8， EC=1，
∴BC=BE+EC=9，
在直角三角形AEF中，

【知识点】三角形的面积；勾股定理；直角三角形斜边上的中线；求正切值；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】
(1)由直角三角形斜边中线的性质推出BE=2AD=8，由勾股定理求出AB的长，由三角形的面积公式即可求出AH的长；
(2)过点E作. 交AC于F，判定 A，推出 即可求出EF的长，由锐角的正切定义即可求出 的值.
22．如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点G是BC边上异于端点的任意一点，交AG于点E，点B'是点B关于直线AG的对称点，BB' 交AG于点F，
连结EB，DB'.
（1）求证：
（2）若四边形.EBB'D是平行四边形，连结DF，求DF的长度.
【答案】（1）证明：∵点B'与点B关于直线AG对称，
∴BB'⊥AG，
又∵DE⊥AG，
∴∠AFB=∠AED=90°，
∵DE⊥AG，
∴∠DAE+∠ADE=90°，
又由正方形ABCD可知，
∠DAE+∠BAF=90°，
∴∠ADE=∠BAF，
又由正方形ABCD可知， AD=AB，
∴△ADE≌△ABF(AAS)；
（2）解：∵点B'与点B关于直线AG对称，
∴BF=B'F，即BB'=2BF，
又∵四边形EBB'D是平行四边形，
∴DE=BB'，又BB'=2BF，
∴DE=2BF，又△ADE≌△ABF，
∴AE=BF， DE=AF，
∴AF=2AE，即E为AF的中点，
又∵DE⊥AG， ∴AD=DF=4.
【知识点】线段垂直平分线的性质；正方形的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)利用正方形性质得 结合 AG垂直平分.BB'得 再通过同角的余角相等推出 最终由AAS得到两三角形全等即可
(2)由平行四边形.BB'D得 且DE=BB'，结合(1)全等结论及对称性质推出.AF=2BF，在 F中用勾股定理求出BF、AF的长度，再结合线段关系求出EF，最后在 中用勾股定理计算出DF的长度.
23．已知抛物线 经过A(-2，8)，B(0，6)，C(4，-10)这三点中的两个点.
（1）求a+t的值；
（2）已知t-11≤x≤t+m (其中m>-11)，
①若此时函数的最小值为-24，求实数m的最大值；
②设l是一条平行于x轴的直线，此时，我们把函数图象上到直线l距离为d的点的个数记作 当m=-3，d=16时， 求直线AC与l交点坐标.
【答案】（1）解： ∵抛物线 的开口向下，对称轴为x=1，
∴当x<1时，函数值y随x的增大而减小，
∵抛物线 经过A(-2， 8)， B(0， 6)，C(4，-10)这三点中的两个点，
∴A(-2，8)不在抛物线上，B，C两点均在抛物线上，
将B(0， 6)， C(4， - 10)代入 可得
解得
∴a+t=6；
（2）解：① 将B(0，6)，C(4，-10)代入
可得 解得
∴t-11≤x≤t+m即-3≤x≤m+8， y=-2(x-1)2+8，
∵当x=-3时， y=-24，
∴根据抛物线关于x=1对称可知， 当x=5时， y=-24，
又由于抛物线开口向下，函数的最小值为-24，
∴m+8≤5， 解得m≤-3， 又m>-11， ∴-11∴m的最大值为-3；
②t-11≤x≤t+m即-3≤x≤m+8，
当m=-3时， -3≤x≤m+8即-3≤x≤5， 又
绘制草图，结合图象可知当且仅当l：y=-8时，
设经过A(-2，8)，C(4，-10)两点的一次函数为y= kx+b，
将A(-2，8)，C(4，-10)代入y= kx+b，
可得解得
即经过A，C两点的一次函数为y=-3x+2，设直线AC与l的交于点P，
∵l：y=-8， ∴在y=-3x+2中令y=-8， 解得
∴直线 AC 与l的交点
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用顶点式求二次函数解析式；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)先判断抛物线经过点B、C，然后利用待定系数法求得解析式即可得出a、t的值.
(2)①由(1)可知 当x=-3时，x=5时，y=-24，由此可知 解得 即 故m的最大值为-3；
②由 可知当l为y=-8时， 利用待定系数法求得直线AC为y=-3x+2，把y=-8代入即可求得直线AC与l的交点坐标.
24．如图，已知△ABC内接于⊙O， AB=AC=10，BC=12，连结AO并延长交BC于点H.点D是线段AH上异于端点的动点，过点D作NF∥BC分别交⊙O，边AB，边AC于点N，M，F ，且点N在M左侧.
（1）求证：∠AMN=∠MFC；
（2）求证：NM·NF=AM·MB；
（3）设AM=x，当2≤x≤7时，求 的取值范围.
【答案】（1）证明： ∵MF∥BC，
∴∠AMF=∠B， ∠AFM=∠C，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠AMF=∠AFM，
∴∠AMN=∠MFC；
（2）证明： 连接AN， NC， MC，
∴∠NAB=∠NCB(同弧所对圆周角)，
∵NF∥BC，
∴∠CNF=∠NCB(内错角相等)，
∴∠NAM=∠CNF，
又由(1)知∠AMN=∠CFM，
∴△AMN∽△CFN，
即NM·NF=AM·FC，
∵NF∥BC，
∵AB=AC，
∴MB=FC，
∴NM·NF=AM·MB；

（3）解：在⊙O中， AB=AC，
∵AH过点O，
∴BH=HC(垂径定理推论)，
∵NF∥BC，
又∵BH=HC，
∴DM=DF，
=NM·NF
=AM·MB
=AM·(AB-AM)，
又∵AM=x， AB=10，
设
又∵2≤x≤7，
∴当x=2时，
当x=5时，
即16≤y≤25，
∴当2≤x≤7时，

【知识点】二次函数的最值；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论；垂径定理的推论
【解析】【分析】
(1)根据平行线的性质和等边对等角得到∠AMF=∠AFM， 即可根据等交的补角相等解答即可；
(2)连接AN， NC， MC， 根据两角对应相等得到△AMN-△CFN， 利用对应边成比例得到NM·NF=AM·FC，然后推理得到MB=FC， 证明结论即可；
(3)根据平行线分线段成比例得到即可得到DM=DF， 则M (AB-AM)，据此代入求解即可.
1 / 1浙江省嘉兴市嘉善县2026年质量调研二模数学
1． 2026的倒数是(　　)
A． B．–2026 C． D．|2026|
2．2026年1月17日，我国首台串列型高能氢离子注入机POWER-750H成功出束，它能产生7500000电子伏特高能束流.那么，数字“7500000”用科学记数法可写作(　　)
A． B． C． D．
3．如图所示的三视图所对应的正三棱柱是(注：箭头方向为主视方向)(　　)
A． B．
C． D．
4．已知正比例函数与反比例函数的图象交于M，N两点，若点M 的坐标是(2，-1)，则点N的坐标是(　　)
A．(-2，1) B．(1，-2) C．(-2，-1) D．(-1，-2)
5．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，两弧交于点M和N；②直线MN交边AB于点E.已知AC=5，BE=4，∠B=45°，则AB的长为(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
6．如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形.已知OA=2，AD=3，若△ABC的面积为4，则△DEF的面积为(　　)
A．6 B．9 C．10 D．25
7．振华中学开设了五门校本课程，分别是“围棋”、“足球”、“篮球”、“书法”、“茶艺”，要求每位同学都参与选课报名，并且每人限报一门课程.学校学生会为及时了解同学们的报名情况，随机抽取了部分同学进行调查，最后绘制了两幅调查统计图，但是由于工作人员的疏忽，其中的条形统计图不慎被墨水污染(如图所示).在扇形统计图中，“茶艺”课程对应扇形的圆心角α= (　　)
A．32° B．36° C．40° D．45°
8．我国在太空通讯领域成就斐然，2026年初，中国向国际电信联盟(ITU)提交了总数超过20万颗卫星的轨道资源申请.卫星绕地运行的周期T与其轨道半径R之间存在如下关系： (K为常数).现有两颗人造卫星，其绕地运行周期之比 则其轨道半径之比 (　　)
A． B．2：3 C． D．3：4
9．如果一个矩形的内部可以用若干个正方形不重叠、无缝隙地铺满，就称其为“完美矩形”.如图中的“完美矩形”ABCD，其周长为26，则正方形d的边长为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
10．已知平面直角坐标系内的三点A，B，C，其中A，B两点的坐标分别为(-2，0)，(a，6-a)，点C满足∠ACO=45°(O为坐标原点)，则BC的最小值是(　　)
A． B． C． D．
11．计算： 　 　.
12．关于x的不等式组 的解如图所示，则a的值为　 　.
13．连续掷一枚质地均匀的骰子(一种正方体形状玩具，各面分别标有数字1~6)两次，那么两次所得点数之和为5的概率为　 　.
14．某山区城市所辖的A，B两座小城长期被一条大江阻隔，为促进当地的经济发展，政府决定在 A，B两城间建造一座特大型跨江大桥.如图，观测点C与小城B在江的同一侧，从小城A释放的一架无人机以1.5千米/分钟的速度径直飞往观测点C，2分钟后到达点C，同时测得∠BAC=30°，∠ACB=120°.则A，B两座小城相距　 　千米.
15．如图1，在盛有某种液体的烧杯上方有一弹簧测力计，该测力计下方悬挂着一个质地均匀的圆柱体金属块，一开始金属块的下底面恰与烧杯口齐平.随着金属块匀速下降，弹簧测力计的示数(单位：N)与金属块下降的高度x(单位：cm)之间的关系如图2所示.已知当该金属块刚好被液体完全浸没时，金属块下底面距烧杯底部的高度恰好是烧杯高度的一半(烧杯底部厚度不计)，则该烧杯的高度　 　
(知识小贴士：①金属块所受浮力与其排开液体的体积成正比；②当金属块在液面上方时， ；③当金属块浸入液体后，．)
16．如图，在 中， AD平分∠BAC交BC于点D，AD的垂直平分线交BC的延长线于点E，连结AE，若BE=5BC=10， 则DE= 　 　.
17．先化简，再求值：其中
18．解方程组：
19．每年的5月12日是“全国防灾减灾日”，为提高同学们的防灾减灾意识、普及防灾救助知识，振华中学在七、八年级开展了一次知识测试问卷调查活动.为快速了解测试情况，学校团委从这两个年级各随机抽取了15名同学的测试成绩，并对收集到的成绩(单位：分)进行了整理分析.部分信息如下：
■数据收集
所抽取的七年级学生的测试成绩：
72，75，88，95，68，88，72，62，94，96，78，68，63，93，88
■数据整理
所抽取的七年级学生成绩的频数分布统计表(成绩用x表示)：
分组 60≤x<70 70≤x<80 80≤x<90
频数 4 m 3 4
所抽取的七年级、八年级学生成绩的统计量，如下表：
　 众数 平均数 中位数
七年级 88 80 n
八年级 86 82 85
（1）请你写出： m=　 　， n= 　 　；
（2）■ 数据分析
请你依据以上信息，解决下列问题.
已知学生小魏发现自己的测试成绩进不了本年级的前50%，为了解另外一个年级的情况，小魏与另一年级的学生小唐进行了交流，小唐说：“你的成绩在我们年级能妥妥地排进前50%”.据此，请你判断小魏所在的年级，并说明理由；
（3）此次知识测试成绩不低于90分为优秀等第，已知振华中学八年级共有300名学生参加此次测试，且八年级学生的优秀率是七年级的1.5倍，请你估算在本次测试中，该校八年级获得优秀等第的学生人数.
20．观察下列等式：
根据以上规律，请完成下面问题：
（1）求x5的值；
（2）比较与2026的大小，并说明理由.
21．如图，在△ABC中， AE⊥AB交BC于点E， D为BE的中点，连结AD，AD=4，AE=2EC=2.
（1）作AH⊥BC，垂足为H，求AH的长；
（2）求tan∠EAC的值.
22．如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点G是BC边上异于端点的任意一点，交AG于点E，点B'是点B关于直线AG的对称点，BB' 交AG于点F，
连结EB，DB'.
（1）求证：
（2）若四边形.EBB'D是平行四边形，连结DF，求DF的长度.
23．已知抛物线 经过A(-2，8)，B(0，6)，C(4，-10)这三点中的两个点.
（1）求a+t的值；
（2）已知t-11≤x≤t+m (其中m>-11)，
①若此时函数的最小值为-24，求实数m的最大值；
②设l是一条平行于x轴的直线，此时，我们把函数图象上到直线l距离为d的点的个数记作 当m=-3，d=16时， 求直线AC与l交点坐标.
24．如图，已知△ABC内接于⊙O， AB=AC=10，BC=12，连结AO并延长交BC于点H.点D是线段AH上异于端点的动点，过点D作NF∥BC分别交⊙O，边AB，边AC于点N，M，F ，且点N在M左侧.
（1）求证：∠AMN=∠MFC；
（2）求证：NM·NF=AM·MB；
（3）设AM=x，当2≤x≤7时，求 的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：2026的倒数是
故选： A.
【分析】利用乘积为1的两个数互为倒数求解即可.
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故选： D.
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
3．【答案】C
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：选项C的几何体的三视图符合题意.
故选： C.
【分析】找到从正、上和左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中.
4．【答案】A
【知识点】反比例函数图象的对称性
【解析】【解答】解：由题知，
因为正比例函数与反比例函数的图象都关于坐标原点对称，
所以当正比例函数与反比例函数的图象有交点时，两个交点也关于原点对称.
因为正比例函数 与反比例函数
的图象交于M，N两点且点M的坐标是(2，-1)，
所以点N的坐标为((-2，1).
故选： A.
【分析】根据正比例函数图象与反比例函数图象的对称性即可解决问题.
5．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：连结CE，如图，
由作法得MN垂直平分BC，
在 中， CE=4，
故答案为：B.
【分析】连结CE，如图，利用基本作图得到MN垂直平分BC，则根据线段垂直平分线的性质得到BE=CE=4，所以 然后在 中利用勾股定理计算出AE，最后计算AE+BE即可.
6．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解： ∵△ABC与 是位似图形，
∴△ABC∽△DEF， AB∥DE，
∴△AOB∽△DOE，
∵OA=2， AD=3，
∴OD=OA+AD=5，
∵△ABC的面积为4，
∴△DEF的面积为25，
故答案为：D.
【分析】根据位似图形的概念得到 ，AB∥DE，得到 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可.
7．【答案】B
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：本次抽取的学生人数： (人)，
故选： B.
【分析】先求出抽取的学生人数，再用 乘以茶艺所占百分比.
8．【答案】D
【知识点】立方根的实际应用
【解析】【解答】解：
又 (K为常数)，
故选： D.
【分析】根据立方根的定义进行计算即可.
9．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设正方形b的边长为x，则正方形a的边长为2x，正方形c的边长为3x，正方形d的边长为5x，
依题意得：(3x+5x+5x)×2=26，
解得：x=1，
即正方形d的边长为5.
故选： C.
【分析】设正方形b的边长为x，则正方形a的边长为2x，正方形c的边长为3x，正方形d的边长为5x，利用矩形的周长计算公式，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出x的值，再将其代入5x中即可求出结论.
10．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；等腰直角三角形；定角定弦辅助圆模型
【解析】【解答】解：由题知，
因为点B坐标为(a，6-a)，
所以点B在直线y=6-x上.
因为
所以点C在如图所示的圆弧上.
过点M作直线y=6-x的垂线，当点B在垂足处，点C在垂线与圆弧的交点处时，BC取得最小值.
过点M作x轴的平行线，交直线y=6-x于点N.
将y=1代入y=6-x得，x=5，
所以点N坐标为(5，1)，
则MN=5-(-1)=6.
因为△BMN是等腰直角三角形，
所以
因为
即圆M的半径为
所以
即BC的最小值是
故选： B.
【分析】根据题意，得出点B在直线y=6-x上，再结合 得出点C的位置，利用数形结合的数学思想即可解决问题.
11．【答案】5
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：
=1+4
=5，
故答案为：5.
【分析】先根据零指数幂、算术平方根的定义计算，再根据有理数加法法则计算即可.
12．【答案】3
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解第二个不等式得：
则原不等式组的解集为
由数轴可得a=3，
故答案为：3.
【分析】解不等式组求得其解集后根据数轴即可求得答案.
13．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图为：
共有36种等可能的结果数，其中掷两次所得的点数之和等于5的结果数为4，
所以掷两次所得的点数之和等于5的概率
故答案为
【分析】先画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找掷两次所得的点数之和等于5的结果数，然后根据概率公式求解.
14．【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D.
由题意可知， AC=1.5×2=3(千米).
∵∠ACB=120°，
∴∠DCB=60°.
在Rt△BCD中，
在Rt△DAB中，
∵AD-CD=AC=3，
(千米).
在Rt△DAB中，
∵∠DAB=30°，
(千米).
故答案为：
【分析】过点B作BD⊥AC，先在Rt△BCD中用含BD的代数式表示出CD，在Rt△BAD中用含BD的代数式表示出AD，再根据线段的和差关系得关于BD的方程，求出BD，最后利用特殊角的边角关系得结论.
15．【答案】24
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：当x<8cm时，
即金属块重力(G=6N.
当 时， 恒定，说明金属块已完全浸没，此时浮力F浮=G-F拉力=2N，
从x=8cm(刚接触液面)到x=12cm(完全浸没)，拉力线性下降，
表明排开体积随深度线性增加，符合圆柱体匀速浸入特征.
因此金属块高度.H=12-8=4cm.
金属块完全浸没时，其下底面距烧杯底部高度为
此时金属块下底面下降总高度为x=12cm，
而初始液面距烧杯口为8cm，
故有：
解得：h=24cm.
故答案为：24.
【分析】结合函数图象与物理浮力知识，通过分析弹簧测力计示数随金属块下降高度的变化，确定金属块重力、浸入液体的过程及完全浸没时的状态，再利用几何关系求解烧杯高度.
16．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设BD=x，
∵BE=5BC=10，
∴DE=10-x， EC=8，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AD的垂直平分线交BC的延长线于点E，
∴AE=DE=10-x，
∴∠EAD=∠EDA，
即
整理得：
解得： 不合题意，舍去)，
则
故答案为：
【分析】设BD=x，根据题意用x表示出DE，根据线段垂直平分线的性质得到AE=DE，得到∠EAD=∠EDA，根据角平分线的定义、三角形的外角性质得到∠EAC=∠B，证明△AEC∽△BEA，根据相似三角形的性质列出比例式，求出x，进而求出DE.
17．【答案】解：
将 代入得
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】根据完全平方公式和平方差公式展开，然后合并同类项化简，再代入a，b的值计算即可.
18．【答案】解：将原方程组变形为：
由①，得x=5y③，
把③代入②，得2×5y-3y=7，
∴7y=7，
∴y=1，
把y=1代入③，得x=5×1=5，
∴方程组的解为 .
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】将原方程组变形为： ，然后利用代入消元法解方程组即可.
19．【答案】（1）4；78
（2）解：小魏所在的年级是八年级，
∵所抽取的七年级学生成绩的中位数是78，八年级学生成绩的中位数是85，
又学生小魏发现自己的测试成绩进不了本年级的前50%，在小唐的年级能妥妥地排进前50%，
∴小魏所在的年级是八年级；
（3）解：被抽取的15个七年级学生中成绩不低于90分的同学有4个，
故七年级学生的优秀率是
∵八年级学生的优秀率是七年级的1.5倍，
∴八年级学生的优秀率为
∴参加测试的300名八年级学生中，获优秀等级的学生人数为：300×0.4=120(人).
【知识点】频数（率）分布表；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)∵学校团委从这两个年级各随机抽取了15名同学的测试成绩，
所抽取的七年级学生的测试成绩从小到大排序为：62， 63， 68， 68， 72， 72， 75， 78， 88， 88， 88，93， 94， 95， 96，
故答案为： 4， 78；
【分析】(1)根据抽取总数和中位数的定义求出m、n即可；
(2)根据七、八年级的中位数结合小魏和小唐的说法即可得到答案；
(3)根据样本中八年级的优秀率乘以300即可得到答案.
20．【答案】（1）解：
……，
∴
（2）解：
【知识点】二次根式的混合运算；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【分析】(1)观察已知条件中的等式，找出规律进行解答即可；
(2)先根据(1)中的规律，求出 的值，再进行比较即可.
21．【答案】（1）解： ∵B，
∵D为BE的中点，.AD=4，
由勾股定理得到：
∵AH⊥BE，
∴△ABE的面积
（2）解：过点E作EF⊥AE，交AC于F，
∵AB⊥AE， ∴EF∥AB，
∴△CEF∽△CBA，
∵BE=8， EC=1，
∴BC=BE+EC=9，
在直角三角形AEF中，

【知识点】三角形的面积；勾股定理；直角三角形斜边上的中线；求正切值；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】
(1)由直角三角形斜边中线的性质推出BE=2AD=8，由勾股定理求出AB的长，由三角形的面积公式即可求出AH的长；
(2)过点E作. 交AC于F，判定 A，推出 即可求出EF的长，由锐角的正切定义即可求出 的值.
22．【答案】（1）证明：∵点B'与点B关于直线AG对称，
∴BB'⊥AG，
又∵DE⊥AG，
∴∠AFB=∠AED=90°，
∵DE⊥AG，
∴∠DAE+∠ADE=90°，
又由正方形ABCD可知，
∠DAE+∠BAF=90°，
∴∠ADE=∠BAF，
又由正方形ABCD可知， AD=AB，
∴△ADE≌△ABF(AAS)；
（2）解：∵点B'与点B关于直线AG对称，
∴BF=B'F，即BB'=2BF，
又∵四边形EBB'D是平行四边形，
∴DE=BB'，又BB'=2BF，
∴DE=2BF，又△ADE≌△ABF，
∴AE=BF， DE=AF，
∴AF=2AE，即E为AF的中点，
又∵DE⊥AG， ∴AD=DF=4.
【知识点】线段垂直平分线的性质；正方形的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)利用正方形性质得 结合 AG垂直平分.BB'得 再通过同角的余角相等推出 最终由AAS得到两三角形全等即可
(2)由平行四边形.BB'D得 且DE=BB'，结合(1)全等结论及对称性质推出.AF=2BF，在 F中用勾股定理求出BF、AF的长度，再结合线段关系求出EF，最后在 中用勾股定理计算出DF的长度.
23．【答案】（1）解： ∵抛物线 的开口向下，对称轴为x=1，
∴当x<1时，函数值y随x的增大而减小，
∵抛物线 经过A(-2， 8)， B(0， 6)，C(4，-10)这三点中的两个点，
∴A(-2，8)不在抛物线上，B，C两点均在抛物线上，
将B(0， 6)， C(4， - 10)代入 可得
解得
∴a+t=6；
（2）解：① 将B(0，6)，C(4，-10)代入
可得 解得
∴t-11≤x≤t+m即-3≤x≤m+8， y=-2(x-1)2+8，
∵当x=-3时， y=-24，
∴根据抛物线关于x=1对称可知， 当x=5时， y=-24，
又由于抛物线开口向下，函数的最小值为-24，
∴m+8≤5， 解得m≤-3， 又m>-11， ∴-11∴m的最大值为-3；
②t-11≤x≤t+m即-3≤x≤m+8，
当m=-3时， -3≤x≤m+8即-3≤x≤5， 又
绘制草图，结合图象可知当且仅当l：y=-8时，
设经过A(-2，8)，C(4，-10)两点的一次函数为y= kx+b，
将A(-2，8)，C(4，-10)代入y= kx+b，
可得解得
即经过A，C两点的一次函数为y=-3x+2，设直线AC与l的交于点P，
∵l：y=-8， ∴在y=-3x+2中令y=-8， 解得
∴直线 AC 与l的交点
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用顶点式求二次函数解析式；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)先判断抛物线经过点B、C，然后利用待定系数法求得解析式即可得出a、t的值.
(2)①由(1)可知 当x=-3时，x=5时，y=-24，由此可知 解得 即 故m的最大值为-3；
②由 可知当l为y=-8时， 利用待定系数法求得直线AC为y=-3x+2，把y=-8代入即可求得直线AC与l的交点坐标.
24．【答案】（1）证明： ∵MF∥BC，
∴∠AMF=∠B， ∠AFM=∠C，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠AMF=∠AFM，
∴∠AMN=∠MFC；
（2）证明： 连接AN， NC， MC，
∴∠NAB=∠NCB(同弧所对圆周角)，
∵NF∥BC，
∴∠CNF=∠NCB(内错角相等)，
∴∠NAM=∠CNF，
又由(1)知∠AMN=∠CFM，
∴△AMN∽△CFN，
即NM·NF=AM·FC，
∵NF∥BC，
∵AB=AC，
∴MB=FC，
∴NM·NF=AM·MB；

（3）解：在⊙O中， AB=AC，
∵AH过点O，
∴BH=HC(垂径定理推论)，
∵NF∥BC，
又∵BH=HC，
∴DM=DF，
=NM·NF
=AM·MB
=AM·(AB-AM)，
又∵AM=x， AB=10，
设
又∵2≤x≤7，
∴当x=2时，
当x=5时，
即16≤y≤25，
∴当2≤x≤7时，

【知识点】二次函数的最值；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论；垂径定理的推论
【解析】【分析】
(1)根据平行线的性质和等边对等角得到∠AMF=∠AFM， 即可根据等交的补角相等解答即可；
(2)连接AN， NC， MC， 根据两角对应相等得到△AMN-△CFN， 利用对应边成比例得到NM·NF=AM·FC，然后推理得到MB=FC， 证明结论即可；
(3)根据平行线分线段成比例得到即可得到DM=DF， 则M (AB-AM)，据此代入求解即可.
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