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高 2023 级高三考前练数学试题
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1．设复数 z 2a i，若 z的实部与虚部相等，则实数 a的值为（ ）
A 1
1
． 2 B． C．1 D． 12

2. 已知 a 1, 2 ，b x,3 ．若 a∥b，则 x （ ）
3 3
A. 6 B. C. D. 6
2 2
3x a
3. 已知不等式 1的解集为{x x 1或 x 1}，则实数 a的值为（ ）
x 1
A. 1 B. 0 C. 1 D. 2
4．函数 f x 2sin 2x+ ，将 f x 的图象向左平移 个单位长度后，再将所得的图象上所有的点横坐
6 6
标伸长为原来的 2倍，纵坐标不变，得到函数 y g x 的图象，则 y g x 的解析式为（ ）
A． g x 2cos x B． g x 2cos 4x
C． g x 2sin x D． g x 2sin x π
3
5．已知 f x 是定义域为R的奇函数，当 x 0时， f x 1 f x 3，则 f 2 （ ）
A． 6 B．6 C．3 D． 3
6. 已知 4个不全相等的正整数的平均数与中位数都是 2，则这组数据的极差为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
7. 如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的和都等于同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，
这个常数叫做等和数列的公和．已知等和数列 an 中， a5 1，公和为 5，则 lna2026 （ ）
A. 0 B. ln2 C. 2ln2 D. 4
3x 2a 3 , x 1
8. 已知函数 f x x ，若对任意的 x1 x2，都有 f x1 f x2 2x1 2x2，则实
2x a 1 e x 1 , x 1
数 a的取值范围是（ ）
3
A. 1, B. 1,
3 3
C. , 2

D. 1,2
2 2 2
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9．已知数列 an
an *
满足 a1 1,an 1 n N 1 2a ，则下列结论正确的有（ ）n
1 1
A．数列 是等差数列 B．数列a
是等比数列
n an
1
C． an 的通项公式为 an D．数列 an 是递增数列2n 1
10．设 A,B
1 4 7
是一个随机试验中的两个事件，且 P(A) ,P(B) ,P(A B) ，则（ ）
3 5 15
A. P(AB) 1 B. P B∣A 3
15 4
3
C. P(B∣A) P(B∣A) D. P(AB AB)
5
2
11. x已知双曲线C1 : y
2 1的左、右焦点分别为F1,F2 ,P为C1右支上一点（异于右顶点），M 为圆4
C2 : x
2 ( y 2)2 3上一点，则（ ）
A. C 11的渐近线方程为 y x B. PF1F2的内切圆与 x轴切于定点2
C. sin MF2C
2
2 的最大值为 D. PM
6 5
的最小值为 3
2 5
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12.在 2x x 5 的展开式中， x4 的系数为______.
13.

设非零向量a,b 满足 a 2 b ， a b 3 b ，则向量 a在b 方向上的投影向量为_______.
14.将上底面半径为 2，下底面半径为 4，母线长为 6的一个圆台打磨成一个球，再将此球打磨成一个圆柱，
则该圆柱体积的最大值为_________．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．记VABC的内角 A， B，C的对边分别为 a，b， c，且 3 sin A cos A 1.
(1)求 A；
(2)若b 3，VABC的面积为3 3，求VABC的周长.
2 2
16.已知椭圆C : x y 1 a b 0 2的左焦点为F 1,0 ，离心率为 ．
a2 b2

2
（1）求C的方程；
1
（2）设点 B 0, ，过点 F 且不与坐标轴垂直的直线 l交C于 P ,Q两点,且 BP BQ ，求直线 l斜率．
3
17．已知菱形 ABCD中， A 60 ， AB 2，E为 AD中点，如图一所示，现将 ABE沿着 BE折起，使得
点 A到达点 P，如图二所示．
(1)当 PD 2时，证明：平面 PBC 平面 PBE；
(2)当 PD 1时，求平面 PBC 与平面 PCD所成夹角的余弦值．
18. 随着人工智能技术的迅猛发展，大型语言模型正以前所未有的速度渗透至人们的生活场景.Deepseek
作为其中的代表性模型之一，凭借其强大的推理性能赢得了广泛关注.为全面了解人们对Deepseek 的真实
使用情况，某新闻媒体机构随机挑选男、女志愿者各 100 名进行问卷调查，得到如下列联表：
（1）根据小概率值 0.001的独立性检验，分析喜爱Deepseek 的程度是否与性别有关；
（2）现使用Deepseek 解答代数问题和几何问题，规则如下：每次解答一类问题中的一个不同题目，且相
互独立.若答案正确，则继续解答同类中问题；若答案错误，则解答另一类中的问题.每次解答代数问题的
9 4
正确率为 ，每次解答几何问题的正确率为 .已知第1次解答问题是代数问题和几何问题的概率均为 1 .
10 5 2
（ⅰ）求第 2次解题时解答代数问题的概率；
（ⅱ）记前 n次（即从第 1 次到第 n次）解答中，解答代数问题的次数为 X ，求 E X .
2 n ad bc
2
附： ，其中 n a b c d
a b c d a c b d
.
19．已知函数 f x tan x x．

(1)证明： x 0,
π , f x 0；
2
(2)将 f x 所有正零点排列为严格递增数列 an n N
（i）证明： an 1 an π；
n
（ii）设 x 表示不超过 x的最大整数，求 cos 4ai .i 1
高 2023 级高三考前练参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B B C A B C C D AC ACD ABD
r 64 6
12．80 13.-b 14． p
9
1
1．B【详解】由题设有2a 1，即a .
2

2．B【详解】因为a 1, 2 3，b x,3 且a / /b，则 2 x 3，即 x .2
3x a 3 1 a
3．C【详解】易知 x 1是方程 1的根， 即 1，所以 a 1 ,
x 1 1 1
a 1 3x 1 2x 2当 时，不等式为 1，即 0 ,其解集为{x x 1或 x 1} . 故实数a的值为 1.
x 1 x 1
f x π y 2sin 2 x π π 4．A【详解】将 的图象向左平移 个单位长度，得 2sin

2x
π
2cos 2x ，
6 6 6 2
再将所得的图象上所有的点横坐标伸长为原来的 2倍，纵坐标不变，得 g x 2cos x .
5．B【详解】 f x 是定义域为R 的奇函数，可得 f 0 0，
f x 1 f x 3，令 x 0，得 f 1 f 0 3 3， 令 x 1，得 f 2 f 1 3 6，
又函数为R 上的奇函数，故 f 2 f 2 6 .
6．C【详解】设这四个不全相等的正整数为 x1, x2 , x3 , x4 ，
x x x x x x
不妨设 x 1 2 3 41 x2 x3 x4 ， 则 2, 2 3 2, x2 x3 4，4 2
所以 x1 x4 4，由于 x1, x4 是正整数，所以 x1 1, x4 3，
（若 x1 x4 2，则 x2 x3 2，与已知 4个数不全相等矛盾）所以极差为3 1 2 .
7．C【详解】 因为 an an 1 A（公和）， 所以an 1 an 2 A，
两式相减可得， an an 2 ， 可知数列 an 是以 2为周期的周期数列，
因为 a5 1，所以a1 a5 1， 又公和为 5，所以a2 5 a1 4，
所以 a2026 a2 4， lna2026 ln 4 2ln 2 .
8．D【详解】 f x1 f x2 2x1 2x2 f x1 2x1 f x2 2x2 ，
设F x f x 2x，则 F x1 F x2 ，因为 x1 x2，所以F x f x 2x在 R上单调递增，
x 2a 3 , x 1
其中 F x x y a 1 ex 1 2a 3 ，需满足 在 ,1 上单调递增， y x 在 1, 上单调递
a 1 ex 1, x 1 x
0
增，且 a 1 e 1 2a 3，由 a 1 e0 1 2a 3得 a 1，
根据 y a 1 ex 1在 ,1 上单调递增，得到 a 1 0，故 a 1，，
当2a 3 2a 3 3 0，即1 a 时， y x 在 1, 上单调递增，
2 x
3
当2a 3 0，即 a 时， y x 在 1, 上单调递增，
2
3
当 2a 3 0，即 a 时，由对勾函数性质得，
2
y x 2a 3 在 2a 3, 3上单调递增，故需满足 2a 3 1，解得 a 2，所以 a 2，x 2
综上，实数 a的取值范围是 1,2 .
an 1 1 2an 1 1 1
9．AC【详解】由 an 1 ，得 21 2a a a a ，则
2，
n n 1 n n an 1 an
1 1
所以数列 是以 = 1为首项，2为公差的等差数列，故 A正确，B 错误；
an a1
1
则 1 n 1 2 2n 1 1a ，即 an ，即数列 an 是递减数列，故 C正确，D错误.n 2n 1
1 4 7
10．ACD【详解】对于 A，因为 P(A B) P(A) P(B) P(AB)， P(A) ,P(B) ,P(A B) ，
3 5 15
所以 P(AB) P(A) P(B) P(A B) 1 1 7 1 ，所以 A正确，
3 5 15 15
1 1 4
对于 B，因为P(AB) P(AB) P(A)，所以P(AB) P(A) P(AB) ，
3 15 15
4
P B A P(AB) 15 4所以 1 ，所以 B错误，P(A) 5
3
1 1 2
对于 C，因为P(B) P(AB) P(AB)，所以P(AB) P(B) P(AB) ，
5 15 15
1 2
P B A P(AB) 15 1 P(AB) 1所以 1 ， P B A 152 ，所以 P(B∣A) P(B∣A)，所以 C正确，P(A) 5 P(A) 5
3 3
4 4
对于 D，因为P(B) P(AB) P(AB)，所以 P(AB)，所以 P(AB)
8
，
5 15 15
所以 P(AB AB) P(AB) P(AB) 1 8 3 ，所以 D正确，
15 15 5
2
x y 1
11．ABD【详解】双曲线的渐近线为 0，由题 a 2,b 1，所以C1的渐近线方程为 y x，故 A 正确；a b 2
设 PF1,F1F2 ,PF2 分别与 PF1F2的内切圆切于点 A,B,C ，
则 BF1 BF2 AF1 CF2 AF1 PA CF2 PC PF1 PF2 2a 4，
又 BF1 BF2 F1F2 2 5，所以 BF1 2 5, BF2 5 2 ，所以 PF1F2的内切圆与 x轴切于定点 (2,0)，
故 B正确；
易知 F2 ( 5,0)，C2 (0, 2)，则 F C ( 5 0)2 (0 2)2 3, MC ，当 F M 与C 相切时，2 2 2 3 2 2
MC
sin MF C 2 32 2 取得最大值，最大值为 ，故 C错误；F2C2 3
2
P x , y 2设 0 0 ，则 x2 4y2 20 0 4, PC2 x0 y0 2 5y20 4y0 8 5
2 36 y ，0
5 5
y 2当 0
6 5 6 5
时， PC2 取得最小值 ，则 PM 的最小值为 3，故 D 正确．5 5 5
5 r r
12．80【详解】 2x x 5 r r 5 的展开式中的通项公式为Tr 1 Cr5 x 2x Cr5 1 2 5 r x 2 ，
2
所以当 r 2时，T3 C5 1
2×23x4 x4 2
2 3
， 的系数为C5 1 ×2 =80 .

13． b【详解】设 b t则 a 2t a b 3 b a |2 2a 由 平方得 b b |2 3 | b |2 ，

4t 2 2a 即 b t 2 3t 2 ，得 2a b 2t 2 ，a b t 2 . 投影向量为 b .

14． π【详解】由圆台的轴截面可知，当母线长等于上、下底面圆的半径之和时，圆台有内切球.

因为 6 2 4，所以该圆台有内切球，故当打磨成该圆台的内切球时，球的体积最大.
记内切球半径为 R，可得 鯘 t ， R 2 2 .
记圆柱的底面半径为 r，高为 h，易知圆柱体积最大时其外接球为圆台的内切球，
2
所以 R2 h 8 r 2 ，则 t

， t t ， 2
2 1 2
此时圆柱体积V r h h 8 h 8h
1
h3 .设 t t
， t t ，则′t t . 4 4

当 h 0,
4 6
时， f (h) 0， f (h)
4 6
单调递增；当 h , 4 2 时， f (h) 0， f (h)单调递减.
3 3
4 6 64 6
所以 f (h)max f ，所以该圆柱体积的最大值为3 9 π
.

2sin A π π 115．【详解】（1）由 3 sin A cos A 1，有 1，即 sin A
6 6 2
3
π A π 5π 0 A π， ， A π π ， A π ；
6 6 6 6 6 3
π
（2）由（1）的结论有 A ，又 b 3， S
3 ABC
3 3，
1
由三角形面积公式有 S π ABC bc sin A × sin ， c 4，2
在VABC 中，由余弦定理有 a2 b2 c2 2bc cos A × × cosπ ， a 13，
ABC 的周长
.
2 c 2
16．【详解】（1）由C 的焦点为F 1,0 ，可知C 的半焦距 c 1，因为C 的离心率为 ，所以 ，a 2．2 a 2
x2
又 a2 b2 c2，所以b2 1，故C 的方程为 y2 1．
2
（2）由已知，设直线 PQ的方程为 y k x 1 k 0 ， 设点P x1, y1 、Q x2 , y2 ．
y k x 1 1 2k 2联立 2 ，得 x2 4k 2x 2k 2 2 0，
x 2y
2 2
2 2
Δ 16k 4 4 2k 2 1 2k 2 2 8k 2 8 0 4k 2k 2， 由韦达定理可得 x1 x2 ，2 x1x2 ，1 2k 1 2k 2
2
所以 y1 y2 k x1 1 k x2 1 k x1 x2 2k k
4k
2 2k
2k

1 2k 1 2k 2
．

2k 2
故线段 PQ的中点坐标为 2 ,
k
，
2k 1 2k
2 1
1 2k 2 k
则线段 PQ的垂直平分线的方程为 y x ．
k 1 2k
2
1 2k
2
若 BP BQ ，则线段 PQ的垂直平分线过点 B 0,
1
，
3
1 1 2k 2 k 1
所以 ，化简整理得 22 2 2k 3k 1 0，解得k 或 k 1．3 k 1 2k 1 2k 2
17．【详解】（1）在菱形 ABCD中，由 A 60 ，得△ABD是正三角形，由 E为 AD中点，得 BE AD
在图二中， BE DE,BE PE，由PE2 DE2 2 PD2，得 PE DE ，
又BE PE E,BE,PE 平面 PBE ，因此DE 平面 PBE ，由 DE // BC，得 BC 平面 PBE ，
又 BC 平面 PBC ，所以平面 PBC 平面 PBE .
（2）由（1）得 BE 平面PDE，取 ED的中点为O，连接PO，由 PD 1，
得VPED为正三角形，则 PO DE，作Ox / /EB，则Ox 平面PDE，
直线Ox,OD,OP两两垂直，以O为原点，直线Ox,OD,OP分别为 x, y, z轴建立空间直角坐标系，
4
则 P(0,0, 3),B( 3, 1 ,0),C( 3, 3 ,0),D(0, 1 ,0) ，
2 2 2 2

PB ( 3, 1 3

, ), PC ( 3, 3 , 3 ), PD (0, 1 , 3 )，
2 2 2 2 2 2
1 3

m PB 3x y z 0
2 2
设平面 PBC 的法向量为m (x, y, z)，则

，取 x 1，得m (1,0,2)，
m PC 3x
3
y 3 z 0
2 2

n PD
1
b 3 c 0
2 2
设平面 PCD的法向量为 n (a,b,c)，则 ，取 c 1，得 n ( 1, 3,1)， n PC 3a 3b 3 c 0 2 2
|m n | 1 1
所以平面 PBC 与平面 PCD所成夹角的余弦值为 | cos m,n |
|m || n | 5 5 5
18．【详解】（1）零假设为H ：喜爱Deepseek 的程度与性别无关.0
2
由列联表得 a 60,b 40,c 40,d 60,n 200，∵ 2 n(ad bc) ，
(a b)(c d )(a c)(b d )
2 200 (60 60 40 40)
2 200 2000 2
∴ 代入数据得 8 10.828 x .
100 100 100 100 10 8 0.001
∴ 因此依据 0.001的独立性检验，没有充分证据说明H0不成立，即喜爱Deepseek 的程度与性别无关.
*
（2）记“第 k次解答代数问题”为事件 Ak ， P(Ak ) pk ， k N .
（i）第 2次解答代数问题包含两类互斥情况：
9 1 9 9
① 第 1次解答代数问题且答案正确，概率为 P(A1) ；10 2 10 20
4 1 1 1
② 第 1次解答几何问题且答案错误，概率为 P(A1) 1 5

2 5 10
9 1 11
∵ 两类事件互斥，∴ P(A2 ) .20 10 20
9 4
（ii）由题意得，第 k 1次解答代数问题的递推关系为： Pk 1 P Ak 1 P Ak P A 1 10 k 5
化简得 p 9 1 7 1 2 7 2k 1 pk (1 pk ) pk ， k 1. 整理得 pk 1 ( p ) k 110 5 10 5 3 10 k 3 .

∴ 数列 p
2 2 1 7
k 是首项为 p1 ，公比为 的等比数列.
3 3 6 10
p 2 1 7
k 1 k 1

2 1 7
∴ k 即 p


3 6 10 k 3 6 10
5
由期望的可加性，前 n次解答代数问题的总期望等于每次解答代数问题的概率之和，即
7 n n 7
n n k 1 1 n 6n 5 5 2 1 7 2n 1 10 2n 5 5 7 E(X ) pk 10 3 6 10 3 6 7 3 9 9 k 1 k 1 1 10 9
10
19．【详解】（1）证明： f x tan x x f (x) 1， 2 1 tan2 x， x

0,
π
， tan x 0， f (x) tan 2 x 0 ，所cos x 2
以 f x π 在区间 0, 上单调递增， f (x) f (0) 0 2

（2）（i）证明：由（1） f x 在区间 0,
π x 0, π 上单调递增，则 时， f (x) f 0 0，即此时 f x 无零点，当
2 2
3
x π 3π
1
2 , ， f (x) tan x 0 ， f x tan x
3
x单调递增，又 tan π tan
π π



3 2 3 ，
2 2 8 6 4 1 3
3
f 11π tan 11π 11π tan 3π 11π 11π 2 3 0
3π
， x , f x ，
8 8 8 8 8 8 2
则 f (x)
11π 3π 3 1
在 , 上有一个零点 a1， 同理可得 f (x)在 nπ π,nπ π 上有一个零点 a ，
8 2 n 8 2
又 an tanan ， an 1 tanan 1 ， an 1 an， an tan an tan an π an 1 tan an 1，

又 an nπ
3
π,nπ 1 π ,a
11 3
n 1

nπ π,nπ π

，
8 2 8 2
an π

nπ
11
π,nπ 3 π 11 ，且 y tan x在 nπ π,nπ
3
π
8 2 8 2
上单调递增， an π an 1，即an 1 an π；

tan 2a 2 tan a n 2an（ii） n 1 tan2 a 1 a2 ，n n
cos 4a cos
2 2a sin 2n 2an 1 tan
2 2a a4n n 6a
2
n 1 8
n 2 2 2 4 2 1 cos 2an sin 2an 1 tan 2an an 2an 1 a2 1 2，n a2n
1 2 2
3π π a2* n 2 2
n 3 2 1 3 2 π 2 2 n π 2 an nπ ,nπ ,n N ， a8 2 n 8 n 3
8
2 8
π

9 n 3
2 27 27
2 9n2 n 2 9n2 n 2 8n n 1 n2 5 8
，又 n 2 0，
4 4 4
n
0 8
n n
1
8
1 1 1 1 1
i 1 a2i 2 2 i 1
8i i 1 i 1 i i 1 n 1 ，
ai

n n n
n 1 cos 4a i 1 8 1 n

cos 4a

i n 1．
i 1 i 1
a
2
i 2 i 1 a2 i
6

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