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四川省绵阳市三台县2026年中考数学一诊试卷
一、选择题：本题共 12小题，每小题 3分，共 36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．的相反数是（　　）
A． B．2026 C． D．
【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数是2026，
故选：B．
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，根据相反数的定义求解即可．
2． 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，入选中国国家级非物质文化遗产名录. 下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
D、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.
3．2025年 4月 30日，神舟十九号载人飞船返回舱成功着陆，神舟十九号载人飞船有很多创新之处，首次以果蝇为实验对象，建立太空亚磁环境，已知亚磁环境的磁感应强度小于 0.000005特斯拉，0.000005用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： ．
故选：C．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
4．下列各数一定没有平方根的是(　　)
A．-x B．-2x-1 C．x2 D．
【答案】D
【知识点】平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：A、当时，，可能有平方根，不符合题意；
B、当时，的值为，有平方根，不符合题意；
C、恒成立，总有平方根，不符合题意；
D、恒成立，故一定没有平方根，符合题意．
故选：D．
【分析】根据只有非负数有平方根解答即可.
5．如图所示的几何体的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上往下看这个几何体，可得到俯视图是，一个大矩形的左侧有一个小矩形，故选项A正确．
【分析】根据俯视图是从上往下看得到的几何图形解答即可．
6．我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问：人数、物价各几何 其大意是：有几个人一起去买一件物品，如果每人出 8元，则多 3元；如果每人出 7元，则少 4元.问有多少人 设有 x人.根据题意，下列方程正确的是(　　)
A．8x-3=7x+4 B．3x+8=4x-7 C．8x+3=7x-4 D．3x-8=4x+7
【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】设共有人，列方程得，
故选A．
【分析】设 有 x人 ，根据“ 每人出 8元，则多 3元；如果每人出 7元，则少 4元 ”列方程即可．
7．若 10 =N， 则称 x是以 10为底 N的对数.记作： x=lgN.例如： 则 2=lg100； 109=1， 则 0=lg1.对数运算满足：当 M>0， N>0时，lgM+lgN= lg (MN) ，例如： lg3+lg5=lg15， 则 2的值为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．5
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：
．
故答案为：B.
【分析】根据完全平方公式可得，再根据新定义运算法则解答即可．
8．由粤港澳大湾区承办的第十五届全国运动会于 2025年 11月 9日在广州盛大开幕.本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”备受大众喜爱.某玩具厂承担 6000个“喜洋洋”和 4000个“乐融融”的生产任务，受产能限制，每天只能安排生产其中一种吉祥物.已知每天生产“喜洋洋”的数量是生产“乐融融”数量的1.5倍，该工厂完成这批订单总共用了 10天.则该工厂每天生产“喜洋洋”的个数是(　　)
A．800 B．1000 C．1200 D．1300
【答案】C
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：设该工厂每天生产“喜洋洋”的个数是，则每天生产“乐融融”的个数是
由题意得，
解得
经检验是原方程的解，符合题意
∴该工厂每天生产“喜洋洋”的个数是．
故答案为：C.
【分析】设该工厂每天生产“喜洋洋”的个数是，根据“某玩具厂承担 6000个“喜洋洋”和 4000个“乐融融”的生产任务， 总共用了 10天 ”列分式方程，求出x的值解答即可．
9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形.若点A（1， 1) 的对应点为A'（3， 3) ， 当BC=1时， 则线段B'C'的长度是（　　)
A． B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A'B'C是以点为位似中心的位似图形，点A(1，1)的对应点为A'(3，3)，
∴△ABC~△A'B'C'，且相似比为1：3，
∵BC=1.
∴B'C'=3.
故答案为：C.
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC~△A'B'C'，且相似比为1：3，进而求出B'C'的长.
10．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第 11行从左至右第 4个数是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：第1行到第10行共有：个数，即第10行最后一个数为，
∴第11行从开始，则此行第4个数为；
故选：D．
【分析】找到数的排列规律：每行的最后一个数为，然后计算第十行的最后一个数，再推算出 第 11行从左至右第 4个数解答即可 ．
11．如图，O为正方形 ABCD的边 AB上一点，以 O为圆心、OB为半径作⊙O，交 AD于点 E，过点 E作⊙O的切线 EF交 CD于点 E，将△DEF沿 EF 翻折，点 D 的对应点 D'恰好落在⊙O上，则 的值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；切线的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：连接，作于，如下图，
∵，
∴，
∵将沿翻折，点D的对应点恰好落在上，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，，
则，，
在中，可得，
∴，解得，
∴，则，
∴．
故选：C．
【分析】连接，作于，根据三线合一、折叠的性质可得，再根据切线的性质推理得到，利用AAS得到，即可得到；设，，即可得到，，在中根据勾股定理可求得，然后计算的值．
12．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2， BC=3 D为平面内一点，连接 AD，CD，BD，∠ADC=30°，则线段 BD的最小值为( )
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；定角定弦辅助圆模型；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图所示，过点作圆，圆心为，交于点
连接，
∵，
∴为直径，
∴点共线，
此时，，
∴，
∴的半径为2，
过点作于点，连接，连接交于点，
此时，的值最小，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，
即线段的最小值为．
故答案为：D.
【分析】过点作圆，交于点，连接，根据圆周角定理的推论得到∠AD2C=90°，然后根据角的直角三角形的性质求出半径长，过点作于点，连接，连接交于点，得出此时的值最小，然后根据垂径定理和勾股定理计算即可．
二、填空题：本题共 6小题，每小题 4分，共 24分．
13．因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】先提取各项的公因式2a，再运用平方差公式继续分解到每一个因式都不能再分解为止.
14．如图，两条直线 l1， l2分别经过正六边形 ABCDEF的顶点 B， C，且 l1∥l2.当∠1=37°时， ∠2=　 　°.
【答案】97
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，
正六边形内角和为：，
，
，
，
，
，
，
故答案为：97．
【分析】先求出正六边形的每个内角的度数为120°，然后根据角的和差求出∠3的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补解答即可．
15． 已知a、b是方程x2+2x-3＝0的两根，则的值为 　 　 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵已知a、b是方程x2+2x-3＝0的两根，
∴根据根与系数的关系可知：a+b=-2，ab=-3，
∴，
故答案为： .
【分析】根据根与系数的关系求得a+b=-2，ab=-3，再代入求值即可.
16．抛掷一枚质地均匀的硬币，记正面向上为“+1”，反面向上为“-1”.现同时抛掷三枚同样的硬币，所得结果的积为 1的概率是　 　.
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意，画出树状图，如下：
∴一共有8种等可能结果，其中所得结果的积为1的有4种，
∴所得结果的积为1的概率是．
故答案为：.
【分析】画树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，再由概率公式计算解答．
17．一种遮阳伞如图，遮阳伞支架AB垂直于地面BC，点D在AB上，AD＝0.6m，D，E，F三点共线，DF＝3DE＝3AE．当太阳光线与DF垂直时，它与地面的夹角正好为60°，则DF落在地面上的投影GH＝　 　 m．
【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】
解：由题意，作于，于，
．
，
．
．
，
．
．
，
．
．
．
，
四边形是矩形．
．
在中，
，
．
故答案为：．
【分析】作于，于，则，然后求出，故，证明四边形是矩形，即可得哦大，再在中，根据计算解答．
18．如图，在正方形 ABCD中，点 M为 CD边上一点，连接 AM，将△ADM绕点 A 顺时针旋轮 90°得到△ABN，在 AM、AN上分别截取 AE、AF，使 AE=AF=BC，连接 EF，交对角线 BD 于点 G，连接 AG并延长交BC于点 H.若 则 AG的长为　 　.
【答案】
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：由题意可得，≌，
，
，
，
、是等腰直角三角形，
；
连接、，
≌，
，
连接，
，，
≌，
，
，
又，，
≌，，
连接、，
，，
≌，，
设，
，，
，
，
，
，
，
，
得，
，
解得（舍），，
，，，
又∵BC∥AD，
∽，
，
，
故答案是．
【分析】根据旋转的性质和等腰三角形的性质得到，连接、，根据SAS得到≌，即可得到，然后推理得到≌，即可得到，然后证明≌，得到；设正方形的边长为，然后根据勾股列方程求出正方形的边长，再根据平行线得到∽，根据对应边成比例解答即可．
三、解答题：本题共 7小题，共 90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．计算、化简求值
（1）
（2）其中 x= (π-4)0+|-3|.
【答案】（1）解：
；

（2）解：
，
∵，
∴原式．

【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）先计算立方根，负整数指数幂和绝对值，代入特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后合并同类二次根式即可；
（2）先把小括号内的分式通分，再把除法化成乘法，分解因式后约分化简，然后计算出x的值，并代入计算即可．
20．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利 80周年，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取 20名学生的竞赛成绩(成绩为百分制且为整数)进行整理、描述和分析(用 x表示学生成绩，所有学生成绩均不低于 60分，共分为四组：A.90≤x≤100，B.80≤x<90， C.70≤x<80， D.60≤x<70，得分在 90分及以上为优秀) ，下面给出了部分信息：
八年级 20名学生的竞赛成绩是： 66， 67， 71， 81， 83， 85， 85， 86， 89， 90， 90， 93， 93， 93， 95， 96，98， 99， 100， 100.
九年级 20名学生竞赛成绩在 B组的数据是： 82， 83， 85， 86， 87， 88.
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 众数 中位数 方差
八年级 88 a 90 10.3
九年级 88 94 b 11.0
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中的 a=　 　， b=　 　， m=　 　；
（2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好 请说明理由；(写出一条理由即可)
（3）若该校八年级有 800名，九年级有 700名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人
【答案】（1）93；87.5；30
（2）解：八年级学生的知识竞赛成绩更好，
理由：两个年级的平均数相同，八年级的中位数高于九年级，方差小于九年级．
（3）解：根据数据，八年级学生知识竞赛成绩达到优秀占，
又八年级有800名，所以知识竞赛成绩达到优秀有（人）；
九年级学生知识竞赛成绩达到优秀占，
又九年级有700名，所以知识竞赛成绩达到优秀有（人）；
（人）．
答：估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有755人．
【知识点】扇形统计图；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：根据数据，八年级20名学生的竞赛成绩中，93出现次数最多，
所以众数，
由题知，九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据有6个，
所以占，则，
根据扇形图可知，竞赛成绩在C、D占，共名学生，
又20名学生竞赛成绩的中位数为从小到大排列第10、11位的平均值，
所以中位数，
故答案为：93；87.5；30．
【分析】（1）根据B组人数除以考查人数乘以100%求出m的值，根据众数、中位数的定义求出a，b的值解答即可；
（2）比较八、九年级的平均数、中位数、方差，得到结论即可；
（3）全校八、九年级人数分别乘以对应年级样本中优秀人数占比，求和解答．
21．如图，四边形 ABCD中， CD∥AB， ∠ABC=90°， AB=BC，将△BCD绕点 B逆时针旋转 90°得到△BAE，连接 CE，过点 B作 BG⊥CE于点 F，交 AD于点 G，若 CD=AB.
（1）求证：四边形 ABCD是正方形；
（2）若 CD=4，求 DG的长.
【答案】（1）证明：∵CD=AB，CD∥AB，
∴四边形 ABCD是平行四边形，
∵∠ABC=90°， AB=BC，
∴平行四边形 ABCD是正方形
（2）∵，
∴
∴
又∵
∴
∴，
又∵，
∴
∴
∴
∴
∴
∴.
【知识点】正方形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据一组对边平行且相等判定四边形为平行四边形，再根据有一组邻边相等和有一个内角是得到正方形解答即可；
（2）利用AAS得到，得到AG=BP=AP，即可得到结论.
22．2026年城市“绿色通勤”计划落地，某新能源汽车体验中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车，据了解：4辆“晨光”型汽车与 3辆“清风”型汽车的进货总成本为 160万元；3辆“清风”型汽车的进价比 4辆“晨光”型汽车少 40万元.
（1）求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价；
（2）该体验中心计划购进这两款汽车共 80辆，已知“晨光”型汽车的售价为 30万元/辆，“清风”型汽车的售价为 26万元/辆.设购进“晨光”型汽车 a辆，80辆车全部售完的获利为 W万元.根据库存与市场需求，购进“晨光”型汽车的数量不低于 30辆.该体验中心应购进“晨光”型和清风型汽车各多少辆，才能使 W最大 W最大为多少万元
【答案】（1）解：设“晨光”型汽车进货单价为x万元，“清风”型汽车的进货单价为y万元．
由题意得：，解得：．
答：“晨光”型汽车的进货单价为25万元，“清风”型汽车的进货单价为20万元．
（2）解：设购进“晨光”型汽车辆，则购进“清风”型汽车辆，
；
由题意可得，
，
∴W随a的增大而减小，
∴当，W取最大值，最大值，此时，．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设“晨光”型汽车进货单价为x万元，“清风”型汽车的进货单价为y万元．根据“4辆“晨光”型汽车与 3辆“清风”型汽车的进货总成本为 160万元；3辆“清风”型汽车的进价比 4辆“晨光”型汽车少 40万元”列二元一次方程组，求出x和y的值解答即可；
（2）设购进“晨光”型汽车辆，根据题意得出w关于a的函数解析式；根据自变量a的取值范围，利用一次函数的增减性得到最大值解答即可．
23．如图，在平面直角坐标系中，在反比例函数 的图象上有一点 A的坐标为(1， m) ，点 C (0， 2) ，反比例函数与一次函数 交于 A、B两点，连接 OA， 且
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）请直接写出 时，x的取值范围；
（3）点 P从点 A出发沿射线 AB移动，点 Q为第三象限双曲线上一点，当点 A，O，P，Q为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点 Q的坐标.
【答案】（1）解：∵点，．
∴，
∴，即，
∵反比例函数过，
∴
解得，
∴反比例函数解析式为，
∵一次函数过和，
∴，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：或 x>1
（3）解：点 Q的坐标为 或
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；平行四边形的性质；解直角三角形—边角关系；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】（2）解：由题意，联立解析式得
解得，，
当时，，
∴点B为，
由图可得，当时，反比例函数图象在一次函数下方，满足；
当时，反比例函数图象在一次函数下方，满足．
∴x的取值范围为或；
故答案为：或；
（3）解：∵点P在射线上，点Q为第三象限双曲线上一点，
∴设，，
∵当点A，O，P，Q为顶点的四边形为平行四边形时，
∴当与为平行四边形的对角线时，
∴
解得，
解得或（舍去，不符合第三象限）；
∴此时Q的坐标为；
当与为平行四边形的对角线，
∴
解得，
解得或（舍去，不符合第三象限）；
∴此时Q的坐标为：，
综上所述，点Q的坐标为或．
故答案为：或．
【分析】（1）先根据正切的定义求出点A的坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）联两解析式，消去y求得、，再结合函数图象，得到反比例函数图象在一次函数下方时自变量的取值范围解答即可；
（3）设、，分两种情况：与为对角线和与为对角线，根据平行四边形的性质，利用中点坐标公式列方程解答即可．
24．如图，在△ABC中， AB=AC，连接 OB、OC， ∠CBP=∠BAC，过点 A作 AD∥OB交 PB于点 D，交⊙O于点 E.
（1）求证： PB是⊙O的切线；
（2）连接 CP，当点 O，点 C，点 P三点共线时，若 CP=3， BP=4，求 BC的长；
（3）连接 BE，在(2)的条件下，求 的值.
【答案】（1）证明：如图，连接 OA，
∴OA=OB=OC，
∴∠OAC=∠OCA， ∠OAB=∠OBA，
在△ABO与△ACO中，
∴△ABO≌△ACO (SSS) ，
∴∠OAB=∠OAC，
∴∠OAB=∠OBA=∠OAC=∠OCA，
假设∠OAB=∠OBA=∠OAC=∠OCA=α，
则∠CBP=∠BAC=2α，
∴∠BOC=4α，
∴∠OBP=∠OBC+∠CBP=90°-2α+2α=90°，即 OB⊥BP，
∴PB 是⊙O 的切线
（2）解：如图，延长交于点，连接，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
解得，
∴，
∴令，
∵为的直径，
∴，
∴由勾股定理得，
解得，
∴；
（3）解：如图所示，连接并延长，交于点，交于点，连接，
∵，
∴垂直平分线段，
∴，，，
由勾股定理得，
∴，
∴由勾股定理得，
，
∵，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．

【知识点】三角形全等的判定；切线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，根据SSS得到，即可得到，利用三角形的内角和定理求出∠OBC的度数，利用角的和差得到∠OBP=90°证明结论即可；
（2） 延长交于点，连接， 根据两角相等得到，根据对应边成比例求出PF长，令，根据勾股定理求出FC=5x=，求出x的值解答即可；
（3）连接并延长，交于点，交于点，连接，即可得到垂直平分，进而得到BH=CH，然后根据勾股定理求出OG、AB、BH的长，然后推理得到和，即可求出AD，DE的长，根据线段的和差求出AE的长，求出比值解答即可．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 x轴交于 A (-1， 0) ， B (6， 0)两点，与 y轴交于点C.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点 P 是射线 BC下方抛物线上的一动点，连接 OP与射线 BC交于点 Q，当 取得最大值时，求点 P的坐标；
（3）在(2)中 取得最大值的条件下，将抛物线 沿射线 BC方向平移 个单位长度得到抛物线 y1，点 M为点 P的对应点，点 N为抛物线 y1上的一动点.若 求点 N的坐标.
【答案】（1）解：将，代入，得，
解得，
故抛物线的表达式为；
（2）解：令抛物线解析式中，得，
∴点的坐标为，
设直线的表达式为，
将，代入得，解得，
∴直线的表达式为，
设点的坐标为，
过点作轴交于点，则点的坐标为，
∴，
∵轴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值，
此时，故点的坐标为；
（3）解：∵，，
∴，
∴为等腰直角三角形，，
将抛物线沿射线方向平移个单位长度，即向左平移2个单位长度，向下平移2个单位长度得到抛物线，
∴，
过点作轴于点，过点作轴于点，连接，
∵，
∴，由平移性质知，
∴，
∴，
∵，
∴，
设点的坐标为，则，
在中，，，
∴，
在中，，，
∴，由得，
①当点在轴下方时，，则，
解得或(，舍去)；
②当点在轴上方时，，则，
解得或(，舍去)．
综上，点的坐标为或．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；解直角三角形—边角关系；二次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式即可；
（2）先求抛物线与轴交点的坐标，再用待定系数法得到直线的解析式，设点P的坐标为，过点作轴交于点，则的坐标为，根据两角对应相等得到，根据对应边成比例得到关于x的二次函数，利用二次函数的顶点式求出点的坐标；
（3）先得出为等腰直角三角形，根据平移规律得到平移后的抛物线的解析式，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，即可得到，利用正切的定义得到，分点在轴上方、下方两种情况去绝对值，解关于a的方程求出点N的坐标即可．
1 / 1四川省绵阳市三台县2026年中考数学一诊试卷
一、选择题：本题共 12小题，每小题 3分，共 36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．的相反数是（　　）
A． B．2026 C． D．
2． 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，入选中国国家级非物质文化遗产名录. 下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．2025年 4月 30日，神舟十九号载人飞船返回舱成功着陆，神舟十九号载人飞船有很多创新之处，首次以果蝇为实验对象，建立太空亚磁环境，已知亚磁环境的磁感应强度小于 0.000005特斯拉，0.000005用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
4．下列各数一定没有平方根的是(　　)
A．-x B．-2x-1 C．x2 D．
5．如图所示的几何体的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
6．我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问：人数、物价各几何 其大意是：有几个人一起去买一件物品，如果每人出 8元，则多 3元；如果每人出 7元，则少 4元.问有多少人 设有 x人.根据题意，下列方程正确的是(　　)
A．8x-3=7x+4 B．3x+8=4x-7 C．8x+3=7x-4 D．3x-8=4x+7
7．若 10 =N， 则称 x是以 10为底 N的对数.记作： x=lgN.例如： 则 2=lg100； 109=1， 则 0=lg1.对数运算满足：当 M>0， N>0时，lgM+lgN= lg (MN) ，例如： lg3+lg5=lg15， 则 2的值为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．5
8．由粤港澳大湾区承办的第十五届全国运动会于 2025年 11月 9日在广州盛大开幕.本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”备受大众喜爱.某玩具厂承担 6000个“喜洋洋”和 4000个“乐融融”的生产任务，受产能限制，每天只能安排生产其中一种吉祥物.已知每天生产“喜洋洋”的数量是生产“乐融融”数量的1.5倍，该工厂完成这批订单总共用了 10天.则该工厂每天生产“喜洋洋”的个数是(　　)
A．800 B．1000 C．1200 D．1300
9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形.若点A（1， 1) 的对应点为A'（3， 3) ， 当BC=1时， 则线段B'C'的长度是（　　)
A． B．2 C．3 D．4
10．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第 11行从左至右第 4个数是(　　)
A． B． C． D．
11．如图，O为正方形 ABCD的边 AB上一点，以 O为圆心、OB为半径作⊙O，交 AD于点 E，过点 E作⊙O的切线 EF交 CD于点 E，将△DEF沿 EF 翻折，点 D 的对应点 D'恰好落在⊙O上，则 的值为(　　)
A． B． C． D．
12．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2， BC=3 D为平面内一点，连接 AD，CD，BD，∠ADC=30°，则线段 BD的最小值为( )
A．1 B． C．2 D．
二、填空题：本题共 6小题，每小题 4分，共 24分．
13．因式分解：　 　．
14．如图，两条直线 l1， l2分别经过正六边形 ABCDEF的顶点 B， C，且 l1∥l2.当∠1=37°时， ∠2=　 　°.
15． 已知a、b是方程x2+2x-3＝0的两根，则的值为 　 　 ．
16．抛掷一枚质地均匀的硬币，记正面向上为“+1”，反面向上为“-1”.现同时抛掷三枚同样的硬币，所得结果的积为 1的概率是　 　.
17．一种遮阳伞如图，遮阳伞支架AB垂直于地面BC，点D在AB上，AD＝0.6m，D，E，F三点共线，DF＝3DE＝3AE．当太阳光线与DF垂直时，它与地面的夹角正好为60°，则DF落在地面上的投影GH＝　 　 m．
18．如图，在正方形 ABCD中，点 M为 CD边上一点，连接 AM，将△ADM绕点 A 顺时针旋轮 90°得到△ABN，在 AM、AN上分别截取 AE、AF，使 AE=AF=BC，连接 EF，交对角线 BD 于点 G，连接 AG并延长交BC于点 H.若 则 AG的长为　 　.
三、解答题：本题共 7小题，共 90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．计算、化简求值
（1）
（2）其中 x= (π-4)0+|-3|.
20．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利 80周年，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取 20名学生的竞赛成绩(成绩为百分制且为整数)进行整理、描述和分析(用 x表示学生成绩，所有学生成绩均不低于 60分，共分为四组：A.90≤x≤100，B.80≤x<90， C.70≤x<80， D.60≤x<70，得分在 90分及以上为优秀) ，下面给出了部分信息：
八年级 20名学生的竞赛成绩是： 66， 67， 71， 81， 83， 85， 85， 86， 89， 90， 90， 93， 93， 93， 95， 96，98， 99， 100， 100.
九年级 20名学生竞赛成绩在 B组的数据是： 82， 83， 85， 86， 87， 88.
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 众数 中位数 方差
八年级 88 a 90 10.3
九年级 88 94 b 11.0
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中的 a=　 　， b=　 　， m=　 　；
（2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好 请说明理由；(写出一条理由即可)
（3）若该校八年级有 800名，九年级有 700名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人
21．如图，四边形 ABCD中， CD∥AB， ∠ABC=90°， AB=BC，将△BCD绕点 B逆时针旋转 90°得到△BAE，连接 CE，过点 B作 BG⊥CE于点 F，交 AD于点 G，若 CD=AB.
（1）求证：四边形 ABCD是正方形；
（2）若 CD=4，求 DG的长.
22．2026年城市“绿色通勤”计划落地，某新能源汽车体验中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车，据了解：4辆“晨光”型汽车与 3辆“清风”型汽车的进货总成本为 160万元；3辆“清风”型汽车的进价比 4辆“晨光”型汽车少 40万元.
（1）求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价；
（2）该体验中心计划购进这两款汽车共 80辆，已知“晨光”型汽车的售价为 30万元/辆，“清风”型汽车的售价为 26万元/辆.设购进“晨光”型汽车 a辆，80辆车全部售完的获利为 W万元.根据库存与市场需求，购进“晨光”型汽车的数量不低于 30辆.该体验中心应购进“晨光”型和清风型汽车各多少辆，才能使 W最大 W最大为多少万元
23．如图，在平面直角坐标系中，在反比例函数 的图象上有一点 A的坐标为(1， m) ，点 C (0， 2) ，反比例函数与一次函数 交于 A、B两点，连接 OA， 且
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）请直接写出 时，x的取值范围；
（3）点 P从点 A出发沿射线 AB移动，点 Q为第三象限双曲线上一点，当点 A，O，P，Q为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点 Q的坐标.
24．如图，在△ABC中， AB=AC，连接 OB、OC， ∠CBP=∠BAC，过点 A作 AD∥OB交 PB于点 D，交⊙O于点 E.
（1）求证： PB是⊙O的切线；
（2）连接 CP，当点 O，点 C，点 P三点共线时，若 CP=3， BP=4，求 BC的长；
（3）连接 BE，在(2)的条件下，求 的值.
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 x轴交于 A (-1， 0) ， B (6， 0)两点，与 y轴交于点C.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点 P 是射线 BC下方抛物线上的一动点，连接 OP与射线 BC交于点 Q，当 取得最大值时，求点 P的坐标；
（3）在(2)中 取得最大值的条件下，将抛物线 沿射线 BC方向平移 个单位长度得到抛物线 y1，点 M为点 P的对应点，点 N为抛物线 y1上的一动点.若 求点 N的坐标.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数是2026，
故选：B．
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，根据相反数的定义求解即可．
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
D、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： ．
故选：C．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
4．【答案】D
【知识点】平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：A、当时，，可能有平方根，不符合题意；
B、当时，的值为，有平方根，不符合题意；
C、恒成立，总有平方根，不符合题意；
D、恒成立，故一定没有平方根，符合题意．
故选：D．
【分析】根据只有非负数有平方根解答即可.
5．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上往下看这个几何体，可得到俯视图是，一个大矩形的左侧有一个小矩形，故选项A正确．
【分析】根据俯视图是从上往下看得到的几何图形解答即可．
6．【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】设共有人，列方程得，
故选A．
【分析】设 有 x人 ，根据“ 每人出 8元，则多 3元；如果每人出 7元，则少 4元 ”列方程即可．
7．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：
．
故答案为：B.
【分析】根据完全平方公式可得，再根据新定义运算法则解答即可．
8．【答案】C
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：设该工厂每天生产“喜洋洋”的个数是，则每天生产“乐融融”的个数是
由题意得，
解得
经检验是原方程的解，符合题意
∴该工厂每天生产“喜洋洋”的个数是．
故答案为：C.
【分析】设该工厂每天生产“喜洋洋”的个数是，根据“某玩具厂承担 6000个“喜洋洋”和 4000个“乐融融”的生产任务， 总共用了 10天 ”列分式方程，求出x的值解答即可．
9．【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A'B'C是以点为位似中心的位似图形，点A(1，1)的对应点为A'(3，3)，
∴△ABC~△A'B'C'，且相似比为1：3，
∵BC=1.
∴B'C'=3.
故答案为：C.
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC~△A'B'C'，且相似比为1：3，进而求出B'C'的长.
10．【答案】D
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：第1行到第10行共有：个数，即第10行最后一个数为，
∴第11行从开始，则此行第4个数为；
故选：D．
【分析】找到数的排列规律：每行的最后一个数为，然后计算第十行的最后一个数，再推算出 第 11行从左至右第 4个数解答即可 ．
11．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；切线的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：连接，作于，如下图，
∵，
∴，
∵将沿翻折，点D的对应点恰好落在上，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，，
则，，
在中，可得，
∴，解得，
∴，则，
∴．
故选：C．
【分析】连接，作于，根据三线合一、折叠的性质可得，再根据切线的性质推理得到，利用AAS得到，即可得到；设，，即可得到，，在中根据勾股定理可求得，然后计算的值．
12．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；定角定弦辅助圆模型；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图所示，过点作圆，圆心为，交于点
连接，
∵，
∴为直径，
∴点共线，
此时，，
∴，
∴的半径为2，
过点作于点，连接，连接交于点，
此时，的值最小，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，
即线段的最小值为．
故答案为：D.
【分析】过点作圆，交于点，连接，根据圆周角定理的推论得到∠AD2C=90°，然后根据角的直角三角形的性质求出半径长，过点作于点，连接，连接交于点，得出此时的值最小，然后根据垂径定理和勾股定理计算即可．
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】先提取各项的公因式2a，再运用平方差公式继续分解到每一个因式都不能再分解为止.
14．【答案】97
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，
正六边形内角和为：，
，
，
，
，
，
，
故答案为：97．
【分析】先求出正六边形的每个内角的度数为120°，然后根据角的和差求出∠3的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补解答即可．
15．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵已知a、b是方程x2+2x-3＝0的两根，
∴根据根与系数的关系可知：a+b=-2，ab=-3，
∴，
故答案为： .
【分析】根据根与系数的关系求得a+b=-2，ab=-3，再代入求值即可.
16．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意，画出树状图，如下：
∴一共有8种等可能结果，其中所得结果的积为1的有4种，
∴所得结果的积为1的概率是．
故答案为：.
【分析】画树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，再由概率公式计算解答．
17．【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】
解：由题意，作于，于，
．
，
．
．
，
．
．
，
．
．
．
，
四边形是矩形．
．
在中，
，
．
故答案为：．
【分析】作于，于，则，然后求出，故，证明四边形是矩形，即可得哦大，再在中，根据计算解答．
18．【答案】
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：由题意可得，≌，
，
，
，
、是等腰直角三角形，
；
连接、，
≌，
，
连接，
，，
≌，
，
，
又，，
≌，，
连接、，
，，
≌，，
设，
，，
，
，
，
，
，
，
得，
，
解得（舍），，
，，，
又∵BC∥AD，
∽，
，
，
故答案是．
【分析】根据旋转的性质和等腰三角形的性质得到，连接、，根据SAS得到≌，即可得到，然后推理得到≌，即可得到，然后证明≌，得到；设正方形的边长为，然后根据勾股列方程求出正方形的边长，再根据平行线得到∽，根据对应边成比例解答即可．
19．【答案】（1）解：
；

（2）解：
，
∵，
∴原式．

【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）先计算立方根，负整数指数幂和绝对值，代入特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后合并同类二次根式即可；
（2）先把小括号内的分式通分，再把除法化成乘法，分解因式后约分化简，然后计算出x的值，并代入计算即可．
20．【答案】（1）93；87.5；30
（2）解：八年级学生的知识竞赛成绩更好，
理由：两个年级的平均数相同，八年级的中位数高于九年级，方差小于九年级．
（3）解：根据数据，八年级学生知识竞赛成绩达到优秀占，
又八年级有800名，所以知识竞赛成绩达到优秀有（人）；
九年级学生知识竞赛成绩达到优秀占，
又九年级有700名，所以知识竞赛成绩达到优秀有（人）；
（人）．
答：估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有755人．
【知识点】扇形统计图；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：根据数据，八年级20名学生的竞赛成绩中，93出现次数最多，
所以众数，
由题知，九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据有6个，
所以占，则，
根据扇形图可知，竞赛成绩在C、D占，共名学生，
又20名学生竞赛成绩的中位数为从小到大排列第10、11位的平均值，
所以中位数，
故答案为：93；87.5；30．
【分析】（1）根据B组人数除以考查人数乘以100%求出m的值，根据众数、中位数的定义求出a，b的值解答即可；
（2）比较八、九年级的平均数、中位数、方差，得到结论即可；
（3）全校八、九年级人数分别乘以对应年级样本中优秀人数占比，求和解答．
21．【答案】（1）证明：∵CD=AB，CD∥AB，
∴四边形 ABCD是平行四边形，
∵∠ABC=90°， AB=BC，
∴平行四边形 ABCD是正方形
（2）∵，
∴
∴
又∵
∴
∴，
又∵，
∴
∴
∴
∴
∴
∴.
【知识点】正方形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据一组对边平行且相等判定四边形为平行四边形，再根据有一组邻边相等和有一个内角是得到正方形解答即可；
（2）利用AAS得到，得到AG=BP=AP，即可得到结论.
22．【答案】（1）解：设“晨光”型汽车进货单价为x万元，“清风”型汽车的进货单价为y万元．
由题意得：，解得：．
答：“晨光”型汽车的进货单价为25万元，“清风”型汽车的进货单价为20万元．
（2）解：设购进“晨光”型汽车辆，则购进“清风”型汽车辆，
；
由题意可得，
，
∴W随a的增大而减小，
∴当，W取最大值，最大值，此时，．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设“晨光”型汽车进货单价为x万元，“清风”型汽车的进货单价为y万元．根据“4辆“晨光”型汽车与 3辆“清风”型汽车的进货总成本为 160万元；3辆“清风”型汽车的进价比 4辆“晨光”型汽车少 40万元”列二元一次方程组，求出x和y的值解答即可；
（2）设购进“晨光”型汽车辆，根据题意得出w关于a的函数解析式；根据自变量a的取值范围，利用一次函数的增减性得到最大值解答即可．
23．【答案】（1）解：∵点，．
∴，
∴，即，
∵反比例函数过，
∴
解得，
∴反比例函数解析式为，
∵一次函数过和，
∴，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：或 x>1
（3）解：点 Q的坐标为 或
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；平行四边形的性质；解直角三角形—边角关系；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】（2）解：由题意，联立解析式得
解得，，
当时，，
∴点B为，
由图可得，当时，反比例函数图象在一次函数下方，满足；
当时，反比例函数图象在一次函数下方，满足．
∴x的取值范围为或；
故答案为：或；
（3）解：∵点P在射线上，点Q为第三象限双曲线上一点，
∴设，，
∵当点A，O，P，Q为顶点的四边形为平行四边形时，
∴当与为平行四边形的对角线时，
∴
解得，
解得或（舍去，不符合第三象限）；
∴此时Q的坐标为；
当与为平行四边形的对角线，
∴
解得，
解得或（舍去，不符合第三象限）；
∴此时Q的坐标为：，
综上所述，点Q的坐标为或．
故答案为：或．
【分析】（1）先根据正切的定义求出点A的坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）联两解析式，消去y求得、，再结合函数图象，得到反比例函数图象在一次函数下方时自变量的取值范围解答即可；
（3）设、，分两种情况：与为对角线和与为对角线，根据平行四边形的性质，利用中点坐标公式列方程解答即可．
24．【答案】（1）证明：如图，连接 OA，
∴OA=OB=OC，
∴∠OAC=∠OCA， ∠OAB=∠OBA，
在△ABO与△ACO中，
∴△ABO≌△ACO (SSS) ，
∴∠OAB=∠OAC，
∴∠OAB=∠OBA=∠OAC=∠OCA，
假设∠OAB=∠OBA=∠OAC=∠OCA=α，
则∠CBP=∠BAC=2α，
∴∠BOC=4α，
∴∠OBP=∠OBC+∠CBP=90°-2α+2α=90°，即 OB⊥BP，
∴PB 是⊙O 的切线
（2）解：如图，延长交于点，连接，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
解得，
∴，
∴令，
∵为的直径，
∴，
∴由勾股定理得，
解得，
∴；
（3）解：如图所示，连接并延长，交于点，交于点，连接，
∵，
∴垂直平分线段，
∴，，，
由勾股定理得，
∴，
∴由勾股定理得，
，
∵，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．

【知识点】三角形全等的判定；切线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，根据SSS得到，即可得到，利用三角形的内角和定理求出∠OBC的度数，利用角的和差得到∠OBP=90°证明结论即可；
（2） 延长交于点，连接， 根据两角相等得到，根据对应边成比例求出PF长，令，根据勾股定理求出FC=5x=，求出x的值解答即可；
（3）连接并延长，交于点，交于点，连接，即可得到垂直平分，进而得到BH=CH，然后根据勾股定理求出OG、AB、BH的长，然后推理得到和，即可求出AD，DE的长，根据线段的和差求出AE的长，求出比值解答即可．
25．【答案】（1）解：将，代入，得，
解得，
故抛物线的表达式为；
（2）解：令抛物线解析式中，得，
∴点的坐标为，
设直线的表达式为，
将，代入得，解得，
∴直线的表达式为，
设点的坐标为，
过点作轴交于点，则点的坐标为，
∴，
∵轴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值，
此时，故点的坐标为；
（3）解：∵，，
∴，
∴为等腰直角三角形，，
将抛物线沿射线方向平移个单位长度，即向左平移2个单位长度，向下平移2个单位长度得到抛物线，
∴，
过点作轴于点，过点作轴于点，连接，
∵，
∴，由平移性质知，
∴，
∴，
∵，
∴，
设点的坐标为，则，
在中，，，
∴，
在中，，，
∴，由得，
①当点在轴下方时，，则，
解得或(，舍去)；
②当点在轴上方时，，则，
解得或(，舍去)．
综上，点的坐标为或．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；解直角三角形—边角关系；二次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式即可；
（2）先求抛物线与轴交点的坐标，再用待定系数法得到直线的解析式，设点P的坐标为，过点作轴交于点，则的坐标为，根据两角对应相等得到，根据对应边成比例得到关于x的二次函数，利用二次函数的顶点式求出点的坐标；
（3）先得出为等腰直角三角形，根据平移规律得到平移后的抛物线的解析式，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，即可得到，利用正切的定义得到，分点在轴上方、下方两种情况去绝对值，解关于a的方程求出点N的坐标即可．
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