资源简介

浙江省宁波市2026年九年级学业水平监测数学卷
1．实数-2026的倒数是（　　）
A．2026 B．- 2026 C． D．
2．根据中国汽车工业协会的官方数据，2025年全国新能源汽车销量约为16490000辆，其中数16490000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．如图所示的蒙古包可以看作是由一个圆锥和一个圆柱组成，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．把不等式组 中每个不等式的解集在同一数轴上表示出来，正确的为（　　）
A． B．
C． D．
5．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．在广播体操比赛活动中，学校对参赛班级进行了“动作规范、节奏统一、精神面貌、队形编排”四个方面的测评。若本次评比对“动作规范”要求最高，“节奏统一”与“精神面貌”次之，则根据这个要求，“动作规范、节奏统一、精神面貌、队形编排”四个方面比较合适的权重设计是（　　）
A．5：3：3：2 B．2：4：3：1 C．1：3：3：5 D．6：2：3：3
7．已知直线m//n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC=30°)，其中A， B两点分别落在直线m， n上。若∠1=40°，则∠2的度数为（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
8．在平面直角坐标系中，若点 P （-1，2)先向右平移再向下平移，则点P可能移动到下列哪个点的位置（　　）
A．（-4， 1) B．（-4， 3)
C．（4， 3) D．（4， 1)
9．已知点A （m， y1) ， B （m-2， y2)是反比例函数 图象上两点，若y1>y2，则m的取值范围为（　　）
A．m>2 B．m<0 C．02
10．如图，在边长为2的菱形ABCD中，对角线交于点O， BE⊥AD于点E， F为CD上一点， ∠CFO=∠BAD<90°，延长FO交AB于点G，记AG=x， AE=y，当∠BAD的大小发生变化时，则下列代数式的值不变的是（　　）
A．xy B．x+y
C．x-y D．
11．分解因式： 　 　
12．一个不透明的袋子里装有3个红球和5个白球，它们除颜色外其余都相同。从袋中任意摸出一个球是红球的概率为　 　。
13．如图，扇形 AOB 是某 wifi标志的外轮廓图，已知扇形半径 OA=6cm， ∠AOB=60°，则扇形的弧长为　 　cm。（结果保留π)
14．已知a+2b=4，则 的值为　 　。
15．如图，在矩形纸片ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，将该纸片沿EF折叠，点A， B的对应点分别为G， H， FH的延长线过点D。若AB=3， BC=6， AE=1，则BF 的长为　 　。
16．如图，矩形ABCD 内接于⊙O，连结AC， E是 上一点，连结EB， ED， EB与AD交于点F。若BF=EF， ∠BAC=2∠ABE，则 的值为　 　。
17．计算：
18．解方程：
19．在4×4的方格纸中，点A，B，C都在格点上，请按下列要求作图。
（1）在图1中画出格点D，使△ABD为等腰三角形（画一个点D 即可)。
（2）在图2中画出格点E，使CE∥AB。
20．为营造书香校园，了解同学们的课外阅读习惯，某校文学社随机抽取300名同学进行问卷调查，所有问卷全部收回且有效。调查问卷如下：
亲爱的同学：
你好！为优化校园阅读环境，诚邀你参与本次匿名调查 （均为单选)：
1.你每天的课外阅读时长是 （　　)A.30分钟以内 B. 30分钟~1小时 C. 1小时~2小时 D.2小时及以上
2.你通常进行课外阅读的时间段是 （　　)A.早读前 B.午休时段 C.放学后 D.其他时间
（注：问题1中的阅读时长含前一个边界值，不含后一个边界值。)
调查结果绘制成了如下不完整的扇形统计图以及阅读时长为“1小时~2小时”的同学在各阅读时间段的人数的条形统计图。
（1）扇形统计图中 “30分钟以内”所在扇形的圆心角度数为　 　度。
（2）本次调查的同学中，每天阅读时长为“1小时~2小时”的同学有多少人 并补全条形统计图。
（3）若该校共有1500名学生，请估计每天课外阅读时长在 1 小时及以上的学生人数。
21．如图，在Rt△ABC中， ∠ABC=90°， CD平分∠ACB交AB于点D， 点E在边AC上，以CE为直径的⊙O恰好过点D。
（1） 求证： AB与⊙O相切。
（2） 当AE=EO=2时， 求CD的长。
22． 2026宁波半程马拉松的赛程全长为21千米。小聪和小明两名选手同时从起点出发，小聪在整个比赛过程中保持匀速跑步，小明跑了 60分钟后到达食品补给站，在补给站中休息10分钟后继续以原速跑到终点。小聪和小明离出发点的路程y（km)与出发时间x（min)之间的函数关系如图1所示，两人相距的路程S（km)与出发时间x（min)之间的函数关系如图2所示。
（1）求小明跑步的速度（单位：千米/分)。
（2）求图中a的值。
（3）两人出发多少分钟后，他们相距的路程最大，并求出该最大值。
23．已知二次函数 （a为常数)的图象过点（1， 0)。
（1）求该二次函数的表达式和顶点坐标。
（2）已知P（x1， y1)， Q （x2， y2)为二次函数图象上两点，其中
①当m=2且y1+y2=3时，求点P 的坐标。
②若y2与y1的差的最大值为9，求m的值。
24．如图1，在△ABC中， ∠ACB为锐角， 点D在边AB上， ∠DCB=∠B， AC的垂直平分线l与CD交于点E，连结AE。
（1）当∠BAC=90°时，求BC的长。
（2）①当BC长度发生变化时，△ADE的周长是否发生变化 若发生变化，请说明理由；若不变，请求出△ADE的周长。
②当AE⊥BC时，求AE的长。
（3）如图2， l与BC交于点F， AF与CD交于点 G，当FG=FB时，求tan∠BAE的值。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：，
实数的倒数是．
故答案为：D.
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数解答即可.
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：解： 用科学记数法表示为，
故答案为：A.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
3．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：根据题意，得主视图为
故答案为：B.
【分析】根据从正面看到的几何图形是主视图解答即可.
4．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：第一个不等式的解集为，
第二个不等式的解集为，
数轴表示为：
，
故答案为：B.
【分析】先分别求出两个不等式的解集，然后在同一数轴上表示出来解答即可.
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：， A运算错误．
， B运算错误．
， C运算正确．
， D运算错误．
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂乘除法、幂的乘方、积的乘方法则计逐项判断解答即可．
6．【答案】A
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：∵本次评比对“动作规范”要求最高，“节奏统一”与“精神面貌”次之，
∴“动作规范”权重最高，“节奏统一”与“精神面貌”次之，“队形编排”权重最低，
观察各选项，只有选项A，，满足权重要求，符合题意．
故答案为：A.
【分析】根据“权重大小对应测评项目的重要程度，重要性越高，权重越大”解答即可.
7．【答案】B
【知识点】平行线的应用-三角尺问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴
∵，，
∴，
∴．
故答案为：B.
【分析】根据两直线平行，内错角相等求出，然后根据角的和差解答即可．
8．【答案】D
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：解：设平移后点的坐标为，由平移方向可知平移后点的横坐标满足，纵坐标满足．
A选项，横坐标，故A选项不符合题意；
B选项，横坐标，故B选项不符合题意；
C选项，纵坐标，故C选项不符合题意；
D选项，横坐标，纵坐标，故D选项符合题意．
故答案为：D.
【分析】设平移后点的坐标为，根据点的平移可得，，然后逐项判断解答即可.
9．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵点，在反比例函数的图象上，
∴，，且，，
∵，
∴，
移项通分得 ，即
∴，
解得．
故答案为：C.
【分析】先根据点在反比例函数图象上表示出，再根据得到，求出m的取值范围即可．
10．【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过作于，过作于，
∵边长为2的菱形，
∴，，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，
∵，
∴，
整理得，
即当的大小发生变化时，代数式的值不变的是．
故答案为：C.
【分析】过作于，过作于，即可得到四边形是矩形，进而可得，，然后根据AAS得到，即可得到，然后得到，进而可得，推理得到，可得，根据，，即可得到，进而可得，整理解答即可．
11．【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】 = ．
故答案为： ．
【分析】本题考查了用平方差公式法进行因式分解的能力，应用公式的前提是准确认清公式的结构.
12．【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：从袋中任意摸出一个球有8种等可能结果，其中摸出的小球是红球的有3种结果，
所以从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，
故答案为：．
【分析】根据概率公式计算即可.
13．【答案】2π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据题意，扇形的弧长为．
故答案为：2π.
【分析】根据弧长公式计算即可．
14．【答案】3
【知识点】求二次根式的值
【解析】【解答】解： ，
，
故答案为：．
【分析】先整理为，然后整体代入计算即可．
15．【答案】2
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：∵矩形，，，
∴，，
该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，且，
∴，，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2.
【分析】根据矩形的性质和折叠的性质可得，，然后根据两直线平行得到，即可得到，求出DF=5，再根据勾股定理求出，根据线段的和差解答即可.
16．【答案】
【知识点】矩形的性质；垂径定理；圆周角定理；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，连接交于点G，连接、，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵在矩形中，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
设，则，，
∵矩形内接于，
∴、交于点O，且为直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】连接交于点G，连接、，根据三线合一得到，根据圆周角定理可得，即可得到，利用内错角相等得到，即可得到得，根据垂径定理可得，利用AAS得到，即可得到，，设，根据两角对应相等得到，利用对应边成比例求出，解答即可．
17．【答案】解：原式
【知识点】二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算绝对值，乘方，代入特殊角的三角函数值，然后合并同类项解答即可.
18．【答案】解：方程两边同乘 (x-3)， 得1+x-3=-2，
解得x=0，
经检验：x=0是原方程的解。
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】方程两边同时乘以(x-3)化为整式方程，然后解整式方程求出x的值，并检验解题即可.
19．【答案】（1）解：如图
（2）解：如图
【知识点】作图-平行线；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的判定作图即可．
（2）根据网格特征，利用平移作图即可．
20．【答案】（1）36
（2）解：300×(1-15%-10%-45%) =90 (人)
补全图形如下：
（3）解：1500×(1-10%-45%) =675 (人)
答：该校每天课外阅读时长在1小时及以上的学生人数为675人。
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解： ．
故答案为：36.
【分析】（1）用360度乘以阅读时长为“30分钟以内”的占比计算即可；
（2）先用300乘以阅读时长为“1小时~2小时”的占比求出人数，补全条形统计图即可；
（3）用1500× 样本中阅读时长在1小时及以上的占比解答即可 .
21．【答案】（1）证明：如图，连结OD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠OCD，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠ODC=∠BCD，
∴OD∥BC，
∵∠ABC=∠ADO=90°，
∴OD⊥AB，
∴AB 与⊙O 相切。
（2）解：∵AE=EO=OD=2，
∴AO=2OD=4，
∵OD⊥AD，
∵∠AOD=2∠OCD，
∴∠A=∠OCD=30°，
【知识点】等腰三角形的判定；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）连接，根据角平分线的定义和等边对等角得到∠ODC=∠BCD，根据内错角相等，两直线平行的到，即可得到∠ADO=90°证明结论；
（2）根据角的正弦求出∠A=30°，然后根据圆周角定理得到∠A=∠OCD=30°，根据等角对等边解答即可.
22．【答案】（1）解：小明跑步的速度为千米/分．
（2）解：小明跑了60分钟，路程为15千米，根据图2，得此时二人相距5千米，
故此时小聪跑的路程为（千米），
故图象经过点，
设对应的函数表达式，
由题意得图象过点，
，
解得．
对应的函数表达式．
令，
解得．
的值为126．
（3）解：当时，根据题意，得，
且s随x的增大而增大，
故时，s取得最大值，且最大值为（千米）；
当时，根据题意，得小明此时休息，路程保持15千米，小聪跑的路程表达式为，
故，
且s随x的增大而减小，
故时，s取得最大值，且最大值为（千米）；
此时取不到60，故最大值小于5千米即；
小明跑完最后所需的时间为．
当时，根据题意，得小明跑的路程表达式为，
小聪跑的路程表达式为，
故，
且s随x的增大而增大，
故时，s取得最大值，且最大值为（千米）；
当时，根据题意，得小明跑到了终点，路程为21千米，不变；
小聪跑的路程表达式为，
故，
且s随x的增大而减小，
故时，s取得最大值，且最大值为（千米）；
此时取不到94，故最大值小于千米即；
，
当时，他们之间相距最远，且为千米．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】
（1）根据速度=路程÷时间计算即可；
（2）先得到直线OD上的点的坐标为，利用待定系数法求出OD的解析式，代入y=21，求出x的值解答即可；
（3）根据题意，分，， ， ，列s关于x的函数关系式，根据郑建兴求出各段的最大值，然后比较解答即可.
23．【答案】（1）解：∵二次函数 的图象过点(1， 0)，
∴0=a-4a+3，
解得a=1，
∴该二次函数的表达式为
∴图象的顶点坐标为(2， -1)。
（2）解：①∵m=2，
当 时， - 1≤y1≤0，
当x1=1时， y1取到最大值0，
当 时，
当x2=4时， y2取到最大值3，
又·
∴y1与y2同时取到最大值。
∴点P 坐标为 (1， 0)。
②情况一： 当1≤m≤2时，
∵1≤x1≤m≤2，
当x=m时，y1取到最小值为
当x=2m时，y2取到最大值为
又∵y2-y1的最大值为9，
∴该情况不成立。
情况二：当m>2时，
∴当x1=2时，y1取到最小值为-1。
时，y2取到最大值为
的最大值为9。
解得 (舍)或
综上所述：
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；利用一般式求二次函数解析式；分类讨论
【解析】【分析】（1）把(1，0)代入解析式求出a的值，即可得到解析式，并配方得到顶点式，即可得到顶点坐标；
（2）①当时，求出y1，y2的取值范围，得到，根据题意得到y1与y2同时取到最大值，即可得到点P的坐标即可．
②当时，根据函数的增减性得到y1的最小值和y2的最大值，得到不符合题意；当m>2时，同理得到y1的最小值和y2的最大值，根据题意列方程求出m的值解答即可．
24．【答案】（1）解：
∵AB=20，
∴AC=15，
∴BC=25。
（2）解：①△ADE的周长不发生变化。理由如下：
∵l垂直平分AC，
∴EA=EC，
∵∠DCB=∠B，
∴DC=DB，
∵AE+ED+DA=EC+ED+DA
=DC+DA
=DB+DA
=AB=20
∴△ADE的周长为20。
②如图，作DH⊥AE，
∵AE⊥BC，
∴DH∥BC，
∴∠ADH=∠B， ∠EDH=∠DCB，
∴设AH=EH=3x， DH=4x，
∴AD=DE=5x，
∵△ADE的周长为20，
∴5x+5x+6x=20，
解得：
（3）解：如图，延长AE与 BC交于点 M，作 MN⊥AB，
∵ l垂直平分AC，
∴EA=EC， FA=FC，
∴∠EAC=∠ECA， ∠FAC=∠FCA，
∴∠FCG=∠FCA-∠ECA=∠FAC-∠EAC=∠FAM。
∵∠CFG=∠AFM， FA=FC，
∴△FAM≌△FCG，
∴FG=FM，
∵FG=FB，
∴设FM=FB=5y，
∵∠FAM=∠FCG=∠B， ∠AMF=∠BMA，
∴△AMF∽△BMA，
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据正切的定义得到；然后根据勾股定理求出BC长即可．
（2）①根据垂直平分线的性质得到，利用等角对等边可得．即可得到的周长AB长解答；
②作，即可得到，进而可得，，根据正切的定义设，，根据勾股定理得到，即可求出，解答即可．
（3）延长交于，作．根据垂直平分线性质可得、，然后根据ASA得到，即可得到FG=FM，设FM=FB=5y，然后根据两角对应相等得到，利用对应边成比例求出MA的长，进而求出AN长，求出∠BAE的正切值即可．
1 / 1浙江省宁波市2026年九年级学业水平监测数学卷
1．实数-2026的倒数是（　　）
A．2026 B．- 2026 C． D．
【答案】D
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：，
实数的倒数是．
故答案为：D.
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数解答即可.
2．根据中国汽车工业协会的官方数据，2025年全国新能源汽车销量约为16490000辆，其中数16490000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：解： 用科学记数法表示为，
故答案为：A.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
3．如图所示的蒙古包可以看作是由一个圆锥和一个圆柱组成，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：根据题意，得主视图为
故答案为：B.
【分析】根据从正面看到的几何图形是主视图解答即可.
4．把不等式组 中每个不等式的解集在同一数轴上表示出来，正确的为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：第一个不等式的解集为，
第二个不等式的解集为，
数轴表示为：
，
故答案为：B.
【分析】先分别求出两个不等式的解集，然后在同一数轴上表示出来解答即可.
5．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：， A运算错误．
， B运算错误．
， C运算正确．
， D运算错误．
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂乘除法、幂的乘方、积的乘方法则计逐项判断解答即可．
6．在广播体操比赛活动中，学校对参赛班级进行了“动作规范、节奏统一、精神面貌、队形编排”四个方面的测评。若本次评比对“动作规范”要求最高，“节奏统一”与“精神面貌”次之，则根据这个要求，“动作规范、节奏统一、精神面貌、队形编排”四个方面比较合适的权重设计是（　　）
A．5：3：3：2 B．2：4：3：1 C．1：3：3：5 D．6：2：3：3
【答案】A
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：∵本次评比对“动作规范”要求最高，“节奏统一”与“精神面貌”次之，
∴“动作规范”权重最高，“节奏统一”与“精神面貌”次之，“队形编排”权重最低，
观察各选项，只有选项A，，满足权重要求，符合题意．
故答案为：A.
【分析】根据“权重大小对应测评项目的重要程度，重要性越高，权重越大”解答即可.
7．已知直线m//n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC=30°)，其中A， B两点分别落在直线m， n上。若∠1=40°，则∠2的度数为（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】B
【知识点】平行线的应用-三角尺问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴
∵，，
∴，
∴．
故答案为：B.
【分析】根据两直线平行，内错角相等求出，然后根据角的和差解答即可．
8．在平面直角坐标系中，若点 P （-1，2)先向右平移再向下平移，则点P可能移动到下列哪个点的位置（　　）
A．（-4， 1) B．（-4， 3)
C．（4， 3) D．（4， 1)
【答案】D
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：解：设平移后点的坐标为，由平移方向可知平移后点的横坐标满足，纵坐标满足．
A选项，横坐标，故A选项不符合题意；
B选项，横坐标，故B选项不符合题意；
C选项，纵坐标，故C选项不符合题意；
D选项，横坐标，纵坐标，故D选项符合题意．
故答案为：D.
【分析】设平移后点的坐标为，根据点的平移可得，，然后逐项判断解答即可.
9．已知点A （m， y1) ， B （m-2， y2)是反比例函数 图象上两点，若y1>y2，则m的取值范围为（　　）
A．m>2 B．m<0 C．02
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵点，在反比例函数的图象上，
∴，，且，，
∵，
∴，
移项通分得 ，即
∴，
解得．
故答案为：C.
【分析】先根据点在反比例函数图象上表示出，再根据得到，求出m的取值范围即可．
10．如图，在边长为2的菱形ABCD中，对角线交于点O， BE⊥AD于点E， F为CD上一点， ∠CFO=∠BAD<90°，延长FO交AB于点G，记AG=x， AE=y，当∠BAD的大小发生变化时，则下列代数式的值不变的是（　　）
A．xy B．x+y
C．x-y D．
【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过作于，过作于，
∵边长为2的菱形，
∴，，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，
∵，
∴，
整理得，
即当的大小发生变化时，代数式的值不变的是．
故答案为：C.
【分析】过作于，过作于，即可得到四边形是矩形，进而可得，，然后根据AAS得到，即可得到，然后得到，进而可得，推理得到，可得，根据，，即可得到，进而可得，整理解答即可．
11．分解因式： 　 　
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】 = ．
故答案为： ．
【分析】本题考查了用平方差公式法进行因式分解的能力，应用公式的前提是准确认清公式的结构.
12．一个不透明的袋子里装有3个红球和5个白球，它们除颜色外其余都相同。从袋中任意摸出一个球是红球的概率为　 　。
【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：从袋中任意摸出一个球有8种等可能结果，其中摸出的小球是红球的有3种结果，
所以从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，
故答案为：．
【分析】根据概率公式计算即可.
13．如图，扇形 AOB 是某 wifi标志的外轮廓图，已知扇形半径 OA=6cm， ∠AOB=60°，则扇形的弧长为　 　cm。（结果保留π)
【答案】2π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据题意，扇形的弧长为．
故答案为：2π.
【分析】根据弧长公式计算即可．
14．已知a+2b=4，则 的值为　 　。
【答案】3
【知识点】求二次根式的值
【解析】【解答】解： ，
，
故答案为：．
【分析】先整理为，然后整体代入计算即可．
15．如图，在矩形纸片ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，将该纸片沿EF折叠，点A， B的对应点分别为G， H， FH的延长线过点D。若AB=3， BC=6， AE=1，则BF 的长为　 　。
【答案】2
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：∵矩形，，，
∴，，
该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，且，
∴，，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2.
【分析】根据矩形的性质和折叠的性质可得，，然后根据两直线平行得到，即可得到，求出DF=5，再根据勾股定理求出，根据线段的和差解答即可.
16．如图，矩形ABCD 内接于⊙O，连结AC， E是 上一点，连结EB， ED， EB与AD交于点F。若BF=EF， ∠BAC=2∠ABE，则 的值为　 　。
【答案】
【知识点】矩形的性质；垂径定理；圆周角定理；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，连接交于点G，连接、，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵在矩形中，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
设，则，，
∵矩形内接于，
∴、交于点O，且为直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】连接交于点G，连接、，根据三线合一得到，根据圆周角定理可得，即可得到，利用内错角相等得到，即可得到得，根据垂径定理可得，利用AAS得到，即可得到，，设，根据两角对应相等得到，利用对应边成比例求出，解答即可．
17．计算：
【答案】解：原式
【知识点】二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算绝对值，乘方，代入特殊角的三角函数值，然后合并同类项解答即可.
18．解方程：
【答案】解：方程两边同乘 (x-3)， 得1+x-3=-2，
解得x=0，
经检验：x=0是原方程的解。
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】方程两边同时乘以(x-3)化为整式方程，然后解整式方程求出x的值，并检验解题即可.
19．在4×4的方格纸中，点A，B，C都在格点上，请按下列要求作图。
（1）在图1中画出格点D，使△ABD为等腰三角形（画一个点D 即可)。
（2）在图2中画出格点E，使CE∥AB。
【答案】（1）解：如图
（2）解：如图
【知识点】作图-平行线；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的判定作图即可．
（2）根据网格特征，利用平移作图即可．
20．为营造书香校园，了解同学们的课外阅读习惯，某校文学社随机抽取300名同学进行问卷调查，所有问卷全部收回且有效。调查问卷如下：
亲爱的同学：
你好！为优化校园阅读环境，诚邀你参与本次匿名调查 （均为单选)：
1.你每天的课外阅读时长是 （　　)A.30分钟以内 B. 30分钟~1小时 C. 1小时~2小时 D.2小时及以上
2.你通常进行课外阅读的时间段是 （　　)A.早读前 B.午休时段 C.放学后 D.其他时间
（注：问题1中的阅读时长含前一个边界值，不含后一个边界值。)
调查结果绘制成了如下不完整的扇形统计图以及阅读时长为“1小时~2小时”的同学在各阅读时间段的人数的条形统计图。
（1）扇形统计图中 “30分钟以内”所在扇形的圆心角度数为　 　度。
（2）本次调查的同学中，每天阅读时长为“1小时~2小时”的同学有多少人 并补全条形统计图。
（3）若该校共有1500名学生，请估计每天课外阅读时长在 1 小时及以上的学生人数。
【答案】（1）36
（2）解：300×(1-15%-10%-45%) =90 (人)
补全图形如下：
（3）解：1500×(1-10%-45%) =675 (人)
答：该校每天课外阅读时长在1小时及以上的学生人数为675人。
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解： ．
故答案为：36.
【分析】（1）用360度乘以阅读时长为“30分钟以内”的占比计算即可；
（2）先用300乘以阅读时长为“1小时~2小时”的占比求出人数，补全条形统计图即可；
（3）用1500× 样本中阅读时长在1小时及以上的占比解答即可 .
21．如图，在Rt△ABC中， ∠ABC=90°， CD平分∠ACB交AB于点D， 点E在边AC上，以CE为直径的⊙O恰好过点D。
（1） 求证： AB与⊙O相切。
（2） 当AE=EO=2时， 求CD的长。
【答案】（1）证明：如图，连结OD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠OCD，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠ODC=∠BCD，
∴OD∥BC，
∵∠ABC=∠ADO=90°，
∴OD⊥AB，
∴AB 与⊙O 相切。
（2）解：∵AE=EO=OD=2，
∴AO=2OD=4，
∵OD⊥AD，
∵∠AOD=2∠OCD，
∴∠A=∠OCD=30°，
【知识点】等腰三角形的判定；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）连接，根据角平分线的定义和等边对等角得到∠ODC=∠BCD，根据内错角相等，两直线平行的到，即可得到∠ADO=90°证明结论；
（2）根据角的正弦求出∠A=30°，然后根据圆周角定理得到∠A=∠OCD=30°，根据等角对等边解答即可.
22． 2026宁波半程马拉松的赛程全长为21千米。小聪和小明两名选手同时从起点出发，小聪在整个比赛过程中保持匀速跑步，小明跑了 60分钟后到达食品补给站，在补给站中休息10分钟后继续以原速跑到终点。小聪和小明离出发点的路程y（km)与出发时间x（min)之间的函数关系如图1所示，两人相距的路程S（km)与出发时间x（min)之间的函数关系如图2所示。
（1）求小明跑步的速度（单位：千米/分)。
（2）求图中a的值。
（3）两人出发多少分钟后，他们相距的路程最大，并求出该最大值。
【答案】（1）解：小明跑步的速度为千米/分．
（2）解：小明跑了60分钟，路程为15千米，根据图2，得此时二人相距5千米，
故此时小聪跑的路程为（千米），
故图象经过点，
设对应的函数表达式，
由题意得图象过点，
，
解得．
对应的函数表达式．
令，
解得．
的值为126．
（3）解：当时，根据题意，得，
且s随x的增大而增大，
故时，s取得最大值，且最大值为（千米）；
当时，根据题意，得小明此时休息，路程保持15千米，小聪跑的路程表达式为，
故，
且s随x的增大而减小，
故时，s取得最大值，且最大值为（千米）；
此时取不到60，故最大值小于5千米即；
小明跑完最后所需的时间为．
当时，根据题意，得小明跑的路程表达式为，
小聪跑的路程表达式为，
故，
且s随x的增大而增大，
故时，s取得最大值，且最大值为（千米）；
当时，根据题意，得小明跑到了终点，路程为21千米，不变；
小聪跑的路程表达式为，
故，
且s随x的增大而减小，
故时，s取得最大值，且最大值为（千米）；
此时取不到94，故最大值小于千米即；
，
当时，他们之间相距最远，且为千米．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】
（1）根据速度=路程÷时间计算即可；
（2）先得到直线OD上的点的坐标为，利用待定系数法求出OD的解析式，代入y=21，求出x的值解答即可；
（3）根据题意，分，， ， ，列s关于x的函数关系式，根据郑建兴求出各段的最大值，然后比较解答即可.
23．已知二次函数 （a为常数)的图象过点（1， 0)。
（1）求该二次函数的表达式和顶点坐标。
（2）已知P（x1， y1)， Q （x2， y2)为二次函数图象上两点，其中
①当m=2且y1+y2=3时，求点P 的坐标。
②若y2与y1的差的最大值为9，求m的值。
【答案】（1）解：∵二次函数 的图象过点(1， 0)，
∴0=a-4a+3，
解得a=1，
∴该二次函数的表达式为
∴图象的顶点坐标为(2， -1)。
（2）解：①∵m=2，
当 时， - 1≤y1≤0，
当x1=1时， y1取到最大值0，
当 时，
当x2=4时， y2取到最大值3，
又·
∴y1与y2同时取到最大值。
∴点P 坐标为 (1， 0)。
②情况一： 当1≤m≤2时，
∵1≤x1≤m≤2，
当x=m时，y1取到最小值为
当x=2m时，y2取到最大值为
又∵y2-y1的最大值为9，
∴该情况不成立。
情况二：当m>2时，
∴当x1=2时，y1取到最小值为-1。
时，y2取到最大值为
的最大值为9。
解得 (舍)或
综上所述：
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；利用一般式求二次函数解析式；分类讨论
【解析】【分析】（1）把(1，0)代入解析式求出a的值，即可得到解析式，并配方得到顶点式，即可得到顶点坐标；
（2）①当时，求出y1，y2的取值范围，得到，根据题意得到y1与y2同时取到最大值，即可得到点P的坐标即可．
②当时，根据函数的增减性得到y1的最小值和y2的最大值，得到不符合题意；当m>2时，同理得到y1的最小值和y2的最大值，根据题意列方程求出m的值解答即可．
24．如图1，在△ABC中， ∠ACB为锐角， 点D在边AB上， ∠DCB=∠B， AC的垂直平分线l与CD交于点E，连结AE。
（1）当∠BAC=90°时，求BC的长。
（2）①当BC长度发生变化时，△ADE的周长是否发生变化 若发生变化，请说明理由；若不变，请求出△ADE的周长。
②当AE⊥BC时，求AE的长。
（3）如图2， l与BC交于点F， AF与CD交于点 G，当FG=FB时，求tan∠BAE的值。
【答案】（1）解：
∵AB=20，
∴AC=15，
∴BC=25。
（2）解：①△ADE的周长不发生变化。理由如下：
∵l垂直平分AC，
∴EA=EC，
∵∠DCB=∠B，
∴DC=DB，
∵AE+ED+DA=EC+ED+DA
=DC+DA
=DB+DA
=AB=20
∴△ADE的周长为20。
②如图，作DH⊥AE，
∵AE⊥BC，
∴DH∥BC，
∴∠ADH=∠B， ∠EDH=∠DCB，
∴设AH=EH=3x， DH=4x，
∴AD=DE=5x，
∵△ADE的周长为20，
∴5x+5x+6x=20，
解得：
（3）解：如图，延长AE与 BC交于点 M，作 MN⊥AB，
∵ l垂直平分AC，
∴EA=EC， FA=FC，
∴∠EAC=∠ECA， ∠FAC=∠FCA，
∴∠FCG=∠FCA-∠ECA=∠FAC-∠EAC=∠FAM。
∵∠CFG=∠AFM， FA=FC，
∴△FAM≌△FCG，
∴FG=FM，
∵FG=FB，
∴设FM=FB=5y，
∵∠FAM=∠FCG=∠B， ∠AMF=∠BMA，
∴△AMF∽△BMA，
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据正切的定义得到；然后根据勾股定理求出BC长即可．
（2）①根据垂直平分线的性质得到，利用等角对等边可得．即可得到的周长AB长解答；
②作，即可得到，进而可得，，根据正切的定义设，，根据勾股定理得到，即可求出，解答即可．
（3）延长交于，作．根据垂直平分线性质可得、，然后根据ASA得到，即可得到FG=FM，设FM=FB=5y，然后根据两角对应相等得到，利用对应边成比例求出MA的长，进而求出AN长，求出∠BAE的正切值即可．
1 / 1

展开更多......

收起↑