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浙江省杭州市萧山区2025-2026学年八年级下学期数学期中试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若二次根式在实数范围内有意义，则m的取值范围是（　　）
A．m>3 B．m≤3 C．m≠3 D．m≥3
2．为响应“绿色低碳，节能降耗”号召，某校举办校园节能知识竞赛.八年级（6）班20名参赛学生的成绩（单位：分）如下：82，85，85，90，85，95，85，90，85，80，85，90，95，85，90，80，85，90，85，90，这组数据的众数是（　　）
A．80 B．85 C．90 D．95
3．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A． B．2（x-1）+x=2
C． D．
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．在初二数学期末综评中，甲乙丙丁的平均成绩均是95分（总分120分），而方差分别是10.39分2，7.25分2，8.72分2，0.48分2，则这四人中成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．把方程转化成（x+a）2=b的形式，则a与b对应的值是（　　）
A．3和10 B．3和8 C．-3和3 D．-3和10
7．若m是方程的一个根，则的值是（　　）
A．2028 B．2027 C．2026 D．2025
8．一元二次方程的实数根的情况是（　　）
A．没有实数解 B．有两个相等的实数解
C．有两个不相等的实数解 D．不确定
9．在某个时期内汽油价格受国际油价影响总体呈上升趋势.某地95号汽油一月初价格是7.8元/升，三月初价格是8.3元/升，设该地95号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程（　　）
A．8.3（1+x）2=7.8 B．
C． D．
10．对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（　　）
A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③
二、填空题：本题共5小题，每空3分，共18分。
11．化简：=　 　 .
12．将方程（1-x）（x+3）=1化成一般形式是　 　.
13．如图，一辆小车沿着坡度为的斜坡向上行驶了50米，则此时该小车离水平面的垂直高度为　 　米.
14．某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙两位候选人进行了面试和笔试，如果公司认为，作为公关人员面试的成绩应该比笔试的成绩更重要，其中甲候选人的面试成绩为86分，笔试成绩为90分，乙候选人的面试成绩为92分，笔试成绩为83分，并分别赋予它们6和4的权.根据两人的平均成绩，公司将录取　 　.
15．若一元二次方程的两个根为x1，x2，则=　 　.
思维拓展：已知实数s，t分别满足19s2+99s+1=0，t2+99t+19=0（st≠0），则=　 　.
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．计算：
（1）；
（2）
17．解下列方程：
（1）；
（2）
18．已知：a= ，b= ，求a2-ab+b2的值．
19．习题课上，数学老师展示嘉嘉解题的错误解答过程：
嘉嘉：解方程，
解：方程两边同时除以（x-5）得，
4=x-5 第一步，
4+5=x 第二步，
x=9 第三步，
（1）嘉嘉的解答过程从第　 　步开始出现错误的；
（2）请给出这道题的正确解答过程.
20．根据以下素材，探索完成“问题解决”中的任务1和任务2.
让学生了解班级粮食浪费现状，体会浪费粮食的危害
背景 为了解落实“光盘行动”的情况，某校同学调研了七、八年级部分班级某一天的餐厨垃圾质量.
素材1 从七、八年级中随机抽取了10 个班的餐厨垃圾质量，数据如下（单位：kg） 七年级0.80.90.80.81.11.72.31.11.91.6八年级1.00.91.31.01.91.00.91.72.31.0
素材2 餐厨垃圾质量用x表示，分四个等级： A：x＜1B：1≤x＜1.5C：1.5＜x＜2D：x≥2
（备注：餐厨垃圾质量越小，说明光盘行动落实越到位）
素材3 七、八年级抽取的班级餐厨垃圾数据分析表 年级平均数中位数众数方差A等级所占百分比七年级a1.1c0.2640%八年级1.3b1.00.22d
问题解决
任务1 数据处理 （1）求出素材3表格中的a，b，c，d的值；
任务2 数据分析 （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好，请说明理由.
21．关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围．
（2）如果是符合条件的最大整数，且关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值．
（3）若方程的两个实数根为，满足，求此时的值．
22．电影《哪吒之魔童降世》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎.某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个.
（1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率.
（2）为庆祝《哪吒之魔童降世》全球票房大卖，商家决定做优惠活动.已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个.当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元
23．根据以下素材，探索完成任务：
如何剪出符合要求的矩形纸片
素材1 如图1，△ABC是腰长为60cm的等腰直角三角形卡纸，甲，乙、丙三名同学分别用这样的卡纸试图裁剪出不一样的矩形纸片，并使矩形的四个顶点都在△ABC的边上.
素材2 甲同学按图2的方式裁剪，想裁出面积为的矩形纸片，乙同学按图3的方式裁剪，想裁出两边长之比为1：2的矩形纸片（PQ>PN），丙同学想裁出面积最大的矩形纸片.
问题解决
⑴任务1 计算矩形纸片的边长 请帮甲同学计算此矩形纸片的两边长.
⑵任务2 计算矩形纸片的面积 请求出符合乙同学裁剪方案的矩形纸片的面积.
⑶任务3 计算矩形纸片的最大面积 请帮丙同学计算出面积最大的矩形纸片的面积.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：二次根式在实数范围内有意义，
，解得．
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数解答即可．
2．【答案】B
【知识点】众数
【解析】【解答】解：∵这组数据中，出现次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是．
故答案为：B.
【分析】根据“众数是一组数据中出现次数最多的数”解答即可．
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、是分式方程，不是一元二次方程；
B、2（x-1）+x=2的未知数的最高次数是1，不是一元二次方程；
C、x2-x3+4=0的未知数的最高次数是3，不是一元二次方程；
D、x2=2+3x只有一个未知数且未知数最高次数为2，是一元二次方程．
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程的定义“只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程”判断即可．
4．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：选项A：和不是同类二次根式，不能合并，A错误；
选项B：，B正确；
选项C：，C错误；
选项D：，D错误．
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的加法、除法和乘法法则、二次根式的性质化简逐项判断解答即可.
5．【答案】D
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：四人平均成绩相同，方差越小，成绩越稳定．
又∵，，，，
∴，丁的方差最小，
∴四人中成绩最稳定的是丁．
故答案为：D.
【分析】比较四个方差，根据方差小的成绩稳定解答即可．
6．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程移项得：x2-6x=1，
配方得：x2-6x+9=10，即（x-3）2=10，
∵方程x2-6x-1=0转化成（x+m）2=n的形式，
∴m=-3，n=10．
故答案为：D．
【分析】方程移项，添加一次项系数一半的平方，左边写成完全平方公式的形式，根据对应系数相等求出m与n的值解答即可．
7．【答案】C
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵是方程的一个根，
∴，
即，
∴．
故答案为：2026.
【分析】把m代入方程得，然后整体代入解答即可．
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：对于一元二次方程，
，，，
，
∵对任意实数，都有，
∴，
∴该一元二次方程有两个不相等的实数根．
故答案为：C.
【分析】计算，即可得到方程根的情况解答即可.
9．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵一月初初始价格为7.8元/升，平均每月增长率为，从一月初到三月初共增长2次，三月初价格为8.3元/升，
∴增长两次后的价格为，等于三月初价格8.3，
∴．
故答案为：B.
【分析】设平均每月增长率为，根据“ 95号汽油一月初价格是7.8元/升，三月初价格是8.3元/升 ”列方程解答即可.
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：①若，则方程有一个根为，
∴；故①正确；
②若方程有两个不相等的实根，则：，
∴方程的判别式为，
∴方程必有两个不相等的实根；故②正确；
③若是方程的一个根，则，
当时，有，当c=0时不成立，故③错误；
④若是一元二次方程的根，则：，
∴，
∴；故④正确；
故答案为：B．
【分析】利用根的判别式和方程的解进行判断，①中由， 可得方程有根x=1，于是可得判别式≥0，可判断结论；②根据题意得，结合题意可判断结论；③根据c为一根，可得，分c=0和c≠0两种情况进行讨论，即可判断结论；④根据题意得，变形即可判断结论．
11．【答案】3
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】
先平方，再开方.==3.
故答案是3.
【分析】二次根式的化简.
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的一般形式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，即．
故答案为：．
【分析】先根据多项式与多项式的乘法法则展开，然后移项，合并同类项化为一般式即可．
13．【答案】25
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】设此时该小车离水平面的垂直高度为x米，则水平前进了x米．
根据勾股定理可得：x2＋（x）2＝902．
解得x＝45．（负值舍去）
即此时该小车离水平面的垂直高度为45米．
故答案为：45.
【分析】设 此时该小车离水平面的垂直高度为x米，根据坡度表示出水平距离，然后根据勾股定理列方程求出x的值解答即可．
14．【答案】乙
【知识点】加权平均数及其计算；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：甲：（分），
乙：（分），
∵，
∴公司将录取乙．
故答案为：乙．
【分析】先计算甲、乙两位候选人的加权平均数，然后利用平均数大的被公司录取解答即可．
15．【答案】10；5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：对于一元二次方程，
其中，，，
根据根与系数的关系可得： ，，
∴．
故答案为：10；
思维拓展： ∵，
∴，
方程两边除以得到： ，
即 ，
∴s与是方程的两个根，
∴，，
∴，
故的值为．
故答案为：-5.
【分析】（1）根据根与系数的关系得到 ，，再将所求代数式通分变形后，整体代入计算即可；
思维拓展： 根据题意得到s与是方程的两个根，根据根与系数的关系得到，，然后化简后整体代入计算即可．
16．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．

【知识点】分母有理化；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
（2）分子分母同时乘以进行分母有理化解答即可．
17．【答案】（1）解：，
，
，
，
．
（2）解：，
，，，
，
，
，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可；
（2）先计算，得到方程有两个不相等的实数根，然后代入公式计算方程的解即可．
18．【答案】解：a2-ab+b2=(a+b)2-3ab
∵a+b=，ab=1，
∴原式=(a+b)2-3ab=()2-3×1=9
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用完全平方式将代数式转化为(a+b)2-3ab，再求出a+b和ab的值，再整体代入求值.
19．【答案】（1）第一
（2）原方程移项得：，
分解因式（x-5）[4-（x-5）]=0，
即x-5=0或4-x+5=0，
所以
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵当时，方程两边才能同时除以，得
，
当时，方程两边同时除以，无意义，
∴第一步就出现了错误，没分类讨论．
故答案为：一．
【分析】根据因式分解法解一元二次方程解答即可．
20．【答案】解：（1）七年级的平均数，
八年级个班的餐厨垃圾质量从小到大为：，，，，，，，，，，
八年级的中位数，
八年级等级的有个班，
八年级的等级所占百分比；
（2）七年级各班落实“光盘行动”更好，理由如下：
①七年级各班餐厨垃圾质量众数，低于八年级各班餐厨垃圾质量的众数．
②七年级各班餐厨垃圾质量等级的高于八年级各班餐厨垃圾质量等级的．
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【分析】（1）根据平均数公式、中位数定义求出，的值，用等级的人数除以调查人数乘以100% 求出的值解答即可；
（2）比较两个年级的众数、中位数、平均数、方差，作出决策即可．
21．【答案】（1）解：根据题意得：，
解得；
（2）解：∵是符合条件的最大整数，∴的值为6，
∴方程变形为，
解得，
∵一元二次方程与方程有一个相同的根，
∴当时，，
解得：，
∵，
∴；
当时，，
解得：，
∴的值为．
（3）解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】
（1）一元二次方程有实数根，即，解不等式即可得出答案；
（2）由（1）的结论可求出的值为6，再解方程求出，代入方程中求出的值即可；
（3）由一元二次方程根与系数的关系得出，，再结合求出的值，即可得出答案．
（1）解：根据题意得：，
解得；
（2）解：∵是符合条件的最大整数，
∴的值为6，
∴方程变形为，
解得，
∵一元二次方程与方程有一个相同的根，
∴当时，，
解得：，
∵，
∴；
当时，，
解得：，
∴的值为．
（3）解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴．
22．【答案】（1）解：设日平均增长率为，
由题意得：，
解得：（舍），
答：日平均增长率为；
（2）解：设每个玩偶降价元，
由题意得：，
解得：（舍），
答：每个玩偶降价2元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设日平均增长率为，根据“ 4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个 ”列出一元二次方程，求出x的值并检验解答即可；
（2）设每个玩偶降价元，根据“ (售价-成本)×销售量=总利润”列一元二次方程，求出x的值解答即可．
23．【答案】解：（1）∵是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∴，
解得：，，
当时，，
当时，，
即甲同学所裁出的矩形纸片的两边长为和；
（2）当时，设，则，
∵为等腰直角三角形，
∴，
，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴和为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
即，，
即此时矩形面积为；
当时，设，则，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴和为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
即，，
即此时矩形面积为；
综上分析可知，符合乙同学裁剪方案的矩形纸片的面积为或．
（3）当按照图1方式裁剪时，设矩形的面积为，，则，根据题意得：
，
∴当时，最大，最大值为
即此时矩形的最大面积为；
当按照图2方式裁剪时，设矩形的面积为，，则，
∴，
根据题意得：，
∴当时，S最大，且最大值为，
即此时矩形的最大面积为；
综上分析可知，矩形纸片的最大面积为．
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理；矩形的性质；等腰直角三角形；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得到为等腰直角三角形，得出，设，即可得到，根据矩形的面积公式列方程求出x的值解答即可；
（2）分两种情况讨论：，，根据等腰直角三角形和矩形的性质表示BC长，求出x的值并计算矩形的面积即可；
（3）分两种情况：按照图1和图2方式裁剪时，根据矩形的面积公式列函数关系式，然后根据偶次方的非负性求出两个的最大值，并比较解答即可．
1 / 1浙江省杭州市萧山区2025-2026学年八年级下学期数学期中试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若二次根式在实数范围内有意义，则m的取值范围是（　　）
A．m>3 B．m≤3 C．m≠3 D．m≥3
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：二次根式在实数范围内有意义，
，解得．
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数解答即可．
2．为响应“绿色低碳，节能降耗”号召，某校举办校园节能知识竞赛.八年级（6）班20名参赛学生的成绩（单位：分）如下：82，85，85，90，85，95，85，90，85，80，85，90，95，85，90，80，85，90，85，90，这组数据的众数是（　　）
A．80 B．85 C．90 D．95
【答案】B
【知识点】众数
【解析】【解答】解：∵这组数据中，出现次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是．
故答案为：B.
【分析】根据“众数是一组数据中出现次数最多的数”解答即可．
3．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A． B．2（x-1）+x=2
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、是分式方程，不是一元二次方程；
B、2（x-1）+x=2的未知数的最高次数是1，不是一元二次方程；
C、x2-x3+4=0的未知数的最高次数是3，不是一元二次方程；
D、x2=2+3x只有一个未知数且未知数最高次数为2，是一元二次方程．
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程的定义“只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程”判断即可．
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：选项A：和不是同类二次根式，不能合并，A错误；
选项B：，B正确；
选项C：，C错误；
选项D：，D错误．
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的加法、除法和乘法法则、二次根式的性质化简逐项判断解答即可.
5．在初二数学期末综评中，甲乙丙丁的平均成绩均是95分（总分120分），而方差分别是10.39分2，7.25分2，8.72分2，0.48分2，则这四人中成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：四人平均成绩相同，方差越小，成绩越稳定．
又∵，，，，
∴，丁的方差最小，
∴四人中成绩最稳定的是丁．
故答案为：D.
【分析】比较四个方差，根据方差小的成绩稳定解答即可．
6．把方程转化成（x+a）2=b的形式，则a与b对应的值是（　　）
A．3和10 B．3和8 C．-3和3 D．-3和10
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程移项得：x2-6x=1，
配方得：x2-6x+9=10，即（x-3）2=10，
∵方程x2-6x-1=0转化成（x+m）2=n的形式，
∴m=-3，n=10．
故答案为：D．
【分析】方程移项，添加一次项系数一半的平方，左边写成完全平方公式的形式，根据对应系数相等求出m与n的值解答即可．
7．若m是方程的一个根，则的值是（　　）
A．2028 B．2027 C．2026 D．2025
【答案】C
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵是方程的一个根，
∴，
即，
∴．
故答案为：2026.
【分析】把m代入方程得，然后整体代入解答即可．
8．一元二次方程的实数根的情况是（　　）
A．没有实数解 B．有两个相等的实数解
C．有两个不相等的实数解 D．不确定
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：对于一元二次方程，
，，，
，
∵对任意实数，都有，
∴，
∴该一元二次方程有两个不相等的实数根．
故答案为：C.
【分析】计算，即可得到方程根的情况解答即可.
9．在某个时期内汽油价格受国际油价影响总体呈上升趋势.某地95号汽油一月初价格是7.8元/升，三月初价格是8.3元/升，设该地95号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程（　　）
A．8.3（1+x）2=7.8 B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵一月初初始价格为7.8元/升，平均每月增长率为，从一月初到三月初共增长2次，三月初价格为8.3元/升，
∴增长两次后的价格为，等于三月初价格8.3，
∴．
故答案为：B.
【分析】设平均每月增长率为，根据“ 95号汽油一月初价格是7.8元/升，三月初价格是8.3元/升 ”列方程解答即可.
10．对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（　　）
A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：①若，则方程有一个根为，
∴；故①正确；
②若方程有两个不相等的实根，则：，
∴方程的判别式为，
∴方程必有两个不相等的实根；故②正确；
③若是方程的一个根，则，
当时，有，当c=0时不成立，故③错误；
④若是一元二次方程的根，则：，
∴，
∴；故④正确；
故答案为：B．
【分析】利用根的判别式和方程的解进行判断，①中由， 可得方程有根x=1，于是可得判别式≥0，可判断结论；②根据题意得，结合题意可判断结论；③根据c为一根，可得，分c=0和c≠0两种情况进行讨论，即可判断结论；④根据题意得，变形即可判断结论．
二、填空题：本题共5小题，每空3分，共18分。
11．化简：=　 　 .
【答案】3
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】
先平方，再开方.==3.
故答案是3.
【分析】二次根式的化简.
12．将方程（1-x）（x+3）=1化成一般形式是　 　.
【答案】
【知识点】一元二次方程的一般形式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，即．
故答案为：．
【分析】先根据多项式与多项式的乘法法则展开，然后移项，合并同类项化为一般式即可．
13．如图，一辆小车沿着坡度为的斜坡向上行驶了50米，则此时该小车离水平面的垂直高度为　 　米.
【答案】25
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】设此时该小车离水平面的垂直高度为x米，则水平前进了x米．
根据勾股定理可得：x2＋（x）2＝902．
解得x＝45．（负值舍去）
即此时该小车离水平面的垂直高度为45米．
故答案为：45.
【分析】设 此时该小车离水平面的垂直高度为x米，根据坡度表示出水平距离，然后根据勾股定理列方程求出x的值解答即可．
14．某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙两位候选人进行了面试和笔试，如果公司认为，作为公关人员面试的成绩应该比笔试的成绩更重要，其中甲候选人的面试成绩为86分，笔试成绩为90分，乙候选人的面试成绩为92分，笔试成绩为83分，并分别赋予它们6和4的权.根据两人的平均成绩，公司将录取　 　.
【答案】乙
【知识点】加权平均数及其计算；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：甲：（分），
乙：（分），
∵，
∴公司将录取乙．
故答案为：乙．
【分析】先计算甲、乙两位候选人的加权平均数，然后利用平均数大的被公司录取解答即可．
15．若一元二次方程的两个根为x1，x2，则=　 　.
思维拓展：已知实数s，t分别满足19s2+99s+1=0，t2+99t+19=0（st≠0），则=　 　.
【答案】10；5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：对于一元二次方程，
其中，，，
根据根与系数的关系可得： ，，
∴．
故答案为：10；
思维拓展： ∵，
∴，
方程两边除以得到： ，
即 ，
∴s与是方程的两个根，
∴，，
∴，
故的值为．
故答案为：-5.
【分析】（1）根据根与系数的关系得到 ，，再将所求代数式通分变形后，整体代入计算即可；
思维拓展： 根据题意得到s与是方程的两个根，根据根与系数的关系得到，，然后化简后整体代入计算即可．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．

【知识点】分母有理化；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
（2）分子分母同时乘以进行分母有理化解答即可．
17．解下列方程：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：，
，
，
，
．
（2）解：，
，，，
，
，
，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可；
（2）先计算，得到方程有两个不相等的实数根，然后代入公式计算方程的解即可．
18．已知：a= ，b= ，求a2-ab+b2的值．
【答案】解：a2-ab+b2=(a+b)2-3ab
∵a+b=，ab=1，
∴原式=(a+b)2-3ab=()2-3×1=9
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用完全平方式将代数式转化为(a+b)2-3ab，再求出a+b和ab的值，再整体代入求值.
19．习题课上，数学老师展示嘉嘉解题的错误解答过程：
嘉嘉：解方程，
解：方程两边同时除以（x-5）得，
4=x-5 第一步，
4+5=x 第二步，
x=9 第三步，
（1）嘉嘉的解答过程从第　 　步开始出现错误的；
（2）请给出这道题的正确解答过程.
【答案】（1）第一
（2）原方程移项得：，
分解因式（x-5）[4-（x-5）]=0，
即x-5=0或4-x+5=0，
所以
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵当时，方程两边才能同时除以，得
，
当时，方程两边同时除以，无意义，
∴第一步就出现了错误，没分类讨论．
故答案为：一．
【分析】根据因式分解法解一元二次方程解答即可．
20．根据以下素材，探索完成“问题解决”中的任务1和任务2.
让学生了解班级粮食浪费现状，体会浪费粮食的危害
背景 为了解落实“光盘行动”的情况，某校同学调研了七、八年级部分班级某一天的餐厨垃圾质量.
素材1 从七、八年级中随机抽取了10 个班的餐厨垃圾质量，数据如下（单位：kg） 七年级0.80.90.80.81.11.72.31.11.91.6八年级1.00.91.31.01.91.00.91.72.31.0
素材2 餐厨垃圾质量用x表示，分四个等级： A：x＜1B：1≤x＜1.5C：1.5＜x＜2D：x≥2
（备注：餐厨垃圾质量越小，说明光盘行动落实越到位）
素材3 七、八年级抽取的班级餐厨垃圾数据分析表 年级平均数中位数众数方差A等级所占百分比七年级a1.1c0.2640%八年级1.3b1.00.22d
问题解决
任务1 数据处理 （1）求出素材3表格中的a，b，c，d的值；
任务2 数据分析 （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好，请说明理由.
【答案】解：（1）七年级的平均数，
八年级个班的餐厨垃圾质量从小到大为：，，，，，，，，，，
八年级的中位数，
八年级等级的有个班，
八年级的等级所占百分比；
（2）七年级各班落实“光盘行动”更好，理由如下：
①七年级各班餐厨垃圾质量众数，低于八年级各班餐厨垃圾质量的众数．
②七年级各班餐厨垃圾质量等级的高于八年级各班餐厨垃圾质量等级的．
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【分析】（1）根据平均数公式、中位数定义求出，的值，用等级的人数除以调查人数乘以100% 求出的值解答即可；
（2）比较两个年级的众数、中位数、平均数、方差，作出决策即可．
21．关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围．
（2）如果是符合条件的最大整数，且关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值．
（3）若方程的两个实数根为，满足，求此时的值．
【答案】（1）解：根据题意得：，
解得；
（2）解：∵是符合条件的最大整数，∴的值为6，
∴方程变形为，
解得，
∵一元二次方程与方程有一个相同的根，
∴当时，，
解得：，
∵，
∴；
当时，，
解得：，
∴的值为．
（3）解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】
（1）一元二次方程有实数根，即，解不等式即可得出答案；
（2）由（1）的结论可求出的值为6，再解方程求出，代入方程中求出的值即可；
（3）由一元二次方程根与系数的关系得出，，再结合求出的值，即可得出答案．
（1）解：根据题意得：，
解得；
（2）解：∵是符合条件的最大整数，
∴的值为6，
∴方程变形为，
解得，
∵一元二次方程与方程有一个相同的根，
∴当时，，
解得：，
∵，
∴；
当时，，
解得：，
∴的值为．
（3）解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴．
22．电影《哪吒之魔童降世》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎.某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个.
（1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率.
（2）为庆祝《哪吒之魔童降世》全球票房大卖，商家决定做优惠活动.已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个.当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元
【答案】（1）解：设日平均增长率为，
由题意得：，
解得：（舍），
答：日平均增长率为；
（2）解：设每个玩偶降价元，
由题意得：，
解得：（舍），
答：每个玩偶降价2元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设日平均增长率为，根据“ 4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个 ”列出一元二次方程，求出x的值并检验解答即可；
（2）设每个玩偶降价元，根据“ (售价-成本)×销售量=总利润”列一元二次方程，求出x的值解答即可．
23．根据以下素材，探索完成任务：
如何剪出符合要求的矩形纸片
素材1 如图1，△ABC是腰长为60cm的等腰直角三角形卡纸，甲，乙、丙三名同学分别用这样的卡纸试图裁剪出不一样的矩形纸片，并使矩形的四个顶点都在△ABC的边上.
素材2 甲同学按图2的方式裁剪，想裁出面积为的矩形纸片，乙同学按图3的方式裁剪，想裁出两边长之比为1：2的矩形纸片（PQ>PN），丙同学想裁出面积最大的矩形纸片.
问题解决
⑴任务1 计算矩形纸片的边长 请帮甲同学计算此矩形纸片的两边长.
⑵任务2 计算矩形纸片的面积 请求出符合乙同学裁剪方案的矩形纸片的面积.
⑶任务3 计算矩形纸片的最大面积 请帮丙同学计算出面积最大的矩形纸片的面积.
【答案】解：（1）∵是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∴，
解得：，，
当时，，
当时，，
即甲同学所裁出的矩形纸片的两边长为和；
（2）当时，设，则，
∵为等腰直角三角形，
∴，
，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴和为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
即，，
即此时矩形面积为；
当时，设，则，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴和为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
即，，
即此时矩形面积为；
综上分析可知，符合乙同学裁剪方案的矩形纸片的面积为或．
（3）当按照图1方式裁剪时，设矩形的面积为，，则，根据题意得：
，
∴当时，最大，最大值为
即此时矩形的最大面积为；
当按照图2方式裁剪时，设矩形的面积为，，则，
∴，
根据题意得：，
∴当时，S最大，且最大值为，
即此时矩形的最大面积为；
综上分析可知，矩形纸片的最大面积为．
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理；矩形的性质；等腰直角三角形；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得到为等腰直角三角形，得出，设，即可得到，根据矩形的面积公式列方程求出x的值解答即可；
（2）分两种情况讨论：，，根据等腰直角三角形和矩形的性质表示BC长，求出x的值并计算矩形的面积即可；
（3）分两种情况：按照图1和图2方式裁剪时，根据矩形的面积公式列函数关系式，然后根据偶次方的非负性求出两个的最大值，并比较解答即可．
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