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高考必备
必记核心知识点归纳
目录
必记知识点 01：集合和常用逻辑用语 ..................................................................................................................... 2
必记知识点 02：不等式 ............................................................................................................................................. 4
必记知识点 03：基本初等函数 ................................................................................................................................. 7
必记知识点 04：一元函数的导数及其应用 ........................................................................................................... 17
必记知识点 05：三角函数与解三角形 ................................................................................................................... 21
必记知识点 06：平面向量与复数 ........................................................................................................................... 26
必记知识点 07：数列 ............................................................................................................................................... 32
必记知识点 08：立体几何与空间向量 ................................................................................................................... 44
必记知识点 09：直线和圆、圆锥曲线 ................................................................................................................... 54
必记知识点 10：统计与成对数据的统计分析 ....................................................................................................... 67
必记知识点 11：计数原理、概率、随机变量及其分布 ....................................................................................... 70
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必记核心知识点 01 集合和常用逻辑用语
知识点一：集合
1、集合与元素
1、集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性；
2、元素与集合的关系：属于或不属于，用符号 或 表示
3、集合的表示法：列举法、描述法、图示法
4、常见数集的记法与关系图
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或 N＋) Z Q R
2、集合间的基本关系
表示
文字语言 符号语言 图形语言
关系
集合 A 的所有元素都是集合 B 的
子集 A B 或 B A
元素（ x A则 x B）
基本
集合 A 是集合 B 的子集，且集合 B
关系 真子集 A B或 B A
中至少有一个元素不属于 A
相等 集合 A，B 的元素完全相同 A = B
不含任何元素的集合．空集是任
空集
何集合 A 的子集
3、集合的基本运算
1、集合交并补运算的表示
集合的并集 集合的交集 集合的补集
图形语言
符号语言 A B = x x A,或x B A B = x x A,且x B = { | ∈ ,且 }
2、集合运算中的常用二级结论
（1）并集的性质：A∪ ＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A B A.
（2）交集的性质：A∩ ＝ ；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A A B.
（3）补集的性质：A∪( UA)＝U；A∩( UA)＝ ． U( UA)＝A；
U(A∪B)＝( UA)∩( UB)； U(A∩B)＝( UA)∪( UB)．
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知识点二：充分条件与必要条件
1、充分条件与必要条件
“若 p，则 q”为真命题 “若 p，则 q”为假命题
推出关系 p q p q
p是 q的充分条件 p不是 q的充分条件
条件关系
q是 p的必要条件 q不是 p的必要条件
判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件
定理关系
性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
2、充要条件
如果“若 p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则 p ”均为真命题，即既有 p q ，又有q p ，就记作 p q。
此时， p 既是 q 的充分条件，也是 q 的必要条件，我们说 p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件。
知识点三：存在量词与全称量词
1、全称量词与全称量词命题
（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“ ”表示．
（2）全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题．
符号表示：全称量词命题“对M 中任意一个 x ， p ( x)成立”可用符号简记为 x M , p (x)
2、存在量词与存在量词命题
（1）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“ ”表示．
（2）存在量词命题：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题。
符号表示：存在量词命题“存在M 中的元素 x ，使 p ( x)成立”可用符号简记为 x M , p (x)
3、命题的否定：对命题 p加以否定，得到一个新的命题，记作“ p ”，读作“非 p”或 p的否定．
（1）全称量词命题的否定：
一般地，全称量词命题“ x M ,q (x) ”的否定是存在量词命题： x M , q (x) ．
（2）存在量词命题的否定：
一般地，存在量词命题“ x M ,q (x) ”的否定是全称量词命题： x M , q (x) ．
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必记核心知识点 02 不等式
一、比较大小基本方法
方法
关系 做差法 做商法
与 0 比较 与 1 比较
a b a b 0 a a
1(a，b 0) 或 1(a，b 0)
b b
a = b a b = 0 a
=1(b 0)
b
a b a b = 0 a a
1(a，b 0) 或 1(a，b 0)
b b
二、不等式的性质
（ 1） 基本性质
性质 性质内容
对称性 a b b a；a b b a
传递性 a b，b c a c；a b，b c a c
可加性 a b a + c b c
可乘性 a b，c 0 ac bc；a b，c 0 ac bc
同向 a c，c d a + c b + d
可加性
同向同正 a b 0，c d 0 ac bd
可乘性
可乘方性 a b 0，n N * an bn
三、一元二次不等式
2 2
一元二次不等式ax + bx + c 0(a 0) ，其中 = b 4ac ，x1, x2 是方程ax
2 + bx + c 0(a 0) 的两个根，
且 x1 x2
（1）当a 0时，二次函数图象开口向上．
（2）①若 0，解集为 x | x x2或x x1 ．
b
②若 = 0，解集为 x | x R且x ．
2a
③若 0，解集为 R ．
（2） 当a 0时，二次函数图象开口向下．
①若 0，解集为 x | x1 x x2 ；
②若 0 ，解集为
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四、分式不等式
f (x)
（1） 0 f (x) g(x) 0
g(x)
f (x)
（2） 0 f (x) g(x) 0
g(x)
f (x) f (x) g(x) 0
（3） 0
g(x) g(x) 0
f (x) f (x) g(x) 0
（4） 0
g(x) g(x) 0
五、绝对值不等式
（1） f (x) g(x) [ f (x)]
2 [g(x)]2
（2） f (x) g(x)(g(x) 0) f (x) g(x)或f (x) g(x) ；
f (x) g(x)(g(x) 0) g(x) f (x) g(x) ；
（3）含有两个或两个以上绝对值的不等式，可用图象法和零点分段法求解.
六、基本不等式
a + b a + b
如果 a 0，b 0，那么 ab ，当且仅当 a = b 时，等号成立．其中， 叫作a，b的算术平均数， ab
2 2
叫作 a，b的几何平均数．即正数 a，b的算术平均数不小于它们的几何平均数．
基本不等式 1：若 a，b R ，则 a2 + b2 2ab ，当且仅当 a = b 时取等号；
+ a + b
基本不等式 2：若 a，b R ，则 ab （或 a + b 2 ab ），当且仅当a = b 时取等号．
2
注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，
“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致．
七、经典超越不等式
(1)对数形式: x 1+ ln x(x 0) ,当且仅当 x =1时,等号成立.
x
(2)指数形式:e x +1(x R) ,当且仅当 x = 0 时,等号成立.
x
进一步可得到一组不等式链：e x +1 x 1+ ln x （ x 0 且 x 1）
上述两个经典不等式的原型是来自于泰勒级数：
x2 xn e x
ex =1+ x + + + + xn+1 ；
2! n! (n +1)!
x2 x3 xn+1
ln(1+ x) = x + + ( 1)n + o(xn+1) ；
2 3 n +1
截取片段：e
x x +1(x R)
ln(1+ x) x(x 1)，当且仅当 x = 0 时,等号成立；进而： ln x x 1(x 0) 当且仅当 x =1时,等号成立
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必记核心知识点 03 基本初等函数
一、函数的概念及其表示
1．函数
设 A, B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集合B 中都有唯
一确定的数 f (x)和它对应，称 f : A→ B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 y = f (x) , x A
2．函数的有关概念
（1）函数的定义域、值域：在函数 y = f (x) , x A中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与
x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 f (x)∣x A 叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子
集．
（2）函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
（3）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
（4）函数的表示法：解析法、图象法、列表法．
3．常用结论
（1）若 f (x)为整式，则函数的定义域为R ；
（2）若 f (x)为分式，则要求分母不为 0；
（3）若 f (x)为对数式，则要求真数大于 0；
（4）若 f (x)为根指数是偶数的根式，则要求被开方式非负；
（5）若 f (x)描述实际问题，则要求使实际问题有意义．
如果 f (x)是由几个部分的数学式子构成的，求定义域常常等价于解不等式（组）．
二、函数的单调性与最值
1．函数的单调性
（1）单调函数的定义
增函数 减函数
定
义 一般地，设函数 f (x)的定义域为 I ，如果对于定义域 I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值 x1, x2
当 x1 x2 时，都有 f (x ) f (x )，那么就 当 x1 x1 2 2 时，都有 f (x1 ) f (x2 )，那么就说函数 f (x)
说函数 f (x)在区间D 上是增函数 在区间D 上是减函数
图
象描
述
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增函数 减函数
定
义 一般地，设函数 f (x)的定义域为 I ，如果对于定义域 I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值 x1, x2
自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
（2）单调区间的定义
如果函数 y = f (x)在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数 y = f (x)在这一区间上具有（严格的）单调性，
区间D 叫做 y = f (x)的单调区间．
2．函数的最值
前提 设函数 f (x)的定义域为 I ，如果存在实数M 满足
条件 对于任意 x I ，都有 f (x) M ； 对于任意 x I ，都有 f (x) M ；存在 x0 I ，使得
存在 x0 I ，使得 f (x0 ) = M f (x0 ) = M
结论 M 为最大值 M 为最小值
三、函数的奇偶性、周期性与对称性
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数 f (x)的定义域内任意一个 x ，都有 f ( x) = f (x)，那么函 关于 y 轴对
称
数 f (x)是偶函数
奇函数 如果对于函数 f (x)的定义域内任意一个 x ，都有 f ( x) = f (x)，那 关于原点对
称
么函数 f (x)是奇函数
2．函数的周期性
（1）周期函数：对于函数 y = f (x)，如果存在一个非零常数T ，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有
f (x+T ) = f (x)，那么就称函数 y = f (x)为周期函数，称T 为这个函数的周期．
（2）最小正周期：如果在周期函数 f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f (x)的
最小正周期．
3．函数的周期性
（1）如果一个奇函数 f (x)在原点处有定义，即 f (0)有意义，那么一定有 f (0) = 0．
（2）如果函数 f (x)是偶函数，那么 f (x) = f ( x )．
（3）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
（4）函数周期性常用结论
对 f (x)定义域内任一自变量的值 x ：
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①若 f (x+ a) = f (x)，则T = 2a (a 0)．
1
②若 f (x + a) = ，则T = 2a (a 0)．
f (x)
1
③若 f (x + a) = ，则T = 2a (a 0)．
f (x)
（5）对称性的三个常用结论
①若函数 y = f (x+ a)是偶函数，则函数 y = f (x)的图象关于直线 x = a对称．
②若对于R 上的任意 x 都有 f (2a x) = f (x)或 f ( x) = f (2a + x)，则 y = f (x)的图象关于直线 x = a对称．
③若函数 y = f (x+b)是奇函数，则函数 y = f (x)的图象关于点（b，0）中心对称．
四、二次函数与幂函数
1．幂函数
（1）幂函数的定义

一般地，形如 y = x ( R)的函数称为幂函数，其中 x 是自变量， 为常数．
（2）5 个常见幂函数的图象与性质
1
2 3
函数 y = x y = x y = x y = x 2
1
y = x
定义域 R R R x∣x 0 x∣x 0
值域 R y∣y 0 R v∣v 0 y∣y 0
奇偶性 奇函 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数
数
单调性 在 R 在 ( ,0)上单调 在 R上单 在 (0,+ )上 在 ( ,0)和
上单调 调递增
递减，在 (0,+ )上单 单调递增 (0,+ )上单调递减
递增
调递增
图象
过定点 (0,0) ,(1,1) （1，1）
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2．二次函数
（1）二次函数解析式的三种形式
2 b b 4ac b
2
f (x) = ax +bx+ c (a 0)，图象的对称轴是 x = ，顶点坐标是 ,
一般式 2a 2a 4a
顶点式 2f (x) = a (x m) + n(a 0)，图象的对称轴是 x = m ，顶点坐标是（m，n）
零点式 f (x) = a (x x1 )(x x2 )(a 0)，其中 x1, x2 是方程ax
2 +bx + c = 0的两根，图象的对
x1 + x称轴是 x = 2
2
（2）二次函数的图象与性质
2
函数 y = ax +bx+ c (a 0) 2 y = ax +bx+ c (a 0)
图象（抛物线）
定义域 R
4ac b2 4ac b2
值域 ,+ ,
4a 4a
b
对称轴 x =
2a
b 4ac b2
顶点坐标 ,
2a 4a
奇偶性 当b = 0时是偶函数，当b 0 时是非奇非偶函数
b b
在 , 上是减函 在 , 上是增函
2a 2a
数； 数；
单调性
b b
在 ,+ 上是增函 在 ,+ 上是减函
2a 2a
数 数
3．常用结论
①二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关．
a 0 a 0
②若 f (x) = ax2 +bx+ c (a 0)，则当 时恒有 f (x) 0，当 时，恒有 f (x) 0 ．
0 0
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五、指数与指数函数
1．根式
（1）概念：式子 n a 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数．
n
（2）性质： ( n a ) = a (a 使 n a 有意义 )；
n n n当 为奇数时， a = a ，
n n a,a 0,
当 n 为偶数时， a = a =
a,a 0
2．分数指数幂
n
n m *
（1）规定：正数的正分数指数幂的意义是a m = a (a 0,m,n N , 且 n 1)；正数的负分数指数幂的意义
n
1
是 a m = (a 0,m,n N * ，且n 1);0 的正分数指数幂等于0;0 的负分数指数幂没有意义．
n am
s r
（ ）有理指数幂的运算性质：aras = ar+s ;(ar ) = ars ;(ab) = arbr2 ，其中a 0,b 0, r, s Q ．
3．指数函数及其性质
x
（1）概念：函数 y = a (a 0 且 a 1)叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，函数的定义域是R ， a 是底数．
（2）指数函数的图象与性质
a 1 0 a 1
图象
定义 R
域
值域 (0,+ )
性质 过定点（0，1），即 x = 0时， y =1
当 x 0时，y 1；当 x 0 时，0 y 1 当 x 0 时，y 1；当 x 0 时，0 y 1
在 ( ,+ )上是增函数 在 ( ,+ )上是减函数
4．常用结论
x 1
（1）画指数函数 y = a (a 0 ,且 a 1)的图象，应抓住三个关键点： (1,a) ,(0,1) , 1, ．
a
x
（2）在第一象限内，指数函数 y = a (a 0 且 a 1)的图象越高，底数越大．
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六、对数与对数函数
1．对数的概念
x
如果a = N (a 0 ,且 a 1)，那么 x 叫做以a 为底 N 的对数，记作 x = loga N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫
做真数．
2．对数的性质、换底公式与运算性质
log N b
（1）对数的性质：①a a = N ；② logaa = b(a 0且a 1)．
（2）对数的运算法则
如果a 0且 a 1, M 0, N 0，那么
① loga (MN ) = logaM + logaN ；
M
② loga = logaM log ； a N
N
n
③ logaM = nlogaM (n R)；
n
④ log mM n = log M (m,n R,且m 0)． a a
m
log N
（3）换底公式： log N = a (a,b均大于零且不等于 1）． b
loga b
3．对数函数及其性质
（1）概念：函数 y = logax (a 0 ,且 a 1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是 (0,+ )．
（2）对数函数的图象与性质
a 1 0 a 1
图
象
性 定义域： (0,+ )
质
值域：R
当 x =1时， y = 0，即过定点（1，0）
当 x 1时，y 0；当0 x 1时，y 0 当 x 1时，y 0；当0 x 1时，y 0
在 (0,+ )上是增函数 在 (0,+ )上是减函数
4．反函数
y = a x指数函数 (a 0, a 1)与对数函数 y = loga x (a 0, a 1)互为反函数，它们的图象关于直线 y = x 对称．
二级结论：若方程 x + f (x) = k x x + f
1
的根为 1 ，方程 (x) = k 的根为 x2 ，那么 x1 + x2 = k .
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5．常用结论
①换底公式的两个重要结论
1 n
（1） logab = ;(2) logamb
n = log ． ab
logba m
其中a 0，且a 1,b 0，且b 1,m,n R ．
②在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大．
1
③对数函数 y = loga x (a 0, a 1)的图象过定点（1，0），且过点（a，1）， , 1 ，函数图象只在第一、四
a
象限．
七、函数的图象
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：（1）确定函数的定义域；
（2）化简函数解析式；
（3）讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）；其次，列表，描点，连线．
2．函数图象的变换
（1）平移变换
y = f (x) a 0, 右移 a个 单位① 的图象 → y = f x a 的图象； a 0,左移 a 个单位 ( )
y = f (x) b 0, 上移 b个 单位② 的图象 → y = f (x)+ b的图象． b 0,下移b 个单位
“左加右减，上加下减”，左加右减只针对 x 本身，与 x 的系数，无关，上加下减指的是在 f (x)整体上加减．
（2）对称变换
y = f (x) 关于 x轴对 称 ① 的图象 → y = f (x)的图象；
( ) 关 于y轴对称② y = f x 的图象 → y = f ( x)的图象；
关于原点对称
③ y = f (x)的图象 → y = f ( x)的图象；
x ( 且 ) 关 于 直线 y=x 对称④ y = a a 0 a 1 的图象 → y = loga x (a 0 且 a 1)的图象．
（3）伸缩变换
1
a 1,横坐标缩短为原来的 纵坐标不变
① y = f (x)的图象 a1 → y = f (ax)的图象．
0 a 1,横坐标伸长为原来的 倍,纵坐标不变
a
② y = f (x)的图象 a 1 ,纵坐 标伸 长 为原 来的 a倍 ,横坐 标不 变 → y = af x 的图象． 0 a 1,纵坐标缩短为原来的a倍,横坐标不变 ( )
（4）翻折变换
① y = f (x)的图象 x 轴下方部分翻折到上方 y = f (x) 的图象；
② y = f (x) y轴右的图象 侧部 分 → y = f x 的图象．
原y轴左侧部分去掉,右侧不变 ( )
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3．常用结论
（1）函数图象自身的轴对称
① f ( x) = f (x) 函数 y = f (x)的图象关于 y 轴对称；
②函数 y = f (x)的图象关于 x = a对称 f (a+ x) = f (a x) f (x) = f (2a x) f ( x) = f (2a+ x)；
a + b
③若函数 y = f (x)的定义域为R ，且有 f (a+ x) = f (b x)，则函数 y = f (x)的图象关于直线 x = 对
2
称．
（2）函数图象自身的中心对称
① f ( x) = f (x) 函数 y = f (x)的图象关于原点对称；
②函数 y = f (x)的图象关于（a，0）对称
f (a+ x) = f (a x) f (x) = f (2a x) f ( x) = f (2a + x)；
③函数 y = f (x)的图象关于点（a，b）成中心对称 f (a + x) = 2b f (a x) f (x) = 2b f (2a x)．
（3）两个函数图象之间的对称关系
b a
①函数 y = f (a + x)与 y = f (b x)的图象关于直线 x = 对称（由a + x = b x得对称轴方程）；
2
②函数 y = f (x)与 y = f (2a x)的图象关于直线 x = a对称；
③函数 y = f (x)与 y = 2b f ( x)的图象关于点（0，b）对称；
④函数 y = f (x)与 y = 2b f (2a x)的图象关于点（a，b）对称．
八、函数与方程
1．函数的零点
（1）函数零点的定义
对于函数 y = f (x)，我们把使 f (x) = 0的实数 x 叫做函数 y = f (x)的零点．
（2）几个等价关系
方程 f (x) = 0有实数根 函数 y = f (x)的图象与 x 轴有交点 函数 y = f (x)有零点．
（3）函数零点的判定（零点存在性定理）
如果函数 y = f (x)在区间 a,b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f (a) f (b) 0，那么函数 y = f (x)
在区间（a，b）内有零点，即存在c (a,b)，使得 f (c) = 0，这个c 也就是方程 f (x) = 0的根．
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2．二次函数图象与零点的关系
= b2 4ac 0 = 0 0
2
二次函数 y = ax + bx+ c (a 0)的图
象
与 x 轴的交点 (x1,0) ,(x2 ,0) (x 无 1,0)
零点个数 2 1 0
九、函数的模型及其应用
1．几类函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模 f (x) = ax+b(a,b为常数,a 0)
型
二次函数模 f (x) = ax2 +bx+ c (a,b,c为常数,a 0)
型
指数函数模 f (x) = bax + c (a,b,c为常数,b 0,a 0且a 1)
型
对数函数模 f (x) = blogax+ c (a,b,c为常数,b 0,a 0且a 1)
型
幂函数模型 f (x) = axn +b(a,b为常数,a 0)
“对勾”函数模 a
y = x + (a 0)
型 x
2．三种函数模型的性质
函数性质 y = a
x (a 1) y = loga x (a 1) y = x
n (n 0)
在 (0,+ )上的 单调递增 单调递增 单调递增
单调性
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随 x 的增大，逐渐表现为与 y 随 x 的增大，逐渐表现为与 x 轴 随 n 值变化而各有
轴平行 平行 不同
值的比较 存在一个 x0 ，当 x x0时，有 loga x x
n ax
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必记核心知识点 04 一元函数的导数及其应用
一、导数的概念及运算
1．导数的概念
y f (x0 + x) f (x0 )
一般地，函数 y = f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率 lim = lim 为函数 y = f (x)在 x = x0
x→0 x x→0 x
y f (x + x) f (x )
处的导数，记作 f (x )或 y∣ x = x 0 0 即 f (x0 )
0 0
= lim = lim ．称函数
x→0 x x→0 x
f (x + x) f (x )
f (x) 0 0= lim 为 f (x)的导函数．
x→0 x
2．导数的几何意义
函数 f (x)在点 x 0 处的导数 f (x0 )的几何意义是在曲线 y = f (x)上点P (x , f (x ))处的切线的斜率．相应地，0 0
切线方程为 y f (x 0 ) = f (x0 )(x x0 )．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f (x) = c (c为常数) f (x) = 0
f (x) = sinx f (x) = cosx
f (x) = ex f (x) = ex
f (x) = lnx 1 f (x) =
x
f (x) = x ( Q*

) f (x) = x 1
f (x) = cosx f (x) = sinx
f (x) = ax (a 0,a 1)
f (x) = axlna
f (x) = logax (a 0,a 1) 1f (x) =
xlnx
4．导数的运算法则
（1） f (x) g (x) = f (x) g (x)；
（2） f (x) g (x)

= f (x)g (x)+ f (x)g (x)；
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高考必备
f (x) f (x) g (x) g (x) g (x)
（3） = (g (x) 0)． 2
g (x) g (x)
5．常用结论
1． f (x0 )代表函数 f (x)在 x = x0 处的导数值； ( f (x 是函数值 f0 )) (x0 )的导数，且 ( f (x0 ))
= 0．
1 f (x)
2． = ．
f ( )
2
x f (x)
3．曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．
4．函数 y = f (x)的导数 f (x)反映了函数 f (x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小 f (x)
反映了变化的快慢， f (x) 越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
二、利用导数研究函数的单调性
1．函数的单调性与导数的关系
函数 y = f (x)在区间（a，b）内可导，
（1）若 f (x) 0，则 f (x)在区间（a，b）内是单调递增函数；
（2）若 f (x) 0，则 f (x)在区间（a，b）内是单调递减函数；
（3）若恒有 f (x) = 0，则 f (x)在区间（a，b）内是常数函数．
讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则．
2．常用结论
（1）在某区间内 f (x) 0( f (x) 0)是函数 f (x)在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件．
（2）可导函数 f (x)在（a，b）上是增（减）函数的充要条件是对 x (a,b)，都有 f (x) 0( f (x) 0)且 f (x)
在（a，b）上的任何子区间内都不恒为零．
三、利用导数解决函数的极值最值
1．函数的极值
（1）函数的极小值：
函数 y = f (x)在点 x = a的函数值 f (a)比它在点 x = a附近其他点的函数值都小， f (a) = 0 ；而且在点 x = a
附近的左侧 f (x) 0，右侧 f (x) 0，则点a 叫做函数 y = f (x)的极小值点， f (a)叫做函数 y = f (x)的极小
值．
（2）函数的极大值：
函数 y = f (x)在点 x = b 的函数值 f (b)比它在点 x = b 附近其他点的函数值都大， f (b) = 0；而且在点 x = b
附近的左侧 f (x) 0，右侧 f (x) 0，则点b 叫做函数 y = f (x)的极大值点， f (b)叫做函数 y = f (x)的极大
值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
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高考必备
①函数 f (x)在 x0 处有极值的必要不充分条件是 f (x0 ) = 0，极值点是 f (x) = 0的根，但 f (x) = 0的根不都
是极值点（例如 f (x) = x3, f (0) = 0，但 x = 0不是极值点）．
②极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．极值点是函数在区间内部的点，不会是
端点．
2．函数的最值
（1）在闭区间 a,b 上连续的函数 f (x)在 a,b 上必有最大值与最小值．
（2）若函数 f (x)在 a,b 上单调递增，则 f (a)为函数的最小值， f (b)为函数的最大值；若函数 f (x)在 a,b
上单调递减，则 f (a)为函数的最大值， f (b)为函数的最小值．
3．常用结论
（1）对于可导函数 f (x)，“ f (x0 ) = 0 ”是“函数 f (x)在 x = x0 处有极值”的必要不充分条件．
（2）求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最
值．
（3）函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系．
四、二级结论
x
(1)对数形式: ≤ln(x+1)≤x(x>-1),当且仅当 x=0 时,等号成立.
x+1
(2)指数形式:ex≥x+1(x∈R),当且仅当 x=0 时,等号成立.
1 1 1
对于这两个不等式的得到都是源于高等数学中的泰勒展开，他们的变形式还有：ln +1 ，ln x 1 ，
x x x
1 1 x 1
ln 1， ln x x 1等，这都高考命题的题点。
x x x
a b
(a b),
（3）对数均值不等式：两个正数 a 和b 的对数平均定义： L(a,b) = ln a ln b

a(a = b).
对数平均与算术平均 几何平均的大小关系：
a +b
ab L(a,b)
2
（此式记为对数平均不等式），取等条件：当且仅当a = b时，等号成立．
17
高考必备
必记核心知识点 05 三角函数与解三角形
一、任意角、弧度制及任意角的三角函数
1．角的概念的推广
（1）定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
按旋转方向不同分为正角、负角、零角．
按终边位置不同分为象限角和轴线角．
（3）终边相同的角：所有与角 a 终边相同的角，连同角a 在内，可构成一个集合 S = ∣ = + k 360 ,k Z ．
2．弧度制的定义和公式
（1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，弧度记作 rad．
（2）公式
角 的弧度数公 1
= （弧长用 l 表示）
式 r
角度与弧度的换
算 180
1 = rad;1rad =
180
弧长公式 弧长 l = r
扇形面积公式 1 1 2
S = lr = r
2 2
3．任意角的三角函数
y
（1）定义：设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P (x, y)，那么sin = y,cos = x, tan = (x 0)．
x
（2）几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在 x 轴上，余弦线的起点都是原
点，正切线的起点都是（1，0）．如图中有向线段MP,OM , AT 分别叫做角 的正弦线，余弦线和正切线．
二、同角三角函数的基本关系与诱导公式
1．同角三角函数的基本关系
sin2 + cos2（1）平方关系： =1．
sin
（2）商数关系： = tan ．
cos
18
高考必备
2．三角函数的诱导公式
公
式 - 二 三 四 五 六
角 +
+
2k + (k Z ) 2
2
正 sin sin sin sin a cos a cos a
弦
余 cos cos cos cos sin a sin
弦
正 tan tanα tan tan
切
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
3．常用结论
（1）同角三角函数关系式的常用变形
2
(sin cos ) =1 2sin cos ;sina = tan cos ．
（2）诱导公式的记忆口诀

“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指 的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．
2
（3）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
三、三角恒等变换
一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1、两角和与差的正弦：
S :sin( + ) = sin cos + cos sin
( + )
S :sin( ) = sin cos cos sin
( )
2、两角和与差的余弦：
C : cos( + ) = cos cos sin sin ( ) +
C : cos( ) = cos cos + sin sin ( )
3、两角和与差的正切：
tan +tan
T :
( ) tan ( + ) = . + 1 tan tan
tan tan
T tan
( : ) ( ) = . 1+tan tan
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高考必备
二、二倍角的正弦、余弦、正切公式
1、二倍角公式：
（1）二倍角的正弦（S2 ）： sin 2 = 2sin cos ．
（2）二倍角的余弦（C ）： cos 2 = cos2 sin 22 ．
（3）二倍角的正切（T2 ）： tan 2 =
2 tan ．
1 tan2
2、二倍角公式的变形及应用
（1）倍角公式的逆用：
sin 2 sin 2
S : 2sin cos = sin 2 ； sin = (cos 0)；cos = (sin 0)2 ．
2cos 2sin
cos2C ： sin
2 = 2cos2 1=1 2sin2 = cos 2 ；1 cos 2 = 2sin2 ；1+ cos 2 = 2cos2 2 ．
1+ cos 2 1 cos 2
（2）降幂（扩角）公式：cos
2 = ； sin2 = ；
2 2
2 1 cos 2 1tan = (cos 2 1) ； sin cos = sin 2 ．
1+ cos 2 2
三、积化和差与和差化积（不要求记忆）
1、积化和差
1 1
sin cos = [sin( )+ sin( + )] cos sin = [sin( + ) sin( )]
2 2
1 1
cos cos = [cos( )+ cos( + )] sin sin = [cos( ) cos( + )]
2 2
2、和差化积
x + y x y x + y x y
sin x + sin y = 2sin cos sin x sin y = 2cos sin
2 2 2 2
x + y x y x + y x y
cos x + cos y = 2cos cos cos x cos y = 2sin sin
2 2 2 2
四、辅助角公式
2 b
1、辅助角公式：a sin x +bcos x = a +b2 sin(x + )（其中 tan = ）
a
实质上是将同角的正弦值和余弦值与常数积的和变形为一个三角函数，当式子化简为同角不同名三角函数相加减时，
通常利用辅助角公式化为正弦型．
2、辅助角公式的推导

asin x +bcos x a2 2
a b
= +b sin x + cos x
a2 +b2 a2 +b
2

a b
由于上式中 和 的平方和为 1，
a2 +b2 a2 +b2
20
高考必备
a b
故令cos = ,sin = ，
a2 +b2 a2 +b2
则 asin x +bcos x a
2 +b2= (sin x cos + cos xsin ) = a2 +b2 sin(x + )
b b
其中角 终边所在的象限由a,b的符号确定，角 的值由 tan = 确定，或由sin = 和
a a2 +b2
a
cos = 共同确定．
a2 +b2
3、二级结论
1、T 公式的变形： tan + tan = tan( + )(1 tan tan ), tan tan = tan( )(1+ tan tan )．
2、常见辅助角结论

（1）sin x cos x = 2 sin(x )；
4

（2）sin x 3 cos x = 2sin(x )；
3

（3）cos x sin x = 2 cos(x )；
4

（4）cos x 3 sin x = 2cos(x )．
3
3、“给角求值”、“给值求值”问题一般策略
（1）关键是把“所求角”用“已知角”表示．
①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．
（2）常见的配角技巧：

① =2 ； =( + )- ；
2
② = ( )；
1
③ = [( + ) + ( )]；
2
1
④ = [( + ) ( )]；
2

⑤ + = ( )．
4 2 4
21
高考必备
四、三角函数的图象及性质
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
3
（1）正．弦函数 y = sinx, x 0,2 的图象中，五个关键点是： (0,0) , ,1 ,( ,0), , 1 , (2 ,0)．（2）
2 2
3
余弦函数 y = cosx, x 0,2 的图象中，五个关键点是： (0,1) , ,0 ,( , 1) , ,0 , (2 ,1)．
2 2
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中 k Z ）
函数 y = sinx y = cosx y = tanx
图象
定义域 R R

x x R x k +
2
值域 [-1，1] [-1，1] R
周期性 2 2
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 2k ,2k
k ,k +
2 2
2k , 2k +
2 2


递减区间 2k ,2k + 无
3
2k + , 2k +
2 2
对称中心 (k ,0) k
k + ,0 ,0
2 2
对称轴方 x = k 无
x = k +
程 2
五、正弦定理余弦定理
a b c
1．正弦定理： = = = 2R，其中 R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：
sinA sinB sinC
(1)a :b : c = sinA : sinB : sinC
(2)a = 2Rsin A,b = 2Rsin B,c = 2RsinC
a b c
(3)sin A = ,sin B = ,sin C =
2R 2R 2R
22
高考必备
a2 = b2 + c2 2bccosA,b2 = a22．余弦定理： + c2 2accosB,c2 = a2 +b2 2abcosC ．
b2 + c2 a2 a2 + c2 b2 a2 +b2 c2
余弦定理可以变形：cosA = ，cosB = ,cosC = .
2bc 2ac 2ab
1 1 1 abc 1
3． S ABC = absinC = bcsinA = acsinB = = (a +b + c) r (r是三角形内切圆的半径)，并可由此
2 2 2 4R 2
计算 R、r ．
4．在 ABC 中，已知a、b和 A 时，解的情况如下：
A 为锐角 A 为钝角或直角
图形
关系式 a = bsinA bsinA a b a b a b
解的个 一解 两解 一解 一解
数
5．实际问题中的常用角
（1）仰角和俯角
与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视
线下方叫俯角（如图①）．
（2）方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30 ，北偏西45 等．
（3）方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 （如图②）．
（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．
23
高考必备
必记核心知识点 06 平面向量与复数
一、向量的有关概念
（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．
（2）向量的模：向量 AB 的大小，也就是向量 AB 的长度，记作 | AB | ．
（3）特殊向量：
①零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的．
②单位向量：长度等于 1 个单位的向量．
③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0 与任一向量平行．
④相等向量：长度相等且方向相同的向量．
⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量．
二、向量的线性运算
（1）向量的线性运算
运算 定义 法则（或几何意义） 运算律
①交换律
a+b
a+b
求两个向量和 b b a + b = b + a
加法
的运算 a a ②结合律
三角形法则平行四边形法则 (a + b) + c = a + (b + c)
求 a 与b 的相
b a-b
反向量 b 的和
减法 a b = a + ( b)
的运算叫做 a 与 a
b 的差 三角形法则
（1） | a |=| || a |
( a) = ( )a
求实数 与向 （2）当 0 时， a 与 a 的方向相同；当
数乘 ( + )a = a + a
量 a 的积的运算 0 时， a 与 a 的方向相同；
(a + b) = a + b
当 = 0 时， a = 0
【注意】
（1）向量表达式中的零向量写成0 ，而不能写成 0．
（2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而
在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系．
（3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和
向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要
把向量进行平移，使之符合条件．
（4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：OA OB = BA ， AM AN = NM ，
OA =OB+CA OA OB =CA BA CA = BA+ AC = BC ．
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高考必备
三、平面向量基本定理和性质
1、共线向量基本定理
如果 a = b( R) ，则 a / /b ；反之，如果 a / /b 且b 0 ，则一定存在唯一的实数 ，使a = b ．（口诀：数
乘即得平行，平行必有数乘）．
2、平面向量基本定理
如果 e1 和 e2 是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量 a ，都存在唯一的一对实数 1, 2 ，
使得 a = 1e1 + 2 e2 ，我们把不共线向量 e1 ，e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为 e1,e2 2 ， 1e1 + 2 e2
叫做向量 a 关于基底 e1,e2 的分解式．
注意：由平面向量基本定理可知：只要向量 e1 与 e2 不共线，平面内的任一向量 a 都可以分解成形如
a = 1e1 + 2 e2 的形式，并且这样的分解是唯一的． 1e1 + 2 e2 叫做e1 ， e2 的一个线性组合．平面向量基本定理又
叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．
推论 1：若 a = 1e1 + e = e + e ，则 1 = , 2 2 3 1 4 2 3 2 = 4 ．
推论 2：若 a = e = = 01 1 + 2 e2 = 0 ，则 1 2 ．
3、线段定比分点的向量表达式
AB + AC
如图所示，在△ABC 中，若点 D 是边 BC 上的点，且 BD = DC （ 1），则向量 AD = ．在向量
1+
线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握．
A
B C D
4、三点共线定理
平面内三点 A，B，C共线的充要条件是：存在实数 , ，使OC = OA + OB ，其中 + =1，O 为平面内一
点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握．
A、B、C三点共线
存在唯一的实数 ，使得 AC = AB ；
存在唯一的实数 ，使得OC =OA + AB ；
存在唯一的实数 ，使得OC = (1 )OA+ OB ；
存在 + =1，使得OC = OA + OB ．
5、中线向量定理
1
如图所示，在△ABC 中，若点 D是边 BC的中点，则中线向量 AD = (AB + AC)，反之亦正确．
2
A
B D C
25
高考必备
四、平面向量的数量积
（1）平面向量数量积的定义
已知两个非零向量 a 与 b ，我们把数量 | a || b | cos 叫做 a 与b 的数量积（或内积），记作a b ，即a b =
| a || b | cos ，规定：零向量与任一向量的数量积为 0．
（2）平面向量数量积的几何意义
①向量的投影：| a | cos 叫做向量 a 在b 方向上的投影数量，当 为锐角时，它是正数；当 为钝角时，它是
负数；当 为直角时，它是 0．
② a b 的几何意义：数量积 a b 等于 a 的长度 | a | 与b 在 a 方向上射影 | b | cos 的乘积．
③设 a ，b 是两个非零向量，它们的夹角是 ,e 与b 是方向相同的单位向量，AB = a,CD = b ，过 AB 的起点 A
和终点 B ，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为 A1, B1 ，得到 A1B1 ，我们称上述变换为向量 a 向向量b 投影，A1B1
叫做向量 a 在向量b 上的投影向量．记为 | a | cos e ．
（3）数量积的运算律
已知向量 a 、b 、 c 和实数 ，则：
① a b = b a ；② ( a) b = (a b) = a ( b)；③ (a + b) c = a c + b c ．
（4）数量积的性质
设 a 、b 都是非零向量， e 是与b 方向相同的单位向量， 是 a 与 e 的夹角，则
① e a = a e =| a | cos ．② a ⊥ b a b = 0 ．
③当 a 与b 同向时， a b =| a || b |；当 a 与b 反向时， a b = | a || b | ．
特别地， a a =| a |2 或 | a |= a a ．
a b
④ cos = (| a || b | 0) ．⑤ | a b |≤| a || b |．
| a || b |
（5）数量积的坐标运算
已知非零向量 a = (x ，y ) ，b = (x2 ，y1 1 2 ) ， 为向量 a 、b 的夹角．
结论 几何表示 坐标表示
模 | a = x2 + y2| a |= a a |
数量积 a b =| a || b | cos a b = x1x2 + y1 y2
a b x xcos = 1 2
+ y1 y2
夹角 cos =
x2 + y2 2 2| a || b | 1 1 x2 + y2
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高考必备
a ⊥ b 的充要条
a b = 0 x1x2 + y1 y2 = 0
件
a∥b 的充要条
a = b（b 0） x1 y2 x2 y1 = 0
件
| a b | 与 | a || b | | a b | | a || b |（当且仅
| x1x2 + y1 y2 |≤ x
2 + y2 2 21 1 x2 + y2
的关系 当 a∥b 时等号成立）
五、复数的概念
（1） i 叫虚数单位，满足 i2 = 1，当 k Z 时， i4k =1,i4k+1 = i,i4k+2 = 1,i4k+3 = i ．
（2）形如 a + bi(a, b R) 的数叫复数，记作 a + bi C ．
①复数 z = a + bi(a, b R)与复平面上的点 Z(a,b) 一一对应，a 叫 z的实部，b叫 z的虚部；b = 0 z R, Z点
组成实轴；b 0, z 叫虚数；b 0 且 a = 0 ，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚
部互为相反数的复数互为共轭复数．
a = c
②两个复数 a + bi,c + di(a,b,c,d R) 相等 （两复数对应同一点）
b = d
③复数的模：复数a + bi(a, b R) 的模，也就是向量OZ 的模，即有向线段OZ 的长度，其计算公式为
| z |=| a + bi |= a2 + b2 | z |=| a bi |= a2 + b2，显然， , z z = a
2 + b2 ．
六、复数的四则运算
1、复数运算
（1） (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i
（2） (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i
(a + bi) (a bi) = z z = a2 + b2 =| z |2

(注意z
2 | z |2 )

z + z = 2a
| z |= a2 + b2其中 ，叫 z的模； z = a bi 是 z = a + bi 的共轭复数 (a, b R) ．
a + bi (a + bi) (c di) (ac + bd ) + (bc ad )i
（3） = = (c2 + d 2 0) ．
c + di (c + di) (c di) c2 + d 2
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．
注意：复数加、减法的几何意义
以复数 z , z 分别对应的向量OZ1,OZ2 为邻边作平行四边形OZ ZZ ，对角线OZ 表示的向量OZ 就是复数1 2 1 2
z + z 所对应的向量． 对应的向量是 Z Z ． 1 2 z1 z2 2 1
2、复数的几何意义
（1）复数 z = a + bi(a, b R)对应平面内的点 z(a,b) ；
（2）复数 z = a + bi(a, b R)对应平面向量OZ ；
27
高考必备
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．
（4）复数 z = a + bi(a, b R)的模 | z |表示复平面内的点 z(a,b) 到原点的距离．
3、复数的三角形式
（1）复数的三角表示式
一般地，任何一个复数 z = a + bi 都可以表示成 r(cos + isin ) 形式，其中 r 是复数 z 的模； 是以 x 轴的非负半
轴为始边，向量OZ 所在射线（射线OZ ）为终边的角，叫做复数 z = a + bi 的辐角． r(cos + isin ) 叫做复数
z = a + bi 的三角表示式，简称三角形式．
（2）辐角的主值
任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2 的整数倍．规定在0 2 范围内的辐角 的
值为辐角的主值．通常记作 arg z ，即0 arg z 2 ．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为
代数形式．
（3）三角形式下的两个复数相等
两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
（4）复数三角形式的乘法运算
①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即
r1(cos 1 + isin 1) r2 (cos 2 + isin 2 ) = r1r2 cos( 1 + 2 ) + isin( 1 + 2 ) ．
②复数乘法运算的三角表示的几何意义
复数 z , z 对应的向量为OZ1,OZ2 ，把向量OZ1 绕点O 按逆时针方向旋转角 （如果 0 ，就要把OZ 绕点1 2 2 2 1
O 按顺时针方向旋转角 ），再把它的模变为原来的 r 倍，得到向量OZ ，OZ 表示的复数就是积 z z ． 2 2 1 2
（5）复数三角形式的除法运算
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的
r1(cos 1 + i sin 1) r差，即 = 1 cos( ) + i sin( ) ． 1 2 1 2
r2 (cos 2 + isin 2 ) r2
28
高考必备
必记核心知识点 07 数列
一、数列的概念及简单表示
1．数列的概念
（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
（2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集 *N （或它的有限子集）为定义域的函数
an = f (n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．
（3）数列的表示法：列表法、图象法和通项公式法．
数列的图象是一系列孤立的点，而不是连续的曲线．
2．数列的分类
分类原则 类型 满足条件
有穷数列 项数有限
按项数分类
无穷数列 项数无限
递增数列
an+1 a n
按项与项间的大小关系分类 递减数列 其中n N*
an+1 an
常数列
an+1 = an
3．数列的通项公式
（1）通项公式：如果数列 an 的第n 项 an 与序号n 之间的关系可以用一个式子an = f (n)来表示，那么这个公
式叫做这个数列的通项公式．数列通项公式的注意点
①并不是所有的数列都有通项公式；
②同一个数列的通项公式在形式上未必唯一；
③对于一个数列，如果只知道它的前几项，而没有指出它的变化规律，是不能确定这个数列的．
（2）递推公式：如果已知数列 an 的第 1 项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项an 与它的前
一项an 1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
通项公式和递推公式的异同点
不同点 相同点
通项公 可根据某项的序号 n 的值，直接代入求出a 都可确定一个数列，也都可求出n
式 数列的任意一项
递推公 可根据第一项（或前几项）的值，通过一次（或多次）赋值，逐
式 项求出数列的项，直至求出所需的an ，也可通过变形转化，直接
29
高考必备
通项公式和递推公式的异同点
求出an
二、等差数列及前n项和
1、等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，
这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示，定义表达式为 a a － = d （常数） (n N
*，n 2) ．
n n 1
2、等差中项
若三个数 a， A，b 成等差数列，则 A叫做 a与 b 的等差中项，且有 a + b ．
A=
2
3、等差数列的通项公式
如果等差数列{a }的首项为 a ，公差为 d ，那么它的通项公式是n 1 an = a1 + (n 1)d ．
4、等差数列的前 n项和公式
n(n 1) n(a + a )
设等差数列{a 的公差为 d ，其前n} n项和 Sn = na
1 n ．
1 + d =
2 2
5、等差数列的常用性质
已知{a }为等差数列， d 为公差， S 为该数列的前 n项和． n n
（1）通项公式的推广： an = am + (n m)d(n，m N
*)．
（2）在等差数列{a }中，当m + n = p + q 时，n a m+an = ap + aq (m，n，p，q N
*) ．
特别地，若 *m + n = 2t ，则 a m+an = 2at (m，n，t N ) ．
（3） a ，a ＋ ，a ＋ ，…仍是等差数列，公差为k k m k m md(k，m N
*)．
2
（4） S ，…也成等差数列，公差为 2 ． n，S2n－Sn，S3n－S2n n d
（5）若{a }，{b }是等差数列，则{pa + qb }也是等差数列． n n n n
S 1
（6）若{a }是等差数列，则{ n }也成等差数列，其首项与{a }首项相同，公差是n n {an}公差的 ．
n 2
S a
（7）若项数为偶数 2n ，则 奇S2n = n(a + a ) = n(a + a ) ； S －S奇＝nd ； =
n ．
1 2n n n+1 偶
S a
偶 n+1
S n
（8）若项数为奇数 2n 1，则 S － = (2n 1)a ； S奇－S =a2n 1 n 偶 n ；
奇 = ．
S n 1
偶
am
（9）在等差数列{an}中，若 a1 0，d 0，则满足 的项数m 使得 Sn 取得最大值 Sm ；若 a1 0，d 0，
am+1
am
则满足 的项数m 使得 S 取得最小值 S ． n m
am+1
d d
（ ） 2 ．数列 是等差数列 S = An210 S + Bn （ A、B 为常数）． n = n + (a1 )n {an} n
2 2
（11）等差数列的前 n项和的最值
公差 d 0 {an}为递增等差数列， Sn 有最小值；
30
高考必备
公差 d 0 {a }为递减等差数列， S 有最大值； n n
公差 d = 0 {a }为常数列． n
特别地
a
若 1
0
，则 S 有最大值（所有正项或非负项之和）； n
d 0
a 0
若 1 ，则 S 有最小值（所有负项或非正项之和）． n
d 0
（12）若已知等差数列{a }，公差为 d ，前n n项和为 S ，则： n
①等间距抽取 ap ,ap+t ,ap+2t , ap+(n 1)t , 为等差数列，公差为 td ．
②等长度截取 S , S S , S S , 为等差数列，公差为m2 ． m 2m m 3m 2m d
S S S
③算术平均值 1 , 2 , 3
d
, 为等差数列，公差为 ．
1 2 3 2
三、等比数列及前n项和
1、定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做
等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q表示，定义的表达式为 an+1 =q ．
an
2、等比中项：如果 a，G ，b 成等比数列，那么G 叫做 a与b 的等比中项．
即G 是 a与 b 的等比中项 a，G ， b 成等比数列 G2 = ab．
3、等比数列的通项公式
a
设等比数列{a }的首项为 a ，公比为 q(q 0)，则它的通项公式n 1 an = a1q
n 1 = c qn (c = 1 )(a ,q 0) ． 1
q
推广形式： a = a qn－m n m
4、等比数列的前 n项和公式
na1(q =1)

等比数列{a }的公比为 q(q 0)，其前 n项和为 S =n n a1(1 q
n ) a
= 1
anq
(q 1)
1 q 1 q
注①等比数列的前 n项和公式有两种形式，在求等比数列的前 n项和时，首先要判断公比 q是否为 1，再由 q的
情况选择相应的求和公式，当不能判断公比 q是否为 1 时，要分 q =1与 q 1两种情况讨论求解．
②已知 a (1 q
n ) a a q
a ,q(q 1),n （项数），则利用 S = 1 求解；已知1 a1,an ,q(q 1) ，则利用 S
1 n 求解．
n n
=
1 q 1 q
③ a1(1 q
n ) a
S = = 1 qn
a1 n
n + = kq
n k(k 0,q 1)， S 为关于 q 的指数型函数，且系数与常数互为相反n
1 q 1 q 1 q
数．
5、等比数列的性质
（1）等比中项的推广．
2
若m + n = p + q 时，则 aman = apaq ，特别地，当m + n = 2p 时， aman = ap ．
31
高考必备
（2）①设{a }为等比数列，则{ a }（ 为非零常数）， ，{am{a } }仍为等比数列． n n n n
②设{a }与n {b }为等比数列，则n {an bn}也为等比数列．
（3）等比数列{a }的单调性（等比数列的单调性由首项 a 与公比 q决定）． n 1
a1 0 a1 0
当 或 时，{a } 为递增数列；
q 1 0 q 1
n
a1 0 a1 0
当 或 时，{a } 为递减数列．
0 q 1
n
q 1
（4）其他衍生等比数列．
若已知等比数列{a } ，公比为 q ，前n 项和为 S ，则： n n
①等间距抽取
ap ,ap+t ,ap+2t , ap+(n 1)t , 为等比数列，公比为 qt ．
②等长度截取
Sm , S2m Sm , S S , 为等比数列，公比为 q
m （当q = 1时，m 不为偶数）．
3m 2m
四、数列求通项公式
类型Ⅰ 观察法：
已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一
个通项．
类型Ⅱ 公式法：
n S S , (n =1)若已知数列的前 项和 n 与 a 的关系，求数列 an
1
的通项 a 可用公式 a =n n n
Sn Sn 1, (n 2)
构造两式作差求解．
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即 a 和 a 合为一个1 n
表达，（要先分 n =1和 n 2 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．
类型Ⅲ 累加法：
an an 1 = f (n 1)

an 1 an 2 = f (n 2)形如 an+1 = a nn + f (n) 型的递推数列（其中 f (n)是关于 的函数）可构造：
...

a2 a1 = f (1)
将上述m 个式子两边分别相加，可得：2 an = f (n 1) + f (n 2) + ... f (2) + f (1) + a1, (n 2)
①若 f (n)是关于 n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
② 若 f (n)是关于 n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
③若 f (n)是关于 n的二次函数，累加后可分组求和；
④若 f (n)是关于 n的分式函数，累加后可裂项求和．
32
高考必备
类型Ⅳ 累乘法：
an
= f (n 1)a
n 1
an 1
a = f (n 2)
形如 a = a f (n) n+1 = f (n) 型的递推数列（其中 f (n) 是关于 n的函数）可构造： a n+1 n n 2
an ...

a2
= f (1)
a1
将上述m 个式子两边分别相乘，可得：2 an = f (n 1) f (n 2) ... f (2) f (1)a1, (n 2)
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．
类型Ⅴ 构造数列法：
（一）形如 a （其中 均为常数且n+1 = pan + q p,q p 0 ）型的递推式：
（1）若 p =1时，数列{ a }为等差数列； n
（2）若 q = 0时，数列{ a }为等比数列； n
（3）若 p 1且 q 0时，数列{ a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下n
两种：
法一：设 an+1 + = p(a + ) ，展开移项整理得 a ，与题设 比较系数（待定系数n n+1 = pan + ( p 1) an+1 = pan + q
q q q q q q q
法）得 = , ( p 0) an+1 + = p(an + ) an + = p(an 1 + ) ，即 a + 构成以 a1 + 为n
p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p 1
q
首项，以 p 为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出 a n+ 的通项整理可得 an .
p 1
a
法二：由 a = pa + q 得 a = pa + q(n 2)两式相减并整理得 n+1
an = p, 即 an+1 an 构成以 为首项，n+1 n n n 1 a2 a1
an an 1
以 p 为公比的等比数列．求出 an+1 an 的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出 an .
（二）形如 an+1 = pan + f (n) ( p 1) 型的递推式：
（1）当 f (n)为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设 an + An + B = p an 1 + A(n 1) + B ，通过待定系数法确定 A、B 的值，转化成以 a1 + A+ B 为首项，以
Am
n！
n = 为公比的等比数列 an + An + B ，再利用等比数列的通项公式求出 an + An + B 的通项整理可得 an . (n m)!
法二：当 f (n)的公差为 d 时，由递推式得： an+1 = pan + f (n)， an = pan 1 + f (n 1)两式相减得：
an+1 an = p(an an 1) + d ，令bn = an+1 an 得：bn = pbn 1 + d 转化为类型Ⅴ㈠求出 bn ，再用类型Ⅲ（累加法）便可
求出 an .
（2）当 f (n)为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设 an + f (n) = p an 1 + f (n 1) ，通过待定系数法确定 的值，转化成以 a1 + f (1) 为首项，以
n！
Amn = 为公比的等比数列 an + f (n) ，再利用等比数列的通项公式求出 an + f (n) 的通项整理可得 a( ) n
.
n m !
法二：当 f (n)的公比为 q时，由递推式得： an+1 = pan + f (n) ——①， an = pan 1 + f (n 1)，两边同时乘以 q得
33
高考必备
a qa
anq = pqa + qf (n 1) ——②，由①②两式相减得n 1 an+1 anq = p(a qa )，即
n+1 n = p，在转化为类型Ⅴ㈠便
n n 1
an qan 1
可求出 an .
法三：递推公式为 a = pa + qn（其中 p，q均为常数）或 a = pa + rqn （其中 p，q， r均为常数）时，要n+1 n n+1 n
a
先在原递推公式两边同时除以 qn+1，得： n+1
p a
= n
1 a p 1
+ ，引入辅助数列 bn （其中b =
n
n ），得：bn+1 n n n+1 = bn +q q q q q q q
再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．
（3）当 f (n)为任意数列时，可用通法：
在 两边同时除以 pn+1
a
a = pa + f (n) 可得到 n+1
a
= n
f (n) a f (n)
+ ，令 n = b ，则b
n+1 n n+1 n n+1 n n n+1
= bn + ，在转化为类型
p p p p pn+1
n
Ⅲ（累加法），求出b 之后得 an n = p bn ．
类型Ⅵ 对数变换法：
形如 a qn+1 = pa ( p 0,an 0)型的递推式：
在原递推式 a qn+1 = pa 两边取对数得 lg an+1 = q lg a + lg p ，令n bn = lg a 得：n bn+1 = qbn + lg p ，化归为an+1 = pan + q
型，求出 之后得 bb a nn n =10 .（注意：底数不一定要取 10，可根据题意选择）．
类型Ⅶ 倒数变换法：
1 1
形如 a a = pa a （ p 为常数且 p 0 ）的递推式：两边同除于n 1 n n 1 n an 1a ，转化为 = + p 形式，化归为n
an an 1
1
a = pa + q 型求出 的表达式，再求n+1 n a ； n
an
ma 1 m 1 m
还有形如 a nn+1 = 的递推式，也可采用取倒数方法转化成 = + 形式，化归为 an+1 = pan + q 型求
pan + q an+1 q an p
1
出 的表达式，再求 a ． n
an
类型Ⅷ 形如 an+2 = pan+1 + qa 型的递推式： n
用待定系数法，化为特殊数列{a a }的形式求解．方法为：设n n 1 an+2 kan+1 = h(a ka ) ，比较系数得n+1 n
h + k = p, hk = q ，可解得 h、k ，于是{a ka }是公比为 h 的等比数列，这样就化归为n+1 n an+1 = pa + q 型． n
总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、
猜想、证明方法求出数列通项公式 an .
（1）公式法
①等差数列的前n 项和公式
n (a1 + an ) n (n 1)
Sn = = na1 + d ．推导方法：倒序相加法；
2 2
②等比数列的前n 项和公式
34
高考必备
na1 (q =1)

Sn = a1 (1 qn ) a a q 推导方法：乘公比，错位相减法．
= 1 n (q 1)
1 q 1 q
（2）分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．
（3）裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
（4）倒序相加法
把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．
（5）错位相减法
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．
（6）并项求和法
n
一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an = ( 1) f (n)类型，可采用两项合并
求解
五、数列求和
一．公式法
n(a + a ) n(n 1)
（1）等差数列 an 的前 n项和 S =
1 n = na + d ，推导方法：倒序相加法． n 1
2 2
na1 ，q =1

（2）等比数列 an 的前 n项和 Sn = a1(1 q
n ) ，推导方法：乘公比，错位相减法．
，q 1
1 q
（3）一些常见的数列的前 n项和：
n n
1
① k =1+ 2 + 3+ + n = n(n +1)； 2k = 2 + 4 + 6 + + 2n = n(n +1)
k=1 2 k=1
n
② (2k 1) =1+ 3+ 5+ + (2n 1) = n2 ；
k=1
n
③ k 2 =12
1
+ 22 + 32 + + n2 = n(n +1)(2n +1)；
k=1 6
n
④ k3 =13
n(n +1)
+ 23 + 33 + + n3 = [ ]2
k=1 2
二．几种数列求和的常用方法
（1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分
组求和法，分别求和后相加减．
（2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前 n项和．
（3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个
数列的前 n项和即可用错位相减法求解．
（4）倒序相加法：如果一个数列 an 与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个
35
高考必备
数列的前 n项和即可用倒序相加法求解．
【解题方法总结】
常见的裂项技巧
积累裂项模型 1：等差型
1 1 1
（1） =
n(n +1) n n +1
1 1 1 1
（2） = ( )
n(n + k) k n n + k
1 1 1 1
（3） = ( )
4n2 1 2 2n 1 2n +1
1 1 1 1
（4） =
n(n +1)(n + 2) 2 n(n +1) (n +1)(n + 2)
1 1 1 1 1
（5） = = ( )
n(n2 1) n(n 1)(n +1) 2 (n 1)n n(n +1)
n2 1 1
（6） = 1+
4n2 1 4 (2n +1)(2n 1)
3n +1 4(n +1) (n + 3) 1 1 1 1
（7） = = 4( ) ( )
(n +1)(n + 2)(n + 3) (n +1)(n + 2)(n + 3) n + 2 n + 3 n +1 n + 2
1
（8） n(n +1) = n(n +1)(n + 2) (n 1)n(n +1) .
3
1
（9） n(n +1)(n + 2) = n(n +1)(n + 2)(n + 3) (n 1)n(n +1)(n + 2)
4
1 1 1 1
（10） =
n(n +1)(n + 2)(n + 3) 3 n(n +1)(n + 2) (n +1)(n + 2)(n + 3)
2n +1 1 1
（11） =
n2 (n +1)2 n2 (n +1)2
n +1 1 1 1
（12） =
2 n (n + 2)2 4 2 n (n + 2)
2

积累裂项模型 2：根式型
1
（1） = n +1 n
n +1 + n
1 1
（2） = ( n + k n)
n + k + n k
1 1
（3） = ( 2n +1 2n 1)
2n 1 + 2n +1 2
1 1 n(n +1) +1 1 1
（4） 1+ + = =1+
n2 (n +1)2 n(n +1) n n +1
1
（5）
3 2 3 3n + 2n +1 + n2 1 + n2 2n +1
36
高考必备
3 3
= 3 n +1 3
3 2 3 2 3 n +1 nn 1( n + 2n +1 + n 1 + n2 2n +1) =
2
1 (n +1) n n n +1 (n +1) n n n +1 1 1
（6） = = =
2
(n +1) n + n n +1 (n +1) n (n n +1)2 n(n +1) n n +1

积累裂项模型 3：指数型
2n (2n+1 1) (2n 1) 1 1
（1） = =
(2n+1 1)(2n 1) (2n+1 1)(2n 1) 2n 1 2n+1 1
3n 1 1 1
（2） = ( )
(3n 1)(3n+1 1) 2 3n 1 3n+1 1
n + 2 2(n +1) n 2 1 1 1 1
（3） = = =
n(n +1) 2n n(n +1) 2n n n +1 2
n n 2n 1 (n +1) 2n
(4n 1) 3n 1 1 9 1 1 3n+1 3n 1
（4） = 3
n 1
=
n(n + 2) 2 (n + 2) n 2 n + 2 n
(2n +1) ( 1)n ( 1)n ( 1)n+1
（5） =
n(n +1) n n +1
1 1
（6） an = n 3
n 1 ，设 an = (an + b)3
n [a(n 1) + b] 3n 1 ，易得 a = ,b = ，
2 4
1 1
于是 an = (2n 1)3
n (2n 3) 3n 1
4 4
n 2
( 1)n (n2 + 4n + 2)2n ( 1)n (n2 + 4n + 2) ( 1) n + n + 2(n +1) + n （ ） 7 = =
n 2n (n +1)2n+1 n (n +1)2n+1 n (n +1)2n+1
( 1)n n 1 1 1 1 ( 1)
n ( 1)n+1
= + ( 1) + = ( )n

+
2n+1 n 2n (n +1) 2n+1

2 2 n n+1

n 2 (n +1) 2
积累裂项模型 4：对数型
an+1 aloga = log
n+1
a loga an
an
积累裂项模型 5：三角型
1 1
（1） = (tan tan )
cos cos sin( )
1 1
（2） = tan(n +1) tan n
cos n cos(n +1) sin1
1
（3） tan tan = (tan tan ) 1
tan( )
tan n tan(n 1)
（4） an = tan tan(n 1); tan1= tan n (n 1) = ，
1+ tan n tan(n 1)
tan n tan(n 1) tan n tan(n 1)
则 tan n tan(n 1) = 1,an = 1
tan1 tan1
积累裂项模型 6：阶乘
n 1 1
（1） =
(n +1)! n! (n +1)!
37
高考必备
n + 2 n + 2 1 n +1 1 1
（2） = = = = -
n!+ (n +1)!+ (n + 2)! n!(n + 2)2 n!(n + 2) (n + 2)! (n +1)! (n + 2)!
常见放缩公式：
1 1 1 1
（1） = (n 2)；
n2 (n 1)n n 1 n
1 1 1 1
（2） = ；
n2 n(n +1) n n +1
1 4 4 1 1
（3） = = 2 ；
n2 4n2 4n2 1 2n 1 2n +1
1 n! 1 1 1 1 1
（4）Tr+1 =C
r
n = = (r 2)；
nr r!(n r )! nr r! r (r 1) r 1 r
n
1 1 1 1
（5） 1+ 1+1+ + + + 3；
n 1 2 2 3 (n 1)n
1 2 2
（6） = = 2( n 1 + n ) (n 2)；
n n + n n 1 + n
1 2 2
（7） = = 2( n + n +1)；
n n + n n + n +1
1 2 2 2 2
（8） = = = 2 ( 2n 1 + 2n +1)；
n n + n 1 1 2n 1 + 2n +1
n + n +
2 2
2n 2n 2n 2n 1 1 1
（9） = = = (n 2)；
2 ( n )( n ) ( n )( n ) ( n )( n 1 ) 2n 1 1 2n(2n 1) 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1
1 1 1 n +1 n 1 1
（10） = =
n3 n n2 (n 1)n(n +1) (n 1)n(n +1) n +1 n 1
1 1 1 1 1 n +1 + n 1
= = 2
(n 1)n n(n +1) n +1 n 1 n 1 n +1 2 n
1 1
2 (n 2)；
n 1 n +1
1 2 2 2
（11） = =
n3 n2 n + n n2 n n 1 + (n 1) n (n 1)n ( n + n 1)
2( n 1 n ) 2 2
= = (n 2)；
(n 1)n n 1 n
1 1 1 2 2 2
（12） = = = ；
2n 1 n C0 1(1+1) 1 n +Cn +C
2
n 1 n(n +1) n n +1
1 2n 1 1 1
（13） = n 2 ．
2n
( )
1 (2n 1 1)(2n 1) 2n 1 1 2n 1
2 1 2
（14） 2( n +1 n) = = 2( n n 1)．
n +1 + n n n + n 1
38
高考必备
必记核心知识点 08 立体几何与空间向量
一、空间几何体的结构特征、三视图和直观图
1．空间几何体的结构特征
（1）多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似
侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相 延长线交于一点
等
侧面形 平行四边形 三角形 梯形
状
（2）旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
母线 互相平行且相等，垂直于底 相交于一点 延长线交于一点
面
轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角 全等的等腰梯形 圆
形
侧面展开 矩形 扇形 扇环
图
2．直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：（1）原图形中 x 轴、 y 轴、 z 轴两两垂直，直观图中， x
轴、 y 轴的夹角为45 （或135 ）， z 轴与 x 轴、 y 轴所在平面垂直．
（2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原
长度不变，平行于 y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
39
高考必备
3．空间几何体的表面积与体积公式
名称几何体 表面积 体积
柱体（棱柱和圆柱） S = S + 2S V = S 底 h 表面积 侧 底
锥体（棱锥和圆锥） S表面积 = S + S 1侧 底 V = S 底 h
3
台体（棱台和圆台）
S表面积 = S + S + S 1侧 上 下 V = (S + S + S S )h
3
球 S = 4 R2 4 3
V = R
3
二、空间几何体的表面积与体积
名称几何体 表面积 体积
柱体（棱柱和圆柱） S 表面积= S 底 侧 + 2S V = S h 底
锥体（棱锥和圆锥） S 表面积= S 侧+S 底 1
V = S h
底
3
台体（棱台和圆台） S 表面积= S 侧+S 上+S
下 1V = (S上 + S下 + S上S下 )h
3
球 S = 4 R2 4 3
V = R
3
三、空间两直线的位置关系
1．平面的基本性质
（1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
（2）公理 2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．
（3）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
2．空间点、直线、平面之间的位置关系
直线与直线 直线与平面 平面与平面
平行关系 图形语言
符号语言 a / /b a / /a / /
相交关系 图形语言
40
高考必备
直线与直线 直线与平面 平面与平面
符号语言 a b = A a = A = l
独有关系 图形语言
符号语言 a,b是异面直线 a a
3．平行公理（公理 4）和等角定理
平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
4．异面直线所成的角
（1）定义：设a,b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a / /a,b / /b，把a 与b 所成的锐角（或直角）
叫做异面直线 a 与b 所成的角（或夹角）．

（2）范围： 0, ．
2
四、直线、平面平行的判定与性质
1．直线与平面平行
（1）直线与平面平行的定义
直线 l 与平面 没有公共点，则称直线 l 与平面 平行．
（2）判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定定理 平面外一条直线与此平面内的 a a,b a,a / /b a / /a
一条直线平行，则该直线平行于
此平面
性质定理 一条直线和一个平面平行，则
过这条直线的任一平面与此平面 a / / ,a ,a = b a / /b
的交线与该直线平行
41
高考必备
2．平面与平面平行
（1）平面与平面平行的定义
没有公共点的两个平面叫做平行平面．
（2）判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定定 一个平面内的两条相
理 交直线与另一个平面平 a a,b a,a b = P,a / / ,b / / a / /
行，则这两个平面平行
性质定 两个平面平行，则其 / / ,a a a / /
理 中一个平面内的直线平
行于另一个平面
如果两个平行平面同 / / , = a， = b a / /b
时和第三个平面相交，
那么它们的交线平行
五、直线、平面垂直的判定与性质
1．直线与平面垂直
（1）判定直线和平面垂直的方法
①定义法．
②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和此平面
垂直．
③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个
平面．
（2）直线和平面垂直的性质
①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．
②垂直于同一个平面的两条直线平行．
③垂直于同一条直线的两平面平行．
文字语言 图形表示 符号表示
l ⊥ a

l ⊥ b

a b = 0 l ⊥ a
判定定 一条直线与一个平面内的两条相交直线 a a

理 都垂直，则该直线与此平面垂直 b a
42
高考必备
文字语言 图形表示 符号表示
l ⊥ a

l ⊥ b

a b = 0 l ⊥ a
判定定 一条直线与一个平面内的两条相交直线 a a

理 都垂直，则该直线与此平面垂直 b a
性质定 两直线垂直于同一个平面，那么这两条直 a ⊥
a / /b
理 线平行 b ⊥
2．平面与平面垂直
（1）平面与平面垂直的判定方法
①定义法．
②利用判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
（2）平面与平面垂直的性质
两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．
六、空间向量、加减运算及数乘运算
（1）空间向量
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也可用有向线
段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量 a 的起点是 A，终点是 B ，则向量 a 也可以记作 AB ，其模记为 a 或
AB ．
（2）零向量与单位向量
规定长度为 0 的向量叫做零向量，记作 0 ．当有向线段的起点 A与终点 B 重合时， AB = 0．
模为 1 的向量称为单位向量．
（3）相等向量与相反向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．空间任意
两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量．
与向量 a 长度相等而方向相反的向量，称为 a 的相反向量，记为 a．
（4）空间向量的加法和减法运算
①OC =OA+OB = a + b ， BA =OA OB = a b ．如图所示．
②空间向量的加法运算满足交换律及结合律
43
高考必备
a + b = b + a ， (a + b) + c = a + (b + c)
（5）数乘运算
实数 与空间向量 a 的乘积 a 称为向量的数乘运算．当 0 时， a 与向量 a 方向相同；当 0 时，向量 a
与向量 a 方向相反． a 的长度是 a 的长度的 倍．
（6）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律
(a + b) = a + b， ( a) = ( )a ．
（7）共线向量与平行向量
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，
记作 a / /b ．
（8）共线向量定理
对空间中任意两个向量 a ， b (b 0)， a / /b 的充要条件是存在实数 ，使 a = b ．
（9）直线的方向向量
如图 8-153 所示， l 为经过已知点 A且平行于已知非零向量 a 的直线．对空间任意一点O ，点 P 在直线 l 上的充
要条件是存在实数 t ，使OP = OA+ ta①，其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量，在 l 上取 AB = a ，则式①可化为
OP =OA+ t AB =OA+ t (OB OA) = (1 t )OA+ tOB②
1 1
①和②都称为空间直线的向量表达式，当 t = ，即点 P 是线段 AB 的中点时，OP = (OA+OB)，此式叫做
2 2
线段 AB 的中点公式．
（10）共面向量
如图 8-154 所示，已知平面 与向量 a ，作OA = a，如果直线OA平行于平面 或在平面 内，则说明向量a 平
行于平面 ．平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
（11）共面向量定理
如果两个向量 a ， b 不共线，那么向量 p 与向量 a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 (x, y)，使
p = xa + yb ．
推论：①空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在有序实数对 (x, y)，使 AP = xAB + y AC ；或对空间任
意一点O ，有OP OA = xAB + y AC ，该式称为空间平面 ABC 的向量表达式．
②已知空间任意一点O 和不共线的三点 A，B ，C ，满足向量关系式OP = xOA + yOB + zOC（其中 x + y + z =1）
的点 P 与点 A， B ，C 共面；反之也成立．
44
高考必备
七、空间向量的数量积运算
（1）两向量夹角
已知两个非零向量 a ，b ，在空间任取一点O ，作OA = a，OB = b，则 AOB 叫做向量 a ，b 的夹角，记作 a,b ，

通常规定 0 a,b ，如果 a,b = ，那么向量 a ，b 互相垂直，记作 a ⊥ b．
2
（2）数量积定义
已知两个非零向量 a ， b ，则 a b cos a,b 叫做 a ， b 的数量积，记作 a b，即 a b = a b cos a,b ．零向量与
2
任何向量的数量积为 0，特别地， a a = a ．
（3）空间向量的数量积满足的运算律：
( a) b = (a b)， a b = b a （交换律）；
a (b + c) = a b + a c （分配律）．
八、空间向量的坐标运算及应用
（1）设 a = (a1,a2 ,a )，3 b = (b1,b2 ,b )，则3 a + b = (a ； 1 + b1,a2 + b2 ,a3 + b3 )
a b = (a1 b1,a2 b2 ,a3 b ； 3 )
a = ( a1, a2 , a ； 3 )
a b = a1b1 + a2b2 + a3b3 ；
a / /b(b 0) a1 = b1,a2 = b2 ,a3 = b3 ；
a ⊥ b a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0 ．
（2）设 A(x1, y1, z1 )， B(x2 , y2 , z2 )，则 AB =OB OA = (x2 x1, y2 y1, z2 z1 )．
这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标．
（3）两个向量的夹角及两点间的距离公式．
2
①已知 a = (a ,a ,a )，b = (b ,b ,b )，则 a = a = a 21 + a
2
2 + a
2 ；
1 2 3 1 2 3 3
2
b = b = b 21 + b
2
2 + b
2
3 ；
a b = a1b1 + a2b2 + a3b3 ；
a b + a b
cos a,b = 1 1 2 2
+ a3b3 ；
a 2 + a 2 + a 2 b 2 + b 21 2 3 1 2 + b
2
3
2 2 2
②已知 A(x1, y1, z1 )， B(x2 , y2 , z2 )，则 AB = (x1 x2 ) + ( y1 y2 ) + (z1 z2 ) ，
或者 d (A, B) = AB ．其中 d (A, B)表示 A与 B 两点间的距离，这就是空间两点的距离公式．
a b
（4）向量 a 在向量b 上的投影为 a cos a,b = ．
b
45
高考必备
九、向量法证明平行、垂直
（1）平面的法向量：
如果表示向量 n 的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ，记作 n ⊥ ，如果 n ⊥ ，那
么向量 n 叫做平面 的法向量．
注意：
①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量 n 是平面的法向量，向量m 是与平
面平行或在平面内，则有m n = 0．
第一步：写出平面内两个不平行的向 a = (x1 ，y1 ，z1 )，b = (x ，y ； 2 2 ，z2 )
n a = 0 xx + yy + zz = 0
第二步：那么平面法向量 n = (x，y，z) ，满足 1 1 1 ．
n b = 0 xx2 + yy2 + zz2 = 0
（2）判定直线、平面间的位置关系
①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线 a，b 的方向向量分别为 a ，b ．
若 a ∥b ，即 a = b ，则 a∥b；
若 a⊥b ，即 a b = 0，则 a⊥b．
②直线与平面的位置关系：直线 l 的方向向量为 a ，平面 的法向量为 n ，且 l⊥ ．
若 a ∥ n ，即 a = n ，则 l⊥ ；
若 a⊥n，即 a n = 0，则 a∥ ．
（3）平面与平面的位置关系
平面 的法向量为 n1 ，平面 的法向量为 n2 ．
若 n1 ∥ n2 ，即 n1 = n2 ，则 ∥ ；若 n1⊥ n2 ，即 n1 n2 = 0，则 ⊥ ．
十、空间角与距离公式
（1）异面直线所成角公式：设 a ， b 分别为异面直线 l1 ， l2 上的方向向量， 为异面直线所成角的大小，则
a b
cos = cos a,b = ．
a b
46
高考必备
（2）线面角公式：设 l 为平面 的斜线， a 为 l 的方向向量， n 为平面 的法向量， 为
a n
l 与 所成角的大小，则 sin = cos a,n = ．
a n
（3）二面角公式：
设 n1 ， n2 分别为平面 ， 的法向量，二面角的大小为 ，则 = n1,n 或 n ,n （需要根据具体情况判2 1 2
n1 n2
断相等或互补），其中 cos = ．
n1 n2
（4）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算．
如图，设两条异面直线 a，b的公垂线的方向向量为 n ，这时分别在 a，b上任取 A，B 两点，则向量在 n 上的正
n | AB n |
射影长就是两条异面直线 a，b的距离．则 d =| AB |= 即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任
| n | | n |
取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．
（5）点到平面的距离
A为平面 外一点（如图）， n 为平面 的法向量，过 A作平面 的斜线 AB 及垂线 AH ．
| AB n | | AB n |
| AH |=| AB | sin =| AB | | cos AB,n | = | AB | =
AB n n
| AB n |
故 d =
| n |
47
高考必备
必记核心知识点 09 直线与圆、圆锥曲线
一、直线的方程
1．直线的倾斜角
（1）定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜
角．
（2）规定：当直线 l 与 x 轴平行或重合时，它的倾斜角为 0．
（3）范围：直线 l 倾斜角的取值范围是 0, )．
2．斜率公式

（1）定义式：直线 l 的倾斜角为 ，则斜率 k = tan ．
2
y y
（2）坐标式： P1 (x1, y1 ) , P2 (x2 , y2 )（在直线 l 上，且 x
2 1
1 x2 ，则 l 的斜率 k = ．
x2 x1
3．直线方程的 5 种形式
名称 方程 适用条件
点斜 y y0 = k (x x ) 不含垂直于 x 轴的直线 0
式
斜截 y = kx + b 不含垂直于 x 轴的直线
式
两点 y y
1
x x 不含直线 x = x x x 和直线
= 1 1 ( 1 2 )
式 y2 y1 x2 x1
y = y1 ( y1 y2 )
截距 x y 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
+ =1
式 a b
一般 平面内所有直线
2 2
式 Ax + By +C = 0, A + B 0
二、两直线的位置关系
1．两条直线平行与垂直的判定
（1）两条直线平行：
①对于两条不重合的直线 l1, l2 ，若其斜率分别为 k1, k2，则有 l1 / /l2 k1 = k2 ．
②当直线 l1, l2 不重合且斜率都不存在时， l1 / /l2 ．
两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况．
（2）两条直线垂直：
①如果两条直线 l1, l2 的斜率存在，设为 k1, k2，则有 l1 ⊥ l2 k1 k2 = 1．
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为 0 时， l1 ⊥ l2 ．
48
高考必备
2．两条直线的交点的求法
Ax + B, y +C1 = 0,
直线 l1 : A1x + B1y +C1 = 0, l2 : A2x + B2 y +C2 = 0 ，则 l1与 l2 的交点坐标就是方程组 的解．
A2x + B2 y +C2 = 0,
3．三种距离公式
2 2
（1） P1 (x1, y1 ) , P2 (x2 , y2 )两点之间的距离： P1P2 = (x2 x1 ) + ( y2 y1 ) ．
Ax + By +C
（2）点P0 (x0 , y )
0 0
0 到直线 l : Ax + By +C = 0的距离：d = ．应用点到直线的距离公式时，直线
A2 + B2
方程必须是一般式
C1 C2
（3）平行线 Ax + By +C1 = 0 与 Ax + By +C2 = 0间距离：d = ．两平行线的距离公式中，两直线方
A2 + B2
程的一般式中 x, y 的系数要对应相等
常用结论
1．过定点P(x0 , y0 )的直线系方程：A(x x0 )+ B ( y y ) = 0(A2 + B2 0)，还可以表示为 y y0 = k (x x0 0 )
和 x = x0．
2．平行于直线 Ax + By +C = 0 的直线系方程： Ax+ By + = 0( C)．
3．垂直于直线 Ax + By +C = 0 的直线系方程：Bx Ay + = 0．
4．过两条已知直线 A1x + B1y +C1 = 0, A2x + B2 y +C2 = 0交点的直线系方程：
A1x+ B1y +C1 + (A2x+ B2 y +C2 ) = 0（不包括直线 A2x + B2 y +C2 = 0）和 A2x + B2 y +C2 = 0．
5．点 (x, y)关于 x 轴的对称点为 (x, y)，关于 y 轴的对称点为 ( x, y)．
6．点 (x, y)关于直线 y = x 的对称点为 ( y, x)，关于直线 y = x 的对称点为 ( y, x)．
7．点 (x, y)关于直线 x = a的对称点为 (2a x, y)，关于直线 y = b的对称点为．
8．点 (x, y)关于点 (a,b)的对称点为 (2a x,2b y)．
9．点 (x, y)关于直线 x + y = k 的对称点为 (k y,k x)，关于直线 x y = k 的对称点为 (k + y, x k )．
三、圆的方程
1．圆的定义及方程
定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）
标准方程 2 2(x a) + ( y b) = r2 (r 0) 圆心：（a，b），半径： r
两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况．
D E
圆心： , ，
2 2
2 2 2 2
一般方程 x + y +Dx+ Ey + F = 0,(D + E 4F 0)
1
半径： D2 + E2 4 F
2
49
高考必备
2．点与圆的位置关系
2 2
点M (x0 , y0 )与圆 (x a) + ( y b) = r
2 的位置关系：
2 2
（ 21）若M (x0 , y0 )在圆外，则 (x a) + ( y b) r ． 0 0
2 2
（2）若M (x0 , y0 )在圆上，则 (x0 a) + ( y0 b) = r
2 ．
2 2
（3）若M (x0 , y0 )在圆内，则 (x0 a) + ( y0 b) r
2 ．
常用结论
A = C 0,
2 2
（1）二元二次方程 Ax + Bxy +Cy + Dx + Ey + F = 0表示圆的充要条件是 B = 0,

D
2 + E 2 4 F 0.
（2）以 A(x1, y1 ) , B (x2 , y2 )为直径端点的圆的方程为 (x x1 ) (x x2 )+ ( y y1 )( y y2 ) = 0．
四、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系（半径为 r ，圆心到直线的距离为 d ）
相离 相切 相交
图形
量 方程观点 0 = 0 0
化 几何观点 d r d = r d r
2．圆与圆的位置关系
设两圆的圆心距为d ，两圆的半径分别为R,r (R r )，则
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
公共点个数 0 1 2 1 0
d , R, r 的关
系 d R + r d = R + r R r d R + r d = R r d R r
公切线条数 4 3 2 1 0
判断圆与圆位置关系的注意点
对于圆与圆的位置关系，从交点的个数，也就是方程组的解的个数来判断，有时得不到确切的结论．如当 0时，
需要再根据图形判断两圆是外离，还是内含；当 = 0时，还需要判断两圆是外切，还是内切．
常用结论
1．圆的切线方程常用结论
2 2 2
（1）过圆 x + y = r 上一点P(x 20 , y0 )的圆的切线方程为 x0x + y0 y = r ．
50
高考必备
2 2 2
（2）过圆 (x a) + ( y b) = r2 上一点P(x0 , y0 )的圆的切线方程为 (x0 a)(x a)+ ( y0 b)( y b) = r ．
x2 + y2 = r 2（3）过圆 外一点M (x 20 , y0 )作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 x0x + y y = r ． 0
2．圆系方程
2 2
（1）同心圆系方程： (x a) + ( y b) = r2 (r 0)，其中a,b是定值， r 是参数；
2 2
（2）过直线 Ax + By +C = 0 与圆 x + y + Dx + Ey + F = 0交点的圆系方程：
x2 + y2 +Dx+ Ey

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