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湖南省娄底市2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题
一、选择题（每小题3分，共10小题，满分30分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．下列4个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．该图是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意；
B．该图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故符合题意；
C．该图是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意；
D．该图不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意；
故选B．
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形；将图形沿某一点旋转180°后能够重合的图形为中心对称图形.
2．在平面直角坐标系中，点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：，
∴点位于第三象限；
故选：C．
【分析】平面直角坐标系中象限内点的特征：第三象限，横坐标负、纵坐标负，所以判定 点位于第三象限.
3．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　）
A．7，8，9 B．4，5，6 C．5，12，13 D．8，9，10
【答案】C
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、∵，∴7、8、9三个数不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
B、∵，∴4、5、6三个数不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
C、∵，∴5、12、13三个数是“勾股数”，故本选项符合题意；
D、∵，∴8、9、10三个数不是“勾股数”，故本选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】如果三个正整数满足较小两个的平方和等于最大数的平方，则这三个数就是勾股数，据此逐一判断即可.
4．某人在射击练习中共射击6次，其中有3次在8环以上，他在这6次射击中，成绩在8环以上的频率是（　　）．
A．3 B．2 C．0.3 D．0.5
【答案】D
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：根据频率公式：，
因此，成绩在8环以上的频率为0.5．
故选：D．
【分析】频率的计算方式：频率=频数÷总次数．将频数=3次，射击次数=6代入公式，得到频率．
5．剪纸，作为源远流长的中国民间艺术瑰宝，深藏着图形变换的无穷奥秘与精妙技艺．如图是一张蕴含轴对称变换的蝴蝶剪纸，将其放到直角坐标系中，则点关于轴的对称点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：已知点，求它关于轴的对称点的坐标，根据对称性质可得B点坐标为。
故选：A．
【分析】本题主要考查点关于y轴对称的坐标规律，只需要用“关于y轴对称的点，纵坐标保持不变，横坐标互为相反数”这一性质，就能求解对应点的坐标.
6．下列各组条件中，不能判断一个四边形是平行四边形的条件是（　　）
A．一组对边相等且平行 B．两条对角线互相平分
C．一组对边平行另一组对边相等 D．两组对边分别相等
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】A、∵一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，
∴选项不符合题意；
B、∵两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴选项不符合题意；
C、∵一组对边平行另一组对边相等的四边形可能是平行四边形或等腰梯形，
∴选项符合题意；
D、∵两组对角分别相等的四边形是平行四边形，
∴选项不符合题意；
故选：C．
【分析】根据 平行四边形的判定定理 ：1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；4. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5. 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 分别对各个选项进行判断即可．
7．物理学知识表明，在液体深度一定时，液体压强与液体密度有关，液体密度越大，液体压强越大．小文用如图1的装置探究两种液体压强与液体深度关系时，画出了如图2所示的图象．根据图象，两种液体的密度与的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图1结合物理知识可得：液体1的压强大，
∵在液体深度一定时，液体压强与液体密度有关，液体密度越大，液体压强越大，
∴．
故选A．
【分析】由图1、 图2 可知相同深度，由图可知：液体 1 的压强， 然后根据在液体深度一定时，液体压强与液体密度有关，液体密度越大，液体压强越大解答即可.
8．过射线上一点分别向的两边作垂线，得到垂线段与，若垂线段，则可以得到一对全等三角形，为了证明，运用到的全等三角形判定定理是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：由题意可知，从射线上一点向的两边作垂线，得到两条垂线段和，
因此可得，
在两个直角三角形中，是公共边，且已知，
所以，
由此可知，证明时，用到的全等三角形判定定理是，
故选D.
【分析】本题考查直角三角形全等的判定中关于直角三角形全等的判定方式，掌握利用判定直角三角形全等的方法是解题的关键.
9．如图，在作线段的垂直平分线时，小聪是这样操作的：分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点C，D，则直线即为所求．根据他的作图方法可知四边形一定是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：∵分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点C，D，
∴，
∴四边形是菱形．
故选：B．
【分析】根据基本作图，得到，因为四边相等的四边形是菱形，可以判定四边形是菱形．
10．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，……，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为，则第2025个矩形的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
矩形的面积为，菱形的四个顶点分别是，，，的中点，矩形的四个顶点分别是，，，的中点，连接，，设，，则，
∴，，
∵矩形的四个顶点分别是，，，的中点，
∴是中位线，是中位线，
∴，，
∴矩形的面积为，即后一个矩形的面积是前一个矩形的面积乘以，
∴第二个矩形的面积是，
∴第三个矩形的面积是，
∴第四个矩形的面积是，
……
∴第个矩形的面积是，
∴第2025个矩形的面积为．
故选：B．
【分析】第一个矩形的面积为，易得AEFC为矩形，故AC=EF，根据三角形中位线的性质得，易得第二个矩形的面积为，第三个矩形的面积为，依此类推，第个矩形的面积为，即可求解．
二、填空题．（共8小题，每题3分，满分24分）
11．在中，若，，则　 　．
【答案】
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在中，若，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据直角三角形两锐角互余即可得．
12．如果一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数是　 　．
【答案】8
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，
由题意得：，
解得：；
故答案为：8．
【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和公式：n 边形内角和 =建立方程
13．在平面直角坐标系中，若点和点关于x轴对称，则　 　．
【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：点和点关于x轴对称，
，，
．
故答案为：．
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标变化特征"横坐标相同，纵坐标互为相反数"可求得m、n的值，再求和即可．
14．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，，，则图中阴影部分的面积是　 　．
【答案】12
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理的逆定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，且，，，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：12．
【分析】先根据“如果三角形三条边长满足：较小两边的平方和 = 最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形”求出是直角三角形，再根据“两角及其夹边对应相等，两三角形全等”可得，从而可得阴影部分的面积等于，然后求即可．
15．已知一次函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：不等式可以看成一次函数中函数值小于0的部分，
从图中可以看出时，．
故答案为：．
【分析】根据一次函数与一元一次不等式的关系，观察图像，可直接得出当时，．故不等式 的解集为．
16．如图是一组数据的频数分布直方图，一至四组各小长方形的高之比为，若第一组的频数是40，则第二组的频数比第四组的频数多　 　．
【答案】60
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：设这四组的频数分别为、、、x，
由第一组的频数为40可得，即，
第二组频数比第四组频数多，
故答案为：60．
【分析】设这四组的频数分别为、、、x，由第一组的频数为40求得， 第二组频数比第四组频数多， 带入得出答案．
17．如图，在中，，是斜边上的中线，、分别为、的中点，若，则　 　 ．
【答案】2
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：已知在中，，CD是斜边AB上的中线，且斜边AB长为8，
，
又因为E、F分别是DB、BC的中点，
根据三角形中位线的定义可知，是的中位线，
，
故填：．
【分析】先利用直角三角形的性质求出CD的长度，再结合三角形中位线定理计算EF的长度即可.
18．我们规定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标之和等于8的点称为“吉星点”，现有以下结论：
①第一象限内有无数个“吉星点”；②第三象限内不存在“吉星点”；③已知点，，若点P是“吉星点”且在坐标轴上，则点P到直线的距离为2；④已知点O为坐标原点，若点Q是第一象限内的“吉星点”，则的最小值为．其中正确的是　 　（填序号）
【答案】①②④
【知识点】二次根式的性质与化简；点到直线的距离；一次函数的实际应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：由题意知 ，第一象限内有无数个“吉星点”， ①正确，故符合题意；
∵第三象限的点，横、纵坐标均为负，和为负，
∴第三象限内不存在“吉星点”，②正确，故符合题意；
∵点是“吉星点”且在坐标轴上，
∴或，
∵点，，
∴直线轴，
∴点到直线的距离为或2，③错误，故不符合题意；
如图，由题意知，是第一象限中直线图象上的一点，
∴当时，最短，
对于直线，时，则，
解得：，
∴，
当，
∴，
∴，
∵，
∴，
故④正确，符合题意，
故答案为：①②④．
【分析】明确 “吉星点” 的定义：设点的坐标为 (x，y)，题目规定：横、纵坐标之和等于 8，即
x + y = 8，所以，所有 “吉星点” 都在直线 y = -x + 8上. 根据第一、三象限点坐标的特征，可判断①②的正确；由点是“吉星点”且在坐标轴上，可得或，由点坐标，可知直线轴，则点到直线的距离为或2，可判断③的错误；由题意知，是第一象限中直线图象上的一点，当时，最短，再根据面积法， 求解，即可判断④正确．
三、解答题．（本大题总分66分）
19．如图，在直角坐标系中，．
（1）求的面积；
（2）若把向下平移2个单位，再向右平移5个单位得到，画出并写出的坐标．
【答案】（1）的面积是：；
（2）解：作图如下：
∴点的坐标为：．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）根据三角形面积公式：求面积即可；
（2）根据平移的性质确定对应点，顺次连线即可得到．
（1）解：的面积是：；
（2）作图如下：
∴点的坐标为：．
20．如图，四边形是某公园的一块空地，已知，，，，，现计划在该空地上种植草皮，求该空地上种植草皮的面积是多少？
【答案】解：，，，
，
在中，由勾股定理得：，
∵，，
∴，，
，
，
，
答：在该空地上种植草皮面积．
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】根据含30度角的直角三角形中，30°所对直角边等于斜边一半得到，由勾股定理得到，根据如果三角形三条边长满足：较小两边的平方和 = 最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，证明，得到，再根据列式求解即可．
21．学校举行了“三独”比赛，赛后组委会整理参赛同学的成绩，并制作了如图不完整的频数分布表和频数分布直方图．
分数段（选手为x分） 频数（人数） 频率
8 0.2
a 0.3
16 b
4 0.1
请根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）表中的________，________；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若用扇形统计图来描述成绩分布情况，请你求出分数段对应扇形的圆心角的度数．
【答案】（1），
（2）解：依题意，由（1）得；
补全频数分布直方图如图：
（3）解：小组的频率为0.4，
分数段对应扇形的圆心角的度数
答：分数段对应扇形的圆心角是.
【知识点】频数与频率；频数（率）分布直方图；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】（1）解：小组的频数为8，频率是0.2
（人），
（人），，
故答案为：，；
【分析】（1）先运用的数据，根据总人数=频数频率，求出总人数40人，再根据频数=总人数频率，算出的频数，根据频率=频数总人数，算出的频率．
（2）结合（1）中的，补全频数分布直方图．
（3）用的数据，根据圆心角=频率，求出圆心角，即可作答.
（1）解：小组的频数为8，频率是0.2
（人），
，，
故答案为：，；
（2）解：依题意，由（1）得；
补全频数分布直方图如图：
（3）解：小组的频率为0.4，
分数段对应扇形的圆心角的度数
答：分数段对应扇形的圆心角是．
22．如图所示，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）若AD＝5，BD＝12，求DE的长．
【答案】证明：（1）∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠ECD=90°∵∠ACE=∠DCE-∠DCA，∠BCD=∠ACB-∠DCA∴∠ACE=∠BCD∴△ACE≌△BCD（SAS）；（2）∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形∴∠BAC=∠B=45°∵△ACE≌△BCD∴AE=BD=12，∠EAC=∠B=45°∴∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°，∴△EAD是直角三角形
（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠ECD=90°
∵∠ACE=∠DCE-∠DCA，∠BCD=∠ACB-∠DCA
∴∠ACE=∠BCD
∴△ACE≌△BCD（SAS）
（2）解：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形
∴∠BAC=∠B=45°
∵△ACE≌△BCD
∴AE=BD=12，∠EAC=∠B=45°
∴∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°，
∴△EAD是直角三角形
【知识点】三角形全等及其性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性质可得AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠ECD=90°，再利用角的运算和等量代换可得∠ACE=∠BCD，最后利用“SAS”证出△ACE≌△BCD即可；
（2）先利用等腰直角三角形的性质可得∠BAC=∠B=45°，再利用全等三角形的性质可得AE=BD=12，∠EAC=∠B=45°，最后利用角的运算求出∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°，从而可证出△EAD是直角三角形.
23．如图所示，点O是菱形两对角线、的交点，且，，连接．
（1）求证：；
（2）若菱形的面积为16，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：，，四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，，
，
∴四边形是矩形，
，
∵，
（2）解：∵四边形是菱形，，，
即，
则
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据：“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形，结合“菱形四条边都相等，菱形的对角线互相垂直平分”得，，然后得出四边形是矩形，根据“矩形的对角线相等”得OE=BC．
（2）因为四边形是菱形，则，，根据“菱形的面积等于对角线乘积的一半”故，整理得，然后代入数值计算．
（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，，
，
∴四边形是矩形，
，
∵，
，
（2）解：∵四边形是菱形，
，，
即，
则
24．某商店销售A型和B型两种型号的电脑，销售一台A型电脑可获利120元，销售一台B型电脑可获利140元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍．设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
（1）求销售总利润y与x之间的关系式；
（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售利润最大？求此时的最大利润．
【答案】（1）解：由题意可得，∵B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，
，
解得
自变量x的取值范围为：，且x为正整数，
与x的函数关系式为：（，且x为正整数）
（2）解：，，
随x的增大而减小，
，且x为正整数
当时，y有最大值，最大值为，此时，
答：该商店购进A型电脑25台，B型电脑75台能使销售利润最大，最大利润是13500元
【知识点】一元一次不等式的应用；用关系式表示变量间的关系；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）A型电脑的总利润为：元，B型电脑的总利润为：，根据题意列出函数关系，再根据B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，列出不等式，求出x的取值范围即可；
（2）根据（1）所列函数关系式和自变量的取值范围，利用一次函数的性质求解即可．
（1）解：由题意可得，
∵B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，
，
解得
自变量x的取值范围为：，且x为正整数，
与x的函数关系式为：（，且x为正整数）；
（2）解：，，
随x的增大而减小，
，且x为正整数
当时，y有最大值，最大值为，此时，
答：该商店购进A型电脑25台，B型电脑75台能使销售利润最大，最大利润是13500元．
25．【提出问题】
探究一次函数（k是不为0的常数）图象的共性特点．
【探究过程】
小明尝试把代入时，发现可以消去k，竟然求出了．
小芳尝试把变形为，并用代入时，也就是说当时，无论k取何值时，．
老师问：结合一次函数图象，这说明了什么？
小组讨论得出：无论k取何值，一次函数的图象一定会经过定点．
老师：如果一次函数的图象是经过某一个定点的直线，那么我们把像这样的一次函数的图象定义为“点旋转直线”．
已知一次函数的图象是“点旋转直线”．
（1）一次函数的图象经过的定点P的坐标是________．
（2）已知一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B．若的面积为3，求k的值．
【答案】（1）
（2）解：一次函数的图象与x轴，y轴分别相交于点A，B，当，则，
∴，
的面积为3，
，
解得或
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：∵
∴，
由，得，
当时，，
；
【分析】（1）把化为，根据小芳的计算方法，令k的系数为0，即，求解即可；
（2）求解， O 是原点 (0，0)，B 在 y 轴上，所以 OB 的长度就是 |k-1|；点 P 到 y 轴的距离，就是 P 的横坐标的绝对值：|-1|=1；可得，再进一步求解即可.
（1）解：∵
∴，
由，得，
当时，，
；
（2）解：一次函数的图象与x轴，y轴分别相交于点A，B，
当，则，
∴，
的面积为3，
，
解得或．
26．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，顶点C，D都在第一象限内，的长分别为4和3．
（1）求正方形的面积；
（2）求直线的解析式；
（3）将直线平移得到直线l，问是否存在直线l恰好平分正方形的面积？若存在，请写出平移方式并求出此时直线l的解析式；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：，的长分别为4和3，
在中：，
；
（2）解：如图所示，过点C作于点E，
且的长分别为4和3，
，，
四边形ABCD是正方形，
，
在中，
又，
（同角的余角相等）
在和中，
，
，．
．
点C的坐标为
设直线的解析式为，
把，代入得，解得
直线的解析式为.
（3）解：如图所示，连接正方形的两对角线，与相交于点P，
正方形的两对角线互相平分
点P是线段的中点，
，
点P的坐标为，即
，，
直线的解析式为
由正方形的中心对称性可知，当直线l经过点P时，直线l平分正方形的面积
又直线l是由直线平移得到，
设直线l的解析式为，把代入得，解得
直线l的解析式为；
即由直线向上平移2个单位长度（或者向左平移个单位长度）可得直线．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；一次函数的实际应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出，根据正方形的性质得；
（2）过点C作于点E，根据“两角和其中一角的对边对应相等，两三角形全等”证明，求出点的坐标，，代入得，求解即可；
（3）根据中点坐标公式，求出P的坐标，得到直线的解析式为，根据正方形的中心对称性，当直线l经过点P时，直线l平分正方形的面积，得到直线l的解析式为．
（1）解：，的长分别为4和3，
在中：，
；
（2）如图所示，过点C作于点E，
且的长分别为4和3，
，，
四边形ABCD是正方形，
，
在中，
又，
（同角的余角相等）
在和中，
，
，．
．
点C的坐标为
设直线的解析式为，
把，代入得，解得
直线的解析式为．
（3）如图所示，连接正方形的两对角线，与相交于点P，
正方形的两对角线互相平分
点P是线段的中点，
，
点P的坐标为，即
，，
直线的解析式为
由正方形的中心对称性可知，当直线l经过点P时，直线l平分正方形的面积
又直线l是由直线平移得到，
设直线l的解析式为，把代入得，解得
直线l的解析式为；
即由直线向上平移2个单位长度（或者向左平移个单位长度）可得直线．
1 / 1湖南省娄底市2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题
一、选择题（每小题3分，共10小题，满分30分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．下列4个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．在平面直角坐标系中，点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　）
A．7，8，9 B．4，5，6 C．5，12，13 D．8，9，10
4．某人在射击练习中共射击6次，其中有3次在8环以上，他在这6次射击中，成绩在8环以上的频率是（　　）．
A．3 B．2 C．0.3 D．0.5
5．剪纸，作为源远流长的中国民间艺术瑰宝，深藏着图形变换的无穷奥秘与精妙技艺．如图是一张蕴含轴对称变换的蝴蝶剪纸，将其放到直角坐标系中，则点关于轴的对称点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
6．下列各组条件中，不能判断一个四边形是平行四边形的条件是（　　）
A．一组对边相等且平行 B．两条对角线互相平分
C．一组对边平行另一组对边相等 D．两组对边分别相等
7．物理学知识表明，在液体深度一定时，液体压强与液体密度有关，液体密度越大，液体压强越大．小文用如图1的装置探究两种液体压强与液体深度关系时，画出了如图2所示的图象．根据图象，两种液体的密度与的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
8．过射线上一点分别向的两边作垂线，得到垂线段与，若垂线段，则可以得到一对全等三角形，为了证明，运用到的全等三角形判定定理是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在作线段的垂直平分线时，小聪是这样操作的：分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点C，D，则直线即为所求．根据他的作图方法可知四边形一定是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形
10．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，……，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为，则第2025个矩形的面积为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题．（共8小题，每题3分，满分24分）
11．在中，若，，则　 　．
12．如果一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数是　 　．
13．在平面直角坐标系中，若点和点关于x轴对称，则　 　．
14．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，，，则图中阴影部分的面积是　 　．
15．已知一次函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为　 　．
16．如图是一组数据的频数分布直方图，一至四组各小长方形的高之比为，若第一组的频数是40，则第二组的频数比第四组的频数多　 　．
17．如图，在中，，是斜边上的中线，、分别为、的中点，若，则　 　 ．
18．我们规定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标之和等于8的点称为“吉星点”，现有以下结论：
①第一象限内有无数个“吉星点”；②第三象限内不存在“吉星点”；③已知点，，若点P是“吉星点”且在坐标轴上，则点P到直线的距离为2；④已知点O为坐标原点，若点Q是第一象限内的“吉星点”，则的最小值为．其中正确的是　 　（填序号）
三、解答题．（本大题总分66分）
19．如图，在直角坐标系中，．
（1）求的面积；
（2）若把向下平移2个单位，再向右平移5个单位得到，画出并写出的坐标．
20．如图，四边形是某公园的一块空地，已知，，，，，现计划在该空地上种植草皮，求该空地上种植草皮的面积是多少？
21．学校举行了“三独”比赛，赛后组委会整理参赛同学的成绩，并制作了如图不完整的频数分布表和频数分布直方图．
分数段（选手为x分） 频数（人数） 频率
8 0.2
a 0.3
16 b
4 0.1
请根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）表中的________，________；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若用扇形统计图来描述成绩分布情况，请你求出分数段对应扇形的圆心角的度数．
22．如图所示，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）若AD＝5，BD＝12，求DE的长．
23．如图所示，点O是菱形两对角线、的交点，且，，连接．
（1）求证：；
（2）若菱形的面积为16，求四边形的面积．
24．某商店销售A型和B型两种型号的电脑，销售一台A型电脑可获利120元，销售一台B型电脑可获利140元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍．设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
（1）求销售总利润y与x之间的关系式；
（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售利润最大？求此时的最大利润．
25．【提出问题】
探究一次函数（k是不为0的常数）图象的共性特点．
【探究过程】
小明尝试把代入时，发现可以消去k，竟然求出了．
小芳尝试把变形为，并用代入时，也就是说当时，无论k取何值时，．
老师问：结合一次函数图象，这说明了什么？
小组讨论得出：无论k取何值，一次函数的图象一定会经过定点．
老师：如果一次函数的图象是经过某一个定点的直线，那么我们把像这样的一次函数的图象定义为“点旋转直线”．
已知一次函数的图象是“点旋转直线”．
（1）一次函数的图象经过的定点P的坐标是________．
（2）已知一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B．若的面积为3，求k的值．
26．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，顶点C，D都在第一象限内，的长分别为4和3．
（1）求正方形的面积；
（2）求直线的解析式；
（3）将直线平移得到直线l，问是否存在直线l恰好平分正方形的面积？若存在，请写出平移方式并求出此时直线l的解析式；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．该图是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意；
B．该图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故符合题意；
C．该图是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意；
D．该图不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意；
故选B．
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形；将图形沿某一点旋转180°后能够重合的图形为中心对称图形.
2．【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：，
∴点位于第三象限；
故选：C．
【分析】平面直角坐标系中象限内点的特征：第三象限，横坐标负、纵坐标负，所以判定 点位于第三象限.
3．【答案】C
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、∵，∴7、8、9三个数不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
B、∵，∴4、5、6三个数不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
C、∵，∴5、12、13三个数是“勾股数”，故本选项符合题意；
D、∵，∴8、9、10三个数不是“勾股数”，故本选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】如果三个正整数满足较小两个的平方和等于最大数的平方，则这三个数就是勾股数，据此逐一判断即可.
4．【答案】D
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：根据频率公式：，
因此，成绩在8环以上的频率为0.5．
故选：D．
【分析】频率的计算方式：频率=频数÷总次数．将频数=3次，射击次数=6代入公式，得到频率．
5．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：已知点，求它关于轴的对称点的坐标，根据对称性质可得B点坐标为。
故选：A．
【分析】本题主要考查点关于y轴对称的坐标规律，只需要用“关于y轴对称的点，纵坐标保持不变，横坐标互为相反数”这一性质，就能求解对应点的坐标.
6．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】A、∵一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，
∴选项不符合题意；
B、∵两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴选项不符合题意；
C、∵一组对边平行另一组对边相等的四边形可能是平行四边形或等腰梯形，
∴选项符合题意；
D、∵两组对角分别相等的四边形是平行四边形，
∴选项不符合题意；
故选：C．
【分析】根据 平行四边形的判定定理 ：1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；4. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5. 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 分别对各个选项进行判断即可．
7．【答案】A
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图1结合物理知识可得：液体1的压强大，
∵在液体深度一定时，液体压强与液体密度有关，液体密度越大，液体压强越大，
∴．
故选A．
【分析】由图1、 图2 可知相同深度，由图可知：液体 1 的压强， 然后根据在液体深度一定时，液体压强与液体密度有关，液体密度越大，液体压强越大解答即可.
8．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：由题意可知，从射线上一点向的两边作垂线，得到两条垂线段和，
因此可得，
在两个直角三角形中，是公共边，且已知，
所以，
由此可知，证明时，用到的全等三角形判定定理是，
故选D.
【分析】本题考查直角三角形全等的判定中关于直角三角形全等的判定方式，掌握利用判定直角三角形全等的方法是解题的关键.
9．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：∵分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点C，D，
∴，
∴四边形是菱形．
故选：B．
【分析】根据基本作图，得到，因为四边相等的四边形是菱形，可以判定四边形是菱形．
10．【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
矩形的面积为，菱形的四个顶点分别是，，，的中点，矩形的四个顶点分别是，，，的中点，连接，，设，，则，
∴，，
∵矩形的四个顶点分别是，，，的中点，
∴是中位线，是中位线，
∴，，
∴矩形的面积为，即后一个矩形的面积是前一个矩形的面积乘以，
∴第二个矩形的面积是，
∴第三个矩形的面积是，
∴第四个矩形的面积是，
……
∴第个矩形的面积是，
∴第2025个矩形的面积为．
故选：B．
【分析】第一个矩形的面积为，易得AEFC为矩形，故AC=EF，根据三角形中位线的性质得，易得第二个矩形的面积为，第三个矩形的面积为，依此类推，第个矩形的面积为，即可求解．
11．【答案】
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在中，若，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据直角三角形两锐角互余即可得．
12．【答案】8
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，
由题意得：，
解得：；
故答案为：8．
【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和公式：n 边形内角和 =建立方程
13．【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：点和点关于x轴对称，
，，
．
故答案为：．
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标变化特征"横坐标相同，纵坐标互为相反数"可求得m、n的值，再求和即可．
14．【答案】12
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理的逆定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，且，，，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：12．
【分析】先根据“如果三角形三条边长满足：较小两边的平方和 = 最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形”求出是直角三角形，再根据“两角及其夹边对应相等，两三角形全等”可得，从而可得阴影部分的面积等于，然后求即可．
15．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：不等式可以看成一次函数中函数值小于0的部分，
从图中可以看出时，．
故答案为：．
【分析】根据一次函数与一元一次不等式的关系，观察图像，可直接得出当时，．故不等式 的解集为．
16．【答案】60
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：设这四组的频数分别为、、、x，
由第一组的频数为40可得，即，
第二组频数比第四组频数多，
故答案为：60．
【分析】设这四组的频数分别为、、、x，由第一组的频数为40求得， 第二组频数比第四组频数多， 带入得出答案．
17．【答案】2
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：已知在中，，CD是斜边AB上的中线，且斜边AB长为8，
，
又因为E、F分别是DB、BC的中点，
根据三角形中位线的定义可知，是的中位线，
，
故填：．
【分析】先利用直角三角形的性质求出CD的长度，再结合三角形中位线定理计算EF的长度即可.
18．【答案】①②④
【知识点】二次根式的性质与化简；点到直线的距离；一次函数的实际应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：由题意知 ，第一象限内有无数个“吉星点”， ①正确，故符合题意；
∵第三象限的点，横、纵坐标均为负，和为负，
∴第三象限内不存在“吉星点”，②正确，故符合题意；
∵点是“吉星点”且在坐标轴上，
∴或，
∵点，，
∴直线轴，
∴点到直线的距离为或2，③错误，故不符合题意；
如图，由题意知，是第一象限中直线图象上的一点，
∴当时，最短，
对于直线，时，则，
解得：，
∴，
当，
∴，
∴，
∵，
∴，
故④正确，符合题意，
故答案为：①②④．
【分析】明确 “吉星点” 的定义：设点的坐标为 (x，y)，题目规定：横、纵坐标之和等于 8，即
x + y = 8，所以，所有 “吉星点” 都在直线 y = -x + 8上. 根据第一、三象限点坐标的特征，可判断①②的正确；由点是“吉星点”且在坐标轴上，可得或，由点坐标，可知直线轴，则点到直线的距离为或2，可判断③的错误；由题意知，是第一象限中直线图象上的一点，当时，最短，再根据面积法， 求解，即可判断④正确．
19．【答案】（1）的面积是：；
（2）解：作图如下：
∴点的坐标为：．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）根据三角形面积公式：求面积即可；
（2）根据平移的性质确定对应点，顺次连线即可得到．
（1）解：的面积是：；
（2）作图如下：
∴点的坐标为：．
20．【答案】解：，，，
，
在中，由勾股定理得：，
∵，，
∴，，
，
，
，
答：在该空地上种植草皮面积．
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】根据含30度角的直角三角形中，30°所对直角边等于斜边一半得到，由勾股定理得到，根据如果三角形三条边长满足：较小两边的平方和 = 最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，证明，得到，再根据列式求解即可．
21．【答案】（1），
（2）解：依题意，由（1）得；
补全频数分布直方图如图：
（3）解：小组的频率为0.4，
分数段对应扇形的圆心角的度数
答：分数段对应扇形的圆心角是.
【知识点】频数与频率；频数（率）分布直方图；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】（1）解：小组的频数为8，频率是0.2
（人），
（人），，
故答案为：，；
【分析】（1）先运用的数据，根据总人数=频数频率，求出总人数40人，再根据频数=总人数频率，算出的频数，根据频率=频数总人数，算出的频率．
（2）结合（1）中的，补全频数分布直方图．
（3）用的数据，根据圆心角=频率，求出圆心角，即可作答.
（1）解：小组的频数为8，频率是0.2
（人），
，，
故答案为：，；
（2）解：依题意，由（1）得；
补全频数分布直方图如图：
（3）解：小组的频率为0.4，
分数段对应扇形的圆心角的度数
答：分数段对应扇形的圆心角是．
22．【答案】证明：（1）∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠ECD=90°∵∠ACE=∠DCE-∠DCA，∠BCD=∠ACB-∠DCA∴∠ACE=∠BCD∴△ACE≌△BCD（SAS）；（2）∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形∴∠BAC=∠B=45°∵△ACE≌△BCD∴AE=BD=12，∠EAC=∠B=45°∴∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°，∴△EAD是直角三角形
（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠ECD=90°
∵∠ACE=∠DCE-∠DCA，∠BCD=∠ACB-∠DCA
∴∠ACE=∠BCD
∴△ACE≌△BCD（SAS）
（2）解：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形
∴∠BAC=∠B=45°
∵△ACE≌△BCD
∴AE=BD=12，∠EAC=∠B=45°
∴∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°，
∴△EAD是直角三角形
【知识点】三角形全等及其性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性质可得AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠ECD=90°，再利用角的运算和等量代换可得∠ACE=∠BCD，最后利用“SAS”证出△ACE≌△BCD即可；
（2）先利用等腰直角三角形的性质可得∠BAC=∠B=45°，再利用全等三角形的性质可得AE=BD=12，∠EAC=∠B=45°，最后利用角的运算求出∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°，从而可证出△EAD是直角三角形.
23．【答案】（1）证明：，，四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，，
，
∴四边形是矩形，
，
∵，
（2）解：∵四边形是菱形，，，
即，
则
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据：“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形，结合“菱形四条边都相等，菱形的对角线互相垂直平分”得，，然后得出四边形是矩形，根据“矩形的对角线相等”得OE=BC．
（2）因为四边形是菱形，则，，根据“菱形的面积等于对角线乘积的一半”故，整理得，然后代入数值计算．
（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，，
，
∴四边形是矩形，
，
∵，
，
（2）解：∵四边形是菱形，
，，
即，
则
24．【答案】（1）解：由题意可得，∵B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，
，
解得
自变量x的取值范围为：，且x为正整数，
与x的函数关系式为：（，且x为正整数）
（2）解：，，
随x的增大而减小，
，且x为正整数
当时，y有最大值，最大值为，此时，
答：该商店购进A型电脑25台，B型电脑75台能使销售利润最大，最大利润是13500元
【知识点】一元一次不等式的应用；用关系式表示变量间的关系；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）A型电脑的总利润为：元，B型电脑的总利润为：，根据题意列出函数关系，再根据B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，列出不等式，求出x的取值范围即可；
（2）根据（1）所列函数关系式和自变量的取值范围，利用一次函数的性质求解即可．
（1）解：由题意可得，
∵B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，
，
解得
自变量x的取值范围为：，且x为正整数，
与x的函数关系式为：（，且x为正整数）；
（2）解：，，
随x的增大而减小，
，且x为正整数
当时，y有最大值，最大值为，此时，
答：该商店购进A型电脑25台，B型电脑75台能使销售利润最大，最大利润是13500元．
25．【答案】（1）
（2）解：一次函数的图象与x轴，y轴分别相交于点A，B，当，则，
∴，
的面积为3，
，
解得或
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：∵
∴，
由，得，
当时，，
；
【分析】（1）把化为，根据小芳的计算方法，令k的系数为0，即，求解即可；
（2）求解， O 是原点 (0，0)，B 在 y 轴上，所以 OB 的长度就是 |k-1|；点 P 到 y 轴的距离，就是 P 的横坐标的绝对值：|-1|=1；可得，再进一步求解即可.
（1）解：∵
∴，
由，得，
当时，，
；
（2）解：一次函数的图象与x轴，y轴分别相交于点A，B，
当，则，
∴，
的面积为3，
，
解得或．
26．【答案】（1）解：，的长分别为4和3，
在中：，
；
（2）解：如图所示，过点C作于点E，
且的长分别为4和3，
，，
四边形ABCD是正方形，
，
在中，
又，
（同角的余角相等）
在和中，
，
，．
．
点C的坐标为
设直线的解析式为，
把，代入得，解得
直线的解析式为.
（3）解：如图所示，连接正方形的两对角线，与相交于点P，
正方形的两对角线互相平分
点P是线段的中点，
，
点P的坐标为，即
，，
直线的解析式为
由正方形的中心对称性可知，当直线l经过点P时，直线l平分正方形的面积
又直线l是由直线平移得到，
设直线l的解析式为，把代入得，解得
直线l的解析式为；
即由直线向上平移2个单位长度（或者向左平移个单位长度）可得直线．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；一次函数的实际应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出，根据正方形的性质得；
（2）过点C作于点E，根据“两角和其中一角的对边对应相等，两三角形全等”证明，求出点的坐标，，代入得，求解即可；
（3）根据中点坐标公式，求出P的坐标，得到直线的解析式为，根据正方形的中心对称性，当直线l经过点P时，直线l平分正方形的面积，得到直线l的解析式为．
（1）解：，的长分别为4和3，
在中：，
；
（2）如图所示，过点C作于点E，
且的长分别为4和3，
，，
四边形ABCD是正方形，
，
在中，
又，
（同角的余角相等）
在和中，
，
，．
．
点C的坐标为
设直线的解析式为，
把，代入得，解得
直线的解析式为．
（3）如图所示，连接正方形的两对角线，与相交于点P，
正方形的两对角线互相平分
点P是线段的中点，
，
点P的坐标为，即
，，
直线的解析式为
由正方形的中心对称性可知，当直线l经过点P时，直线l平分正方形的面积
又直线l是由直线平移得到，
设直线l的解析式为，把代入得，解得
直线l的解析式为；
即由直线向上平移2个单位长度（或者向左平移个单位长度）可得直线．
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