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吉林省长春市二道区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列方程中，解为的是（　　）
A． B． C． D．
2．某班级开展项目式学习课程——动手操作，感受对称之美．下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列方程的变形正确的是（　　）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
4．不等式的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，点E在线段上，，则线段的长度为（　　）
A． B． C． D．
6．如图所示，是工人师傅用边长均为a的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点O进行的铺设．若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．如图，根据下列图形折叠后的情况，可以判定是的角平分线的是（　　）
A． B．
C． D．
8．一个工程队原定在10天内至少要挖土，前两天一共完成了，由于整个工程调整工期，要求提前两天完成挖土任务，问：后6天内平均每天至少要挖土多少立方米？若设后6天内平均每天要挖土，根据题意可列不等式为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
9．把方程变形为用含x的代数式表示为y，则　 　．
10．已知两条线段a、b，其长度分别为与．另有长度分别为和的5条线段，其中能与线段a、b一起组成三角形的有　 　条．
11．若方程组的解为，则　 　．
12．从镜中看到的一串数字如图所示，这串数字应为　 　．
13．将一个三角板和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组邻直角边．已知，，则　 　度．
14．如图，在中，平分于点E，点F为的中点，连结．给出下面五个结论：①；②；③；④当点E是线段的中点时，；⑤当时，．上述结论中，正确结论的序号有　 　．
三、解答题：本题共10小题，共78分．
15．下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并回答问题．
解：
第①步
第②步
第③步
． 第④步
（1）小明解方程时，从第___________步开始出现错误；
（2）写出正确的解方程过程．
16．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来：．
17．一个n边形的每个外角都相等，它的一个内角与相邻的外角的度数之比为．
（1）求这个n边形的边数；
（2）求这个n边形的内角和．
18．图①、图②、图③均是的正方形网格．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法．
（1）在图①中，作出所给图形向下平移4格后的图形；
（2）在图②中，虚线为对称轴，作出所给图形的轴对称图形；
（3）在图③中，作出所给图形绕点O顺时针旋转后的图形．
19．整理一批图书，由1人整理需要完成．现计划由一部分人先整理，然后增加2人与他们一起整理，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？
20．如图，在中，是斜边上的高，．
（1）求的度数；
（2）求的度数．
对于上述问题，在以下答题过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：（1）（已知），
___________．
（ ），
（已知），
______________________（等量代换）．
（2），
___________（等式的性质）．
（已知），
______________________（等量代换）．
21．小明同学在解方程组时发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，若采用下面的解法则比较简单：
得：，即．
再得：，
最后重新组成方程组，进而求得方程组的解．这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法．
（1）方程组的解为___________；
（2）利用轮换对称解法解方程组．
22．【教材呈现】下面是华师版七年级下册数学教材习题8.1第6题部分内容．
如图，在中，的平分线与的外角平分线相交于点D．试找出与的内角之间的关系．
（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入的度数，即可求的度数．
①当时，___________度；当时，___________度；
②于是小明猜想与之间的数量关系为___________；
（2）以下是小明完成猜想证明的部分过程：
证明：平分，
．
平分，
．
证明过程缺失
请你补全缺失的证明过程．
【结论应用】（3）如图，在四边形中，平分平分外角，连结．若，，则___________度．
23．为丰富同学们的体育锻炼活动，我校准备新进一批移动羽毛球网和羽毛球拍，若购进5个移动羽毛球网和10副羽毛球拍需2200元，若购进4个移动羽毛球网和15副羽毛球拍需2600元．
（1）请分别求出移动羽毛球网和羽毛球拍的单价．
（2）若购进移动羽毛球网和羽毛球拍的数量之和为50，且羽毛球拍的数量不大于移动羽毛球网数量的3倍，购买总金额低于7280元，请问共有哪几种购买方案，哪种购买方案费用最低，最低费用为多少？
24．在中，，，，将绕着边的中点O顺时针旋转得到，点E是边上的一点，．如图①，动点P从点A出发沿折线的方向以每秒的速度向终点D运动，连结．设点P的运动时间为t秒．
（1）______________________度；
（2）当点P在边上运动（不与点C重合）时，的长为___________；（用含t的代数式表示）
（3）当将四边形的周长分成两部分时，求t的值；
（4）如图②，在点P从A点到C点的运动过程中，作点A关于直线的对称点，连结，当与的边平行时，请直接写出的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】判断是否为一元一次方程的解
【解析】【解答】解：A、把代入方程，左边右边，所以不是方程的解；
B、把代入方程，左边，右边，左边≠右边，所以不是方程的解；
C、把代入方程，左边右边，所以是方程的解；
D、把代入方程，左边，右边，左边≠右边，所以不是方程的解．
故选：C
【分析】 把逐个代入方程，若等式左右两边的值相等，则这个数满足方程，即为方程的解。
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：A．
【分析】轴对称图形：图形沿一条直线折叠，两边能完全重合，就是轴对称图形，这条直线是对称轴；中心对称图形：图形绕一个定点旋转 180°，能和原图重合，就是中心对称图形，这个点是对称中心；根据概念逐项判断即可．
3．【答案】B
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：选项A：由，正确解法是两边减3，得，而选项A写为，错误．
选项B：由，两边除以7，得，与选项B一致，正确．
选项C：由，两边除以2，得，但选项C写为，错误．
选项D：由，正确解法是两边加2，得，而选项D写为，错误．
故选：B
【分析】根据等式的基本性质：等式两边加（或减）同一个数（或式子）， 等式仍然成立 ；等式两边乘同一个数， 或除以同一个不为 0的数， 等式仍然成立；逐一分析各选项的变形是否正确．
4．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：，
，
在数轴上表示解集为：
故选：C
【分析】解不等式，根据移项，系数化为1，求出不等式的解，再根据 不等式在数轴上的表示规则：空心圆圈：不含这个数，用 ＞、＜，实心圆点：包含这个数，用 ≥、≤表示，即可得出答案．
5．【答案】A
【知识点】全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，
故选：A．
【分析】根据全等三角形的对应边相等可得出，，再根据线段的和差关系即可得．
6．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：正三角形的内角为，正方形的内角为，
，
∴ 这块正多边形地砖的外角为180°-120°=60°，
这块正多边形地砖的边数是360÷60°=6.
故选B．
【分析】先根据正多边形的内角求出∠AOB，再求出地砖的外角，再根据360°÷外角=边数，即可求得.
7．【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：由图形可知，若是的角平分线，根据折叠关系可得 ，选项中符合这一条件的只有选项B．
故答案为：B．
【分析】先观察图形，再根据是的角平分线，以及折叠求解即可.
8．【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的应用；列一元一次不等式
【解析】【解答】解： 解：总任务量：原计划10天内至少挖土600立方米．
已完成量：前两天共完成120立方米．
剩余时间：总工期提前两天后变为8天，已用2天，剩余天．
列不等式：后6天每天挖土x立方米，总挖土量为，需满足至少600立方米，即，
故选：A
【分析】本题先根据题意提取核心信息：原计划10天至少挖土600立方米，前两天已经完成120立方米，工期提前2天，因此剩余任务需要在剩下的6天完成。设后6天平均每天挖土x立方米，结合“总挖土量至少达到600立方米”的不等关系，即可列出对应的不等式。
9．【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：，
移项得，即，
故答案为：．
【分析】 先固定 x 为已知条件，把 y 作为待求未知数，通过移项、去系数解得y．
10．【答案】2
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：两条线段a、b，其长度分别为与
∴，
∴能与a、b一起组成三角形的第三边c满足，
∴可选、，共有2条，
故答案为：2．
【分析】根据 三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边，确定第三边的取值范围，进而可得结果．
11．【答案】6
【知识点】二元一次方程组的解；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：将代入，得
，
解得：，
∴
故答案为：6．
【分析】二元一次方程组，已知字母的值代入求代数式的未知字母的值，将代入，即可求解，
12．【答案】
【知识点】镜面对称
【解析】【解答】解：这串数字应为，
故答案为：．
【分析】镜面对称的知识实际上轴对称的知识，由于在镜子中看到的顺序是颠倒的，根据轴对称的知识来解决问题即可．
13．【答案】43
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
由题意可知，，
在中，，
∴，
又，，
，
即，
在中，，
∴，
故答案为：43．
【分析】连接，由三角形内角和定理可得出，根据三角形内角和定理和角的和差关系即可得出，．
14．【答案】②③⑤
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：在中，，平分、
∴，
∵点D不是中点，
∴，故①错误，不符合题意；
∵是的一个外角，
∴；
∵于点E，
∴，
∴，即，故②正确，符合题意；
∵点F是的中点，
∴，
∴；故③正确，符合题意；
∵于点E，当点E是线段的中点时，则是的垂直平分线，
∴，
∴平分，
∴，
∵平分，
∴
∴，故④错误，不符合题意∶
当时，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．故⑤正确，符合题意，
故答案为∶②③⑤．
【分析】①在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC。依据角平分线仅平分角，只有在等腰三角形中，顶角平分线才同时是底边中线，本题中AB≠AC，因此AD不是BC边上的中线，点D不是BC中点，故BD≠DC，结论①错误；②结论②正确。依据：三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和可直接判定；③结论③正确。依据：三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形，或中线分边为相等的两部分，可直接判断；④结论④错误。依据：角平分线的定义（平分角）与三角形内角和定理（三角形内角和为180°），通过计算或推导，可验证结论不成立；结论⑤正确，依据：角的和差关系，或结合三角形内角和、外角性质，通过角的加减运算可判定结论成立.
15．【答案】（1）①
（2）解∶
．
【知识点】解含括号的一元一次方程
【解析】（1）解∶ 小明解方程时，从第①步开始出现错误，错误原因在去括号时，没有将括号内所有项都乘以2，常数项1漏乘了2，
故答案为∶①；
【分析】（1）根据乘法分配律： a(b+c)=ab+ac， 判断即可；
（2） 按 “去括号、移项、合并同类项、系数化为 1” 的流程，依次对方程进行变形，最终求出未知数的值即可．
（1）解∶ 小明解方程时，从第①步开始出现错误，错误原因在去括号时，没有将括号内所有项都乘以2，常数项1漏乘了2，
故答案为∶①；
（2）解∶
．
16．【答案】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴该不等式组得解集为．
解集在数轴上表示如图：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别求出两个不等式的解集，解不等式①，得，解不等式②，得，进而求出不等式组解集，并把解集在数轴上表示出来即可．
17．【答案】（1）解：，
．
∴这个n边形的边数为6．
（2）解：这个n边形的内角和为．
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【分析】（1）先根据多边形的内角和外角的关系，列式，求解一个外角，再求解边数即可；
（2）利用多边形的内角和公式．代入求解即可．
（1）解：，
．
∴这个n边形的边数为6．
（2）解：这个n边形的内角和为．
18．【答案】（1）解：如图，
；
（2）解∶如图，
；
（3）解∶如图，
．
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）作图 —— 平移变换步骤方法：找出原图形的所有顶点、拐点等关键点；按规定平移方向、平移距离，分别画出每个关键点的平移对应点；顺次连线；标明字母；（2）作图 —— 轴对称变换 步骤方法：确定已知对称轴（直线）；找出原图形各顶点关键点；过每个关键点作对称轴的垂线，延长截取等长距离，得到对称对应点；按原图顺序连接各对称点；完成轴对称图形，标好对应字母；
（3）作图 —— 旋转变换步骤方法：找出原图形所有顶点关键点；以旋转中心为端点，连接各关键点；依照原图顺序连接所有对应点；标注字母.
（1）解：如图，
；
（2）解∶如图，
；
（3）解∶如图，
．
19．【答案】解：设先安排人整理，总工作量设为1，
根据先后两个时段的工作量之和等于总工作量，列得方程，
解方程，得．
答：应先安排2人进行整理
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】我们可以将全部的工作总量设定为1，由此可以得到，每个人1小时完成的工作效率，也就是人均效率为。如果安排人先工作整理，那么这部分人完成的工作量为；之后再增加2人，这些人继续整理，这一阶段完成的工作量为。把两个阶段完成的工作量相加，结果应该等于总的工作量1，我们就可以根据这个等量关系列出方程，进而求解得到答案了。
20．【答案】（1）（已知），
．
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
（已知），
（等量代换）．
故答案为：；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；；；
（2），
（等式的性质）．
（已知），
（等量代换）．
故答案为：；；

【知识点】垂线的概念；三角形外角的概念及性质
【解析】【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 ，若，则相交形成的四个角均为，等量代换补全过程即可；
（2）根据等量代换， 等式两边同时加上或减去同一个数（或式子），等式仍然成立，补全过程即可.
21．【答案】（1）
（2），
，得，即③，
，得④，
，得，解得，
把代入③，得，
．

【知识点】解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】（1）解：由原方程组两个方程相加可得：，
两个方程相减可得：，得到新方程组：
，
将③和④相加，可得，
解得：，
把代入方程③，计算得：，
因此方程组的解为，
所以本题答案为：；
【方法总结】（1）参考给出的例题思路，通过加减消元法就可以解出方程组；
（2）解对应方程组时，仿照例题的方法计算即可得到结果。
（1）解：根据题意得：，
得：，
解得：，
将代入③得：，
∴方程组的解为，
故答案为：；
（2），
，得，即③，
，得④，
，得，解得，
把代入③，得，
．
22．【答案】（1）①30；60；②；
（2）证明：∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）205
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的性质；三角形的一内一外角平分线模型
【解析】【解答】（1）解：①当时，设，则，
∵平分，平分，
∴，，
∴；
当时，设，则，
∵平分，平分，
∴，，
∴；
故答案为：30，60；
②于是小明猜想与之间的数量关系为，
故答案为：；
（3）如图，延长和交于M，延长和交于N，
∵平分，平分外角，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：205．
【分析】（1）①当分别是60度和120度时，根据 三角形的外角性质， 角平分线定义，分别求得到的度数；
②猜想得到；
（2）由角平分线定义得到，，由 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 ，推出，即可证明；
（3）延长和交于M，延长和交于N，由三角形的外角性质求出，由（2）的结论即可求出，由三角形的外角性质即可求出．
23．【答案】（1）解：设移动羽毛球网的单价是元，羽毛球拍的单价是元．
根据题意，得，
解得．
答：移动羽毛球网的单价是200元，羽毛球拍的单价是120元
（2）解：设购买移动羽毛球网个，则购买羽毛球拍副．根据题意，得，
解得，
为非负整数，
，14，15，
当时，（副），
当时，（副），
当时，（副），
共有三种购买方案，分别是：
（方案一）购买移动羽毛球网13个、羽毛球拍37副，
（方案二）购买移动羽毛球网14个、羽毛球拍36副，
（方案三）购买移动羽毛球网15个、羽毛球拍35副；
设购买的费用是W元，则，
∵，
∴W随m的减小而减小，
∵，14，15，
∴当时W值最小，，
∴（方案一）购买移动羽毛球网13个、羽毛球拍37副费用最低，最低费用为7040元
【知识点】一次函数的实际应用-方案问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：5×移动羽毛球网的单价+10×羽毛球拍的单价=2200； 4×移动羽毛球网的单价+15×羽毛球拍的单价=2600；设移动羽毛球网的单价是元，羽毛球拍的单价是元，据此列二元一次方程组，然后求解即可.
（2）设购买移动羽毛球网个，可表示出购买羽毛球拍的数量，再根据羽毛球拍的数量不大于移动羽毛球网数量的3倍，购买总金额低于7280元，可得到关于m的不等式组，然后求出不等式组的非负整数解，即可得到具体的方案；设购买的费用是W元，根据题意可得到w关于m的一次函数，再利用一次函数的性质可求出费用最低的方案及最低费.
（1）解：设移动羽毛球网的单价是元，羽毛球拍的单价是元．
根据题意，得，
解得．
答：移动羽毛球网的单价是200元，羽毛球拍的单价是120元．
（2）解：设购买移动羽毛球网个，则购买羽毛球拍副．
根据题意，得，
解得，
为非负整数，
，14，15，
当时，（副），
当时，（副），
当时，（副），
共有三种购买方案，分别是：
（方案一）购买移动羽毛球网13个、羽毛球拍37副，
（方案二）购买移动羽毛球网14个、羽毛球拍36副，
（方案三）购买移动羽毛球网15个、羽毛球拍35副；
设购买的费用是W元，则，
∵，
∴W随m的减小而减小，
∵，14，15，
∴当时W值最小，，
∴（方案一）购买移动羽毛球网13个、羽毛球拍37副费用最低，最低费用为7040元．
24．【答案】（1）8；60
（2）
（3）解：∵将四边形的周长分成两部分，∴或，
解得或；
（4）或
【知识点】轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）；旋转的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】（1）解∶∵绕着边的中点O顺时针旋转得到，，，
∴，，，
故答案为∶ 8；60；
（2）解∶ 当点P在边上运动（不与点C重合）时，的长为，
故答案为∶；
（4）解：∵，，
∴，
当时，如图，
则，
∵点A，点关于直线的对称，
∴；
当时，如图，
则，
∴，
∵点A，点关于直线的对称，
∴；
综上，当与的边平行时，的度数为或．
【分析】（1） 依据旋转变换的相关性质，直接推导求解即可；
（2）用点P运动的总路程作差值运算，进而求出结果；
（3）根据“将四边形的周长分成两部分”可得出为的四边形的周长的或，据此即可求解；
（4）分两种情况讨论：当时；当时，再结合平行线性质与轴对称性质，分步推导求解.
（1）解∶∵绕着边的中点O顺时针旋转得到，，，
∴，，，
故答案为∶ 8；60；
（2）解∶ 当点P在边上运动（不与点C重合）时，的长为，
故答案为∶；
（3）解：∵将四边形的周长分成两部分，
∴或，
解得或；
（4）解：∵，，
∴，
当时，如图，
则，
∵点A，点关于直线的对称，
∴；
当时，如图，
则，
∴，
∵点A，点关于直线的对称，
∴；
综上，当与的边平行时，的度数为或．
1 / 1吉林省长春市二道区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列方程中，解为的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】判断是否为一元一次方程的解
【解析】【解答】解：A、把代入方程，左边右边，所以不是方程的解；
B、把代入方程，左边，右边，左边≠右边，所以不是方程的解；
C、把代入方程，左边右边，所以是方程的解；
D、把代入方程，左边，右边，左边≠右边，所以不是方程的解．
故选：C
【分析】 把逐个代入方程，若等式左右两边的值相等，则这个数满足方程，即为方程的解。
2．某班级开展项目式学习课程——动手操作，感受对称之美．下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：A．
【分析】轴对称图形：图形沿一条直线折叠，两边能完全重合，就是轴对称图形，这条直线是对称轴；中心对称图形：图形绕一个定点旋转 180°，能和原图重合，就是中心对称图形，这个点是对称中心；根据概念逐项判断即可．
3．下列方程的变形正确的是（　　）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
【答案】B
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：选项A：由，正确解法是两边减3，得，而选项A写为，错误．
选项B：由，两边除以7，得，与选项B一致，正确．
选项C：由，两边除以2，得，但选项C写为，错误．
选项D：由，正确解法是两边加2，得，而选项D写为，错误．
故选：B
【分析】根据等式的基本性质：等式两边加（或减）同一个数（或式子）， 等式仍然成立 ；等式两边乘同一个数， 或除以同一个不为 0的数， 等式仍然成立；逐一分析各选项的变形是否正确．
4．不等式的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：，
，
在数轴上表示解集为：
故选：C
【分析】解不等式，根据移项，系数化为1，求出不等式的解，再根据 不等式在数轴上的表示规则：空心圆圈：不含这个数，用 ＞、＜，实心圆点：包含这个数，用 ≥、≤表示，即可得出答案．
5．如图，点E在线段上，，则线段的长度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，
故选：A．
【分析】根据全等三角形的对应边相等可得出，，再根据线段的和差关系即可得．
6．如图所示，是工人师傅用边长均为a的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点O进行的铺设．若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：正三角形的内角为，正方形的内角为，
，
∴ 这块正多边形地砖的外角为180°-120°=60°，
这块正多边形地砖的边数是360÷60°=6.
故选B．
【分析】先根据正多边形的内角求出∠AOB，再求出地砖的外角，再根据360°÷外角=边数，即可求得.
7．如图，根据下列图形折叠后的情况，可以判定是的角平分线的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：由图形可知，若是的角平分线，根据折叠关系可得 ，选项中符合这一条件的只有选项B．
故答案为：B．
【分析】先观察图形，再根据是的角平分线，以及折叠求解即可.
8．一个工程队原定在10天内至少要挖土，前两天一共完成了，由于整个工程调整工期，要求提前两天完成挖土任务，问：后6天内平均每天至少要挖土多少立方米？若设后6天内平均每天要挖土，根据题意可列不等式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的应用；列一元一次不等式
【解析】【解答】解： 解：总任务量：原计划10天内至少挖土600立方米．
已完成量：前两天共完成120立方米．
剩余时间：总工期提前两天后变为8天，已用2天，剩余天．
列不等式：后6天每天挖土x立方米，总挖土量为，需满足至少600立方米，即，
故选：A
【分析】本题先根据题意提取核心信息：原计划10天至少挖土600立方米，前两天已经完成120立方米，工期提前2天，因此剩余任务需要在剩下的6天完成。设后6天平均每天挖土x立方米，结合“总挖土量至少达到600立方米”的不等关系，即可列出对应的不等式。
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
9．把方程变形为用含x的代数式表示为y，则　 　．
【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：，
移项得，即，
故答案为：．
【分析】 先固定 x 为已知条件，把 y 作为待求未知数，通过移项、去系数解得y．
10．已知两条线段a、b，其长度分别为与．另有长度分别为和的5条线段，其中能与线段a、b一起组成三角形的有　 　条．
【答案】2
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：两条线段a、b，其长度分别为与
∴，
∴能与a、b一起组成三角形的第三边c满足，
∴可选、，共有2条，
故答案为：2．
【分析】根据 三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边，确定第三边的取值范围，进而可得结果．
11．若方程组的解为，则　 　．
【答案】6
【知识点】二元一次方程组的解；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：将代入，得
，
解得：，
∴
故答案为：6．
【分析】二元一次方程组，已知字母的值代入求代数式的未知字母的值，将代入，即可求解，
12．从镜中看到的一串数字如图所示，这串数字应为　 　．
【答案】
【知识点】镜面对称
【解析】【解答】解：这串数字应为，
故答案为：．
【分析】镜面对称的知识实际上轴对称的知识，由于在镜子中看到的顺序是颠倒的，根据轴对称的知识来解决问题即可．
13．将一个三角板和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组邻直角边．已知，，则　 　度．
【答案】43
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
由题意可知，，
在中，，
∴，
又，，
，
即，
在中，，
∴，
故答案为：43．
【分析】连接，由三角形内角和定理可得出，根据三角形内角和定理和角的和差关系即可得出，．
14．如图，在中，平分于点E，点F为的中点，连结．给出下面五个结论：①；②；③；④当点E是线段的中点时，；⑤当时，．上述结论中，正确结论的序号有　 　．
【答案】②③⑤
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：在中，，平分、
∴，
∵点D不是中点，
∴，故①错误，不符合题意；
∵是的一个外角，
∴；
∵于点E，
∴，
∴，即，故②正确，符合题意；
∵点F是的中点，
∴，
∴；故③正确，符合题意；
∵于点E，当点E是线段的中点时，则是的垂直平分线，
∴，
∴平分，
∴，
∵平分，
∴
∴，故④错误，不符合题意∶
当时，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．故⑤正确，符合题意，
故答案为∶②③⑤．
【分析】①在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC。依据角平分线仅平分角，只有在等腰三角形中，顶角平分线才同时是底边中线，本题中AB≠AC，因此AD不是BC边上的中线，点D不是BC中点，故BD≠DC，结论①错误；②结论②正确。依据：三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和可直接判定；③结论③正确。依据：三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形，或中线分边为相等的两部分，可直接判断；④结论④错误。依据：角平分线的定义（平分角）与三角形内角和定理（三角形内角和为180°），通过计算或推导，可验证结论不成立；结论⑤正确，依据：角的和差关系，或结合三角形内角和、外角性质，通过角的加减运算可判定结论成立.
三、解答题：本题共10小题，共78分．
15．下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并回答问题．
解：
第①步
第②步
第③步
． 第④步
（1）小明解方程时，从第___________步开始出现错误；
（2）写出正确的解方程过程．
【答案】（1）①
（2）解∶
．
【知识点】解含括号的一元一次方程
【解析】（1）解∶ 小明解方程时，从第①步开始出现错误，错误原因在去括号时，没有将括号内所有项都乘以2，常数项1漏乘了2，
故答案为∶①；
【分析】（1）根据乘法分配律： a(b+c)=ab+ac， 判断即可；
（2） 按 “去括号、移项、合并同类项、系数化为 1” 的流程，依次对方程进行变形，最终求出未知数的值即可．
（1）解∶ 小明解方程时，从第①步开始出现错误，错误原因在去括号时，没有将括号内所有项都乘以2，常数项1漏乘了2，
故答案为∶①；
（2）解∶
．
16．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来：．
【答案】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴该不等式组得解集为．
解集在数轴上表示如图：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别求出两个不等式的解集，解不等式①，得，解不等式②，得，进而求出不等式组解集，并把解集在数轴上表示出来即可．
17．一个n边形的每个外角都相等，它的一个内角与相邻的外角的度数之比为．
（1）求这个n边形的边数；
（2）求这个n边形的内角和．
【答案】（1）解：，
．
∴这个n边形的边数为6．
（2）解：这个n边形的内角和为．
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【分析】（1）先根据多边形的内角和外角的关系，列式，求解一个外角，再求解边数即可；
（2）利用多边形的内角和公式．代入求解即可．
（1）解：，
．
∴这个n边形的边数为6．
（2）解：这个n边形的内角和为．
18．图①、图②、图③均是的正方形网格．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法．
（1）在图①中，作出所给图形向下平移4格后的图形；
（2）在图②中，虚线为对称轴，作出所给图形的轴对称图形；
（3）在图③中，作出所给图形绕点O顺时针旋转后的图形．
【答案】（1）解：如图，
；
（2）解∶如图，
；
（3）解∶如图，
．
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）作图 —— 平移变换步骤方法：找出原图形的所有顶点、拐点等关键点；按规定平移方向、平移距离，分别画出每个关键点的平移对应点；顺次连线；标明字母；（2）作图 —— 轴对称变换 步骤方法：确定已知对称轴（直线）；找出原图形各顶点关键点；过每个关键点作对称轴的垂线，延长截取等长距离，得到对称对应点；按原图顺序连接各对称点；完成轴对称图形，标好对应字母；
（3）作图 —— 旋转变换步骤方法：找出原图形所有顶点关键点；以旋转中心为端点，连接各关键点；依照原图顺序连接所有对应点；标注字母.
（1）解：如图，
；
（2）解∶如图，
；
（3）解∶如图，
．
19．整理一批图书，由1人整理需要完成．现计划由一部分人先整理，然后增加2人与他们一起整理，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？
【答案】解：设先安排人整理，总工作量设为1，
根据先后两个时段的工作量之和等于总工作量，列得方程，
解方程，得．
答：应先安排2人进行整理
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】我们可以将全部的工作总量设定为1，由此可以得到，每个人1小时完成的工作效率，也就是人均效率为。如果安排人先工作整理，那么这部分人完成的工作量为；之后再增加2人，这些人继续整理，这一阶段完成的工作量为。把两个阶段完成的工作量相加，结果应该等于总的工作量1，我们就可以根据这个等量关系列出方程，进而求解得到答案了。
20．如图，在中，是斜边上的高，．
（1）求的度数；
（2）求的度数．
对于上述问题，在以下答题过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：（1）（已知），
___________．
（ ），
（已知），
______________________（等量代换）．
（2），
___________（等式的性质）．
（已知），
______________________（等量代换）．
【答案】（1）（已知），
．
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
（已知），
（等量代换）．
故答案为：；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；；；
（2），
（等式的性质）．
（已知），
（等量代换）．
故答案为：；；

【知识点】垂线的概念；三角形外角的概念及性质
【解析】【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 ，若，则相交形成的四个角均为，等量代换补全过程即可；
（2）根据等量代换， 等式两边同时加上或减去同一个数（或式子），等式仍然成立，补全过程即可.
21．小明同学在解方程组时发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，若采用下面的解法则比较简单：
得：，即．
再得：，
最后重新组成方程组，进而求得方程组的解．这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法．
（1）方程组的解为___________；
（2）利用轮换对称解法解方程组．
【答案】（1）
（2），
，得，即③，
，得④，
，得，解得，
把代入③，得，
．

【知识点】解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】（1）解：由原方程组两个方程相加可得：，
两个方程相减可得：，得到新方程组：
，
将③和④相加，可得，
解得：，
把代入方程③，计算得：，
因此方程组的解为，
所以本题答案为：；
【方法总结】（1）参考给出的例题思路，通过加减消元法就可以解出方程组；
（2）解对应方程组时，仿照例题的方法计算即可得到结果。
（1）解：根据题意得：，
得：，
解得：，
将代入③得：，
∴方程组的解为，
故答案为：；
（2），
，得，即③，
，得④，
，得，解得，
把代入③，得，
．
22．【教材呈现】下面是华师版七年级下册数学教材习题8.1第6题部分内容．
如图，在中，的平分线与的外角平分线相交于点D．试找出与的内角之间的关系．
（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入的度数，即可求的度数．
①当时，___________度；当时，___________度；
②于是小明猜想与之间的数量关系为___________；
（2）以下是小明完成猜想证明的部分过程：
证明：平分，
．
平分，
．
证明过程缺失
请你补全缺失的证明过程．
【结论应用】（3）如图，在四边形中，平分平分外角，连结．若，，则___________度．
【答案】（1）①30；60；②；
（2）证明：∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）205
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的性质；三角形的一内一外角平分线模型
【解析】【解答】（1）解：①当时，设，则，
∵平分，平分，
∴，，
∴；
当时，设，则，
∵平分，平分，
∴，，
∴；
故答案为：30，60；
②于是小明猜想与之间的数量关系为，
故答案为：；
（3）如图，延长和交于M，延长和交于N，
∵平分，平分外角，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：205．
【分析】（1）①当分别是60度和120度时，根据 三角形的外角性质， 角平分线定义，分别求得到的度数；
②猜想得到；
（2）由角平分线定义得到，，由 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 ，推出，即可证明；
（3）延长和交于M，延长和交于N，由三角形的外角性质求出，由（2）的结论即可求出，由三角形的外角性质即可求出．
23．为丰富同学们的体育锻炼活动，我校准备新进一批移动羽毛球网和羽毛球拍，若购进5个移动羽毛球网和10副羽毛球拍需2200元，若购进4个移动羽毛球网和15副羽毛球拍需2600元．
（1）请分别求出移动羽毛球网和羽毛球拍的单价．
（2）若购进移动羽毛球网和羽毛球拍的数量之和为50，且羽毛球拍的数量不大于移动羽毛球网数量的3倍，购买总金额低于7280元，请问共有哪几种购买方案，哪种购买方案费用最低，最低费用为多少？
【答案】（1）解：设移动羽毛球网的单价是元，羽毛球拍的单价是元．
根据题意，得，
解得．
答：移动羽毛球网的单价是200元，羽毛球拍的单价是120元
（2）解：设购买移动羽毛球网个，则购买羽毛球拍副．根据题意，得，
解得，
为非负整数，
，14，15，
当时，（副），
当时，（副），
当时，（副），
共有三种购买方案，分别是：
（方案一）购买移动羽毛球网13个、羽毛球拍37副，
（方案二）购买移动羽毛球网14个、羽毛球拍36副，
（方案三）购买移动羽毛球网15个、羽毛球拍35副；
设购买的费用是W元，则，
∵，
∴W随m的减小而减小，
∵，14，15，
∴当时W值最小，，
∴（方案一）购买移动羽毛球网13个、羽毛球拍37副费用最低，最低费用为7040元
【知识点】一次函数的实际应用-方案问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：5×移动羽毛球网的单价+10×羽毛球拍的单价=2200； 4×移动羽毛球网的单价+15×羽毛球拍的单价=2600；设移动羽毛球网的单价是元，羽毛球拍的单价是元，据此列二元一次方程组，然后求解即可.
（2）设购买移动羽毛球网个，可表示出购买羽毛球拍的数量，再根据羽毛球拍的数量不大于移动羽毛球网数量的3倍，购买总金额低于7280元，可得到关于m的不等式组，然后求出不等式组的非负整数解，即可得到具体的方案；设购买的费用是W元，根据题意可得到w关于m的一次函数，再利用一次函数的性质可求出费用最低的方案及最低费.
（1）解：设移动羽毛球网的单价是元，羽毛球拍的单价是元．
根据题意，得，
解得．
答：移动羽毛球网的单价是200元，羽毛球拍的单价是120元．
（2）解：设购买移动羽毛球网个，则购买羽毛球拍副．
根据题意，得，
解得，
为非负整数，
，14，15，
当时，（副），
当时，（副），
当时，（副），
共有三种购买方案，分别是：
（方案一）购买移动羽毛球网13个、羽毛球拍37副，
（方案二）购买移动羽毛球网14个、羽毛球拍36副，
（方案三）购买移动羽毛球网15个、羽毛球拍35副；
设购买的费用是W元，则，
∵，
∴W随m的减小而减小，
∵，14，15，
∴当时W值最小，，
∴（方案一）购买移动羽毛球网13个、羽毛球拍37副费用最低，最低费用为7040元．
24．在中，，，，将绕着边的中点O顺时针旋转得到，点E是边上的一点，．如图①，动点P从点A出发沿折线的方向以每秒的速度向终点D运动，连结．设点P的运动时间为t秒．
（1）______________________度；
（2）当点P在边上运动（不与点C重合）时，的长为___________；（用含t的代数式表示）
（3）当将四边形的周长分成两部分时，求t的值；
（4）如图②，在点P从A点到C点的运动过程中，作点A关于直线的对称点，连结，当与的边平行时，请直接写出的度数．
【答案】（1）8；60
（2）
（3）解：∵将四边形的周长分成两部分，∴或，
解得或；
（4）或
【知识点】轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）；旋转的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】（1）解∶∵绕着边的中点O顺时针旋转得到，，，
∴，，，
故答案为∶ 8；60；
（2）解∶ 当点P在边上运动（不与点C重合）时，的长为，
故答案为∶；
（4）解：∵，，
∴，
当时，如图，
则，
∵点A，点关于直线的对称，
∴；
当时，如图，
则，
∴，
∵点A，点关于直线的对称，
∴；
综上，当与的边平行时，的度数为或．
【分析】（1） 依据旋转变换的相关性质，直接推导求解即可；
（2）用点P运动的总路程作差值运算，进而求出结果；
（3）根据“将四边形的周长分成两部分”可得出为的四边形的周长的或，据此即可求解；
（4）分两种情况讨论：当时；当时，再结合平行线性质与轴对称性质，分步推导求解.
（1）解∶∵绕着边的中点O顺时针旋转得到，，，
∴，，，
故答案为∶ 8；60；
（2）解∶ 当点P在边上运动（不与点C重合）时，的长为，
故答案为∶；
（3）解：∵将四边形的周长分成两部分，
∴或，
解得或；
（4）解：∵，，
∴，
当时，如图，
则，
∵点A，点关于直线的对称，
∴；
当时，如图，
则，
∴，
∵点A，点关于直线的对称，
∴；
综上，当与的边平行时，的度数为或．
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