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2026年四川省绵阳市梓潼县一模数学试题
1．《九章算术》中指出：“若开之不尽者为不可开，当以面命之”，“面”的概念是我国古代数学家对无理数的最早认知，比西方早数百年，作者给这种开方开不尽的数起了一个专门的名词“面”．在下列实数中，属于“面”的是（　　）
A． B． C． D．0
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A．是分数，属于有理数；
B．是无限不循环小数，是无理数；
C．是循环小数，是有理数；
D.0是整数，是有理数．
故选：B．
【分析】“面”是指无理数，即无限不循环小数．A 、分数属于有理数；B、 无限不循环小数是无理数；C、 无限循环小数能化为分数，属于有理数；D、 0 是整数，整数属于有理数.
2．几何图形由点、线、面组成，“点动成线、线动成面、面动成体”.下列现象中能反映“线动成面”的是(　　)
A．流星划过夜空 B．直角三角尺绕直角边旋转一周
C．打开折扇 D．笔尖在纸上快速滑动
【答案】C
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：A、流星划过夜空是点动成线，不符合题意；
B、直角三角尺绕直角边旋转一周是面动成体，不符合题意；
C、打开折扇是线动成面，符合题意；
D、笔尖在纸上快速滑动是点动成线，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据点、线、面、体的关系解答即可．
3．依据《广东省推动低空经济高质量发展行动方案（2024-2026年）》，预计2026年广东省低空经济规模将超过3000亿元．数据3000亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：3000亿．
故选：D．
【分析】根据科学记数法的表示形式，求解即可．
4．下列人工智能应用图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解： A、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图形是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【分析】轴对称图形：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义可以判定C为轴对称图形，ABD排除．
5．若分式 中，x、y都扩大为原来的3倍，则该分式的值（　　）
A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的
C．扩大到原来的9倍 D．不变
【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：把分式中的x、y分别用替换后得到的分式为，
∴分式中，x、y都扩大为原来的3倍，则该分式的值扩大到原来的3倍，
故选：A．
【分析】x，y都扩大3倍，就用代入分式，约分后即可得到答案．
6．如图，的斜边与半圆的直径重合放置，，点为上任意一点，连接并延长交半圆于点，连接，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵，的斜边与半圆的直径重合，
∴点在以点为圆心的圆上，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据，的斜边与半圆的直径重合，可以得到：点在以点为圆心的圆上， 根据直角三角形锐角互余可得， 根据同弧所对的圆周角相等， 可得，可以求得答案．
7．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意；
B、，故原选项计算错误，不符合题意；
C、，故原选项计算错误，不符合题意；
D、，故原选项计算正确，符合题意；
故选：D．
【分析】
本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方、负整数指数幂的运算. 解题核心是熟练掌握各类幂运算的运算法则，逐一验证每个选项的计算是否符合对应法则，排除错误选项后得到正确答案.
8．下列关于二次函数及其图象描述错误的是（　　）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线与轴交点坐标为，
C．当时，取最大值4
D．当时，随的增大而增大
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A、∵二次项系数，
∴抛物线的开口向下，原说法正确，不符合题意；
B、当时，，解得或，
∴抛物线与轴交点坐标为，，原说法正确，不符合题意；
C、∵，且抛物线的开口向下，
∴当时，取最大值4，原说法正确，不符合题意；
D、∵，
∴对称轴为直线，
又∵抛物线的开口向下，
∴当时，随的增大而减小，原说法错误，符合题意．
故答案为：D.
【分析】 二次函数 =，A、根据二次项系数小于0可判断抛物线的开口向下 ；B求出时，；C，把解析式化为顶点式 =；D对称轴为直线，抛物线的开口向下 ，可知当时，随的增大而减小 ．
9．小华去商店购买、两种玩具，共用了12元，种玩具每件1元，种玩具每件3元.若每种玩具至少买一件，且种玩具的数量不少于种玩具的数量，则小华的购买方案有（　　）
A．7种 B．6种 C．4种 D．3种
【答案】D
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设A种玩具x件，B种玩具y件，根据题意得
x+3y=12
解之：x=12-3y，
∵ 每种玩具至少买一件，且种玩具的数量不少于种玩具的数量，
∴
解之：
∴不等式组的解集为：1≤y≤3
∵y为整数，
∴y=1，2，3，
∴x=9，6，3，
∴一共有3种方案.
故答案为：D.
【分析】设A种玩具x件，B种玩具y件，可得到关于x，y的方程，解方程表示出x，再根据 每种玩具至少买一件，且A种玩具的数量不少于B种玩具的数量，可得到关于y的不等式组，然后求出不等式组的解集，可得到不等式组的正整数解，即可得到小华的购买方案.
10．一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在(　　)
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【分析】先根据正方形的面积是15计算出其边长，在估算出该数的大小即可．
【解答】∵一个正方形的面积是15，
∴该正方形的边长为，
∵9＜15＜16，
∴3＜＜4．
故选B．
【点评】本题考查的是估算无理数的大小及正方形的性质，根据题意估算出的取值范围是解答此题的关键．
11．如图，在菱形中，，，以B为圆心、长为半径画弧，点P为菱形内一点，连接．当为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；扇形面积的计算；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：连接，延长，交于E，
在菱形中，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
∴S阴影＝S扇形ABC﹣S△PAB﹣S△PBC＝，
故答案为：B．
【分析】连接AC，延长AP交BC于E，由菱形的性质得AB=BC=4，∠ABC=∠D=60°，从而由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△ABC是等边三角形，由等边三角形的三边相等得出AB=AC；由“SSS”证△APB≌△APC，由全等三角形的对应角相等得∠PAB=∠PAC，从而由等腰三角形的三线合一得出AE⊥BC，BE=CE=2，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得出PE=BC=2，在Rt△ABE中，利用勾股定理算出AE，由线段和差算出AP，进而利用结合扇形及三角形面积计算公式列式计算即可.
12．如图，在矩形中，，，点E在上，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，那么的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正弦值
【解析】【解答】解：在矩形中，，
∵矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，
在中，，
又
，
故选：C．
【分析】先根据矩形的四个角都是直角，得，再根据折叠的性质得，在中，利用勾股定理计算出，根据同角的余角相等，得，再根据正弦函数的定义即可求解．
13．因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】根据提取公因式 ma+mb+mc = m(a+b+c) ，平方差公式 a2-b2= (a+b)(a-b)进行因式分解．
14．如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE、DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P．若∠ABE=138°，∠CDF=162°，则∠EPF的大小为　 　．
【答案】60°
【知识点】邻补角；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：60°．
【分析】利用平角的定义求出∠ABP=42°，∠CDP=18°，由两直线平行，内错角相等得出∠BPN=∠ABP=42°，∠DPN=∠CDP=18°，然后根据角的构成，由∠EPF=∠BPN+∠DPN可求出答案.
15．在100张奖券中，有4张中奖，小勇从中任抽1张，他中奖的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】因为在100张奖券中有4张中奖，某人从中抽取1张，有可能出现100种结果，中奖的结果为4种，所以他中奖的概率是．
故答案为：．
【分析】概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)．将数值代入即可求解.
16．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在两楼之间上方的点O处，点O距地面的高度为，此时观测到楼底部点A处的俯角为，楼上点E处的俯角为．沿水平方向由点O飞行到达点F，此时测得点E处俯角为，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内，则楼与之间的距离的长约为 　 　．（结果精确到．参考数据：，）
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：延长与分别交直线交于G、H，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴楼与之间的距离的长约为．
故答案为： .
【分析】延长与分别交直线交于G、H，在中，解三角形求出，根据 三角形的一个外角，等于与它不相邻的两个内角的和，可以求得，即可知，在中 ，解三角形求出，即可求出AC．
17．如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，且点落在函数的图像上，则四边形的周长是　 　．
【答案】20
【知识点】菱形的性质；解直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，作轴，垂足为，
设点坐标为，
，
∴，整理得，
解得或（舍去），
，
，
∴四边形的周长为，
故答案为： 20 ．
【分析】作轴，垂足为，设点坐标为，根据“ 点落在函数 ”列出关于的方程，解出值，再根据勾股定理求出，根据菱形四条边相等，求出菱形的周长．
18．如图，在四边形中，，点E为对角线上一点．连接，若，，，，则　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵
∴
∵
∴
即
∵，
∴
故答案为：.
【分析】结合公共角∠BCE=∠ACB，利用有两组角相等的两个三角形相似得△BEC∽△ABC，由相似三角形对应边成比例及BC=CD可得出，然后利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出△CDE∽△CAD，由相似三角形对应边成比例可求出DE的长.
19．计算：
（1）
（2）先化简，再求值：，其中x，y满足等式．
【答案】（1）解：原式
（2）解：
∵
∴
∴，
将，代入，原式
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的混合运算；求特殊角的三角函数值；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）运用了有理数乘方公式： ( a)2=a2 ；二次根式化简：；特殊角三角函数值： = 1；绝对值化简：当a < 0时，|a|=-a，分母有理化（平方差公式）：，然后进行加减运算；
（2）先通分，然后根据等式求出的值，进而代入求解即可．
（1）解：原式
（2）解：
∵
∴
∴，
将，代入，原式．
20．为了满足不同顾客对保温时效的要求，保温杯生产厂家研发了甲、乙两款保温杯．现从甲、乙两款中各随机抽取了5个保温杯，测得保温时效（单位：）如表：
甲组 11 12 13 14 15
乙组 x 6 7 5 8
（1）求甲款保温杯保温时效的方差；
（2）如果甲、乙两款保温杯保温时效的方差是相等的，乙款所抽取的5个保温杯的保温时效平均数是6，请求出x的值．
【答案】（1）解：甲组数据的平均数为：
，
方差为：
（2）解：已知乙组数据的平均数为6，即：
，
即，
，
解得：
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【分析】（1）根据平均数公式求平均数，再根据方差公式求方差即可；
（2）根据平均数公式列方程求解即可．
（1）解：甲组数据的平均数为：
，
方差为：
；
（2）解：已知乙组数据的平均数为6，即：
，
即，
，
解得：．
21．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数在第二象限的图象交于点，与轴交于点，连结并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式．
（2）求的面积．
【答案】（1）解：如图，过点A作轴于点H，
，
，
中，，
，
将代入反比例函数，得，
解得：，
反比例函数关系式为，
将，代入一次函数，得
，
解得：，
一次函数关系式为；
（2）解：由题意得点A与点C关于原点对称，
∴
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数图象的对称性；待定系数法求反比例函数解析式；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）过点A作轴，根据勾股定理求出，从而得出，将点坐标代入求出k的值，即可得出反比例函数的表达式，再把点A，B的坐标代入，求出a，b的值，即可得出一次函数的关系式；
（2）由题意得点A与 C关于原点对称，得出，从而得出，再根据三角形面积公式计算，即可得出答案．
（1）解：如图，过点A作轴，
，
，
中，，
，
将代入反比例函数，得，解得：，
反比例函数关系式为，
将，代入一次函数，得
，解得：，
一次函数关系式为；
（2）解：由题意得点A与 C关于原点对称，，
，
．
22．端午节是我国的传统节日，有吃粽子的习俗.节日前夕，某商场购进A，B两种粽子，若购进1盒A种粽子，2盒B种粽子，共需76元；若购进2盒A种粽子，1盒B种粽子，共需92元.经了解，A，B两种粽子的进价与标价如下表所示(单位：元/盒)：
种类 进价 标价
A a 48
B b 24
（1）求a，b的值；
（2）该商场打算购进A，B两种粽子共200盒，且要求A种粽子的数量不超过 B种粽子的2倍，问应该如何进货，销售完这200盒粽子所获总利润最大 最大利润是多少
【答案】（1）解：由题意可得，
解得
即a的值为36， b的值为20；
（2）解：设购进A种粽子x盒，则购进B种粽子(200-x)盒，总利润为w元，
由题意可得， w= (48-36) x+ (24-20) (200-x) =8x+800，
∴w随x的增大而增大，
∵要求A种粽子的数量不超过B种粽子的2倍，
∴x≤2 (200-x)，解得
∵x为整数， ∴当x=133时， w取得最大值，此时w=1864， 200-x=67，
答：当购进A种粽子133盒，B种粽子67盒时，可以获得最大利润，最大利润是1864元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据“ 购进1盒A种粽子，2盒B种粽子，共需76元；若购进2盒A种粽子，1盒B种粽子，共需92元 ”列二元一次方程组解答即可；
（2）设购进A种粽子盒，总利润为w元，根据总利润＝A，B两种粽子的利润和求出，得到的取值范围，根据一次函数的增减性解答即可．
23．在中，，为上一点，与相交于点．
图① 图②
（1）如图①，为的直径，若，与相交于点，求和的大小；
（2）如图②，经过点，与相交于点，与相切于点，过点作弦，连接，，与相交于点，若，求的长．
【答案】（1）解：为的直径，
．
．
，
．
．
四边形是圆内接四边形，
．
．
（2）解：如图，连接，与相交于点．
，
．
，
．
．
．
与相切于点，
，即．
．
，
．
，．
为的直径，
．
四边形为矩形．
．
【知识点】矩形的判定与性质；垂径定理；圆内接四边形的性质；切线的性质；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角得到，由直角三角形两锐角互余求出∠ABE=40°，由等边对等角及三角形的内角和定理得到，然后根据角的构成，由，求出的度数；由圆内接四边形的对角互补，求出的度数，进而根据角的构成，由∠BED=∠AED-∠AEB，求出的度数；
（2）连接OF，OF与EG相交于点M，由等边对等角推出∠ODB=∠C=∠ABC，由同位角相等，两直线平行得到；由圆的切线垂直经过切点的半径得到，由二直线平行，同旁内角互补推出∠FOD=90°，由二直线平行，同位角相等得出∠OMG=90°，由垂径定理得出MG=EM=2，由直径所对的圆周角为直角得出∠BGE=90°，则由有三个内角为直角的四边形是矩形推出四边形OMGH为矩形，由矩形的对边相等得出OH=MG=2.
（1）为的直径，
．
．
，
．
．
四边形是圆内接四边形，
．
．
（2）如图，连接，与相交于点．
，
．
，
．
．
．
与相切于点，
，即．
．
，
．
，．
为的直径，
．
四边形为矩形．
．
24．如图，直线交轴于点，交轴于点．对称轴为直线的抛物线经过，两点，交轴负半轴于点，为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，过点作轴的垂线，垂足为点，直线交轴于点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若，设直线交直线于点，是否存在这样的值，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：在中，当时，，当时，，
点，点，
设抛物线的表达式为，
把点，点的坐标分别代入，得，
解得，
抛物线的表达式为
（2）解：存在．
抛物线的对称轴为直线，点的坐标为，
点的横坐标为，
，，
①如图，
，即是的中点，点在直线上
，
点在直线上，
可得，
解得或（舍去），
故此时的值为．
②如图，
设点的坐标为，则，
M，
，
①
②，
联立①②，
解得（舍去）或
综上，的值为或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【分析】（1）先求出，点两点，再设抛物线的表达式为， 代入点坐标，即可求函数解析式；
（2） 利用抛物线对称性，求点 M 的坐标 ，根据，分在内部与外部两种情况讨论： E 是 MN 的中点 ，用中点坐标公式，求E 的坐标，再利用一次函数图象上点的特征计算求解； E 在 N M的延长线上，需要根据坐标关系列方程求解，得到另一组解。
（1）解：在中，当时，，当时，，
点，点，
设抛物线的表达式为，
把点，点的坐标分别代入，得，
解得，
抛物线的表达式为．
（2）解：存在．
抛物线的对称轴为直线，点的坐标为，
点的横坐标为，
，，
①如图，
，即是的中点，点在直线上
，
点在直线上，
可得，
解得或（舍去），
故此时的值为．
②如图，
设点的坐标为，则，
M，
，
①
②，
联立①②，
解得（舍去）或
综上，的值为或．
25．如图1，将绕点A逆时针旋转得到，M、N分别为这两个平行四边形的对称中心．
（1）连接、，当时；
① 求证：平分；
②请仅用无刻度的直尺和圆规在图2中作出符合条件的点E（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如图3，当绕点A逆时针旋转一定角度后，连接、，且两直线、互相垂直．若，，，求的面积．
【答案】（1）证明：①依题意可知：旋转到位置，∴，
在与中
，
，
，
平分；
②如图，点为所求作的点；
（2）解：，，
，，
，
过作，垂足为，则
∵是平行四边形的中心，
∴，
∴，，
∵
∴，
∴
，，，
由勾股定理得，
第一种情况：如图1所示
，
，
第二种情况：如图2所示
，
，
综上，的面积为或．
【知识点】平行四边形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SSS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）①根据旋转的性质，利用证明，根据对应角相等得到结论即可；
②作，即可作出点；
（2）过作，垂足为，则 ，根据两角对应相等得到，根据对应边成比例求出AH，FH，AB的长，根据勾股定理求得长，分为两种情况画图，根据线段的和差求出BF长，利用三角形的面积公式计算即可．
（1）证明：①依题意可知：旋转到位置，
∴，
在与中
，
，
，
平分；
②如图，点为所求作的点；
（2），
，
，，
，
过作，垂足为，则
∵是平行四边形的中心，
∴，
∴，，
∵
∴，
∴
，，，
由勾股定理得，
第一种情况：如图1所示
，
，
第二种情况：如图2所示
，
，
综上，的面积为或．
1 / 12026年四川省绵阳市梓潼县一模数学试题
1．《九章算术》中指出：“若开之不尽者为不可开，当以面命之”，“面”的概念是我国古代数学家对无理数的最早认知，比西方早数百年，作者给这种开方开不尽的数起了一个专门的名词“面”．在下列实数中，属于“面”的是（　　）
A． B． C． D．0
2．几何图形由点、线、面组成，“点动成线、线动成面、面动成体”.下列现象中能反映“线动成面”的是(　　)
A．流星划过夜空 B．直角三角尺绕直角边旋转一周
C．打开折扇 D．笔尖在纸上快速滑动
3．依据《广东省推动低空经济高质量发展行动方案（2024-2026年）》，预计2026年广东省低空经济规模将超过3000亿元．数据3000亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．下列人工智能应用图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
5．若分式 中，x、y都扩大为原来的3倍，则该分式的值（　　）
A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的
C．扩大到原来的9倍 D．不变
6．如图，的斜边与半圆的直径重合放置，，点为上任意一点，连接并延长交半圆于点，连接，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．下列关于二次函数及其图象描述错误的是（　　）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线与轴交点坐标为，
C．当时，取最大值4
D．当时，随的增大而增大
9．小华去商店购买、两种玩具，共用了12元，种玩具每件1元，种玩具每件3元.若每种玩具至少买一件，且种玩具的数量不少于种玩具的数量，则小华的购买方案有（　　）
A．7种 B．6种 C．4种 D．3种
10．一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在(　　)
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
11．如图，在菱形中，，，以B为圆心、长为半径画弧，点P为菱形内一点，连接．当为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
12．如图，在矩形中，，，点E在上，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，那么的值为（　　）
A． B． C． D．
13．因式分解：　 　．
14．如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE、DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P．若∠ABE=138°，∠CDF=162°，则∠EPF的大小为　 　．
15．在100张奖券中，有4张中奖，小勇从中任抽1张，他中奖的概率是　 　．
16．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在两楼之间上方的点O处，点O距地面的高度为，此时观测到楼底部点A处的俯角为，楼上点E处的俯角为．沿水平方向由点O飞行到达点F，此时测得点E处俯角为，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内，则楼与之间的距离的长约为 　 　．（结果精确到．参考数据：，）
17．如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，且点落在函数的图像上，则四边形的周长是　 　．
18．如图，在四边形中，，点E为对角线上一点．连接，若，，，，则　 　．
19．计算：
（1）
（2）先化简，再求值：，其中x，y满足等式．
20．为了满足不同顾客对保温时效的要求，保温杯生产厂家研发了甲、乙两款保温杯．现从甲、乙两款中各随机抽取了5个保温杯，测得保温时效（单位：）如表：
甲组 11 12 13 14 15
乙组 x 6 7 5 8
（1）求甲款保温杯保温时效的方差；
（2）如果甲、乙两款保温杯保温时效的方差是相等的，乙款所抽取的5个保温杯的保温时效平均数是6，请求出x的值．
21．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数在第二象限的图象交于点，与轴交于点，连结并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式．
（2）求的面积．
22．端午节是我国的传统节日，有吃粽子的习俗.节日前夕，某商场购进A，B两种粽子，若购进1盒A种粽子，2盒B种粽子，共需76元；若购进2盒A种粽子，1盒B种粽子，共需92元.经了解，A，B两种粽子的进价与标价如下表所示(单位：元/盒)：
种类 进价 标价
A a 48
B b 24
（1）求a，b的值；
（2）该商场打算购进A，B两种粽子共200盒，且要求A种粽子的数量不超过 B种粽子的2倍，问应该如何进货，销售完这200盒粽子所获总利润最大 最大利润是多少
23．在中，，为上一点，与相交于点．
图① 图②
（1）如图①，为的直径，若，与相交于点，求和的大小；
（2）如图②，经过点，与相交于点，与相切于点，过点作弦，连接，，与相交于点，若，求的长．
24．如图，直线交轴于点，交轴于点．对称轴为直线的抛物线经过，两点，交轴负半轴于点，为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，过点作轴的垂线，垂足为点，直线交轴于点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若，设直线交直线于点，是否存在这样的值，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
25．如图1，将绕点A逆时针旋转得到，M、N分别为这两个平行四边形的对称中心．
（1）连接、，当时；
① 求证：平分；
②请仅用无刻度的直尺和圆规在图2中作出符合条件的点E（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如图3，当绕点A逆时针旋转一定角度后，连接、，且两直线、互相垂直．若，，，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A．是分数，属于有理数；
B．是无限不循环小数，是无理数；
C．是循环小数，是有理数；
D.0是整数，是有理数．
故选：B．
【分析】“面”是指无理数，即无限不循环小数．A 、分数属于有理数；B、 无限不循环小数是无理数；C、 无限循环小数能化为分数，属于有理数；D、 0 是整数，整数属于有理数.
2．【答案】C
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：A、流星划过夜空是点动成线，不符合题意；
B、直角三角尺绕直角边旋转一周是面动成体，不符合题意；
C、打开折扇是线动成面，符合题意；
D、笔尖在纸上快速滑动是点动成线，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据点、线、面、体的关系解答即可．
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：3000亿．
故选：D．
【分析】根据科学记数法的表示形式，求解即可．
4．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解： A、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图形是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【分析】轴对称图形：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义可以判定C为轴对称图形，ABD排除．
5．【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：把分式中的x、y分别用替换后得到的分式为，
∴分式中，x、y都扩大为原来的3倍，则该分式的值扩大到原来的3倍，
故选：A．
【分析】x，y都扩大3倍，就用代入分式，约分后即可得到答案．
6．【答案】C
【知识点】直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵，的斜边与半圆的直径重合，
∴点在以点为圆心的圆上，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据，的斜边与半圆的直径重合，可以得到：点在以点为圆心的圆上， 根据直角三角形锐角互余可得， 根据同弧所对的圆周角相等， 可得，可以求得答案．
7．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意；
B、，故原选项计算错误，不符合题意；
C、，故原选项计算错误，不符合题意；
D、，故原选项计算正确，符合题意；
故选：D．
【分析】
本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方、负整数指数幂的运算. 解题核心是熟练掌握各类幂运算的运算法则，逐一验证每个选项的计算是否符合对应法则，排除错误选项后得到正确答案.
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A、∵二次项系数，
∴抛物线的开口向下，原说法正确，不符合题意；
B、当时，，解得或，
∴抛物线与轴交点坐标为，，原说法正确，不符合题意；
C、∵，且抛物线的开口向下，
∴当时，取最大值4，原说法正确，不符合题意；
D、∵，
∴对称轴为直线，
又∵抛物线的开口向下，
∴当时，随的增大而减小，原说法错误，符合题意．
故答案为：D.
【分析】 二次函数 =，A、根据二次项系数小于0可判断抛物线的开口向下 ；B求出时，；C，把解析式化为顶点式 =；D对称轴为直线，抛物线的开口向下 ，可知当时，随的增大而减小 ．
9．【答案】D
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设A种玩具x件，B种玩具y件，根据题意得
x+3y=12
解之：x=12-3y，
∵ 每种玩具至少买一件，且种玩具的数量不少于种玩具的数量，
∴
解之：
∴不等式组的解集为：1≤y≤3
∵y为整数，
∴y=1，2，3，
∴x=9，6，3，
∴一共有3种方案.
故答案为：D.
【分析】设A种玩具x件，B种玩具y件，可得到关于x，y的方程，解方程表示出x，再根据 每种玩具至少买一件，且A种玩具的数量不少于B种玩具的数量，可得到关于y的不等式组，然后求出不等式组的解集，可得到不等式组的正整数解，即可得到小华的购买方案.
10．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【分析】先根据正方形的面积是15计算出其边长，在估算出该数的大小即可．
【解答】∵一个正方形的面积是15，
∴该正方形的边长为，
∵9＜15＜16，
∴3＜＜4．
故选B．
【点评】本题考查的是估算无理数的大小及正方形的性质，根据题意估算出的取值范围是解答此题的关键．
11．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；扇形面积的计算；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：连接，延长，交于E，
在菱形中，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
∴S阴影＝S扇形ABC﹣S△PAB﹣S△PBC＝，
故答案为：B．
【分析】连接AC，延长AP交BC于E，由菱形的性质得AB=BC=4，∠ABC=∠D=60°，从而由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△ABC是等边三角形，由等边三角形的三边相等得出AB=AC；由“SSS”证△APB≌△APC，由全等三角形的对应角相等得∠PAB=∠PAC，从而由等腰三角形的三线合一得出AE⊥BC，BE=CE=2，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得出PE=BC=2，在Rt△ABE中，利用勾股定理算出AE，由线段和差算出AP，进而利用结合扇形及三角形面积计算公式列式计算即可.
12．【答案】C
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正弦值
【解析】【解答】解：在矩形中，，
∵矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，
在中，，
又
，
故选：C．
【分析】先根据矩形的四个角都是直角，得，再根据折叠的性质得，在中，利用勾股定理计算出，根据同角的余角相等，得，再根据正弦函数的定义即可求解．
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】根据提取公因式 ma+mb+mc = m(a+b+c) ，平方差公式 a2-b2= (a+b)(a-b)进行因式分解．
14．【答案】60°
【知识点】邻补角；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：60°．
【分析】利用平角的定义求出∠ABP=42°，∠CDP=18°，由两直线平行，内错角相等得出∠BPN=∠ABP=42°，∠DPN=∠CDP=18°，然后根据角的构成，由∠EPF=∠BPN+∠DPN可求出答案.
15．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】因为在100张奖券中有4张中奖，某人从中抽取1张，有可能出现100种结果，中奖的结果为4种，所以他中奖的概率是．
故答案为：．
【分析】概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)．将数值代入即可求解.
16．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：延长与分别交直线交于G、H，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴楼与之间的距离的长约为．
故答案为： .
【分析】延长与分别交直线交于G、H，在中，解三角形求出，根据 三角形的一个外角，等于与它不相邻的两个内角的和，可以求得，即可知，在中 ，解三角形求出，即可求出AC．
17．【答案】20
【知识点】菱形的性质；解直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，作轴，垂足为，
设点坐标为，
，
∴，整理得，
解得或（舍去），
，
，
∴四边形的周长为，
故答案为： 20 ．
【分析】作轴，垂足为，设点坐标为，根据“ 点落在函数 ”列出关于的方程，解出值，再根据勾股定理求出，根据菱形四条边相等，求出菱形的周长．
18．【答案】
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵
∴
∵
∴
即
∵，
∴
故答案为：.
【分析】结合公共角∠BCE=∠ACB，利用有两组角相等的两个三角形相似得△BEC∽△ABC，由相似三角形对应边成比例及BC=CD可得出，然后利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出△CDE∽△CAD，由相似三角形对应边成比例可求出DE的长.
19．【答案】（1）解：原式
（2）解：
∵
∴
∴，
将，代入，原式
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的混合运算；求特殊角的三角函数值；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）运用了有理数乘方公式： ( a)2=a2 ；二次根式化简：；特殊角三角函数值： = 1；绝对值化简：当a < 0时，|a|=-a，分母有理化（平方差公式）：，然后进行加减运算；
（2）先通分，然后根据等式求出的值，进而代入求解即可．
（1）解：原式
（2）解：
∵
∴
∴，
将，代入，原式．
20．【答案】（1）解：甲组数据的平均数为：
，
方差为：
（2）解：已知乙组数据的平均数为6，即：
，
即，
，
解得：
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【分析】（1）根据平均数公式求平均数，再根据方差公式求方差即可；
（2）根据平均数公式列方程求解即可．
（1）解：甲组数据的平均数为：
，
方差为：
；
（2）解：已知乙组数据的平均数为6，即：
，
即，
，
解得：．
21．【答案】（1）解：如图，过点A作轴于点H，
，
，
中，，
，
将代入反比例函数，得，
解得：，
反比例函数关系式为，
将，代入一次函数，得
，
解得：，
一次函数关系式为；
（2）解：由题意得点A与点C关于原点对称，
∴
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数图象的对称性；待定系数法求反比例函数解析式；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）过点A作轴，根据勾股定理求出，从而得出，将点坐标代入求出k的值，即可得出反比例函数的表达式，再把点A，B的坐标代入，求出a，b的值，即可得出一次函数的关系式；
（2）由题意得点A与 C关于原点对称，得出，从而得出，再根据三角形面积公式计算，即可得出答案．
（1）解：如图，过点A作轴，
，
，
中，，
，
将代入反比例函数，得，解得：，
反比例函数关系式为，
将，代入一次函数，得
，解得：，
一次函数关系式为；
（2）解：由题意得点A与 C关于原点对称，，
，
．
22．【答案】（1）解：由题意可得，
解得
即a的值为36， b的值为20；
（2）解：设购进A种粽子x盒，则购进B种粽子(200-x)盒，总利润为w元，
由题意可得， w= (48-36) x+ (24-20) (200-x) =8x+800，
∴w随x的增大而增大，
∵要求A种粽子的数量不超过B种粽子的2倍，
∴x≤2 (200-x)，解得
∵x为整数， ∴当x=133时， w取得最大值，此时w=1864， 200-x=67，
答：当购进A种粽子133盒，B种粽子67盒时，可以获得最大利润，最大利润是1864元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据“ 购进1盒A种粽子，2盒B种粽子，共需76元；若购进2盒A种粽子，1盒B种粽子，共需92元 ”列二元一次方程组解答即可；
（2）设购进A种粽子盒，总利润为w元，根据总利润＝A，B两种粽子的利润和求出，得到的取值范围，根据一次函数的增减性解答即可．
23．【答案】（1）解：为的直径，
．
．
，
．
．
四边形是圆内接四边形，
．
．
（2）解：如图，连接，与相交于点．
，
．
，
．
．
．
与相切于点，
，即．
．
，
．
，．
为的直径，
．
四边形为矩形．
．
【知识点】矩形的判定与性质；垂径定理；圆内接四边形的性质；切线的性质；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角得到，由直角三角形两锐角互余求出∠ABE=40°，由等边对等角及三角形的内角和定理得到，然后根据角的构成，由，求出的度数；由圆内接四边形的对角互补，求出的度数，进而根据角的构成，由∠BED=∠AED-∠AEB，求出的度数；
（2）连接OF，OF与EG相交于点M，由等边对等角推出∠ODB=∠C=∠ABC，由同位角相等，两直线平行得到；由圆的切线垂直经过切点的半径得到，由二直线平行，同旁内角互补推出∠FOD=90°，由二直线平行，同位角相等得出∠OMG=90°，由垂径定理得出MG=EM=2，由直径所对的圆周角为直角得出∠BGE=90°，则由有三个内角为直角的四边形是矩形推出四边形OMGH为矩形，由矩形的对边相等得出OH=MG=2.
（1）为的直径，
．
．
，
．
．
四边形是圆内接四边形，
．
．
（2）如图，连接，与相交于点．
，
．
，
．
．
．
与相切于点，
，即．
．
，
．
，．
为的直径，
．
四边形为矩形．
．
24．【答案】（1）解：在中，当时，，当时，，
点，点，
设抛物线的表达式为，
把点，点的坐标分别代入，得，
解得，
抛物线的表达式为
（2）解：存在．
抛物线的对称轴为直线，点的坐标为，
点的横坐标为，
，，
①如图，
，即是的中点，点在直线上
，
点在直线上，
可得，
解得或（舍去），
故此时的值为．
②如图，
设点的坐标为，则，
M，
，
①
②，
联立①②，
解得（舍去）或
综上，的值为或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【分析】（1）先求出，点两点，再设抛物线的表达式为， 代入点坐标，即可求函数解析式；
（2） 利用抛物线对称性，求点 M 的坐标 ，根据，分在内部与外部两种情况讨论： E 是 MN 的中点 ，用中点坐标公式，求E 的坐标，再利用一次函数图象上点的特征计算求解； E 在 N M的延长线上，需要根据坐标关系列方程求解，得到另一组解。
（1）解：在中，当时，，当时，，
点，点，
设抛物线的表达式为，
把点，点的坐标分别代入，得，
解得，
抛物线的表达式为．
（2）解：存在．
抛物线的对称轴为直线，点的坐标为，
点的横坐标为，
，，
①如图，
，即是的中点，点在直线上
，
点在直线上，
可得，
解得或（舍去），
故此时的值为．
②如图，
设点的坐标为，则，
M，
，
①
②，
联立①②，
解得（舍去）或
综上，的值为或．
25．【答案】（1）证明：①依题意可知：旋转到位置，∴，
在与中
，
，
，
平分；
②如图，点为所求作的点；
（2）解：，，
，，
，
过作，垂足为，则
∵是平行四边形的中心，
∴，
∴，，
∵
∴，
∴
，，，
由勾股定理得，
第一种情况：如图1所示
，
，
第二种情况：如图2所示
，
，
综上，的面积为或．
【知识点】平行四边形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SSS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）①根据旋转的性质，利用证明，根据对应角相等得到结论即可；
②作，即可作出点；
（2）过作，垂足为，则 ，根据两角对应相等得到，根据对应边成比例求出AH，FH，AB的长，根据勾股定理求得长，分为两种情况画图，根据线段的和差求出BF长，利用三角形的面积公式计算即可．
（1）证明：①依题意可知：旋转到位置，
∴，
在与中
，
，
，
平分；
②如图，点为所求作的点；
（2），
，
，，
，
过作，垂足为，则
∵是平行四边形的中心，
∴，
∴，，
∵
∴，
∴
，，，
由勾股定理得，
第一种情况：如图1所示
，
，
第二种情况：如图2所示
，
，
综上，的面积为或．
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