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2026年中考数学考前预测：尺规作图
一．选择题（共10小题）
1．尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由作法可得△OCP≌△ODP，判定这两个三角形全等的根据是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
2．有下列画图语句：
①画出线段A，B的中点；
②画出A，B两点的距离；
③延长射线OP；
④连接A，B两点，其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为（　　）
A．7 B．14 C．17 D．20
4．已知△ABC，下列尺规作图的方法中，能确定∠BAD＝∠CAD的是（　　）
A． B．
C． D．
5．阅读以下作图步骤：
①在OA和OB上分别截取OC，OD，使OC＝OD；
②分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点M；
③作射线OM，连接CM，DM，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是（　　）
A．∠1＝∠2且CM＝DM B．∠1＝∠3且CM＝DM
C．∠1＝∠2且OD＝DM D．∠2＝∠3且OD＝DM
6．如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；
步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3：连接AD，交BC延长线于点H．
下列叙述正确的是（　　）
A．BH垂直平分线段AD B．AC平分∠BAD
C．S△ABC＝BC AH D．AB＝AD
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论不一定正确的是（　　）
A．AD＝BD B．BD＝CD C．∠A＝∠BED D．∠ECD＝∠EDC
8．如图，等腰△AOB中，顶角∠AOB＝40°，用尺规按①到④的步骤操作：
①以O为圆心，OA为半径画圆；
②在⊙O上任取一点P（不与点A，B重合），连接AP；
③作AB的垂直平分线与⊙O交于M，N；
④作AP的垂直平分线与⊙O交于E，F．
结论Ⅰ：顺次连接M，E，N，F四点必能得到矩形；
结论Ⅱ：⊙O上只有唯一的点P，使得S扇形FOM＝S扇形AOB．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（　　）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对
C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
9．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（　　）
A．a＝b B．2a+b＝﹣1 C．2a﹣b＝1 D．2a+b＝1
10．如图，在△ABC中，AB＝BC，以B为圆心，适当长为半径画弧交BA于点M，交BC于点N，分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点D，射线BD交AC于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝4，则△CEF的周长是（　　）
A．8 B．22 C．26 D．22
二．填空题（共5小题）
11．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°．按以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点E，F；②作直线EF；③以点B为圆心，以BA为半径画弧交直线EF于点G；④连接BG交AC于点P．则∠APB＝　 　 ．
12．如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B均在格点上．
（1）AB的长为 　 　 ；
（2）请只用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出以AB为边的矩形ABCD，使其面积为，并简要说明点C，D的位置是如何找到的（不用证明）：　 　 ．
13．如图，已知线段AB＝2，作BD⊥AB，使BDAB；连接AD，以D为圆心，BD长为半径画弧交AD于点E，以A为圆心，AE长为半径画弧交AB于点C，则AC长为　 　 ．
14．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B均在格点上．
（Ⅰ）线段AB的长为　 　 ．
（Ⅱ）请利用网格，用无刻度的直尺在AB上作出点P，使AP，并简要说明你的作图方法（不要求证明）．　 　 ．
15．如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝45°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线MN交AD于点E，连接CE，则CE的长为 　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，AB是其中一个小长方形的对角线，请在大长方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度直尺，②保留必要的画图痕迹．
（1）在图1中画出一个45°角，使点A或点B是这个角的顶点，且AB为这个角的一边；
（2）在图2中画出线段AB的垂直平分线．
17．如图，点A、点B是直线MN外同侧的两点，请用无刻度的直尺与圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹）
（1）在图1中，在直线MN上取点P使得∠APM＝∠BPN；
（2）在图2中，在直线MN上取点Q使得∠AQM＝∠AQB．
18．问题背景：
在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上　 　 ；
思维拓展：
（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为、、（a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积；
探索创新：
（3）若△ABC三边的长分别为、、（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这三角形的面积．
19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，按下列要求用直尺和圆规作图．（不写作法，保留作图痕迹）
（1）如图①，在边BC上求作一点P，使点P到点C的距离等于点P到边AB的距离；
（2）如图②，在边AB上求作一点Q，使点Q到点A的距离等于点Q到边BC的距离．
20．国庆期间，南山区某校七年级同学在观看灯光秀表演后，以“角内特殊射线”为主题展开项目式学习．同学们类比角平分线的定义，给出n倍分线的定义，在探究中感受数学之美．
新定义：如果∠MON的内部有一条射线OP将∠MON分成两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线OP为∠MON的n倍分线．如图1，若∠MOP＝3∠NOP，则OP为∠MON的3倍分线；若∠NOQ＝3∠MOQ，则OQ也是∠MON的3倍分线．
【特例感知】
（1）若∠MON＝150°，射线OP为∠MON的1倍分线，则∠MOP＝ 　 　 ；
（2）尺规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
如图2，在OA上方作∠AOD（∠AOD＞∠AOB），使OA为∠BOD的2倍分线；
【类比探究】
（3）如图3，点A，O，B在同一条直线上，OC为直线AB上方的一条射线．
①若射线OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的4倍分线（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB），当∠AOC＝150°时，∠POQ＝ 　 　 ；
②在①的条件下，当∠AOC＝α（0°＜α＜180°）时，∠POQ的度数是否发生变化？若不发生变化，请求出∠POQ的度数；若发生变化，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由作法可得△OCP≌△ODP，判定这两个三角形全等的根据是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定．
【专题】作图题．
【答案】D
【分析】由画法得OC＝OD，PC＝PD，加上公共边OOP，则可根据“SSS”可判定△OCP≌△ODP，然后根据全等三角形的性质可判定OP为∠AOB的平分线．
【解答】解：由画法得OC＝OD，PC＝PD，
而OP＝OP，
所以△OCP≌△ODP（SSS），
所以∠COP＝∠DOP，
即OP平分∠AOB．
故选：D．
【点评】本题考查了基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．
2．有下列画图语句：
①画出线段A，B的中点；
②画出A，B两点的距离；
③延长射线OP；
④连接A，B两点，其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】作图—尺规作图的定义．
【专题】常规题型；尺规作图．
【答案】A
【分析】根据尺规作图的定义及其要求判断可得．
【解答】解：①画出线段AB的中点，线段表示错误；
②A，B两点的距离只能测量，此语句错误；
③射线不能顺向延长，只能反向延长，此语句错误；
④连接A，B两点，此语句正确；
故选：A．
【点评】本题主要考查尺规作图的定义，解题的关键是掌握直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度．圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度．
3．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为（　　）
A．7 B．14 C．17 D．20
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【专题】几何图形问题；数形结合．
【答案】C
【分析】首先根据题意可得MN是AB的垂直平分线，即可得AD＝BD，又由△ADC的周长为10，求得AC+BC的长，则可求得△ABC的周长．
【解答】解：∵在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．
∴MN是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∵△ADC的周长为10，
∴AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC＝10，
∵AB＝7，
∴△ABC的周长为：AC+BC+AB＝10+7＝17．
故选：C．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质与作法．题目难度不大，解题时要注意数形结合思想的应用．
4．已知△ABC，下列尺规作图的方法中，能确定∠BAD＝∠CAD的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】作图—基本作图．
【专题】尺规作图；推理能力．
【答案】D
【分析】观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线、角平分线、垂线的性质，逐项判断即可．
【解答】解：选项A，作图痕迹可知，D为BC中点，不能确定∠BAD＝∠CAD，不符合题意；
选项B，作图痕迹可知，D在AB的垂直平分线上，不能确定∠BAD＝∠CAD，不符合题意；
选项C，作图痕迹可知，AD是BC边上的高，不能确定∠BAD＝∠CAD，不符合题意；
选项D，作图痕迹可知，D在∠BAC的平分线上，能确定∠BAD＝∠CAD，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是掌握垂直平分线，角平分线，垂线的尺规作图方法．
5．阅读以下作图步骤：
①在OA和OB上分别截取OC，OD，使OC＝OD；
②分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点M；
③作射线OM，连接CM，DM，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是（　　）
A．∠1＝∠2且CM＝DM B．∠1＝∠3且CM＝DM
C．∠1＝∠2且OD＝DM D．∠2＝∠3且OD＝DM
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质．
【专题】图形的全等；尺规作图；推理能力．
【答案】A
【分析】由△OCM≌△ODM（SSS）推出∠1＝∠2；OC和CM不一定相等，因此∠1不一定等于∠3；OD和DM不一定相等；CM和OB不一定平行，因此∠2不一定等于∠3．
【解答】解：A、以C，D为圆心画弧的半径相等，因此CM＝DM，又OC＝OD，OM＝OM，因此△OCM≌△ODM（SSS）得到∠1＝∠2，故A符合题意；
B、因为OC、CM的长在变化，所以OC和CM不一定相等，因此∠1不一定等于∠3，故B不符合题意；
C、因为OD、DM的长在变化，所以OD和DM不一定相等，故C不符合题意；
D、CM的位置在变化，所以CM和OB不一定平行，因此∠2不一定等于∠3，故D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，关键是由作图得到△OCM≌△ODM（SSS）．
6．如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；
步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3：连接AD，交BC延长线于点H．
下列叙述正确的是（　　）
A．BH垂直平分线段AD B．AC平分∠BAD
C．S△ABC＝BC AH D．AB＝AD
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【答案】A
【分析】根据已知条件可知直线BC是线段AD的垂直平分线，由此一一判定即可．
【解答】解：A、正确．如图连接CD、BD，
∵CA＝CD，BA＝BD，
∴点C、点B在线段AD的垂直平分线上，
∴直线BC是线段AD的垂直平分线，
故A正确．
B、错误．CA不一定平分∠BAD．
C、错误．应该是S△ABC BC AH．
D、错误．根据条件AB不一定等于AD．
故选：A．
【点评】本题考查作图﹣基本作图、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握证明线段垂直平分线的证明方法，属于基础题，中考常考题型．
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论不一定正确的是（　　）
A．AD＝BD B．BD＝CD C．∠A＝∠BED D．∠ECD＝∠EDC
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线．
【答案】D
【分析】由题意可知：MN为AB的垂直平分线，可以得出AD＝BD；CD为直角三角形ABC斜边上的中线，得出CD＝BD；利用三角形的内角和得出∠A＝∠BED；因为∠A≠60°，得不出AC＝AD，无法得出EC＝ED，则∠ECD＝∠EDC不成立；由此选择答案即可．
【解答】解：∵MN为AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，∠BDE＝90°；
∵∠ACB＝90°，
∴CD＝BD；
∵∠A+∠B＝∠B+∠BED＝90°，
∴∠A＝∠BED；
∵当∠A≠60°时，AC≠AD，
∴EC≠ED，
∴∠ECD≠∠EDC．
故选：D．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及直角三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
8．如图，等腰△AOB中，顶角∠AOB＝40°，用尺规按①到④的步骤操作：
①以O为圆心，OA为半径画圆；
②在⊙O上任取一点P（不与点A，B重合），连接AP；
③作AB的垂直平分线与⊙O交于M，N；
④作AP的垂直平分线与⊙O交于E，F．
结论Ⅰ：顺次连接M，E，N，F四点必能得到矩形；
结论Ⅱ：⊙O上只有唯一的点P，使得S扇形FOM＝S扇形AOB．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（　　）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对
C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
【考点】作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；矩形的判定；点与圆的位置关系；扇形面积的计算．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】D
【分析】如图，连接EM，EN，MF．NF．根据矩形的判定证明四边形MENF是矩形，再说明∠MOF＝∠AOB时，S扇形FOM＝S扇形AOB，观察图形可知，这样的点P不唯一，可知（Ⅱ）错误．
【解答】解：如图，连接EM，EN，MF．NF．
∵MN垂直平分AB，EF垂直平分AP，由“垂径定理的逆定理”可知，MN和EF都是⊙O的直径，
∴OM＝ON，OE＝OF，
∴四边形MENF是平行四边形，
∵EF＝MN，
∴四边形MENF是矩形，故（Ⅰ）正确，
观察图形可知当∠MOF＝∠AOB，
∴S扇形FOM＝S扇形AOB，
观察图形可知，这样的点P不唯一（如图所示），故（Ⅱ）错误，
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，矩形的判定，扇形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
9．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（　　）
A．a＝b B．2a+b＝﹣1 C．2a﹣b＝1 D．2a+b＝1
【考点】作图—基本作图；坐标与图形性质；角平分线的性质．
【专题】压轴题．
【答案】B
【分析】根据作图过程可得P在第二象限角平分线上，由角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得|2a|＝|b+1|，再根据P点所在象限可得横纵坐标的和为0，进而得到a与b的数量关系．
【解答】解：根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上，
则P点横纵坐标的和为0，
故2a+b+1＝0，
整理得：2a+b＝﹣1，
故选：B．
【点评】此题主要考查了每个象限内点的坐标特点以及角平分线的性质，关键是掌握各象限角平分线上的点的坐标特点|横坐标|＝|纵坐标|．
10．如图，在△ABC中，AB＝BC，以B为圆心，适当长为半径画弧交BA于点M，交BC于点N，分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点D，射线BD交AC于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝4，则△CEF的周长是（　　）
A．8 B．22 C．26 D．22
【考点】作图—基本作图；等腰三角形的性质；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；尺规作图；几何直观．
【答案】D
【分析】由尺规作图可知，BE为∠ABC的平分线，结合等腰三角形的性质可得BE⊥AC，AE＝CEAC＝2，利用勾股定理得AB＝BC，进而可得EFAB，CFBC，即可得出答案．
【解答】解：由题意得，BE为∠ABC的平分线，
∵AB＝BC，
∴BE⊥AC，AE＝CEAC＝2，
由勾股定理得，AB＝BC，
∵点F为BC的中点，
∴EFAB，CFBC，
∴△CEF的周长为2．
故选：D．
【点评】本题考查尺规作图、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握角平分线的作图步骤以及等腰三角形的性质是解答本题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°．按以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点E，F；②作直线EF；③以点B为圆心，以BA为半径画弧交直线EF于点G；④连接BG交AC于点P．则∠APB＝　75°　 ．
【考点】作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质；等腰直角三角形．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】75°．
【分析】连接AG，如图，由作法得EF垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质可证明△ABG为等边三角形，则∠ABG＝60°，然后根据三角形内角和可计算出∠APB的度数．
【解答】解：连接AG，如图，
由作法得EF垂直平分AB，
∴GA＝GB，
∵BG＝BA，
∴AB＝BG＝AG，
∴△ABG为等边三角形，
∴∠ABG＝60°，
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠BAP＝45°，
∴∠APB＝180°﹣∠ABP﹣∠BAP＝180°﹣60°﹣45°＝75°．
故答案为：75°．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质．
12．如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B均在格点上．
（1）AB的长为 　　 ；
（2）请只用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出以AB为边的矩形ABCD，使其面积为，并简要说明点C，D的位置是如何找到的（不用证明）：　根据相似三角形的性质和矩形的面积，可以得到AD与AB的乘积为，从而可以得到点C和点D ．
【考点】作图—复杂作图；勾股定理；矩形的判定．
【专题】作图题；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力．
【答案】（1）；
（2）图形见解答，根据相似三角形的性质和矩形的面积，可以得到AD与AB的乘积为，从而可以得到点C和点D．
【分析】（1）根据题意和勾股定理，可以求得AB的长；
（2）根据相似三角形的性质和矩形的面积，可以得到AD与AB的乘积为，从而可以得到点C和点D，然后画出这个矩形即可（方法一：分析法；方法二：综合法）．
【解答】解：（1）由图可得，
AB，
故答案为：；
（2）如图所示，四边形ABCD即为所求，理由：根据相似三角形的性质和矩形的面积，可以得到AD与AB的乘积为，从而可以得到点C和点D，
具体的计算过程：
方法一：由图可知：△ABF∽ADE，
则，
即，
解得AD，
∴AD AB，
这样找到点D，同理可以找到点C，
即图中ABCD即为所求；
方法二：∵矩形的面积为，AB，
∴AD，
由图可知：△ABF∽ADE，
则，
∴，
解得AE＝2，
这样找到点D，同理可以找到点C，
即图中ABCD即为所求；
故答案为：根据相似三角形的性质和矩形的面积，可以得到AD与AB的乘积为，从而可以得到点C和点D．
【点评】本题考查作图—复杂作图、勾股定理、矩形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
13．如图，已知线段AB＝2，作BD⊥AB，使BDAB；连接AD，以D为圆心，BD长为半径画弧交AD于点E，以A为圆心，AE长为半径画弧交AB于点C，则AC长为　1　 ．
【考点】作图—基本作图．
【专题】作图题．
【答案】1
【分析】设AB＝x，根据题意表示出BD、DE，根据勾股定理求出AD，求出AC与AB的比值，根据黄金比值进行判断即可．
【解答】解：∵AB＝2，则BD＝DE2＝1，
由勾股定理得，AD，
则AC＝AE，
∴ACAB，
故答案为：1．
【点评】本题考查的是作图和黄金分割的概念，熟记黄金比的值是解题的关键．
14．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B均在格点上．
（Ⅰ）线段AB的长为　2　 ．
（Ⅱ）请利用网格，用无刻度的直尺在AB上作出点P，使AP，并简要说明你的作图方法（不要求证明）．　取格点M，N，连接MN交AB于P，则点P即为所求　 ．
【考点】作图—应用与设计作图；勾股定理．
【答案】2；取格点M，N，连接MN交AB于P，则点P即为所求
【分析】利用勾股定理列式求出AB＝2，然后作一小正方形对角线，使对角线与AB的交点满足AP：BP＝2：1即可．
【解答】解：（1）由勾股定理得，AB2；
（2）∵AB＝2，
所以，AP时AP：BP＝2：1．
点P如图所示．取格点M，N，连接MN交AB于P，则点P即为所求；
故答案为：取格点M，N，连接MN交AB于P，则点P即为所求．
【点评】本题考查了应用与设计作图，考虑利用相似三角形对应边成比例的性质是解题的关键．
15．如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝45°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线MN交AD于点E，连接CE，则CE的长为 　2　 ．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；菱形的性质．
【专题】作图题；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】2
【分析】连接BE，如图，利用基本作图得到MN垂直平分AB，则根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，再证明△AEB为等腰直角三角形，则BE＝2，接着根据菱形的性质得到AB＝BC＝4．
【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∴∠EBA＝∠A＝45°，
∴∠AEB＝90°，
∴△AEB为等腰直角三角形，
∴BEAB＝2，
∵AD∥BC，
∴∠EBC＝∠AEB＝90°，
∴EC2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和菱形的性质．
三．解答题（共5小题）
16．如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，AB是其中一个小长方形的对角线，请在大长方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度直尺，②保留必要的画图痕迹．
（1）在图1中画出一个45°角，使点A或点B是这个角的顶点，且AB为这个角的一边；
（2）在图2中画出线段AB的垂直平分线．
【考点】作图—应用与设计作图．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．
（2）根据正方形、长方形的性质对角线相等且互相平分，即可解决问题．
【解答】解：（1）如图所示，∠ABC＝45°．（AB、AC是小长方形的对角线）．
（2）线段AB的垂直平分线如图所示，
点M是长方形AFBE是对角线交点，点N是正方形ABCD的对角线的交点，直线MN就是所求的线段AB的垂直平分线．
【点评】本题考查作图﹣应用设计、正方形、长方形、等腰直角三角形的性质，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
17．如图，点A、点B是直线MN外同侧的两点，请用无刻度的直尺与圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹）
（1）在图1中，在直线MN上取点P使得∠APM＝∠BPN；
（2）在图2中，在直线MN上取点Q使得∠AQM＝∠AQB．
【考点】作图—复杂作图．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）（2）作图见解析部分．
【分析】（1）作点B关于直线MN的对称点B′，连接AB′交直线MN于点P，连接PB，点P即为所求；
（2）以A为圆心，AB为半径画弧，交MN于点C，作∠CAB的角平分线交MN于点Q，点Q即为所求．
【解答】解：（1）如图，点P即为所求；
（2）如图点Q即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．问题背景：
在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上　　 ；
思维拓展：
（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为、、（a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积；
探索创新：
（3）若△ABC三边的长分别为、、（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这三角形的面积．
【考点】作图—代数计算作图．
【专题】压轴题；新定义．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）△ABC的面积＝3×3﹣1×2÷2﹣1×3÷2﹣2×3÷2＝3.5；
（2）a是直角边长为a，2a的直角三角形的斜边；2a是直角边长为2a，2a的直角三角形的斜边；a是直角边长为a，4a的直角三角形的斜边，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积；
（3）结合（1），（2）易得此三角形的三边分别是直角边长为m，4n的直角三角形的斜边；直角边长为3m，2n的直角三角形的斜边；直角边长为2m，2n的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积．
【解答】解：（1）；
（2）如图：
S△ABC＝2a×4aa×2a2a×2a3a2；
（3）解：构造△ABC所示，
S△ABC＝3m×4n3m×2n2m×2n
＝5mn．
【点评】本题是开放性的探索问题，关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答．
19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，按下列要求用直尺和圆规作图．（不写作法，保留作图痕迹）
（1）如图①，在边BC上求作一点P，使点P到点C的距离等于点P到边AB的距离；
（2）如图②，在边AB上求作一点Q，使点Q到点A的距离等于点Q到边BC的距离．
【考点】作图—复杂作图；点到直线的距离．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】见解答．
【分析】（1）作∠BAC的角平分线交BC于点P；
（2）作∠BAC的角平分线交BC于点P，过点P作BC的垂线交AB于点Q．
【解答】解：（1）如图①，点P为所作；
（2）如图②，点Q为所作．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了点到直线的距离．
20．国庆期间，南山区某校七年级同学在观看灯光秀表演后，以“角内特殊射线”为主题展开项目式学习．同学们类比角平分线的定义，给出n倍分线的定义，在探究中感受数学之美．
新定义：如果∠MON的内部有一条射线OP将∠MON分成两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线OP为∠MON的n倍分线．如图1，若∠MOP＝3∠NOP，则OP为∠MON的3倍分线；若∠NOQ＝3∠MOQ，则OQ也是∠MON的3倍分线．
【特例感知】
（1）若∠MON＝150°，射线OP为∠MON的1倍分线，则∠MOP＝ 　75°　 ；
（2）尺规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
如图2，在OA上方作∠AOD（∠AOD＞∠AOB），使OA为∠BOD的2倍分线；
【类比探究】
（3）如图3，点A，O，B在同一条直线上，OC为直线AB上方的一条射线．
①若射线OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的4倍分线（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB），当∠AOC＝150°时，∠POQ＝ 　144°　 ；
②在①的条件下，当∠AOC＝α（0°＜α＜180°）时，∠POQ的度数是否发生变化？若不发生变化，请求出∠POQ的度数；若发生变化，请说明理由．
【考点】作图—应用与设计作图；角的计算．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）75°；
（2）见解析；
（3）①144°；②∠POQ的度数不变，理由见解析．
【分析】（1）根据射线OP为∠MON的1倍分线的定义求解；
（2）在OA的上方作∠AOD＝2∠AOB即可；
（3）①求出∠AOP，∠BOQ可得结论；②∠POQ的度数不变．根据n倍分线的定义以及角的和差定义求解．
【解答】解：（1）∵射线OP为∠MON的1倍分线，
∴∠MOP∠MON＝75°．
故答案为：75°；
（2）如图2中，∠AOD 即为所求；
（3）①∵∠AOC＝150°，
∴∠BOC＝180°﹣150°＝30°，
∵射线OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的4倍分线（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB），
∴∠AOP∠AOC＝30°，∠BOQ∠BOC＝6°，
∴∠POQ＝180°﹣∠AOP﹣∠BOQ＝144°．
故答案为：144°；
②∠POQ的度数不变．
理由：∵OP，OQ分别为∠AOC 和∠BOC 的四倍分线，
∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB，
∴，
，
∴∠POQ＝∠COP+∠COQ
，
∵∠AOB＝180°，
∴
∴∠POQ 的度数不发生变化．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，角的计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

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