资源简介

2026年中考数学复习难题速递之平面直角坐标系
一．选择题（共10小题）
1．奇奇发给来访的朋友小明一张旅游简图，并告知大学城的坐标是（﹣2，6），黄河风景区的坐标是（﹣4，9），自己在河南博物院等待与他会合，河南博物院的坐标为（　　）
A．（1，2） B．（2，1） C．（2，3） D．（3，2）
2．下列说法中，能确定物体位置的是（　　）
A．东经110°北纬20°
B．离小明家5千米的大楼
C．电影院中20座
D．北偏西55°方向
3．在平面直角坐标系中，等边△AOB如图放置，点A的坐标为（1，0）．每一次将△AOB绕着点O逆时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，…，以此类推，则点A2025的坐标为（　　）
A．（22025，0）
B．
C．（﹣22025，0）
D．
4．如图，在6×6的方格纸中，若点P，Q，M的坐标可分别记为（0，2），（3，0），（1，4），则当MN∥PQ时，点N的坐标可能是（　　）
A．（2，3） B．（3，3） C．（5，1） D．（4，2）
5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点B（2，﹣5），顶点C在y轴负半轴上，顶点A在x轴正半轴上，且CA＝CB，则C的坐标为（　　）
A．（0，﹣3） B．（0，﹣5） C．（3，0） D．（0，﹣2）
6．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，3），B（1，﹣3），经过点A的直线l∥y轴，点C是直线l上的一个动点，当线段BC的长度最短时，点C的坐标为（　　）
A．（1，3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3） D．（﹣2，1）
7．如图是小明绘制的他所在社区的平面示意图．若学校所在位置的坐标是（1，4），儿童乐园所在的位置是（﹣3，﹣2），则位于（2，0）的建筑是（　　）
A．地铁站口 B．医院 C．小明家 D．超市
8．如图，小球起始时位于（3，0）处，沿所示的方向击球．小球运动的轨迹如图所示，如果小球起始时位于（1，0）处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是（0，1），那么小球第2026次碰到球桌边时，小球的位置是（　　）
A．（3，4） B．（5，4） C．（7，0） D．（8，1）
9．小明设想用电脑模拟台球游戏，为增加难度，约定：
①台球桌面设计为腰长为4的等腰Rt△AOB；
②小球撞击桌边后的反弹角等于入射角．
如图建立平面直角坐标系，小明希望球从点P（2，0）出发，撞击AB边上M点后反弹，再撞击OB边上点N反弹，最后回到点P．则M点的坐标为（　　）
A．（2，2） B．（2.5，1.5） C．（3，1） D．（1.5，2.5）
10．如图，在平面直角坐标系中，OA1＝1，将边长为1的正方形的一边与x轴重合并按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点A2025的坐标为（　　）
A．（1012，0） B．（1012，1） C．（1013，0） D．（1013，﹣1）
二．填空题（共5小题）
11．如图，在平面直角坐标系中，已知，B（0，﹣4），点C在x轴的正半轴上，且∠ABC＝45°，则点C的坐标为　 　 ．
12．对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下定义：若在图形M上存在点Q，使得OQ＝kOP，k为正数，则称点P为图形M的k倍等距点．已知图形M为线段AB，点A（3，4），B（3，﹣4）．则图形M的所有2倍等距点P所形成图形的面积是　 　 ．
13．悬挂在同一水平高度上的四盏灯笼位置如图所示，各灯笼悬挂点的水平距离满足，若点B的坐标为（﹣2，3），则点D的坐标为　 　 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，），B（﹣1，0），过点A作AB的垂线交x轴于点A1，过点A1作AA1的垂线交y轴于点A2，过点A2作A1A2的垂线交x轴于点A3…按此规律继续作下去，直至得到点A2025为止，则点A2025的坐标为　 　 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（4，﹣3），连结AB，OB，作∠ABO的角平分线BP，过点O作OC⊥BP于点C，则点C的坐标为　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P分别到x轴、y轴和坐标原点的距离均为整数时，称点P为“完美点”．
（1）点A（﹣4，3）　 　 （填“是”或“否”）“完美点”；
（2）若点B（5，a），OB＝a+1，求a的值并判断点B是否是为“完美点”；
（3）若n为整数，点C（n2﹣1，2n），求证：点C为“完美点”．
17．阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务，两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点M（x1，y1），N（x2，y2），那么两点间的距离，例如：若点M（4，1），N（3，2），则．
（1）已知A（3，5），B（﹣1，﹣3），求A，B两点间的距离；
（2）已知A（1，2），B（﹣3，4），C（﹣1，6），判断△ABC的形状；
（3）代数式的最小值是　 　 ．
18．【观察思考】在平面直角坐标系中，若直线l上的所有点的横坐标均为a，则直线l称为直线x＝a．如图，直线l上的横坐标均为3，记为直线x＝3．探索关于直线x＝3对称的点的坐标规律如下：
已知点 对称轴 对称点 横坐标之间的数量关系
A（1，1） 直线x＝3 A（5，1） 1+5＝2×3
B（0，2） 直线x＝3 B（6，2） 0+6＝2×3
C（﹣1，﹣2） 直线x＝3 C（1，﹣2） ﹣1+7＝2×3
（1）【特例感知】根据以上图表，可知D（﹣2，﹣1）关于直线x＝3对称的点D′的坐标为　 　 ；
（2）【规律应用】结合以上规律完成下列问题：
①点E（1，﹣2）关于直线x＝2对称的点E′的坐标为　 　 ；
②若点F（1，3）关于直线x＝b对称的点F′的坐标为（7，3），则b的值为　 　 ；
（3）【深入拓展】若点P（m，n）与点Q关于直线x＝c对称，求点Q的坐标．（用含有m，n，c的代数式表示）
19．如图，数轴上A点表示数﹣4，B点表示数6．
（1）点P从A点出发，以每秒5个单位长度沿坐标轴匀速向右运动，点Q从B点出发，以每秒3个单位长度沿坐标轴匀速向左运动：
①经过几秒，线段PB长度为2．
②经过几秒，线段PQ长度为2．
（2）点P从A出发，以每秒5个单位长度在线段AB匀速往返运动，点Q从B点出发，以每秒3个单位长度在线段BA匀速往返运动：
①点P往返一次，与点B相遇几次？时间是多少？
②点P与点Q相遇第二十一次时，点P一共运动了多长时间？
20．如图，在直角坐标系中，O是原点，四边形OABC的顶点C的坐标为（2，2），顶点B在点C右侧，且BC＝2，∠OCB＝105°，∠OAB＝90°．
（1）求∠AOC的度数．
（2）求点A的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．奇奇发给来访的朋友小明一张旅游简图，并告知大学城的坐标是（﹣2，6），黄河风景区的坐标是（﹣4，9），自己在河南博物院等待与他会合，河南博物院的坐标为（　　）
A．（1，2） B．（2，1） C．（2，3） D．（3，2）
【考点】坐标确定位置．
【专题】平面直角坐标系；推理能力．
【答案】A
【分析】建立平面直角坐标系，进而得出点坐标即可．．
【解答】解：如图所示：
河南博物院的坐标为（1，2），
故选：A．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确建立平面直角坐标系是解题关键．
2．下列说法中，能确定物体位置的是（　　）
A．东经110°北纬20°
B．离小明家5千米的大楼
C．电影院中20座
D．北偏西55°方向
【考点】坐标确定位置；方向角．
【专题】平面直角坐标系；应用意识．
【答案】A
【分析】根据坐标的定义逐个判断即可得到答案．
【解答】解：由题意可得，东经110°北纬20°，能确定物体位置，故A符合题意；
离小明家5千米的大楼，可以在一个圆上，不固定，故B不符合题意；
电影院中20座，没说明哪行的，不固定，故C不符合题意；
北偏西35°方向没说明长度及观测点，不固定，故D不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查了坐标确定位置，熟练掌握坐标的确定是解题的关键．
3．在平面直角坐标系中，等边△AOB如图放置，点A的坐标为（1，0）．每一次将△AOB绕着点O逆时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，…，以此类推，则点A2025的坐标为（　　）
A．（22025，0）
B．
C．（﹣22025，0）
D．
【考点】规律型：点的坐标．
【专题】规律型；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】C
【分析】画出示意图，每旋转6次是一个循环组，点A的对应点落在第三象限，且OA2025＝22025，即可得到答案．
【解答】解：∵第一次旋转后，A1在第一象限，OA1＝2，
第二次旋转后，A2在第二象限，OA2＝22，
第三次旋转后，A3在x轴负半轴，OA3＝23，
第四次旋转后，A4在第三象限，OA4＝24
第五次旋转后，A5在第四象限，OA5＝25，
第六次旋转后，A6在x轴正半轴，OA6＝26，
……，
每旋转6次，A的对应点又回到x轴正半轴，而2025＝6×337+3，
∴A2025在x的负半轴上，且OA2025＝22025，
∴点A2025的坐标为（﹣22025，0），
故选：C．
【点评】本题考查旋转变换，点的坐标规律，熟练掌握等边三角形性质，探究循环规律，解直角三角形是解决问题的关键．
4．如图，在6×6的方格纸中，若点P，Q，M的坐标可分别记为（0，2），（3，0），（1，4），则当MN∥PQ时，点N的坐标可能是（　　）
A．（2，3） B．（3，3） C．（5，1） D．（4，2）
【考点】坐标与图形性质；平行线的判定与性质．
【专题】平面直角坐标系；线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】D
【分析】根据题意，先画出平面直角坐标系，再根据网格的特征画出经过点M且与PQ平行的直线即可解决问题．
【解答】解：如图所示，
，
所以点N的坐标可以是（4，2）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质及坐标与图形性质，能根据题意画出平面直角坐标系及过点M且与PQ平行的直线是解题的关键．
5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点B（2，﹣5），顶点C在y轴负半轴上，顶点A在x轴正半轴上，且CA＝CB，则C的坐标为（　　）
A．（0，﹣3） B．（0，﹣5） C．（3，0） D．（0，﹣2）
【考点】坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】平面直角坐标系；运算能力．
【答案】D
【分析】过点B作BD⊥y轴，根据点B坐标得出OD，BD长度，然后再证△BDC≌△COA，得BD＝CO＝2，再根据点C在y轴负半轴上，即可得出答案．
【解答】解：过点B作BD⊥y轴，
∵B（2，﹣5），
∴BD＝2，OD＝5，
在△BDC和△COA中，
，
∴△BDC≌△COA，
∴BD＝CO＝2，
∵顶点C在y轴负半轴上，
∴C（0，﹣2），
故选：D．
【点评】本题考查平面直角坐标系坐标特征，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
6．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，3），B（1，﹣3），经过点A的直线l∥y轴，点C是直线l上的一个动点，当线段BC的长度最短时，点C的坐标为（　　）
A．（1，3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3） D．（﹣2，1）
【考点】坐标与图形性质；垂线段最短．
【专题】平面直角坐标系；运算能力．
【答案】B
【分析】根据平行于坐标轴的直线上点的坐标特征即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为点A坐标为（﹣2，3），直线l经过点A且与y轴平行，
所以直线l上任意一点的横坐标都为﹣2．
又因为点B坐标为（1，﹣3），点C在直线l上，
根据垂线段最短可知，
当BC⊥l时，线段BC的长度最短，
则此时点C的纵坐标为﹣3，
所以点C的坐标为（﹣2，﹣3）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了坐标与图形性质及垂线段最短，熟知平行于坐标轴的直线上点的坐标特征是解题的关键．
7．如图是小明绘制的他所在社区的平面示意图．若学校所在位置的坐标是（1，4），儿童乐园所在的位置是（﹣3，﹣2），则位于（2，0）的建筑是（　　）
A．地铁站口 B．医院 C．小明家 D．超市
【考点】坐标确定位置．
【专题】平面直角坐标系；几何直观．
【答案】A
【分析】根据学校所在位置的坐标是（1，4），儿童公园所在位置的坐标为（﹣3，﹣2）建立平面直角坐标系，然后找出位于（2，0）的建筑即可．
【解答】解：建立平面直角坐标系如图，
位于（2，0）的建筑是地铁站口．
故选：A．
【点评】本题考查了坐标位置的确定，根据已知点的坐标确定出坐标原点的位置是解题的关键．
8．如图，小球起始时位于（3，0）处，沿所示的方向击球．小球运动的轨迹如图所示，如果小球起始时位于（1，0）处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是（0，1），那么小球第2026次碰到球桌边时，小球的位置是（　　）
A．（3，4） B．（5，4） C．（7，0） D．（8，1）
【考点】规律型：点的坐标．
【专题】规律型；平面直角坐标系；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据题意，可以画出相应的图形，然后即可发现点所在位置的变化特点，即可得到小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置．
【解答】解：由图可得，
点（1，0）第一次碰撞后的点的坐标为（0，1），
第二次碰撞后的点的坐标为（3，4），
第三次碰撞后的点的坐标为（7，0），
第四次碰撞后的点的坐标为（8，1），
第五次碰撞后的点的坐标为（5，4），
第六次碰撞后的点的坐标为（1，0），
…，
以此类推可知，从第一次碰撞开始，每六次碰撞为一个循环，小球的位置依次为（0，1），（3，4），（7，0），（8，1），（5，4），（1，0），
∵2025÷6＝337……3，
∴小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置是（7，0）．
故选：C．
【点评】本题考查了坐标确定位置，解答本题的关键是明确题意，发现点的坐标位置的变化特点，利用数形结合的思想解答．
9．小明设想用电脑模拟台球游戏，为增加难度，约定：
①台球桌面设计为腰长为4的等腰Rt△AOB；
②小球撞击桌边后的反弹角等于入射角．
如图建立平面直角坐标系，小明希望球从点P（2，0）出发，撞击AB边上M点后反弹，再撞击OB边上点N反弹，最后回到点P．则M点的坐标为（　　）
A．（2，2） B．（2.5，1.5） C．（3，1） D．（1.5，2.5）
【考点】坐标确定位置．
【专题】线段、角、相交线与平行线；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】台球桌面是腰长为 4 的等腰直角△AOB，因此 A（4，0）B（0，4），斜边AB的方程为x+y＝4．反弹规则是反射角等于入射角，这在几何上可以用对称点法来转化为直线传播问题．为了满足小球从 P（2，0）出发，经 AB、OB 反弹后回到 P，我们可以构造对称点：P 关于 AB 的对称点为 P1，关于OB 的对称点为 P2．根据反射性质，P→M→N→P 的路径等价于 P2→N→M→P1 三点共线，且 M 在 AB 上，N 在 OB 上．
【解答】解：A和B点坐标是（4，0）（0，4），
∴AB的方程为x+y＝4，
设P1（a，b）是P点关于AB的对称点，
∴，
解得a＝4，b＝2，
∴P1（4，2），
点P（2，0）关于OB的对称点P2（﹣2，0），
P1P2与AB的交点是M，
直线P1P2的斜率：
k，
方程为y（x+2），
联立AB方程x+y＝4，
，
∴解得x＝2.5，y＝1.5．
故选：B．
【点评】这道题主要考查了轴对称的性质、等腰直角三角形的性质、直线方程的求解与联立，以及利用对称思想解决路径反射问题的能力．熟练掌握对称点的坐标计算方法，并能将反射路径转化为直线传播问题，是解题的关键．
10．如图，在平面直角坐标系中，OA1＝1，将边长为1的正方形的一边与x轴重合并按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点A2025的坐标为（　　）
A．（1012，0） B．（1012，1） C．（1013，0） D．（1013，﹣1）
【考点】规律型：点的坐标．
【专题】规律型；平面直角坐标系；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据横坐标，纵坐标的变化规律，每8个点看作一次循环，再根据点A2025在第 254个循环中的第1个点的位置，即可得出点A2025的坐标．
【解答】解：由图可得，第一个正方形中，A1（1，0），A2（1，1），A3（2，1），A4（2，0），
各点的横坐标依次为1，1，2，2，纵坐标依次为0，1，1，0；
第二个正方形中，A7（4，﹣1），A8（4，0），A5（3，0），A6（3，﹣1），
各点的纵坐标依次为0，﹣1，﹣1，0，横坐标依次为3，3，4，4；
根据纵坐标的变化规律可知，每 8 个点一次循环，
∴2025÷8＝253…….1，
∴点A2025在第 254个循环中的第1个点的位置，
∴故点A2025的纵坐标为0，
又∵A1的横坐标为1，A9的横坐标为5＝4×1+1，A17的横坐标为9＝4×2+1，
∴点A2025的横坐标为4×253+1＝1013，
∴点A2025的坐标为（1013，0），
故选：C．
【点评】本题主要考查了点的坐标变化规律问题，解决问题的关键是判断点在第254个循环中的第1个点的位置．
二．填空题（共5小题）
11．如图，在平面直角坐标系中，已知，B（0，﹣4），点C在x轴的正半轴上，且∠ABC＝45°，则点C的坐标为　（2，0）　 ．
【考点】坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】平面直角坐标系；运算能力．
【答案】（2，0）．
【分析】过点A作BC的垂线，垂足为E，再过点E作x轴的垂线l，交x轴于点M，过点B作直线l的垂线，垂足为N，根据全等三角形的判定与性质求出点E的坐标，据此得出直线BE的函数解析式即可解决问题．
【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为E，过点E作x轴的垂线l，交x轴于点M，过点B作直线l的垂线，垂足为N，
∵∠ABC＝45°，AE⊥BC，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE＝BE．
∵∠MAE+∠AEM＝∠AEM+∠NEB＝90°，
∴∠MAE＝∠NEB．
在△MAE和△NEB中，
，
∴△MAE≌△NEB（AAS），
∴AM＝EN，ME＝NB．
令点E坐标为（a，b），
则，
解得，
∴点E坐标为（）．
又∵点B坐标为（0，﹣4），
∴直线BE的函数解析式为y＝2x﹣4．
由2x﹣4＝0得，
x＝2，
∴点C的坐标为（2，0）．
故答案为：（2，0）．
【点评】本题主要考查了坐标与图形性质及全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定与性质是解题的关键．
12．对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下定义：若在图形M上存在点Q，使得OQ＝kOP，k为正数，则称点P为图形M的k倍等距点．已知图形M为线段AB，点A（3，4），B（3，﹣4）．则图形M的所有2倍等距点P所形成图形的面积是　4π　 ．
【考点】坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；运算能力．
【答案】4π．
【分析】根据所给定义，得出满足要求的点P所组成的图形，据此进行计算即可．
【解答】解：由题知，
因为点A（3，4），B（3，﹣4），且点P为图形M的2倍等距点，
则满足要求的点P如图所示，
因为点A坐标为（3，4），
所以OA，
故满足要求的所有点P组成是一个以原点O为圆心半径为和组成的圆环，
则4π，
所以图形M的所有2倍等距点P所形成图形的面积是4π．
故答案为：4π．
【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，能根据题意得出满足要求的点P所组成的图形是一个圆环是解题的关键．
13．悬挂在同一水平高度上的四盏灯笼位置如图所示，各灯笼悬挂点的水平距离满足，若点B的坐标为（﹣2，3），则点D的坐标为　（4，3）　 ．
【考点】坐标确定位置．
【专题】平面直角坐标系；几何直观．
【答案】（4，3）．
【分析】各灯笼悬挂在同一水平高度，所以它们的纵坐标相同，已知点B的坐标为（﹣2，3，且AB＝CD BC，先根据 B 点的位置和距离关系，计算出 C、D 点的横坐标，再确定 D 点的完整坐标．
【解答】解：∵A、B、C、D同一水平高度上，满足，点B的坐标为（﹣2，3），
∴点D （4，3）．
故答案为：（4，3）．
【点评】本题考查了坐标确定位置，数形结合是解题的关键．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，），B（﹣1，0），过点A作AB的垂线交x轴于点A1，过点A1作AA1的垂线交y轴于点A2，过点A2作A1A2的垂线交x轴于点A3…按此规律继续作下去，直至得到点A2025为止，则点A2025的坐标为　（31013，0）　 ．
【考点】规律型：点的坐标．
【专题】猜想归纳；推理能力．
【答案】（31013，0）．
【分析】根据题意，发现每变换四次，点A对应点所在的方向线循环，再由2025÷4＝506余1依次求出点A1，A5，A9，…，的坐标，发现规律即可解决问题．
【解答】解：根据所给变换方式可知，
每变换四次，点A对应点所在的方向线循环．
又因为2025÷4＝506余1，
所以点A2025在x轴的正半轴上．
因为A（0，），B（﹣1，0），
所以，
则．
又因为∠AOB＝90°，
则tan∠ABO，
所以∠ABO＝60°．
因为AA1⊥AB，
所以∠AA1B＝30°，
所以，
则点A1的坐标为（3，0），
依次类推，点A5的坐标为（27，0），点A9的坐标为（243，0），…，
所以点A4n﹣3的坐标可表示为（32n﹣1，0）．
当4n﹣3＝2025，即n＝507时，
32n﹣1＝32×507﹣1＝31013，
所以点A2025的坐标为（31013，0）．
故答案为：（31013，0）．
【点评】本题主要考查了点的坐标变化规律，能通过计算得出点A4n﹣3的坐标可表示为（32n﹣1，0）是解题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（4，﹣3），连结AB，OB，作∠ABO的角平分线BP，过点O作OC⊥BP于点C，则点C的坐标为　（2，1）　 ．
【考点】坐标与图形性质；角平分线的性质．
【专题】平面直角坐标系；线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（2，1）．
【分析】延长OC，BA交于点D，证明△OCB≌△DCB（ASA），可得BO＝BD，即可求得点D的坐标，根据中点坐标公式可得点C的坐标．
【解答】解：如图，延长OC，BA交于点D，
由条件可知∠OCB＝∠DCB，
∵OC⊥BP，
∴∠OCB＝∠DCB＝90°，
∵BC＝BC，
∴△OCB≌△DCB（ASA），
∴BO＝BD，OC＝DC，
由条件可知，AB＝3，
∴AD＝BD﹣AB＝2，
∴D（4，2），
∵OC＝DC
∴，即C（2，1），
故答案为：（2，1）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，图形与坐标，正确作出辅助线是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P分别到x轴、y轴和坐标原点的距离均为整数时，称点P为“完美点”．
（1）点A（﹣4，3）　是　 （填“是”或“否”）“完美点”；
（2）若点B（5，a），OB＝a+1，求a的值并判断点B是否是为“完美点”；
（3）若n为整数，点C（n2﹣1，2n），求证：点C为“完美点”．
【考点】坐标与图形性质；点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；运算能力．
【答案】（1）是；
（2）a＝12，点B是“完美点”；
（3）因为点C坐标为（n2﹣1，2n），
所以点C到x轴距离为|2n|，到y轴的距离为|n2﹣1|．
因为n为整数，
所以|2n|和|n2﹣1|都是整数，
所以点C为“完美点”．
【分析】（1）根据“完美点”的定义进行判断即可；
（2）根据题意，求出a的值，再结合“完美点”的定义进行判断即可；
（3）根据“完美点”的定义进行证明即可．
【解答】（1）解：因为点A坐标为（﹣4，3），
所以点A到x轴距离为3，到y轴的距离为4，且3和4都是整数，
所以点A是“完美点”．
故答案为：是；
（2）解：因为点B坐标为（5，a）且OB＝a+1，
所以a2+52＝（a+1）2，
解得a＝12，
所以点B坐标为（5，12），
所以点B到x轴距离为12，到y轴的距离为5，且4和5都是整数，
所以点B是“完美点”；
（3）证明：因为点C坐标为（n2﹣1，2n），
所以点C到x轴距离为|2n|，到y轴的距离为|n2﹣1|．
因为n为整数，
所以|2n|和|n2﹣1|都是整数，
所以点C为“完美点”．
【点评】本题主要考查了坐标与图形性质及点都坐标，理解所给“完美点”的定义是解题的关键．
17．阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务，两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点M（x1，y1），N（x2，y2），那么两点间的距离，例如：若点M（4，1），N（3，2），则．
（1）已知A（3，5），B（﹣1，﹣3），求A，B两点间的距离；
（2）已知A（1，2），B（﹣3，4），C（﹣1，6），判断△ABC的形状；
（3）代数式的最小值是　　 ．
【考点】两点间的距离公式；等腰三角形的判定．
【专题】平面直角坐标系；线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】（1）；
（2）等腰三角形；
（3）．
【分析】（1）根据题目中给出的两点间的距离公式计算即可；
（2）根据题目中给出的两点间的距离公式计算每边的边长，即可得出答案；
（3）由可以看成是（x，0）到点（3，5）之间的距离，可以看成是（x，0）到点（4，﹣3）之间的距离，再由两点之间线段最短结合两点间的距离公式计算即可得出答案．
【解答】解：（1）∵A（3，5），B（﹣1，﹣3），
∴A，B两点间的距离为；
（2）∵A（1，2），B（﹣3，4），C（﹣1，6），
∴，，，
∴AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形；
（3），可以看成是（x，0）到点（3，5）之间的距离，，可以看成是（x，0）到点（4，﹣3）之间的距离，
根据两点之间线段最短得出的最小值为：，
故答案为：．
【点评】本题考查了两点间的距离公式，等腰三角形的定义，理解题意，熟练掌握两点间的距离公式是解此题的关键．
18．【观察思考】在平面直角坐标系中，若直线l上的所有点的横坐标均为a，则直线l称为直线x＝a．如图，直线l上的横坐标均为3，记为直线x＝3．探索关于直线x＝3对称的点的坐标规律如下：
已知点 对称轴 对称点 横坐标之间的数量关系
A（1，1） 直线x＝3 A（5，1） 1+5＝2×3
B（0，2） 直线x＝3 B（6，2） 0+6＝2×3
C（﹣1，﹣2） 直线x＝3 C（1，﹣2） ﹣1+7＝2×3
（1）【特例感知】根据以上图表，可知D（﹣2，﹣1）关于直线x＝3对称的点D′的坐标为　（8，﹣1）　 ；
（2）【规律应用】结合以上规律完成下列问题：
①点E（1，﹣2）关于直线x＝2对称的点E′的坐标为　（3，﹣2）　 ；
②若点F（1，3）关于直线x＝b对称的点F′的坐标为（7，3），则b的值为　4　 ；
（3）【深入拓展】若点P（m，n）与点Q关于直线x＝c对称，求点Q的坐标．（用含有m，n，c的代数式表示）
【考点】坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；运算能力；推理能力．
【答案】（1）（8，﹣1）；
（2）①（3，﹣2）；②4；
（3）（2c﹣m，n）．
【分析】（1）根据表格规律解题即可；
（2）根据表格规律解题即可；
（3）根据表格规律解题即可．
【解答】解：（1）根据表格可以发现：关于直线x＝3对称的点横坐标和为2×3＝6，纵坐标一样，
∴D′（6﹣（﹣2），﹣1），即（8，﹣1），
故答案为：（8，﹣1）；
（2）结合表格规律发现：关于直线x＝a对称的点纵坐标一样，横坐标和为2a，
①点E（1，﹣2）关于直线x＝2对称的点E′的坐标为E′（4﹣1，﹣2），即（3，﹣2），
故答案为：（3，﹣2）．
②∵点F（1，3）关于直线x＝b对称的点F′的坐标为（7，3），
∴1+7＝2b，
解得b＝4，
故答案为：4；
（3）∵关于直线x＝c对称的点纵坐标一样，横坐标和为2c，
∴点P（m，n）关于直线x＝c对称的点Q（2c﹣m，n）的坐标．
【点评】本题考查与点坐标有关的轴对称问题，根据表格总结规律是解题的关键．
19．如图，数轴上A点表示数﹣4，B点表示数6．
（1）点P从A点出发，以每秒5个单位长度沿坐标轴匀速向右运动，点Q从B点出发，以每秒3个单位长度沿坐标轴匀速向左运动：
①经过几秒，线段PB长度为2．
②经过几秒，线段PQ长度为2．
（2）点P从A出发，以每秒5个单位长度在线段AB匀速往返运动，点Q从B点出发，以每秒3个单位长度在线段BA匀速往返运动：
①点P往返一次，与点B相遇几次？时间是多少？
②点P与点Q相遇第二十一次时，点P一共运动了多长时间？
【考点】坐标与图形性质；数轴；一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；平面直角坐标系；运算能力．
【答案】（1）①1.6 秒 或 2.4 秒；
②1秒 或 1.5 秒；
（2）①相遇2次，时间是1.25 秒或3.25秒；
②41.25 秒．
【分析】（1）①依据题意，由A点表示数﹣4，B点表示数6，则AB＝6﹣（﹣4）＝10，又t秒后P点表示的数为﹣4+5t，故PB＝|6﹣（﹣4+5t）|＝|10﹣5t|，进而计算可以得解；
②依据题意，经过t 秒后，P 点表示的数为﹣4+5t，Q 点表示的数为 6﹣3t，从而PQ＝|（﹣4+5t）﹣（6﹣3t）|＝|8t﹣10|，结合PQ＝2，故|8t﹣10|＝2，进而计算可以得解；
（2）①P、Q 都在 AB 上往返运动速度和：5+3 ＝ 8，计算出迎面相遇规律，由P往返一次时间：A→B：10÷5 ＝ 2 秒，B→A：10÷5 ＝ 2 秒，则往返一次：4 秒，第1次相遇（2×1﹣1）×10 ＝ 10t1＝ 10÷8 ＝ 1.25 秒，第2次相遇（2×2﹣1）×10 ＝ 30t2＝ 30÷8 ＝ 3.25 秒，第3次相遇（2×3﹣1）×10 ＝ 50t3＝ 50÷8 ＝ 6.25 秒，从而可以判断得解；
②依据题意，第 n 次迎面相遇：合走路程 ＝ （2n﹣1）×10，从而第 21 次：合走路程 ＝ （2×21﹣1）×10 ＝ 41×10 ＝ 410，可得时间：t ＝ 410÷（5+3）＝ 410÷8 ＝ 41.25（ 秒），进而得解．
【解答】解：（1）①由题意，∵A点表示数﹣4，B点表示数6，
∴AB＝6﹣（﹣4）＝10．
又∵t秒后P点表示的数为﹣4+5t，
∴PB＝|6﹣（﹣4+5t）|＝|10﹣5t|．
当PB＝2时：|10﹣5t|＝2，
∴t＝1.6或2.4秒．
答：经过1.6秒或2.4秒，线段PB长度为2；
②t 秒后，P 点表示的数为﹣4+5t，Q 点表示的数为 6﹣3t，
∴PQ＝|（﹣4+5t）﹣（6﹣3t）|＝|8t﹣10|．
当PQ＝2 时：|8t﹣10|＝2，
∴t＝1或1.5．
答：经过1秒或1.5秒，线段PQ 长度为2；
（2）①P、Q 都在 AB 上往返运动速度和：5+3 ＝ 8，
迎面相遇规律：第 1 次相遇：合走 1 个全程，
第 2 次相遇：合走 3 个全程，
第 3 次相遇：合走 5 个全程，……
第 n 次相遇：合走 （2n﹣1）个全程，
P 往返一次时间：A→B：10÷5 ＝ 2 秒，
B→A：10÷5 ＝ 2 秒，
∴往返一次：4 秒．
第 1 次相遇（2×1﹣1）×10 ＝ 10t1＝ 10÷8 ＝ 1.25 秒 （＜4，符合题意），
第 2 次相遇（2×2﹣1）×10 ＝ 30t2＝ 30÷8 ＝ 3.25 秒 （＜4，符合题意），
第 3 次相遇（2×3﹣1）×10 ＝ 50t3＝ 50÷8 ＝ 6.25 秒 （＞4，不合题意，舍去），
∴点P往返一次，与点B 相遇2次，时间是1.25秒或3.25秒；
②由题意，第 n 次迎面相遇：合走路程 ＝ （2n﹣1）×10第 21 次：合走路程 ＝ （2×21﹣1）×10 ＝ 41×10 ＝ 410时间：t ＝ 410÷（5+3）＝ 410÷8 ＝ 41.25 秒．
答：点P与点Q相遇第二十一次时，点P一共运动了41.25秒．
【点评】本题主要考查了坐标与图形性质、数轴、一元一次方程的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
20．如图，在直角坐标系中，O是原点，四边形OABC的顶点C的坐标为（2，2），顶点B在点C右侧，且BC＝2，∠OCB＝105°，∠OAB＝90°．
（1）求∠AOC的度数．
（2）求点A的坐标．
【考点】坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；运算能力．
【答案】（1）4°；
（2）（）．
【分析】（1）过点C作x轴的垂线，垂足为M，结合点C坐标得出CM＝OM，据此求出∠AOC的度数即可；
（2）过点B作CM的垂线，垂足为N，分别求出CN及BN的长，据此得出点B的坐标即可．
【解答】解：（1）过点C作CM⊥x轴于点M，
∵点C坐标为（2，2），
∴OM＝CM＝2．
又∵CM⊥x轴，
∴∠AOC＝45°；
（2）过点B作BN⊥CM于点N，
∵∠OCB＝105°，∠OCM＝∠AOC＝45°，
∴∠BCN＝105°﹣45°＝60°，
∴∠CBN＝90°﹣60°＝30°．
∵BC＝2，
∴CN，BN．
∵∠BNM＝∠NMA＝∠OAB＝90°，
∴四边形ABNM是矩形，
∴MA＝BN．
∴OA＝OM+MA，
∴点A的坐标为（）．
【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，能根据题意作出合适的辅助线是解题的关键．

展开更多......

收起↑