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第1节　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
（时间：45分钟，满分：77分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1.下面关于空间几何体叙述正确的是（　　）
A.正四棱柱都是正方体
B.用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台
C.空间中，到一个定点的距离等于定长的点的集合是球
D.有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.如图是用斜二测画法画出的水平放置的△AOB的直观图（图中虚线分别与x'轴、y'轴平行），则原图形△AOB的面积是（　　）
A.8 B.16
C.32 D.64
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3.（2026·山东淄博模拟）已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（　　）
A.8π B.12π C.16π D.24π
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4.（2026·广东深圳模拟）已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（　　）
A.36 B.36 C.108 D.108
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
5.（2026·江苏泰州调研）如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为2的几何体后的剩余部分，则该几何体的表面积为（　　）
A.24－3π B.24－π
C.24＋π D.24＋5π
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
6.〔多选〕如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2，BC＝3，CC1＝4，且AB⊥BC，P为BC1的中点，则（　　）
A.三棱锥A-BCC1的体积为4
B.三棱锥C-APC1的体积为
C.四棱锥C1-ABB1A1的体积为8
D.三棱锥C1-ABC的表面积为14＋2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
7.〔一题多解〕（2023·新高考Ⅰ卷14题）在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
8.如图在一根高为11 cm，外圆周长为6 cm的圆柱体外表面缠绕一根细铁丝，组成10个螺旋，如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线的两端，则铁丝长度的最小值为　　　　cm.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
9.扇面是中国书画作品的一种重要表现形式.一幅扇面书法作品如图所示，经测量，上、下两条弧分别是半径为27，12的两个同心圆上的弧，侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心且圆心角为.若某几何体的侧面展开图恰好与图中扇面的形状、大小一致，则该几何体的高为　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
10.（2026·浙江绍兴模拟）如图，圆柱的底面直径为3，母线长为4，AB，CD分别为该圆柱的上、下底面的直径，且AB⊥CD，则三棱锥A-BCD的体积是（　　）
A.24 B.18
C.12 D.6
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
11.在各棱长均为2的正三棱柱ABC-A1B1C1中，上、下底面的中心分别为D，H，三个侧面的中心分别为E，F，G，若在该三棱柱中挖去两个三棱锥D-EFG和H-EFG，则剩余部分的体积为（　　）
A. B.
C. D.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
12.一个底面半径为2的圆锥的轴截面为正三角形，现用平行于底面的平面将该圆锥截成两部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在圆锥上的截面面积为（　　）
A.3π B.2π
C.2π D.2π
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
13.〔多选〕如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，P是BB1上一点，且BP＝2B1P，记三棱锥A1-B1C1P，四棱锥P-ACC1A1，三棱锥C-ABP的体积分别为V1，V2，V3，则（　　）
A.V3＝2V1 B.V3＝V2
C.V2＝2（V1＋V3） D.2V3＝3V1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
14.（2026·湖北武汉调研）已知正四棱锥的侧棱长为3，则当该棱锥的体积最大时，它的高为　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
15.〔创新定义〕我国南北朝时期的著名数学家祖暅提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即V球＝πR2·R－πR2·R＝πR3.现将椭圆＋＝1绕y轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图3），类比上述方法，运用祖暅原理可求得该橄榄状几何体的体积为　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
第1节　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
1.D　2.B　3.C　4.A　5.B　
6.ACD　对于A，＝＝×CC1×S△ABC＝×4××2×3＝4，故A正确；对于B，＝，而三棱锥A-BCC1与三棱锥A-PCC1有共同的高，∵P为BC1的中点，∴＝，∴＝＝×4＝2，故B错误；对于C，＝－＝×2×3×4－4＝8，故C正确；对于D，由题可知，AC＝，AC1＝，BC1＝5，∴AB2＋B＝A，∴△ABC1是直角三角形，AB⊥BC1，∴三棱锥C1-ABC的表面积为S△ABC＋＋＋＝×2×3＋×3×4＋××4＋×2×5＝14＋2，故D正确.
7.　解析：法一　如图所示，
设点O1，O分别为正四棱台ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心，连接B1D1，BD，则点O1，O分别为B1D1，BD的中点，连接O1O，则O1O即为正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高，过点B1作B1E⊥BD，垂足为E，则B1E＝O1O.因为AB＝2，A1B1＝1，所以OB＝，O1B1＝，所以BE＝OB－OE＝OB－O1B1＝，又AA1＝，所以BB1＝，B1E＝＝＝，所以O1O＝，所以＝×（22＋12＋）×＝.
法二　如图，将正四棱台ABCD-A1B1C1D1补形成正四棱锥P-ABCD，因为AB＝2，A1B1＝1，AB∥A1B1，所以A1，B1，C1，D1分别为PA，PB，PC，PD的中点，又A1A＝，所以PA＝2，即PB＝2.连接BD，取BD的中点为O，连接PO，则PO⊥平面ABCD，易知BO＝，所以PO＝＝，所以正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高为，所以＝×（22＋12＋）×＝.
8.61　解析：因为圆柱体的高为11 cm，外圆周长为6 cm，又铁丝在柱体上缠绕10圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一条母线的两端，则我们可以得到将圆柱侧面展开后的平面图形，如图所示，其中每一个小矩形的宽为圆柱的外圆周长6 cm，高为圆柱的高11 cm，则大矩形的对角线即为铁丝长度的最小值，此时铁丝长度的最小值为＝61（cm）.
9.10　解析：由题意得，该几何体是圆台.取一个圆锥，其侧面展开图是半径为27，圆心角为的扇形，设该圆锥的底面半径为r，则2πr＝×27，解得r＝9，所以该圆锥的高h1＝＝18.同理可得，侧面展开图是半径为12，圆心角为的扇形的圆锥的高h2＝8，所以所求几何体即圆台的高h＝h1－h2＝18－8＝10.
10.D　设上底面中心为O，连接OC，OD（图略），根据圆柱的性质可知，BC＝AC＝BD＝AD，则AB⊥OC，AB⊥OD，又OC∩OD＝O，OC，OD 平面OCD，所以AB⊥平面OCD，所以VA-BCD＝S△OCD·AB＝××3×4×3＝6.故选D.
11.A　如图所示，因为三个侧面的中心分别为E，F，G，所以三棱锥D-EFG和三棱锥H-EFG的底面EFG的面积为S△ABC，高为正三棱柱的高的一半，故挖去的几何体的体积为2××××2×2sin 60°×1＝，三棱柱的体积为×2×2sin 60°×2＝2，故剩余几何体的体积为2－＝.故选A.
12.A　由题知，平面截圆锥后上半部分为一小圆锥，下半部分为一圆台，且圆台的上底面即小圆锥的底面，即该平面在原圆锥上的截面，圆台的下底面即原圆锥的底面.不妨设圆台上底面半径为r1，圆台下底面半径为r2，小圆锥母线长为l1，原圆锥母线长为l2，由轴截面为正三角形知，＝＝2，则小圆锥底面积为π，底面周长为2πr1，侧面积为l1·πr1＝2π，易知圆台侧面积可看作原圆锥侧面积减去小圆锥侧面积，则圆台侧面积为2π（－），下底面积为π，由于两部分表面积相等，则π＋2π＝π＋π＋2π（－） ＝，因为r2＝2，则r1＝，所以截面面积为3π，故选A.
13.AC　由题可知V1＝＝＝·B1P，V2＝＝－（V1＋V3），V3＝VC-ABP＝VP-ABC＝S△ABC·BP，根据三棱柱的性质易得S△ABC＝，又BP＝2B1P，所以V3＝2V1，A正确，D错误；因为＝S△ABC·BB1＝3（S△ABC·B1P＋S△ABC·BP）＝3（V1＋V3），所以V2＝3（V1＋V3）－（V1＋V3）＝2（V1＋V3），B错误，C正确.
14.3　解析：设底面边长为a（a＞0），则高h＝＝，由h＞0，所以0＜a＜3，所以体积V＝a2h＝，设f（a）＝27a4－a6，a∈（0，3），则f'（a）＝108a3－3a5＝3a3（6＋a）·（6－a），所以当0＜a＜6时，f'（a）＞0，所以f（a）在（0，6）上单调递增；当6＜a＜3时，f'（a）＜0，所以f（a）在（6，3）上单调递减，所以当a＝6时f（a）取得极大值，即为最大值，此时该棱锥的体积最大，此时h＝＝3.
15.16π　解析：构造一个底面半径为2，高为3的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，则当截面与顶点的距离为h（0≤h≤3）时，小圆锥底面半径为r，则＝，∴r＝h，故截面面积为4π－πh2，把y＝h代入＋＝1，即＋＝1，解得x＝±，∴橄榄状几何体的截面面积为πx2＝4π－πh2，由祖暅原理可得该橄榄状几何体的体积为V＝2（V圆柱－V圆锥）＝2×（ 4π×3－×4π×3）＝16π.
1 / 1第1节　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
1.掌握（课标变化：认识→掌握）柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 2.知道球、棱（圆）柱、棱（圆）锥、棱（圆）台的表面积和体积的计算公式，并能用公式解决简单的实际问题. 3.能用斜二测法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合）的直观图.
知识梳理
1.基本立体图形
（1）多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相　　　　且　　　　 多边形 互相　　　　且　　　　
侧棱 互相　　　　且　　　　 相交于一点，但不一定相等 延长线交于 　　　　 　
侧面 形状 平行四边形 三角形 梯形
（2）旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
母线 互相平行且相等，　　　　于底面 长度　　　　且相交于一点 长度相等且延长线交于　　　　
轴截面 全等的　　　 全等的　　　 全等的　　　 圆面
侧面 展开图 矩形 扇形 扇环
2.立体图形的直观图
（1）画法：常用斜二测画法；
（2）规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x'轴、y'轴的夹角为　　　（或　　　），z'轴与x'轴和y'轴所在平面垂直；
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度　　　　，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的　　　　.
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面 展开图
侧面 积公式 S圆柱侧＝　　　 S圆锥侧＝　　　 S圆台侧＝　　　
4.简单几何体的表面积与体积公式
　　名称 几何体　　 表面积 体积
柱体（棱柱和圆柱） S表面积＝S侧＋2S底 V＝　　　
锥体（棱锥和圆锥） S表面积＝S侧＋S底 V＝　　　
台体（棱台和圆台） S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝　　　
球 S＝　　　 V＝　　　
提醒：几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和.
1.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图面积与原图形面积的关系：（1）S直观图＝S原图形；（2）S原图形＝2S直观图. 2.与体积有关的几个结论 （1）一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差； （2）底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等（祖暅原理）； （3）正四面体的体积是a3（a是正四面体的棱长）.
诊断自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.（　　）
（2）菱形的直观图仍是菱形.（　　）
（3）圆锥的任意一个轴截面都是全等的等腰三角形.（　　）
（4）在圆柱的上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线.（　　）
2.如图，长方体ABCD-A'B'C'D'被截去体积较小的一部分，其中EH∥A'D'∥FG，则剩下的几何体是（　　）
A.棱台　　　　　　B.四棱柱
C.五棱柱 D.六棱柱
3.用斜二测画法作一个水平放置的边长为6的正方形的直观图，则直观图的面积为（　　）
A.36 B.18 C.9 D.
4.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝2，则该三棱柱的体积为　　　　.
5.若球的最大截面圆面积扩大为原来的2倍，则球的体积扩大为原来的　　　　倍.
基本立体图形
（定向精析突破）
考向1　结构特征
〔多选〕下列说法中正确的是（　　）
A.以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台
B.各个面都是三角形的几何体是三棱锥
C.底面是正多边形的棱锥是正棱锥
D.存在每个面都是直角三角形的四面体
听课记录
辨别空间几何体的两种方法 （1）定义法： 紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本要素，根据定义进行判定； （2）反例法： 通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例即可.
考向2　直观图
〔一题多解〕用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形OABC的直观图为如图所示的直角梯形O'A'B'C'，其中B'C'＝O'A'，A'B'⊥O'A'，若原平面图形OABC的面积为3，则O'A'的长为（　　）
A.2 B.
C. D.
听课记录
　　在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段的位置：平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.
考向3　展开图
（1）如图，在正三棱锥S-ABC中，∠BSC＝40°，BS＝2，一质点自点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（　　）
A.2　　　　　　　　　B.3
C.2 D.3
（2）已知圆柱的轴截面面积为4，则该圆柱侧面展开图周长的最小值为　　　　.
听课记录
1.多面体表面展开图由剪开的位置不同可以有不同的形状，但图形面积相等.借助展开图可以求几何体的表面积及表面上两点间的距离，还可将部分空间问题转化为平面问题. 2.旋转体表面展开图一般沿母线剪开，多面体表面展开图一般沿某些棱展开，注意球无法展开成平面图形.
训练1 （1）〔多选〕下列说法正确的是（　　）
A.底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱
B.有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C.如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥
D.如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体
（2）如图，一个水平放置的平面图形由斜二侧画法得到的直观图A'B'C'D'是边长为2的菱形，且O'D'＝2，则原平面图形的周长为（　　）
A.4＋4 B.4＋4
C.8 D.8
（3）已知圆台的上、下底面圆的半径分别为10和5，母线长为20，AB为圆台的一条母线（点B在圆台的上底面圆周上），M为AB的中点，一只蚂蚁从点B出发，绕圆台侧面爬行一周到点M，则蚂蚁爬行所经路程的最小值为（　　）
A.30 B.40
C.50 D.60
空间几何体的表（侧）面积
（师生共研过关）
攒尖是中国古建筑中屋顶的一种结构形式，兰州市著名景点三台阁（如图1）的屋顶部分是典型的攒尖结构.图2是某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分，它可以看作是不含下底面的正四棱台和正三棱柱的组合体，已知正四棱台上底边、下底边、侧棱的长度（单位：dm）分别为2，6，4，正三棱柱各棱长均相等，则该结构的表面积为　　　　dm2.
听课记录
空间几何体表面积的求法 （1）旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系； （2）多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积注意衔接部分的处理.
训练2 已知一个圆柱底面半径为2，高为3，上底面的同心圆半径为1，以这个圆面为上底面，圆柱下底面为下底面的圆台被挖去后，剩余几何体的表面积为（　　）
A.15π B.3π
C.（5＋3）π D.（15＋3）π
空间几何体的体积
（定向精析突破）
考向1　直接法求体积
（2026·山东烟台模拟）一化学器皿为圆台形状，其上、下底面半径分别为1 cm和5 cm，高为10 cm（器皿厚度忽略不计）.现将该器皿水平放置后（上底位于上方）注入盐酸溶液，若溶液高度恰为5 cm，则溶液体积为（　　）
A.245π cm3 B. cm3
C.490π cm3 D. cm3
听课记录
考向2　等积法求体积
（2026·陕西咸阳模拟）如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝4，AA1＝6.若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥A-A1EF的体积为　　　　.
听课记录
考向3　割补法求体积
〔一题多解〕如图所示，已知多面体ABC-DEFG中，AB，AC，AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，则该多面体的体积为　　　　.
听课记录
求空间几何体的体积的三种方法
训练3 （1）（2024·新高考Ⅰ卷5题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（　　）
A.2π B.3π
C.6π D.9π
（2）在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1-D1MN的体积为（　　）
A. B.1
C. D.2
（3）如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为30°，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点M，N到容器底部的距离分别是10，16，则容器内液体的体积是（　　）
A.36π B.39π
C.42π D.45π
第1节　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
【夯实必备知识】
知识梳理
1.（1）平行　全等　平行　相似　平行　相等　一点　（2）垂直　相等　一点　矩形　等腰三角形　等腰梯形
2.（2）①45°　135°　②不变　一半
3.2πrl　πrl　π（r＋r'）l
4.Sh　Sh　（S上＋S下＋）h　4πR2　πR3
诊断自测
1.（1）×　（2）×　（3）√　（4）×
2.C　3.C　4.2　5.2
【研透核心考点】
考点1
【例1】　AD　由圆台定义知，以直角梯形垂直于底边的腰为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体是圆台，故A正确；如图，B错误；底面是正多边形的棱锥，不能保证顶点在底面上的射影为底面正多边形的中心，故C错误；易知D正确.
【例2】　D　法一　如图所示，根据斜二测画法的规则，得到原平面图形OABC，设O'A'＝x，可得O'B'＝x，则OB＝2O'B'＝2x，BC＝B'C'＝，OA＝O'A'＝x，且OB为原平面图形中梯形的高，所以原平面图形OABC的面积为S＝（x＋）×2x＝3，解得x＝.
法二　由S直观图＝S原图形可得S直观图＝，设O'A'＝x，则B'C'＝，A'B'＝x，根据直角梯形的面积公式得（x＋）x＝，解得x＝.
【例3】　（1）C　（2）8　解析：（1）将三棱锥S-ABC沿侧棱BS展开，其侧面展开图如图所示.一质点自点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为BB'，根据余弦定理得BB'＝＝2.
（2）设圆柱的母线长和底面圆半径分别为l，r，根据已知得2lr＝4，圆柱侧面展开图的周长l侧＝4πr＋2l≥2＝8，当且仅当4πr＝2l，即r＝，l＝2时等号成立.
训练1　（1）AD　（2）B　（3）C
解析：（1）若底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直，则该四棱柱底面为正方形，且侧棱垂直于底面，所以该四棱柱为正四棱柱，故A正确；棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截得的，而有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体有可能不是棱台，因为它的侧棱延长后不一定交于一点，故B错误；当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360°时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确.
（2）根据题意，把直观图还原成原平面图形，如图所示，其中OA＝2，OD＝4，AB＝CD＝2，则AD＝＝2，故原平面图形的周长为2＋2＋2＋2＝4＋4.
（3）圆台所在圆锥的侧面展开如图所示，设扇形所在圆的圆心为O.线段M1B就是蚂蚁经过的最短距离.设OA＝R，扇形的圆心角是α，则由题意知2×5π＝αR　①，2×10π＝α（20＋R）　②，由①②解得α＝，R＝20，所以OM＝OM1＝30，OB1＝OB＝40，则M1B＝＝50.故选C.
考点2
【例4】　34＋8　解析：正三棱柱的侧面积为2×2×2＝8（dm2），底面积为2××2×2×sin 60°＝2（dm2）.正四棱台中，侧面梯形的高为＝2（dm），所以正四棱台的侧面积为4×＝32（dm2）.所以该结构的表面积为8＋2＋32＝（34＋8）（dm2）.
训练2　D　依题意作出大致图形，如图所示.剩余几何体的表面积等于圆环的面积加上圆台的侧面积再加上圆柱的侧面积.由题可知，圆台上底面半径r＝1，下底面半径R＝2，高h＝3，所以圆环的面积S1＝π（R2－r2）＝3π，圆台的母线l＝＝＝，所以圆台的侧面积S2＝πl（R＋r）＝3π，圆柱侧面积S3＝2πRh＝12π.所以剩余几何体的表面积为S1＋S2＋S3＝（15＋3）π.
考点3
【例5】　B　因为溶液高度恰为5 cm，所以溶液的上底面半径为＝3 cm，下底面半径为5 cm，高为5 cm，所以溶液的体积V＝×（32＋52＋3×5）×π×5＝（cm3）.故选B.
【例6】　8　解析：由正三棱柱的底面边长为4，得点F到平面A1AE的距离等于点C到平面A1ABB1的距离，为×4＝2，则＝＝×2＝××6×4×2＝8.
【例7】　4　解析：法一（分割法） 因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，过点C作CH⊥DG于点H，连接EH，即把多面体分割成一个直三棱柱DEH-ABC和一个斜三棱柱BEF-CHG.由题意，知V三棱柱DEH-ABC＝S△DEH×AD＝（×2×1）×2＝2，V三棱柱BEF-CHG＝S△BEF×DE＝（×2×1）×2＝2.故所求几何体的体积为V多面体ABC-DEFG＝2＋2＝4.
法二（补形法） 因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积为该正方体体积的一半.又正方体的体积V＝23＝8，故所求几何体的体积为V多面体ABC-DEFG＝×8＝4.
训练3　（1）B　（2）B　（3）B
解析：（1）设圆柱和圆锥的底面半径为r，则圆锥的母线长为，而它们的侧面积相等，所以2πr×＝πr×，即2＝，故r＝3，故圆锥的体积为π×9×＝3π.故选B.
（2）如图，由正方体棱长为2，得＝2×2－2××2×1－×1×1＝，又易知D1A1为三棱锥D1-A1MN的高，且D1A1＝2，所以＝＝··D1A1＝××2＝1.
（3）将含液体部分的几何体补成如图所示的圆柱，过M作底面的平行平面，与过N的母线交于点S，连接MS，由题意知∠MNS＝30°，则MS＝6×＝2，故圆柱的底面半径为，则容器内液体的体积为×（10＋16）×π×（）2＝13×π×3＝39π.故选B.
1 / 1(共78张PPT)
第1节　
基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
课标要求
1. 掌握（课标变化：认识→掌握）柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
2. 知道球、棱（圆）柱、棱（圆）锥、棱（圆）台的表面积和体积的计算公式，并能用公式解决简单的实际问题.
3. 能用斜二测法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合）的直观图.
目录/
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
课时跟踪检测
03
01
PART
夯实必备知识
知识梳理
1. 基本立体图形
（1）多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相 且
多边形 互相 且

平行　
全
等　
平行　
相
似　
名称 棱柱 棱锥 棱台
侧棱 互相 且
相交于一点，但
不一定相等 延长线交于
侧面 形状 平行四边形 三角形 梯形
平行　
相
等　
一点　
（2）旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
母线 互相平行且相
等， 于
底面 长度 且
相交于一点 长度相等且延
长线交于

垂直　
相等　
一
点　
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
轴截面 全等的 全等的
全等的
圆面
侧面 展开图 矩形 扇形 扇环
矩形　
等腰三
角形　
等腰
梯形　
2. 立体图形的直观图
（1）画法：常用斜二测画法；
（2）规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x'轴、y'轴的
夹角为 （或 ），z'轴与x'轴和y'轴所在平面垂直；
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴.平行于x轴和
z轴的线段在直观图中保持原长度 ，平行于y轴的线段长度在直观
图中变为原来的 .
45°　
135°　
不变　
一半　
3. 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧＝ S圆锥侧＝ S圆台侧＝

2πrl　
πrl　
π（r＋
r'）l　
4. 简单几何体的表面积与体积公式
　 　名称 几何体　 　 表面积 体积
柱体（棱柱和圆柱） S表面积＝S侧＋2S底 V＝
锥体（棱锥和圆锥） S表面积＝S侧＋S底 V＝
台体（棱台和圆台） S表面积＝S侧＋S上＋
S下 V＝

球 S＝ V＝
Sh　
Sh　
（S上＋S下＋
）h　
4πR2　
πR3　
提醒：几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与
所有底面面积之和.
1. 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图面积与原图形面积的关系：
（1）S直观图＝ S原图形；（2）S原图形＝2 S直观图.
2. 与体积有关的几个结论
（1）一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差；
（2）底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等（祖暅原理）；
（3）正四面体的体积是 a3（a是正四面体的棱长）.
诊断自测
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.
（　×　）
（2）菱形的直观图仍是菱形. （　×　）
（3）圆锥的任意一个轴截面都是全等的等腰三角形.　 （　√　）
（4）在圆柱的上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母
线. （　×　）
×
×
√
×
2. 如图，长方体ABCD-A'B'C'D'被截去体积较小的一部分，其中
EH∥A'D'∥FG，则剩下的几何体是（　　）
A. 棱台 B. 四棱柱
C. 五棱柱 D. 六棱柱
√
解析： 由几何体的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱.
3. 用斜二测画法作一个水平放置的边长为6的正方形的直观图，则直观图
的面积为（　　）
A. 36 B. 18
C. 9 D.
√
解析： 在斜二测画法中，直观图面积是原图形面积的 ，而边长为6的
正方形的面积为36，所以所求的直观图的面积为 ×36＝9 .
4. 已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝2，则该三棱柱的体积
为 .
解析：在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝2，所以S△ABC＝
×2×2× sin 60°＝ ，所以 ＝S△ABC·AA1＝2 .
5. 若球的最大截面圆面积扩大为原来的2倍，则球的体积扩大为原来
的 倍.
解析：若球的最大截面圆面积扩大为原来的2倍，则球的半径扩大为原来
的 倍，则球的体积扩大为原来的2 倍.
2 　
2 　
02
PART
研透核心考点
基本立体图形（定向精析突破）
考向1　结构特征
〔多选〕下列说法中正确的是（　AD　）
A. 以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成
的几何体是圆台
B. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥
C. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥
D. 存在每个面都是直角三角形的四面体
AD
解析：　由圆台定义知，以直角梯形垂直于底边的腰为旋转
轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体是圆台，故A正
确；如图，B错误；底面是正多边形的棱锥，不能保证顶点在
底面上的射影为底面正多边形的中心，故C错误；易知D正确.
辨别空间几何体的两种方法
（1）定义法：
紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线
面关系或增加线、面等基本要素，根据定义进行判定；
（2）反例法：
通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个结论是错误的，只需举出一个
反例即可.
考向2　直观图
〔一题多解〕用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形OABC的直
观图为如图所示的直角梯形O'A'B'C'，其中B'C'＝ O'A'，A'B'⊥O'A'，若原
平面图形OABC的面积为3 ，则O'A'的长为（　D　）
A. 2 B.
C. D.
D
解析：　法一　如图所示，根据斜二测画法的规则，得到原
平面图形OABC，设O'A'＝x，可得O'B'＝ x，则OB＝
2O'B'＝2 x，BC＝B'C'＝ ，OA＝O'A'＝x，且OB为原平
面图形中梯形的高，所以原平面图形OABC的面积为S＝
（x＋ ）×2 x＝3 ，解得x＝ .
法二　由S直观图＝ S原图形可得S直观图＝ ，设O'A'＝x，则B'C'＝ ，A'B'＝
x，根据直角梯形的面积公式得 （x＋ ）x＝ ，解得x＝ .
　　在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段的位置：平行于x轴的线
段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.
考向3　展开图
（1）如图，在正三棱锥S-ABC中，∠BSC＝40°，BS＝2，一质点
自点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为
（　C　）
A. 2 B. 3
C. 2 D. 3
C
解析： 将三棱锥S-ABC沿侧棱BS展开，其侧面展开图如
图所示.一质点自点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回
到点B的最短路线的长为BB'，根据余弦定理得BB'＝
＝2 .
（2）已知圆柱的轴截面面积为4，则该圆柱侧面展开图周长的最小值
为 .
解析：设圆柱的母线长和底面圆半径分别为l，r，根据已知得2lr＝4，圆
柱侧面展开图的周长l侧＝4πr＋2l≥2 ＝8 ，当且仅当4πr＝
2l，即r＝ ，l＝2 时等号成立.
8 　
1. 多面体表面展开图由剪开的位置不同可以有不同的形状，但图形面积相
等.借助展开图可以求几何体的表面积及表面上两点间的距离，还可将部
分空间问题转化为平面问题.
2. 旋转体表面展开图一般沿母线剪开，多面体表面展开图一般沿某些棱展
开，注意球无法展开成平面图形.
训练1 （1）〔多选〕下列说法正确的是（　AD　）
A. 底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱
B. 有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥
D. 如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体
AD
解析： 若底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直，则该四棱柱
底面为正方形，且侧棱垂直于底面，所以该四棱柱为正四棱柱，故A正
确；棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截得的，而有两个面平行且
相似，其余各面都是梯形的多面体有可能不是棱台，因为它的侧棱延长后
不一定交于一点，故B错误；当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360°
时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；若每
个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长
方体的定义，故D正确.
（2）如图，一个水平放置的平面图形由斜二侧画法得到的直观图A'B'C'D'
是边长为2的菱形，且O'D'＝2，则原平面图形的周长为（　B　）
A. 4 ＋4 B. 4 ＋4
C. 8 D. 8
B
解析：根据题意，把直观图还原成原平面图形，如图所
示，其中OA＝2 ，OD＝4，AB＝CD＝2，则AD＝
＝2 ，故原平面图形的周长为2＋2＋2 ＋
2 ＝4 ＋4.
（3）已知圆台的上、下底面圆的半径分别为10和5，母线长为20，AB为
圆台的一条母线（点B在圆台的上底面圆周上），M为AB的中点，一只
蚂蚁从点B出发，绕圆台侧面爬行一周到点M，则蚂蚁爬行所经路程的最
小值为（　C　）
A. 30 B. 40
C. 50 D. 60
C
解析：圆台所在圆锥的侧面展开如图所示，设扇形所在圆的圆心为O. 线
段M1B就是蚂蚁经过的最短距离.设OA＝R，扇形的圆心角是α，则由题
意知2×5π＝αR　①，2×10π＝α（20＋R）　②，由①②解得α＝ ，R
＝20，所以OM＝OM1＝30，OB1＝OB＝40，则M1B＝ ＝
50.故选C.
空间几何体的表（侧）面积（师生共研过关）
攒尖是中国古建筑中屋顶的一种结构形式，兰州市著名景点三台阁
（如图1）的屋顶部分是典型的攒尖结构.图2是某研究性学习小组制作的
三台阁仿真模型的屋顶部分，它可以看作是不含下底面的正四棱台和正三
棱柱的组合体，已知正四棱台上底边、下底边、侧棱的长度（单位：dm）
分别为2，6，4，正三棱柱各棱长均相等，则该结构的表面积为
dm2.
34 ＋
8　
解析：正三棱柱的侧面积为2×2×2＝8（dm2），底面积为2× ×2×2×
sin 60°＝2 （dm2）.正四棱台中，侧面梯形的高为 ＝
2 （dm），所以正四棱台的侧面积为4× ＝32 （dm2）.
所以该结构的表面积为8＋2 ＋32 ＝（34 ＋8）（dm2）.
空间几何体表面积的求法
（1）旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底
面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系；
（2）多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积注意衔接部
分的处理.
训练2 已知一个圆柱底面半径为2，高为3，上底面的同心圆半径为1，以这
个圆面为上底面，圆柱下底面为下底面的圆台被挖去后，剩余几何体的表
面积为（　　）
A. 15π B. 3 π
C. （5＋3 ）π D. （15＋3 ）π
√
解析： 　依题意作出大致图形，如图所示.剩余几何体的表面
积等于圆环的面积加上圆台的侧面积再加上圆柱的侧面积.由题
可知，圆台上底面半径r＝1，下底面半径R＝2，高h＝3，所
以圆环的面积S1＝π（R2－r2）＝3π，圆台的母线l＝ ＝ ＝ ，所以圆台的侧面积S2＝πl（R＋r）＝3 π，圆柱侧面积S3＝2πRh＝12π.所以剩余几何体的表面积为S1＋S2＋S3＝（15＋3 ）π.
空间几何体的体积（定向精析突破）
考向1　直接法求体积
（2026·山东烟台模拟）一化学器皿为圆台形状，其上、下底面半径分
别为1 cm和5 cm，高为10 cm（器皿厚度忽略不计）.现将该器皿水平放置
后（上底位于上方）注入盐酸溶液，若溶液高度恰为5 cm，则溶液体积为
（　B　）
A. 245π cm3 B. cm3
C. 490π cm3 D. cm3
B
解析：　因为溶液高度恰为5 cm，所以溶液的上底面半径为 ＝3 cm，
下底面半径为5 cm，高为5 cm，所以溶液的体积V＝ ×（32＋52＋3×5）
×π×5＝ （cm3）.故选B.
考向2　等积法求体积
（2026·陕西咸阳模拟）如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝4，AA1＝6.若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥A-A1EF的体积为 .
8 　
解析：由正三棱柱的底面边长为4，得点F到平面A1AE的距离等于点C到
平面A1ABB1的距离，为 ×4＝2 ，则 ＝ ＝
×2 ＝ × ×6×4×2 ＝8 .
考向3　割补法求体积
〔一题多解〕如图所示，已知多面体ABC-DEFG中，AB，AC，AD
两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD
＝DG＝2，AC＝EF＝1，则该多面体的体积为 .
4　
解析：法一（分割法） 因为几何体有两对相对面互相平
行，如图所示，过点C作CH⊥DG于点H，连接EH，即
把多面体分割成一个直三棱柱DEH-ABC和一个斜三棱柱
BEF-CHG. 由题意，知V三棱柱DEH-ABC＝S△DEH×AD＝
（ ×2×1）×2＝2，V三棱柱BEF-CHG＝S△BEF×DE＝（ ×2×1）×2＝2.故所求几何体的体积为V多面体ABC-DEFG＝2＋2＝4.
法二（补形法） 因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积为该正方体体积的一半.又正方体的体积V＝23＝8，故所求几何体的体积为V多面体ABC-DEFG＝ ×8＝4.
求空间几何体的体积的三种方法
A. 2 π B. 3 π
C. 6 π D. 9 π
训练3 （1）（2024·新高考Ⅰ卷5题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面
积相等，且它们的高均为 ，则圆锥的体积为（　B　）
B
解析： 设圆柱和圆锥的底面半径为r，则圆锥的母线长为 ，而它
们的侧面积相等，所以2πr× ＝πr× ，即2 ＝ ，故r
＝3，故圆锥的体积为 π×9× ＝3 π.故选B.
（2）在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB
的中点，则三棱锥A1-D1MN的体积为（　B　）
A. B. 1
C. D. 2
B
解析：如图，由正方体棱长为2，得 ＝2×2－2×
×2×1－ ×1×1＝ ，又易知D1A1为三棱锥D1-A1MN的
高，且D1A1＝2，所以 ＝ ＝
· ·D1A1＝ × ×2＝1.
（3）如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落
内，容器与地面所成的角为30°，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点M，
N到容器底部的距离分别是10，16，则容器内液体的体积是（　B　）
A. 36π B. 39π
C. 42π D. 45π
B
解析：将含液体部分的几何体补成如图所示的圆柱，过M作底面
的平行平面，与过N的母线交于点S，连接MS，由题意知∠MNS
＝30°，则MS＝6× ＝2 ，故圆柱的底面半径为 ，则容
器内液体的体积为 ×（10＋16）×π×（ ）2＝13×π×3＝
39π.故选B.
03
PART
课时跟踪检测
（时间：45分钟，满分：77分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1. 下面关于空间几何体叙述正确的是（　　）
A. 正四棱柱都是正方体
B. 用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台
C. 空间中，到一个定点的距离等于定长的点的集合是球
D. 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公
共边都互相平行的几何体是棱柱
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
√
解析： 对于A，正四棱柱的侧面可以是长方形，底面是正方形，因此它
可以是长方体，A错误；对于B，平面必须是平行于底面的平面，B错误；
对于C，是球面而非球体，C错误；对于D，根据棱柱的定义，有两个面互
相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行
的几何体是棱柱，D正确.
1
2
3
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6
7
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9
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15
2. 如图是用斜二测画法画出的水平放置的△AOB的直观图（图中虚线分
别与x'轴、y'轴平行），则原图形△AOB的面积是（　　）
A. 8 B. 16
C. 32 D. 64
√
解析： 　根据题意，如图，原图形△AOB的底边OB的长为
4，高为8，所以其面积S＝ ×4×8＝16.故选B.
1
2
3
4
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7
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13
14
15
3. （2026·山东淄博模拟）已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆
心角为 的扇形，则该圆锥的表面积为（　　）
A. 8π B. 12π
C. 16π D. 24π
√
解析： 　设圆锥的底面半径为r，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧
长，则 ＝2πr，解得r＝2，所以该圆锥的表面积为π×22＋ × ×62＝
16π.故选C.
1
2
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4. （2026·广东深圳模拟）已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底
面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（　　）
A. 36 B. 36
C. 108 D. 108
√
解析： 如图，在正四棱锥P-ABCD中，PO为四棱锥
的高，PE为侧面的高，因为正四棱锥的底面边长为6，且
其侧面积是底面积的2倍，所以S侧＝4× ×6PE＝2S底＝
72，解得PE＝6，PO＝ ＝3 ，所以VP-ABCD＝ S底·PO＝ ×36×3 ＝36 ，故选A.
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5. （2026·江苏泰州调研）如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去
到正方体的某个顶点的距离均为2的几何体后的剩余部分，则该几何体的
表面积为（　　）
A. 24－3π B. 24－π
C. 24＋π D. 24＋5π
√
解析： 　由题意知，该几何体是从棱长为2的正方体中截去以正方体某个
顶点为球心，2为半径的 球后的剩余部分，则其表面积＝6×22－3×
×π×22＋ ×4×π×22＝24－π.
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3
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6. 〔多选〕如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2，BC＝3，CC1＝
4，且AB⊥BC，P为BC1的中点，则（　　）
A. 三棱锥A-BCC1的体积为4
B. 三棱锥C-APC1的体积为
C. 四棱锥C1-ABB1A1的体积为8
D. 三棱锥C1-ABC的表面积为14＋2
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
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13
14
15
解析： 　对于A， ＝ ＝ ×CC1×S△ABC＝
×4× ×2×3＝4，故A正确；对于B， ＝ ，而三
棱锥A-BCC1与三棱锥A-PCC1有共同的高，∵P为BC1的中点，∴
＝ ，∴ ＝ ＝ ×4＝2，故B错误；对于
C， ＝ － ＝ ×2×3×4－4＝
8，故C正确；
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15
对于D，由题可知，AC＝ ，AC1＝ ，BC1＝5，∴AB2＋B ＝
A ，∴△ABC1是直角三角形，AB⊥BC1，∴三棱锥C1-ABC的表面积为
S△ABC＋ ＋ ＋ ＝ ×2×3＋ ×3×4＋ × ×4
＋ ×2×5＝14＋2 ，故D正确.
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7. 〔一题多解〕（2023·新高考Ⅰ卷14题）在正四棱台ABCD-A1B1C1D1
中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝ ，则该棱台的体积为 　 　.
解析：法一　如图所示，设点O1，O分别为正四棱
台ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心，连接
B1D1，BD，则点O1，O分别为B1D1，BD的中
点，连接O1O，则O1O即为正四棱台ABCD-
A1B1C1D1的高，过点B1作B1E⊥BD，垂足为E，则B1E＝O1O. 因为AB＝2，A1B1＝1，所以OB＝ ，O1B1＝ ，所以BE＝OB－OE＝OB－
　
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O1B1＝ ，又AA1＝ ，所以BB1＝ ，B1E＝ ＝ ＝ ，所以O1O＝ ，所以 ＝ ×（22＋12＋ ）× ＝ .
法二　如图，将正四棱台ABCD-A1B1C1D1补形成正
四棱锥P-ABCD，因为AB＝2，A1B1＝1，
AB∥A1B1，所以A1，B1，C1，D1分别为PA，PB，
PC，PD的中点，又A1A＝ ，所以PA＝2 ，即
PB＝2 .连接BD，取BD的中点为O，连接PO，则PO⊥平面ABCD，易知BO＝ ，所以PO＝ ＝ ，所以正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高为 ，所以 ＝ ×（22＋12＋ ）× ＝ .
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8. 如图在一根高为11 cm，外圆周长为6 cm的圆柱体外表面缠绕一根细铁
丝，组成10个螺旋，如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线的两端，
则铁丝长度的最小值为 cm.
61　
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解析：因为圆柱体的高为11 cm，外圆周长为6 cm，又铁
丝在柱体上缠绕10圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一条母线的两端，则我们可以得到将圆柱侧面展开后的平面图形，如图所示，其中每一个小矩形的宽为圆柱的外圆周长6 cm，高为圆柱的高11 cm，则大矩形的对角线
即为铁丝长度的最小值，此时铁丝长度的最小值为 ＝61（cm）.
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9. 扇面是中国书画作品的一种重要表现形式.一幅扇面书法作品如图所
示，经测量，上、下两条弧分别是半径为27，12的两个同心圆上的弧，侧
边两条线段的延长线交于同心圆的圆心且圆心角为 .若某几何体的侧面
展开图恰好与图中扇面的形状、大小一致，则该几何体的高为 .
10 　
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解析：由题意得，该几何体是圆台.取一个圆锥，其侧面展开图是半径为
27，圆心角为 的扇形，设该圆锥的底面半径为r，则2πr＝ ×27，解
得r＝9，所以该圆锥的高h1＝ ＝18 .同理可得，侧面展开图
是半径为12，圆心角为 的扇形的圆锥的高h2＝8 ，所以所求几何体即
圆台的高h＝h1－h2＝18 －8 ＝10 .
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10. （2026·浙江绍兴模拟）如图，圆柱的底面直径为3，母线长为4，AB，CD分别为该圆柱的上、下底面的直径，且AB⊥CD，则三棱锥A-BCD的体积是（　　）
A. 24 B. 18
C. 12 D. 6
√
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解析： 　设上底面中心为O，连接OC，OD（图略），根据圆柱的性质
可知，BC＝AC＝BD＝AD，则AB⊥OC，AB⊥OD，又OC∩OD＝
O，OC，OD 平面OCD，所以AB⊥平面OCD，所以VA-BCD＝
S△OCD·AB＝ × ×3×4×3＝6.故选D.
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11. 在各棱长均为2的正三棱柱ABC-A1B1C1中，上、下底面的中心分别为
D，H，三个侧面的中心分别为E，F，G，若在该三棱柱中挖去两个三
棱锥D-EFG和H-EFG，则剩余部分的体积为（　　）
A. B.
C. D.
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解析： 　如图所示，因为三个侧面的中心分别为E，F，
G，所以三棱锥D-EFG和三棱锥H-EFG的底面EFG的面积
为 S△ABC，高为正三棱柱的高的一半，故挖去的几何体的体
积为2× × × ×2×2 sin 60°×1＝ ，三棱柱的体积为
×2×2 sin 60°×2＝2 ，故剩余几何体的体积为2 － ＝ .故选A.
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12. 一个底面半径为2的圆锥的轴截面为正三角形，现用平行于底面的平面
将该圆锥截成两部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在圆锥上的截
面面积为（　　）
A. 3π B. 2 π
C. 2 π D. 2π
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解析： 　由题知，平面截圆锥后上半部分为一小圆锥，
下半部分为一圆台，且圆台的上底面即小圆锥的底面，
即该平面在原圆锥上的截面，圆台的下底面即原圆锥的
底面.不妨设圆台上底面半径为r1，圆台下底面半径为r2，
小圆锥母线长为l1，原圆锥母线长为l2，由轴截面为正三角形知， ＝ ＝2，则小圆锥底面积为π ，底面周长为2πr1，侧面积为l1·πr1＝
2π ，易知圆台侧面积可看作原圆锥侧面积减去小圆锥侧面积，则圆台侧
面积为2π（ － ），下底面积为π ，由于两部分表面积相等，则π
＋2π ＝π ＋π ＋2π（ － ） ＝ ，因为r2＝2，则r1＝ ，
所以截面面积为3π，故选A.
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13. 〔多选〕如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，P是BB1上一点，且BP＝
2B1P，记三棱锥A1-B1C1P，四棱锥P-ACC1A1，三棱锥C-ABP的体积分
别为V1，V2，V3，则（　　）
A. V3＝2V1 B. V3＝V2
C. V2＝2（V1＋V3） D. 2V3＝3V1
√
√
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解析： 　由题可知V1＝ ＝ ＝ ·B1P，V2＝
＝ －（V1＋V3），V3＝VC-ABP＝VP-ABC＝
S△ABC·BP，根据三棱柱的性质易得S△ABC＝ ，又BP＝2B1P，所
以V3＝2V1，A正确，D错误；因为 ＝S△ABC·BB1＝3（
S△ABC·B1P＋ S△ABC·BP）＝3（V1＋V3），所以V2＝3（V1＋V3）－（V1
＋V3）＝2（V1＋V3），B错误，C正确.
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14. （2026·湖北武汉调研）已知正四棱锥的侧棱长为3 ，则当该棱锥的
体积最大时，它的高为 .
解析：设底面边长为a（a＞0），则高h＝ ＝
，由h＞0，所以0＜a＜3 ，所以体积V＝ a2h＝
，设f（a）＝27a4－ a6，a∈（0，3 ），则f'（a）＝
108a3－3a5＝3a3（6＋a）·（6－a），所以当0＜a＜6时，f'（a）＞0，
所以f（a）在（0，6）上单调递增；当6＜a＜3 时，f'（a）＜0，所以f（a）在（6，3 ）上单调递减，所以当a＝6时f（a）取得极大值，即为最大值，此时该棱锥的体积最大，此时h＝ ＝3.
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15. 〔创新定义〕我国南北朝时期的著名数学家祖暅提出了祖暅原理：
“幂势既同，则积不容异.”意思是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.
运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等
的圆柱，与半球（如图1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以
圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如
图2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个
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截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即 V球＝πR2·R－
πR2·R＝ πR3.现将椭圆 ＋ ＝1绕y轴旋转一周后得一橄榄状的几何体
（如图3），类比上述方法，运用祖暅原理可求得该橄榄状几何体的体积
为 .
16π　
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解析：构造一个底面半径为2，高为3的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下
底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，则当截面与顶点的距离为h
（0≤h≤3）时，小圆锥底面半径为r，则 ＝ ，∴r＝ h，故截面面积
为4π－ πh2，把y＝h代入 ＋ ＝1，即 ＋ ＝1，解得x＝
± ，∴橄榄状几何体的截面面积为πx2＝4π－ πh2，由祖暅原理
可得该橄榄状几何体的体积为V＝2（V圆柱－V圆锥）＝2×（ 4π×3－
×4π×3）＝16π.
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