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第4节　空间直线、平面的垂直
（时间：60分钟，满分：96分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1.已知α，β是两个平面，m，n是两条直线，且α⊥β，m α，n β，则“m⊥n”是“m⊥β”的（　　）
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在（　　）
A.直线AB上 B.直线BC上
C.直线AC上 D.△ABC内部
3.已知圆锥SO的底面半径为r，当圆锥的体积为πr3时，该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为（　　）
A. B.
C. D.
4.如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是（　　）
A.EF⊥平面α B.EF⊥平面β
C.PQ⊥GE D.PQ⊥FH
5.〔多选〕设α，β为两个平面，m，n为两条直线，且α∩β＝m，则下述四个命题正确的是（　　）
A.若m∥n，则n∥α或n∥β
B.若m⊥n，则n⊥α或n⊥β
C.若n∥α且n∥β，则m∥n
D.若n与α，β所成的角相等，则m⊥n
6.〔多选〕（2025·全国Ⅰ卷9题）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC的中点，则（　　）
A.AD⊥A1C
B.B1C1⊥平面AA1D
C.AD∥A1B1
D.CC1∥平面AA1D
7.如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面PBC，若PB⊥BC，则△ABC的形状为　　　　.
8.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足条件：①BM⊥DM，②DM⊥PC，
③BM⊥PC中的　　　　时，平面MBD⊥平面PCD（只要填写一个你认为是正确的条件序号即可）.
9.（13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点.
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE.
10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和线段BC1上的动点，则满足与DD1垂直的直线MN有（　　）
A.1条 B.2条
C.3条 D.无数条
11.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC，AB＝AA1，D是A1B1的中点，点F在BB1上，记B1F＝λBF，若AB1⊥平面C1DF，则实数λ＝（　　）
A.　　　B. C.　　　D.1
12.〔多选〕在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，P在底面上的射影E在线段BD上，则（　　）
A.PA＝PC B.PB＝PD
C.AC⊥平面PBD D.BD⊥平面PAC
13.（2026·山东威海模拟）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，P，Q分别是线段BS，AD的中点，点R在线段SD上.若AS＝4，AD＝2，AR⊥PQ，则AR＝　　　　.
14.（15分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，M为棱AC的中点，AB＝BC，AC＝2，AA1＝.
（1）求证：B1C∥平面A1BM；
（2）求证：AC1⊥平面A1BM；
（3）在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求出此时的值并证明；如果不存在，请说明理由.
15.〔创新交汇〕在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝2，BC＝t，若在线段AB上存在点E，使得EC1⊥ED，则实数t的取值范围是　　　　.
第4节　空间直线、平面的垂直
1.A　2.A　3.A　4.B　5.AC　
6.BD　A.由三棱柱的性质可知，AA1⊥平面ABC，则AA1⊥AD，假设AD⊥A1C，又AA1∩A1C＝A1，AA1，A1C 平面AA1C1C，所以AD⊥平面AA1C1C，矛盾，所以AD与A1C不垂直，故A错误；B.因为三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，所以AA1⊥平面ABC，则AA1⊥BC，因为D为BC的中点，AC＝AB，所以AD⊥BC，又AD∩AA1＝A，AD，AA1 平面AA1D，所以BC⊥平面AA1D，又BC∥B1C1，所以B1C1⊥平面AA1D，故B正确；C.AB∥A1B1，AD与AB相交，所以AD与A1B1异面，故C错误；D.CC1∥AA1，CC1 平面AA1D，AA1 平面AA1D，所以CC1∥平面AA1D，故D正确.故选B、D.
7.直角三角形　8.②（或③）　
9.证明：（1）因为PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以PA⊥BD.
因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC.
又PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
所以BD⊥平面PAC.
（2）因为PA⊥平面ABCD，AE 平面ABCD，所以PA⊥AE.
因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，且E为CD的中点，所以AE⊥CD.
所以AB⊥AE.
又AB∩PA＝A，AB，PA 平面PAB，
所以AE⊥平面PAB.
因为AE 平面PAE，
所以平面PAB⊥平面PAE.
10.D　如图，过点N作NE⊥BC，垂足为E，连接DE，当M，N高度一样，即MD＝NE时，一定有DD1⊥MN，理由如下：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，NE∥CC1∥MD，又MD＝NE，所以四边形MDEN为平行四边形，所以MN∥DE.因为DD1⊥平面ABCD，且DE 平面ABCD，所以DD1⊥DE，则DD1⊥MN，所以当M，N高度一样，即MD＝NE时，一定有DD1⊥MN，此时满足条件的直线MN有无数条.
11.D　由题意可得C1D⊥A1B1，C1D⊥AA1，A1B1∩AA1＝A1，A1B1，AA1 平面AA1B1B，所以C1D⊥平面AA1B1B，又AB1 平面AA1B1B，
所以C1D⊥AB1，连接A1B，在矩形A1B1BA中，AB＝A1A，所以四边形A1B1BA是正方形，所以A1B⊥AB1，若AB1⊥平面C1DF，则DF∥A1B，又D为A1B1的中点，所以F为BB1的中点，所以B1F＝BF，因为B1F＝λBF，所以λ＝1.
12.AC　对于A选项，由题意得PE⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，连接AC与BD交于点H，则AH＝CH，EH⊥AC，故AE＝EC，又PA＝，PC＝，故PA＝PC，A正确；
对于B选项，因为PE⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以PE⊥BD，所以PD＝，PB＝，由于ED与EB不一定相等，故PB，PD不一定相等，B错误；对于C选项，因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又PE⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，所以PE⊥AC.因为PE∩BD＝E，PE，BD 平面PBD，所以AC⊥平面PBD，C正确；对于D选项，连接PH，若E，H不重合，此时在Rt△PEH中，PH为斜边，故PH与EH不垂直，即BD与PH不垂直，故此时BD与平面PAC不垂直，D错误.
13.　解析：如图，取SA的中点E，连接PE，QE.∵SA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，∴SA⊥AB，而AB⊥AD，AD∩SA＝A，AD，SA 平面SAD，∴AB⊥平面SAD，故PE⊥平面SAD，又AR 平面SAD，∴PE⊥AR.又∵AR⊥PQ，PE∩PQ＝P，PE，PQ 平面PEQ，∴AR⊥平面PEQ，∵EQ 平面PEQ，∴AR⊥EQ，∵E，Q分别为SA，AD的中点，∴EQ∥SD，则AR⊥SD，在Rt△ASD中，AS＝4，AD＝2，可求得SD＝2，由等面积法可得AR＝.
14.解：（1）证明：连接AB1，交A1B于点O，连接OM，如图.
因为在△B1AC中，M，O分别为AC，AB1的中点，所以OM∥B1C，
又因为OM 平面A1BM，B1C 平面A1BM，
所以B1C∥平面A1BM.
（2）证明：因为侧棱AA1⊥底面ABC，BM 平面ABC，所以AA1⊥BM，
又因为M为棱AC的中点，AB＝BC，所以BM⊥AC.因为AA1∩AC＝A，AA1，AC 平面ACC1A1，
所以BM⊥平面ACC1A1，
因为AC1 平面ACC1A1，
所以BM⊥AC1.
易知AM＝1，又AA1＝，
所以在Rt△ACC1和Rt△A1AM中，tan∠AC1C＝tan∠A1MA＝，
所以∠AC1C＝∠A1MA，
所以∠AC1C＋∠C1AC＝∠A1MA＋∠C1AC＝90°，所以A1M⊥AC1.
因为BM∩A1M＝M，BM，A1M 平面A1BM，
所以AC1⊥平面A1BM.
（3）存在，当点N为BB1的中点，即＝时，平面AC1N⊥平面AA1C1C.
证明：取BB1的中点N，AC1的中点D，连接AN，NC1，DM，DN.
因为D，M分别为AC1，AC的中点，所以DM∥CC1，且DM＝CC1.
又因为N为BB1的中点，所以DM∥BN，且DM＝BN，所以四边形BNDM为平行四边形，所以BM∥DN，
由（2）知BM⊥平面AA1C1C，
所以DN⊥平面AA1C1C.又因为DN 平面AC1N，
所以平面AC1N⊥平面AA1C1C.
15.（0，1]　解析：因为C1C⊥平面ABCD，ED 平面ABCD，可得C1C⊥ED，由EC1⊥ED，EC1∩C1C＝C1，EC1，C1C 平面ECC1，可得ED⊥平面ECC1，所以ED⊥EC，在矩形ABCD中，设AE＝a，0≤a≤2，则BE＝2－a，由∠DEA＋∠CEB＝90°，可得tan∠DEA·tan∠CEB＝·＝＝1，即t2＝a（2－a）＝－（a－1）2＋1，当a＝1时，t2取得最大值1，即t的最大值为1；当a＝0或2时，t2取得最小值0，但由于t＞0，所以实数t的取值范围是（0，1].
1 / 1第4节　空间直线、平面的垂直
1.了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的关系，归纳出有关垂直的性质定理和判定定理，并加以证明. 2.能用基本事实、定理和已获得的结论证明有关空间基本图形垂直关系的简单命题.
知识梳理
1.直线与平面垂直
（1）定义：如果直线l与平面α内的　　　　　　直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面；
（2）直线与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条　　　　　直线垂直，那么该直线与此平面垂直 l⊥α
性质定理 垂直于同一个平面的两条直线　　　 a∥b
（3）直线和平面所成的角
①定义：平面的一条斜线和它在平面上的　　　　所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，它们所成的角是　　　　，一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是　　；
②范围：　　　　　.
2.平面与平面垂直
（1）二面角的有关概念
①二面角：从一条直线出发的　　　　　　所组成的图形叫做二面角；
②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作　　　　　　的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角；
③范围：　　　　　　.
（2）平面和平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　，
就说这两个平面互相垂直；
（3）平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果一个平面过另一个平面的　　　　，那么这两个平面垂直 α⊥β
性质 定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的　　　　，那么这条直线与另一个平面垂直 l⊥α
3.空间距离
（1）点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离；
（2）直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离；
（3）两个平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
1.若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. 2.垂直于同一条直线的两个平面平行. 3.一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直. 4.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.
诊断自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.（　　）
（2）垂直于同一个平面的两平面平行.（　　）
（3）若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.（　　）
（4）若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.（　　）
2.已知直线m，n和平面α，如果n α，那么“m⊥n”是“m⊥α”的（　　）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
3.如图，AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD⊥圆柱的底面，则必有（　　）
A.平面ABC⊥平面BCD B.平面BCD⊥平面ACD
C.平面ABD⊥平面ACD D.平面BCD⊥平面ABD
4.正六棱柱相邻两个侧面所成的二面角的大小为　　　　.
5.如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为　　　　.
直线与平面垂直的判定与性质
（师生共研过关）
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.证明：
（1）CD⊥AE；
（2）PD⊥平面ABE.
证明线面垂直的常用方法及关键 （1）证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性（a∥b，a⊥α b⊥α）；③面面平行的性质（a⊥α，α∥β a⊥β）；④面面垂直的性质； （2）证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.
训练1 如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足.
（1）求证：PA⊥平面ABC；
（2）当点E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形.
平面与平面垂直的判定与性质
（师生共研过关）
（2023·全国甲卷18题）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.
（1）证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；
（2）设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1-BB1C1C的高.
1.判定面面垂直的常用方法 （1）面面垂直的定义； （2）面面垂直的判定定理. 2.已知面面垂直时，解题一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，将问题转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.
训练2 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E为AD的中点.
求证：（1）PE⊥BC；
（2）平面PAB⊥平面PCD.
平行与垂直的综合问题
（师生共研过关）
如图所示的空间几何体ABCD-EFG中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE⊥平面ABCD，EF∥AB，EG∥AD，EF＝EG＝1.
（1）求证：平面CFG⊥平面ACE；
（2）在AC上是否存在一点H，使得EH∥平面CFG？若存在，求出CH的长；若不存在，请说明理由.
1.垂直与平行的综合问题，求解时应注意平行、垂直性质及判定的综合应用. 2.对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证.
训练3 在四棱锥P-ABCD中，△PAD是等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，AD＝2AB＝2BC，∠BAD＝∠ABC＝90°.
（1）在AD上是否存在一点M，使得平面PCM⊥平面ABCD？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由；
（2）若△PCD的面积为8，求四棱锥P-ABCD的体积.
三垂线定理及其逆定理
1.三垂线定理：若PO⊥α，PC在平面α内的射影为CO，l α，l⊥CO，则l⊥PC.
2.三垂线定理的逆定理：若PO⊥α，PC在平面α内的射影为CO，l α，l⊥PC，则l⊥CO.
（1）〔多选〕如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点.则满足MN⊥OP的是（　　）
（2）如图，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝2AB＝2BC，PA⊥平面ABCD.求证：PC⊥CD.
第4节　空间直线、平面的垂直
【夯实必备知识】
知识梳理
1.（1）任意一条　（2）相交　m，n α　m∩n＝P　l⊥m　l⊥n　平行　a⊥α
b⊥α　（3）①射影　　0　②［0，］
2.（1）①两个半平面　②垂直于棱　③[0，π]　（2）直二面角　（3）垂线　交线
诊断自测
1.（1）×　（2）×　（3）×　（4）×
2.B　3.B　4.　5.
【研透核心考点】
考点1
【例1】　证明：（1）在四棱锥P-ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD 平面ABCD，
∴PA⊥CD，
又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
∴CD⊥平面PAC.
又AE 平面PAC，∴CD⊥AE.
（2）由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
由（1）知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，
∴AE⊥平面PCD.
又PD 平面PCD，∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD，AB 平面ABCD，
∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，
又PD 平面PAD，∴AB⊥PD.
又∵AB∩AE＝A，AB，AE 平面ABE，∴PD⊥平面ABE.
训练1　证明：（1）如图，在平面ABC内取一点D，过点D作DF⊥AC于点F.
因为平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，DF 平面ABC，
所以DF⊥平面PAC.
因为PA 平面PAC，所以DF⊥PA.
过点D作DG⊥AB于点G，
同理可证DG⊥PA.
因为DG，DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，
所以PA⊥平面ABC.
（2）如图，连接BE并延长交PC于点H.
因为点E是△PBC的垂心，所以PC⊥BH.
又AE⊥平面PBC，PC 平面PBC，
所以PC⊥AE.
因为AE∩BH＝E，AE，BH 平面ABE，
所以PC⊥平面ABE.
又AB 平面ABE，所以PC⊥AB.
由（1）知PA⊥平面ABC，
又AB 平面ABC，所以PA⊥AB.
因为PA∩PC＝P，PA，PC 平面PAC，
所以AB⊥平面PAC.
又AC 平面PAC，所以AB⊥AC，
即△ABC是直角三角形.
考点2
【例2】　解：（1）证明：因为A1C⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以A1C⊥BC，
又因为∠ACB＝90°，即AC⊥BC，
A1C，AC 平面ACC1A1，A1C∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1，
又因为BC 平面BB1C1C，
所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.
（2）如图，取棱AA1的中点D，连接BD，CD.
因为AB＝A1B，所以AA1⊥BD.
因为BC⊥平面ACC1A1，AA1 平面ACC1A1，所以BC⊥AA1.
因为BC∩BD＝B，BC，BD 平面BCD，
所以AA1⊥平面BCD.
因为CD 平面BCD，所以AA1⊥CD.
因为AA1∥CC1，所以CD⊥CC1.
又因为CD⊥BC，BC∩CC1＝C，BC，CC1 平面BB1C1C，所以CD⊥平面BB1C1C.
因为AA1＝2，所以CD＝1.
易知AA1∥平面BB1C1C，
所以四棱锥A1-BB1C1C的高为CD＝1.
训练2　证明：（1）因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.
因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.
（2）因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB 平面ABCD，
所以AB⊥平面PAD，
又PD 平面PAD，所以AB⊥PD.
又因为PA⊥PD，PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，所以PD⊥平面PAB，
又因为PD 平面PCD，
所以平面PAB⊥平面PCD.
考点3
【例3】　解：（1）证明：连接BD交AC于点O，则BD⊥AC.
设AB，AD的中点分别为M，N，连接MN，则MN∥BD，
连接FM，GN，则FM∥GN，且FM＝GN，
所以四边形FMNG为平行四边形，
所以MN∥FG，所以BD∥FG，所以FG⊥AC.
由于AE⊥平面ABCD，
BD 平面ABCD，所以AE⊥BD.
所以FG⊥AE，
又因为AC∩AE＝A，AC，AE 平面ACE.
所以FG⊥平面ACE.
又FG 平面CFG，所以平面CFG⊥平面ACE.
（2）存在，设平面ACE交FG于点Q，
则Q为FG的中点，
连接EQ，CQ，取CO的中点H，连接EH，
由已知易知，平面EFG∥平面ABCD，
又平面ACE∩平面EFG＝EQ，
平面ACE∩平面ABCD＝AC，
所以CH∥EQ，又CH＝EQ＝，
所以四边形EQCH为平行四边形，所以EH∥CQ，
又CQ 平面CFG，EH 平面CFG，
所以EH∥平面CFG，
所以在AC上存在一点H，使得EH∥平面CFG，且CH＝.
训练3　解：（1）存在，当M为AD的中点时，平面PCM⊥平面ABCD.
证明：取AD的中点M，连接CM，PM，
由△PAD是等边三角形，可得PM⊥AD，
由平面PAD⊥平面ABCD，PM 平面PAD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，可得PM⊥平面ABCD，
由PM 平面PCM，可得平面PCM⊥平面ABCD.
（2）设AB＝a，可得BC＝a，AD＝2a，
由（1）可得MC＝AB＝MD＝a，
则CD＝a，PD＝2a，PM＝a，
由PM⊥MC，可得PC＝＝＝2a，
由S△PCD＝·a·＝a2＝8，可得a＝4，
所以四棱锥P-ABCD的体积
V＝S四边形ABCD·PM＝××（4＋8）×4×4＝32.
衔接教材
【例】　（1）BC　由三垂线定理易知B、C正确.
（2）证明：连接AC（图略），
因为∠ABC＝90°，AB＝BC，
由勾股定理得AC＝AB，
同理CD＝AB，
即AC2＋CD2＝4AB2＝AD2，
所以AC⊥CD.
又PA⊥平面ABCD，PC是平面ABCD的一条斜线，AC是PC在平面ABCD上的射影，且AC⊥CD，
由三垂线定理知PC⊥CD.
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第4节　空间直线、平面的垂直
课标要求
1. 了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的关系，归纳出有关垂直的性质定理和判定定理，并加以证明.
2. 能用基本事实、定理和已获得的结论证明有关空间基本图形垂直关系的简单命题.
目录/
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
课时跟踪检测
03
01
PART
夯实必备知识
知识梳理
1. 直线与平面垂直
（1）定义：如果直线l与平面α内的 直线都垂直，我们就说
直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直
线l的垂面；
任意一条　
（2）直线与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果一条直线与一个平面内的
两条 直线垂直，那么
该直线与此平面垂直 l⊥α
性质 定理 垂直于同一个平面的两条直
线 a∥b
相交　

平行　

①定义：平面的一条斜线和它在平面上的 所成的角，叫做这条直
线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，它们所成的角是 ，一
条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是 ；
②范围： .
射影　
　
0　
［0， ］　
（3）直线和平面所成的角
2. 平面与平面垂直
（1）二面角的有关概念
①二面角：从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角；
②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半
平面内分别作 的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面
角的平面角；
③范围： .
两个半平面　
垂直于棱　
[0，π]　
（2）平面和平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角
是 ，就说这两个平面互相垂直；
（3）平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果一个平面过另一个平面
的 ，那么这两个平面
垂直 α⊥β
性质 定理 两个平面垂直，如果一个平面
内有一直线垂直于这两个平面
的 ，那么这条直线与
另一个平面垂直
l⊥α
直二面角　
垂线　
交线　
3. 空间距离
（1）点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足
间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该
平面的距离；
（2）直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意
一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离；
（3）两个平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的
任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面
间的距离.
1. 若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
2. 垂直于同一条直线的两个平面平行.
3. 一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也
垂直.
4. 两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个
平面.
诊断自测
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α. （　×　）
（2）垂直于同一个平面的两平面平行. （　×　）
（3）若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平
面. （　×　）
（4）若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.
（　×　）
×
×
×
×
2. 已知直线m，n和平面α，如果n α，那么“m⊥n”是“m⊥α”的
（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
√
解析： 　n α，m⊥n / m⊥α，充分性不成立；若m⊥α，n α，则
m⊥n，必要性成立.故“m⊥n”是“m⊥α”的必要不充分条件.
3. 如图，AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一
点，D为下底面圆周上一点，且AD⊥圆柱的底面，则必有（　　）
A. 平面ABC⊥平面BCD
B. 平面BCD⊥平面ACD
C. 平面ABD⊥平面ACD
D. 平面BCD⊥平面ABD
√
解析： 　因为AB是圆柱上底面的一条直径，所以AC⊥BC，又AD垂直
于圆柱的底面，所以AD⊥BC，
因为AC∩AD＝A，AC，AD 平面ACD，所以BC⊥平面ACD，因为
BC 平面BCD，所以平面BCD⊥平面ACD，故选B.
4. 正六棱柱相邻两个侧面所成的二面角的大小为 .
解析：如图，由正六棱柱的几何特征可知BB'⊥AB，
BB'⊥BC，则∠ABC为正六棱柱相邻两个侧面所成的二面角
的平面角，∴∠ABC＝ ＝ .
　
5. 如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成
60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为 .
解析：正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1C1∥平面ABCD，则A1C1到平面
ABCD的距离即为正四棱柱的侧棱长.由∠B1AB＝60°及AB＝1，知侧棱
长为 .
　
02
PART
研透核心考点
直线与平面垂直的判定与性质（师生共研过关）
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，
AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.证明：
（1）CD⊥AE；
证明： 在四棱锥P-ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD 平面ABCD，
∴PA⊥CD，
又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
∴CD⊥平面PAC.
又AE 平面PAC，∴CD⊥AE.
（2）PD⊥平面ABE.
证明：由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
由（1）知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，
∴AE⊥平面PCD.
又PD 平面PCD，∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD，AB 平面ABCD，
∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，
又PD 平面PAD，∴AB⊥PD.
又∵AB∩AE＝A，AB，AE 平面ABE，∴PD⊥平面ABE.
证明线面垂直的常用方法及关键
（1）证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传
递性（a∥b，a⊥α b⊥α）；③面面平行的性质（a⊥α，α∥β a⊥β）；
④面面垂直的性质；
（2）证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面
垂直的性质.
训练1 如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面
PBC，E为垂足.
（1）求证：PA⊥平面ABC；
证明： 如图，在平面ABC内取一点D，过点D作
DF⊥AC于点F.
因为平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，DF 平面
ABC，
所以DF⊥平面PAC.
因为PA 平面PAC，所以DF⊥PA.
过点D作DG⊥AB于点G，同理可证DG⊥PA.
因为DG，DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，
所以PA⊥平面ABC.
（2）当点E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形.
证明： 如图，连接BE并延长交PC于点H.
因为点E是△PBC的垂心，所以PC⊥BH.
又AE⊥平面PBC，PC 平面PBC，
所以PC⊥AE.
因为AE∩BH＝E，AE，BH 平面ABE，
所以PC⊥平面ABE.
又AB 平面ABE，所以PC⊥AB.
由（1）知PA⊥平面ABC，
又AB 平面ABC，所以PA⊥AB.
因为PA∩PC＝P，PA，PC 平面PAC，
所以AB⊥平面PAC.
又AC 平面PAC，所以AB⊥AC，
即△ABC是直角三角形.
平面与平面垂直的判定与性质（师生共研过关）
（2023·全国甲卷18题）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面
ABC，∠ACB＝90°.
（1）证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；
解： 证明：因为A1C⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以A1C⊥BC，
又因为∠ACB＝90°，即AC⊥BC，
A1C，AC 平面ACC1A1，A1C∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1，
又因为BC 平面BB1C1C，
所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.
（2）设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1-BB1C1C的高.
解：如图，取棱AA1的中点D，连接BD，CD.
因为AB＝A1B，所以AA1⊥BD.
因为BC⊥平面ACC1A1，AA1 平面ACC1A1，所以
BC⊥AA1.
因为BC∩BD＝B，BC，BD 平面BCD，
所以AA1⊥平面BCD.
因为CD 平面BCD，所以AA1⊥CD.
因为AA1∥CC1，所以CD⊥CC1.
又因为CD⊥BC，BC∩CC1＝C，BC，CC1 平面
BB1C1C，所以CD⊥平面BB1C1C.
因为AA1＝2，所以CD＝1.
易知AA1∥平面BB1C1C，
所以四棱锥A1-BB1C1C的高为CD＝1.
1. 判定面面垂直的常用方法
（1）面面垂直的定义；
（2）面面垂直的判定定理.
2. 已知面面垂直时，解题一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交
线的垂线，将问题转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.
训练2 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面
ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E为AD的中点.
求证：（1）PE⊥BC；
证明： 因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.
因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD. 所以PE⊥BC.
（2）平面PAB⊥平面PCD.
证明： 因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB 平面
ABCD，
所以AB⊥平面PAD，
又PD 平面PAD，所以AB⊥PD.
又因为PA⊥PD，PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，所以PD⊥平面
PAB，
又因为PD 平面PCD，
所以平面PAB⊥平面PCD.
平行与垂直的综合问题（师生共研过关）
如图所示的空间几何体ABCD-EFG中，四边形ABCD是边长为2的正
方形，AE⊥平面ABCD，EF∥AB，EG∥AD，EF＝EG＝1.
（1）求证：平面CFG⊥平面ACE；
解： 证明：连接BD交AC于点O，则BD⊥AC.
设AB，AD的中点分别为M，N，连接MN，则
MN∥BD，
连接FM，GN，则FM∥GN，且FM＝GN，
所以四边形FMNG为平行四边形，
所以MN∥FG，所以BD∥FG，所以FG⊥AC.
由于AE⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以AE⊥BD.
所以FG⊥AE，
又因为AC∩AE＝A，AC，AE 平面ACE. 所以FG⊥平面ACE.
又FG 平面CFG，所以平面CFG⊥平面ACE.
（2）在AC上是否存在一点H，使得EH∥平面CFG？若存在，求出CH的
长；若不存在，请说明理由.
解：存在，设平面ACE交FG于点Q，
则Q为FG的中点，
连接EQ，CQ，取CO的中点H，连接EH，
由已知易知，平面EFG∥平面ABCD，
又平面ACE∩平面EFG＝EQ，
平面ACE∩平面ABCD＝AC，
所以CH∥EQ，又CH＝EQ＝ ，
所以四边形EQCH为平行四边形，所以EH∥CQ，
又CQ 平面CFG，EH 平面CFG，
所以EH∥平面CFG，
所以在AC上存在一点H，使得EH∥平面CFG，
且CH＝ .
1. 垂直与平行的综合问题，求解时应注意平行、垂直性质及判定的综
合应用.
2. 对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，
利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证.
训练3 在四棱锥P-ABCD中，△PAD是等边三角形，且平面PAD⊥平面
ABCD，AD＝2AB＝2BC，∠BAD＝∠ABC＝90°.
（1）在AD上是否存在一点M，使得平面PCM⊥平面ABCD？若存在，
给出证明；若不存在，请说明理由；
解： 存在，当M为AD的中点时，平面PCM⊥平面ABCD.
证明：取AD的中点M，连接CM，PM，
由△PAD是等边三角形，可得PM⊥AD，
由平面PAD⊥平面ABCD，PM 平面PAD，平面PAD∩平面ABCD＝
AD，可得PM⊥平面ABCD，
由PM 平面PCM，可得平面PCM⊥平面ABCD.
（2）若△PCD的面积为8 ，求四棱锥P-ABCD的体积.
解：设AB＝a，可得BC＝a，AD＝2a，
由（1）可得MC＝AB＝MD＝a，
则CD＝ a，PD＝2a，PM＝ a，
由PM⊥MC，可得PC＝ ＝ ＝2a，
由S△PCD＝ · a· ＝ a2＝8 ，可得a＝4，
所以四棱锥P-ABCD的体积
V＝ S四边形ABCD·PM＝ × ×（4＋8）×4×4 ＝32 .
三垂线定理及其逆定理
1. 三垂线定理：若PO⊥α，PC在平面α内的射影为CO，l α，l⊥CO，
则l⊥PC.
2. 三垂线定理的逆定理：若PO⊥α，PC在平面α内的射影为CO，l α，
l⊥PC，则l⊥CO.
（1）〔多选〕如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中
点，M，N为正方体的顶点.则满足MN⊥OP的是（　　）
√
√
解析： 　由三垂线定理易知B、C正确.
（2）如图，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝
2AB＝2BC，PA⊥平面ABCD. 求证：PC⊥CD.
证明：连接AC（图略），
因为∠ABC＝90°，AB＝BC，
由勾股定理得AC＝ AB，
同理CD＝ AB，
即AC2＋CD2＝4AB2＝AD2，
所以AC⊥CD.
又PA⊥平面ABCD，PC是平面ABCD的一条斜线，AC是PC在平面
ABCD上的射影，且AC⊥CD，
由三垂线定理知PC⊥CD.
03
PART
课时跟踪检测
（时间：60分钟，满分：96分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1. 已知α，β是两个平面，m，n是两条直线，且α⊥β，m α，n β，则
“m⊥n”是“m⊥β”的（　　）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
√
解析： 如图所示，当m⊥n时，显然m与平面β不垂直，
反之，当m⊥β时，又n β，根据线面垂直的性质有m⊥n，
所以“m⊥n”是“m⊥β”的必要不充分条件.故选A.
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2. 如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1
在底面ABC上的射影H必在（　　）
A. 直线AB上
B. 直线BC上
C. 直线AC上
D. △ABC内部
√
解析： 　连接AC1（图略），由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，
AB，BC1 平面ABC1，得AC⊥平面ABC1.∵AC 平面ABC，∴平面
ABC1⊥平面ABC，∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上.
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3. 已知圆锥SO的底面半径为r，当圆锥的体积为 πr3时，该圆锥的母线
与底面所成角的正弦值为（　　）
A. B. C. D.
√
解析： 　设圆锥的高为h，则由题意可得，V＝ πr2h＝ πr3，解得
＝ ，所以母线与底面所成角的正切值为 ，由同角三角函数关系可得，
母线与底面所成角的正弦值为 .故选A.
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4. 如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为
G，H. 为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是（　　）
A. EF⊥平面α
B. EF⊥平面β
C. PQ⊥GE
D. PQ⊥FH
√
解析： 　因为EG⊥平面α，PQ 平面α，所以EG⊥PQ. 若EF⊥平面
β，则由PQ 平面β，得EF⊥PQ. 又EG与EF为相交直线，且EG，
EF 平面EFHG，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH.
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5. 〔多选〕设α，β为两个平面，m，n为两条直线，且α∩β＝m，则下述
四个命题正确的是（　　）
A. 若m∥n，则n∥α或n∥β
B. 若m⊥n，则n⊥α或n⊥β
C. 若n∥α且n∥β，则m∥n
D. 若n与α，β所成的角相等，则m⊥n
√
√
解析： 　α∩β＝m，则m α，m β，对于A，若m∥n，则n∥α或
n∥β，A正确；对于B，若m⊥n，则可能n∥α或n与α相交，B错误；对于
C，若n∥α且n∥β，则n∥m，C正确；对于D，n与m所成角可以为［0，
］内的任意角，D错误.故选A、C.
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6. 〔多选〕（2025·全国Ⅰ卷9题）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC的
中点，则（　　）
A. AD⊥A1C B. B1C1⊥平面AA1D
C. AD∥A1B1 D. CC1∥平面AA1D
√
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解析： 　A. 由三棱柱的性质可知，AA1⊥平面ABC，则AA1⊥AD，假
设AD⊥A1C，又AA1∩A1C＝A1，AA1，A1C 平面AA1C1C，所以AD⊥
平面AA1C1C，矛盾，所以AD与A1C不垂直，故A错误；B. 因为三棱柱
ABC-A1B1C1是正三棱柱，所以AA1⊥平面ABC，则AA1⊥BC，因为D为
BC的中点，AC＝AB，所以AD⊥BC，又AD∩AA1＝A，AD，AA1 平
面AA1D，所以BC⊥平面AA1D，又BC∥B1C1，所以B1C1⊥平面AA1D，
故B正确；C. AB∥A1B1，AD与AB相交，所以AD与A1B1异面，故C错误；
D. CC1∥AA1，CC1 平面AA1D，AA1 平面AA1D，所以CC1∥平面
AA1D，故D正确.故选B、D.
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7. 如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面PBC，若PB⊥BC，则
△ABC的形状为 .
解析：因为平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC＝PB，
PB⊥BC，BC 平面PBC，所以BC⊥平面PAB，又AB 平面PAB，所
以BC⊥AB，所以△ABC为直角三角形.
直角三角形　
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8. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相
等，M是PC上的一动点，当点M满足条件：①BM⊥DM，②
DM⊥PC，③BM⊥PC中的 时，平面MBD⊥平面PCD
（只要填写一个你认为是正确的条件序号即可）.
②（或③）　
解析：连接AC（图略），因为PA⊥底面ABCD，所以
PA⊥BD. 因为底面各边都相等，所以AC⊥BD. 因为
PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC.
当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，即有PC⊥平面MBD，而PC 平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.
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9. （13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD
为菱形，E为CD的中点.
（1）求证：BD⊥平面PAC；
证明： 因为PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所
以PA⊥BD.
因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC.
又PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
所以BD⊥平面PAC.
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（2）若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE.
证明： 因为PA⊥平面ABCD，AE 平面ABCD，所
以PA⊥AE.
因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，且E为CD的中
点，所以AE⊥CD.
所以AB⊥AE.
又AB∩PA＝A，AB，PA 平面PAB，
所以AE⊥平面PAB.
因为AE 平面PAE，
所以平面PAB⊥平面PAE.
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10. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和线段BC1上的动
点，则满足与DD1垂直的直线MN有（　　）
A. 1条 B. 2条
C. 3条 D. 无数条
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解析： 　如图，过点N作NE⊥BC，垂足为E，连接
DE，当M，N高度一样，即MD＝NE时，一定有
DD1⊥MN，理由如下：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
NE∥CC1∥MD，又MD＝NE，所以四边形MDEN为
平行四边形，所以MN∥DE. 因为DD1⊥平面ABCD，且DE 平面ABCD，所以DD1⊥DE，则DD1⊥MN，所以当M，N高度一样，即MD＝NE时，一定有DD1⊥MN，此时满足条件的直线MN有无数条.
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11. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC，AB＝AA1，D是A1B1
的中点，点F在BB1上，记B1F＝λBF，若AB1⊥平面C1DF，则实数λ＝
（　　）
A. B.
C. D. 1
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解析： 　由题意可得C1D⊥A1B1，C1D⊥AA1，A1B1∩AA1＝A1，
A1B1，AA1 平面AA1B1B，所以C1D⊥平面AA1B1B，又AB1 平面
AA1B1B，所以C1D⊥AB1，连接A1B，在矩形A1B1BA中，AB＝A1A，所
以四边形A1B1BA是正方形，所以A1B⊥AB1，若AB1⊥平面C1DF，则
DF∥A1B，又D为A1B1的中点，所以F为BB1的中点，所以B1F＝BF，因
为B1F＝λBF，所以λ＝1.
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12. 〔多选〕在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，P在底面上的射
影E在线段BD上，则（　　）
A. PA＝PC B. PB＝PD
C. AC⊥平面PBD D. BD⊥平面PAC
√
√
解析： 对于A选项，由题意得PE⊥平面ABCD，底
面ABCD是菱形，连接AC与BD交于点H，则AH＝
CH，EH⊥AC，故AE＝EC，又PA＝ ，PC
＝ ，故PA＝PC，A正确；
对于B选项，因为PE⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，
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所以PE⊥BD，所以PD＝ ，PB＝ ，由于ED与EB不一定相等，故PB，PD不一定相等，B错误；对于C选项，因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又PE⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
所以PE⊥AC. 因为PE∩BD＝E，PE，BD 平面PBD，所以AC⊥平面PBD，C正确；对于D选项，连接PH，若E，H不重合，此时在Rt△PEH中，PH为斜边，故PH与EH不垂直，即BD与PH不垂直，故此时BD与平面PAC不垂直，D错误.
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13. （2026·山东威海模拟）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面四边形
ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，P，Q分别是线段BS，AD的中点，点
R在线段SD上.若AS＝4，AD＝2，AR⊥PQ，则AR＝ .
　
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解析：如图，取SA的中点E，连接PE，QE. ∵SA⊥平面
ABCD，AB 平面ABCD，∴SA⊥AB，而AB⊥AD，
AD∩SA＝A，AD，SA 平面SAD，∴AB⊥平面SAD，
故PE⊥平面SAD，又AR 平面SAD，∴PE⊥AR. 又
∵AR⊥PQ，PE∩PQ＝P，PE，PQ 平面PEQ，∴AR⊥平面PEQ，∵EQ 平面PEQ，∴AR⊥EQ，∵E，Q分别为SA，AD的中点，∴EQ∥SD，则AR⊥SD，在Rt△ASD中，AS＝4，AD＝2，可求得SD＝2 ，由等面积法可得AR＝ .
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14. （15分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，M为
棱AC的中点，AB＝BC，AC＝2，AA1＝ .
（1）求证：B1C∥平面A1BM；
解：证明：连接AB1，交A1B于点O，连接OM，
如图.
因为在△B1AC中，M，O分别为AC，AB1的中点，所
以OM∥B1C，
又因为OM 平面A1BM，B1C 平面A1BM，
所以B1C∥平面A1BM.
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（2）求证：AC1⊥平面A1BM；
解： 证明：因为侧棱AA1⊥底面ABC，BM 平面
ABC，所以AA1⊥BM，
又因为M为棱AC的中点，AB＝BC，所以BM⊥AC. 因
为AA1∩AC＝A，AA1，AC 平面ACC1A1，
所以BM⊥平面ACC1A1，
因为AC1 平面ACC1A1，所以BM⊥AC1.
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易知AM＝1，又AA1＝ ，所以在Rt△ACC1和Rt△A1AM中，
tan∠AC1C＝tan∠A1MA＝ ，
所以∠AC1C＝∠A1MA，
所以∠AC1C＋∠C1AC＝∠A1MA＋∠C1AC＝90°，所以A1M⊥AC1.
因为BM∩A1M＝M，BM，A1M 平面A1BM，
所以AC1⊥平面A1BM.
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（3）在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存
在，求出此时 的值并证明；如果不存在，请说明理由.
解： 存在，当点N为BB1的中点，即 ＝ 时，平
面AC1N⊥平面AA1C1C.
证明：取BB1的中点N，AC1的中点D，连接AN，
NC1，DM，DN.
因为D，M分别为AC1，AC的中点，所以DM∥CC1，且DM＝ CC1.
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又因为N为BB1的中点，所以DM∥BN，且DM＝BN，
所以四边形BNDM为平行四边形，所以BM∥DN，
由（2）知BM⊥平面AA1C1C，
所以DN⊥平面AA1C1C. 又因为DN 平面AC1N，
所以平面AC1N⊥平面AA1C1C.
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15. 〔创新交汇〕在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝2，BC＝t，若
在线段AB上存在点E，使得EC1⊥ED，则实数t的取值范围是
.
（0，
1]　
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解析：因为C1C⊥平面ABCD，ED 平面ABCD，
可得C1C⊥ED，由EC1⊥ED，EC1∩C1C＝C1，
EC1，C1C 平面ECC1，可得ED⊥平面ECC1，
所以ED⊥EC，在矩形ABCD中，设AE＝a，
0≤a≤2，则BE＝2－a，由∠DEA＋∠CEB＝90°，可得tan∠DEA·tan∠CEB＝ · ＝ ＝1，即t2＝a（2－a）＝－（a－1）2＋1，当a＝1时，t2取得最大值1，即t的最大值为1；当a＝0或2时，t2取得最小值0，但由于t＞0，所以实数t的取值范围是（0，1].
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