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第5节　空间向量的概念与运算
（时间：60分钟，满分：96分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1.（2026·湖北武汉二调）在三棱柱ABC-A1B1C1中，设＝a，＝b，＝c，M，N分别为AB，CC1的中点，则＝（　　）
A.a＋b＋c B.a－b＋c
C.a－b＋c D.a＋b＋c
2.已知a＝（2，1，－3），b＝（－1，2，3），c＝（7，6，λ），若a，b，c共面，则λ＝（　　）
A.9 B.－9
C.－3 D.3
3.已知向量a＝（1，2，3），b＝（－2，－4，－6），｜c｜＝，若（a＋b）·c＝7，则a与c的夹角为（　　）
A.30° B.60°
C.120° D.150°
4.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥P-ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD，且EC＝2PE，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝（　　）
A.1 B.2
C. D.
5.在正三棱锥P-ABC中，O是△ABC的中心，PA＝AB＝2，则·＝（　　）
A. B.
C. D.
6.〔多选〕下列说法中正确的是（　　）
A.若p与a，b共面，则p＝xa＋yb
B.若＝x＋y，则P，M，A，B共面
C.若P，M，A，B共面，则＝x＋y
D.若P，A，B，C为空间四点，且有＝λ＋μ（，不共线），则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件
7.已知A（1，－2，11），B（4，2，3），C（x，y，15）三点共线，则xy＝　　　　.
8.在空间直角坐标系O-xyz中，已知点A（1，0，2），B（0，2，1），点C，D分别在x轴，y轴上，且AD⊥BC，那么｜｜的最小值是　　　　.
9.（13分）已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4），设a＝，b＝.
（1）若｜c｜＝3，且c∥，求c；
（2）求a与b夹角的余弦值；
（3）若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值.
10.（2026·浙江宁波模拟）如图，在一个120°的二面角的棱上有两点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB垂直，若AB＝，AC＝1，BD＝2，则CD的长为（　　）
A.2 B.3
C.2 D.4
11.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则·的取值范围为（　　）
A.［0，］ B.[0，1]
C.［，1］ D.［，1］
12.〔多选〕已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则下列说法中正确的是（　　）
A.（＋＋）2＝3
B.·（－）＝0
C.向量与向量的夹角是60°
D.正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为｜··｜
13.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，且满足＝x＋y＋（1－x－y），则｜｜的最小值是　　　　.
14.（15分）如图，正四面体ABCD的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中其所在棱的中点，设＝a，＝b，＝c，试用向量法解决下列问题：
（1）求的模；
（2）求与的夹角.
15.〔创新设问〕〔多选〕设向量u＝（a，b，0），v＝（c，d，1），其中a2＋b2＝c2＋d2＝1，则下列判断正确的是（　　）
A.向量v与z轴正方向的夹角为定值（与c，d无关）
B.u·v的最大值为
C.u与v的夹角的最大值为
D.ad＋bc的最大值为1
第5节　空间向量的概念与运算
1.B　2.B　3.C　4.A
5.D　∵P-ABC为正三棱锥，O为△ABC的中心，∴PO⊥平面ABC，∴PO⊥AO，∴·＝0，｜AO｜＝·｜AB｜·sin 60°＝，故·＝·（＋）＝｜｜2＝｜｜2－｜｜2＝4－＝.故选D.
6.BD　A项，若a，b共线，p与a不共线，则p＝xa＋yb就不成立；B正确；C项，若M，A，B共线，点P不在此直线上，则＝x＋y不成立；D项，若P，A，B，C为空间四点，且有＝λ＋μ（，不共线），当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得－＝λ（－），即＝λ，所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D正确.故选B、D.
7.2　8.
9.解：（1）∵c∥，∴c＝m＝m（－2，－1，2）＝（－2m，－m，2m），
∴｜c｜＝＝3｜m｜＝3，
∴m＝±1，
∴c＝（－2，－1，2）或c＝（2，1，－2）.
（2）∵a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），
∴a·b＝（1，1，0）·（－1，0，2）＝－1，
又｜a｜＝＝，
｜b｜＝＝，
∴cos＜a，b＞＝＝＝－，
∴a与b夹角的余弦值为－.
（3）∵ka＋b＝（k－1，k，2），ka－2b＝（k＋2，k，－4），ka＋b与ka－2b互相垂直，
∴（k－1，k，2）·（k＋2，k，－4）＝（k－1）（k＋2）＋k2－8＝0，
∴k＝2或k＝－，
即当ka＋b与ka－2b互相垂直时，k＝2或k＝－.
10.B　∵＝＋＋，∴＝＋＋＋2·＋2·＋2·，∵⊥，⊥，∴·＝0，·＝0，又·＝｜｜｜｜cos（180°－120°）＝×1×2＝1.∴＝1＋2＋4＋2×1＝9，∴｜｜＝3.
11.B　由题意，设＝λ，其中λ∈[0，1]，·＝·（＋）＝·（＋λ）＝＋λ·＝＋λ·（－）＝（1－λ）＝1－λ∈[0，1].因此·的取值范围是[0，1].
12.AB　由向量的加法运算得到＋＋＝，∵A1C2＝3A1，∴＝3，故A正确；∵－＝，AB1⊥A1C，∴·＝0，故B正确；∵△ACD1为等边三角形，∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的角为60°，但是向量与向量的夹角是120°，故C错误；∵AB⊥AA1，∴·＝0，故｜··｜＝0，故D错误.故选A、B.
13.　解析：因为＝x＋y＋（1－x－y），由共面向量定理可知，E，A，C，D1四点共面，即点E在平面ACD1上，所以｜｜的最小值即为点D到平面ACD1的距离d，由正方体的棱长为1，可得△ACD1是边长为的等边三角形，则＝×（）2×sin＝，S△ACD＝×1×1＝，由等积法可得＝，所以×d＝××1，解得d＝，所以｜｜的最小值为.
14.解：（1）因为正四面体ABCD的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中其所在棱的中点，＝a，＝b，＝c，
所以＝＝（－）＝（b－a），
＝＝c，
所以＝＋＋＝－（b－a）－a＋c＝（c－a－b），
所以｜｜2＝（c－a－b）2＝（c2＋a2＋b2－2a·c＋2a·b－2b·c）＝（1＋1＋1－2×1×1×cos 60°＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°）＝，故｜｜＝.
（2）在正四面体ABCD中，＝（c－a－b），｜｜＝.
同理，＝（b＋c－a），｜｜＝.
所以cos＜，＞＝
＝＝[（c－a）2－b2]＝（c2＋a2－2c·a－b2）＝（1＋1－2×1×1×cos 60°－1）＝0，
所以与的夹角为90°.
15.ACD　对于选项A，设z轴正方向的方向向量为z＝（0，0，t）（t＞0），v与z轴正方向的夹角为α，则cos α＝＝＝，∴α＝，∴向量v与z轴正方向的夹角为定值（与c，d无关），故A正确；对于选项B，u·v＝ac＋bd≤＋＝＝1，当且仅当a＝c，b＝d时取等号，因此u·v的最大值为1，故B错误；对于选项C，由｜u·v｜≤1，得－1≤u·v≤1，∴cos＜u，v＞＝＝≥－＝－，∴u与v的夹角的最大值为，故C正确；对于选项D，ad＋bc≤＋＝＝1，当且仅当a＝d，b＝c时取等号，∴ad＋bc的最大值为1，故D正确.
1 / 1第5节　空间向量的概念与运算
1.理解（课标变化：了解→理解）空间向量的概念，掌握（课标变化：了解→掌握）空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.
知识梳理
1.空间向量及其有关概念
概念 语言描述
共线向量 （平行向量） 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合
共面向量 平行于　　　　　　　的向量
共线向量定理 对任意两个空间向量a，b（b≠0），a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb
共面向量定理 如果两个向量a，b　　　　　，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使p＝xa＋yb
空间向 量基本 定理及 推论 定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得p＝　　　　　　. 推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的有序实数组（x，y，z），使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝　
2.空间向量的数量积及坐标运算
（1）两个非零空间向量的数量积
①a·b＝　　　　　　　；
②a⊥b a·b＝0；
③设a＝（x，y，z），则｜a｜2＝a2，｜a｜＝.
（2）空间向量运算的坐标表示
a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），λ∈R
向量和 a＋b＝（a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3）
向量差 a－b＝（a1－b1，a2－b2，a3－b3）
数乘向量 λa＝（λa1，λa2，λa3）
数量积 a·b＝　　　　　　　
共线 a∥b a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（b≠0）
垂直 a⊥b 　　　　　　＝0（a≠0，b≠0）
夹角公式 cos＜a，b＞＝
空间中三点共线、四点共面的充要条件 （1）在平面中A，B，C三点共线 ＝x＋y（其中x＋y＝1），O为平面内任意一点； （2）在空间中P，A，B，C四点共面 ＝x＋y＋z（其中x＋y＋z＝1），O为空间中任意一点.
诊断自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）空间中任意两个非零向量a，b共面.（　　）
（2）若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量.（　　）
（3）对于向量a，b，若a·b＝0，则一定有a＝0或b＝0.（　　）
（4）空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定是（0，b，c），b，c∈R.（　　）
2.已知向量a＝（2，－3，1），b＝（2，0，3），c＝（0，0，2），则a·（b＋c）＝（　　）
A.6　　　B.7　　　C.9　　　D.13
3.已知空间向量a＝（1，1，0），b＝（0，－1，4），则｜a＋b｜＝（　　）
A.15 B.
C.17 D.
4.如图，在三棱锥O-ABC中，＝，＝，若＝a，＝b，＝c，则＝　　　　.
5.在△ABC中，已知＝（2，4，0），＝（－1，3，0），则∠ABC＝　　　　.
空间向量的线性运算
（基础自学过关）
1.在空间四边形ABCD中，＝（－3，5，2），＝（－7，－1，－4），点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（　　）
A.（2，3，3） B.（－2，－3，－3）
C.（5，－2，1） D.（－5，2，－1）
2.〔多选〕（2026·山东济南模拟）如图所示，在四面体OABC中，点M是棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，＝，设＝a，＝b，＝c，则下列等式成立的是（　　）
A.＝b－c B.＝b＋c－a C.＝b－c－a D.＝a＋b＋c
3.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点，化简－－＝　　　　；用，，表示，则＝　　　　.
空间向量线性运算中的三个关键点
共线、共面向量定理的应用
（师生共研过关）
〔一题多解〕已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝（＋＋）.
（1）判断，，三个向量是否共面；
（2）判断点M是否在平面ABC内.
证明三点共线和空间四点共面的方法比较
训练1 （1）下列命题正确的是（　　）
A.若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B.向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面
C.若空间向量a，b，c不共面，则a，b，c都不为0
D.若a，b，c共面，则存在唯一的实数对（x，y），使得a＝xb＋yc
（2）若A（－1，2，3），B（2，1，4），C（m，n，1）三点共线，则m＋n＝（　　）
A.－3 B.－1
C.1 D.3
（3）已知空间中A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若＝6－4＋λ，则λ＝　　　　.
空间向量数量积的应用
（师生共研过关）
如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.
（1）求线段AC1的长；
（2）求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；
（3）求证：AA1⊥BD.
空间向量数量积的3个应用 （1）求夹角：设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝，进而可求两异面直线所成的角； （2）求长度（距离）：利用公式｜a｜2＝a·a，可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题； （3）解决垂直问题：利用a⊥b a·b＝0（a≠0，b≠0），可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.
训练2 （1）已知A（－1，2，1），B（－1，5，4），C（1，3，4），则在上的投影向量为（　　）
A.（0，2，2） B.（2，0，2）
C.（2，2，0） D.（0，0，2）
（2）（2026·南京六校第一次联考）已知：a2＋b2＋c2＝1，x2＋y2＋z2＝1，其中a，b，c，x，y，z均为实数.则ax＋by＋cz的取值范围为　　　　.
第5节　空间向量的概念与运算
【夯实必备知识】
知识梳理
1.同一个平面　不共线　xa＋yb＋zc　1
2.（1）①｜a｜｜b｜cos＜a，b＞　（2）a1b1＋a2b2＋a3b3　a1b1＋a2b2＋a3b3
诊断自测
1.（1）√　（2）×　（3）×　（4）√
2.C　3.D　4.a－b－c　5.
【研透核心考点】
考点1
1.B　2.BD
3.　＋＋　
考点2
【例1】　解：（1）由题知＋＋＝3，
所以－＝（－）＋（－），
即＝＋＝－－，所以，，共面.
（2）法一　由（1）知，，，共面且过同一点M，所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内.
法二　因为＝（＋＋）＝＋＋，且＋＋＝1，所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内.
训练1　（1）C　（2）A　（3）－2　
解析：（1）若b＝0，则满足a与b共线，b与c共线，但是a与c不一定共线，故A错误；因为向量是可以移动的量，所以向量a，b，c共面，但它们所在的直线不一定共面，故B错误；假设a，b，c至少有一个为0，则空间向量a，b，c共面，故假设不成立，故C正确；假设b＝0，若a，c共线，则存在无数个实数对（x，y），使得a＝xb＋yc，若a，c不共线，则不存在实数对（x，y），使得a＝xb＋yc，故D错误.
（2）∵＝（3，－1，1），＝（m＋1，n－2，－2），且A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使得＝λ，即（m＋1，n－2，－2）＝λ（3，－1，1）＝（3λ，－λ，λ），∴解得∴m＋n＝－3.
（3）＝6－4＋λ，即－＝6－4＋λ，整理得＝6－3＋λ，由A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，可得6－3＋λ＝1，解得λ＝－2.
考点3
【例2】　解：（1）设＝a，＝b，＝c，
则｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1.
因为＝＋＋＝a＋b＋c，
所以｜｜＝｜a＋b＋c｜＝
＝
＝＝，所以线段AC1的长为.
（2）因为＝a＋b＋c，＝b－c，
所以·＝（a＋b＋c）·（b－c）＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋1－4＝－2，
｜｜＝｜b－c｜＝
＝
＝＝，
设异面直线AC1与A1D所成的角为θ，
则cos θ＝｜cos＜，＞｜
＝＝＝，
即异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为.
（3）证明：因为＝c，＝b－a，
所以·＝c·（b－a）＝c·b－c·a＝－1＋1＝0，即⊥，
所以AA1⊥BD.
训练2　（1）A　（2）[－1，1]
解析：（1）因为＝（2，1，3），＝（0，3，3），所以·＝0＋1×3＋3×3＝12.因为｜｜＝3，｜｜＝，所以cos＜，＞＝＝＝，所以在上的投影向量为｜｜cos＜，＞·＝××＝＝（0，2，2）.
（2）构造向量α＝（a，b，c），β＝（x，y，z），则由题设知｜α｜2＝1，｜β｜2＝1.令α，β的夹角为θ，则θ∈[0，π]，∴cos θ＝＝α·β＝ax＋by＋cz.∵－1≤cos θ≤1，∴－1≤ax＋by＋cz≤1.
1 / 1(共67张PPT)
第5节　空间向量的概念与运算
课标要求
1. 理解（课标变化：了解→理解）空间向量的概念，掌握（课标变化：了解→掌握）空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
2. 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.
3. 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.
目录/
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
课时跟踪检测
03
01
PART
夯实必备知识
知识梳理
1. 空间向量及其有关概念
概念 语言描述
共线向量 （平行向量） 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或
重合
共面向量 平行于 的向量
共线向 量定理 对任意两个空间向量a，b（b≠0），a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb
同一个平面　
概念 语言描述
共面向量定理 如果两个向量a，b ，那么向量p与向量a，b
共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使
p＝xa＋yb
空间向量基本 定理及推论 定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个
空间向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使
得p＝ .
推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC
内任一点P都存在唯一的有序实数组（x，y，z），使
＝x ＋y ＋z 且x＋y＋z＝
不共线　
xa＋yb＋zc　
1　
2. 空间向量的数量积及坐标运算
（1）两个非零空间向量的数量积
①a·b＝ ；
②a⊥b a·b＝0；
③设a＝（x，y，z），则｜a｜2＝a2，｜a｜＝ .
｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞　
（2）空间向量运算的坐标表示
a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），λ∈R
向量和 a＋b＝（a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3）
向量差 a－b＝（a1－b1，a2－b2，a3－b3）
数乘向量 λa＝（λa1，λa2，λa3）
数量积 a·b＝
a1b1＋a2b2＋a3b3　
a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），λ∈R
共线 a∥b a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（b≠0）
垂直 a⊥b ＝0（a≠0，b≠0）
夹角 公式 cos ＜a，b＞＝
a1b1＋a2b2＋a3b3　
空间中三点共线、四点共面的充要条件
（1）在平面中A，B，C三点共线 ＝x ＋y （其中x＋y＝
1），O为平面内任意一点；
（2）在空间中P，A，B，C四点共面 ＝x ＋y ＋z （其中
x＋y＋z＝1），O为空间中任意一点.
诊断自测
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）空间中任意两个非零向量a，b共面. （　√　）
（2）若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向
量. （　×　）
（3）对于向量a，b，若a·b＝0，则一定有a＝0或b＝0. （　×　）
（4）空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定是（0，b，c），
b，c∈R. （　√　）
√
×
×
√
2. 已知向量a＝（2，－3，1），b＝（2，0，3），c＝（0，0，2），则
a·（b＋c）＝（　　）
A. 6 B. 7 C. 9 D. 13
√
解析： 　因为a＝（2，－3，1），b＋c＝（2，0，5），所以a·（b＋
c）＝2×2＋（－3）×0＋1×5＝9.
3. 已知空间向量a＝（1，1，0），b＝（0，－1，4），则｜a＋b｜＝
（　　）
A. 15 B.
C. 17 D.
√
解析： 　a＋b＝（1，1，0）＋（0，－1，4）＝（1，0，4），所以｜
a＋b｜＝ ＝ .故选D.
4. 如图，在三棱锥O-ABC中， ＝ ， ＝ ，若 ＝a，
＝b， ＝c，则 ＝ .
解析： ＝ ＋ ＋ ＝－ － ＋ ＝－ （ － ）－
＋ ＝ － － ＝ a－ b－ c.
a－ b－ c　
5. 在△ABC中，已知 ＝（2，4，0）， ＝（－1，3，0），则
∠ABC＝ .
解析： cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝
＝ ，因为＜ ， ＞∈（0，π），所以＜ ， ＞＝ ，
所以∠ABC＝π－ ＝ .
　
02
PART
研透核心考点
空间向量的线性运算（基础自学过关）
1. 在空间四边形ABCD中， ＝（－3，5，2）， ＝（－7，－1，－
4），点E，F分别为线段BC，AD的中点，则 的坐标为（　　）
A. （2，3，3） B. （－2，－3，－3）
C. （5，－2，1） D. （－5，2，－1）
√
解析： 　因为点E，F分别为线段BC，AD的中点，设O为坐标原点，
所以 ＝ － ， ＝ （ ＋ ）， ＝ （ ＋ ）.所以
＝ （ ＋ ）－ （ ＋ ）＝ （ ＋ ）＝ ×[（3，－
5，－2）＋（－7，－1，－4）]＝ ×（－4，－6，－6）＝（－2，－3，
－3）.故选B.
2. 〔多选〕（2026·山东济南模拟）如图所示，在四面体OABC中，点M
是棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，
＝ ，设 ＝a， ＝b， ＝c，则下列等式成立的是（　　）
A. ＝ b－ c
B. ＝ b＋ c－a
C. ＝ b－ c－ a
D. ＝ a＋ b＋ c
√
√
解析： 对于A，利用向量的平行四边形法则， ＝ ＋ ＝
b＋ c，故A错误；对于B，利用向量的平行四边形法则和三角形法则，得
＝ － ＝ － ＝ （ ＋ ）－ ＝ ＋ －
＝ b＋ c－a，故B正确；对于C，因为点P在线段AN上，且AP＝
3PN，所以 ＝ ＝ ×（ b＋ c－a）＝ b＋ c－ a，故C错
误；对于D， ＝ ＋ ＝a＋ b＋ c－ a＝ a＋ b＋ c，故D正
确.故选B、D.
3. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点，化简 －
－ ＝ 　 　；用 ， ， 表示 ，则 ＝ 　 ＋
.
　
＋
＋ 　
解析： － － ＝ － （ ＋ ）＝ － ＝ ＋
＝ .因为 ＝ ＝ （ ＋ ），所以 ＝ ＋ ＝
（ ＋ ）＋ ＝ ＋ ＋ .
空间向量线性运算中的三个关键点
共线、共面向量定理的应用（师生共研过关）
〔一题多解〕已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点
O，若点M满足 ＝ （ ＋ ＋ ）.
（1）判断 ， ， 三个向量是否共面；
解： 由题知 ＋ ＋ ＝3 ，
所以 － ＝（ － ）＋（ － ），
即 ＝ ＋ ＝－ － ，所以 ， ， 共面.
（2）判断点M是否在平面ABC内.
解： 法一　由（1）知， ， ， 共面且过同一点M，所以M，
A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内.
法二　因为 ＝ （ ＋ ＋ ）＝ ＋ ＋ ，且 ＋ ＋
＝1，所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内.
证明三点共线和空间四点共面的方法比较
训练1 （1）下列命题正确的是（　C　）
A. 若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B. 向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面
C. 若空间向量a，b，c不共面，则a，b，c都不为0
D. 若a，b，c共面，则存在唯一的实数对（x，y），使得a＝xb＋yc
C
解析： 若b＝0，则满足a与b共线，b与c共线，但是a与c不一定共线，
故A错误；因为向量是可以移动的量，所以向量a，b，c共面，但它们所
在的直线不一定共面，故B错误；假设a，b，c至少有一个为0，则空间向
量a，b，c共面，故假设不成立，故C正确；假设b＝0，若a，c共线，
则存在无数个实数对（x，y），使得a＝xb＋yc，若a，c不共线，则不
存在实数对（x，y），使得a＝xb＋yc，故D错误.
（2）若A（－1，2，3），B（2，1，4），C（m，n，1）三点共线，
则m＋n＝（　A　）
A. －3 B. －1
C. 1 D. 3
A
解析：∵ ＝（3，－1，1）， ＝（m＋1，n－2，－2），且A，
B，C三点共线，∴存在实数λ，使得 ＝λ ，即（m＋1，n－2，－
2）＝λ（3，－1，1）＝（3λ，－λ，λ），∴ 解得
∴m＋n＝－3.
（3）已知空间中A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，设
P为空间中任意一点，若 ＝6 －4 ＋λ ，则λ＝ .
解析： ＝6 －4 ＋λ ，即 － ＝6 －4 ＋λ ，整理
得 ＝6 －3 ＋λ ，由A，B，C，D四点共面，且其中任意三点
均不共线，可得6－3＋λ＝1，解得λ＝－2.
－2　
空间向量数量积的应用（师生共研过关）
如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的
正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.
（1）求线段AC1的长；
解： 设 ＝a， ＝b， ＝c，
则｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1× cos 120°
＝－1.
因为 ＝ ＋ ＋ ＝a＋b＋c，
所以｜ ｜＝｜a＋b＋c｜＝
＝
＝ ＝ ，所以线段AC1的长为 .
（2）求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；
解：因为 ＝a＋b＋c， ＝b－c，
所以 · ＝（a＋b＋c）·（b－c）＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋1
－4＝－2，
｜ ｜＝｜b－c｜＝ ＝
＝ ＝ ，
设异面直线AC1与A1D所成的角为θ，
则 cos θ＝｜ cos ＜ ， ＞｜＝ ＝ ＝ ，
即异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为 .
（3）求证：AA1⊥BD.
解：证明：因为 ＝c， ＝b－a，
所以 · ＝c·（b－a）＝c·b－c·a＝－1＋1＝0，即 ⊥ ，
所以AA1⊥BD.
空间向量数量积的3个应用
（1）求夹角：设向量a，b的夹角为θ，则 cos θ＝ ，进而可求两
异面直线所成的角；
（2）求长度（距离）：利用公式｜a｜2＝a·a，可将线段长度的计算问
题转化为向量数量积的计算问题；
（3）解决垂直问题：利用a⊥b a·b＝0（a≠0，b≠0），可将垂直问
题转化为向量数量积的计算问题.
训练2 （1）已知A（－1，2，1），B（－1，5，4），C（1，3，4），
则 在 上的投影向量为（　A　）
A. （0，2，2） B. （2，0，2）
C. （2，2，0） D. （0，0，2）
解析： 因为 ＝（2，1，3）， ＝（0，3，3），所以 · ＝0＋
1×3＋3×3＝12.因为｜ ｜＝3 ，｜ ｜＝ ，所以 cos ＜ ，
＞＝ ＝ ＝ ，所以 在 上的投影向量为｜
｜ cos ＜ ， ＞· ＝ × × ＝ ＝（0，2，2）.
A
（2）（2026·南京六校第一次联考）已知：a2＋b2＋c2＝1，x2＋y2＋z2＝
1，其中a，b，c，x，y，z均为实数.则ax＋by＋cz的取值范围为
.
解析： 构造向量α＝（a，b，c），β＝（x，y，z），则由题设知｜α｜
2＝1，｜β｜2＝1.令α，β的夹角为θ，则θ∈[0，π]，∴ cos θ＝
＝α·β＝ax＋by＋cz.∵－1≤ cos θ≤1，∴－1≤ax＋by＋cz≤1.
[－
1，1]　
03
PART
课时跟踪检测
（时间：60分钟，满分：96分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1. （2026·湖北武汉二调）在三棱柱ABC-A1B1C1中，设 ＝a， ＝
b， ＝c，M，N分别为AB，CC1的中点，则 ＝（　　）
A. a＋ b＋c B. a－ b＋c
C. a－ b＋ c D. a＋ b＋c
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√
解析： 　在三棱柱ABC-A1B1C1中， ＝ ＋ ＋ ＝－ ＋
＋ ＝ a－ b＋c.故选B.
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2. 已知a＝（2，1，－3），b＝（－1，2，3），c＝（7，6，λ），若
a，b，c共面，则λ＝（　　）
A. 9 B. －9
C. －3 D. 3
√
解析： 　由题意知c＝xa＋yb，即（7，6，λ）＝x（2，1，－3）＋y
（－1，2，3），∴ 解得λ＝－9.
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3. 已知向量a＝（1，2，3），b＝（－2，－4，－6），｜c｜＝ ，
若（a＋b）·c＝7，则a与c的夹角为（　　）
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
√
解析： 由于a＋b＝（－1，－2，－3）＝－a，故（a＋b）·c＝－
a·c＝7，即a·c＝－7.又因为｜a｜＝ ＝ ，所以 cos ＜
a，c＞＝ ＝－ ，所以＜a，c＞＝120°.故选C.
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4. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面
的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥P-ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD，且
EC＝2PE，若 ＝x ＋y ＋z ，则x＋y＋z＝（　　）
A. 1 B. 2
C. D.
√
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解析： 　∵EC＝2PE，∴ ＝ ，∴ ＝ － ＝ ＋ －
＝ ＋ － ＝ ＋ （ － ）－ ＝ ＋ －
＝ ＋ － ＝ ＋ －（ － ）＝ － ＋ ，
∴x＝1，y＝－ ，z＝ ，∴x＋y＋z＝1，故选A.
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5. 在正三棱锥P-ABC中，O是△ABC的中心，PA＝AB＝2，则 ·
＝（　　）
A. B.
C. D.
√
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解析： 　∵P-ABC为正三棱锥，O为△ABC的中心，∴PO⊥平面
ABC，∴PO⊥AO，∴ · ＝0，｜AO｜＝ ·｜AB｜· sin 60°＝
，故 · ＝ ·（ ＋ ）＝｜ ｜2＝｜ ｜2－｜ ｜2＝4
－ ＝ .故选D.
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6. 〔多选〕下列说法中正确的是（　　）
A. 若p与a，b共面，则p＝xa＋yb
B. 若 ＝x ＋y ，则P，M，A，B共面
C. 若P，M，A，B共面，则 ＝x ＋y
D. 若P，A，B，C为空间四点，且有 ＝λ ＋μ （ ， 不共
线），则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件
√
√
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解析： 　A项，若a，b共线，p与a不共线，则p＝xa＋yb就不成立；
B正确；C项，若M，A，B共线，点P不在此直线上，则 ＝x ＋
y 不成立；D项，若P，A，B，C为空间四点，且有 ＝λ ＋μ
（ ， 不共线），当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得 － ＝λ（
－ ），即 ＝λ ，所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ
＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D正确.故选B、D.
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7. 已知A（1，－2，11），B（4，2，3），C（x，y，15）三点共线，
则xy＝ .
解析：由题意知 ＝（3，4，－8）， ＝（x－1，y＋2，4），由三
点共线得向量 与 共线，即 ＝ ＝ ，解得x＝－ ，y＝－4，
∴xy＝2.
2　
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8. 在空间直角坐标系O-xyz中，已知点A（1，0，2），B（0，2，1），
点C，D分别在x轴，y轴上，且AD⊥BC，那么｜ ｜的最小值
是 .
　
解析：设C（x，0，0），D（0，y，0），因为A（1，0，2），B（0，
2，1），所以 ＝（－1，y，－2）， ＝（x，－2，－1）.因为
AD⊥BC，所以 · ＝－x－2y＋2＝0，即x＋2y＝2.因为 ＝（－
x，y，0），所以｜ ｜＝ ＝ ＝
＝ ≥ .
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9. （13分）已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，
0，4），设a＝ ，b＝ .
（1）若｜c｜＝3，且c∥ ，求c；
解： ∵c∥ ，∴c＝m ＝m（－2，－1，2）＝（－2m，－m，
2m），
∴｜c｜＝ ＝3｜m｜＝3，
∴m＝±1，
∴c＝（－2，－1，2）或c＝（2，1，－2）.
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（2）求a与b夹角的余弦值；
解： ∵a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），
∴a·b＝（1，1，0）·（－1，0，2）＝－1，
又｜a｜＝ ＝ ，
｜b｜＝ ＝ ，
∴ cos ＜a，b＞＝ ＝ ＝－ ，
∴a与b夹角的余弦值为－ .
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（3）若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值.
解： ∵ka＋b＝（k－1，k，2），ka－2b＝（k＋2，k，－4），
ka＋b与ka－2b互相垂直，
∴（k－1，k，2）·（k＋2，k，－4）＝（k－1）（k＋2）＋k2－8＝0，
∴k＝2或k＝－ ，
即当ka＋b与ka－2b互相垂直时，k＝2或k＝－ .
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10. （2026·浙江宁波模拟）如图，在一个120°的二面角的棱上有两点
A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB垂
直，若AB＝ ，AC＝1，BD＝2，则CD的长为（　　）
A. 2 B. 3
C. 2 D. 4
√
解析： ∵ ＝ ＋ ＋ ，∴ ＝ ＋ ＋ ＋
2 · ＋2 · ＋2 · ，∵ ⊥ ， ⊥ ，∴ · ＝
0， · ＝0，又 · ＝｜ ｜｜ ｜ cos （180°－120°）＝
×1×2＝1.∴ ＝1＋2＋4＋2×1＝9，∴｜ ｜＝3.
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11. 如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1
上运动，则 · 的取值范围为　（　　）
A. ［0， ］ B. [0，1]
C. ［ ，1］ D. ［ ，1］
√
解析： 　由题意，设 ＝λ ，其中λ∈[0，1]， · ＝ ·（
＋ ）＝ ·（ ＋λ ）＝ ＋λ · ＝ ＋λ ·（ －
）＝（1－λ） ＝1－λ∈[0，1].因此 · 的取值范围是[0，1].
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12. 〔多选〕已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则下列说法中正确的是
（　　）
A. （ ＋ ＋ ）2＝3
B. ·（ － ）＝0
C. 向量 与向量 的夹角是60°
D. 正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为｜ · · ｜
√
√
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解析： 　由向量的加法运算得到 ＋ ＋ ＝ ，∵A1C2＝
3A1 ，∴ ＝3 ，故A正确；∵ － ＝ ，
AB1⊥A1C，∴ · ＝0，故B正确；∵△ACD1为等边三角形，
∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的角为
60°，但是向量 与向量 的夹角是120°，故C错误；∵AB⊥AA1，
∴ · ＝0，故｜ · · ｜＝0，故D错误.故选A、B.
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13. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，且满足 ＝x ＋y ＋
（1－x－y） ，则｜ ｜的最小值是 　 　.
解析：因为 ＝x ＋y ＋（1－x－y） ，由共面向量定理可
知，E，A，C，D1四点共面，即点E在平面ACD1上，所以｜ ｜的最
小值即为点D到平面ACD1的距离d，由正方体的棱长为1，可得△ACD1是
边长为 的等边三角形，则 ＝ ×（ ）2× sin ＝ ，S△ACD
＝ ×1×1＝ ，由等积法可得 ＝ ，所以 × d
＝ × ×1，解得d＝ ，所以｜ ｜的最小值为 .
　
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14. （15分）如图，正四面体ABCD的棱长为1，E，F，G，H分别是正
四面体ABCD中其所在棱的中点，设 ＝a， ＝b， ＝c，试用向
量法解决下列问题：
（1）求 的模；
解： 因为正四面体ABCD的棱长为1，E，F，G，
H分别是正四面体ABCD中其所在棱的中点， ＝a，
＝b， ＝c，
所以 ＝ ＝ （ － ）＝ （b－a）， ＝ ＝ c，
所以 ＝ ＋ ＋ ＝－ （b－a）－a＋ c＝
（c－a－b），
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所以｜ ｜2＝ （c－a－b）2＝ （c2＋a2＋b2－2a·c＋2a·b－2b·c）
＝ （1＋1＋1－2×1×1× cos 60°＋2×1×1× cos 60°－2×1×1× cos
60°）＝ ，故｜ ｜＝ .
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（2）求 与 的夹角.
解： 在正四面体ABCD中， ＝ （c－a－
b），｜ ｜＝ .
同理， ＝ （b＋c－a），｜ ｜＝ .
所以 cos ＜ ， ＞＝
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＝ ＝ [（c－a）2－b2]＝ （c2＋a2－2c·a－
b2）＝ （1＋1－2×1×1× cos 60°－1）＝0，
所以 与 的夹角为90°.
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15. 〔创新设问〕〔多选〕设向量u＝（a，b，0），v＝（c，d，1），
其中a2＋b2＝c2＋d2＝1，则下列判断正确的是（　　）
A. 向量v与z轴正方向的夹角为定值（与c，d无关）
B. u·v的最大值为
C. u与v的夹角的最大值为
D. ad＋bc的最大值为1
√
√
√
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解析： 　对于选项A，设z轴正方向的方向向量为z＝（0，0，t）（t
＞0），v与z轴正方向的夹角为α，则 cos α＝ ＝ ＝ ，
∴α＝ ，∴向量v与z轴正方向的夹角为定值 （与c，d无关），故A正
确；对于选项B，u·v＝ac＋bd≤ ＋ ＝ ＝1，
当且仅当a＝c，b＝d时取等号，因此u·v的最大值为1，故B错误；
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对于选项C，由｜u·v｜≤1，得－1≤u·v≤1，∴ cos ＜u，v＞＝
＝ ≥－ ＝－ ，∴u与v的夹角的最大值为
，故C正确；对于选项D，ad＋bc≤ ＋ ＝
＝1，当且仅当a＝d，b＝c时取等号，∴ad＋bc的最大值为1，故D正确.
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