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第6节　用空间向量研究线、面位置关系及距离
（时间：60分钟，满分：95分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1.若M（1，0，－1），N（2，1，2）在直线l上，则直线l的一个方向向量是（　　）
A.（2，2，6） B.（1，2，3）
C.（3，1，1） D.（－3，0，1）
2.已知A（3，2，0），B（0，4，0），C（3，0，2），则平面ABC的一个法向量是（　　）
A.（1，1，1） B.（2，2，3）
C.（2，3，3） D.（，－，）
3.已知经过点M（2，－1，1）的平面α的一个法向量为n＝（－1，－2，3），则点N（0，－2，2）到平面α的距离为（　　）
A. B.
C. D.
4.已知点A（1，0，2），B（－1，1，2），C（1，1，－2），则△ABC的面积为（　　）
A. B.2
C.5 D.1
5.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2AB＝2，E为AB的中点，F为线段BB1上一点，且A1C⊥EF，则＝（　　）
A.10 B.12
C.15 D.20
6.〔多选〕如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则下列选项正确的为（　　）
A.EF∥BD1
B.EF⊥A1D
C.EF＝
D.点F到平面ABD1的距离为
7.在空间直角坐标系中，a＝（1，2，1）为直线l的一个方向向量，n＝（2，t，4）为平面α的一个法向量，且l∥α，则t＝　　　　.
8.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面AB1C与平面A1C1D间的距离是　　　　.
9.（13分）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点.
证明：（1）B1D⊥平面ABD；
（2）平面EGF∥平面ABD.
10.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，以CD，CB，CE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，若AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为（　　）
A.（1，1，1） B.
C. D.
11.生活中的建筑模型多与立体几何中的图形有关联，既呈现对称美，也具有稳定性.已知某凉亭的顶部可视为如图所示的正四棱锥S-ABCD，其所有棱长都为6，AC，BD交于点O，点E在线段SC上，且CE＝SC，则△SAD的重心G到直线OE的距离为（　　）
A. B.
C. D.
12.〔多选〕如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝3，点M，N分别在棱AB和BB1上运动（不含端点）.若D1M⊥MN，则下列结论正确的是（　　）
A.MN⊥A1M
B.MN⊥平面D1MC
C.线段BN长度的最大值为
D.三棱锥C1-A1D1M体积为定值
13.如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）.若AM⊥MP，则点P在圆锥底面上形成的轨迹的长度为　　　　.
14.（15分）（2026·海南海口模拟）如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠CBA＝∠CBD＝120°，点M，N分别在直线AB和CD上移动.
（1）证明：AD⊥BC；
（2）当MN的长最小时，求点M到直线CD的距离.
15.〔创新定义〕定义：与两条异面直线都垂直相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，公垂线被这两条异面直线截取的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离，公垂线段的长度可以看作是：分别连接两异面直线上两点，所得连线的向量在公垂线的方向向量上的投影向量的长度.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，MN是异面直线AC与C1D的公垂线段，则MN的长为（　　）
A.　　　　　　　　　　B.　　　　　　　　　　C.　　　　　　　　　　D.
第6节　用空间向量研究线、面位置关系及距离
1.A　2.C　3.B　4.A　5.C　6.ABD　
7.－3　8.　
9.证明：（1）以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则B（0，0，0），D（0，2，2），B1（0，0，4），设BA＝a，则A（a，0，0），
所以＝（a，0，0），＝（0，2，2），＝（0，2，－2），
·＝0，·＝0＋4－4＝0，即B1D⊥BA，B1D⊥BD.
又BA∩BD＝B，BA，BD 平面ABD，因此B1D⊥平面ABD.
（2）由（1）知，E（0，0，3），G（，1，4），F（0，1，4），
则＝（，1，1），＝（0，1，1），·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0，
即B1D⊥EG，B1D⊥EF.又EG∩EF＝E，EG，EF 平面EGF，因此B1D⊥平面EGF.
结合（1）可知平面EGF∥平面ABD.
10.C　由已知得A（，，0），B（0，，0），D（，0，0），E（0，0，1）.设M（x，x，1），则＝（x－，x－，1），＝（，－，0），＝（0，－，1）.设平面BDE的法向量为n＝（a，b，c），则即解得取b＝1，则n＝（1，1，）.又AM∥平面BDE，所以n·＝0，即2（x－）＋＝0，得x＝，所以M点的坐标为.故选C.
11.B　以O为原点，OA，OB，OS分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为所有棱长都为6，所以OA＝3，SO＝＝3，所以O（0，0，0），A（3，0，0），D（0，－3，0），S（0，0，3），C（－3，0，0），因为G为△SAD的重心，所以G（，－，）.设E（x，y，z），则＝（x＋3，y，z），因为＝，＝（3，0，3），所以 即E（－2，0，）.因为＝（－2，0，），＝（，－，），则G到直线OE的距离d＝＝＝.故选B.
12.ACD　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以点D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则A1（3，0，3），D1（0，0，3），C（0，3，0），B（3，3，0），设M（3，y，0），N（3，3，z），y，z∈（0，3），故＝（3，y，－3），＝（0，3－y，z），又D1M⊥MN，则·＝y（3－y）－3z＝0，即z＝y（3－y）.对于A选项，＝（0，y，－3），则·＝y（3－y）－3z＝0，故⊥，即MN⊥A1M，A正确；对于B选项，＝（3，y－3，0），·＝（y－3）（3－y）＝－（3－y）2＜0，即CM与MN不垂直，
从而MN与平面D1MC不垂直，B不正确；对于C选项，＝（0，0，z），则线段BN的长度｜｜＝z＝［－（y－）2＋］≤，当且仅当y＝时等号成立，C正确；对于D选项，不论点M如何移动，点M到平面A1D1C1的距离均为3，而＝＝·3·＝，所以三棱锥C1-A1D1M体积为定值，D正确.故选A、C、D.
13.　解析：如图，以O为原点，OB，OS所在直线为y，z轴，圆锥底面垂直于OB的直线为x轴，建立空间直角坐标系，则A（0，－1，0），S（0，0，），M（0，0，），设P（x，y，0），－1≤x≤1，－1≤y≤1，则＝（0，1，），＝（x，y，－）.由于AM⊥MP，所以（0，1，）·（x，y，－）＝0，即y＝，此为点P的轨迹方程，其在底面圆内的长度为2＝.
14.解：（1）证明：依题意，由平面ABC⊥平面BCD，得以B点为坐标原点，以BC所在直线为y轴，
分别在平面BCD、平面ABC内过点B作垂直于BC的直线为x，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
∵AB＝BC＝BD＝2，∠CBA＝∠CBD＝120°，
∴B（0，0，0），A（0，－1，），C（0，2，0），D（，－1，0），
＝（，0，－），＝（0，2，0），
则·＝0，∴⊥，故AD⊥BC.
（2）设＝λ，＝μ，则＝＋＝＋μ，
则M（0，－λ，λ），N（μ，2－3μ，0），
∴｜｜2＝（μ－0）2＋（2－3μ＋λ）2＋（0－λ）2
＝（2λ－μ＋1）2＋（μ－）2＋，
当即时，MN的长最小值为，
此时＝（，，），＝（，－3，0），
∴·＝0，即⊥，
故MN⊥CD，又点N在直线CD上，
因此当MN的长最小时，点M到直线CD的距离为.
15.C　如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.由题意得A（0，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），C1（1，1，1），则＝（1，1，0），＝（1，0，1），＝（0，1，0）.设异面直线AC与DC1的公垂线的方向向量n＝（x，y，z），则即令x＝1，得y＝－1，z＝－1，∴n＝（1，－1，－1），
∴异面直线AC与DC1之间的距离MN＝＝＝.故选C.
1 / 1第6节　用空间向量研究线、面位置关系及距离
1.理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中的线面位置关系. 2.能用向量方法解决空间中点到直线以及点到平面的距离问题.
知识梳理
1.直线的方向向量与平面的法向量
（1）直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，称此向量a为直线l的方向向量；
（2）平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，称向量a为平面α的法向量.
2.空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2 l1∥l2 u1∥u2 λ∈R，使得u1＝λu2
l1⊥l2 u1⊥u2 　　　　＝0
直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n l∥α u⊥n u·n＝0
l⊥α u∥n λ∈R，使得u＝λn
平面α，β的法向量分别为n1，n2 α∥β n1∥n2 λ∈R，使得n1＝λn2
α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0
3.空间距离
（1）两点的距离：设点A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则AB＝｜｜＝；
（2）点到直线的距离：设＝a，直线l的一个单位方向向量为u，则向量在直线l上的投影向量＝　　　　　.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝ ＝；
（3）点到平面的距离：
已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度.因此PQ＝＝　　　　　　；
（4）直线到平面的距离、平面到平面的距离都可以转化为点到平面的距离.
诊断自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）直线的方向向量是唯一确定的.（　　）
（2）若一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行.（　　）
（3）两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直.（　　）
（4）平面α外一点A到平面α的距离，就是点A与平面α内一点B所成向量的长度.（　　）
2.（2026·重庆调研）已知向量a＝（2，4，5），b＝（3，x，y）分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则（　　）
A.x＝6，y＝15　　　B.x＝3，y＝
C.x＝3，y＝15 D.x＝6，y＝
3.（2026·江苏南京、盐城质检）已知平面α内有两点M（1，－1，2），N（a，3，3），平面α的一个法向量为n＝（6，－3，6），则a＝（　　）
A.4 B.3
C.2 D.1
4.平面α的法向量为n＝（1，－1，2），＝（2，0，－1），那么直线AB与平面α的位置关系是　　　　　　　　.
5.已知直线l过定点A（2，3，1），且n＝（0，1，1）为其一个方向向量，则点P（4，3，2）到直线l的距离为　　　　.
向量法证明平行、垂直
（师生共研过关）
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点.证明：
（1）BE⊥DC；
（2）BE∥平面PAD；
（3）平面PCD⊥平面PAD.
利用空间向量证明平行、垂直的一般步骤
训练1 如图，在多面体ABC-A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝AB，B1C1∥BC且B1C1＝BC，二面角A1-AB-C是直二面角.求证：
（1）A1B1⊥平面AA1C；
（2）AB1∥平面A1C1C.
空间距离
（定向精析突破）
考向1　点到直线的距离
〔一题多解〕如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点，△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA.当AO＝1时，则点E到直线BC的距离为　　　　.
听课记录
点线距的求解步骤 　　直线的单位方向向量a→所求点到直线上一点的向量及其在直线的方向向量a上的投影向量→代入公式.
考向2　点到平面的距离
已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点.
（1）求点D到平面PEF的距离；
（2）求直线AC到平面PEF的距离.
利用向量法求点B到平面α的距离的步骤
训练2 如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点.
（1）求点N到直线AB的距离；
（2）求点C1到平面ABN的距离.
第6节　用空间向量研究线、面位置关系及距离
【夯实必备知识】
知识梳理
2.u1·u2
3.（2）（a·u）u　（3）
诊断自测
1.（1）×　（2）×　（3）√　（4）×
2.D　3.C　4.AB∥α或AB α　　5.
【研透核心考点】
考点1
【例1】　证明：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系（如图），
可得B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）.
由E为棱PC的中点，得E（1，1，1）.
（1）＝（0，1，1），＝（2，0，0），
故·＝0，所以BE⊥DC.
（2）因为AB⊥AD，PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，
所以AB⊥PA，又PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，
所以AB⊥平面PAD，
所以＝（1，0，0）为平面PAD的一个法向量，而·＝（0，1，1）·（1，0，0）＝0，
所以BE⊥AB，
又BE 平面PAD，所以BE∥平面PAD.
（3）由（2）知平面PAD的法向量为＝（1，0，0），＝（0，2，－2），＝（2，0，0），
设平面PCD的一个法向量为n＝（x，y，z），
则即
不妨令y＝1，可得n＝（0，1，1）为平面PCD的一个法向量，
则n·＝（0，1，1）·（1，0，0）＝0，
所以n⊥，
所以平面PCD⊥平面PAD.
训练1　证明：由二面角A1-AB-C是直二面角，四边形A1ABB1为正方形，可得AA1⊥平面ABC.
又∵AB＝AC，BC＝AB，∴AB2＋AC2＝BC2，
∴∠CAB＝90°，故CA⊥AB，
∴AB，AC，AA1两两互相垂直.
以A为坐标原点，AC，AB，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设AB＝2，则A（0，0，0），B（0，2，0），A1（0，0，2），C（2，0，0），C1（1，1，2），B1（0，2，2）.
（1）＝（0，2，0），＝（0，0，－2），＝（2，0，0），
设平面AA1C的一个法向量为n＝（x，y，z），则即即取y＝1，则n＝（0，1，0），
∴＝2n，即∥n，∴A1B1⊥平面AA1C.
（2）易知＝（0，2，2），＝（1，1，0），＝（2，0，－2），设平面A1C1C的一个法向量为m＝（x1，y1，z1），
则即取x1＝1，
则y1＝－1，z1＝1，即m＝（1，－1，1），
∴·m＝0×1＋2×（－1）＋2×1＝0，∴⊥m.又AB1 平面A1C1C，∴AB1∥平面A1C1C.
考点2
【例2】　　解析：因为AB＝AD，O为BD的中点，所以AO⊥BD，因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以AO⊥平面BCD，取OD的中点F，连接CF，因为△OCD为正三角形，所以CF⊥OD，过点O作OM∥CF交BC于点M，则OM⊥OD，所以OM，OD，OA两两垂直，以点O为坐标原点，分别以OM，OD，OA所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则B（0，－1，0），C（，，0），E（0，，），
则＝（，，0），＝（0，，），
法一　所以点E到直线BC的距离d＝
＝＝.
法二　所以｜cos＜，＞｜＝＝＝，则sin＜，＞＝，所以点E到直线BC的距离为｜｜sin＜，＞＝×＝.
【例3】　解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
则D（0，0，0），P（0，0，1），A（1，0，0），C（0，
1，0），E（1，，0），F（，1，0）.
∴＝（1，，－1），＝（－，，0），＝（0，0，1）.
设平面PEF的法向量为n＝（x，y，z），
则有

令x＝1，则n＝（1，1，），
∴点D到平面PEF的距离
d＝＝＝.
（2）∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴EF∥AC，又EF 平面PEF，AC 平面PEF，
∴AC∥平面PEF，故直线AC到平面PEF的距离等于点A到平面PEF的距离.
∵＝（0，，0），平面PEF的一个法向量为n＝（1，1，），
∴点A到平面PEF的距离
d1＝＝＝，
∴直线AC到平面PEF的距离为.
训练2　解：建立如图
所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），C1（0，4，4），A1（0，0，4），
∵N是CC1的中点，
∴N（0，4，2）.
（1）＝（0，4，2），＝（2，2，0），则｜｜＝2，｜｜＝4，·＝8.
设点N到直线AB的距离为d1，
则d1＝＝＝4.
（2）设平面ABN的一个法向量为n＝（x，y，z），由n⊥，n⊥，得令z＝2，则y＝－1，x＝，即n＝（ ，－1，2）.
易知＝（0，0，－2），设点C1到平面ABN的距离为d2，则d2＝｜｜＝＝.
1 / 1(共67张PPT)
第6节　用空间向量研究线、面位置关系及距离
课标要求
1. 理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中的线面位置关系.
2. 能用向量方法解决空间中点到直线以及点到平面的距离问题.
目录/
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
课时跟踪检测
03
01
PART
夯实必备知识
知识梳理
1. 直线的方向向量与平面的法向量
（1）直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l
平行或重合，称此向量a为直线l的方向向量；
（2）平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，称向量a为平面α
的法向量.
2. 空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l1，l2的方向
向量分别为u1，
u2 l1∥l2 u1∥u2 λ∈R，使得u1＝λu2
l1⊥l2 u1⊥u2 ＝0
直线l的方向向量
为u，平面α的法
向量为n l∥α u⊥n u·n＝0
l⊥α u∥n λ∈R，使得u＝λn
平面α，β的法向
量分别为n1，n2 α∥β n1∥n2 λ∈R，使得n1＝λn2
α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0
u1·u2　
3. 空间距离
（1）两点的距离：设点A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则AB＝｜
｜＝ ；
（2）点到直线的距离：
设 ＝a，直线l的一个单位方向向量为u，则向量 在
直线l上的投影向量 ＝ .在Rt△APQ中，
由勾股定理，得PQ＝ ＝ ；
（a·u）u　
（3）点到平面的距离：
已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P
作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平
面α的距离就是 在直线l上的投影向量 的长度.因此PQ＝
＝ ；
　
（4）直线到平面的距离、平面到平面的距离都可以转化为点到平面的距离.
诊断自测
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）直线的方向向量是唯一确定的. （　×　）
（2）若一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行.
（　×　）
（3）两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直. （　√　）
（4）平面α外一点A到平面α的距离，就是点A与平面α内一点B所成向量
的长度. （　×　）
×
×
√
×
2. （2026·重庆调研）已知向量a＝（2，4，5），b＝（3，x，y）分别
是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则（　　）
A. x＝6，y＝15
C. x＝3，y＝15
√
解析： 由题意得， ＝ ＝ ，∴x＝6，y＝ .
3. （2026·江苏南京、盐城质检）已知平面α内有两点M（1，－1，2），
N（a，3，3），平面α的一个法向量为n＝（6，－3，6），则a＝
（　　）
A. 4 B. 3
C. 2 D. 1
√
解析： 　因为M（1，－1，2），N（a，3，3），所以 ＝（a－1，
4，1），因为平面α的一个法向量为n＝（6，－3，6），所以n⊥ ，
则n· ＝6（a－1）－3×4＋6＝0，解得a＝2.
4. 平面α的法向量为n＝（1，－1，2）， ＝（2，0，－1），那么直线
AB与平面α的位置关系是 .
解析：因为 ·n＝0，所以 ⊥n，则AB∥α或AB α.
5. 已知直线l过定点A（2，3，1），且n＝（0，1，1）为其一个方向向
量，则点P（4，3，2）到直线l的距离为 .
解析： ＝（－2，0，－1），｜ ｜＝ ， ＝ ，则点P到
直线l的距离d＝ ＝ ＝ .
AB∥α或AB α
　
02
PART
研透核心考点
向量法证明平行、垂直（师生共研过关）
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，
AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点.证明：
（1）BE⊥DC；
证明：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系（如
图），
可得B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），
P（0，0，2）.
由E为棱PC的中点，得E（1，1，1）.
（1） ＝（0，1，1）， ＝（2，0，0），
故 · ＝0，所以BE⊥DC.
（2）BE∥平面PAD；
证明：因为AB⊥AD，PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，
所以AB⊥PA，又PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，
所以AB⊥平面PAD，
所以 ＝（1，0，0）为平面PAD的一个法向量，而 · ＝（0，1，
1）·（1，0，0）＝0，
所以BE⊥AB，
又BE 平面PAD，所以BE∥平面PAD.
（3）平面PCD⊥平面PAD.
证明：由（2）知平面PAD的法向量为 ＝（1，0，0）， ＝（0，2，
－2）， ＝（2，0，0），
设平面PCD的一个法向量为n＝（x，y，z），
则 即
不妨令y＝1，可得n＝（0，1，1）为平面PCD的一个法向量，
则n· ＝（0，1，1）·（1，0，0）＝0，
所以n⊥ ，
所以平面PCD⊥平面PAD.
利用空间向量证明平行、垂直的一般步骤
训练1 如图，在多面体ABC-A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝
AC，BC＝ AB，B1C1∥BC且B1C1＝ BC，二面角A1-AB-C是直二面
角.求证：
（1）A1B1⊥平面AA1C；
证明：由二面角A1-AB-C是直二面角，四边形A1ABB1为正
方形，可得AA1⊥平面ABC.
又∵AB＝AC，BC＝ AB，∴AB2＋AC2＝BC2，
∴∠CAB＝90°，故CA⊥AB，
∴AB，AC，AA1两两互相垂直.
以A为坐标原点，AC，AB，AA1所在直线分别为x轴，y
轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设AB＝2，则A（0，0，0），B（0，2，0），A1（0，0，
2），C（2，0，0），C1（1，1，2），B1（0，2，2）.
（1） ＝（0，2，0）， ＝（0，0，－2）， ＝（2，0，0），
设平面AA1C的一个法向量为n＝（x，y，z），则 即
即 取y＝1，则n＝（0，1，0），
∴ ＝2n，即 ∥n，∴A1B1⊥平面AA1C.
（2）AB1∥平面A1C1C.
证明：易知 ＝（0，2，2）， ＝（1，1，0）， ＝（2，0，－
2），设平面A1C1C的一个法向量为m＝（x1，y1，z1），
则 即 取x1＝1，
则y1＝－1，z1＝1，即m＝（1，－1，1），
∴ ·m＝0×1＋2×（－1）＋2×1＝0，∴ ⊥m.又AB1 平面
A1C1C，∴AB1∥平面A1C1C.
空间距离（定向精析突破）
考向1　点到直线的距离
〔一题多解〕如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，
AB＝AD，O为BD的中点，△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱
AD上，DE＝2EA. 当AO＝1时，则点E到直线BC的距离为 .
　
解析：因为AB＝AD，O为BD的中点，所以AO⊥BD，
因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝
BD，所以AO⊥平面BCD，取OD的中点F，连接CF，
因为△OCD为正三角形，所以CF⊥OD，过点O作OM∥CF交BC于点M，则OM⊥OD，所以OM，OD，OA两两垂直，以点O为坐标原点，分别以OM，OD，OA所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B（0，－1，0），C（ ， ，0），E（0， ， ），则 ＝（ ， ，0）， ＝（0， ， ），
法一　所以点E到直线BC的距离d＝ ＝
＝ .
法二　所以｜ cos ＜ ， ＞｜＝ ＝ ＝ ，则 sin ＜
， ＞＝ ，所以点E到直线BC的距离为｜ ｜ sin ＜ ， ＞
＝ × ＝ .
点线距的求解步骤
　　直线的单位方向向量a→所求点到直线上一点的向量 及其在直线
的方向向量a上的投影向量→代入公式.
考向2　点到平面的距离
已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F
分别为AB，BC的中点.
（1）求点D到平面PEF的距离；
解： 建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
则D（0，0，0），P（0，0，1），A（1，0，0），C（0，1，0），E
（1， ，0），F（ ，1，0）.
∴ ＝（1， ，－1）， ＝（－ ， ，0）， ＝（0，0，1）.
设平面PEF的法向量为n＝（x，y，z），
令x＝1，则n＝（1，1， ），
∴点D到平面PEF的距离d＝ ＝ ＝ .
（2）求直线AC到平面PEF的距离.
解：∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴EF∥AC，又EF 平面PEF，AC 平面PEF，
∴AC∥平面PEF，故直线AC到平面PEF的距离等于点A到平面PEF的距离.
∵ ＝（0， ，0），平面PEF的一个法向量为n＝（1，1， ），
∴点A到平面PEF的距离d1＝ ＝ ＝ ，
∴直线AC到平面PEF的距离为 .
利用向量法求点B到平面α的距离的步骤
训练2 如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点.
（1）求点N到直线AB的距离；
（1） ＝（0，4，2）， ＝（2 ，2，0），则｜ ｜＝2 ，｜ ｜＝4， · ＝8.
设点N到直线AB的距离为d1，则d1＝ ＝ ＝4.
解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），
B（2 ，2，0），C（0，4，0），C1（0，4，4），A1
（0，0，4），
∵N是CC1的中点，
∴N（0，4，2）.
（2）求点C1到平面ABN的距离.
解：设平面ABN的一个法向量为n＝（x，y，z），由
n⊥ ，n⊥ ，得 令z＝2，
则y＝－1，x＝ ，即n＝（ ，－1，2）.
易知 ＝（0，0，－2），设点C1到平面ABN的距离为
d2，则d2＝｜ ｜＝ ＝ .
03
PART
课时跟踪检测
（时间：60分钟，满分：95分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1. 若M（1，0，－1），N（2，1，2）在直线l上，则直线l的一个方向向
量是（　　）
A. （2，2，6） B. （1，2，3）
C. （3，1，1） D. （－3，0，1）
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√
解析： 　∵M，N在直线l上，且 ＝（1，1，3），故向量（2，2，
6）是直线l的一个方向向量.
2. 已知A（3，2，0），B（0，4，0），C（3，0，2），则平面ABC的
一个法向量是（　　）
A. （1，1，1） B. （2，2，3）
C. （2，3，3）
√
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解析： 　由题可知 ＝（－3，2，0）， ＝（0，－2，2）.设n＝
（x，y，z）是平面ABC的法向量，则 即
得 取z＝3，则x＝2，y＝3.于是n＝
（2，3，3）是平面ABC的一个法向量.故选C.
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3. 已知经过点M（2，－1，1）的平面α的一个法向量为n＝（－1，－2，
3），则点N（0，－2，2）到平面α的距离为（　　）
√
解析： 　∵M（2，－1，1），N（0，－2，2），∴ ＝（－2，－
1，1），又n＝（－1，－2，3），∴点N（0，－2，2）到平面α的距离为
d＝ ＝ ＝ ，故选B.
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4. 已知点A（1，0，2），B（－1，1，2），C（1，1，－2），则
△ABC的面积为（　　）
B. 2
D. 1
√
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解析： 　由A（1，0，2），B（－1，1，2），C（1，1，－2），则
＝（2，－1，0）， ＝（2，0，－4），则｜ ｜＝ ＝
2 ，且点A到直线BC的距离为d＝ ＝
＝ ，所以△ABC的面积是S△ABC＝ ｜ ｜×d＝
×2 × ＝ .故选A.
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5. 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2AB＝2，E为AB的中点，F为线
段BB1上一点，且A1C⊥EF，则 ＝（　　）
A. 10 B. 12 C. 15 D. 20
√
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解析： 　取A1B1的中点E1，连接EE1，EC，易知EC，
EB，EE1两两垂直，以E为坐标原点，建立如图所示的空间
直角坐标系，则E（0，0，0），C（ ，0，0），A1（0，
－ ，2）， ＝（ ， ，－2）.设F（0， ，λ）
（0≤λ≤2），则 ＝（0， ，λ）.由A1C⊥EF，得 · ＝ －2λ＝0，解得λ＝ ，故 ＝ ＝15.故选C.
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6. 〔多选〕如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，E，F分别
在A1D，AC上，且A1E＝ A1D，AF＝ AC，则下列选项正确的为
（　　）
A. EF∥BD1
B. EF⊥A1D
√
√
√
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解析： 　如图，以D为坐标原点，分别以DA，
DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标
系.由AB＝3，则E（1，0，1），F（2，1，0），A1
（3，0，3），A（3，0，0），D（0，0，0），B
（3，3，0），D1（0，0，3），∴ ＝（1，1，－
1）， ＝（－3，－3，3）， ＝－ ，故EF∥BD1，故A正确；由 ＝（－3，0，－3）， · ＝0，∴EF⊥A1D，故B正确；｜ ｜＝ ＝ ，故C错误；
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设平面ABD1的一个法向量为n＝（x，y，z），由 得
令z＝1，得n＝（1，0，1）.易知 ＝（－1，1，0），
则点F到平面ABD1的距离d＝ ＝ ，故D正确.故选A、B、D.
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7. 在空间直角坐标系中，a＝（1，2，1）为直线l的一个方向向量，n＝
（2，t，4）为平面α的一个法向量，且l∥α，则t＝ .
解析：因为l∥α，所以a＝（1，2，1）与n＝（2，t，4）垂直，故a·n＝
（1，2，1）·（2，t，4）＝2＋2t＋4＝0，解得t＝－3.
－3　
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8. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面AB1C与平面A1C1D间的
距离是 .
　
解析：以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为
x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，
0，0），B1（1，0，1），C（1，1，0），D（0，1，
0），A1（0，0，1），C1（1，1，1）.设平面AB1C的法
向量为m＝（x1，y1，z1）， ＝（1，0，1）， ＝
（1，1，0），由 取x1＝1，可得m＝（1，－1，
－1）.
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＝（1，0，1），由 取x2＝1，
可得n＝（1，－1，－1）.因为m＝n，平面AB1C与平
面A1C1D不重合，故平面AB1C∥平面A1C1D，又 ＝
（0，1，0），所以平面AB1C与平面A1C1D间的距离为d
＝ ＝ ＝ .
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9. （13分）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，
BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，
F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点.
证明：（1）B1D⊥平面ABD；
证明： 以B为坐标原点，
BA，BC，BB1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直
角坐标系，如图所示，
则B（0，0，0），D（0，2，2），B1（0，0，4），设BA＝
a，则A（a，0，0），
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所以 ＝（a，0，0）， ＝（0，2，2）， ＝（0，
2，－2），
· ＝0， · ＝0＋4－4＝0，即B1D⊥BA，
B1D⊥BD.
又BA∩BD＝B，BA，BD 平面ABD，因此B1D⊥平面
ABD.
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（2）平面EGF∥平面ABD.
证明：由（1）知，E（0，0，3），G（ ，1，4），F（0，1，4），
则 ＝（ ，1，1）， ＝（0，1，1）， · ＝0＋2－2＝0，
· ＝0＋2－2＝0，
即B1D⊥EG，B1D⊥EF. 又EG∩EF＝E，EG，EF 平面EGF，因此
B1D⊥平面EGF.
结合（1）可知平面EGF∥平面ABD.
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10. 如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，以CD，CB，
CE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，若AB＝ ，
AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为（　　）
A. （1，1，1）
√
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解析： 由已知得A（ ， ，0），B（0， ，0），D（ ，0，
0），E（0，0，1）.设M（x，x，1），则 ＝（x－ ，x－ ，
1）， ＝（ ，－ ，0）， ＝（0，－ ，1）.设平面BDE的法
向量为n＝（a，b，c），则 即 解得
取b＝1，则n＝（1，1， ）.又AM∥平面BDE，所以n·
＝0，即2（x－ ）＋ ＝0，得x＝ ，所以M点的坐标为
.故选C.
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11. 生活中的建筑模型多与立体几何中的图形有关联，既呈现对称美，也
具有稳定性.已知某凉亭的顶部可视为如图所示的正四棱锥S-ABCD，其
所有棱长都为6，AC，BD交于点O，点E在线段SC上，且CE＝ SC，
则△SAD的重心G到直线OE的距离为（　　）
√
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解析： 　以O为原点，OA，OB，OS分别为x，y，
z轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为所有棱长都
为6，所以OA＝3 ，SO＝ ＝3 ，
所以O（0，0，0），A（3 ，0，0），D（0，－3 ，0），S（0，0，3 ），C（－3 ，0，0），因为G为△SAD的重心，所以G（ ，－ ， ）.设E（x，y，z），则 ＝（x＋3 ，y，z），因为
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＝ ， ＝（3 ，0，3 ），所以 即E（－2 ，0， ）.因为 ＝
（－2 ，0， ）， ＝（ ，－ ， ），则G到直线OE的距
离d＝ ＝ ＝ .故选B.
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12. 〔多选〕如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝3，点M，N分
别在棱AB和BB1上运动（不含端点）.若D1M⊥MN，则下列结论正确的
是（　　）
A. MN⊥A1M
B. MN⊥平面D1MC
D. 三棱锥C1-A1D1M体积为定值
√
√
√
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解析： 　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以点D为原
点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴非负半轴建立
空间直角坐标系，如图，则A1（3，0，3），D1（0，0，
3），C（0，3，0），B（3，3，0），设M（3，y，
0），N（3，3，z），y，z∈（0，3），故 ＝（3，y，－3）， ＝（0，3－y，z），又D1M⊥MN，则 · ＝y（3－y）－3z＝0，即z＝ y（3－y）.对于A选项， ＝（0，y，－3），则 · ＝y（3－y）－3z＝0，故 ⊥ ，即MN⊥A1M，A正确；
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对于B选项， ＝（3，y－3，0）， · ＝（y－3）
（3－y）＝－（3－y）2＜0，即CM与MN不垂直，从而
MN与平面D1MC不垂直，B不正确；对于C选项， ＝
（0，0，z），则线段BN的长度｜ ｜＝z＝ ［－（y
－ ）2＋ ］≤ ，当且仅当y＝ 时等号成立，C正确；对于D选项，不论点M如何移动，点M到平面A1D1C1的距离均为3，而 ＝ ＝ ·3· ＝ ，所以三棱锥C1-A1D1M体积为定值，D正确.故选A、C、D.
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解析：如图，以O为原点，OB，OS所在直线为y，z轴，
圆锥底面垂直于OB的直线为x轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，－1，0），S（0，0， ），M（0，0，
），设P（x，y，0），－1≤x≤1，－1≤y≤1，则
＝（0，1， ）， ＝（x，y，－ ）.由于AM⊥MP，所以（0，1， ）·（x，y，－ ）＝0，即y＝ ，此为点P的轨迹方程，其在底面圆内的长度为2 ＝ .
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14. （15分）（2026·海南海口模拟）如图，△ABC和
△DBC所在平面垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠CBA
＝∠CBD＝120°，点M，N分别在直线AB和CD上移动.
（1）证明：AD⊥BC；
解： 证明：依题意，由平面ABC⊥平面BCD，得以
B点为坐标原点，以BC所在直线为y轴，
分别在平面BCD、平面ABC内过点B作垂直于BC的直线
为x，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
∵AB＝BC＝BD＝2，∠CBA＝∠CBD＝120°，
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∴B（0，0，0），A（0，－1， ），C（0，2，0），D（ ，－1，0），
＝（ ，0，－ ）， ＝（0，2，0），
则 · ＝0，∴ ⊥ ，故AD⊥BC.
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（2）当MN的长最小时，求点M到直线CD的距离.
解： 设 ＝λ ， ＝μ ，则 ＝ ＋
＝ ＋μ ，
则M（0，－λ， λ），N（ μ，2－3μ，0），
∴｜ ｜2＝（ μ－0）2＋（2－3μ＋λ）2＋（0－
λ）2
＝（2λ－ μ＋1）2＋ （μ－ ）2＋ ，
当 即 时，MN的长最小值为 ，
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此时 ＝（ ， ， ）， ＝（ ，－3，0），
∴ · ＝0，即 ⊥ ，
故MN⊥CD，又点N在直线CD上，
因此当MN的长最小时，点M到直线CD的距离为 .
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15. 〔创新定义〕定义：与两条异面直线都垂直相交的直线叫做这两条异
面直线的公垂线，公垂线被这两条异面直线截取的线段，叫做这两条异面
直线的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线
的距离，公垂线段的长度可以看作是：分别连接两异面直线上两点，所得
连线的向量在公垂线的方向向量上的投影向量的长度.如图，正方体
ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，MN是异面直线AC与C1D的公垂线段，则
MN的长为（　　）
√
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解析： 　如图，以A为坐标原点， ， ， 的
方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标
系.由题意得A（0，0，0），C（1，1，0），D（0，1，
0），C1（1，1，1），则 ＝（1，1，0）， ＝
（1，0，1）， ＝（0，1，0）.设异面直线AC与DC1的公垂线的方向
向量n＝（x，y，z），则 即 令x＝1，得y＝
－1，z＝－1，∴n＝（1，－1，－1），∴异面直线AC与DC1之间的距
离MN＝ ＝ ＝ .故选C.
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