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微专题　几何法求空间角与距离
　　几何法求空间角与距离主要是转化构造三角形，即把空间角转化为平面角，空间距离转化为平面距离，进而转化为求解三角形的边、角问题.
几何法求空间角
角度1　求线线、线面角
（1）（2021·全国乙卷5题）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（　　）
A. B.
C. D.
（2）如图，已知正四棱锥P-ABCD底面边长为2，侧棱长为4，M为侧棱PC的中点，则直线BM与底面ABCD所成角的正弦值为（　　）
A. B.
C. D.
听课记录
　　几何法求空间角主要分为3个步骤：（1）作（找）角；（2）证明这个角就是要求的角；（3）计算.其中作（找）角是关键，对于异面直线所成的角，一般是通过平移一条直线直至与另一条直线相交，从而得到所求角的平面角；对于线面所成的角，一般是在直线上找一点，作平面的垂线，连接斜足与垂足得到直线在平面上的射影，直线与它在该平面上的射影所成的角就是所求角的平面角.
角度2　求二面角
（1）如图所示，在三棱锥S-ABC中，△SBC，△ABC都是等边三角形，且BC＝2，SA＝，则二面角S-BC-A的大小为（　　）
A.30° B.45°
C.60° D.75°
（2）（2025·广东佛山二模）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”中，AC＝CB＝CC1，则二面角C1-AB-C的正切值为（　　）
A.1　　 B.2
C. D.
听课记录
　　作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.
几何法求距离
（1）如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2BC＝4，AB⊥BC，则点C到直线PA的距离为（　　）
A.2 B.2
C. D.4
（2）（2025·江西一模）已知圆柱的高和底面半径均为4，AB为上底面圆周的直径，点P是上底面圆周上的一点，且AP＝BP，PC是圆柱的一条母线，则点P到平面ABC的距离为（　　）
A.4 B.2
C.3 D.2
听课记录
1.求点线距一般要作出这个距离，然后利用直角三角形或等面积法求解. 2.求点面距时，若能够确定过点与平面垂直的直线，即作出这个距离，可根据条件求解，若不易作出点面距，可借助于等体积法求解.
1.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB＝BB1＝2，则C到直线AB1的距离为（　　）
A. B.
C. D.
2.已知过平面α外一动点A的斜线l与平面α所成角为，并且斜线l交平面α于定点B，若动点A与平面α的距离为1，则斜线段AB在平面α上的射影所形成的图形的面积是（　　）
A.3π B.2π
C.π D.
3.（2026·河北唐山模拟）已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，M，N分别是AB和BC的中点，则MN到平面A1C1D的距离为（　　）
A. B.
C. D.
4.〔一题多解〕（2024·新高考Ⅱ卷7题）已知正三棱台ABC-A1B1C1的体积为，AB＝6，A1B1＝2，则A1A与平面ABC所成角的正切值为（　　）
A. B.1
C.2 D.3
5.〔多选〕（2026·湖北武汉调研）如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为BD的中点，则下列结论正确的是（　　）
A.A1C⊥平面C1BD
B.直线A1C1与平面ABC1D1所成的角为
C.二面角C1-BD-C的正切值为
D.B1到平面C1BD的距离为
6.如图，在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥平面ABC，PA＝3，PB＝PC＝BC＝6，则二面角P-BC-A的正弦值为　　　　.
7.已知平面α上放置有棱长为2的正四面体ABCD，若该四面体绕棱BC旋转，使点D到平面α的距离为1，如图，则点A到平面α的距离为　　　　.
微专题　几何法求空间角与距离
【例1】　（1）D　（2）D
解析：（1）如图，连接C1P，因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，且P为B1D1的中点，所以C1P⊥B1D1，又C1P⊥BB1，所以C1P⊥平面B1BP.又BP 平面B1BP，所以有C1P⊥BP.连接BC1，则AD1∥BC1，所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角.
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则在直角三角形C1PB中，C1P＝B1D1＝，BC1＝2，sin ∠PBC1＝＝，所以∠PBC1＝，故选D.
（2）作PO⊥底面ABCD于O，连接OC，因为正四棱锥P-ABCD底面边长为2，故OC＝，又侧棱长为4，故PO＝＝.又M为侧棱PC中点，取OC的中点F，连接MF，BF，则MF PO，所以MF⊥平面ABCD，故∠MBF是BM与平面ABCD所成的角，且MF＝PO＝.又cos∠BCM＝＝，所以在△BCM中，由余弦定理有BM＝＝.在△BFM中，sin∠MBF＝＝＝.故直线BM与底面ABCD所成角的正弦值为.
【例2】　（1）C　（2）D　
解析：（1）如图所示，取BC的中点D，连接AD，SD，∵△ABC，△SBC
都是等边三角形，∴SB＝SC，AB＝AC，因此有AD⊥BC，SD⊥BC.∴∠ADS为侧面SBC与底面ABC所成的二面角的平面角.∵BC＝2，∴SD＝＝＝，AD＝＝＝，而SA＝，∴△SDA是等边三角形，∴∠ADS＝60°，即二面角S-BC-A的大小为60°.
（2）由AC＝CB知，AC⊥CB，取AB的中点M，连接C1M，CM，易知∠C1MC即为二面角C1-AB-C的平面角，设AC＝CB＝CC1＝a，则CM＝a，∴tan∠C1MC＝＝.
【例3】　（1）A　（2）D
解析：（1）如图，取PA的中点M，连接BM，CM，因为PB⊥平面ABCD，又BC 平面ABCD，所以PB⊥BC，又因为AB⊥BC，PB∩AB＝B，PB，AB 平面PAB，所以BC⊥平面PAB，又PA 平面PAB，所以BC⊥PA，因为M是PA的中点，PB＝AB，所以BM⊥PA，又BC⊥PA，BM∩BC＝B，BM，BC 平面BCM，所以PA⊥平面BCM，又CM 平面BCM，所以CM⊥PA，即CM为点C到直线PA的距离.在等腰Rt△PAB中，BM＝PB＝2，在Rt△BCM中，CM＝＝＝2，故点C到直线PA的距离为2.
（2）由题可得AB＝8，因为AP＝BP，所以S△ABP＝×8×4＝16，因为PC⊥平面ABP，且PC＝4，所以VC-ABP＝×16×4＝.因为AP＝BP＝4，所以AC＝BC＝4，所以S△ABC＝×8×＝16，设点P到平面ABC的距离为d，则VP-ABC＝×16d＝，解得d＝2.故选D.
强化训练
1.D　
2.A　如图，过点A作平面α的垂线，垂足为C，连接BC，所以线段BC为线段AB在平面α上的射影，∠ABC为斜线l与平面α所成的角，则∠ABC＝，又AC＝1，所以BC＝，故射影形成的图形为半径为的圆面，其面积为3π.故选A.
3.C　延长MN交DC的延长线于点Q，连接A1Q，C1Q，AC，因为M，N分别是AB和BC的中点，则MN∥AC，由正方体的性质可得AC∥A1C1，所以MN∥A1C1，又A1C1 平面A1C1D，MN 平面A1C1D，所以MN∥平面A1C1D，所以MN到平面A1C1D的距离即点Q到平面A1C1D的距离，设为h，则＝，因为正方体的棱长为1，所以DQ＝，A1D＝DC1＝A1C1＝，所以·h＝·A1D1，即××（）2×h＝×××1×1 h＝.故选C.
4.B　法一（直接法） 如图，分别取BC，B1C1的中点D，D1，则AD＝3，A1D1＝，可知S△ABC＝×6×3＝9，＝×2×＝，设正三棱台ABC-A1B1C1的高为h，则＝（9＋＋）h＝，解得h＝，分别过A1，D1作底面的垂线，垂足为M，N，设AM＝x，则AA1＝＝，DN＝AD－AM－MN＝2－x，可得DD1＝＝，结合等腰梯形BCC1B1可得B＝（）2＋D，即x2＋＝（2－x）2＋＋4，解得x＝，所以A1A与平面ABC所成角的正切值为tan∠A1AD＝＝1.
法二（补形法） 如图，将正三棱台ABC-A1B1C1补成正三棱锥P-ABC，则A1A与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角，因为＝＝，则＝，可知＝VP-ABC＝，则VP-ABC＝18，设正三棱锥P-ABC的高为d，则VP-ABC＝d××6×3＝18，解得d＝2，取底面ABC的中心为O，则PO⊥底面ABC，且AO＝2，所以PA与平面ABC所成角的正切值tan∠PAO＝＝1.故选B.
5.ABC　由正方体的性质可得BD⊥平面ACC1A1，A1C 平面ACC1A1，故A1C⊥BD，由BC1⊥平面A1B1CD，A1C 平面A1B1CD，故A1C⊥BC1，BD∩BC1＝B，且BD，BC1 平面C1BD，故A1C⊥平面C1BD，故A正确；因为正方体的棱长为1，设直线A1C1与平面ABC1D1的夹角为θ，则A1C1＝，易知A1D⊥平面ABC1D1，所以点A1到平面ABC1D1的距离为A1D＝，故sin θ＝，所以θ＝，故B正确；连接CO，OC1（图略），则∠C1OC为二面角C1-BD-C的平面角，则tan∠C1OC＝＝，故C正确；设B1到平面C1BD的距离为h，因为＝，所以×××××h＝××1×1×1，解得h＝，故D错误.故选A、B、C.
6.　
7.　解析：分别过点A，D作平面α的垂线，垂足为F，E，连接EF，则EF过BC的中点S，如图，在直角梯形AFED中，AD＝2，AS＝DS＝，DE＝1.所以SE＝，tan∠DSE＝，而cos∠ASD＝＝，所以tan∠ASD＝2.因此tan（∠ASD＋∠ESD）＝＝－，所以tan∠ASF＝，故sin∠ASF＝＝，所以AF＝ASsin∠ASF＝.
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微专题　几何法求空间角与距离
　　几何法求空间角与距离主要是转化构造三角形，即把空间角转化为平
面角，空间距离转化为平面距离，进而转化为求解三角形的边、角问题.
几何法求空间角
角度1　求线线、线面角
（1）（2021·全国乙卷5题）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1
的中点，则直线PB与AD1所成的角为（　D　）
A. B.
C. D.
D
解析： 如图，连接C1P，因为ABCD-A1B1C1D1是正
方体，且P为B1D1的中点，所以C1P⊥B1D1，又
C1P⊥BB1，所以C1P⊥平面B1BP. 又BP 平面
B1BP，所以有C1P⊥BP. 连接BC1，则AD1∥BC1，所
以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角.设正方体ABCD-
A1B1C1D1的棱长为2，则在直角三角形C1PB中，C1P＝ B1D1＝ ，BC1＝2 ， sin ∠PBC1＝ ＝ ，所以∠PBC1＝ ，故选D.
（2）如图，已知正四棱锥P-ABCD底面边长为2，侧棱长为4，M为侧棱
PC的中点，则直线BM与底面ABCD所成角的正弦值为（　D　）
A. B.
C. D.
D
解析：作PO⊥底面ABCD于O，连接OC，因为
正四棱锥P-ABCD底面边长为2，故OC＝ ，
又侧棱长为4，故PO＝ ＝ .
又M为侧棱PC中点，取OC的中点F，连接MF，
BF，则MF PO，所以MF⊥平面ABCD，
故∠MBF是BM与平面ABCD所成的角，且MF＝ PO＝ .又 cos ∠BCM＝ ＝ ，所以在△BCM中，由余弦定理有BM＝ ＝ .在△BFM中， sin ∠MBF＝ ＝
＝ .故直线BM与底面ABCD所成角的正弦值为 .
　　几何法求空间角主要分为3个步骤：（1）作（找）角；（2）证明这
个角就是要求的角；（3）计算.其中作（找）角是关键，对于异面直线所
成的角，一般是通过平移一条直线直至与另一条直线相交，从而得到所求
角的平面角；对于线面所成的角，一般是在直线上找一点，作平面的垂
线，连接斜足与垂足得到直线在平面上的射影，直线与它在该平面上的射
影所成的角就是所求角的平面角.
角度2　求二面角
（1）如图所示，在三棱锥S-ABC中，△SBC，△ABC都是等边三角
形，且BC＝2，SA＝ ，则二面角S-BC-A的大小为（　C　）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 75°
C
解析： 如图所示，取BC的中点D，连接AD，SD，
∵△ABC，△SBC都是等边三角形，∴SB＝SC，AB＝
AC，因此有AD⊥BC，SD⊥BC. ∴∠ADS为侧面SBC与
底面ABC所成的二面角的平面角.∵BC＝2，∴SD＝
＝ ＝ ，AD＝ ＝ ＝ ，而SA＝ ，∴△SDA是等边三角形，∴∠ADS＝60°，即二面角S-BC-A的大小为60°.
（2）（2025·广东佛山二模）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面
是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”中，AC＝
CB＝CC1，则二面角C1-AB-C的正切值为（　D　）
A. 1 B. 2
C. D.
D
解析：由AC＝CB知，AC⊥CB，取AB的中点M，连接C1M，CM，易知
∠C1MC即为二面角C1-AB-C的平面角，设AC＝CB＝CC1＝a，则CM
＝ a，∴tan∠C1MC＝ ＝ .
　　作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面
内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂
线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.
几何法求距离
（1）如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝
2BC＝4，AB⊥BC，则点C到直线PA的距离为（　A　）
A. 2 B. 2
C. D. 4
A
解析： 如图，取PA的中点M，连接BM，CM，因为PB⊥平
面ABCD，又BC 平面ABCD，所以PB⊥BC，又因为
AB⊥BC，PB∩AB＝B，PB，AB 平面PAB，所以BC⊥平
面PAB，又PA 平面PAB，所以BC⊥PA，因为M是PA的中
点，PB＝AB，所以BM⊥PA，又BC⊥PA，BM∩BC＝B，BM，BC 平面BCM，所以PA⊥平面BCM，又CM 平面BCM，所以CM⊥PA，即CM为点C到直线PA的距离.在等腰Rt△PAB中，BM＝ PB＝2 ，在Rt△BCM中，CM＝ ＝ ＝2 ，故点C到直线PA的距离为2 .
（2）（2025·江西一模）已知圆柱的高和底面半径均为4，AB为上底面圆
周的直径，点P是上底面圆周上的一点，且AP＝BP，PC是圆柱的一条母
线，则点P到平面ABC的距离为（　D　）
A. 4 B. 2
C. 3 D. 2
D
解析：由题可得AB＝8，因为AP＝BP，所以S△ABP＝ ×8×4＝16，因
为PC⊥平面ABP，且PC＝4，所以VC-ABP＝ ×16×4＝ .因为AP＝BP
＝4 ，所以AC＝BC＝4 ，所以S△ABC＝ ×8× ＝16 ，
设点P到平面ABC的距离为d，则VP-ABC＝ ×16 d＝ ，解得d＝
2 .故选D.
1. 求点线距一般要作出这个距离，然后利用直角三角形或等面积法求解.
2. 求点面距时，若能够确定过点与平面垂直的直线，即作出这个距离，可
根据条件求解，若不易作出点面距，可借助于等体积法求解.
1. 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB＝ BB1＝2，则C到直线
AB1的距离为（　　）
A. B.
C. D.
√
解析： 　如图，连接CB1，因为AB＝2，BB1＝ ，所以
AB1＝ ，CB1＝ ，AC＝2，设AC的中点为D，连接
B1D，则B1D⊥AC，设点C到直线AB1的距离为h，故
＝ ×B1D×AC＝ h×AB1，即 ×2＝
h× ，解得h＝ .故选D.
2. 已知过平面α外一动点A的斜线l与平面α所成角为 ，并且斜线l交平面
α于定点B，若动点A与平面α的距离为1，则斜线段AB在平面α上的射影所
形成的图形的面积是（　　）
A. 3π B. 2π C. π D.
√
解析： 如图，过点A作平面α的垂线，垂足为C，连
接BC，所以线段BC为线段AB在平面α上的射影，
∠ABC为斜线l与平面α所成的角，则∠ABC＝ ，又AC
＝1，所以BC＝ ，故射影形成的图形为半径为 的圆面，其面积为3π.故选A.
3. （2026·河北唐山模拟）已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，M，
N分别是AB和BC的中点，则MN到平面A1C1D的距离为（　　）
A. B.
C. D.
√
解析： 　延长MN交DC的延长线于点Q，连接A1Q，
C1Q，AC，因为M，N分别是AB和BC的中点，则
MN∥AC，由正方体的性质可得AC∥A1C1，所以
MN∥A1C1，又A1C1 平面A1C1D，MN 平面A1C1D，
所以MN∥平面A1C1D，所以MN到平面A1C1D的距离即点Q到平面A1C1D的距离，设为h，则 ＝ ，因为正方体的棱长为1，所以DQ
＝ ，A1D＝DC1＝A1C1＝ ，所以 ·h＝ ·A1D1，即
× ×（ ）2×h＝ × × ×1×1 h＝ .故选C.
4. 〔一题多解〕（2024·新高考Ⅱ卷7题）已知正三棱台ABC-A1B1C1的体积
为 ，AB＝6，A1B1＝2，则A1A与平面ABC所成角的正切值为（　　）
A. B. 1
C. 2 D. 3
√
解析： 　法一（直接法） 如图，分别取BC，B1C1的中
点D，D1，则AD＝3 ，A1D1＝ ，可知S△ABC＝
×6×3 ＝9 ， ＝ ×2× ＝ ，设正三
棱台ABC-A1B1C1的高为h，则 ＝ （9 ＋ ＋
）h＝ ，解得h＝ ，分别过A1，D1作底面的垂线，垂足为M，N，设AM＝x，则AA1＝ ＝ ，DN＝AD－AM－MN＝2 －x，可得DD1＝ ＝ ，
结合等腰梯形BCC1B1可得B ＝（ ）2＋D ，即x2＋ ＝（2 －x）2＋ ＋4，解得x＝ ，所以A1A与平面ABC所成角的正切值为tan∠A1AD＝ ＝1.
法二（补形法） 如图，将正三棱台ABC-A1B1C1补成正三
棱锥P-ABC，则A1A与平面ABC所成角即为PA与平面
ABC所成角，因为 ＝ ＝ ，则 ＝ ，可
知 ＝ VP-ABC＝ ，则VP-ABC＝18，设正三棱锥P-ABC的高为d，则VP-ABC＝ d× ×6×3 ＝18，解得d＝2 ，取底面ABC的中心为O，则PO⊥底面ABC，且AO＝2 ，所以PA与平面ABC所成角的正切值tan∠PAO＝ ＝1.故选B.
5. 〔多选〕（2026·湖北武汉调研）如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-
A1B1C1D1中，O为BD的中点，则下列结论正确的是（　　）
A. A1C⊥平面C1BD
B. 直线A1C1与平面ABC1D1所成的角为
C. 二面角C1-BD-C的正切值为
D. B1到平面C1BD的距离为
√
√
√
解析： 　由正方体的性质可得BD⊥平面ACC1A1，A1C 平面
ACC1A1，故A1C⊥BD，由BC1⊥平面A1B1CD，A1C 平面A1B1CD，故
A1C⊥BC1，BD∩BC1＝B，且BD，BC1 平面C1BD，故A1C⊥平面
C1BD，故A正确；因为正方体的棱长为1，设直线A1C1与平面ABC1D1的夹
角为θ，则A1C1＝ ，易知A1D⊥平面ABC1D1，所以点A1到平面ABC1D1
的距离为 A1D＝ ，故 sin θ＝ ，所以θ＝ ，故B正确；连接CO，OC1
（图略），则∠C1OC为二面角C1-BD-C的平面角，则tan∠C1OC＝
＝ ，故C正确；设B1到平面C1BD的距离为h，因为 ＝ ，所以 × × × × ×h＝ × ×1×1×1，解得h＝ ，故D错误.故选A、B、C.
6. 如图，在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥平面ABC，PA＝3，PB＝PC＝
BC＝6，则二面角P-BC-A的正弦值为 .
　
解析：取BC的中点D，连接PD，AD（图略），因为PB＝PC，所以
PD⊥BC，因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以PA⊥BC，因为
PD，PA 平面PAD，PA∩PD＝P，所以BC⊥平面PAD，因为AD 平
面PAD，所以BC⊥AD，所以∠PDA即为二面角P-BC-A的平面角，因
为PB＝PC＝BC＝6，所以PD＝ ×6＝3 ， sin ∠PDA＝ ＝ ＝
，即二面角P-BC-A的正弦值为 .
7. 已知平面α上放置有棱长为2的正四面体ABCD，若该四面体绕棱BC旋
转，使点D到平面α的距离为1，如图，则点A到平面α的距离为 .
　
解析：分别过点A，D作平面α的垂线，垂足为F，E，连
接EF，则EF过BC的中点S，如图，在直角梯形AFED
中，AD＝2，AS＝DS＝ ，DE＝1.所以SE＝ ，
tan∠DSE＝ ，而 cos ∠ASD＝ ＝ ，所以tan∠ASD＝2 .因此tan（∠ASD＋∠ESD）＝ ＝－ ，所以tan∠ASF＝ ，故 sin ∠ASF＝ ＝ ，所以AF＝AS sin ∠ASF＝ .
THANKS
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