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微专题　空间直角坐标系的构建策略
　　坐标法是利用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的重要方法，运用坐标法解题就需要建立空间直角坐标系，而如何建立恰当的空间直角坐标系是本章的难点，这就要求学生抓住空间几何图形的结构特征，充分利用图形中的垂直关系（或在图形中构造垂直关系）建系，下面就几种常见的建系方法予以说明.
建立空间直角坐标系的策略：
策略一：利用共顶点且相互垂直的三条棱建系
策略二：利用线面垂直建系
策略三：利用面面垂直建系
策略四：利用正棱锥的中心与高所在直线建系
利用共顶点且互相垂直的三条棱构建空间直角坐标系
如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2CF＝2.
（1）求证：BF∥平面ADE；
（2）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；
（3）求平面BDE与平面BDF夹角的余弦值.
建系方法　由AE⊥平面ABCD，AB，AD 平面ABCD，则AE⊥AB，AE⊥AD，又AD⊥AB，
以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2CF＝2.
所以B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，1，0），E（0，0，2）.
利用互相垂直的三条棱建系策略 　　“利用互相垂直的三条棱建系”的核心是“找原点→定三轴→标坐标”，关键在于识别几何体中“天然垂直的三条棱”，优先选择包含已知条件的棱作为坐标轴，确保轴的两两垂直性.这种方法适用于大多数“有垂直侧棱或垂直底面”的几何体，是空间几何问题中最基础、最高效的建系策略之一.
利用线面垂直关系构建空间直角坐标系
四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝CD＝1，AB＝BC＝2，PC＝3，AB∥CD.
（1）求证：BC⊥平面PAB；
（2）求平面APD与平面PDC所成角的余弦值.
建系方法　
由题干和（1）知，PA⊥平面ABCD，BC⊥平面PAB，故PA⊥AB，AB⊥BC，得不到共顶点且互相垂直的三条棱，因此可以B为原点，建立如图所示的坐标系，则A（2，0，0），C（0，2，0），D（1，2，0），P（2，0，1）.
利用线面垂直关系建系策略 　　在空间几何问题中，当几何体不存在天然的“三条互相垂直的棱（如长方体、正方体的棱）”时，线面垂直关系是构建空间直角坐标系的核心依据.采用此种方法建系要注意的是：①要尽可能利用题中的垂直关系；②要使点的坐标求解尽可能简单（有时一些点的坐标求解需要利用平行或比例关系，或化归到三角形中利用正、余弦定理求解）.
利用面面垂直关系构建空间直角坐标系
如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点.
（1）证明：OA⊥CD；
（2）若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E-BC-D的大小为45°，求三棱锥A-BCD的体积.
建系方法　由题意知AO⊥平面BCD，显然AO⊥OB.以O为坐标原点，OB，OA所在直线分别为x轴，z轴，在平面BCD内，以过点O且与BD垂直的直线为y轴建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），B（1，0，0），D（－1，0，0），C（ －，，0）.设A（0，0，a），a＞0，由DE＝2EA，得E（ －，0，）.
利用面面垂直关系建系策略 　　利用面面垂直关系建立空间直角坐标系，是解决立体几何问题（如求线面角、二面角、空间距离等）的核心方法之一，其核心思路是借助两个垂直平面的交线，在交线上找一点，分别在两个平面内作交线的垂线，从而构造出三条两两垂直的直线作为坐标轴.
利用正棱锥的底面中心与高所在的直线构建空间直角坐标系
如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
（1）求异面直线AP，BC所成角的大小；
（2）在线段AP上存在点M且AM＝3，探究二面角A-MC-B的大小并说明理由.
建系方法　如图，以O为坐标原点，过O点作OE∥DB交AB于点E，OE所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A（0，－3，0），B（4，2，0），C（－4，2，0），P（0，0，4）.
　　正棱锥的“中心-高建系法”本质是利用几何体的对称性搭建“便捷坐标系”，其核心思路是依托正棱锥的对称性，将坐标系的原点、坐标轴与几何体的关键结构（底面中心、高、底面边的中垂线等）重合，其核心步骤可概括为：定中心（原点）→立高（z轴）→找基准（x轴）→补垂直（y轴）→算坐标.
1.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，点A1在底面ABC上的射影恰为点B，且AB＝AC＝A1B＝2.
（1）求证：A1C1⊥平面ABB1A1；
（2）求AA1与BC所成的角的大小；
（3）在线段B1C1上确定一点P，使AP＝，并求出二面角P-AB-A1的平面角的余弦值.
2.已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝，AB＝BC，∠BAC＝30°，A1在平面ABC上的射影为B，二面角A1-AC-B的大小为45°.
（1）求AA1与BC所成角的余弦值；
（2）在棱AA1上是否存在一点E，使得二面角E-BC-B1的大小为90°，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
微专题　空间直角坐标系的构建策略
强化训练
1.解：（1）证明：因为在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，所以A1C1⊥A1B1，
因为点A1在底面ABC上的射影恰为点B，AC 平面ABC，所以A1B⊥AC，所以A1B⊥A1C1，
又A1B∩A1B1＝A1，A1B 平面ABB1A1，A1B1 平面ABB1A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.
（2）以A为原点，射线AC，AB分别为x，y轴正半轴建立空间直角坐标系，如图，
则C（2，0，0），B（0，2，0），A1（0，2，2），B1（0，4，2），
所以＝（0，2，2），＝（2，－2，0），
设AA1与BC所成的角为θ，
所以cos θ＝｜cos＜，＞｜＝＝＝，又0＜θ≤，所以θ＝，
故AA1与BC所成的角为.
（3）设＝λ＝（2λ，－2λ，0）（0≤λ≤1），则P（2λ，4－2λ，2）.
于是｜AP｜＝＝，解得λ＝，
则P为棱B1C1的中点，其坐标为P（1，3，2）.
设平面PAB的一个法向量n＝（x，y，z），则
令z＝－1，得n＝（2，0，－1），
而平面ABA1的一个法向量m＝（1，0，0），
则cos＜n，m＞＝＝＝，
故二面角P-AB-A1的平面角的余弦值是.
2.解：（1）连接A1B，因为A1在平面ABC上的射影为B，所以A1B⊥平面ABC，
取AC的中点F，连接BF，由于AB＝BC，所以BF⊥AC，
连接A1F，可得A1F⊥AC，
则∠A1FB为二面角A1-AC-B的平面角，即∠A1FB＝45°，则A1B＝BF，
令A1B＝a，则BF＝a，
又在Rt△ABF中，∠BAC＝30°，
所以AB＝2a，
在Rt△A1BA中，A1B＝a，AB＝2a，AA1＝，∠A1BA＝90°，
所以a2＋（2a）2＝5，解得a＝1，
过点B作BM⊥BC，又因为A1B⊥平面ABC，
所以BM，BC，A1B两两垂直，
以，，为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
可得B（0，0，0），C（0，2，0），A（，－1，0），A1（0，0，1），
则＝（－，1，1），＝（0，2，0），
则cos＜，＞＝＝，
则AA1与BC所成角的余弦值为.
（2）设＝t，所以＝t，可求得E（（1－t），t－1，t），则＝（（1－t），t－1，t），
设平面EBC的法向量为n1＝（x1，y1，z1），由n1·＝0，n1·＝0，
得
解得n1＝（－t，0，（1－t）），
因为ABC-A1B1C1是三棱柱，
所以＝＝（－，1，1），
设平面B1BC的法向量n2＝（x2，y2，z2），
由n2·＝0，n2·＝0，
得解得n2＝（1，0，），
若二面角E-BC-B1的大小为90°，
则n1·n2＝0，即－t＋0＋3（1－t）＝0，解得t＝，
所以的值为.
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微专题　空间直角坐标系的构建策略
　　坐标法是利用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的重要方法，运
用坐标法解题就需要建立空间直角坐标系，而如何建立恰当的空间直角坐
标系是本章的难点，这就要求学生抓住空间几何图形的结构特征，充分利
用图形中的垂直关系（或在图形中构造垂直关系）建系，下面就几种常见
的建系方法予以说明.
建立空间直角坐标系的策略：
策略一：利用共顶点且相互垂
直的三条棱建系
策略二：利用线面垂直建系
策略三：利用面面垂直建系
策略四：利用正棱锥的中心与
高所在直线建系
利用共顶点且互相垂直的三条棱构建空间直角坐标系
如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD
＝1，AE＝BC＝2CF＝2.
（1）求证：BF∥平面ADE；
（2）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；
（3）求平面BDE与平面BDF夹角的余弦值.
建系方法　
由AE⊥平面ABCD，AB，AD 平面ABCD，则AE⊥AB，AE⊥AD，
又AD⊥AB，
以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，AB＝AD＝1，AE＝
BC＝2CF＝2.
所以B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，1，0），E（0，0，2）.
利用互相垂直的三条棱建系策略
　　“利用互相垂直的三条棱建系”的核心是“找原点→定三轴→标坐
标”，关键在于识别几何体中“天然垂直的三条棱”，优先选择包含已知
条件的棱作为坐标轴，确保轴的两两垂直性.这种方法适用于大多数“有
垂直侧棱或垂直底面”的几何体，是空间几何问题中最基础、最高效的建
系策略之一.
利用线面垂直关系构建空间直角坐标系
四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝CD＝1，AB＝BC＝
2，PC＝3，AB∥CD.
（1）求证：BC⊥平面PAB；
（2）求平面APD与平面PDC所成角的余弦值.
建系方法　由题干和（1）知，PA⊥平面ABCD，BC⊥平面PAB，故
PA⊥AB，AB⊥BC，得不到共顶点且互相垂直的三条棱，因此可以B为
原点，建立如图所示的坐标系，则A（2，0，0），C（0，2，0），D
（1，2，0），P（2，0，1）.
利用线面垂直关系建系策略
　　在空间几何问题中，当几何体不存在天然的“三条互相垂直的棱（如
长方体、正方体的棱）”时，线面垂直关系是构建空间直角坐标系的核心
依据.采用此种方法建系要注意的是：①要尽可能利用题中的垂直关系；
②要使点的坐标求解尽可能简单（有时一些点的坐标求解需要利用平行或
比例关系，或化归到三角形中利用正、余弦定理求解）.
利用面面垂直关系构建空间直角坐标系
如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为
BD的中点.
（1）证明：OA⊥CD；
（2）若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且
二面角E-BC-D的大小为45°，求三棱锥A-BCD的体积.
建系方法　由题意知AO⊥平面BCD，显然AO⊥OB. 以O为坐标原点，
OB，OA所在直线分别为x轴，z轴，在平面BCD内，以过点O且与BD垂
直的直线为y轴建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），B（1，0，
0），D（－1，0，0），C（－ ， ，0）.设A（0，0，a），a＞0，
由DE＝2EA，得E（－ ，0， ）.
利用面面垂直关系建系策略
　　利用面面垂直关系建立空间直角坐标系，是解决立体几何问题（如求
线面角、二面角、空间距离等）的核心方法之一，其核心思路是借助两个
垂直平面的交线，在交线上找一点，分别在两个平面内作交线的垂线，从
而构造出三条两两垂直的直线作为坐标轴.
利用正棱锥的底面中心与高所在的直线构建空间直角坐标系
如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面
ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
（1）求异面直线AP，BC所成角的大小；
（2）在线段AP上存在点M且AM＝3，探究二面角A-MC-B的大小并说
明理由.
建系方法　如图，以O为坐标原点，过O点作OE∥DB交AB于点E，OE
所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐
标系，
则A（0，－3，0），B（4，2，0），C（－4，2，0），P（0，0，4）.
　　正棱锥的“中心-高建系法”本质是利用几何体的对称性搭建“便捷坐
标系”，其核心思路是依托正棱锥的对称性，将坐标系的原点、坐标轴与
几何体的关键结构（底面中心、高、底面边的中垂线等）重合，其核心步
骤可概括为：定中心（原点）→立高（z轴）→找基准（x轴）→补垂直
（y轴）→算坐标.
1. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，点A1在底面ABC上的射影
恰为点B，且AB＝AC＝A1B＝2.
（1）求证：A1C1⊥平面ABB1A1；
解： 证明：因为在三棱柱ABC-A1B1C1中，
AB⊥AC，所以A1C1⊥A1B1，
因为点A1在底面ABC上的射影恰为点B，AC 平面
ABC，所以A1B⊥AC，所以A1B⊥A1C1，
又A1B∩A1B1＝A1，A1B 平面ABB1A1，A1B1 平面
ABB1A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.
（2）求AA1与BC所成的角的大小；
解： 以A为原点，射线AC，AB分别为x，y轴正半
轴建立空间直角坐标系，如图，
则C（2，0，0），B（0，2，0），A1（0，2，2），B1
（0，4，2），
所以 ＝（0，2，2）， ＝（2，－2，0），
设AA1与BC所成的角为θ，
所以 cos θ＝｜ cos ＜ ， ＞｜＝ ＝ ＝ ，又0＜θ≤ ，所以θ＝ ，故AA1与BC所成的角为 .
（3）在线段B1C1上确定一点P，使AP＝ ，并求出二面角P-AB-A1的
平面角的余弦值.
解： 设 ＝λ ＝（2λ，－2λ，0）
（0≤λ≤1），则P（2λ，4－2λ，2）.
于是｜AP｜＝ ＝ ，解得λ
＝ ，
则P为棱B1C1的中点，其坐标为P（1，3，2）.
设平面PAB的一个法向量n＝（x，y，z），则
令z＝－1，得n＝（2，0，－1），
而平面ABA1的一个法向量m＝（1，0，0），
则 cos ＜n，m＞＝ ＝ ＝ ，
故二面角P-AB-A1的平面角的余弦值是 .
2. 已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝ ，AB＝BC，∠BAC＝30°，A1
在平面ABC上的射影为B，二面角A1-AC-B的大小为45°.
（1）求AA1与BC所成角的余弦值；
解： 连接A1B，因为A1在平面ABC上的射影为B，
所以A1B⊥平面ABC，
取AC的中点F，连接BF，由于AB＝BC，所以
BF⊥AC，
连接A1F，可得A1F⊥AC，
则∠A1FB为二面角A1-AC-B的平面角，即∠A1FB＝45°，则A1B＝BF，
令A1B＝a，则BF＝a，
又在Rt△ABF中，∠BAC＝30°，
所以AB＝2a，
在Rt△A1BA中，A1B＝a，AB＝2a，AA1＝ ，
∠A1BA＝90°，
所以a2＋（2a）2＝5，解得a＝1，
过点B作BM⊥BC，又因为A1B⊥平面ABC，
所以BM，BC，A1B两两垂直，
以 ， ， 为x，y，z轴正方向，建立如图所示
的空间直角坐标系，
可得B（0，0，0），C（0，2，0），A（ ，－1，
0），A1（0，0，1），
则 ＝（－ ，1，1）， ＝（0，2，0），
则 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ，
则AA1与BC所成角的余弦值为 .
（2）在棱AA1上是否存在一点E，使得二面角E-BC-B1的大小为90°，若
存在，求出 的值，若不存在，说明理由.
解： 设 ＝t，所以 ＝t ，可求得E（
（1－t），t－1，t），则 ＝（ （1－t），t－
1，t），
设平面EBC的法向量为n1＝（x1，y1，z1），由n1· ＝
0，n1· ＝0，
得
解得n1＝（－t，0， （1－t）），
因为ABC-A1B1C1是三棱柱，
所以 ＝ ＝（－ ，1，1），
设平面B1BC的法向量为n2＝（x2，y2，z2），
由n2· ＝0，n2· ＝0，
得 解得n2＝（1，0， ），
若二面角E-BC-B1的大小为90°，
则n1·n2＝0，即－t＋0＋3（1－t）＝0，解得t＝ ，
所以 的值为 .
THANKS
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