资源简介

2026年中考数学考前预测：图形的对称
一．选择题（共10小题）
1．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是（　　）
A．AM＝BM B．AP＝BN C．∠MAP＝∠MBP D．∠ANM＝∠BNM
2．如图，在四边形ABCD中（AB＞CD），∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝3，BC，把Rt△ABC沿着AC翻折得到Rt△AEC，若tan∠AED，则线段DE的长度（　　）
A． B． C． D．
3．如图，已知∠O，点P为其内一定点，分别在∠O的两边上找点A、B，使△PAB周长最小的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，则AB＝2BC．请在这一结论的基础上继续思考：若AC＝2，点D是AB的中点，P为边CD上一动点，则APCP的最小值为（　　）
A．1 B． C． D．2
5．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A'处，点B落在点B'处，若∠1＝115°，则图中∠2的度数为（　　）
A．40° B．45° C．50° D．60°
6．如图， ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PBPD的最小值等于（　　）
A． B．3 C．3 D．2+2
7．如图，△ABC的顶点都在正方形网格格点上，点A的坐标为（﹣1，4）．将△ABC沿y轴翻折到第一象限，则点C的对应点C′的坐标是（　　）
A．（3，1） B．（﹣3，﹣1） C．（1，﹣3） D．（3，﹣1）
8．如图，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是（　　）
A．6 B．3 C．2 D．4.5
9．如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC＝1，则AB的长度为（　　）
A． B． C． D．
10．小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．她放的位置是（　　）
A．（﹣2，1） B．（﹣1，1） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）
二．填空题（共5小题）
11．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为10，BD平分∠ABC，若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为 　 　 ．
12．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P，Q分别是直线BC，AB上的两个动点，AE＝2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF，PD，则PF+PD的最小值是　 　 ．
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC，BD相交于点O，点P为边AD上一动点，连接OP，以OP为折痕，将△AOP折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F．若△PDF为直角三角形，则DP的长为 　 　 ．
14．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD，则AP的长为 　 　 ．
15．如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF，若AD＝4cm，则CF的长为　 　 cm．
三．解答题（共5小题）
16．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E是AB边上一动点，点P是AD上的一个动点．
（1）若∠BAD＝37°，求∠ACB的度数；
（2）若BC＝6，AD＝4，AB＝5，且CE⊥AB时，求CE的长；
（3）在（2）的条件下，请直接写出BP+EP的最小值．
17．如图，平面直角坐标系中，A（﹣2，1），B（﹣3，4），C（﹣1，3），过点（1，0）作x轴的垂线l．
（1）作出△ABC关于直线l的轴对称图形△A1B1C1；
（2）直接写出A1（　 　 ，　 　 ），B1（　 　 ，　 　 ），C1（　 　 ，　 　 ）；
（3）在△ABC内有一点P（m，n），则点P关于直线l的对称点P1的坐标为（　 　 ，　 　 ）（结果用含m，n的式子表示）．
18．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B′．
（1）如图（1），如果点B′和顶点A重合，求CE的长；
（2）如图（2），如果点B′和落在AC的中点上，求CE的长．
19．在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题．
如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？
聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线（图（2）），问题就转化为：要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：
①作点B关于直线l的对称点B′．
②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．
请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC＝6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小．
（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）请直接写出△PDE周长的最小值：　 　 ．
20．如图，△AEF中，∠EAF＝45°，AG⊥EF于点G，现将△AEG沿AE折叠得到△AEB，将△AFG沿AF折叠得到△AFD，延长BE和DF相交于点C．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）连接BD分别交AE、AF于点M、N，将△ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADH，试判断线段MN、ND、DH之间的数量关系，并说明理由．
（3）若EG＝4，GF＝6，BM＝3，求AG、MN的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是（　　）
A．AM＝BM B．AP＝BN C．∠MAP＝∠MBP D．∠ANM＝∠BNM
【考点】轴对称的性质．
【答案】B
【分析】根据直线MN是四边形AMBN的对称轴，得到点A与点B对应，根据轴对称的性质即可得到结论．
【解答】解：∵直线MN是四边形AMBN的对称轴，
∴点A与点B对应，
∴AM＝BM，AN＝BN，∠ANM＝∠BNM，
∵点P时直线MN上的点，
∴∠MAP＝∠MBP，
∴A，C，D正确，B错误，
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
2．如图，在四边形ABCD中（AB＞CD），∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝3，BC，把Rt△ABC沿着AC翻折得到Rt△AEC，若tan∠AED，则线段DE的长度（　　）
A． B． C． D．
【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理；解直角三角形．
【专题】压轴题；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】方法一，延长ED交AC于点M，过点M作MN⊥AE于点N，设MNx，根据已知条件和翻折的性质可求m的值，再证明CD是∠ECM的角平分线，可得，进而可得ED的长．方法二，过点D作DM⊥CE，首先得到∠ACB＝60度，∠ECD＝30度，再根据折叠可得到∠AED＝∠EDM，设EMm，由折叠性质可知，EC＝CB，在直角三角形EDM中，根据勾股定理即可得DE的长．
【解答】解：方法一：如图，延长ED交AC于点M，过点M作MN⊥AE于点N，
设MNx，
∵tan∠AED，
∴，
∴NE＝2x，
∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC，
∴∠CAB＝30°，
∴AC＝2，
由翻折可知：
∠EAC＝30°，
∴AM＝2MN＝2x，
∴ANMN＝3x，
∵AE＝AB＝3，
∴5x＝3，
∴x，
∴AN，MN，AM，
∵AC＝2，
∴CM＝AC﹣AM，
∵MN，NE＝2x，
∴EM，
∵∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴CD∥AB，
∴∠DCA＝30°，
由翻折可知：∠ECA＝∠BCA＝60°，
∴∠ECD＝30°，
∴CD是∠ECM的角平分线，
∴，
∴，
解得，ED．
方法二：
如图，过点D作DM⊥CE，
由折叠可知：∠AEC＝∠B＝90°，
∴AE∥DM，
∴∠AED＝∠EDM，
∴tan∠AED＝tan∠EDM，
∵∠ACB＝60°，∠ECD＝30°，
设EMm，由折叠性质可知，EC＝CB，
∴CMm，
由翻折可知：∠ECA＝∠BCA＝60°，
∴∠ECD＝30°，
∴tan∠ECD，
∴DM＝（m）1﹣m，
∴tan∠EDM，
即
解得，m，
∴DM，EM，
在直角三角形EDM中，DE2＝DM2+EM2，
解得，DE．
故选：B．
【点评】本题考查了翻折变换、勾股定理、解直角三角形，解决本题的关键是综合运用以上知识．
3．如图，已知∠O，点P为其内一定点，分别在∠O的两边上找点A、B，使△PAB周长最小的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称﹣最短路线问题．
【专题】平移、旋转与对称；应用意识．
【答案】D
【分析】根据轴对称的性质即可得到结论．
【解答】解：分别作点P关于∠O的两边的对称点P1，P2，连接P1P2交∠O的两边于A，B，连接PA，PB，此时△PAB的周长最小．
故选：D．
【点评】本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，则AB＝2BC．请在这一结论的基础上继续思考：若AC＝2，点D是AB的中点，P为边CD上一动点，则APCP的最小值为（　　）
A．1 B． C． D．2
【考点】胡不归问题；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】C
【分析】过C作CE⊥AB于E，过点P作PF⊥EC于F，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等边三角形的性质得出PFCP，再由APCP＝AP+PF≥AE，结合勾股定理求出AE即可．
【解答】解：过C作CE⊥AB于E，过点P作PF⊥EC于F，
∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点，
∴CDAB＝AD，
∵∠CAB＝30°，
∴∠B＝60°，
∴△BCD为正三角形，
∴∠DCE＝30°，
∴PFCP，
∴APCP＝AP+PF≥AE，
∵∠CAB＝30°，AC＝2，
∴CEAC＝1，
∴AE，
∴APCP的最小值为．
故选：C．
【点评】本题主要考查了含30°直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边一半，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解决此题的关键是作出垂线CE和PF，将CP转化为PF．
5．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A'处，点B落在点B'处，若∠1＝115°，则图中∠2的度数为（　　）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】A
【分析】由邻补角概念和翻折变换性质得出∠EFB′＝∠1＝115°，∠EFC＝65°，据此知∠CFB′＝50°，结合∠B＝∠B′＝90°知∠2＝90°﹣∠CFB′，从而得出答案．
【解答】解：∵∠1＝115°，
∴∠EFB′＝∠1＝115°，∠EFC＝65°，
∴∠CFB′＝50°，
又∵∠B＝∠B′＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠CFB′＝40°，
故选：A．
【点评】本题主要考查翻折变换的性质，解题的关键是掌握翻折变换的对应边、对应角相等的性质及直角三角形两锐角互余、对顶角相等的性质．
6．如图， ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PBPD的最小值等于（　　）
A． B．3 C．3 D．2+2
【考点】胡不归问题；平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】C
【分析】过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，由锐角三角函数可得EPPD，即PBPD＝PB+PE，则当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE．
【解答】解：如图，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，
∵AB∥CD，
∴∠EDP＝∠DAB＝60°，
∴sin∠EDP，
∴EPPD
∴PBPD＝PB+PE
∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE，
∵sin∠A，
∴BE＝3，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
7．如图，△ABC的顶点都在正方形网格格点上，点A的坐标为（﹣1，4）．将△ABC沿y轴翻折到第一象限，则点C的对应点C′的坐标是（　　）
A．（3，1） B．（﹣3，﹣1） C．（1，﹣3） D．（3，﹣1）
【考点】坐标与图形变化﹣对称．
【答案】A
【分析】根据A点坐标，可得C点坐标，根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得答案．
【解答】解：由A点坐标，得C（﹣3，1）．
由翻折，得C′与C关于y轴对称，C′（3，1）．
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣对称，关于y轴对称的点的坐标：横坐标互为相反数，纵坐标相等．
8．如图，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是（　　）
A．6 B．3 C．2 D．4.5
【考点】轴对称﹣最短路线问题；菱形的性质．
【专题】动点型；平移、旋转与对称．
【答案】C
【分析】作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P，由PE+PM＝PE′+PM＝E′M知点P、M即为使PE+PM取得最小值的点，利用S菱形ABCDAC BD＝AB E′M求解可得答案．
【解答】解：如图，作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P，
则点P、M使PE+PM取得最小值，
PE+PM＝PE′+PM＝E′M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴点E′在CD上，
∵AC＝6，BD＝6，
∴AB3，
由S菱形ABCDAC BD＝AB E′M得66＝3 E′M，
解得：E′M＝2，
即PE+PM的最小值是2，
故选：C．
【点评】本题主要考查轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是掌握菱形的性质和轴对称的性质．
9．如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC＝1，则AB的长度为（　　）
A． B． C． D．
【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；矩形的性质．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】A
【分析】先判断出∠ADE＝45°，进而判断出AE＝AD，利用勾股定理即可得出结论．
【解答】
解：由折叠补全图形如图所示，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADA'＝∠B＝∠C＝∠A＝90°，AD＝BC＝1，CD＝AB，
由第一次折叠得：∠DA'E＝∠A＝90°，∠ADE∠ADC＝45°，
∴∠AED＝∠ADE＝45°，
∴AE＝AD＝1，
在Rt△ADE中，根据勾股定理得，DEAD，
由第二次折叠知，CD＝DE，
∴AB．
故选：A．
【点评】此题主要考查了折叠问题，掌握折叠前后的对应边，对应角相等是解本题的关键．
10．小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．她放的位置是（　　）
A．（﹣2，1） B．（﹣1，1） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）
【考点】坐标与图形变化﹣对称；坐标确定位置．
【专题】几何直观．
【答案】B
【分析】首先确定x轴、y轴的位置，然后根据轴对称图形的定义判断．
【解答】解：棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，则这点所在的横线是x轴，右下角方子的位置用（0，﹣1），则这点所在的纵线是y轴，则当放的位置是（﹣1，1）时构成轴对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形和坐标位置的确定，正确确定x轴、y轴的位置是关键．
二．填空题（共5小题）
11．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为10，BD平分∠ABC，若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为 　5　 ．
【考点】轴对称﹣最短路线问题．
【专题】几何图形．
【答案】5
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值．
【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，
∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N
∴MN＝ME，
∴CE＝CM+ME＝CM+MN的最小值．
∵三角形ABC的面积为10，AB＝4，
∴4 CE＝10，
∴CE．
即CM+MN的最小值为5．
故答案为：5
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．
12．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P，Q分别是直线BC，AB上的两个动点，AE＝2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF，PD，则PF+PD的最小值是　8　 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；轴对称﹣最短路线问题．
【专题】矩形 菱形 正方形．
【答案】8
【分析】如图作点D关于BC的对称点D′，连接PD′，ED′．由DP＝PD′，推出PD+PF＝PD′+PF，又EF＝EA＝2是定值，即可推出当E、F、P、D′共线时，PF+PD′定值最小，最小值＝ED′﹣EF．
【解答】解：如图作点D关于BC的对称点D′，连接PD′，ED′．
在Rt△EDD′中，∵DE＝6，DD′＝8，
∴ED′10，
∵DP＝PD′，
∴PD+PF＝PD′+PF，
∵EF＝EA＝2是定值，
∴当E、F、P、D′共线时，PF+PD′定值最小，最小值＝10﹣2＝8，
∴PF+PD的最小值为8，
故答案为8．
【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题，属于中考常考题型．
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC，BD相交于点O，点P为边AD上一动点，连接OP，以OP为折痕，将△AOP折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F．若△PDF为直角三角形，则DP的长为 　或1　 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理；矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．
【答案】或1
【分析】分两种情况讨论，当∠DPF＝90°时，过点O作OH⊥AD于H，由平行线分线段成比例可得OHAB＝3，HDAD＝4，由折叠的性质可得∠APO＝∠EPO＝45°，可求OH＝HP＝3，可得PD＝1；当∠PFD＝90°时，由勾股定理和矩形的性质可得OA＝OC＝OB＝OD＝5，通过证明△OFE∽△BAD，可得，可求OF的长，通过证明△PFD∽△BAD，可得，可求PD的长．
【解答】解：如图1，当∠DPF＝90°时，过点O作OH⊥AD于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BO＝OD，∠BAD＝90°＝∠OHD，AD＝BC＝8，
∴OH∥AB，
∴，
∴OHAB＝3，HDAD＝4，
∵将△AOP折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F，
∴∠APO＝∠EPO＝45°，
又∵OH⊥AD，
∴∠OPH＝∠HOP＝45°，
∴OH＝HP＝3，
∴PD＝HD﹣HP＝1；
当∠PFD＝90°时，
∵AB＝6，BC＝8，
∴BD10，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OD＝5，
∴∠DAO＝∠ODA，
∵将△AOP折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F，
∴AO＝EO＝5，∠PEO＝∠DAO＝∠ADO，
又∵∠OFE＝∠BAD＝90°，
∴△OFE∽△BAD，
∴，
∴，
∴OF＝3，
∴DF＝2，
∵∠PFD＝∠BAD，∠PDF＝∠ADB，
∴△PFD∽△BAD，
∴，
∴，
∴PD，
综上所述：PD或1，
故答案为或1．
【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
14．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD，则AP的长为 　4.8　 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【答案】4.8
【分析】设设CD与BE交于点G，AP＝x，证明△ODP≌△OEG，根据全等三角形的性质得到OP＝OG，PD＝GE，根据翻折变换的性质用x表示出PD、OP，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：设CD与BE交于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8，
由折叠的性质可知△ABP≌△EBP，
∴EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8，
在△ODP和△OEG中，
，
∴△ODP≌△OEG（ASA），
∴OP＝OG，PD＝GE，
∴DG＝EP，
设AP＝EP＝x，则PD＝GE＝6﹣x，DG＝x，
∴CG＝8﹣x，BG＝8﹣（6﹣x）＝2+x，
根据勾股定理得：BC2+CG2＝BG2，
即62+（8﹣x）2＝（x+2）2，
解得：x＝4.8，
∴AP＝4.8，
故答案为：4.8．
【点评】本题考查的是翻折变换的性质和勾股定理的应用，翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
15．如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF，若AD＝4cm，则CF的长为　（6）　 cm．
【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的性质．
【专题】操作型；平移、旋转与对称．
【答案】（6）
【分析】设BF＝x，则FG＝x，CF＝4﹣x，在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝（4）2+x2，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（4﹣x）2+22，从而得到关于x方程，求解x，最后用4﹣x即可．
【解答】解：设BF＝x，则FG＝x，CF＝4﹣x．
在Rt△ADE中，利用勾股定理可得AE．
根据折叠的性质可知AG＝AB＝4，所以GE4．
在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝（4）2+x2，
在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（4﹣x）2+22，
所以（4）2+x2＝（4﹣x）2+22，
解得x2．
则FC＝4﹣x＝6．
故答案为：（6）．
【点评】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理．折叠问题主要是抓住折叠的不变量，在直角三角形中利用勾股定理求解是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E是AB边上一动点，点P是AD上的一个动点．
（1）若∠BAD＝37°，求∠ACB的度数；
（2）若BC＝6，AD＝4，AB＝5，且CE⊥AB时，求CE的长；
（3）在（2）的条件下，请直接写出BP+EP的最小值．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；等腰三角形的性质．
【专题】三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可解决问题．
（2）利用面积法即可解决问题．
（3）连接PC，把问题转化为两点之间线段最短．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵AD是BC边上的中线，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝37°，
∴∠ABC＝53°，
∴∠ACB＝53°．
（2）∵CE⊥AB，
∴ BC AD AB CE，
∵BC＝6，AD＝4，AB＝5，
∴CE．
（3）连接PC．
∵AD垂直平分线段BC，
∴PB＝PC．
∴PB+PE＝PE+PC≥CE，
∴PE+PB的最小值为．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，等腰三角形的性质，点到直线的距离垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
17．如图，平面直角坐标系中，A（﹣2，1），B（﹣3，4），C（﹣1，3），过点（1，0）作x轴的垂线l．
（1）作出△ABC关于直线l的轴对称图形△A1B1C1；
（2）直接写出A1（　4　 ，　1　 ），B1（　5　 ，　4　 ），C1（　3　 ，　3　 ）；
（3）在△ABC内有一点P（m，n），则点P关于直线l的对称点P1的坐标为（　﹣m+2　 ，n ）（结果用含m，n的式子表示）．
【考点】作图﹣轴对称变换．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）（2）利用网格特点和对称的性质画出A、B、C的对称点A1、B1、C1，从而得到△A1B1C1各顶点的坐标；
（3）可先把得到P点关于y轴的对称点，然后把此对称点向右平移2个单位得到可得到点P1的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）A1（4，1），B1（5，4），C1（3，3）；
（3）点P关于直线l的对称点P1的坐标为（2﹣m，n）．
故答案为4，1；5，4；3，3；﹣m+2，n．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：轴对称几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．
18．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B′．
（1）如图（1），如果点B′和顶点A重合，求CE的长；
（2）如图（2），如果点B′和落在AC的中点上，求CE的长．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）如图（1），设CE＝x，则BE＝8﹣x；根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可解决问题．
（2）如图（2），首先求出CB′＝3；类比（1）中的解法，设出未知数，列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）如图（1），设CE＝x，则BE＝8﹣x；
由题意得：AE＝BE＝8﹣x，
由勾股定理得：x2+62＝（8﹣x）2，
解得：x，
即CE的长为：．
（2）如图（2），
∵点B′落在AC的中点，
∴CB′AC＝3；
设CE＝x，类比（1）中的解法，可列出方程：x2+32＝（8﹣x）2
解得：x．
即CE的长为：．
【点评】该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质，找出图形中隐含的等量关系；借助勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．
19．在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题．
如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？
聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线（图（2）），问题就转化为：要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：
①作点B关于直线l的对称点B′．
②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．
请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC＝6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小．
（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）请直接写出△PDE周长的最小值：　8　 ．
【考点】轴对称﹣最短路线问题．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据提供材料DE不变，只要求出DP+PE的最小值即可，作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求；
（2）利用中位线性质以及勾股定理得出D′E的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，
P点即为所求；
（2）∵点D、E分别是AB、AC边的中点，
∴DE为△ABC中位线，
∵BC＝6，BC边上的高为4，
∴DE＝3，DD′＝4，
∴D′E5，
∴△PDE周长的最小值为：DE+D′E＝3+5＝8，
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了利用轴对称求最短路径以及三角形中位线的知识，根据已知得出要求△PDE周长的最小值，求出DP+PE的最小值即可是解题关键．
20．如图，△AEF中，∠EAF＝45°，AG⊥EF于点G，现将△AEG沿AE折叠得到△AEB，将△AFG沿AF折叠得到△AFD，延长BE和DF相交于点C．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）连接BD分别交AE、AF于点M、N，将△ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADH，试判断线段MN、ND、DH之间的数量关系，并说明理由．
（3）若EG＝4，GF＝6，BM＝3，求AG、MN的长．
【考点】翻折变换（折叠问题）；一元二次方程的应用；勾股定理；正方形的判定．
【专题】探究型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由图形翻折变换的性质可知∠ABE＝∠AGE＝∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD即可得出结论；
（2）连接NH，由△ABM≌△ADH，得AM＝AH，BM＝DH，∠ADH＝∠ABD＝45°，故∠NDH＝90°，再证△AMN≌△AHN，得MN＝NH，由勾股定理即可得出结论；
（3）设AG＝x，则EC＝x﹣4，CF＝x﹣6，在Rt△ECF中，利用勾股定理即可得出AG的值，同理可得出BD的长，设NH＝y，在Rt△NHD，利用勾股定理即可得出MN的值．
【解答】（1）证明：∵△AEB由△AED翻折而成，
∴∠ABE＝∠AGE＝90°，∠BAE＝∠EAG，AB＝AG，
∵△AFD由△AFG翻折而成，
∴∠ADF＝∠AGF＝90°，∠DAF＝∠FAG，AD＝AG，
∵∠EAG+∠FAG＝∠EAF＝45°，
∴∠ABE＝∠AGE＝∠BAD＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）MN2＝ND2+DH2，
理由：连接NH，
∵△ADH由△ABM旋转而成，
∴△ABM≌△ADH，
∴AM＝AH，BM＝DH，
∵由（1）∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴∠ADH＝∠ABD＝45°，
∴∠NDH＝90°，
∵，
∴△AMN≌△AHN，
∴MN＝NH，
∴MN2＝ND2+DH2；
（3）设AG＝BC＝x，则EC＝x﹣4，CF＝x﹣6，
在Rt△ECF中，
∵CE2+CF2＝EF2，即（x﹣4）2+（x﹣6）2＝100，x1＝12，x2＝﹣2（舍去）
∴AG＝12，
∵AG＝AB＝AD＝12，∠BAD＝90°，
∴BD12，
∵BM＝3，
∴MD＝BD﹣BM＝1239，
设NH＝y，
在Rt△NHD中，
∵NH2＝ND2+DH2，即y2＝（9y）2+（3）2，解得y＝5，即MN＝5．
【点评】本题考查的是翻折变换及勾股定理，解答此类题目时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．

展开更多......

收起↑