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21.2.2平行四边形的判定 21.2.3三角形的中位线
基础测·教材变式
一、选择题(每小题3分，共15分)
1.下列条件能判定四边形 ABCD 是平行四边形的是 ( )
A.∠A=∠B,∠C=∠D B. AB=AD,CB=CD
C. AB=CD,AD=BC D. AB∥CD,AD=BC
2.根据下列四边形中所标的数据，一定能判定四边形是平行四边形的是 ( )
3.小玲的爸爸在钉平行四边形框架时，采用了一种方法：如图，将两根木条AC，BD 的中点重叠，并用钉子固定，则四边形 ABCD 就是平行四边形，这种方法的依据是 ( )
A.对角线互相平分的四边形是平行四边形 B.两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
4.如图,已知四边形ABCD,R,P分别是DC,BC上的点,E,F分别是AP,RP 的中点,当点 P 在BC上从点 B 向点C 移动而点R 不动时，线段 EF 的长 ( )
A.逐渐增大 B.逐渐减小 C.不变 D.不能确定
5.如图,D 是△ABC内一点,BD⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3,E,F,G,H分别是AB,AC,CD,BD的中点，则四边形 EFGH 的周长为 ( )
A.7 B.9 C.10 D.11
二、填空题(每小题3分，共12分)
6.如图，在四边形ABCD 中，AB∥CD，AD∥BC，现在请你添加一个适当的条件： ，使得四边形 AECF 是平行四边形(图中不再添加点和线).
7.如图,D 是直线l外一点,在l上取两点A,B,连接AD,分别以点B,D 为圆心,AD,AB 的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD 是平行四边形，理由是 .
8.如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在AB 外取一点C，然后步测出AC,BC的中点D,E,并步测出 DE的长约为18m,由此估测A,B 之间的距离为 m.
9.如图,在四边形 ABCD 中,AD=BC,E,F,G 分别是AB,DC,AC 的中点.若 ∠DAC=22°,则∠EFG 的度数为 .
三、解答题(共25分)
10.(8分)如图,△ABC 与△DEF 的边BC,EF 在同一条直线上, 且BE=CF.求证：四边形 ABED 是平行四边形.
11.(8分)如图,A,B,C,D 四点在同一条直线上,AB=CD,,线段AE 与线段DF 平行,AE=DF.求证：四边形 EBFC 是平行四边形.
12.(9分)如图,在 中,D 是边 BC 的中点,AE 平分 ,连接 BE 并延长,交 AC 于点 F, 连接DE.已知 AB=9,BC=11,DE=2.
(1)求证:
(2)求 的周长.
能力测·迁移运用
一、选择题(每小题3分，共9分)
13.如图，△ABC 的周长为a，以它的各边的中点为顶点作△A B C ，再以△AB C 各边的中点为顶点作△A B C ……如此下去，则△AnBnCn的周长为 ( )
A. B. C. D.
14.如图,在ABCD中,E,G分别为边AD,BC的中点,点F,H 分别在边AB,CD 上移动(不与端点重合)，且满足AF=CH，则下列为定值的是 ( )
A.四边形 EFGH 的周长 B.∠EFG 的度数
C.四边形 EFGH 的面积 D.线段 FH 的长
15.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,点D,E分别在边AB和BC上,且AD=4,CE=3,连接 DE,M,N 分别是AC,DE 的中点,连接MN,则MN 的长度为 ( )
A. B. C.2 D.
二、填空题(每小题3分，共6分)
16.在平面直角坐标系中,A(1,0),B(0,2),C(-4,1),若以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形，则点 D 的坐标为 .
17.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,N是边 BC上一点,M为边AB 上的动点，D，E分别为CN，MN 的中点，则 DE 长度的最小值是 .
三、解答题(共33分)
18.(9分)如图,在四边形 ABCD 中,E 为BC 上一点,F 为BC 延长线上的一点,BE=CF,AB=DC=DF,AC=DE.
(1)求证：四边形ABCD 是平行四边形；
(2)若G为DE 的中点,GC⊥BF,求证:AD=3EC.
19. D(12分)如图,在四边形ABCD 中, ,点 P 以 1 cm/s 的速度自点A 向点D 运动，点 Q 以2cm/s的速度自点C 向点B 运动，点 P，Q同时出发，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为 t s.
(1)用含t的代数式表示：
(2)当t 为何值时，四边形 APQB 是平行四边形
(3)当t 为何值时，四边形 PDCQ 是平行四边形
思维测·拓展创新
20. (12分)四边形 ABCD 是平行四边形,延长AB 至点E,使得BE=AB,连接BD 和CE.
(1)如图1,求证:四边形 BECD 是平行四边形;
(2)如图2,将 沿直线BC 翻折，点 E 刚好落在线段AD 的中点F 处，延长CF 与BA 的延长线相交于点 H，并且CF 和BD 交于点G，试求线段CH，FG，GB之间的数量关系；
(3)如图3,将 沿直线BC 翻折，点 E 刚好落在线段AD 上的点 F 处，连接 EF，若FD=2FA,且AD=6,DC=3,求 的面积.
1. C A.由∠A=∠B,∠C=∠D,不能判定四边形 ABCD是平行四边形，故选项 A不符合题意.
B.由 AB=AD,CB=CD,不能判定四边形 ABCD 是平行四边形，故选项 B不符合题意.
C.∵AB=CD,AD=BC,∴两组对边分别相等,
∴四边形 ABCD 是平行四边形，故选项 C符合题意.
D.由 AB∥CD,AD=BC,不能判定四边形 ABCD 是平行四边形，故选项 D不符合题意.
2. CA.由同旁内角互补，两直线平行判定上下一组对边平行，左右一组对边不平行，故不能判定四边形是平行四边形，故选项 A不符合题意.
B.由同旁内角互补，两直线平行判定左右一组对边平行，不能判定上下一组对边平行，故不能判定四边形是平行四边形，故选项 B不符合题意.
C.由同旁内角互补，两直线平行判定上下一组对边平行，并且上下一组对边相等，故能判定四边形是平行四边形，故选项 C符合题意.
D.四边形的左右一组对边相等，但上下一组对边不一定相等，故不能判定四边形是平行四边形，故选项 D不符合题意.
3. A 由已知可得,AO=CO,BO=DO,所以四边形 ABCD是平行四边形，依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形.
4. C 如图,连接AR.
∵E,F 分别是AP,RP 的中点,
∴EF 为△APR 的中位线,
∵AR 的长为定值，
∴线段 EF 的长不变.
5. D ∵BD⊥CD,BD=4,CD=3,
∴由勾股定理，得
∵E,F,G,H 分别是AB,AC,CD,BD 的中点,
∵BC=5,AD=6,∴EF=HG=2.5,EH=FG=3,
∴四边形 EFGH 的周长为EF+FG+HG+EH=2×(2.5+3)=11.
6. BE=DF(答案不唯一) ∵AB∥CD,AD∥BC,∴四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD,∠ABE=∠CDF.
∵BE=DF,∴△ABE≌△CDF(SAS),
∴AE=CF,∠AEB=∠CFD,
∴∠AEF=∠EFC,
∴AE∥FC,∴四边形 AECF 是平行四边形.
7.两组对边分别相等的四边形是平行四边形根据尺规作图的画法可得,AB=DC,AD=BC,∴四边形 ABCD 是平行四边形.
8.36 ∵D,E 分别是AC,BC的中点,∴DE 是△ABC 的中位线，∴根据三角形的中位线定理，得AB=2DE=36 m.
9.21° ∵E,F,G 分别是AB,CD,AC 的中点,
∴GF 是△ACD 的中位线,GE 是△ACB 的中位线,
∴GF∥AD 且GF= AD,GE∥BC且
∴∠FGC=∠DAC=22°,∠AGE=∠ACB=64°.
∵AD=BC,∴GF=GE,∴∠EFG=∠FEG.
∵∠FGE=∠FGC+∠EGC=22°+(180°-64°)=138°,
10.证明:∵BE=CF,
∴BE+EC=EC+CF,即 BC=EF, 2分
∵AB∥DE,AC∥DF,
∴∠B=∠DEF,∠ACE=∠F, 4分
∴△ABC≌△DEF(ASA), 6分
∴AB=DE,
∵AB∥DE,
∴四边形 ABED 是平行四边形. 8分
11.证明:如图,连接AF,ED,EF,EF 交AD 于点O.
∵AE=DF,AE∥DF,
∴四边形 AEDF 是平行四边形, 2分
∴EO=FO,AO=DO. 4分
∵AB=CD,
∴AO-AB=DO-CD, 6分
∴BO=CO.
∵EO=FO,
∴四边形 EBFC 是平行四边形. 8分
12.解:(1)证明:∵∠ABF=∠AFB,
∴AB=AF. 2分
∵AE 平分∠BAC,
∴AE⊥BF. 4分
(2)∵AB=AF=9,AE⊥BF,
∴BE=EF. 5分
∵D 是边 BC 的中点,
∴DE 是△BCF 的中位线, 6分
∴CF=2DE=4,
∴AC=AF+CF=9+4=13, 7分
∴△ABC 的周长为AB+BC+AC=9+11+13=33. 9分
13. A ∵A ,B ,C 分别为 BC,AC,AB 的中点,
∴△A B C 的周长为
同理,△A B C 的周长为
依次类推，则△A B C 的周长为1/ a..
14. C
15. A 如图,连接CD,取CD 的中点K,连接MK,NK.
∵M,N分别是AC,DE 的中点,
∴MK. NK 分别是△ACD 和△DCE 的中位线,
∵AD=4,CE=3,∴MK=2,NK=
∵∠B=90°,∴AB⊥BC,
∴MK⊥NK,∴∠MKN=90°,
16.(﹣3,﹣1)或(5,1)或(﹣5,3)
如图，有三种情况：
①当四边形 ADCB是平行四边形时,AD∥BC.
∵A(1,0),B(0,2),C(-4,1),
∴由平移的性质,得点 D 的坐标为(-3,-1).
②当四边形AD'BC是平行四边形时,AD'∥BC.由平移的性质，得点 D'的坐标为(5，1).
③当四边形ACD"B 是平行四边形时,AC∥BD".
由平移的性质，得点 D"的坐标为(-5，3).
综上所述,点 D 的坐标为(-3,-1)或(5,1)或(-5,3).
17. 如图，连接CM.
∵D,E 分别为CN,MN 的中点,∴
当CM⊥AB 时,CM 的长度最小,此时 DE 的长度也最小.
由勾股定理，得
∵此时
∴DE 长度的最小值是
18.证明:(1)∵BE=CF,
∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF 1分
又∵AB=DF,AC=DE,
∴△ABC≌△DFE(SSS), 2分
∴∠B=∠F.
∵DC=DF,
∴∠DCF=∠F, 3分
∴∠B=∠DCF,∴AB∥DC.
∵AB=CD,
∴四边形 ABCD 是平行四边形. 4分
(2)如图,延长CG交AD 于点M,过点D 作DN⊥CF于点 N.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD=BC,AD∥BC, 5分
∴∠MDG=∠GEC,∠DMG=∠GCE.
∵G为 DE 的中点,∴GE=GD,
∴△MGD≌△CGE(AAS), 6分
∴MD=EC.
∵DC=DF,DN⊥CF,∴CN=NF.
∵GC⊥BF,DN⊥BF,∴DN∥GC.
∵MD∥CN,∴四边形 MCND 是平行四边形,
∴MD=CN, 7分
∴CF=2CN=2MD=2EC,
∴EF=3EC.
∵△ABC≌△DFE,四边形 ABCD 是平行四边形, 8分
∴AD=BC=EF,
∴AD=3EC. 9分
19.解:(1)t (12-t) (15-2t) 2t 4分
(2)∵AD∥BC,即AP∥BQ,
∴当AP=BQ 时,四边形 APQB 是平行四边形,
∴t=15-2t,解得t=5,
∴当t=5时,四边形 APQB 是平行四边形. 8分
(3)∵AD∥BC,即 PD∥CQ,
∴当 PD=QC 时,四边形 PDCQ 是平行四边形,
∴12-t=2t,解得t=4,
∴当t=4时,四边形 PDCQ 是平行四边形. 12分
20.解:(1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD, 1分
∴BE∥CD.
∵BE=AB,
∴四边形 BECD 是平行四边形. 3分
(2)∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AB∥CD,∴∠CDF=∠HAF.
∵F是线段AD的中点,∴AF=DF.
∵∠DFC=∠AFH,
∴△DFC≌△AFH(ASA), 4分
∴CF=HF,
∴CH=2CF. 5分
由折叠的性质可得,∠ECB=∠FCB. 6分
由(1),得四边形 BECD 是平行四边形,∴CE∥BD,
∴∠ECB=∠DBC,∴∠DBC=∠FCB,
∴GB=CG,
7分
(3)如图,设 BD 与CF 相交于点 N,BC 与 EF 相交于点O,过点 D 作 DM⊥CF 于点 M.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，四边形 BECD 是平行四边形，
∴AD∥BC,BC=AD=6,DC=AB=BE=3,
∴AE=6.
∵AD=6,FD=2FA,
∴AF=2,DF=4. 8分
由折叠的性质,得OE=OF,CF=CE,
∴OB 是△EAF 的中位线,
∴CO=BC-OB=5. 9分
由折叠的性质，得
10分
设 FM=a,则
由勾股定理，得 解得 11分
12分

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