资源简介

21.1四边形及多边形21.2平行四边形及其性质
基础测·教材变式
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.中国载人航天工程将扎实推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务，登月探测器及示意图如图所示，它的机械臂伸缩自如，灵活性强，其设计原理主要是利用了 ( )
A.三角形的稳定性 B.四边形的不稳定性
C.三角形两边的和大于第三边 D.两点之间，线段最短
2.从多边形的一个顶点引对角线，能将这个多边形分成10个三角形，则这个多边形的边数为 ( )
寸 A.12 B.10 C.9 D.8
3.在ABCD 中,∠A :∠B:∠C:∠D 的值可以是 ( )
A.1 : 2 : 3 : 4 B.1:2:2:1 C.1:1:2:2 D.2:1:2:1
4.如图,在平行四边形ABCD 中,AC,BD 相交于点O,∠ODA=90°,AC=10 cm,BD=6 cm,则 BC的长为 ( )
A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.8cm
5.如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为(1，3)，(6，5).若四边形 AOCB 是平行四边形，则点 C 的坐标为 ( )
A.(4,3) B.(5,2) C.(5,3) D.(5,4)
6.如图，将一个含30°角的直角三角尺GHI的直角顶点H放在正六边形ABCDEF 的边CD 上，点G恰好落在边AB上,边GI,HI分别交EF,ED于点J,K,则∠EJI+∠EKI= ( )
A.150° B.120° C.90° D.60°
二、填空题(每小题3分，共12分)
7.中式园林中的窗户讲究对称美.如图，窗户外框可以抽象成图中的正八边形，则这个正八边形的内角和为 .
8.如图,在平行四边形ABCD 中,BE 平分∠ABC交AD 于点E,已知AB=5,BC=7,则 DE 的长为 .
9.如图,在ABCD中,对角线AC,BD 相交于点O,过点O作直线EF交AD 于点E,交BC于点F,且AB=4,BC=5,OE=1.5,则四边形 EFCD 的周长为 .
10.在编程机器人的表演中，一机器人从沙盘平面内某点出发向前直行 n步后右转15°，沿转后方向直行n步后右转15°，再沿转后方向直行n步后右转15°……以此方式继续行走，第一次回到出发点时，该机器人共走了 步.
三、解答题(共25分)
11.(8分)已知一个多边形的每一个内角都相等，并且每个内角都等于与它相邻的外角的5倍.
(1)求这个多边形的边数；
(2)求这个多边形的内角和.
12.(8分)如图,在ABCD中,E,F为对角线AC上两点,且AE=CF,连接BE,DF.求证:BE=DF.
13.(9分)如图,在ABCD中,AC,BD 交于点O.过点O作OE⊥BD交BC 于点E,连接DE.若∠CDE=∠CBD=15°,求∠ABC 的度数.
能力测·迁移运用
一、选择题(每小题3分，共6分)
14.如图,在ABCD中,AC,BD 相交于点O, 过点 A 作AE⊥BC 于点 E,记 BE的长为x，BC 的长为y.当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是 ( )
A. x+y B. x-y C. xy D.
15.如图,在平行四边形 ABCD 中,AE 平分∠BAD,交 BC 于点E,且AB=AE,延长AB,与 DE的延长线交于点 F,连接AC,CF.有下列结论:①△ABC≌△EAD;②△ABE 是等边三角形;③AD=AF;④S△BEF=S△ABE.其中正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题3分，共6分)
16. 一个多边形，截去一个角后得到的新多边形的内角和为540°，则原多边形的对角线有 条.
17. 如图,E,F分别是平行四边形ABCD 的边 AD,BC上的点,AF 与BE 相交于点 P,DF 与CE 相交于点 Q,若 则四边形 EPFQ 的面积为 cm .
三、解答题(共33分)
18.(9分)如图,ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O,其周长为20,且△AOB 的周长比△BOC的周长小4.
(1)求边AB 和BC 的长;
(2)若BD=8,过点C作CE⊥BD 于点E,且CE=2,求AB 和CD 之间的距离.
19.(12分)【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的地面，在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙.从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫作多边形平面镶嵌问题.如图1是由若干正方形镶嵌而成的图案，图2是由若干正三角形、正方形和正六边形镶嵌而成的图案.
【探究发现】
(1)填写下表：
正多边形的边数 3 4 5 6 8
正多边形每个外角的度数
(2)若只用一种正多边形镶嵌整个平面图案，则这样的正多边形可以是 (填序号).
①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形.
【拓展应用】
(3)如图3，六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大正五边形，求∠CBF的度数.
思维测·拓展创新
20.回(12分)如图,在 中,AE⊥BC 于点E,AE=EC,连接BD 交AE 于点M.
(1)若 求 AD 的长.
(2)F 是BD的中点,过点E作EG⊥AB 于点G,延长GE交DC 的延长线于点 H,连接 FH.
①求证：
②直接写出线段CH，AG，FH 之间的数量关系.
1. B不同的几何图形有不同的性质：三角形具有稳定性，而四边形具有不稳定性.根据“伸缩自如，灵活性强”可知，登月探测器的机械臂的设计原理主要是利用了四边形的不稳定性.
2. A∵从多边形的一个顶点引对角线，能将这个多边形分成10个三角形，∴这个多边形的边数为10+2=12.
3. D
4. A ∵四边形 ABCD 是平行四边形,AC=10 cm,BD=6 cm,
BC=AD.
∵∠ODA=90°,
∴BC=AD=4 cm.
5. B ∵A(1,3),B(6,5),
∴将点 A 向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度可与点 B 重合.
∵四边形 AOCB 是平行四边形，
∴AB∥OC,AB=OC,
∴将点O 向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度可与点 C 重合，
∴C(5,2).
6. C 如图,连接IE 并延长到点 T.
由题意可得，
∵∠JET=∠EIJ+∠EJI,∠KET=∠EKI+∠EIK,
∴∠FED=∠JET+∠KET=∠EIJ+∠EJI+∠EKI+∠EIK,
∴∠EJI+∠EKI+30°=120°,
∴∠EJI+∠EKI=90°.
7.1 080°这个正八边形的内角和为(8-2)×180°=1080°.
8.2 ∵四边形 ABCD 为平行四边形,
∴AE∥BC,AD=BC=7,∴∠AEB=∠EBC.
∵BE 平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC,
∴∠ABE=∠AEB,∴AE=AB=5,
∴DE=AD-AE=7-5=2.
9.12 ∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴CD=AB=4,AD=BC=5,OA=OC,AD∥BC,
∴∠EAO=∠FCO,∠AEO=∠CFO,
∴△AOE≌△COF(AAS),
∴OF=OE=1.5,CF=AE,故四边形 EFCD 的周长为CD+EF+AD=12.
10.24n 由题意可得，机器人正好走了一个正多边形，∴根据外角和定理可知，正多边形的边数为 360°÷
则第一次回到出发点时，该机器人共走了24n步.
11.解：(1)设这个多边形的一个外角的度数为x，则与外角相邻的内角的度数为5x. 1分
由题意,得x+5x=180°,
解得x=30°, 3分
∴这个多边形的边数为 4分
(2)这个多边形的内角和为(12-2)×180°=10×180°=1 800°. 8分
12.证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD, 2分
∴∠BAE=∠DCF. 4分
在△BAE 和△DCF 中,
∴△BAE≌△DCF(SAS), 6分
∴BE=DF. 8分
13.解:∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴OB=OD. 1分
∵OE⊥BD,∴BE=ED,
∴∠BDE=∠CBD=15°. 4分
∵∠CDE=15°,∴∠BDC=30°.
∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AB∥CD,
∴∠ABD=∠BDC=30°, 7分
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=30°+15°=45°. 9分
14. C 如图,过点 D 作 DH⊥BC,交 BC 的延长线于点 H.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=DC,AD∥BC.
∵AE⊥BC,DH⊥BC,∴AE=DH,
∴Rt△DCH≌Rt△ABE(HL),∴CH=BE=x.
∵BC=y,
∴EC=BC-BE=y-x,BH=BC+CH=y+x.
∴xy=2.
15. B ∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∴∠EAD=∠AEB.又∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE,
∴∠BAE=∠AEB,∴AB=BE.
∵AB=AE,∴△ABE 是等边三角形.故②正确.
∵△ABE 是等边三角形,
∴∠ABE=∠AEB=∠BAE=60°,
∴∠ABE=∠EAD=60°.
∵AB=AE,BC=AD,
∴△ABC≌△EAD(SAS).故①正确.
∵△FCD 与△ABC 等底(AB=CD)等高(AB 与CD 之间的距离相等)，
又∵△AEC 与△DEC 同底等高,
若 则
若AD=AF,即∠AFD=∠ADF=∠DEC=∠CDF=∠BEF,∴EC=CD=BE,即 BC=2CD,题中未限定这一条件，∴③④不一定正确.
16.2或 5或 9 如图.
∵540°÷180°+2=3+2=5,
∴原来的多边形可能是四边形，可能是五边形，也可能是六边形.
四边形的对角线有4×(4-3)÷2=2(条),
五边形的对角线有5×(5-3)÷2=5(条),
六边形的对角线有6×(6-3)÷2=9(条).
17.27 如图,连接 EF.
(同底等高)，
同理可证，
18.解:(1)∵ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O,其周长为20，
2分
又∵△AOB 的周长比△BOC 的周长小4,
∴BO+OC+BC-(BO+OA+AB)=4,
∴BC-AB=4, 3分
解得 AB=3,BC=7. 4分
(2)∵CE⊥BD,BD=8,CE=2,
5分
6分
设AB 和CD 之间的距离为h.
8分
∴AB 和CD 之间的距离为 9分
19.解：(1)正五边形每个外角的度数为 正六边形每个外角的度数为 正八边形每个外角的度数为
填表如下： 3分
正多边形的边数 3 4 5 6 8
正多边形每个外角的度数 120° 90° 72° 60° 45°
(2)①③ 6分
提示：正三角形每个内角的度数为
正五边形每个内角的度数为
正六边形每个内角的度数为
正七边形每个内角的度数为
正八边形每个内角的度数为
∴若只用一种正多边形镶嵌整个平面图案，则这样的正多边形可以是①③.
(3)∵正五边形每个内角的度数为 9分
12分
20.解:
1分
∵AE=EC,
∴BC=BE+EC=BE+AE=4. 3分
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD=BC=4. 4分
(2)①证明:∵在 ABCD中,AB∥CD,EG⊥AB,
∴∠AGE=90°,∠EHC=90°,
∴∠GAE+∠AEG=90°. 5分
∵AE⊥EC,∴∠HEC+∠AEG=90°,
∴∠GAE=∠HEC. 6分
在△AGE 和△EHC 中
∴△AGE≌△EHC(AAS). 8分
12分
提示:如图,连接AC,FE,FG.
∵在 ABCD中,F是BD 的中点,∴AF=FC.
∵AE⊥EC,AE=EC,
∴∠AEF=∠ECF=45°,EF=CF,∠EFC=90°.
∵△AGE≌△EHC,
∴GE=CH,AG=EH,∠GEA=∠HCE,
∴∠GEA+∠AEF=∠HCE+∠ECF,
∴∠GEF=∠HCF.
在△GEF 和△HCF 中
∴△GEF≌△HCF(SAS),
∴GF=HF,∠GFE=∠HFC,∴∠GFH=90°,
∴△FGH 是等腰直角三角形，
∴由勾股定理，得

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