资源简介

2026年中考数学考前预测：推理、论证与轨迹
一．选择题（共11小题）
1．图书馆将某一本书和某一个关键词建立联系，规定：当关键词Ai出现在书Bj中时，元素aij＝1，否则aij＝0（i，j为正整数）．例如：当关键词A1出现在书B4中时，a14＝1，否则a14＝0．根据上述规定，某读者去图书馆寻找书中同时有关键词“A2，A5，A6”的书，则下列相关表述错误的是（　　）
A．当a21+a51+a61＝3时，选择B1这本书
B．当a22+a52+a62＜3时，不选择B2这本书
C．当a2j，a5j，a6j全是1时，选择Bj这本书
D．只有当a2j+a5j+a6j＝0时，才不能选择Bj这本书
2．运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线可以看作是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度y（单位：m）与足球被踢出后经过的时间x（单位：s）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，可推断出足球飞行到最高点时的时刻x是（　　）
A．4 B．4.5 C．5 D．6
3．已知α、β是两个钝角，计算（α+β）的值，甲、乙、丙、丁四位同学算出了四种不同的答案分别为：24°、48°、76°、86°，其中只有一个答案是正确的，则正确的答案是（　　）
A．86° B．76° C．48° D．24°
4．手工课上，老师将同学们分成A，B两个小组制作两个汽车模型，每个模型先由A组同学完成打磨工作，再由B组同学进行组装完成制作，两个模型每道工序所需时间如下：
工序 时间 模型 打磨（A组） 组装（B组）
模型甲 9分钟 5分钟
模型乙 6分钟 11分钟
则这两个模型都制作完成所需的最短时间为（　　）
A．20分钟 B．22分钟 C．26分钟 D．31分钟
5．某校七年级、八年级的学生人数相同，九年级的学生人数是八年级学生人数的，已知七年级的男生人数与八年级的女生人数相同，九年级男生人数占三个年级男生人数的，那么三个年级的男生与女生的比为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在 ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝10，AD＝6．⊙O分别切边AB，AD于点E，F，且圆心O恰好落在DE上．现将⊙O沿AB方向滚动到与边BC相切（点O在 ABCD的内部），则圆心O移动的路径长为（　　）
A．4 B．6 C．7 D．10﹣2
7．如图，⊙O的半径为5，将长为8的线段PQ的两端放在圆周上同时滑动，如果点P从点A出发按逆时针方向滑动一周回到点A，在这个过程中，线段PQ扫过区域的面积为（　　）
A．9π B．16π C．25π D．64π
8．如图，P为线段AB上一动点（点P不与点A、B重合），在线段AB的同侧分别作等边△APC和等边△PBD，连接AD、BC，交点为Q．若AB＝6，求动点Q运动路径的长为（　　）
A．π B．π C．2π D．3π
9．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝2cm，BC＝4cm，现有一根长为2cm的木棒EF紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒EF的中点P在运动过程中所围成的图形的面积为（　　）
A．（8﹣π）cm2 B．4cm2 C．（3+π）cm2 D．8cm2
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．P是BC边上一动点，以PC为直径作⊙O，连接AP交⊙O于点Q，连接BQ，点P从点B出发，沿BC方向运动，当点P到达点C时，点P停止运动．在整个运动过程中，线段BQ的大小变化情况是（　　）
A．一直增大 B．一直减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
11．如图1，等边△ABC的边长为3，分别以顶点B、A、C为圆心，BA长为半径作弧AC、弧CB、弧BA，我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然莱洛三角形仍然是轴对称图形．设点I为对称轴的交点，如图2，将这个图形的顶点A与等边△DEF的顶点D重合，且AB⊥DE，DE＝2π，将它沿等边△DEF的边作无滑动的滚动，当它第一次回到起始位置时，这个图形在运动中扫过区域面积是（　　）
A．18π B．27π C．π D．45π
二．填空题（共6小题）
12．甲、乙、丙、丁、戊五个同学是好朋友，一次郊游时都已口渴难耐，却只剩下两个梨，大家相互推让：
甲说：“如果我吃一个，那么乙也应吃一个”；
乙说：“如果我吃一个，那么丙也应吃一个”；
丙说：“如果我吃一个，那么丁也应吃一个”；
丁说：“如果我吃一个，那么戊也应吃一个”；
大家都遵守诺言，两个梨均被吃掉，请问：哪两个人吃掉了这两个梨？　 　 ．
13．某单位设有6个部门，共153人，如表：
部门 部门1 部门2 部门3 部门4 部门5 部门6
人数 25 16 23 32 43 14
参与了“学党史，名师德、促提升”建党100周年，“党史百题周周答活动”，一共十道题，每小题10分，满分100分；在某一周的前三天，由于特殊原因，有一个部门还没有参与答题，其余五个部门全部完成了答题，完成情况如表：
分数 100 90 80 70 60 50及以下
比例 5 2 1 1 1 0
综上所述，未能及时参与答题的部门可能是　 　 ．
14．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2．如图，将直角顶点B放在原点，点A放在y轴正半轴上，当点B在x轴上向右移动时，点A也随之在y轴上向下移动，当点A到达原点时，点B停止移动，在移动过程中，点C到原点的最大距离为 　 　 ．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝5，点E在线段AB上运动．连接DE，以DE为斜边作Rt△DEF，使得∠DEF＝60°，当点E从点A运动到点B时，动点F的运动路径长为 　 　 ．
16．如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC＝DB＝1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为　 　 ．
17．如图，矩形OABC的边OC在y轴上，边OA在x轴上，C点坐标为（0，3），点D是线段OA上的一个动点，连接CD，以CD为边作矩形CDEF，使边EF过点B．连接OF，当点D与点A重合时，所作矩形CDEF的面积为18．在点D的运动过程中，线段OF最大值为　 　 ．
三．解答题（共3小题）
18．A，B，C，D四支足球队分在同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权，比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中积分最高的两个队（有且只有两个队）出线，小组赛结束后，如果A队没有全胜，那么A队的积分至少要几分才能保证一定出线？请说明理由．
[注：单循环比赛就是小组内的每一个队都要和其他队赛一场]．
19．如图是一种电脑桌，其实物图如图1所示，此电脑桌的桌面可调节，图2和图3是其可调节桌面的侧面示意图，在点C处固定安装了一根长度一定的支撑臂CB．点B可在AD上滑动，AC＝25cm．（其中（2），（3）两问结果保留小数点后一位）
（1）在图2中，当BC⊥AC时，测得∠BAC＝45°，求支撑臂CB的长；
（2）在图3中，当BC与AC不垂直时，测得∠BAC＝22°，求此时AB的长；
（3）从图2到图3过程中，求点C在此运动过程中的路径长．
（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，π≈3.14）
20．材料：在处理有动点的几何问题时，寻求与动点相关的常量，可以帮我们分析出动点的运动轨迹，进而解决问题．如果动点C与定线段AB所成的∠CAB为常量，那么点C的运动轨迹为射线AC，如图A．如果动点G与定直线EF的距离GH为常量，动点G的运动轨迹即为过点G且与直线EF平行的直线l，如图B．
如图C中，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点P在边AD上且PD＝2，点M为直线AB上的一动点，以PM为直角边作等腰Rt△PMN，∠MPN＝90°，点N在直线MP的右下方，连接DN，当点M在边AB上运动时，
（1）分析点N的运动轨迹并写出证明过程；画出轨迹（尺规作图）．
（2）求△PDN周长的最小值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．图书馆将某一本书和某一个关键词建立联系，规定：当关键词Ai出现在书Bj中时，元素aij＝1，否则aij＝0（i，j为正整数）．例如：当关键词A1出现在书B4中时，a14＝1，否则a14＝0．根据上述规定，某读者去图书馆寻找书中同时有关键词“A2，A5，A6”的书，则下列相关表述错误的是（　　）
A．当a21+a51+a61＝3时，选择B1这本书
B．当a22+a52+a62＜3时，不选择B2这本书
C．当a2j，a5j，a6j全是1时，选择Bj这本书
D．只有当a2j+a5j+a6j＝0时，才不能选择Bj这本书
【考点】推理与论证．
【专题】证明题；整式；一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；推理能力；应用意识；创新意识．
【答案】D
【分析】根据题意aij的值要么为1，要么为0，当关键词Ai出现在书Bj中时，元素aij＝1，否则aij＝0（i，j为正整数），按照此规定对每个选项分析推理即可．
【解答】解：根据题意aij的值要么为1，要么为0，
A、a21+a51+a61＝3，说明a21＝1，a51＝1，a61＝1，故关键词“A2，A5，A6”同时出现在书B1中，
而读者去图书馆寻找书中同时有关键词“A2，A5，A6”的书，故A表述正确；
B、当a22+a52+a62＜3时，则a22、a52、a62时必有值为0的，即关键词“A2，A5，A6”不同时具有，
从而不选择B2这本书，故B表述正确；
C、当a2j，a5j，a6j全是1时，则a2j＝1，a5j＝1，a6j＝1，故关键词“A2，A5，A6”同时出现在书Bj中，
则选择Bj这本书，故C表述正确；
D、根据前述分析可知，只有当a2j+a5j+a6j＝3时，才能选择Bj这本书，而a2j+a5j+a6j的值可能为0、1、2、3，
故D表述错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了推理与论证，读懂题意，按照规定进行计算与推理是解题的关键．
2．运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线可以看作是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度y（单位：m）与足球被踢出后经过的时间x（单位：s）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，可推断出足球飞行到最高点时的时刻x是（　　）
A．4 B．4.5 C．5 D．6
【考点】推理与论证；二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；模型思想；应用意识．
【答案】B
【分析】由题意得出点（3，18）、（5，20）、（7，14）在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，再用待定系数法求出抛物线解析式，进而配成顶点式，即可得出结论．
【解答】解：由题意得，点（3，18）、（5，20）、（7，14）在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+9x＝﹣（x）2，
∴当x时，足球飞行达到最高点，
故选：B．
【点评】此题是二次函数的应用，主要考查了待定系数法，配方法，利用待定系数法求出抛物线的解析式是解本题的关键．
3．已知α、β是两个钝角，计算（α+β）的值，甲、乙、丙、丁四位同学算出了四种不同的答案分别为：24°、48°、76°、86°，其中只有一个答案是正确的，则正确的答案是（　　）
A．86° B．76° C．48° D．24°
【考点】推理与论证；角的计算．
【答案】C
【分析】主要利用钝角的定义计算．
【解答】解：因为α、β是两个钝角（钝角都大于90°且小于180°），
所以α+β一定大于180°且小于360°；
则（α+β）一定大于30°且小于60°，
故48°正确．
故选：C．
【点评】熟记钝角的特点是解决此题的关键．
4．手工课上，老师将同学们分成A，B两个小组制作两个汽车模型，每个模型先由A组同学完成打磨工作，再由B组同学进行组装完成制作，两个模型每道工序所需时间如下：
工序 时间 模型 打磨（A组） 组装（B组）
模型甲 9分钟 5分钟
模型乙 6分钟 11分钟
则这两个模型都制作完成所需的最短时间为（　　）
A．20分钟 B．22分钟 C．26分钟 D．31分钟
【考点】推理与论证．
【答案】B
【分析】分两种情况，①当A组先打磨模型甲共需26分钟．②当A组先打磨模型乙共需22分钟．再比较大小即可．
【解答】解：①当A组先打磨模型甲需要9分钟，然后B组装模型甲需要5分钟，在这5分钟内，A组已打磨模型乙用了5分钟，还需等1分钟，B才能组装模型乙，之后B组在组装模型乙需要11分钟，则整个过程用时9+5+1+11＝26分钟．
②当A组先打磨模型乙需要6分钟，然后B组装模型乙需要11分钟，在这11分钟内，A组已打磨好模型甲，因为A组打磨模型甲只需要9分钟，之后B组在组装模型甲需要5分钟，则整个过程用时6+11+5＝22分钟．
而26＞22，
∴这两个模型都制作完成所需的最短时间为22分钟，
故选：B．
【点评】此题是推理与论证，主要考查学生的分析问题和解决问题的能力，分类讨论的思想，是一道比较简单的题目．
5．某校七年级、八年级的学生人数相同，九年级的学生人数是八年级学生人数的，已知七年级的男生人数与八年级的女生人数相同，九年级男生人数占三个年级男生人数的，那么三个年级的男生与女生的比为（　　）
A． B． C． D．
【考点】推理与论证．
【专题】和差倍关系问题．
【答案】D
【分析】设七年级总人数，男生人数，九年级男生人数为未知数，分别表示出各个年级的女生，相加后让男生总人数与之相比即可．
【解答】解：设七年级总人数为x，则八年级总人数为x，九年级总人数为x；
设七年级男生人数为a，则女生人数为x﹣a；八年级女生人数为a，男生人数为x﹣a；
设九年级男生人数为b，则女生人数为x﹣b，
∵九年级男生人数占三个年级男生人数的，
∴三个年级男生人数为5b；，
∴x＝4b，
∵三个年级女生总人数为x﹣a+ax﹣b4b﹣b，
∴三个年级的男生与女生的比为5b：，
故选：D．
【点评】考查推理与论证；设出多个未知数，表示出各个年级的男生人数与女生人数是解决本题的关键．
6．如图，在 ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝10，AD＝6．⊙O分别切边AB，AD于点E，F，且圆心O恰好落在DE上．现将⊙O沿AB方向滚动到与边BC相切（点O在 ABCD的内部），则圆心O移动的路径长为（　　）
A．4 B．6 C．7 D．10﹣2
【考点】轨迹；平行四边形的性质；切线的性质．
【专题】动点型．
【答案】B
【分析】如图所示，⊙O滚过的路程即线段EN的长度．EN＝AB﹣AE﹣BN，所以只需求AE、BN的长度即可．分别根据AE和BN所在的直角三角形利用三角函数进行计算即可
【解答】解：连接OE，OA、BO．
∵AB，AD分别与⊙O相切于点E、F，
∴OE⊥AB，OF⊥AD，
∴∠OAE＝∠OAD＝30°，
在Rt△ADE中，AD＝6，∠ADE＝30°，
∴AEAD＝3，
∴OE＝AE
∵AD∥BC，∠DAB＝60°，
∴∠ABC＝120°．
设当运动停止时，⊙O与BC，AB分别相切于点M，N，连接ON，OM．
同理可得，∠BON为30°，且ON为，
∴BN＝ON tan30°＝1cm，
EN＝AB﹣AE﹣BN＝10﹣3﹣1＝6．
∴⊙O滚过的路程为6．
故选：B．
【点评】此题考查了切线的性质、平行四边形的性质及解直角三角形等知识点，关键时计算出AE和BN的长度．
7．如图，⊙O的半径为5，将长为8的线段PQ的两端放在圆周上同时滑动，如果点P从点A出发按逆时针方向滑动一周回到点A，在这个过程中，线段PQ扫过区域的面积为（　　）
A．9π B．16π C．25π D．64π
【考点】轨迹；扇形面积的计算．
【专题】动点型；与圆有关的计算；解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】B
【分析】如图，线段PQ扫过的面积是图中圆环面积．作OE⊥PQ于E，连接OQ求出OE即可解决问题．
【解答】解：如图，线段PQ扫过的面积是图中圆环面积．
作OE⊥PQ于E，连接OQ．
∵OE⊥PQ，
∴EQPQ＝4，
∵OQ＝5，
∴OE3，
∴线段PQ扫过区域的面积＝π 52﹣π 32＝16π，
故选：B．
【点评】本题考查轨迹，解直角三角形，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
8．如图，P为线段AB上一动点（点P不与点A、B重合），在线段AB的同侧分别作等边△APC和等边△PBD，连接AD、BC，交点为Q．若AB＝6，求动点Q运动路径的长为（　　）
A．π B．π C．2π D．3π
【考点】轨迹；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】动点型；图形的全等；应用意识．
【答案】B
【分析】可知点P的运动轨迹是劣弧，设弧AB所在圆的圆心为O，在⊙O上任意取一点M，连接AM，BM，则∠M＝60°，作OH⊥AB于H，则AH＝BH＝3，OH，OB＝2，利用弧长公式即可解决．
【解答】解：∵△APC，△PBD都是等边三角形，
∴AP＝PC，PD＝PB，∠APC＝∠DPB＝60°，
∴∠APD＝∠CPB，
在△APD和△CPB中，
，
∴△APD≌△CPB（SAS），
∴∠ADP＝∠CBP，设BC与PD交于点G，
∵∠QGD＝∠PGB，
∴∠DQG＝∠BPG＝60°，
∴∠AQB＝180°﹣∠DQG＝120°
所以点Q的运动轨迹是劣弧，设弧AB所在圆的圆心为O，在圆上任意取一点M，连接AM，BM，
则∠M＝60°，
∴∠AOB＝2∠M＝120°，作OH⊥AB于H，则AH＝BH＝3，OH，OB＝2，
∴弧AB的长π．
∴动点Q运动轨迹的长π．
故选：B．
【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、圆的有关性质、弧长公式等知识，解题的关键是理解轨迹的意义，学会添加常用辅助线，学会探究找到轨迹的方法，属于中考压轴题．
9．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝2cm，BC＝4cm，现有一根长为2cm的木棒EF紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒EF的中点P在运动过程中所围成的图形的面积为（　　）
A．（8﹣π）cm2 B．4cm2 C．（3+π）cm2 D．8cm2
【考点】轨迹；矩形的性质；扇形面积的计算．
【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观．
【答案】A
【分析】连接BP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BPEF，然后判断出点P在运动过程中所围成的图形的面积为长方形的面积减去四个扇形的面积，列式计算即可得解．
【解答】解：如图，∵P是EF的中点，
∴BPEF2＝1（cm），
∵AB＝2，
∴点P在运动过程中所围成的图形的面积为长方形的面积减去四个扇形的面积，：
又∵四个扇形的面积正好等于一个相同半径的圆的面积，
∴4×2﹣π 12＝8﹣π（cm2）．
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，扇形面积的计算，轨迹，判断出点的P运动的轨迹和所组成的图形的面积组成是解题的关键．
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．P是BC边上一动点，以PC为直径作⊙O，连接AP交⊙O于点Q，连接BQ，点P从点B出发，沿BC方向运动，当点P到达点C时，点P停止运动．在整个运动过程中，线段BQ的大小变化情况是（　　）
A．一直增大 B．一直减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【考点】轨迹；圆周角定理．
【专题】动点型；与圆有关的计算；应用意识．
【答案】D
【分析】如图，取AC的中点E，连接QE，连接BE，CQ．首先证明∠PQC＝∠CQA＝90°，由CE＝AE，推出QEAC，因为BQ≥BE﹣EQ，又BE，EQ是定值，推出当点Q落在BE上时，BQ的值最小，由此即可判断．
【解答】解：如图，取AC的中点E，连接QE，连接BE，CQ．
∵PC是直径，
∴∠PQC＝∠CQA＝90°，
∵CE＝AE，
∴QEAC，
∵BQ≥BE﹣EQ，又BE，EQ是定值，
∴当点Q落在BE上时，BQ的值最小，
∴点P从点B出发，沿BC方向运动，当点P到达点C时，BQ的值先减小后增大，
故选：D．
【点评】本题考查圆周角定理，轨迹等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
11．如图1，等边△ABC的边长为3，分别以顶点B、A、C为圆心，BA长为半径作弧AC、弧CB、弧BA，我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然莱洛三角形仍然是轴对称图形．设点I为对称轴的交点，如图2，将这个图形的顶点A与等边△DEF的顶点D重合，且AB⊥DE，DE＝2π，将它沿等边△DEF的边作无滑动的滚动，当它第一次回到起始位置时，这个图形在运动中扫过区域面积是（　　）
A．18π B．27π C．π D．45π
【考点】轨迹；轴对称图形；扇形面积的计算．
【专题】圆的有关概念及性质．
【答案】B
【分析】先判断出莱洛三角形等边△DEF绕一周扫过的面积如图所示，利用矩形的面积和扇形的面积之和即可；
【解答】解：如图1中，∵等边△DEF的边长为2π，等边△ABC的边长为3，
∴S矩形AGHF＝2π×3＝6π，
由题意知，AB⊥DE，AG⊥AF，
∴∠BAG＝120°，
∴S扇形BAG3π，
∴图形在运动过程中所扫过的区域的面积为3（S矩形AGHF+S扇形BAG）＝3（6π+3π）＝27π；
故选：B．
【点评】本题考查轨迹，弧长公式，莱洛三角形的周长，矩形，扇形面积公式，解题的关键是判断出莱洛三角形绕等边△DEF扫过的图形．
二．填空题（共6小题）
12．甲、乙、丙、丁、戊五个同学是好朋友，一次郊游时都已口渴难耐，却只剩下两个梨，大家相互推让：
甲说：“如果我吃一个，那么乙也应吃一个”；
乙说：“如果我吃一个，那么丙也应吃一个”；
丙说：“如果我吃一个，那么丁也应吃一个”；
丁说：“如果我吃一个，那么戊也应吃一个”；
大家都遵守诺言，两个梨均被吃掉，请问：哪两个人吃掉了这两个梨？　丁和戊　 ．
【考点】推理与论证．
【专题】推理填空题．
【答案】丁和戊
【分析】此题含有一个隐含条件，也就是戊没有说：如果我吃一个，那么别的朋友也吃一个…解题可以从这里突破．结合只剩下两个梨，由此进行推理即可得到结论．
【解答】解：∵这个题还有一个隐含条件，也就是戊没有说：如果我吃一个，那么别的朋友也吃一个…
如果甲吃一个，则乙吃一个、丙吃一个、丁吃一个、戊吃一个，需要5个梨；
如果乙吃一个，而甲可吃一个可不吃一个，则丙吃一个、丁吃一个、戊吃一个，至少需要4个梨；
如果丙吃一个，而甲和乙可吃一个可不吃一个，则丁吃一个、戊吃一个，至少需要3个梨；
如果丁吃一个，而甲和乙和丙可吃一个可不吃一个，则戊吃一个，至少需要2个梨．
因为题中说只剩下2个梨，
所以丁和戊吃掉了这两个梨，甲、乙、丙都没有吃．
故答案为：丁和戊．
【点评】考查了推理与论证，首先要找出题目的隐含条件，然后利用隐含条件进行推理才能正确得出结论．
13．某单位设有6个部门，共153人，如表：
部门 部门1 部门2 部门3 部门4 部门5 部门6
人数 25 16 23 32 43 14
参与了“学党史，名师德、促提升”建党100周年，“党史百题周周答活动”，一共十道题，每小题10分，满分100分；在某一周的前三天，由于特殊原因，有一个部门还没有参与答题，其余五个部门全部完成了答题，完成情况如表：
分数 100 90 80 70 60 50及以下
比例 5 2 1 1 1 0
综上所述，未能及时参与答题的部门可能是　部门3或部门5　 ．
【考点】推理与论证．
【专题】推理填空题；应用意识．
【答案】部门3或部门5．
【分析】各分数人数比为5：2：1：1：1，可以求出100分占总人数，90分占总人数，80、70、60分占总人数的，即各分数人数为整数，总参与人数应该为10的倍数，6个部门总有有153人，即未参加部分人数个位数有3，即可求得结果．
【解答】解：各分数人数比为5：2：1：1：1，
即100分占总参与人数的，
80、70、60分占总参与人数的，
各分数人数为整数，即总参与人数＝整数，
∴总参与人数是10的倍数，
6个部门有153人，
即25+16+23+32+43+14＝153人，
则未参与部门人数个位一定为3，
∴未参与的可能是3或5．
【点评】本题考查统计与概率，解本题的关键首先考虑人数为正整数，还要掌握统计的基本知识．
14．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2．如图，将直角顶点B放在原点，点A放在y轴正半轴上，当点B在x轴上向右移动时，点A也随之在y轴上向下移动，当点A到达原点时，点B停止移动，在移动过程中，点C到原点的最大距离为 　2+2　 ．
【考点】轨迹；坐标与图形性质．
【答案】2+2
【分析】根据题意首先取A1B1的中点E，连接OE，C1E，当O，E，C1在一条直线上时，点C到原点的距离最大，进而求出答案．
【解答】解：如图所示：取A1B1的中点E，连接OE，C1E，当O，E，C1在一条直线上时，点C到原点的距离最大，在
Rt△A1OB1中，∵A1B1＝AB＝4，点OE为斜边中线，
∴OE＝B1EA1B1＝2，
又∵B1C1＝BC＝2，
∴C1E2，
∴点C到原点的最大距离为：OE+C1E＝2+2．
故答案为：2+2．
【点评】此题主要考查了轨迹以及勾股定理等知识，正确得出C点位置是解题关键．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝5，点E在线段AB上运动．连接DE，以DE为斜边作Rt△DEF，使得∠DEF＝60°，当点E从点A运动到点B时，动点F的运动路径长为 　　 ．
【考点】轨迹；矩形的性质．
【专题】动点型；矩形 菱形 正方形；几何直观．
【答案】．
【分析】当E与A点重合时及E与C重合时，根据F的位置，可知F的运动路径是FF'的长；由AB＝5，AD＝5可得∠ADB＝30°，即得D，F，B共线，证明△ABD≌△F'BD（ASA），有AD＝F'D，从而△AFD≌△F'FD（SAS），故AF＝F'F，而AFAD，即可得答案．
【解答】解：F的运动路径是线段FF'的长，如图：
由AB＝5，AD＝5可得tan∠ADB，
∴∠ADB＝30°，
当A与E重合时，
∵∠DEF＝60°，∠DFA＝90°，
∴∠EDF＝30°，
∴∠ADB＝∠EDF，
∴D，F，B共线，
∴当E'与B重合时，F在DE'上，
∵∠ABD＝∠DBF'＝60°，∠ADB＝∠BDF'＝30°，BD＝BD，
∴△ABD≌△F'BD（ASA），
∴AD＝F'D，
∵∠ADF＝∠F'DF，DF＝DF，
∴△AFD≌△F'FD（SAS），
∴AF＝F'F，
在Rt△ADF中，
AFAD，
∴F'F，
故答案为：．
【点评】本题考查矩形的性质及点的运动轨迹，解题的关键是利用全等三角形的性质证明F'F＝AF．
16．如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC＝DB＝1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为　2　 ．
【考点】轨迹．
【答案】2
【分析】设KH的中点为S，连接PE，PF，SE，SF，PS，由三角形相似结合E为MN的中点，S为KH的中点可得A，E，S共线，F为QR的中点，S为KH的中点得B，F，S共线，再由三角形相似得到ES∥PF，PE∥FS，结合G为EF的中点可得G为PS的中点，即G的轨迹为△CSD的中位线，由三角形的中位线长是底边的一半得答案．
【解答】解：如图，
设KH的中点为S，连接PE，PF，SE，SF，PS，
∵E为MN的中点，S为KH的中点，
∴MEMN，KSKH，
∵，∠AME＝∠AKS＝90°，
∴△AEM∽△ASK，
∴∠AEM＝∠ASK，
∴A，E，S共线，
同理可得：B、F、S共线，
由△AME∽△PQF，得∠SAP＝∠FPB，
∴ES∥PF，
△PNE∽△BRF，得∠EPA＝∠FBP，
∴PE∥FS，
则四边形PESF为平行四边形，则G为PS的中点，
∴G的轨迹为△CSD的中位线，
∵CD＝AB﹣AC﹣BD＝6﹣1﹣1＝4，
∴点G移动的路径长．
故答案为：2．
【点评】本题考查了轨迹，考查了三角形的中位线知识，考查了三角形相似及动点的轨迹，是中档题．
17．如图，矩形OABC的边OC在y轴上，边OA在x轴上，C点坐标为（0，3），点D是线段OA上的一个动点，连接CD，以CD为边作矩形CDEF，使边EF过点B．连接OF，当点D与点A重合时，所作矩形CDEF的面积为18．在点D的运动过程中，线段OF最大值为　3+3　 ．
【考点】轨迹；坐标与图形性质；三角形三边关系；直角三角形斜边上的中线；勾股定理；矩形的判定与性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；应用意识．
【答案】3+3
【分析】连接BD，由矩形的性质得出S矩形CDEF＝2S△CBD＝12，S矩形OABC＝2S△CBD，得出S矩形OABC＝18，由OC＝3，得出OA＝4，由∠CFB＝90°，C、B均为定点，F可以看作是在以BC为直径的圆上，取BC的中点M，求出FM，OM，根据OF≤FM+OM求解即可解决问题．
【解答】解：当点D与点A重合时，如图：
∵S矩形CDEF＝2S△CBD＝18，S矩形OABC＝2S△CBD，
∴S矩形OABC＝18，
∵C点坐标为（0，3），
∴OC＝3，
∴OA＝6，
∵∠CFB＝90°，C、B均为定点，
∴F可以看作是在以BC为直径的圆上，取BC的中点M，
则MFBC＝3，OM3，
∵OF≤FM+OM，
∴OF≤3+3
∴OF的最大值＝3+3，
故答案为3+3．
【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、直角三角形的性质以及最值问题等知识；熟练掌握矩形的性质，求出矩形OABC的面积是解题的关键．
三．解答题（共3小题）
18．A，B，C，D四支足球队分在同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权，比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中积分最高的两个队（有且只有两个队）出线，小组赛结束后，如果A队没有全胜，那么A队的积分至少要几分才能保证一定出线？请说明理由．
[注：单循环比赛就是小组内的每一个队都要和其他队赛一场]．
【考点】推理与论证．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意每队都进行3场比赛，本组进行6场比赛，根据规则每场比赛，两队得分的和是3分或2分，据此对A队的胜负情况进行讨论，从而确定．
【解答】解：至少要7分才能保证一定出线；
每队都进行3场比赛，本组进行6场比赛．
若A队两胜一平，则积7分．
因此其它队的积分不可能是9分，依据规则，不可能有球队积8分，
每场比赛，两队得分的和是3分或2分．
6场比赛两队的得分之和最少是12分，最多是18分，
∴最多只有两个队得7分．
所以积7分保证一定出线．
若A队两胜一负，积6分．
如表格所示，根据规则，这种情况下，A队不一定出线．
同理，当A队积分是5分、4分、3分、2分时不一定出线．
总之，至少7分才能保证一定出线．
【点评】本题考查了正确进行推理论证，在本题中正确确定A队可能的得分情况是关键．
19．如图是一种电脑桌，其实物图如图1所示，此电脑桌的桌面可调节，图2和图3是其可调节桌面的侧面示意图，在点C处固定安装了一根长度一定的支撑臂CB．点B可在AD上滑动，AC＝25cm．（其中（2），（3）两问结果保留小数点后一位）
（1）在图2中，当BC⊥AC时，测得∠BAC＝45°，求支撑臂CB的长；
（2）在图3中，当BC与AC不垂直时，测得∠BAC＝22°，求此时AB的长；
（3）从图2到图3过程中，求点C在此运动过程中的路径长．
（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，π≈3.14）
【考点】轨迹；解直角三角形的应用．
【专题】动点型；解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】（1）BC＝25cm．
（2）AB＝46.5cm．
（3）10.0cm．
【分析】（1）证明△ABC是等腰直角三角形即可．
（2）如图3中，过点C作CH⊥AB于H．利用等腰三角形的性质求解即可．
（3）利用弧长公式求解即可．
【解答】解：（1）如图2中，∴AC⊥BC，∠A＝45°，
∴∠ACB＝90°，∠CBA＝∠A＝45°，
∴BC＝AC＝25（cm）．
（2）如图3中，过点C作CH⊥AB于H．
∵AC＝CB，CH⊥AB，
∴AH＝HB＝AC cos22°≈23.25（cm）
∴AB＝2AH≈46.5（cm）．
（3）点C在此运动过程中的路径长10.0（cm）
【点评】本题考查轨迹，解直角三角形，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20．材料：在处理有动点的几何问题时，寻求与动点相关的常量，可以帮我们分析出动点的运动轨迹，进而解决问题．如果动点C与定线段AB所成的∠CAB为常量，那么点C的运动轨迹为射线AC，如图A．如果动点G与定直线EF的距离GH为常量，动点G的运动轨迹即为过点G且与直线EF平行的直线l，如图B．
如图C中，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点P在边AD上且PD＝2，点M为直线AB上的一动点，以PM为直角边作等腰Rt△PMN，∠MPN＝90°，点N在直线MP的右下方，连接DN，当点M在边AB上运动时，
（1）分析点N的运动轨迹并写出证明过程；画出轨迹（尺规作图）．
（2）求△PDN周长的最小值．
【考点】轨迹；作图—复杂作图；等腰直角三角形；二次函数的最值；常量与变量；相似三角形的判定与性质；轴对称﹣最短路线问题．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】（1）N的运动轨迹是AD下方，到AD等于4的一条直线l．理由与图形见解答；
（2）2+2 ．
【分析】（1）作NH⊥AD于H，利用全等三角形的性质证明NH＝AP＝4，则可得点N的运动轨迹是直线l（在AD的下方，到直线AD的距离为4；
（2）作P关于这条直线l的对称点P′，连接DP′交直线l于N′，连接DN′，此时PN′+DN′的值最小，最小值＝线段DP′的长．
【解答】解：（1）N的运动轨迹是AD下方，到AD等于4的一条直线l．理由如下：
如图，作NH⊥AD于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝6，
∵∠H＝∠A＝∠MPN＝90°，
∴∠APM+∠HPN＝90°，∠APM+∠AMP＝90°，
∴∠AMP＝∠HPN，
∵PM＝PN，
∴△APM≌△HNP（AAS），
∴NH＝AP＝AD﹣PD＝6﹣2＝4，
∴点N的运动轨迹是直线l（在AD的下方，到直线AD的距离为4，
画出图象如下：
；
（2）作P关于这条直线l的对称点P′，连接DP′交直线l于N′，连接DN′，此时PN′+DN′的值最小，最小值＝线段DP′的长，
在Rt△DPP′中，DP′，
∴△PDN周长的最小值为2+2 ．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确判断N的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题．

展开更多......

收起↑