资源简介

2026年中考数学考前预测：无理数与实数
一．选择题（共10小题）
1．的平方根是（　　）
A．±4 B．4 C．±2 D．+2
2．若2m﹣4与3m﹣1是同一个正数的平方根，则m为（　　）
A．﹣3 B．1 C．﹣1 D．﹣3或1
3．若a是（﹣3）2的平方根，则等于（　　）
A．﹣3 B． C．或 D．3或﹣3
4．实数a、b满足4a2+4ab+b2＝0，则ba的值为（　　）
A．2 B． C．﹣2 D．
5．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，那么化简的结果（　　）
A．2a+b B．b C．2a﹣b D．3b
6．有下列说法：（1）无理数就是开方开不尽的数；（2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数包括正无理数、零、负无理数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示．其中正确的说法的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．若方程（x﹣5）2＝19的两根为a和b，且a＞b，则下列结论中正确的是（　　）
A．a是19的算术平方根
B．b是19的平方根
C．a﹣5是19的算术平方根
D．b+5是19的平方根
8．下列说法正确的是（　　）
A．﹣81的平方根是±9
B．任何数的平方是非负数，因而任何数的平方根也是非负数
C．任何一个非负数的平方根都不大于这个数
D．2是4的平方根
9．已知0.5981，1.289，2.776，则（　　）
A．27.76 B．12.89 C．59.81 D．5.981
10．若8xmy与6x3yn的和是单项式，则（m+n）3的平方根为（　　）
A．4 B．8 C．±4 D．±8
二．填空题（共5小题）
11．若实数m，n满足（m﹣1）20，则（m+n）5＝　 　 ．
12．比较大小：3 　 　 （填写“＜”或“＞”）．
13．一个正数a的两个平方根是2b﹣1和b+4，则a+b的立方根为 　 　 ．
14．如图，长方形ABCD的边AD长为2，AB长为1，点A在数轴上对应的数是﹣1，以A点为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，则这个点E表示的实数是 　 　 ．
15．设[x）表示大于x的最小整数，如[3）＝4，[﹣1.2）＝﹣1，则下列结论中正确的是 　 　 ．（填写所有正确结论的序号）
①[0）＝0；
②[x）﹣x的最小值是0；
③[x）﹣x的最大值是1；
④存在实数x，使[x）﹣x＝0.5成立．
三．解答题（共5小题）
16．已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
17．探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题：
a … 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 x 1 y 100 …
（1）表格中x＝　 　 ；y＝　 　 ；
（2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知3.16，则　 　 ；
②已知1.8，若180，则a＝　 　 ；
（3）拓展：已知，若，则z＝　 　 ．
18．计算下列各题：
（1）
（2）|7|﹣||
19．操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）
（1）折叠纸面，使表示的点1与﹣1重合，则﹣2表示的点与　 　 表示的点重合；
（2）折叠纸面，使﹣1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：
①5表示的点与数　 　 表示的点重合；
②表示的点与数　 　 表示的点重合；
③若数轴上A、B两点之间距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，此时点A表示的数是　 　 、点B表示的数是　 　
（3）已知在数轴上点A表示的数是a，点A移动4个单位，此时点A表示的数和a是互为相反数，求a的值．
20．阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：（2﹣i）+（5+3i）＝（2+5）+（﹣1+3）i＝7+2i；
（1+i）×（2﹣i）＝1×2﹣i+2×i﹣i2＝2+（﹣1+2）i+1＝3+i；
根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：i3＝　 　 ，i4＝　 　 ；
（2）计算：（1+i）×（3﹣4i）；
（3）计算：i+i2+i3+…+i2017．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．的平方根是（　　）
A．±4 B．4 C．±2 D．+2
【考点】平方根；算术平方根．
【答案】C
【分析】根据算术平方根的意义，可得16的算术平方根，再根据平方根的意义，可得答案．
【解答】解：4，±±2，
故选：C．
【点评】本题考查了平方根，先求算术平方根，再求平方根．
2．若2m﹣4与3m﹣1是同一个正数的平方根，则m为（　　）
A．﹣3 B．1 C．﹣1 D．﹣3或1
【考点】平方根．
【专题】计算题．
【答案】D
【分析】由于一个正数的平方根有两个，且互为相反数，可得到2m﹣4与3m﹣1互为相反数，2m﹣4与3m﹣1也可以是同一个数．
【解答】解：∵2m﹣4与3m﹣1是同一个正数的平方根，
∴2m﹣4+3m﹣1＝0，或2m﹣4＝3m﹣1，
解得：m＝1或﹣3．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平方根的概念，解题时注意要求是一个正数的平方根．
3．若a是（﹣3）2的平方根，则等于（　　）
A．﹣3 B． C．或 D．3或﹣3
【考点】立方根；平方根．
【专题】常规题型．
【答案】C
【分析】根据平方根的定义求出a的值，再利用立方根的定义进行解答．
【解答】解：∵（﹣3）2＝（±3）2＝9，
∴a＝±3，
∴，或，
故选：C．
【点评】本题考查了平方根，立方根的定义，需要注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
4．实数a、b满足4a2+4ab+b2＝0，则ba的值为（　　）
A．2 B． C．﹣2 D．
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．
【答案】B
【分析】先根据完全平方公式整理，再根据非负数的性质列方程求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：整理得，（2a+b）2＝0，
所以，a+1＝0，2a+b＝0，
解得a＝﹣1，b＝2，
所以，ba＝2﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
5．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，那么化简的结果（　　）
A．2a+b B．b C．2a﹣b D．3b
【考点】实数与数轴；绝对值；算术平方根；立方根．
【专题】实数；整式；二次根式；运算能力；模型思想；应用意识．
【答案】C
【分析】根据实数a，b在数轴上对应的点的位置判断出：a，b，b﹣a，a+b的符号，再根据平方根、立方根以及绝对值的性质进行化简即可．
【解答】解：实数a，b在数轴上对应的点的位置可知：a＞0，b＜0，且|a|＞|b|，
因此，b﹣a＜0，a+b＞0，
所以，a﹣b+a+b﹣b＝2a﹣b，
故选：C．
【点评】考查数轴表示数、平方根、立方根以及绝对值的性质等知识，正确判断符号是正确化简的前提．
6．有下列说法：（1）无理数就是开方开不尽的数；（2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数包括正无理数、零、负无理数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示．其中正确的说法的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】无理数．
【专题】数感；推理能力．
【答案】B
【分析】根据无理数的定义以及实数的分类即可作出判断．
【解答】解：（1）π是无理数，而不是开方开不尽的数，则命题错误；
（2）无理数就是无限不循环小数，则命题正确；
（3）0是有理数，不是无理数，则命题错误；
（4）正确；
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
7．若方程（x﹣5）2＝19的两根为a和b，且a＞b，则下列结论中正确的是（　　）
A．a是19的算术平方根
B．b是19的平方根
C．a﹣5是19的算术平方根
D．b+5是19的平方根
【考点】算术平方根；平方根．
【答案】C
【分析】结合平方根和算术平方根的定义可做选择．
【解答】解：∵方程（x﹣5）2＝19的两根为a和b，
∴a﹣5和b﹣5是19的两个平方根，且互为相反数，
∵a＞b，
∴a﹣5是19的算术平方根，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平方根和算术平方根的定义，熟记定义是解答此题的关键．一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为根号a．
8．下列说法正确的是（　　）
A．﹣81的平方根是±9
B．任何数的平方是非负数，因而任何数的平方根也是非负数
C．任何一个非负数的平方根都不大于这个数
D．2是4的平方根
【考点】平方根．
【答案】D
【分析】A、根据平方根的定义即可判定；
B、根据平方、平方根的定义即可判定；
C、可以利用反例，如：当0＜a＜1时结合平方根的定义即可判定；
D、根据平方根的定义即可判定．
【解答】解：A：由于负数没有平方根，故A选项错误；
B：任何数的平方为非负数，正确；但只有非负数才有平方根，且平方根有正负之分（0的平方根为0）．故选项B错误；
C：任何一个非负数的平方根都不大于这个数，不一定正确，如：当0＜a＜1时，a＞a2，故选项错误；
D：2的平方是4，所以2是4的平方根，故选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了平方根的基础知识．也考查了学生综合应用的能力．
9．已知0.5981，1.289，2.776，则（　　）
A．27.76 B．12.89 C．59.81 D．5.981
【考点】立方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】先将化简成含有的式子再计算．
【解答】解：102.776×10＝27.76．
故选：A．
【点评】本题考查求立方根的计算，解题关键是熟练掌握根式运算方法．
10．若8xmy与6x3yn的和是单项式，则（m+n）3的平方根为（　　）
A．4 B．8 C．±4 D．±8
【考点】平方根；合并同类项；单项式．
【专题】计算题；整式．
【答案】D
【分析】根据单项式的和是单项式，可得同类项，根据同类项是字母项相同且相同字母的指数也相同，可得m、n的值，再代入计算可得答案．
【解答】解：由8xmy与6x3yn的和是单项式，得
m＝3，n＝1．
（m+n）3＝（3+1）3＝64，64的平方根为±8．
故选：D．
【点评】本题考查了平方根，同类项，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．
二．填空题（共5小题）
11．若实数m，n满足（m﹣1）20，则（m+n）5＝　﹣1　 ．
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．
【答案】﹣1
【分析】根据非负数的性质可求出m、n的值，进而可求出（m+n）5的值．
【解答】解：由题意知，
m，n满足（m﹣1）20，
∴m＝1，n＝﹣2，
∴（m+n）5＝（1﹣2）5＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．
12．比较大小：3 　＞　 （填写“＜”或“＞”）．
【考点】实数大小比较．
【答案】＞
【分析】将3转化为，然后比较被开方数即可得到答案．
【解答】解：∵3，且9＞7，
∴3，
故答案为：＞．
【点评】此题主要考查了比较实数的大小，要熟练掌握任意两个实数比较大小的方法．（1）正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
13．一个正数a的两个平方根是2b﹣1和b+4，则a+b的立方根为 　2　 ．
【考点】立方根；平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】2．
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程，求解即可得出b的值，再求得两个平方根中的一个，然后平方可得a的值；将a、b的值代入计算得出a+b的值，再求其立方根即可．
【解答】解：∵一个正数a的两个平方根是2b﹣1和b+4，
∴2b﹣1+b+4＝0，
∴b＝﹣1．
∴b+4＝﹣1+4＝3，
∴a＝9．
∴a+b＝9+（﹣1）＝8，
∵8的立方根为2，
∴a+b的立方根为2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查平方根和立方根，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义和性质．
14．如图，长方形ABCD的边AD长为2，AB长为1，点A在数轴上对应的数是﹣1，以A点为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，则这个点E表示的实数是 　1　 ．
【考点】实数与数轴；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【答案】1
【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AE的长，再根据A点表示﹣1，可得点E表示的实数．
【解答】解：∵AD长为2，AB长为1，
∴AC，
∵A点表示﹣1，
∴点E表示的实数是1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
15．设[x）表示大于x的最小整数，如[3）＝4，[﹣1.2）＝﹣1，则下列结论中正确的是 　③④　 ．（填写所有正确结论的序号）
①[0）＝0；
②[x）﹣x的最小值是0；
③[x）﹣x的最大值是1；
④存在实数x，使[x）﹣x＝0.5成立．
【考点】实数的运算．
【专题】压轴题；新定义．
【答案】③④
【分析】根据题意[x）表示大于x的最小整数，结合各项进行判断即可得出答案．
【解答】解：①[0）＝1，故本项错误；
②[x）﹣x＞0，但是取不到0，故本项错误；
③[x）﹣x≤1，即最大值为1，故本项正确；
④存在实数x，使[x）﹣x＝0.5成立，例如x＝0.5时，故本项正确．
故答案为③④．
【点评】此题考查了实数的运算，仔细审题，理解[x）表示大于x的最小整数是解答本题的关键，难度一般．
三．解答题（共5小题）
16．已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
【考点】估算无理数的大小；平方根；算术平方根．
【专题】常规题型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接利用立方根以及算术平方根的定义得出a，b，c的值；
（2）利用（1）中所求，代入求出答案．
【解答】解：（1）∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，
∴5a+2＝27，3a+b﹣1＝16，
∴a＝5，b＝2，
∵c是的整数部分，
∴c＝3；
（2）将a＝5，b＝2，c＝3代入得：3a﹣b+c＝16，
∴3a﹣b+c的平方根是±4．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小以及算术平方根和立方根，正确把握相关定义是解题关键．
17．探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题：
a … 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 x 1 y 100 …
（1）表格中x＝　0.1　 ；y＝　10　 ；
（2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知3.16，则　31.6　 ；
②已知1.8，若180，则a＝　32400　 ；
（3）拓展：已知，若，则z＝　0.012　 ．
【考点】算术平方根；立方根．
【专题】规律型．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案．
【解答】解：（1）x＝0.1，y＝10，故答案为：0.1，10；
（2）①31.6，a＝32400，故答案为：31.6，32400；
（4）z＝0.012，故答案为：0.012．
【点评】本题考查了算术平方根，注意被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍．
18．计算下列各题：
（1）
（2）|7|﹣||
【考点】实数的运算．
【专题】计算题；实数．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）原式利用平方根、立方根定义计算即可求出值；
（2）原式利用绝对值的代数意义计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝1﹣30.51；
（2）原式＝7π7＝﹣π．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）
（1）折叠纸面，使表示的点1与﹣1重合，则﹣2表示的点与　2　 表示的点重合；
（2）折叠纸面，使﹣1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：
①5表示的点与数　﹣3　 表示的点重合；
②表示的点与数　2　 表示的点重合；
③若数轴上A、B两点之间距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，此时点A表示的数是　﹣3.5　 、点B表示的数是　5.5　
（3）已知在数轴上点A表示的数是a，点A移动4个单位，此时点A表示的数和a是互为相反数，求a的值．
【考点】实数与数轴；实数的性质．
【专题】实数；一次方程（组）及应用；数感；模型思想；应用意识．
【答案】（1）2；
（2）①﹣3；②2；③﹣3.5，5.5；
（3）2或﹣2．
【分析】（1）求出表示两个数的点的中点所对应的数，利用方程可以求出在此条件下，任意一个数所对应的数；
（2）求出﹣1表示的点与3表示的点重合时中点表示的数，在利用方程或方程组求出在此条件下，任意一个数所对应的数；
（3）分两种情况进行解答，向左移动4个单位，向右移动4个单位，列方程求解即可．
【解答】解：（1）折叠纸面，使表示的点1与﹣1重合，折叠点对应的数为0，设﹣2表示的点所对应点表示的数为x，于是有0，解得x＝2，
故答案为2；
（2）折叠纸面，使表示的点﹣1与3重合，折叠点对应的数为1，
①设5表示的点所对应点表示的数为y，于是有1，解得y＝﹣3，
②设表示的点所对应点表示的数为z，于是有1，解得z＝2，
③设点A所表示的数为a，点B表示的数为b，由题意得：
1且b﹣a＝9，解得：a＝﹣3.5，b＝5.5，
故答案为：﹣3，2，﹣3.5，5.5；
（3）①A往左移4个单位：（a﹣4）+a＝0．解得：a＝2．
②A往右移4个单位：（a+4）+a＝0，解得：a＝﹣2．
答：a的值为2或﹣2．
【点评】考查数轴表示数的意义和方法，数轴上两个数的中点所表示数的计算方法是解决问题的关键．
20．阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：（2﹣i）+（5+3i）＝（2+5）+（﹣1+3）i＝7+2i；
（1+i）×（2﹣i）＝1×2﹣i+2×i﹣i2＝2+（﹣1+2）i+1＝3+i；
根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：i3＝　﹣i ，i4＝　1　 ；
（2）计算：（1+i）×（3﹣4i）；
（3）计算：i+i2+i3+…+i2017．
【考点】实数的运算．
【专题】新定义．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把i2＝﹣1代入求出即可；
（2）根据多项式乘以多项式的计算法则进行计算，再把i2＝﹣1代入求出即可；
（3）先根据复数的定义计算，再合并即可求解．
【解答】解：（1）i3＝i2 i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1．
故答案为：﹣i，1；
（2）（1+i）×（3﹣4i）
＝3﹣4i+3i﹣4i2
＝3﹣i+4
＝7﹣i；
（3）i+i2+i3+…+i2017
＝i﹣1﹣i+1+…+i
＝i．
【点评】本题考查了整式的混合运算，复数的定义，能读懂题意是解此题的关键，主要考查了学生的理解能力和计算能力，难度适中．

展开更多......

收起↑