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第二十一章 四边形 单元测试卷
时间：90分钟 分值:120分 得分：
一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分)
1.若从多边形的一个顶点可以引出七条对角线，则这个多边形是弥 ( )
A.七边形 B.八边形 C.九边形 D.十边形
2.矩形具有而菱形不具有的性质是 ( )
A.对角线相等 B.对角线互相平分
C.对角线互相垂直 D.对角相等
3.用一张宽度相等的足够长的纸条，打一个结，如图1 所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形 ABCDE，则∠BAC 的度数是 ( )
A.36° B.30° C.45° D.40°
4.如图,在ABDC中,对角线AD,BC交于点O,若 BD=8,且△BOD 的周长比△ABO 的周长多2,则AB 的长为 ( )
A.4 B.6 C.8 D.2
5.如图,将矩形纸片 ABCD 沿直线 EF 折叠,使点 C 落在边AD的中点C'处,点 B 落在点B'处,其中AB=9,BC=6,则 FC'的长为 ( )
A. B.4 C.4.5 D.5
6.小琦在复习几种特殊四边形的关系时，整理出如图所示的转换图，(1)(2)(3)(4)处需要添加条件，则下列条件添加错误的是( )
A.(1)处可填∠A=90° B.(2)处可填AD=AB
C.(3)处可填AD=BC D.(4)处可填∠A=90°
7.如图，网格中的每个小正方形的边长均为1，△ABC 的三个顶点均在网格线的交点上，D，E分别是边AB，AC 与网格线的交点，连接 DE,则 DE 的长为 ( )
A. B.1 C. D.
8.如图,菱形 ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,过点 D 作DH⊥AB 于点 H,连接OH.若OA=6,S菱形ABCD=48,则OH的长为 ( )
A.4 B.8 C. D.6
9.将五个边长都为2cm 的正方形按如图所示的方式摆放，点A，B，C，D分别是四个正方形的中心(对角线的交点)，则图中阴影部分的面积的和为 ( )
A.2cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm
10. D如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC 与BD 交于点O,F 是OD 的中点,过点 D 作DE⊥BD 交AF 的延长线于点E,连接CE,CF.有下列结论:①F 是AE 的中点;②四边形 OCED 是矩形；③S△ACP=S△CEF;④若CF=5,CE=6,则菱形的边长为 其中正确的结论是 ( )
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④
二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)
11.如果一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，那么这个多边形的边数为 .
12.如图，一技术人员用刻度尺(单位：cm)测量某三角形部件的尺寸.已知∠ACB=90°,D 为边AB 的中点,点 A,B 对应的刻度分别为1,7,则CD= cm.
13.如图,直线l与正五边形 ABCDE 的边 BC,AE(端点除外)分别交于点 F,G,则∠1+∠2的度数等于 .
14.如图,在矩形 ABCD 中,AB=2,对角线 AC 与 BD 相交于点O,AE 垂直平分OB 于点E,则 BC 的长为 .
15.如图,在矩形 ABCD 中,已知AB=4,AD=2,AE=BE,F 是EC上一动点,P 是 DF 的中点,连接 PB,则 PB 的最小值为 .
16.如图,在边长为6的正方形 ABCD 中,△AMN 的顶点M,N 分别在边BC,CD 上,且MN=BM+DN,连接BD 分别交AM,AN 于点E,F,其中 则EF= .
三、解答题(本大题共8个小题，共72分)
17.(8分)一个n边形的每个外角都相等，它的一个内角与相邻的外角的度数之比为6：3.
(1)求这个n边形的边数；(2)求这个n边形的内角和.
18.(8分)如图,在ABCD 中,点 E,F 分别在AD,BC 上,且AE=CF,EF,BD 相交于点O.求证:OE=OF.
19.(8分)如图,在△ABC中,D,E 分别为AB,AC 的中点,DF⊥BC,垂足为 F,点G 在DE 的延长线上,DG=FC.
(1)求证:四边形 DFCG 是矩形;
(2)若∠B=45°,DF=3,DG=5,求 BC 和AC 的长.
20.(8分)如图,△ABC 为锐角三角形,AD 平分∠BAC.
(1)请用无刻度的直尺和圆规分别在 AB，AC 上取点E，F，使得DE∥AC,DF∥AB;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,求证:四边形AEDF 为菱形.
21.(8分)如图,已知矩形ABCD,延长CB 至点E,使得BE=BC,对角线AC,BD 交于点F,连接EF,AE.
(1)求证：四边形 AEBD 是平行四边形；
(2)若 BC=4,CD=8,求 EF 的长.
22.(10分)如图,在菱形ABCD 中,∠BAD=150°,AB=4.
(1)求菱形 ABCD 的面积;
(2)若 P 为对角线BD 上一点,PM⊥BC,PN⊥CD,垂足分别为M,N,求 PM+PN 的值.
23.(10分)如图,在正方形ABCD 中,G 是对角线CA 的延长线上的点，以线段AG 为边作正方形AEFG，连接BE，与边 AD交于点 P,连接DG,与 BE 交于点 H.
(1)求证:BE=DG;
(2)判断 BE 与 DG 的位置关系，并说明理由；
(3)若 求 DG 的长.
24.(12分)【问题情境】
如图，四边形ABCD 为正方形，E为对角线AC 上的一动点，连接 DE,过点 E 作 交直线 BC 于点 F,以 DE,EF 为邻边作矩形 DEFG,连接CG.
【猜想证明】
(1)求证:四边形 DEFG 为正方形;
【解决问题】
(2)求 的度数；
(3)若BC=4,CF=2,请直接写出 CG 的长.
1. D 设这个多边形有 n 条边.由题意,得 n-3=7,解得n=10.
2. A ∵矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等，∴对于该性质，矩形具有而菱形不具有，
故选项 A 符合题意.
∵矩形和菱形的对角线都互相平分，
∴对于该性质，矩形和菱形都具有，故选项 B不符合题意.
∵菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不一定互相垂直，
∴对于该性质，菱形具有而矩形不具有，故选项 C不符合题意.
∵矩形和菱形的对角都相等，
∴对于该性质，矩形和菱形都具有，故选项 D不符合题意.
3. A ∵正五边形的每个内角都相等,∴∠ABC =
∵正五边形的每条边都相等，
∴△ABC 是等腰三角形,∴∠BAC=∠BCA=(180°-108°)÷2=36°.
4. B ∵四边形 ABDC 是平行四边形,∴OA=OD.
∵△BOD 的周长比△ABO 的周长多2,
∴BD+BO+OD-(AB+BO+OA)=2,即 BD-AB=2,∴AB=6.
5. D 由折叠的性质可知,FC=FC'.设 FC'=x,则 FD=9-x.
∵BC=6,四边形 ABCD 为矩形,C'为AD 的中点,
∴∠D=90°,AD=BC=6,C'D=3.
在 Rt△FC'D 中,FC'=x,FD=9-x,C'D=3, 即 解得x=5.
6. CA.有一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意；
B.有一组邻边相等的矩形是正方形，故该选项不符合题意；
C.对边相等是平行四边形的性质，故该选项符合题意；
D.有一个角是直角的菱形是正方形，故该选项不符合题意.
7. B 如图.由题意可知,BC=AF=BG=2,∠AFD=∠BGD=90°.
∵∠ADF=∠BDG,∴△ADF≌△BDG(AAS),
∴AD=BD.同理可证AE=CE,
∴DE 是△ABC 的中位线,
8. A
9. B
10. D ∵F 是OD 的中点,∴OF=DF.
∵四边形 ABCD 是菱形,∴AC⊥BD.
∵DE⊥BD,∴DE∥AC,∴∠FAO=∠FED.
又∵∠AFO=∠EFD,
∴△AOF≌△EDF(AAS),∴OA=DE,AF=EF,
∴F是AE 的中点,故①正确.
∵四边形 ABCD 是菱形,∴OA=OC,∠DOC=90°.由①,得OA=DE,∴OC=DE.
∵DE∥OC,∴四边形OCED 是平行四边形.
∵∠DOC=90°,
∴四边形OCED 是矩形，故②正确.
∵AF= EF,∴S△ACP=S△CEF,故③正确.
∵四边形OCED 是矩形,
∴OD=CE=6,∠OCE=90°.
在 Rt△ACE中,CF=5,AF=EF,
故④正确.
11.10 这个多边形的内角和为
设这个多边形的边数为n，
则 ,解得n=10,
故这个多边形的边数为10.
12.3 由题图可得,AB=7-1=6(cm).
∵∠ACB=90°,D为边AB的中点,
13.144° ∵五边形ABCDE 为正五边形,
∴∠BFG+∠AGF=360°-∠A-∠B=144°.
∵∠1=∠BFG,∠2=∠AGF,
∴∠1+∠2=∠BFG+∠AGF=144°.
14.2 ∵四边形ABCD 是矩形,∴AO=BO=CO=DO.
∵AE垂直平分OB,∴AB=AO,∴AB=AO=BO,
∴△AOB 是等边三角形,
15.2 如图.
当点 F 与点 C 重合时,点 P 在点 P 处,当点 F 与点 E 重合时,点 P 在点 P 处, ∴P P ∥CE,且P
当点 F 在EC上除点C,E处的位置时,有 DP=FP,∴P P∥CE,且
∴点 P 的运动轨迹是线段P P ,
∴当 PB⊥P P 时,PB 取得最小值.
∵在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E为AB 的中点,
∴△CBE,△ADE,△BCP 均为等腰直角三角形,
∴∠ADE =∠CDE =∠CP B =∠DEA=∠CEB=45°,∴∠DEC=90°,
∴∠DP P =90°,∴∠DP P =45°,
∴∠P P B=90°,即BP ⊥P P ,
∴PB 的最小值为BP 的长.
在等腰直角三角形BCP 中，
∴PB 的最小值为
过点 A 作AH⊥AN 交 CB 的延长线于点 H,过点 B 作BK⊥BD 交AH于点K,连接EK,如图所示,则∠HAN=90°,∠KBE=90°.
在正方形 ABCD 中,AB=AD=6,∠ABC=∠ADN=∠BAD=90°,∠ADF=∠ABE=45°,
∴∠ABH=∠ADN=90°,∠HAN=∠BAD=90°,
∴∠BAH+∠BAN=∠BAN+∠DAN,
∴∠BAH=∠DAN.
在△ABH 和△ADN 中,
∴△ABH≌△ADN(ASA),∴BH=DN,AH=AN,
∴MH=BM+BH=BM+DN.
∵MN=BM+DN,∴MH=MN.
在△AMH 和△AMN 中
∴△AMH≌△AMN(SSS),∴∠MAH=∠MAN.
∵∠KBE=90°,∠ABE=45°,
∴∠ABK=∠KBE-∠ABE=45°,
∴∠ABK=∠ADF=45°.
在△ABK 和△ADF 中,
∴△ABK≌△ADF(ASA),
在△AKE 和△AFE 中,
∴△AKE≌△AFE(SAS),∴EK=EF.
在 Rt△ABD 中,AB=AD=6,
由勾股定理，得
设EF=x,则 EK=EF=x,
在 Rt△EKB 中,由勾股定理,得.
解得
17.解：(1)由题意，得该n边形为正n边形，且一个外角的度数为 2分
∴这个 n边形的边数为6. 4分
(2)这个n边形的内角和为180°×(6-2)=720°. 8分
18.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC,AD=BC, 2分
∴∠ODE=∠OBF.
∵AE=CF,∴DE=BF.
又∵∠DOE=∠BOF,
∴△DOE≌△BOF(AAS), 6分
∴OE=OF. 8分
19.解:(1)证明:∵D,E 分别为AB,AC的中点,
∴DE 是△ABC 的中位线,
∴DE∥BC. 1分
∵DG=FC,
∴四边形 DFCG 是平行四边形. 2分
又∵DF⊥BC,∴∠DFC=90°,
∴平行四边形 DFCG 是矩形. 4分
(2)∵DF⊥BC,∴∠DFB=90°.
∵∠B=45°,∴△BDF 是等腰直角三角形,
∴BF=DF=3.
∵DG=FC=5,
∴BC=BF+FC=3+5=8. 6分
由(1)可知,DE 是△ABC 的中位线,四边形 DFCG 是矩形，
∴EG=DG-DE=5-4=1,
7分
∵E为AC的中点,
8分
20.解:(1)如图,点 E,F 即为所求. 4分
(2)证明:由(1),知DE∥AF,AE∥DF,
∴四边形 AEDF 为平行四边形. 5分
∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.
∵DE∥AF,∴∠EDA=∠DAC,
∴∠EAD=∠EDA,
∴AE=DE, 7分
∴平行四边形 AEDF 为菱形. 8分
21.解:(1)证明:∵四边形ABCD 是矩形,
∴AD∥BC,AD=BC. 2分
∵BC=BE,∴AD∥BE,AD=BE,
∴四边形 AEBD 是平行四边形. 4分
(2)如图,过点 F 作 FG⊥BC 于点G.
∵四边形ABCD 是矩形,∴FB=FC=FD,
∴G是BC的中点,
∴FG是△BCD 的中位线,
6分
∵BC=4,BE=BC,G是BC的中点,∴EG=6.在 Rt△EFG中,
8分
22.解:(1)如图,过点 A 作AE⊥CD 于点E.
∵四边形ABCD 是菱形,
∴AB∥DC,CD=AD=AB=4,
在 Rt△AED 中,
4分
(2)如图,延长 NP,交AB 于点 F.
∵四边形 ABCD 是菱形,
∴AB∥DC. 5分
∵PN⊥CD,AB∥CD,∴PN⊥AB.
∵P 为对角线BD 上一点,PM⊥BC,BD 平分∠ABC,
∴PF=PM,
则 PM+PN=PF+PN=FN. 7分
∵AE⊥CD,PN⊥CD,
∴FN∥AE. 8分
∵AB∥DC,∴四边形AENF 是平行四边形,
∴PM+PN=FN=AE=2. 10分
23.解:(1)证明:∵四边形 ABCD 和四边形 AEFG 都是正方形，
∴AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠EAG=90°,
∴∠BAD+∠EAD =∠EAG+∠EAD,即∠BAE =∠DAG.
在△BEA 和△DGA 中,
∴△BEA≌△DGA(SAS),
∴BE=DG. 3分
(2)BE⊥DG. 4分
理由如下:由(1),知∠BAD=90°,△BEA≌△DGA,
∴∠ABE=∠ADG.
∵∠DAB=90°,∴∠ABE+∠BPA=90°.
∵∠BPA=∠DPH,∴∠ADG+∠DPH=90°,
∴∠DHP=90°,
∴BE⊥DG. 6分
(3)如图,过点 G 作GM⊥DA,交DA 的延长线于点M.
由题意可得,∠DAC=45°,∴∠GAM=∠DAC=45°.
∵GM⊥DA,∴∠AMG=90°,
∴∠AGM =180°-∠AMG-∠GAM =180°-90°-
∴AM=GM,
∴△AGM 是等腰直角三角形. 8分
(负值舍去).
10分
24.解:(1)证明:如图1,过点 E 作EM⊥BC 于点 M,EN⊥CD 于点N.
∵四边形 ABCD 为正方形,
∴∠BCD=90°,∠ECN=45°,
∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°,且NE=NC,
∴四边形 EMCN 为正方形,∴EM=EN. 2分
∵四边形 DEFG 为矩形,
∴∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°,
∴∠DEN=∠MEF. 3分
在△DEN 和△FEM 中:
∴△DEN≌△FEM(ASA),∴ED=EF,
∴矩形 DEFG 为正方形. 5 分
(2)∵矩形 DEFG 为正方形,
∴DE=DG,∠EDC+∠CDG=90°.
∵四边形 ABCD 是正方形,
∴AD=DC,∠ADE+∠EDC=90°,
∴∠ADE=∠CDG, 7分
∴△ADE≌△CDG(SAS),
∴∠DCG=∠DAE=45°. 8分
(3)CG 的长为或3. 12分
提示：①当点 F 在线段BC上时，如图1.
在正方形 EMCN、正方形 ABCD 中,有 BC= DC,MC=NC,
∴BC-MC=DC-NC,即 BM=DN.
∵△DEN≌△FEM,∴FM=DN,
∴MC=MF+CF=1+2=3,
∵△ADE≌△CDG,
②当点 F 在线段BC 的延长线上时，如图2.
同理可得,△EFM≌△EDN,CM=CN=EM=EN,AE=CG,
综上所述，CG 的长为或3

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