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21.3特殊的平行四边形
基础测·教材变式
一、选择题(每小题3分，共15 分)
1.下列命题中，是假命题的是 ( )
A.矩形的对角线相等 B.菱形的对角线互相垂直
C.正方形的对角线相等且互相垂直 D.平行四边形的对角线相等
2.如图,在△ABC中,点 E,D,F 分别在AB,BC,AC上,DE∥CA,DF∥BA.下列四个判断中,正确的是 ( )
A.如果 DE⊥DF,那么四边形 AEDF 是正方形 B.如果 DE=DF,那么四边形AEDF 是正方形
C.如果 DE⊥DF,那么四边形 AEDF 是矩形 D.如果 DE=DF,那么四边形 AEDF 是矩形
3.如图，四边形ABCD 的两条对角线相交于点O，AC=BD 且互相平分，若添加下列条件，不能判定四边形 ABCD 是正方形的是 ( )
A.2OA=BD B. AB=AD C. AC⊥BD D.∠ABD=∠CBD
4.如图,在矩形 COED 中,点 D 的坐标为(2,4),则CE 的长是 ( )
A.4 B. C.2 D.
5.如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC 与BD 互相垂直平分,且∠ABC=120°,AB=4,则四边形ABCD 的面积为 ( )
A. B. C.16 D.8
浅 二、填空题(每小题3分，共12分)
6.如图，在ABCD中，E，F分别是AB，DC的中点.只需添加一个条件即可证明四边形 AECF 是矩形，这个条件可以是 (写出一个即可).
7.如图,在平行四边形ABCO中,OA=OC,顶点O,A 的坐标分别为(0,0),(1, )，点C在x轴的正半轴上，则点 B 的坐标为 .
8.如图,在△ABC中,AB=8cm,BC=12cm,D,E分别是AB,AC的中点,点 F在DE上,AF⊥BF,则线段 EF 的长为 cm.
9.如图,在菱形 ABCD 中,过对角线 BD 上任一点 P,作 EF∥BC,GH∥AB,下列结论正确的是 .(填序号)
①图中共有3个菱形;②△BEP≌△BGP;③四边形 AEPH 的面积一定等于四边形 BGPE 面积的2倍；④四边形 AEPH 的周长等于四边形GPFC 的周长.
三、解答题(共25分)
10.(8分)如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD 相交于点O,E,F分别是边 BC,CD 上的点,且∠EOF=90°.求证:CE=DF.
11.(8分)如图,在△ABC中,O,D分别是边AB,BC的中点,过点 A 作AE∥BC交DO的延长线于点E,连接AD,BE.
(1)求证：四边形 AEBD 是平行四边形；
(2)若AB=AC,试判断四边形AEBD 的形状,并证明.
12.(9分)如图,在菱形ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点O,过点 A 作 BC 的垂线,垂足为E,延长BC 到点F,使CF=BE,连接DF.
(1)求证:四边形 AEFD 是矩形;
(2)连接OE,若AD=25,OE=5,求AE 的长.
能力测·迁移运用
一、选择题(每小题3分，共9分)
13.如图,菱形ABCD 的面积为10,E,F,G,H 分别为AB,BC,CD,DA 的中点,则四边形 EFGH 的面积为 ( )
A. B.5 C.4 D.8
14.如图,在矩形ABCD 中,AB=20cm,动点 P 从点A 开始,沿边AB 以1cm/s的速度向点B 运动,动点 H 从点B 开始,沿边 BA 以 2cm/s的速度向点 A 运动,动点 Q 从点C 开始,沿边 CD 以4 cm/s的速度向点 D 运动.点 P、点 H 和点 Q 同时出发，当其中一点到达终点时停止运动，另两点也随之停止运动.设动点的运动时间为t s，当QP=QH 时，t的值为 ( )
A. B.4 C. D.
15.正方形纸片ABCD 的边长为12，E 是边CD 上一点，连接AE，折叠该纸片，使点A 落在AE 上的点G处,折痕BF 与AE 交于点H,点 F 在AD上,若DE=5,则GE 的长为 ( )
A. B. C. D.
二、填空题(每小题3分，共6分)
16.如图,△ABC 和△CEF 是一副三角尺,点A,C,E 共线,G是AB 的中点,H 是EF 的中点,连接CG,HG,BH,若GH=GC,则∠BHF 的度数为 °.
17. 已知△ABC 为直角三角形,∠ACB=90°,BC=2,以 AB 为边作正方形ABDE,连接AD 与BE 交于点O,连接OC.若 则正方形 ABDE 的面积为 .
三、解答题(共33分)
18.(9分)如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AB=13.过点 C 作CD⊥AB 于点D,E 为边AB 的中点,连接CE,过点 E 作EF⊥AB 交∠ACB 的平分线于点 F.
(1)证明:∠ACD=∠BCE;
(2)求线段 EF 的长。
19.(12分)问题背景:如图,正方形ABCD 的边长为4. M,N 分别是边AB,BC上的点,且BM=CN=1,连接CM,DN,CM 与DN 相交于点O.
探索发现：(1)如图1，探索线段 DN 与CM 的关系，并说明理由；
(2)如图2,若E,F 分别是DN 与CM 的中点,计算 EF 的长;
拓展提高:(3)如图3,延长CM 至点 P,连接BP,若∠BPC=45°,请直接写出线段 PM 的长.
思维测·拓展创新
20.(12分)宽与长的比值是 (约为0.618)的矩形叫作黄金矩形.现有一张黄金矩形纸片ABCD，长 如图1，折叠纸片ABCD，点 B 落在AD 上的点E 处，折痕为AF，连接EF，然后将纸片展开.
(1)求AB 的长.
(2)求证:四边形 CDEF 是黄金矩形.
(3)如图2,G为AE的中点,连接FG,折叠纸片ABCD,点B落在FG上的点H处,折痕为FP,过点P作PQ⊥EF 于点 Q.四边形 BFQP 是否为黄金矩形 如果是，请证明；如果不是，请说明理由.
1. D 根据特殊的平行四边形的对角线的性质可知，选项A，B，C都正确，只有选项 D中平行四边形的对角线不一定相等，但一定互相平分.
2. C ∵DE∥CA,DF∥BA,
∴四边形 AEDF 是平行四边形.
如果 DE⊥DF，那么平行四边形 AEDF 是矩形，无法判定是正方形，故选项 A不正确，不符合题意.选项 C正确，符合题意.
如果 DE=DF，那么平行四边形 AEDF 是菱形，无法判定是正方形，也无法判定是矩形，
故选项 B，D均不正确，不符合题意.
3. A ∵AC=BD 且互相平分,
∴四边形 ABCD 是矩形.
A.当2OA=BD 时,不能判定四边形 ABCD 是正方形,符合题意.
B.当AB=AD 时,四边形 ABCD 是正方形,不符合题意.
C.当AC⊥BD 时,四边形 ABCD 是正方形,不符合题意.
D.当∠ABD=∠CBD 时.
∵∠BAD=∠BCD=90°,BD=BD,
∴△BAD≌△BCD(AAS),∴AB=BC,
∴四边形 ABCD 是正方形，不符合题意.
4. C 如图,连接OD.
∵四边形 COED 是矩形,∴CE=OD.
∵点 D的坐标为(2,4),
5. B ∵在四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 互相垂直平分，
∴四边形ABCD 是菱形,∴AD∥BC,AD=AB.
如图,设对角线 AC 与 BD 相交于点 O.
∵∠ABC=120°,AB=4,
∴∠BAD=60°,∴△ABD 是等边三角形,
∴AC=2AO=4
6.∠AEC=90°(答案不唯一)
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD,AB=CD.
∵E,F分别是AB,DC的中点,∴AE=CF,
∴四边形 AECF 是平行四边形，
∴当∠AEC=90°时,四边形 AECF 是矩形.
7.(3, ) ∵顶点O,A 的坐标分别为(0,0),(1, ),
∵在平行四边形ABCO中,OA=OC,
∴四边形 ABCO 是菱形,
∴AB=OA=2,AB∥OC,∴B(3, ).
8.2 ∵D,E 分别是AB,AC的中点,
∴DE 是△ABC 的中位线,
∵BC=12 cm,∴DE=6 cm.
∵AF⊥BF,∴∠AFB=90°.
在 Rt△AFB中,D是AB的中点,AB=8cm ,则
∴EF=DE-DF=6-4=2(cm).
9.①②④ ∵四边形ABCD 是菱形,
∴AD∥BC,∠ABD=∠CBD.
∵EF∥BC,∴∠EPB=∠PBG=∠EBP,EF∥AD,
∴BE=PE.
∵BE∥PG,EP∥BG,∴四边形 BEPG是平行四边形.
义∵BE=PE,∴平行四边形 BEPG是菱形.
同理可证，四边形 HPFD 是菱形，
∴题图中有 3个菱形,分别为菱形 ABCD、菱形 HPFD、菱形 BEPG,故①正确.
∵四边形 BEPG是菱形,∴PE=PG,BE=BG.
又∵BP=BP,∴△BEP≌△BGP(SSS),故②正确.
∵GH∥AB,EF∥AD,
∴四边形 AEPH 是平行四边形.
∵平行四边形AEPH 和菱形BGPE 等高,
∴要使四边形 AEPH 的面积等于四边形 BGPE 面积的2倍,则需要 AE=2BE,故③错误.
∵四边形ABCD 是菱形,
∴AB∥DC,AD∥BC,∠ABD=∠CBD.
∵EF∥BC,GH∥AB,∴AD∥EF∥BC,AB∥GH∥CD,
∴四边形 AEPH、四边形 HPFD、四边形 BEPG、四边形PFCG 是平行四边形，
∴AH=BG=PE,AE= HP =DF,BE=PG=CF,DH=PF=CG.
∵四边形 BEPG 是菱形,∴BE=PE,
∴AH=PE=BG=BE=CF=PG.同理可得,AE=HP=DF=PF=CG,
∴四边形AEPH 的周长=2(AE+AH)=2(PF+PG)=四边形GPFC的周长，故④正确.
10.证明:∵四边形ABCD 是正方形,
∴OC=OD,∠DOC=90°,∠OCE=∠ODF=45° 2分
∵∠EOF=90°,
∴∠DOC-∠FOC=∠EOF-∠FOC,
即∠DOF=∠COE. 4分
在△OCE 和△ODF 中
∴△OCE≌△ODF(ASA),
∴CE=DF. 8 分
11.解:(1)证明:∵O是边AB 的中点,
∴OA=OB. 1分
∵AE∥BC,
∴∠EAO=∠OBD,∠AEO=∠BDO.
在△AEO 和△BDO中,
∴△AEO≌△BDO(AAS), 2分
∴AE=BD. 3分
∵AE∥BD,
∴四边形 AEBD 是平行四边形。 4分
(2)四边形 AEBD 是矩形. 5 分
证明如下：
∵AB=AC,D 是边 BC的中点,
∴AD⊥BC,即∠ADB=90°. 6分
由(1)，得四边形 AEBD 是平行四边形，
∴ 四边形 AEBD 是矩形. 8分
12.解:(1)证明:∵四边形ABCD 是菱形,
∴AD∥BC,AD=BC,OA=OC,AC⊥BD. 1分
∵BE=CF,∴BE+CE=CF+CE,即 BC=EF,
∴EF∥AD,EF=AD, 2分
∴四边形 AEFD 是平行四边形. 3分
∵AE⊥BC,∴∠AEF=90°,
∴四边形 AEFD 是矩形. 4分
(2)∵∠AEF=90°,AO=OC,OE=5,
∴AC=2OE=10,OA=OC=5. 5分
∵AC⊥BD,AD=25,
6 分
∴BD=2OD=20
9分
13. B 如图,连接AC,BD 交于点O.
∵四边形 ABCD 为菱形,∴AC⊥BD.
∵E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA 的中点,
∴EH∥BD,FG∥BD,EF∥AC,HG∥AC,BD=2EH,AC=2EF,
∴EH∥FG,EF∥HG,
∴四边形 EFGH 为平行四边形.
∵AC⊥BD,∴∠AOB=90°,
∴∠BAO+∠ABO=90°.
∵∠AEH=∠ABO,∠BEF=∠EAO,
∴∠AEH+∠BEF=90°,
∴∠HEF=90°,∴四边形 EFGH 为矩形,
∴2EF·EH═10,∴EF·EH═5,
∴四边形 EFGH 的面积为5.
14. D 如图,过点 Q 作QE⊥AB 于点E.
∵四边形 ABCD 为矩形,∴四边形 BCQE 为矩形,
∴CQ = BE.由题意,得 AP = t cm,BH =2t cm,CQ=4t cm,
∴PH=AB-AP-BH=(20-3t) cm.
∵QP=QH,QE⊥AB,
解得
15. A ∵四边形ABCD 是正方形,
∴AB=AD=12,∠BAD=∠D=90°.
由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG,
∴BF⊥AE,AH=GH,∴∠BAH+∠ABH=90°.
又∵∠FAH+∠BAH=90°,∴∠ABH=∠FAH,
∴△ABF≌△DAE,∴AF=DE=5,BF=AE.
在 Rt△ABF 中,I
∵AE=BF=13,∴GE=AE-AG=13-= = =
16.30 ∵△ABC和△CEF是一副三角尺,
∴∠ABC=30°,∠A=60°,∠ACB=90°,∠E=∠CFE=45°,∠ECF=90°,CE=CF.
如图,连接 CH.
∵∠ECF=90°,CE=CF,H是EF 的中点,
∵∠ACB=90°,G 是AB 的中点,
∴∠BCG=∠ABC=30°,
120°.
∵GH=GC,∴∠GHC=∠GCH=75°,
∵GC=GB,GH=GC,∴GB=GH,
∴△BGH 是等腰直角三角形,∴∠GHB=45°,
∵CH⊥EF,∴∠CHF=90°,
17.20或 68 ①如图 1,当正方形 ABDE 与△ABC 在 AB的两侧时，过点O作OM⊥OC，交CB的延长线于点M.
∵四边形ABDE 是正方形,∴OA=OB,∠AOB=90°,
∴∠AOC+∠BOC=∠BOM+∠BOC=90°,
∴∠AOC=∠BOM.
∵∠ACB+∠AOB=180°,∴∠CAO+∠CBO=180°.
∵∠MBO+∠CBO=180°,∴∠CAO=∠MBO,
∴△OAC≌△OBM,∴OC=OM,AC=BM,
∴△OCM 是等腰直角三角形.
∴BM=AC=6-2=4,∴AC=BM=4.
在 Rt△ABC 中,由勾股定理,得
∴正方形 ABDE 的面积为20.
②如图2,当正方形 ABDE 与△ABC 在AB 的同侧时,易得∠OAC=∠OBC.
过点 O作OM⊥OC 交BC 的延长线于点 M.
与①同理可得,△OAC≌△OBM,
∴OC=OM,AC=BM,∴CM= OC=6,
∴BM=AC=BC+CM=2+6=8,
∴正方形 ABDE 的面积为 68.
综上所述，正方形 ABDE 的面积为 20 或 68.
18.解:(1)证明:∵E 为边AB 的中点,∠ACB=90°,
∴∠B=∠BCE. 2分
∵CD⊥AB,∴∠ADC=90°=∠ACB,
∴∠A+∠B=90°=∠A+∠ACD,
∴∠ACD=∠B, 3分
∴∠ACD=∠BCE. 4分
(2)∵CD⊥AB,EF⊥AB,
∴CD∥EF,∴∠DCF=∠F. 5分
∵CF平分∠ACB,
∴∠ACF=∠BCF. 6分
由(1)可知,∠ACD=∠BCE,
∴∠ACF-∠ACD=∠BCF-∠BCE,即∠DCF=∠ECF.
∵∠DCF=∠F,∴∠F=∠ECF, 7分
∴EF=CE. 8分
9分
19.解:(1)CM=DN,且 DN⊥CM. 1分
理由:∵四边形 ABCD 是正方形,
∴CD=BC,∠B=∠NCD.
在△BCM 和△CDN 中,
∴△BCM≌△CDN(SAS),
∴CM=DN,∠BCM=∠CDN. 3分
∵∠BCM+∠MCD=90°,∴∠CDN+∠MCD=90°,
∴∠COD=90°,∴DN⊥CM,
∴线段 CM 与 DN 的关系为CM=DN,且 DN⊥CM. 4分
(2)如图1,连接 CE 并延长交AD 于点G,连接GM.
∵四边形ABCD 是正方形,
∴AD=AB,∠A=90°,BC∥AD,
∴∠ENC=∠EDG.
∵E 是 DN 的中点,∴NE=DE.
在△CNE 和△GDE 中,
∴△CNE≌△GDE(ASA),
∴CE=EG,GD=CN=1, 6分
∴E 是 CG 的中点.
∵F 是CM 的中点,
∵正方形的边长为4,BM=DG=1,
∴AM=AG=3.
在 Rt△AGM 中,由勾股定理,得
8分
12分
提示:如图2,过点 B 作 BH⊥CM 于点 H.
在 Rt△BCM 中,
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20.解:( 矩形 ABCD 是黄金矩形，
3分
(2)证明:∵四边形 ABCD 是矩形,
∴AB=CD=2,∠B=∠C=∠D=90°,
由折叠的性质可知,AE=AB=2,∠AEF=∠B=90°,
∴∠DEF=90°.
∵∠C=∠D=∠DEF=90°,
∴四边形 CDEF 是矩形,
∴EF=CD=2,DE=CF=AD-AE= +1-2= 6分
∴四边形 CDEF 是黄金矩形. 7分
(3)四边形 BFQP 是黄金矩形.证明如下：
∵四边形 ABCD 是矩形,∴∠A=∠B=90°.
由折叠的性质可知,AB=AE,∠AEF=90°,
∴四边形 ABFE 是正方形.
∵PQ⊥EF,∴∠B=∠BFE=∠PQF=90°,
∴四边形 BFQP 是矩形. 8分
∵四边形 ABFE 是正方形,∴AB=BF=AE=EF=2.
∵G为AE的中点,∴AG=EG=1,
如图,连接 PG.由折叠的性质可得,FH=FB=2,BP=PH,∠PHF=∠B=90°.
设 BP=PH=x,则AP=2-x.
2)×2,
解得
∴BP= 1, 11分
∴四边形 BFQP 是黄金矩形 12分

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