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2026年中考数学考前预测：因式分解
一．选择题（共10小题）
1．若4x2﹣（k+1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为（　　）
A．±6 B．±12 C．﹣13或11 D．13或﹣11
2．下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．x2+5x﹣1＝x（x+5）﹣1
B．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x
C．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）
D．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
3．已知m2＝3n+a，n2＝3m+a，m≠n，则m2+2mn+n2的值为（　　）
A．9 B．6 C．4 D．无法确定
4．若m﹣n＝﹣2，mn＝1，则m3n+mn3＝（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
5．已知a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．已知x2+2x﹣1＝0，则x4﹣5x2+2x的值为（　　）
A．0 B．﹣1 C．2 D．1
7．已知x2+ax﹣12能分解成两个整数系数的一次因式的积，则整数a的个数有（　　）
A．0 B．2 C．4 D．6
8．把代数式3x3﹣12x2+12x分解因式，结果正确的是（　　）
A．3x（x2﹣4x+4） B．3x（x﹣4）2
C．3x（x+2）（x﹣2） D．3x（x﹣2）2
9．a、b、c是三角形的三条边长，则代数式a2﹣2ab+b2﹣c2的值（　　）
A．大于零 B．小于零
C．等于零 D．与零的大小无关
10．若多项式x2+ax+b分解因式的结果为a（x﹣2）（x+3），则a，b的值分别是（　　）
A．a＝1，b＝﹣6 B．a＝5，b＝6 C．a＝1，b＝6 D．a＝5，b＝﹣6
二．填空题（共5小题）
11．已知实数a，b满足：a2+1，b2+1，则2015|a﹣b|＝　 　 ．
12．若xy＝2，y﹣x＝1，则代数式2x2y﹣2xy2的值为　 　 ．
13．n为自然数，若9n2+5n﹣26为两个连续自然数之积，则n的值是 　 　 ．
14．如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为 　 　 ．
15．已知x2﹣x﹣1＝0，那么代数式x3﹣2x+1的值是 　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．因式分解：
（1）4m2n﹣8mn2﹣2mn
（2）m2（m+1）﹣（m+1）
（3）4x2y+12xy+9y
（4）（x2﹣6）2+2（x2﹣6）﹣15．
17．设y＝kx，是否存在实数k，使得代数式（x2﹣y2）（4x2﹣y2）+3x2（4x2﹣y2）能化简为x4？若能，请求出所有满足条件的k的值；若不能，请说明理由．
18．阅读材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2+2x﹣4y，细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为：
x2﹣4y2+2x﹣4y
＝（x2﹣4y2）+（2x﹣4y）
＝（x+2y）（x﹣2y）+2（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（x+2y+2）
这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣6xy+9y2﹣3x+9y；
（2）△ABC的三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．
19．阅读理解应用
待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数、利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值．
待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解：x3﹣1．
因为x3﹣1为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多项式和一个二次多项式的乘积．
故我们可以猜想x3﹣1可以分解成（x﹣1）（x2+ax+b），展开等式右边得：x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等：a﹣1＝0，b﹣a＝0，﹣b＝﹣1可以求出a＝1，b＝1．
所以x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）．
（1）若x取任意值，等式x2+2x+3＝x2+（3﹣a）x+s恒成立，则a＝　 　 ；
（2）已知多项式x3+2x+3有因式x+1，请用待定系数法求出该多项式的另一因式；
（3）请判断多项式x4+x2+1是否能分解成两个整系数二次多项式的乘积，并说明理由．
20．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）．
例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）．
（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．
求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）＝1；
（2）如果一个两位正整数t，t＝10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；
（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．若4x2﹣（k+1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为（　　）
A．±6 B．±12 C．﹣13或11 D．13或﹣11
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．
【解答】解：∵4x2﹣（k+1）x+9能用完全平方公式因式分解，
∴k+1＝±12，
解得：k＝﹣13或11，
故选：C．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
2．下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．x2+5x﹣1＝x（x+5）﹣1
B．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x
C．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）
D．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
【考点】因式分解的意义．
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，判断求解．
【解答】解：A、右边不是积的形式，故A错误；
B、右边不是积的形式，故B错误；
C、x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），故C正确．
D、是整式的乘法，不是因式分解．
故选：C．
【点评】此题主要考查因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
3．已知m2＝3n+a，n2＝3m+a，m≠n，则m2+2mn+n2的值为（　　）
A．9 B．6 C．4 D．无法确定
【考点】因式分解的应用．
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】A
【分析】将已知的两个方程相减，求得m+n的值，再将所求代数式分解成完全平方式，再代值计算．
【解答】解：∵m2＝3n+a，n2＝3m+a，
∴m2﹣n2＝3n﹣3m，
∴（m+n）（m﹣n）+3（m﹣n）＝0，
∴（m﹣n）[（m+n）+3]＝0，
∵m≠n，
∴（m+n）+3＝0，
∴m+n＝﹣3，
∴m2+2mn+n2＝（m+n）2＝（﹣3）2＝9．
故选：A．
【点评】本题主要考查了求代数式的值，因式分解的应用，关键是由已知求得m+n的值．
4．若m﹣n＝﹣2，mn＝1，则m3n+mn3＝（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【考点】因式分解﹣提公因式法．
【答案】A
【分析】直接利用完全平方公式得出m2+n2＝6，进而提取公因式分解因式得出答案．
【解答】解：∵m﹣n＝﹣2，mn＝1，
∴（m﹣n）2＝4，
∴m2+n2﹣2mn＝4，
则m2+n2＝6，
∴m3n+mn3＝mn（m2+n2）
＝1×6
＝6．
故选：A．
【点评】此题主要考查了提取公因式法的应用以及完全平方公式的应用，正确得出m2+n2＝6是解题关键．
5．已知a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】因式分解的应用．
【专题】整式．
【答案】D
【分析】首先把a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc化为2（a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc）÷2，再应用完全平方公式，可得：2（a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc）÷2＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]÷2，然后把a、b、c的值代入，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：∵a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020，
∴a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，c﹣a＝2，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc
＝2（a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc）÷2
＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]÷2
＝[（﹣1）2+（﹣1）2+22]÷2
＝6÷2
＝3
故选：D．
【点评】此题主要考查了因式分解的应用，要熟练掌握，注意完全平方公式的应用．
6．已知x2+2x﹣1＝0，则x4﹣5x2+2x的值为（　　）
A．0 B．﹣1 C．2 D．1
【考点】因式分解的应用．
【专题】数与式；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】通过观察题目，可变出x2＝1﹣2x，再将x2代入x4﹣5x2+2x中化简即可求值．
【解答】解：∵x2+2x﹣1＝0，
∴x2＝1﹣2x，
x4﹣5x2+2x
＝（x2）2﹣5x2+2x
＝（1﹣2x）2﹣5（1﹣2x）+2x
＝1﹣4x+4x2﹣5+10x+2x
＝4x2+8x﹣4
＝4（1﹣2x）+8x﹣4
＝4﹣8x+8x﹣4
＝0，
故选：A．
【点评】本题考查因式分解的应用，题目较灵活，善于观察学会转换代入是解题关键．
7．已知x2+ax﹣12能分解成两个整数系数的一次因式的积，则整数a的个数有（　　）
A．0 B．2 C．4 D．6
【考点】因式分解的意义．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】D
【分析】根据十字相乘法分解因式，﹣12可以分解成﹣1×12，1×（﹣12），﹣2×6，2×（﹣6），﹣3×4，3×（﹣4），a等于分成的两个数的和，然后计算即可得解．
【解答】解：∵﹣1×12，1×（﹣12），﹣2×6，2×（﹣6），﹣3×4，3×（﹣4），
∴a＝﹣1+12＝11，1+（﹣12）＝﹣11，﹣2+6＝4，2+（﹣6）＝﹣4，﹣3+4＝1，3+（﹣4）＝﹣1，
即a＝±11，±4，±1共6个．
故选：D．
【点评】本题主要考查了十字相乘法进行因式分解，准确分解﹣12是解题的关键．
8．把代数式3x3﹣12x2+12x分解因式，结果正确的是（　　）
A．3x（x2﹣4x+4） B．3x（x﹣4）2
C．3x（x+2）（x﹣2） D．3x（x﹣2）2
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】计算题．
【答案】D
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝3x（x2﹣4x+4）＝3x（x﹣2）2，
故选：D．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
9．a、b、c是三角形的三条边长，则代数式a2﹣2ab+b2﹣c2的值（　　）
A．大于零 B．小于零
C．等于零 D．与零的大小无关
【考点】因式分解的应用；三角形三边关系．
【答案】B
【分析】根据三角形中任意两边之和大于第三边．把代数式a2﹣2ab+b2﹣c2分解因式就可以进行判断．
【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣c2＝（a﹣b）2﹣c2＝（a+c﹣b）[a﹣（b+c）]．
∵a，b，c是三角形的三边．
∴a+c﹣b＞0，a﹣（b+c）＜0．
∴a2﹣2ab+b2﹣c2＜0．
故选：B．
【点评】此题考查了利用完全平方公式配方，利用平方差公式因式分解，三角形的三边关系，利用完全平方公式配方整理成两个因式乘积的形式是解题的关键．
10．若多项式x2+ax+b分解因式的结果为a（x﹣2）（x+3），则a，b的值分别是（　　）
A．a＝1，b＝﹣6 B．a＝5，b＝6 C．a＝1，b＝6 D．a＝5，b＝﹣6
【考点】因式分解的意义．
【答案】A
【分析】根据x2+ax+b分解因式的结果为a（x﹣2）（x+3），可得公因式是a，常数项的积是b．
【解答】解：∵x2+ax+b＝a（x﹣2）（x+3），
∴a＝1，b＝﹣2×3＝﹣6，
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解的意义，注意b是两个常数项的积．
二．填空题（共5小题）
11．已知实数a，b满足：a2+1，b2+1，则2015|a﹣b|＝　1　 ．
【考点】因式分解的应用；零指数幂．
【答案】1
【分析】由于a2+1，b2+1，两式相减可得a2﹣b2，则有（a+b）（a﹣b），分解因式可得a＝b，依此可得2015|a﹣b|＝20150，再根据零指数幂的计算法则计算即可求解．
【解答】解：∵a2+1，b2+1，
两式相减可得a2﹣b2，
（a+b）（a﹣b），
[ab（a+b）+1]（a﹣b）＝0，
∵1，1，
∴ab（a+b）＞0，
∴a﹣b＝0，即a＝b，
∴2015|a﹣b|＝20150＝1．
故答案为：1．
【点评】考查了因式分解的应用，零指数幂，本题关键是得到a＝b．
12．若xy＝2，y﹣x＝1，则代数式2x2y﹣2xy2的值为　﹣4　 ．
【考点】因式分解的应用．
【专题】计算题．
【答案】﹣4
【分析】利用整体思想，对所求代数式进行化简，提出公因式2xy，整体代入即可，注意符号的变化
【解答】解：原式＝2xy（x﹣y）
＝﹣2xy（y﹣x）
∵xy＝2，y﹣x＝1
∴原式＝﹣2×2×1
＝﹣4
【点评】本题运用了因式分解的知识和整体代入的数学思想
13．n为自然数，若9n2+5n﹣26为两个连续自然数之积，则n的值是 　2或13　 ．
【考点】因式分解的应用．
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】2或13．
【分析】9n2+5n﹣26＝（n+2）（9n﹣13），根据题意可知n+2﹣9n+13＝±1，求出n的值即可．
【解答】解：9n2+5n﹣26＝（n+2）（9n﹣13），
则n+2﹣9n+13＝1，
解得n，不是自然数，故舍去，
或n+2﹣9n+13＝﹣1，
解得n＝2；
当n＝13时，9n2+5n﹣26＝120×13＝39×40＝1560，
故答案为：2或13．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握十字相乘法因式分解法．
14．如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为 　70　 ．
【考点】因式分解的应用．
【专题】整体思想．
【答案】70
【分析】应把所给式子进行因式分解，整理为与所给周长和面积相关的式子，代入求值即可．
【解答】解：∵a+b＝7，ab＝10，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝70．
故答案为：70．
【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．
15．已知x2﹣x﹣1＝0，那么代数式x3﹣2x+1的值是 　2　 ．
【考点】因式分解的应用；代数式求值．
【专题】整体思想．
【答案】2
【分析】对等式变形得x2﹣x＝1，可得x3﹣x2＝x，即x3﹣x＝x2，代入原式中x3﹣x﹣x+1＝x2﹣x+1，又x2﹣x﹣1＝0，即x2﹣x＝1，即可得出原式＝2．
【解答】解：根据题意，x2﹣x＝1，
∴x3﹣x2＝x，
即x3﹣x＝x2，
∴x3﹣2x+1＝x2﹣x+1＝1+1＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了整体思想在因式分解中的灵活运用，属于常见题型，要求学生能够熟练掌握和应用．
三．解答题（共5小题）
16．因式分解：
（1）4m2n﹣8mn2﹣2mn
（2）m2（m+1）﹣（m+1）
（3）4x2y+12xy+9y
（4）（x2﹣6）2+2（x2﹣6）﹣15．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接提取公因式2mn整理即可；
（2）先提取公因式（m+1），再对余下的多项式利用平方差公式继续分解；
（3）先提取公因式y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；
（4）把（x2﹣6）看作一个整体，利用十字相乘法分解因式，再利用平方差公式分解因式．
【解答】解：（1）4m2n﹣8mn2﹣2mn＝2mn（2m﹣4n﹣1）；
（2）m2（m+1）﹣（m+1）
＝（m+1）（m2﹣1）
＝（m+1）2（m﹣1）；
（3）4x2y+12xy+9y
＝y（4x2+12x+9）
＝y（2x+3）2；
（4）（x2﹣6）2+2（x2﹣6）﹣15
＝（x2﹣6﹣3）（x2﹣6+5）
＝（x2﹣9）（x2﹣1）
＝（x+3）（x﹣3）（x+1）（x﹣1）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止
17．设y＝kx，是否存在实数k，使得代数式（x2﹣y2）（4x2﹣y2）+3x2（4x2﹣y2）能化简为x4？若能，请求出所有满足条件的k的值；若不能，请说明理由．
【考点】因式分解的应用．
【专题】计算题；因式分解．
【答案】见试题解答内容
【分析】先利用因式分解得到原式＝（4x2﹣y2）（x2﹣y2+3x2）＝（4x2﹣y2）2，再把当y＝kx代入得到原式＝（4x2﹣k2x2）2＝（4﹣k2）x4，所以当4﹣k2＝1满足条件，然后解关于k的方程即可．
【解答】解：能；
（x2﹣y2）（4x2﹣y2）+3x2（4x2﹣y2）
＝（4x2﹣y2）（x2﹣y2+3x2）
＝（4x2﹣y2）2，
当y＝kx，原式＝（4x2﹣k2x2）2＝[x2（4﹣k2）]2＝（4﹣k2）2x4，
令（4﹣k2）2＝1，解得k＝±或±，
即当k＝±或±时，原代数式可化简为x4．
【点评】本题考查了因式分解的运用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．
18．阅读材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2+2x﹣4y，细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为：
x2﹣4y2+2x﹣4y
＝（x2﹣4y2）+（2x﹣4y）
＝（x+2y）（x﹣2y）+2（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（x+2y+2）
这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣6xy+9y2﹣3x+9y；
（2）△ABC的三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．
【考点】因式分解的应用．
【专题】整式；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据分组分解法可以分解题目中的因式，本题得以解决；
（2）根据因式分解法可以分解题目中的式子，再根据三角形三边关系即可得到该三角形的形状，本题得以解决．
【解答】解：（1）x2﹣6xy+9y2﹣3x+9y
＝（x2﹣6xy+9y2）﹣（3x﹣9y）
＝（x﹣3y）2﹣3（x﹣3y）
＝（x﹣3y）（x﹣3y﹣3）；
（2）∵a2﹣b2﹣ac+bc＝0，
∴（a2﹣b2）﹣（ac﹣bc）＝0，
∴（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，
∴（a﹣b）[（a+b）﹣c]＝0，
∵a，b，c是△ABC的三边，
∴（a+b）﹣c＞0，
∴a﹣b＝0，
得a＝b，
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答．
19．阅读理解应用
待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数、利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值．
待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解：x3﹣1．
因为x3﹣1为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多项式和一个二次多项式的乘积．
故我们可以猜想x3﹣1可以分解成（x﹣1）（x2+ax+b），展开等式右边得：x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等：a﹣1＝0，b﹣a＝0，﹣b＝﹣1可以求出a＝1，b＝1．
所以x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）．
（1）若x取任意值，等式x2+2x+3＝x2+（3﹣a）x+s恒成立，则a＝　1　 ；
（2）已知多项式x3+2x+3有因式x+1，请用待定系数法求出该多项式的另一因式；
（3）请判断多项式x4+x2+1是否能分解成两个整系数二次多项式的乘积，并说明理由．
【考点】因式分解的应用；同类项；因式分解的意义．
【专题】综合题；整体思想；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题目中的待定系数法原理即可求得结果；
（2）根据待定系数法原理先设另一个多项式，然后根据恒等原理即可求得结论；
（3）根据待定系数原理和多项式乘以多项式即可求得结论．
【解答】解：（1）根据待定系数法原理，得3﹣a＝2，a＝1．
故答案为1．
（2）设另一个因式为（x2+ax+b），
（x+1）（x2+ax+b）＝x3+ax2+bx+x2+ax+b
＝x3+（a+1）x2+（a+b）x+b
∴a+1＝0 a＝﹣1 b＝3
∴多项式的另一因式为x2﹣x+3．
答：多项式的另一因式x2﹣x+3．
（3）多项式x4+x2+1能分解成两个整系数二次多项式的乘积．理由如下：
方法一：设多项式x4+x2+1能分解成①（x2+1）（x2+ax+b）或②（x2+x+1）（x2+ax+1），
①（x2+1）（x2+ax+b）
＝x4+ax3+bx2+x2+ax+b
＝x4+ax3+（b+1）x2+ax+b
∴a＝0，b+1＝1 b＝1
由b+1＝1得b＝0≠1
②（x2+x+1）（x2+ax+1）
＝x4+（a+1）x3+（a+2）x2+（a+1）x+1
∴a+1＝0，a+2＝1，
解得a＝﹣1．
即x4+x2+1＝（x2+x+1）（x2﹣x+1）；
方法二：多项式x4+x2+1能分解成两个整系数二次多项式的乘积，
（x2+ax+b）（x2+cx+d），
解得a＝1，c＝﹣1，b＝d＝1，
即x4+x2+1＝（x2+x+1）（x2﹣x+1）
∴x4+x2+1能分解成两个整系数二次三项式的乘积．
答：多项式x4+x2+1能分解成两个整系数二次三项式的乘积．
【点评】本题考查了因式分解的应用、多项式乘以多项式，解决本题的关键是理解并会运用待定系数法原理．
20．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）．
例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）．
（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．
求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）＝1；
（2）如果一个两位正整数t，t＝10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；
（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．
【考点】因式分解的应用．
【专题】应用题；因式分解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）对任意一个完全平方数m，设m＝n2（n为正整数），找出m的最佳分解，确定出F（m）的值即可；
（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10y+x，根据“吉祥数”的定义确定出x与y的关系式，进而求出所求即可；
（3）利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F（t）的最大值即可．
【解答】解：（1）证明：对任意一个完全平方数m，设m＝n2（n为正整数），
∵|n﹣n|＝0，
∴n×n是m的最佳分解，
∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）1；
（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10y+x，
∵t是“吉祥数”，
∴t′﹣t＝（10y+x）﹣（10x+y）＝9（y﹣x）＝36，
∴y＝x+4，
∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，
∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59；
（3）F（15），F（26），F（37），F（48），F（59），
∵，
∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为．
【点评】此题考查了因式分解的应用，弄清题中“吉祥数”的定义是解本题的关键．

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