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广西南宁市2025-2026学年七年级下学期期末模拟自测数学试卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）（2022春 白沙县校级期中）实数的相反数是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）（2024秋 淮安校级期末）在平面直角坐标系中，点A（﹣4，﹣2）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（3分）（2025春 济源期中）下列汽车标志的设计中能用平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）（2023春 昆明期末）如图，AO⊥OB于点O，若∠BOC＝40°，则∠AOC的度数是（　　）
A．40°A B．40° C．50° D．60°
5．（3分）（2024春 东港区校级期中）已知a，b都是有理数，且，求a+b的值（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（3分）（2025春 诸暨市期末）如图，将三角形ABC沿BC方向平移得到三角形DEF，若BF＝7，EC＝1，则平移的距离为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
7．（3分）（2022秋 南岗区期末）下列命题中，是真命题的是（　　）
A．实数与数轴上的点一一对应
B．邻补角相等
C．无限小数都是无理数
D．内错角相等
8．（3分）（2024春 贡井区校级期中）若P（m+3，2m+4）在y轴上，则P到x轴的距离是（　　）
A．﹣2 B．1 C．2 D．3
9．（3分）（2025秋 呈贡区校级月考）如图，AB∥CD，直线EF与直线AB，CD分别交于点E，F．若∠2＝35°，则∠1的度数为（　　）
A．30° B．35° C．40° D．45°
10．（3分）（2025春 西城区校级期中）如图是利用平面直角坐标系画出的天安门附近的部分建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示弘义阁的点的坐标为（﹣4，2），表示本仁殿的点的坐标为（2，0），则表示乾清门的点的坐标是（　　）
A．（4，﹣1） B．（﹣1，4） C．（﹣2，8） D．（8，﹣2）
11．（3分）（2024春 南开区期末）已知一个长方形的周长是16cm，长与宽的差是1cm．设长为xcm，宽为ycm．则下面所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
12．（3分）（2024秋 钟山区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，P1，P2，P3，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2）…根据这个规律，点P2019的坐标为（　　）
A．（﹣505，505） B．（505，﹣505）
C．（505，﹣506） D．（505，505）
二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
13．（3分）（2024春 天山区校级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOC＝75°，OE把∠B0D分成两部分，且∠BOE：∠EOD＝3：2，则∠EOD＝　 　 ．
14．（3分）（2024秋 苏州期中）如图，正方形ABCD的面积为6，顶点D在数轴上表示的数为2，若点E在数轴上（点E在点D的左侧），且AD＝DE，则点E所表示的数为 　 　 ．
15．（3分）（2021春 明溪县期中）已知x、y满足方程组，则x﹣y＝　 　 ．
16．（3分）（2025秋 枣庄校级月考）如图，平面直角坐标系中的大长方形是由8块完全相同的小长方形拼成的，其中点A的坐标为（12，8），则点B的坐标为　 　 ．
三．解答题（共7小题，满分72分）
17．（8分）（2024春 江阳区校级期中）（1）计算：；
（2）解方程组：．
18．（10分）（2024春 东城区校级月考）完成下面的证明：
如图，E、F分别在AB和CD上，∠1＝∠D，∠2与∠C互余，AF⊥CE于G．求证：AB∥CD．
证明：∵AF⊥CE
∴∠CGF＝90°（ 　 　 ）
∵∠1＝∠D（已知）
∴　 　 ∥　 　 （ 　 　 ）
∴∠4＝∠CGF（ 　 　 ）
∴∠4＝90°
∵∠2+∠3+∠4＝180°（平角的定义）
∴∠2+∠3＝90°．
∵∠2与∠C互余（已知），
∴∠2+∠C＝90°（互余的定义）
∴∠C＝∠3（ 　 　 ）
∴AB∥CD（ 　 　 ）
19．（10分）（2024春 涟水县期中）如图，在每个小正方形的边长为1的格纸中，△ABC的顶点都在格点上．根据下列条件，利用网格点和直尺画图：
（1）在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A'B'C'，图中标出了点B的对应点B′．请补全△A'B'C'；
（2）若连接AA'，BB'，则这两条线段之间的关系是 　 　 ；
（3）作出△ABC的中线CD和高线AE；
（4）在平移过程中，线段BC扫过的面积为 　 　 ．
20．（10分）（2025春 郑州期中）（1）如图，AB∥CD，点E是BC的延长线上的一点，AE交CD于点F，∠1＝∠2，∠3＝∠4．试说明AD∥BE．
∵∠1＝∠2，∴∠1+∠CAE＝∠2+∠CAE，
∴∠BAE＝∠CAD，
∵AB∥CD，
∴∠4＝∠BAE，（ 　 　 ）
∴∠4＝∠CAD，（ 　 　 ）
∵∠3＝∠4，
∴∠3＝ 　 　 ，
∴AD∥BE，（ 　 　 ）
（2）若∠B＝60°，∠E＝50°，∠CAE的度数 　 　 ．
21．（10分）（2024春 东西湖区期中）【问题背景】2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷．
【建立模型】设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷．
（1）用x，y的式子表示2台大收割机和5台小收割机同时工作1h共收割小麦 　 　 公顷；3台大收割机和2台小收割机同时工作1h共收割小麦 　 　 公顷；
（2）建立模型，解决实际问题．求1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？
【方案决策】
（3）随着天气的变化，为了“颗粒归仓”、“抢收抢种”，某乡镇准备引进上述型号的收割机若干台，每台收割机每天工作15h，连续工作20天，共收割小麦420公顷．为了完成任务，问有多少种引进收割机的方案．
22．（12分）（2024 青秀区校级开学）计算：．
23．（12分）（2023秋 肇源县校级期中）如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．
（1）直接写出点E、F的坐标；
（2）连接EF交BD于点G，求△BGE的面积；
（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值和直线MN的函数解析式；如果不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）（2022春 白沙县校级期中）实数的相反数是（　　）
A． B． C． D．
【考点】实数的性质；平方根；算术平方根．
【专题】实数；符号意识．
【答案】B
【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：实数的相反数是．
故选：B．
【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．
2．（3分）（2024秋 淮安校级期末）在平面直角坐标系中，点A（﹣4，﹣2）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【答案】C
【分析】根据各象限内的点坐标的符号特征：（﹣，﹣）在第三象限即可解答．
【解答】解：根据各象限内的点坐标的符号特征可知：﹣4＜0，﹣2＜0，
∴点A（﹣4，﹣2）所在的象限是第三象限，
故选：C．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征．熟练掌握该知识点是关键．
3．（3分）（2025春 济源期中）下列汽车标志的设计中能用平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】生活中的平移现象．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】C
【分析】注意平移是图形整体沿某一直线方向移动，平移不改变图形的形状和大小，据此求解即可．
【解答】解：根据平移的定义可知，只有C选项是由一个圆作为基本图形，经过平移得到．
故选：C．
【点评】本题考查了平移的定义，掌握把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移是关键．
4．（3分）（2023春 昆明期末）如图，AO⊥OB于点O，若∠BOC＝40°，则∠AOC的度数是（　　）
A．40°A B．40° C．50° D．60°
【考点】垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】C
【分析】根据OA⊥OB，可知∠BOC和∠AOC互余，即可求出∠AOC的度数．
【解答】解：∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
即∠BOC+∠AOC＝90°，
∵∠BOC＝40°，
∴∠AOC＝90°﹣∠BOC＝90°﹣40°＝50°．
故选：C．
【点评】本题考查了余角的知识，掌握互余两角之和等于90°是关键．
5．（3分）（2024春 东港区校级期中）已知a，b都是有理数，且，求a+b的值（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】由a，b都是有理数，且，再建立方程组解题即可．
【解答】解：∵，
∴，
∵a，b都是有理数，
∴，
解得，
则a+b＝1+2＝3．
故选：C．
【点评】本题考查的是无理数的含义，二元一次方程组的解法，理解题意建立方程组解题是关键．
6．（3分）（2025春 诸暨市期末）如图，将三角形ABC沿BC方向平移得到三角形DEF，若BF＝7，EC＝1，则平移的距离为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
【考点】平移的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】A
【分析】根据题意求出BE+CF，根据平移的性质得到BE＝CF＝3，得到答案．
【解答】解：∵BF＝7，EC＝1，
∴BE+CF＝7﹣1＝6，
由平移的性质可知：BE＝CF，
∴BE＝CF＝3，即平移的距离为3，
故选：A．
【点评】本题考查的是平移的性质，掌握平移的概念是解题的关键．
7．（3分）（2022秋 南岗区期末）下列命题中，是真命题的是（　　）
A．实数与数轴上的点一一对应
B．邻补角相等
C．无限小数都是无理数
D．内错角相等
【考点】命题与定理；实数；实数与数轴；对顶角、邻补角；同位角、内错角、同旁内角．
【专题】实数；推理能力．
【答案】A
【分析】根据实数与数轴的关系即可判定A；根据邻补角的定义即可判断B；根据无理数的定义即可判断C；根据平行线的性质即可判断D．
【解答】解：A、实数与数轴上的点一一对应，原命题是真命题，符合题意；
B、邻补角互补，原命题是假命题，不符合题意；
C、无限小数不循环小数是无理数，原命题是假命题，不符合题意；
D、两直线平行，内错角相等，原命题是假命题，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查了判断命题真假，灵活运用所学知识是解题的关键．
8．（3分）（2024春 贡井区校级期中）若P（m+3，2m+4）在y轴上，则P到x轴的距离是（　　）
A．﹣2 B．1 C．2 D．3
【考点】点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；几何直观．
【答案】C
【分析】根据y轴上的点的横坐标为0，得出m＝﹣3，进而得出纵坐标即可求解．
【解答】解：∵P（m+3，2m+4）在y轴上，
∴m＝﹣3，
∴2m+4＝﹣6+4＝﹣2
∴P（0，﹣2）
则P到x轴的距离是|﹣2|＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了坐标轴上点的坐标特征，掌握点到坐标轴的距离，求得m＝﹣3是解题的关键．
9．（3分）（2025秋 呈贡区校级月考）如图，AB∥CD，直线EF与直线AB，CD分别交于点E，F．若∠2＝35°，则∠1的度数为（　　）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质进行求解即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠EFD．
∵∠2＝35°，
∴∠EFD＝∠2＝35°，
∴∠1＝35°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．
10．（3分）（2025春 西城区校级期中）如图是利用平面直角坐标系画出的天安门附近的部分建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示弘义阁的点的坐标为（﹣4，2），表示本仁殿的点的坐标为（2，0），则表示乾清门的点的坐标是（　　）
A．（4，﹣1） B．（﹣1，4） C．（﹣2，8） D．（8，﹣2）
【考点】坐标确定位置．
【专题】平面直角坐标系；数感；几何直观．
【答案】C
【分析】根据题意画出相应的平面直角坐标系，然后写出表示乾清门的点的坐标即可．
【解答】解：坐标系如下所示，
由上可得，表示乾清门的点的坐标是（﹣2，8），
故选：C．
【点评】本题考查坐标确定位置，解答本题的关键是明确题意，画出相应的平面直角坐标系．
11．（3分）（2024春 南开区期末）已知一个长方形的周长是16cm，长与宽的差是1cm．设长为xcm，宽为ycm．则下面所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】设这个长方形的长为xcm，宽为ycm，根据“该长方形周长是16cm，长与宽的差是1cm”，即可得出关于x，y的二元一次方程组．
【解答】解：设这个长方形的长为xcm，宽为ycm，
依题意得：即．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题的关键．
12．（3分）（2024秋 钟山区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，P1，P2，P3，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2）…根据这个规律，点P2019的坐标为（　　）
A．（﹣505，505） B．（505，﹣505）
C．（505，﹣506） D．（505，505）
【考点】规律型：点的坐标．
【专题】规律型；平面直角坐标系；运算能力．
【答案】D
【分析】根据各个点的位置关系，可得出从P3（1，1）开始，下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4除余1的点在第三象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限的角平分线上，被4除余3的点在第一象限的角平分线上，所以点P2019的在第四象限的角平分线上，然后根据规律求解即可．
【解答】解：∵P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2），...，
∴从P3（1，1）开始，P4n（n，﹣n）在第4象限，P4n+1（﹣n，﹣n）在第3象限，P4n+2（﹣n，n+1）在第2象限，P4n+3（n+1，n+1）在第1象限，
∵2019＝4×504+3，
∴点P2019的在第四象限的角平分线上，n＝504，
∴点P2019坐标为（505，505）．
故选：D．
【点评】本题考查了规律型：点的坐标，根据前几个点的坐标，总结出规律是解题的关键．
二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
13．（3分）（2024春 天山区校级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOC＝75°，OE把∠B0D分成两部分，且∠BOE：∠EOD＝3：2，则∠EOD＝　30°　 ．
【考点】对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】30°．
【分析】根据对顶角相等得出∠BOD的度数，再根据∠BOE：∠EOD＝3：2，即可求出∠EOD的度数．
【解答】解：∵∠AOC＝75°，
∴∠BOD＝∠AOC＝75°，
∵∠BOE：∠EOD＝3：2，
∴∠BOE＝45°，∠EOD＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题考查了对顶角，角的计算，熟知对顶角相等是解题的关键．
14．（3分）（2024秋 苏州期中）如图，正方形ABCD的面积为6，顶点D在数轴上表示的数为2，若点E在数轴上（点E在点D的左侧），且AD＝DE，则点E所表示的数为 　2　 ．
【考点】实数与数轴．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】2．
【分析】已知正方形ABCD的面积，可得AD的长，即DE的长，可得点E表示的数．
【解答】解：正方形ABCD的面积为6，即AD2＝6，
∴AD，
∵AD＝DE，
∴DE，
∵顶点D在数轴上表示的数为2，
∴点E所表示的数为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了正方形的面积、实数与数轴的应用，根据正方形面积求出边长，从而确定DE在数轴上的距离是关键．
15．（3分）（2021春 明溪县期中）已知x、y满足方程组，则x﹣y＝　　 ．
【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组．
【专题】方程与不等式；运算能力．
【答案】．
【分析】方程组两方程相减得2x﹣2y＝﹣1，两边同除以2得出x﹣y即可．
【解答】解：，
①﹣②得，2x﹣2y＝﹣1，
两边同除以2得，x﹣y．
故答案为：．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握用整体法解二元一次方程组是关键．
16．（3分）（2025秋 枣庄校级月考）如图，平面直角坐标系中的大长方形是由8块完全相同的小长方形拼成的，其中点A的坐标为（12，8），则点B的坐标为　（10，2）　 ．
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（10，2）．
【分析】设小长方形的长为a，宽为b，根据点A的坐标结合图形可得方程组，解方程组即可得到答案．
【解答】解：设小长方形的长为a，宽为b，
∵点A的坐标为（12，8），
∴根据题意列二元一次方程组得，，
解得，
∴a+2b＝10，
∴点B的坐标为（10，2），
故答案为：（10，2）．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是根据题意找到关系式．
三．解答题（共7小题，满分72分）
17．（8分）（2024春 江阳区校级期中）（1）计算：；
（2）解方程组：．
【考点】解二元一次方程组；实数的运算．
【专题】实数；一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）2；
（2）．
【分析】（1）直接计算即可；
（2）采用适当的方法解二元一次方程组即可．
【解答】解：（1）原式＝4+1+（﹣4）﹣（3）
2．
（2），
①×2+②，得11x＝22，
解得x＝2，
将x＝2代入①，得8﹣y＝5，
解得y＝3，
∴原方程组的解为．
【点评】本题考查解二元一次方程组、实数的运算，掌握二元一次方程组的解法和开方、幂和绝对值的运算是解题的关键．
18．（10分）（2024春 东城区校级月考）完成下面的证明：
如图，E、F分别在AB和CD上，∠1＝∠D，∠2与∠C互余，AF⊥CE于G．求证：AB∥CD．
证明：∵AF⊥CE
∴∠CGF＝90°（ 　垂直的定义　 ）
∵∠1＝∠D（已知）
∴AF ∥DE （ 　同位角相等，两直线平行　 ）
∴∠4＝∠CGF（ 　两直线平行，同位角相等　 ）
∴∠4＝90°
∵∠2+∠3+∠4＝180°（平角的定义）
∴∠2+∠3＝90°．
∵∠2与∠C互余（已知），
∴∠2+∠C＝90°（互余的定义）
∴∠C＝∠3（ 　同角的余角相等　 ）
∴AB∥CD（ 　内错角相等，两直线平行　 ）
【考点】平行线的判定与性质；余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】垂直的定义；AF；DE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
【分析】先证明AF∥DE，得到∠4＝∠CGF，再证明∠C＝∠3，即可得到结论．
【解答】证明：∵AF⊥CE，
∴∠CGF＝90° （垂直的定义），
∵∠1＝∠D（已知），
∴AF∥DE（同位角相等，两直线平行），
∴∠4＝∠CGF （两直线平行，同位角相等），
∴∠4＝90°，
∵∠2+∠3+∠4＝180° （平角的定义），
∴∠2+∠3＝90°．
∵∠2与∠C互余（已知），
∴∠2+∠C＝90° （互余的定义），
∴∠C＝∠3（同角的余角相等），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直的定义；AF；DE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
【点评】此题考查了平行线的判定和性质，关键是平行线判定定理的应用．
19．（10分）（2024春 涟水县期中）如图，在每个小正方形的边长为1的格纸中，△ABC的顶点都在格点上．根据下列条件，利用网格点和直尺画图：
（1）在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A'B'C'，图中标出了点B的对应点B′．请补全△A'B'C'；
（2）若连接AA'，BB'，则这两条线段之间的关系是 　平行且相等　 ；
（3）作出△ABC的中线CD和高线AE；
（4）在平移过程中，线段BC扫过的面积为 　16　 ．
【考点】作图﹣平移变换．
【专题】作图题；三角形；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力．
【答案】（1）见解答．
（2）平行且相等．
（3）见解答．
（4）16．
【分析】（1）根据平移的性质作图即可．
（2）根据平移的性质可得答案．
（3）根据三角形的中线和高的定义画图即可．
（4）求出平行四边形BCC'B'的面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求．
（2）由平移可知，这两条线段之间的关系是平行且相等．
故答案为：平行且相等．
（3）如图，CD，AE即为所求．
（4）在平移过程中，线段BC扫过的面积为4×4＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查作图﹣平移变换、三角形的中线和高，熟练掌握平移的性质、三角形的中线和高的定义是解答本题的关键．
20．（10分）（2025春 郑州期中）（1）如图，AB∥CD，点E是BC的延长线上的一点，AE交CD于点F，∠1＝∠2，∠3＝∠4．试说明AD∥BE．
∵∠1＝∠2，∴∠1+∠CAE＝∠2+∠CAE，
∴∠BAE＝∠CAD，
∵AB∥CD，
∴∠4＝∠BAE，（ 　两直线平行，同位角相等　 ）
∴∠4＝∠CAD，（ 　等量代换　 ）
∵∠3＝∠4，
∴∠3＝ 　∠CAD ，
∴AD∥BE，（ 　内错角相等，两直线平行　 ）
（2）若∠B＝60°，∠E＝50°，∠CAE的度数 　20°　 ．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）两直线平行，同位角相等；等量代换；∠CAD；内错角相等，两直线平行；
（2）20°．
【分析】（1）根据平行线的判定与性质求解即可；
（2）利用平行线的性质可得∠B＝∠DCE＝60°，从而利用三角形内角和定理可得∠4＝70°，进而可得∠3＝70°，然后利用三角形的外角性质进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠CAE＝∠2+∠CAE，
∴∠BAE＝∠CAD，
∵AB∥CD，
∴∠4＝∠BAE，（两直线平行，同位角相等）
∴∠4＝∠CAD，（等量代换）
∵∠3＝∠4，
∴∠3＝∠CAD，
∴AD∥BE，（内错角相等，两直线平行）
故答案为：两直线平行，同位角相等；等量代换；∠CAD；内错角相等，两直线平行；
（2）∵AB∥CD，
∴∠B＝∠DCE＝60°，
∵∠E＝50°，
∴∠4＝180°﹣∠E﹣∠DCE＝70°，
∵∠3＝∠4，
∴∠3＝70°，
∵∠3是△ACE的一个外角，
∴∠CAE＝∠3﹣∠E＝20°，
故答案为：20°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
21．（10分）（2024春 东西湖区期中）【问题背景】2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷．
【建立模型】设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷．
（1）用x，y的式子表示2台大收割机和5台小收割机同时工作1h共收割小麦 　（2x+5y）　 公顷；3台大收割机和2台小收割机同时工作1h共收割小麦 　（3x+2y）　 公顷；
（2）建立模型，解决实际问题．求1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？
【方案决策】
（3）随着天气的变化，为了“颗粒归仓”、“抢收抢种”，某乡镇准备引进上述型号的收割机若干台，每台收割机每天工作15h，连续工作20天，共收割小麦420公顷．为了完成任务，问有多少种引进收割机的方案．
【考点】二元一次方程组的应用；列代数式；二元一次方程的应用．
【专题】整式；一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）（2x+5y），（3x+2y）；
（2）1台大收割机每小时收割小麦0.4公顷，1台小收割机每小时收割小麦0.2公顷；
（3）共有4种引进收割机的方案．
【分析】（1）根据1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦的公顷数，即可用含x，y的代数式表示出2台大收割机和5台小收割机同时工作1h及3台大收割机和2台小收割机同时工作1h收割小麦的公顷数；
（2）根据“2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设引进m台大收割机，n台小收割机，根据“每台收割机每天工作15h，连续工作20天，共收割小麦420公顷”，可列出关于m，n的二元一次方程，再结合m，n均为非负数，即可得出共有4种引进收割机的方案．
【解答】解：（1）根据题意得：2台大收割机和5台小收割机同时工作1h共收割小麦（2x+5y）公顷；
3台大收割机和2台小收割机同时工作1h共收割小麦（3x+2y）公顷．
故答案为：（2x+5y），（3x+2y）；
（2）根据题意得：，
解得：．
答：1台大收割机每小时收割小麦0.4公顷，1台小收割机每小时收割小麦0.2公顷；
（3）设引进m台大收割机，n台小收割机，
根据题意得：15×20×0.4m+15×20×0.2n＝420，
∴n＝7﹣2m．
又∵m，n均为非负数，
∴或或或，
∴共有4种引进收割机的方案．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x，y的代数式表示出各数量；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
22．（12分）（2024 青秀区校级开学）计算：．
【考点】有理数的混合运算；算术平方根；有理数的乘法；有理数的乘方．
【专题】实数；运算能力．
【答案】﹣14．
【分析】首先计算算术平方根，有理数的乘方和乘法，然后计算加减．
【解答】解：
＝3﹣5+（﹣3）×4
＝3﹣5+（﹣12）
＝﹣14．
【点评】此题考查了算术平方根，有理数的乘方和乘法，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．
23．（12分）（2023秋 肇源县校级期中）如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．
（1）直接写出点E、F的坐标；
（2）连接EF交BD于点G，求△BGE的面积；
（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值和直线MN的函数解析式；如果不存在，请说明理由．
【考点】轴对称的性质．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】（1）E（3，1）；F（1，2）；（2）；（3）存在点M，N，使得四边形MNFE的周长最小．最小值是，直线MN的解析式是y．
【分析】（1）根据OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，即可得到点E的坐标；利用折叠性质可得 BF＝BA＝2，CF＝1，即可得到点F的坐标；
（2）利用折叠性质可以得到AB＝AD＝BF＝DF＝2，DF∥BE，从而得到△DFG∽△BEG，，利用比例的性质可以得到，利用同高可以得到，根据S△BEF＝1，可以得到△BGE的面积；
（3）如图，作点E关于x轴的对称点为 E'，点F关于y轴的对称点为 F'，连接 E'F'与 x轴、Y 轴上交于点M、点N，此时的点M、N使得四边形 MNFE 的周长最小，利用勾股定理求出 EF′＝5，EF，即可得到四边形 MNFE的周长最小值；将点E'（3，﹣1），点F'（﹣1，2），代入y＝kx+b，利用待定系数法即可求出直线 MN 的函数解析式．
【解答】解：（1）解：∵OA＝3，OC＝2，
∴点A （3，0），点C （0，2），点B （3，2），
∵点E 是 AB 的中点，
∴点E （3，1）；
∵将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．
∴BF＝BA＝2，CF＝1．
∴点F（1，2）；
∴E（3，1）；F（1，2）；
（2）△BDA 沿 BD 翻折，使点A 落在 BC 边上的点F 处．
∠ABD＝∠FBD90°＝45°．
AB＝AD＝BF＝DF＝2，DF∥BE，
即：∠DGF＝∠BGE，∠FDB＝∠GBE，
△DFG∽△BGE，
∴，
∴，
∴S△BGES△EFB1．
（3）存在点M，N，使得四边形MNFE的周长最小．
如图3，作点E关于x轴的对称点E'，作点F关于y轴的对称点F'，连接E'F'，分别与x轴、y轴交于点M，N，则点M，N就是所求点．解析式为y＝kx+b，
由题意可知，E'（3，﹣1），F'（﹣1，2），
，
，
直线MN的解析式为：y．
NF＝NF'，ME＝ME'．
∴BF'＝4，BE'＝3．
∴F'E'．
又∵，
∴，此时四边形MNFE的周长最小值是．
【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，求线段的和最小的问题基本的解决思路是根据对称转化为两点之间的距离的问题．

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