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广西南宁市2025-2026学年七年级下学期期末模拟自测数学试卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）（2024春 利辛县期末）下列各图中，∠1与∠2互为邻补角的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）（2024 仓山区校级模拟）下列各数中，是无理数的是（　　）
A．2 B． C．3.14159 D．
3．（3分）（2025春 红谷滩区期末）下列汽车图标，可以由平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）（2024春 温岭市期末）平面直角坐标系中，与点A（﹣2，﹣5）位于同一象限的是（　　）
A．（﹣2，5） B．（2，﹣5） C．（﹣5，﹣2） D．（3，4）
5．（3分）（2024春 合江县期中）下列命题中，是假命题的是（　　）
A．同位角相等，两直线平行
B．对顶角相等
C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
D．两点之间，线段最短
6．（3分）（2024春 曲靖期末）数学源于生活，寓于生活，用于生活．“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学．”因而我们要学会用数学的眼光观察现实世界，学会用数学的思维思考现实世界，学会用数学的语言表达现实世界，下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（　　）
A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线
C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条
7．（3分）（2025秋 沙坪坝区校级期中）如图，已知直线l1∥l2，∠1＝130°，则∠2的度数为（　　）
A．120° B．60° C．130° D．50°
8．（3分）（2025春 黔东南州期末）下列说法中正确的是（　　）
A．0的算术平方根是0 B．4的平方根是2
C．27的立方根是±3 D．4的平方根是﹣2
9．（3分）（2023秋 东阳市期末）如图，已知医院与图书馆、教学楼在同一直线上，则以下哪个数对（规定列号在前，行号在后）可能是医院的位置（　　）
A．（2，4） B．（11，8） C．（5，5） D．（3，5）
10．（3分）（2025春 永春县期中）《中华人民共和国森林法》规定每年的3月12日为植树节．在植树节当天七年级（1）班共种树99棵，已知该班共有学生40名，每名男生种3棵，每名女生种2棵．设男生有x名，女生有y名，根据题意，列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．（3分）（2025秋 东港市期中）下列结论中，正确的有（　　）个．
①不是有限小数的不是有理数；
②27的立方根是±3；
③无理数和有理数的积仍是无理数；
④算术平方根等于本身的数是0和1
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（3分）（2023 高港区二模）实数a、b在数轴上对应的点如图所示，下列结论中正确的是（　　）
A．a+b＞0 B．a＞﹣b C．a﹣b＞0 D．﹣a＞b
二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
13．（3分）将，，0，，﹣0.6用“＜”连接：　 　 ．
14．（3分）（2024春 子洲县校级期中）如图，一块长为acm，宽为bcm的长方形地板中间有一条裂痕（如图甲），若把裂痕右边的一块向右平移3cm（如图乙），则产生的裂缝的面积是 　 　 cm2．
15．（3分）（2024春 思明区校级期中）已知方程组，则y与x的关系式为 　 　 ．
16．（3分）（2024春 莱阳市期中）如图，直线a∥b，直线AC分别交a和b于点B和C．若∠A＝21°，∠1＝39°，则∠2的度数为 　 　 ．
三．解答题（共7小题，满分72分）
17．（8分）（2025秋 景德镇期中）（1）计算：；
（2）解方程：16（1﹣x）2＝1．
18．（10分）（2024春 福清市期末）在平面直角坐标系中，已知A（3，4），B（1，3），C（4，1）．
（1）请根据题中所给的坐标，画出△ABC；
（2）将△ABC向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到△A1B1C1，请直接写出点A，B，C所对应的点A1，B1，C1的坐标；
（3）若点P（m，n）是三角形ABC内部一点，则经过（2）问的平移后得到对应点M（2m﹣5，2n﹣7），求m+n的值．
19．（10分）（2023秋 长治期末）完成下面的推理过程：
如图，DE∥CF，∠ACF＝∠BAC＝80°，∠ADE＝120°，求∠CAD的度数．
解：∵∠ACF＝∠BAC＝80°，
∴AB∥CF（ 　 　 ），
∵DE∥CF，
∴DE∥　 　 （ 　 　 ），
∴∠BAD+∠EDA＝　 　 （ 　 　 ），
∵∠ADE＝120°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ADE＝　 　 ，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝80°﹣　 　 ＝　 　 ．
20．（10分）（2024春 望花区月考）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，
例如：．
（1）仿照以上方法计算：　 　 ；　 　 ．
（2）若，写出满足题意的x的整数值 　 　 ．
（3）如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止，探究连续求根整数的次数．
例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．
①对200连续求根整数，多少次结果为1，请写出你的求解过程．
②只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，求满足条件的最大整数．
21．（10分）（2024秋 郾城区校级期中）综合与实践进位制的认识与探究
素材收集与分享：
素材1进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值．可使用数字符号的数目称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制．对于任意一个用n进位制表示的数，通常使用n个阿拉伯数字0 （n﹣1）进行计数，特点是逢n进一．现在我们通常用的是十进制数（十进制数不用标角标，其他要标角标）
素材2十进制数234＝2×102+3×101+4×100记作：234．
七进制数记作：（123）7．
各进制之间可以进行转化，如：七进制数转化成与其相等的十进制数，只要将七进制数的每个数字，依次乘7的相应正整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与它相等的十进制数．
素材3将十进制数化为与其相等的七进制数；用十进制的数除以7，然后将商继续除以7，直到商为1，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可．如：
7|66…3（第1位余数）2|5…1（第1位余数）
7|9…2（第2位余数）2|2…0（第2位余数）
7|1…1（第3位余数）2|1…1（第3位余数）
∴66＝123（7）∴5＝101（2）
成果汇报与展示：
小亮同学：将自己的身高用七进制数（243），表示了出来；
晓敏同学：将一本励志书的价格22元用二进制数表示了出来；
壮壮同学：用“结绳计数”的方法表示出了自己的体重（如图所示），她的方法是：在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一．
结合上述活动信息，请写出下列问题的解答过程：
（1）请将小亮同学的身高转化为十进制数是多少厘米？
（2）晓敏同学把22元用二进制数表示出来的数是怎样的？
（3）壮壮同学的体重转化为十进制数是多少千克？
22．（12分）（2024春 朝阳区期末）为了激发学生个人潜能和团队精神，学校组织七年级师生共490人去长春净月潭国家风景名胜区开展素质拓展活动．某租车公司有A、B两种型号的客车可供选择，A型客车每辆有25个座位，B型客车每辆有55个座位．下表是公司租车记录单上的部分信息：
租用A型客车数量（辆） 租用B型客车数量（辆） 租车的总费用（元）
1 3 2900
3 2 3100
（1）根据公司租车记录单上的信息，求A、B两种型号客车每辆的租车费用分别是多少元？
（2）学校本次活动要租用该租车公司的客车，可以租用A、B两种型号的客车，也可以单独租用A型客车或B型客车．
①当每辆客车恰好都坐满时，求所有满足条件的租车方案．
②当满足全体师生乘车均有座位时，租车的总费用最少为 　 　 元．
23．（12分）（2025秋 九台区期末）如图1，∠AOB＝90°，射线OC从与OA重合时开始运动，以每秒2°的速度绕着点O顺时针的方向旋转一周，设射线OC运动的时间为t，在旋转过程中，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．
（1）当t＝10秒时，则∠AOC＝　 　 °；
（2）当射线OC运动到位于∠AOB内部时，求∠DOE的度数；
（3）当射线OC运动到位于∠AOB外部（射线OC不在直线OA、OB上）时，则∠DOE＝　 　 ；
（4）如图2，当射线OC旋转15秒时，射线OM从与OA重合时开始沿着射线OC运动路线绕点O以每秒5°的速度运动，旋转至OB时，立即按照原速绕着点O逆时针的方向旋转，当旋转至OA时，射线OC、射线OM同时停止运动，当时，请直接写出t的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）（2024春 利辛县期末）下列各图中，∠1与∠2互为邻补角的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】D
【分析】根据邻补角的定义即可作答．
【解答】解：由邻补角的定义可知，D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查对顶角、邻补角，熟练掌握邻补角的定义是解题的关键．
2．（3分）（2024 仓山区校级模拟）下列各数中，是无理数的是（　　）
A．2 B． C．3.14159 D．
【考点】无理数；算术平方根．
【专题】实数；数感．
【答案】D
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：A、2是整数，属于有理数，不符合题意；
B、是分数，属于有理数，不符合题意；
C、3.14159是有限小数，属于有理数，不符合题意；
D、是无理数，符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
3．（3分）（2025春 红谷滩区期末）下列汽车图标，可以由平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】利用平移设计图案．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观；应用意识．
【答案】C
【分析】根据平移的性质逐项判断即可得到答案．
【解答】解：A、选项中的汽车图标是由旋转得到，
故本选项符不合题意；
B、选项中的汽车图标不可以由平移得到，
故本选项不符合题意；
C、选项中的汽车图标可以由平移得到，
故本选项符合题意；
D、选项中的汽车图标不可以由平移得到，
故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了平移的性质，熟知平移不改变图形的大小和形状是解题的关键．
4．（3分）（2024春 温岭市期末）平面直角坐标系中，与点A（﹣2，﹣5）位于同一象限的是（　　）
A．（﹣2，5） B．（2，﹣5） C．（﹣5，﹣2） D．（3，4）
【考点】点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【答案】C
【分析】根据各个象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：点A（﹣2，﹣5）位于第三象限，
A．（﹣2，5）在第二象限，故本选项不符合题意；
B．（2，﹣5）在第四象限，故本选项不符合题意；
C．（﹣5，﹣2）在第三象限，故本选项符合题意；
D．（3，4）在第一象限，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，熟练掌握四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）是解题的关键．
5．（3分）（2024春 合江县期中）下列命题中，是假命题的是（　　）
A．同位角相等，两直线平行
B．对顶角相等
C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
D．两点之间，线段最短
【考点】命题与定理；线段的性质：两点之间线段最短；同位角、内错角、同旁内角；平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】可根据平行线的性质与判定、对顶角及线段可进行求解．
【解答】解：A、“同位角相等，两直线平行”是真命题，故不符合题意；
B、“对顶角相等”是真命题，故不符合题意；
C、“两条直线被第三条直线所截，内错角相等”是假命题，缺少平行条件，故符合题意；
D、“两点之间，线段最短”是真命题，故不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查真假命题、平行线的性质与判定、对顶角及线段的意义，熟练掌握各个定理是解题的关键．
6．（3分）（2024春 曲靖期末）数学源于生活，寓于生活，用于生活．“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学．”因而我们要学会用数学的眼光观察现实世界，学会用数学的思维思考现实世界，学会用数学的语言表达现实世界，下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（　　）
A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线
C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条
【考点】垂线段最短；线段的性质：两点之间线段最短．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】A
【分析】根据垂线段的性质逐一解答即可．
【解答】解：A中能用垂线段最短进行解释，符合题意；
B中能用两点确定一条直线进行解释，不符合题意；
C中能用两点之间，线段最短进行解释，不符合题意；
D中能用两点确定一条直线进行解释，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间，线段最短等知识．熟练掌握两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间，线段最短是解题．
7．（3分）（2025秋 沙坪坝区校级期中）如图，已知直线l1∥l2，∠1＝130°，则∠2的度数为（　　）
A．120° B．60° C．130° D．50°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】根据平行线的性质进行计算即可．
【解答】解：∵l1∥l2，
∴∠1+∠2＝180°．
又∵∠1＝130°，
∴∠2＝50°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．
8．（3分）（2025春 黔东南州期末）下列说法中正确的是（　　）
A．0的算术平方根是0 B．4的平方根是2
C．27的立方根是±3 D．4的平方根是﹣2
【考点】立方根；平方根；算术平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】根据算术平方根，平方根，立方根的意义逐项分析即可．
【解答】解：A．0的算术平方根是0，正确；
B．4的平方根是±2，故不正确；
C．27的立方根是3，故不正确；
D．4的平方根是±2，故不正确；
故选：A．
【点评】本题考查了算术平方根，平方根，立方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
9．（3分）（2023秋 东阳市期末）如图，已知医院与图书馆、教学楼在同一直线上，则以下哪个数对（规定列号在前，行号在后）可能是医院的位置（　　）
A．（2，4） B．（11，8） C．（5，5） D．（3，5）
【考点】坐标确定位置．
【专题】平面直角坐标系；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】根据医院与图书馆、教学楼在同一直线上，结合图形画出经过图书馆、教学楼的直线即可得到答案．
【解答】解：画出过图书馆、教学楼的直线，如图，
所以，点（3，5）在这条直线上，
故选：D．
【点评】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出行列表示的数据的顺序是解题关键．
10．（3分）（2025春 永春县期中）《中华人民共和国森林法》规定每年的3月12日为植树节．在植树节当天七年级（1）班共种树99棵，已知该班共有学生40名，每名男生种3棵，每名女生种2棵．设男生有x名，女生有y名，根据题意，列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据某班有40名同学共种了99棵树苗，可以分别得到方程x+y＝40、3x+2y＝99，然后将它们联立方程组即可．
【解答】解：根据某班有40名同学共种了99棵树苗，可以分别得到方程x+y＝40、3x+2y＝99，由题意可得：
，
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
11．（3分）（2025秋 东港市期中）下列结论中，正确的有（　　）个．
①不是有限小数的不是有理数；
②27的立方根是±3；
③无理数和有理数的积仍是无理数；
④算术平方根等于本身的数是0和1
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】实数的运算；算术平方根；立方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】根据立方根，算术平方根，实数的运算法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：①不是有限小数的不是有理数，不正确，如：0.是有理数；
②27的立方根是3，故②不正确；
③无理数和有理数的积仍是无理数，不正确，如：00；
④算术平方根等于本身的数是0和1，故④正确；
所以，上列结论中，正确的有1个，
故选：A．
【点评】本题考查了实数的运算，算术平方根，立方根，准确熟练地进行计算是解题的关键．
12．（3分）（2023 高港区二模）实数a、b在数轴上对应的点如图所示，下列结论中正确的是（　　）
A．a+b＞0 B．a＞﹣b C．a﹣b＞0 D．﹣a＞b
【考点】实数与数轴．
【专题】实数；数感．
【答案】D
【分析】根据图中的点的位置即可确定a、b的正负，即可判断．
【解答】解：根据数轴可知：a＜﹣1、0＜b＜1．
∴a+b＜0．故选项A错误，不符合题意；
a＜﹣b．故选项B错误，不符合题意；
a﹣b＜0．故选项C错误，不符合题意；
﹣a＞b．故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查数轴与实数对应关系、绝对值、有理数的加减法，乘除法知识，熟记运算法则是解题的关键．
二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
13．（3分）将，，0，，﹣0.6用“＜”连接：　0.6＜0　 ．
【考点】实数大小比较；算术平方根．
【专题】实数；数感．
【答案】0.6＜0．
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此将，，0，，﹣0.6用“＜”连接即可．
【解答】解：∵1，﹣0.6＞﹣1，
∴0.6，
∴将，，0，，﹣0.6用“＜”连接：0.6＜0．
故答案为：0.6＜0．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
14．（3分）（2024春 子洲县校级期中）如图，一块长为acm，宽为bcm的长方形地板中间有一条裂痕（如图甲），若把裂痕右边的一块向右平移3cm（如图乙），则产生的裂缝的面积是 　3b cm2．
【考点】生活中的平移现象．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】3b．
【分析】由平移后的长为（a+3）cm，然后利用平移后的长方形面积减去原长方形面积即可求解．
【解答】解：如图乙，产生的裂缝的面积＝（a+3）b﹣ab＝3b（cm2），
故答案为：3b．
【点评】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
15．（3分）（2024春 思明区校级期中）已知方程组，则y与x的关系式为 　　 ．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】．
【分析】根据题意，利用加减消元法消去字母t，即可得出答案．
【解答】解：，
②×2，得2y＝﹣6t﹣4③，
①+③，得x+2y＝﹣3，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
16．（3分）（2024春 莱阳市期中）如图，直线a∥b，直线AC分别交a和b于点B和C．若∠A＝21°，∠1＝39°，则∠2的度数为 　60°　 ．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】60°．
【分析】由平行线的性质推出∠2＝∠3，由三角形外角的性质得到∠3＝∠A+∠1＝60°，于是得到∠2＝60°．
【解答】解：如图，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3，
∵∠3＝∠A+∠1＝21°+39°＝60°，
∴∠2＝60°．
故答案为：60°．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠2＝∠3，由三角形外角的性质即可求解．
三．解答题（共7小题，满分72分）
17．（8分）（2025秋 景德镇期中）（1）计算：；
（2）解方程：16（1﹣x）2＝1．
【考点】实数的运算；平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）；（2） 或 ．
【分析】（1）先计算绝对值、负指数、平方根和零指数幂，再进行加减运算；
（2）利用平方根解方程，得到两个解．
【解答】解：（1）原式
；
（2）16（1﹣x）2＝1，
，
，
当 时，，
当 时，，
所以方程的解为： 或 ．
【点评】本题考查了实数的运算，平方根，掌握实数的运算法则是关键．
18．（10分）（2024春 福清市期末）在平面直角坐标系中，已知A（3，4），B（1，3），C（4，1）．
（1）请根据题中所给的坐标，画出△ABC；
（2）将△ABC向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到△A1B1C1，请直接写出点A，B，C所对应的点A1，B1，C1的坐标；
（3）若点P（m，n）是三角形ABC内部一点，则经过（2）问的平移后得到对应点M（2m﹣5，2n﹣7），求m+n的值．
【考点】作图﹣平移变换．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观；运算能力．
【答案】（1）见解答．
（2）A1（0，0），B1（﹣2，﹣1），C1（1，﹣3）．
（3）5．
【分析】（1）根据点A，B，C的坐标描点再连线即可．
（2）根据平移的性质可得答案．
（3）根据平移的性质可得点P（m，n）的对应点的坐标为（m﹣3，n﹣4），则可得，求出m，n的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求．
（2）∵△ABC向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到△A1B1C1，
∴A1（0，0），B1（﹣2，﹣1），C1（1，﹣3）．
（3）由平移得，点P（m，n）的对应点的坐标为（m﹣3，n﹣4），
∴，
解得，
∴m+n＝5．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
19．（10分）（2023秋 长治期末）完成下面的推理过程：
如图，DE∥CF，∠ACF＝∠BAC＝80°，∠ADE＝120°，求∠CAD的度数．
解：∵∠ACF＝∠BAC＝80°，
∴AB∥CF（ 　内错角相等，两直线平行　 ），
∵DE∥CF，
∴DE∥AB （ 　平行于同一直线的两直线平行　 ），
∴∠BAD+∠EDA＝　180°　 （ 　两直线平行．同旁内角互补　 ），
∵∠ADE＝120°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ADE＝　60°　 ，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝80°﹣　60°　 ＝　20°　 ．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平行线的判定与性质求解即可．
【解答】解：∵∠ACF＝∠BAC＝80°，
∴AB∥CF（内错角相等，两直线平行），
∵DE∥CF，
∴DE∥AB（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠BAD+∠EDA＝180°（两直线平行．同旁内角互补），
∵∠ADE＝120°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ADE＝60°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝80°﹣60°＝20°．
故答案为：内错角相等，两直线平行；AB；平行于同一直线的两直线平行；180°；两直线平行．同旁内角互补；60°；60°；20°．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
20．（10分）（2024春 望花区月考）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，
例如：．
（1）仿照以上方法计算：　2　 ；　5　 ．
（2）若，写出满足题意的x的整数值 　1，2，3　 ．
（3）如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止，探究连续求根整数的次数．
例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．
①对200连续求根整数，多少次结果为1，请写出你的求解过程．
②只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，求满足条件的最大整数．
【考点】估算无理数的大小；实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）2，5；
（2）1，2，3；
（3）①第3次之后结果为1；这个正整数最大值是255．
【分析】（1）根据题意得22＝4，52＝25，62＝36，则，再根据题干的规定即可解答；
（2）根据，12＝1，22＝4，然后确定x的取值范围，最后确定x的整数值即可；
（3）①由142＝196，152＝225可得第一次：；同理：第二次：；第三次：，即可解答；②由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，则进行1次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255即可解答．
【解答】解：（1）∵22＝4，52＝25，62＝36，
∴，
∴，，
故答案为：2，5．
（2）∵，12＝1，22＝4，
∴1≤x＜4
∴x＝1或x＝2或x＝3，
故答案为：1，2，3．
（3）①∵142＝196，152＝225，
∴，
∴，
同理：第二次：，
第三次：，
∴第3次之后结果为1．
②由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，
∵，，
∴进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，
∵，，
∴进行1次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255，
∴只对一个正整数进行3次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是255．
【点评】本题主要考查了无理数的估算，理解题意并掌握无理数的估算是解题的关键．
21．（10分）（2024秋 郾城区校级期中）综合与实践进位制的认识与探究
素材收集与分享：
素材1进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值．可使用数字符号的数目称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制．对于任意一个用n进位制表示的数，通常使用n个阿拉伯数字0 （n﹣1）进行计数，特点是逢n进一．现在我们通常用的是十进制数（十进制数不用标角标，其他要标角标）
素材2十进制数234＝2×102+3×101+4×100记作：234．
七进制数记作：（123）7．
各进制之间可以进行转化，如：七进制数转化成与其相等的十进制数，只要将七进制数的每个数字，依次乘7的相应正整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与它相等的十进制数．
素材3将十进制数化为与其相等的七进制数；用十进制的数除以7，然后将商继续除以7，直到商为1，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可．如：
7|66…3（第1位余数）2|5…1（第1位余数）
7|9…2（第2位余数）2|2…0（第2位余数）
7|1…1（第3位余数）2|1…1（第3位余数）
∴66＝123（7）∴5＝101（2）
成果汇报与展示：
小亮同学：将自己的身高用七进制数（243），表示了出来；
晓敏同学：将一本励志书的价格22元用二进制数表示了出来；
壮壮同学：用“结绳计数”的方法表示出了自己的体重（如图所示），她的方法是：在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一．
结合上述活动信息，请写出下列问题的解答过程：
（1）请将小亮同学的身高转化为十进制数是多少厘米？
（2）晓敏同学把22元用二进制数表示出来的数是怎样的？
（3）壮壮同学的体重转化为十进制数是多少千克？
【考点】规律型：图形的变化类；有理数的混合运算；科学记数法—表示较大的数；科学记数法—原数．
【专题】规律型；实数；运算能力．
【答案】（1）129厘米；
（2）10110（2）；
（3）42千克．
【分析】（1）仿照样例将七进制数（243）转化成十进制数即可；
（2）仿照样例将十进制数 22 转化成二进制数即可；
（3）由题意可得图示表示的是五进制数，仿照样例将其转化成十进制数即可．
【解答】解：（1）小亮的身高用七进制数表示为（243）依题意得：（厘米）；
（2）：根据题意，得22＝10110（2）；
（3）由题意得“结绳记数”是五进制，
根据题意可得：壮壮同学的体重为：千克．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，有理数的混合运算，科学记数法﹣表示较大的数，科学记数法﹣原数，熟练掌握进制之间的换算方法是解题的关键．
22．（12分）（2024春 朝阳区期末）为了激发学生个人潜能和团队精神，学校组织七年级师生共490人去长春净月潭国家风景名胜区开展素质拓展活动．某租车公司有A、B两种型号的客车可供选择，A型客车每辆有25个座位，B型客车每辆有55个座位．下表是公司租车记录单上的部分信息：
租用A型客车数量（辆） 租用B型客车数量（辆） 租车的总费用（元）
1 3 2900
3 2 3100
（1）根据公司租车记录单上的信息，求A、B两种型号客车每辆的租车费用分别是多少元？
（2）学校本次活动要租用该租车公司的客车，可以租用A、B两种型号的客车，也可以单独租用A型客车或B型客车．
①当每辆客车恰好都坐满时，求所有满足条件的租车方案．
②当满足全体师生乘车均有座位时，租车的总费用最少为 　7200　 元．
【考点】二元一次方程组的应用；有理数的混合运算；二元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）A型号客车每辆的租车费用是500元，B型号客车每辆的租车费用是800元；
（2）①共有2种租车方案，
方案1：租用2辆A型号客车，8辆B型号客车；
方案2：租用13辆A型号客车，3辆B型号客车；
②7200．
【分析】（1）设A型号客车每辆的租车费用是x元，B型号客车每辆的租车费用是y元，根据租车的总费用＝A型号客车每辆的租车费用×租用A型客车数量+B型号客车每辆的租车费用×租用B型客车数量，结合表格中的数据，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）①设租用A型号客车a辆，B型号客车b辆，根据租用的客车的总座位数是490，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b都是非负整数，即可得出各租车方案；
②利用租车的总费用＝A型号客车每辆的租车费用×租用A型客车数量+B型号客车每辆的租车费用×租用B型客车数量，求出①中2种租车方案的租车总费用，再求出单独租用A型客车或B型客车的租车总费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设A型号客车每辆的租车费用是x元，B型号客车每辆的租车费用是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A型号客车每辆的租车费用是500元，B型号客车每辆的租车费用是800元；
（2）①设租用A型号客车a辆，B型号客车b辆，
根据题意得：25a+55b＝490，
∴b．
又∵a，b都是非负整数，
∴或，
∴共有2种租车方案，
方案1：租用2辆A型号客车，8辆B型号客车；
方案2：租用13辆A型号客车，3辆B型号客车；
②选择方案1租车的总费用为500×2+800×8＝7400（元）；
选择方案2租车的总费用为500×13+800×3＝8900（元）．
∵490÷55＝8（辆）……50（人），8+1＝9（辆），
∴可以租用9辆B型号客车，此时租车的总费用为800×9＝7200（元）；
∵490÷25＝19（辆）……15（人），19+1＝20（辆），
∴可以租用20辆A型号客车，此时租车的总费用为500×20＝10000（元）．
∵7200＜7400＜8900＜10000，
∴租车的总费用最少为7200元．
故答案为：7200．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）①找准等量关系，正确列出二元一次方程；②根据各数量之间的关系，求出各租车方案的租车总费用．
23．（12分）（2025秋 九台区期末）如图1，∠AOB＝90°，射线OC从与OA重合时开始运动，以每秒2°的速度绕着点O顺时针的方向旋转一周，设射线OC运动的时间为t，在旋转过程中，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．
（1）当t＝10秒时，则∠AOC＝　20　 °；
（2）当射线OC运动到位于∠AOB内部时，求∠DOE的度数；
（3）当射线OC运动到位于∠AOB外部（射线OC不在直线OA、OB上）时，则∠DOE＝　45°或135°　 ；
（4）如图2，当射线OC旋转15秒时，射线OM从与OA重合时开始沿着射线OC运动路线绕点O以每秒5°的速度运动，旋转至OB时，立即按照原速绕着点O逆时针的方向旋转，当旋转至OA时，射线OC、射线OM同时停止运动，当时，请直接写出t的值．
【考点】一元一次方程的应用；角平分线的定义；角的计算．
【专题】分类讨论；一次方程（组）及应用；线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】（1）20；（2）45°；（3）45°或135°；（4）t的值为20秒或30秒或秒或秒．
【分析】（1）利用∠AOC＝2t°解答即可；
（2）利用角平分线的定义解答即可；
（3）利用分类讨论的思想方法和角平分线的定义解答即可；
（4）利用分类讨论的思想方法，列一元一次方程解答即可．
【解答】解：（1）∠AOC＝10×2＝20°．
故答案为：20；
（2）当射线OC运动到位于∠AOB内部时，
由题意得：∠AOC＝2t°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOC＝（90﹣2t）°，
∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠DOCAOC＝t°，∠EOCBOC＝（45﹣t）°，
∴∠DOE＝∠DOC+∠EOC＝45°；
（3）当射线OC运动到位于∠AOB外部（射线OC不在直线OA、OB上）时，
①当45秒＜t≤90秒时，如图，
由题意得：∠AOC＝2t°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOC＝（2t﹣90）°，
∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠DOCAOC＝t°，∠EOCBOC＝（t﹣45）°，
∴∠DOE＝∠DOC﹣∠EOC＝45°；
②当90秒＜t≤180秒时，如图，
由题意得：∠AOC＝（360﹣2t）°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOC＝（2t﹣90）°，
∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠DOCAOC＝（180﹣t）°，∠EOCBOC＝（t﹣45）°，
∴∠DOE＝∠DOC+∠EOC＝135°．
综上，∠DOE＝45°或135°．
故答案为：45°或135°；
（4）t的值为20秒或30秒或秒或秒．
①当15＜t≤25时，如图，
由题意得：∠AOM＝5（t﹣15）＝（5t﹣75）°，∠AOC＝2t°，∠DOE＝45°，
∴∠MOC＝∠AOC﹣∠AOM＝（75﹣3t）°，
∵，
∴75﹣3t＝15，
∴t＝20．
②当25＜t≤33时，如图，
由题意得：∠AOM＝5（t﹣15）＝（5t﹣75）°，∠AOC＝2t°，∠DOE＝45°，
∴∠MOC＝∠AOM﹣∠AOC＝（3t﹣75）°，
∵，
∴3t﹣75＝15，
∴t＝30．
③当33＜t时，如图，
由题意得：∠BOM＝5（t﹣15）﹣90＝（5t﹣165）°，∠BOC＝（90﹣2t）°，∠DOE＝45°，
∴∠MOC＝∠BOC﹣∠BOM＝（255﹣7t）°，
∵，
∴255﹣7t＝15，
∴t．
④当t≤51时，如图，
由题意得：∠BOM＝5（t﹣15）﹣90＝（5t﹣165）°，∠BOC＝（90﹣2t）°，∠DOE＝45°，
∴∠MOC＝∠BOM﹣∠BOC＝（7t﹣255）°，
∵，
∴7t﹣255＝15，
∴t．
综上，t的值为20秒或30秒或秒或秒．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义，角的和差，一元一次方程的应用，分类讨论的思想方法，本题是动线问题，正确利用分类讨论的思想方法是解题的关键．

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