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湖南省长沙市2025-2026学年七年级下学期期末模拟自测数学试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2024秋 九江期末）下列各数中，无理数是（　　）
A．﹣1 B． C． D．
2．（3分）（2024春 通山县期末）如图，能判定直线a∥b的条件是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠1＝∠3 D．∠1＝∠4
3．（3分）若是关于x、y的二元一次方程2x﹣3my﹣1＝0的一组解，则常数m的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
4．（3分）（2025 成都校级三模）若，则（x+y）2024的结果是（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．2023
5．（3分）（2024 子洲县三模）如图，直线AB∥CD，若∠2﹣∠1＝90°，则∠3的度数为（　　）
A．40° B．45° C．30° D．50°
6．（3分）（2023春 清江浦区校级期中）已知3a+4b＝7，则6a+8b﹣2的值为（　　）
A．7 B．12 C．﹣12 D．5
7．（3分）（2024春 徐闻县月考）如果，则m+n的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
8．（3分）（2025 南宁模拟）随着电影《哪吒2之魔童闹海》的热映，与之相关某漫画册的销量也急剧上升．某书店分两次购进该漫画册共3500套，第二次的总价比第一次多20000元，且两次进价都是40元/套．设该书店第一次购进x套，第二次购进y套，根据题意，所列方程组正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
9．（3分）（2025春 惠城区期中）已知点P在第四象限，且点P到x轴的距离为5，到y轴的距离为4，则点P坐标为（　　）
A．（5，﹣4） B．（﹣5，4） C．（﹣4，5） D．（4，﹣5）
10．（3分）（2025 深圳二模）如表是小林填写的实践活动报告的部分内容：
题目 测量孔子像的高度
测量目标及其示意图
相关数据 BE＝1.8m，CD＝2.0m，∠α＝20°，∠β＝62°
根据以上信息，可求出孔子像AE的高度约为（　　）
（结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan62°≈1.88）
A．3.9m B．3.8m C．3.6m D．3.4m
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2025秋 兴庆区校级期中）已知方程是关于x，y的二元一次方程，则m的值是　 　 ．
12．（3分）（2023春 洪山区期末）已知第二象限内的点P坐标为（4﹣a，3a﹣14），且P点到两坐标轴的距离相等，则a的值为 　 　 ．
13．（3分）（2023春 铁东区校级月考）一个数的算术平方根为2M﹣6，平方根为±（M﹣2），求这个数 　 　 ．
14．（3分）（2025春 奉贤区期中）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC，如果∠ADE＝70°，那么∠DEB＝ 　 　 ．
15．（3分）（2023春 魏都区校级期中）若的整数部分是a，小数部分是b，求a﹣b＝　 　 ．
16．（3分）（2024春 谢家集区期末）已知二元一次方程组，则x+y的值为 　 　 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）（2024 湖北模拟）计算：．
18．（6分）（2024春 东阿县校级月考）解方程组：
（1）；
（2）．
19．（6分）（2025春 肥西县校级期中）已知3a﹣7和a+3是某正数m的两个平方根，b+3的立方根是2，c是的整数部分．
（1）求m的值；
（2）求4a+3b+2c的算术平方根．
20．（8分）（2024 雁塔区校级四模）围棋，起源于中国，古代称为“弈”，距今已有4000多年的历史，如图是某围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，棋盘上A、B两颗棋子的坐标分别为A（﹣2，4），B（1，2）．
（1）根据题意，画出相应的平面直角坐标系并写出C、D两颗棋子的坐标：C（ 　 　 ），D（ 　 　 ）．
（2）线段AB平移后得到线段A′B′，点A的对应点是A′（1，3），点B的对应点是B′，点B、B′之间的距离是 　 　 ．
21．（8分）（2025春 招远市期中）完成下列推理过程，在序号处填写相应的内容．
如图，点E在线段DF上，点B在线段AC上，若∠BMN与∠CNM互补，∠C＝∠D，说明：∠A＝∠F．
解：因为∠BMN与∠CNM互补，
根据“①　 　 ”，所以②　 　 ∥③　 　 ，
根据“两直线平行，同位角相等”，所以∠D＝∠④　 　 ，
又因为∠C＝∠D，所以∠C＝∠⑤　 　 ，
根据⑥　 　 ，所以DF∥AC，
根据⑦　 　 ，所以∠A＝∠F．
22．（9分）（2025春 静安区校级期中）如图，在△ABC中，D，E分别在AB，AC上．已知DE∥BC，CD平分∠ACB，过点E作∠AED的平分线交AB于点G．
（1）求证：GE∥CD；
对于这道题，小明的证明过程如下：
证明：∵DE∥BC， ∴∠AED＝∠ACB（两直线平行，问位角相等）．① ∵CD平分∠ACB，GE平分∠AED， ∴.② ∴∠GED＝∠DCB．③ ∴GE∥CD（同位角相等，两直线平行）．④
老师认为小明的证明过程出现了问题，请指出哪一步有问题　 　 （填写①，②，③或④），说出错误原因并将其改正．
（2）过点B作∠ABC的平分线BF交CD于点F，若∠A＝52°，∠AED＝80°，求∠BFC的度数．
23．（9分）（2025春 南关区校级月考）某服装店用20000元购进甲，乙两种新式服装共450套，这两种服装的进价，标价如表所示：
（1）求这两种服装各购进的件数；
（2）如果甲种服装按标价的8折出售，乙种服装按标价的7折出售，那么这批服装全部售完后，服装店共盈利多少元？
类型价格 甲型 乙型
进价（元/件） 40 50
标价（元/件） 60 80
24．（10分）（2025春 兰考县月考）为了解决小区停车难的问题，某阳光小区准备新建50个停车位．已知新建1个地上停车位和1个地下停车位共需0.5万元；新建3个地上停车位和2个地下停车位共需1.1万元．请解答下列问题：
（1）该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？
（2）若该小区预计投资金额不超过11万元，且地上停车位预计不超过33个，则共有几种建造方案？
（3）已知每个地上停车位月租金100元，每个地下停车位月租金300元．在（2）的条件下，新建停车位全部租出．若该小区将第一个月租金收入中的3600元用于旧车位的维修，其余收入继续兴建新车位，租金恰好用完，直接写出该小区选择的是哪种建造方案？
25．（10分）（2023春 上城区校级期中）如图①，已知AD∥BC，∠B＝∠D．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠B＝100°，点E、F在线段CD上，且满足AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，如图②，求∠FAC的度数；
（3）若点E在直线CD上，且满足，求∠ACD：∠AED的值（用含n的代数式表示）．（请自己画出正确图形，并解答）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2024秋 九江期末）下列各数中，无理数是（　　）
A．﹣1 B． C． D．
【考点】无理数．
【专题】实数；运算能力．
【答案】D
【分析】根据有理数、无理数的定义逐项判断即可．
【解答】解：A、﹣1是有理数，故此选项不符合题意；
B、是有理数，故此选项不符合题意；
C、是有理数，故此选项不符合题意；
D、是无理数，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查无理数的识别，熟练掌握无理数的定义是解题关键．
2．（3分）（2024春 通山县期末）如图，能判定直线a∥b的条件是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠1＝∠3 D．∠1＝∠4
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴c∥d，
故A不符合题意；
∵∠3＝∠4，
∴c∥d，
故B不符合题意；
由∠1＝∠3，不能判定a∥b，
故C不符合题意；
如图，
∵∠1＝∠4，∠1＝∠5，
∴∠5＝∠4，
∴a∥b，
故D符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
3．（3分）若是关于x、y的二元一次方程2x﹣3my﹣1＝0的一组解，则常数m的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【考点】二元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】直接把代入2x﹣3my﹣1＝0，求出m的值即可．
【解答】解：把代入关于x，y的二元一次方程2x﹣3my﹣1＝0中，得2×2﹣3m﹣1＝0，
解得m＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．
4．（3分）（2025 成都校级三模）若，则（x+y）2024的结果是（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．2023
【考点】二次根式的加减法．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】A
【分析】先根据二次根式的性质列方程组求得x的值，进而求得y的值，最后代入代数式计算即可．
【解答】解：由条件可知，
解得：x＝2022，
∴，即y＝﹣2023，
∴（2022﹣2023）2024＝（﹣1）2024＝1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质、代数式求值等知识点，掌握二次根式的被开方数大于等于零成为解题的关键．
5．（3分）（2024 子洲县三模）如图，直线AB∥CD，若∠2﹣∠1＝90°，则∠3的度数为（　　）
A．40° B．45° C．30° D．50°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】由邻补角的性质求出∠1＝45°，由平行线的性质推出∠3＝∠1＝45°．
【解答】解：∵∠2﹣∠1＝90°，∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝45°，
∵AB∥CD，
∴∠3＝∠1＝45°．
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠3＝∠1＝45°．
6．（3分）（2023春 清江浦区校级期中）已知3a+4b＝7，则6a+8b﹣2的值为（　　）
A．7 B．12 C．﹣12 D．5
【考点】代数式求值．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】将6a+8b﹣2变形为2（3a+4b）﹣2，然后再整体代入计算即可．
【解答】解：∵3a+4b＝7，
∴6a+8b﹣2
＝2（3a+4b）﹣2
＝2×7﹣2
＝12．
故选：B．
【点评】本题主要考查了代数式求值，掌握代数式的求值方法是解答本题的关键．
7．（3分）（2024春 徐闻县月考）如果，则m+n的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】根据非负数的和为0，每一个非负数均为0，求出m，n的值，进而求出代数式的值即可．
【解答】解：∵，
∴m+2＝0，n﹣3＝0，
∴m＝﹣2，n＝3，
∴m+n＝﹣2+3＝1；
故选：A．
【点评】本题考查非负数的性质、算术平方根、绝对值，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
8．（3分）（2025 南宁模拟）随着电影《哪吒2之魔童闹海》的热映，与之相关某漫画册的销量也急剧上升．某书店分两次购进该漫画册共3500套，第二次的总价比第一次多20000元，且两次进价都是40元/套．设该书店第一次购进x套，第二次购进y套，根据题意，所列方程组正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据“两次购进该漫画册共3500套，第二次的总价比第一次多20000元”可列方程组．
【解答】解：根据题意可列方程组：
，故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9．（3分）（2025春 惠城区期中）已知点P在第四象限，且点P到x轴的距离为5，到y轴的距离为4，则点P坐标为（　　）
A．（5，﹣4） B．（﹣5，4） C．（﹣4，5） D．（4，﹣5）
【考点】点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识；几何直观．
【答案】D
【分析】根据点P在第四象限，先判断出P横纵坐标的符号，再根据点到坐标轴的距离求出点P的坐标．
【解答】解：∵P在第四象限内，
∴点P的横坐标＞0，纵坐标＜0，
又∵点P到x轴的距离为5，即纵坐标是﹣5；点P到y轴的距离为4，即横坐标是4，
∴点P的坐标为（4，﹣5）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了点的坐标的相关知识；用到的知识点为：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为点的横坐标的绝对值．
10．（3分）（2025 深圳二模）如表是小林填写的实践活动报告的部分内容：
题目 测量孔子像的高度
测量目标及其示意图
相关数据 BE＝1.8m，CD＝2.0m，∠α＝20°，∠β＝62°
根据以上信息，可求出孔子像AE的高度约为（　　）
（结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan62°≈1.88）
A．3.9m B．3.8m C．3.6m D．3.4m
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】数形结合；应用意识．
【答案】B
【分析】利用BE的长和α的正切值求得BD的长，进而可得BC的长，结合β的正切值可得AB的长，减去BE的长即为AE的高度．
【解答】解：设AE的高度为xm，
由题意得：AB⊥BD，
∴∠B＝90°，
∵BE＝1.8m，∠α＝20°，
∴BD5.0（m），
∵CD＝2.0m，
∴BC＝5.0﹣2.0＝3.0（m），
∵∠β＝62°，
∴AB＝3.0×tan62°≈3.0×1.88＝5.64（m），
∴AE＝5.64﹣1.8＝3.84≈3.8（m）．
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形的应用．利用BE的长和α的正切值求得BD的长是解决本题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2025秋 兴庆区校级期中）已知方程是关于x，y的二元一次方程，则m的值是　﹣3　 ．
【考点】二元一次方程的定义．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣3
【分析】根据二元一次方程的定义解答即可．
【解答】解：∵方程是关于x，y的二元一次方程，
∴m2﹣8＝1且m﹣3≠0，
解得m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程叫做二元一次方程．
12．（3分）（2023春 洪山区期末）已知第二象限内的点P坐标为（4﹣a，3a﹣14），且P点到两坐标轴的距离相等，则a的值为 　5　 ．
【考点】点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识；运算能力．
【答案】5．
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
【解答】解：∵第二象限内的点P坐标为（4﹣a，3a﹣14），且P点到两坐标轴的距离相等，
∴﹣（a﹣4）＝3a﹣14，
解得a＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
13．（3分）（2023春 铁东区校级月考）一个数的算术平方根为2M﹣6，平方根为±（M﹣2），求这个数 　4　 ．
【考点】算术平方根；平方根．
【专题】实数；数感；运算能力．
【答案】4．
【分析】根据算术平方根，平方根的定义进行计算即可．
【解答】解：∵一个数的算术平方根为2M﹣6，
∴2M﹣6≥0，
即M≥3，
当2M﹣6＝M﹣2时，解得M＝4，
当2M﹣6＝﹣（M﹣2），解得M3（舍去），
当M＝4时，2M﹣6＝2，
所以这个数是4，
故答案为：4．
【点评】本题考查平方根、算术平方根，理解平方根、算术平方根的定义是正确解答的前提．
14．（3分）（2025春 奉贤区期中）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC，如果∠ADE＝70°，那么∠DEB＝ 　35°　 ．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】35°
【分析】根据两直线平行，同位角相等，内错角相等可得∠ADE＝∠ABC，∠DEB＝∠CBE，利用角平分线的定义可得∠CBE＝∠ABE∠ABC，即可求得∠DEB的度数．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠DEB＝∠CBE，
∵∠ADE＝70°，
∴∠ABC＝70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABE∠ABC70°＝35°，
∴∠DEB＝35°，
故答案为：35°．
【点评】本题考查了平行线的性质，若两直线平行，则同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，灵活应用平行线的性质是求角度的关键．
15．（3分）（2023春 魏都区校级期中）若的整数部分是a，小数部分是b，求a﹣b＝　　 ．
【考点】估算无理数的大小．
【专题】实数；数感．
【答案】．
【分析】先估算的范围，求出整数部分a，原数减去整数部分得出小数部分b，再代入求解即可．
【解答】解：∵9＜11＜16，
∴，即，
∴整数部分a＝3，小数部分，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查无理数的估算，解题的关键是正确确定的取值范围．
16．（3分）（2024春 谢家集区期末）已知二元一次方程组，则x+y的值为 　　 ．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】．
【分析】把二元一次方程组的两个方程的左右两边分别相加，可得3x+3y＝7，据此求出x+y的值即可．
【解答】解：，
①+②，可得3x+3y＝7，
∴x+y＝7÷3．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，解答此题的关键是注意观察方程组的两个方程和所求的代数式之间的关系．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）（2024 湖北模拟）计算：．
【考点】实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】6．
【分析】根据立方根定义，负整数指数幂运算法则进行计算即可．
【解答】解：
＝2﹣（﹣8）﹣2﹣2
＝2+8﹣2﹣2
＝6．
【点评】本题主要考查了实数混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．（6分）（2024春 东阿县校级月考）解方程组：
（1）；
（2）．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）利用代入消元法解方程组即可；
（2）利用加减消元法解方程组即可．
【解答】解：（1），
把①代入②得：5x﹣6x＝4，解得x＝﹣4，
把x＝﹣4代入①得：y＝﹣12，
∴方程组的解为；
（2），
①×5+②得：13x＝26，
解得x＝2，
把x＝2代入①得：2×2+y＝3，
解得y＝﹣1，
∴方程组的解为．
【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
19．（6分）（2025春 肥西县校级期中）已知3a﹣7和a+3是某正数m的两个平方根，b+3的立方根是2，c是的整数部分．
（1）求m的值；
（2）求4a+3b+2c的算术平方根．
【考点】估算无理数的大小；平方根．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】（1）16；
（2）5．
【分析】（1）由3a﹣7和a+3是某正数m的两个平方根得（3a﹣7）+（a+3）＝0，求出a的值，进而求出m的值；
（2）由b+3的立方根是2，得b+3＝8，由此求出b，求出a的值，因为34，c是的整数部分，求出c的值，代入即可．
【解答】解：（1）∵3a﹣7和a+3是某正数m的平方根，
∴（3a﹣7）+（a+3）＝0，
∴a＝1，
∴a+3＝1+3＝4，
∴m＝42＝16；
（2）∵b+3的立方根是2，
∴b+3＝23＝8，
∴b＝5，
∵，c是的整数部分，
∴c＝3，
∴，
∴4a+3b+2c的算术平方根是5．
【点评】本题主要考查了关于平方根、算术平方根、立方根的计算，正确理解概念是解题的关键．
20．（8分）（2024 雁塔区校级四模）围棋，起源于中国，古代称为“弈”，距今已有4000多年的历史，如图是某围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，棋盘上A、B两颗棋子的坐标分别为A（﹣2，4），B（1，2）．
（1）根据题意，画出相应的平面直角坐标系并写出C、D两颗棋子的坐标：C（ 　2，1　 ），D（ 　﹣2，﹣1　 ）．
（2）线段AB平移后得到线段A′B′，点A的对应点是A′（1，3），点B的对应点是B′，点B、B′之间的距离是 　　 ．
【考点】作图﹣平移变换；坐标确定位置．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观；运算能力．
【答案】（1）画图见解答；2，1；﹣2，﹣1．
（2）．
【分析】（1）根据点A，B的坐标建立平面直角坐标系，即可得出点C，D的坐标．
（2）根据平移的性质可得点B'的坐标，再利用勾股定理计算BB'的长即可．
【解答】解：（1）建立平面直角坐标系如图所示．
由图可知，C（2，1），D（﹣2，﹣1）．
故答案为：2，1；﹣2，﹣1．
（2）由题意可知，点B'的坐标为（4，1），
∴点B、B′之间的距离是．
故答案为：．
【点评】本题考查作图﹣平移变换、勾股定理，熟练掌握平移的性质、勾股定理是解答本题的关键．
21．（8分）（2025春 招远市期中）完成下列推理过程，在序号处填写相应的内容．
如图，点E在线段DF上，点B在线段AC上，若∠BMN与∠CNM互补，∠C＝∠D，说明：∠A＝∠F．
解：因为∠BMN与∠CNM互补，
根据“①　同旁内角互补，两直线平行　 ”，所以②DB（EC）　 ∥③EC（DB）　 ，
根据“两直线平行，同位角相等”，所以∠D＝∠④FEC ，
又因为∠C＝∠D，所以∠C＝∠⑤FEC ，
根据⑥　内错角相等，两直线平行　 ，所以DF∥AC，
根据⑦　两直线平行，内错角相等　 ，所以∠A＝∠F．
【考点】平行线的判定与性质；余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】①同旁内角互补，两直线平行，②DB（EC），③EC（DB），④FEC，⑤FEC，⑥内错角相等，两直线平行，⑦两直线平行，内错角相等．
【分析】根据平行线的性质与判定定理填空即可．
【解答】解：∵∠BMN与∠CNM互补，
根据同旁内角互补，两直线平行，∴BD∥EC，
∴∠D＝∠FEC，
∵∠C＝∠D，
∴∠C＝∠FEC，
根据内错角相等，两直线平行，∴DF∥AC，
根据两直线平行，内错角相等，∴∠A＝∠F．
故答案为：①同旁内角互补，两直线平行，②DB（EC），③EC（DB），④FEC，⑤FEC，⑥内错角相等，两直线平行，⑦两直线平行，内错角相等．
【点评】本题考查了平行线的性质与判定，余角和补角，解题关键是熟练掌握平行线的性质与判定．
22．（9分）（2025春 静安区校级期中）如图，在△ABC中，D，E分别在AB，AC上．已知DE∥BC，CD平分∠ACB，过点E作∠AED的平分线交AB于点G．
（1）求证：GE∥CD；
对于这道题，小明的证明过程如下：
证明：∵DE∥BC， ∴∠AED＝∠ACB（两直线平行，问位角相等）．① ∵CD平分∠ACB，GE平分∠AED， ∴.② ∴∠GED＝∠DCB．③ ∴GE∥CD（同位角相等，两直线平行）．④
老师认为小明的证明过程出现了问题，请指出哪一步有问题　④　 （填写①，②，③或④），说出错误原因并将其改正．
（2）过点B作∠ABC的平分线BF交CD于点F，若∠A＝52°，∠AED＝80°，求∠BFC的度数．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）④；
（2）116°．
【分析】（1）结合角平分线定义，根据平行线的判定与性质求证即可；
（2）结合角平分线定义、平行线的性质，根据三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：（1）第④步有问题，∠GED与∠DCB不是同位角，
证明如下：∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ACB，
∵CD平分∠ACB，GE平分∠AED，
∴∠AEG∠AED，∠ACD∠ACB，
∴∠AEG＝∠ACD，
∴GE∥CD（同位角相等，两直线平行）；
故答案为：④；
（2）∵∠AED＝80°，DE∥BC，
∴∠ACB＝∠AED＝80°，
∵∠A＝52°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝48°，
∵BF平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠FBC∠ABC＝24°，∠FCB∠ACB＝40°，
∴∠BFC＝180°﹣∠FBC﹣∠FCB＝116°．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
23．（9分）（2025春 南关区校级月考）某服装店用20000元购进甲，乙两种新式服装共450套，这两种服装的进价，标价如表所示：
（1）求这两种服装各购进的件数；
（2）如果甲种服装按标价的8折出售，乙种服装按标价的7折出售，那么这批服装全部售完后，服装店共盈利多少元？
类型价格 甲型 乙型
进价（元/件） 40 50
标价（元/件） 60 80
【考点】一元一次方程的应用；有理数的混合运算．
【专题】实数；一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）购进250套甲种服装，200套乙种服装；
（2）这批服装全部售完后，服装店共盈利3200元．
【分析】（1）设购进x套甲种服装，则购进（450﹣x）套乙种服装，利用进货总价＝进货单价×购进数量，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即购进甲种服装的数量），再将其代入（450﹣x）中，即可求出购进乙种服装的数量；
（2）利用总利润＝每套甲种服装的销售利润×购进甲种服装的数量+每套乙种服装的销售利润×购进乙种服装的数量，即可求出结论．
【解答】解：（1）设购进x套甲种服装，则购进（450﹣x）套乙种服装，
根据题意得：40x+50（450﹣x）＝20000，
解得：x＝250，
∴450﹣x＝450﹣250＝200（套）．
答：购进250套甲种服装，200套乙种服装；
（2）根据题意得：（60×0.8﹣40）×250+（80×0.7﹣50）×200
＝（48﹣40）×250+（56﹣50）×200
＝8×250+6×200
＝2000+1200
＝3200（元）．
答：这批服装全部售完后，服装店共盈利3200元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
24．（10分）（2025春 兰考县月考）为了解决小区停车难的问题，某阳光小区准备新建50个停车位．已知新建1个地上停车位和1个地下停车位共需0.5万元；新建3个地上停车位和2个地下停车位共需1.1万元．请解答下列问题：
（1）该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？
（2）若该小区预计投资金额不超过11万元，且地上停车位预计不超过33个，则共有几种建造方案？
（3）已知每个地上停车位月租金100元，每个地下停车位月租金300元．在（2）的条件下，新建停车位全部租出．若该小区将第一个月租金收入中的3600元用于旧车位的维修，其余收入继续兴建新车位，租金恰好用完，直接写出该小区选择的是哪种建造方案？
【考点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用．
【专题】方程与不等式；运算能力．
【答案】（1）新建一个地上停车位需0.1万元，新建一个地下停车位需0.4万元；
（2）有四种建造方案；
（3）选择的建造方案是：32个地上停车位，18个地下停车位．
【分析】（1）根据两种新建方案的投资列出方程组求解即可．
（2）设新建m个地上停车位，根据题意列出不等式组并求解即可．
（3）依据（2）的结果分别讨论，注意取正整数解即可选择合适的建造方案．
【解答】解：（1）设新建一个地上停车位需x万元，新建一个地下停车位需y万元，
由题意得，，
解得
即新建一个地上停车位需0.1万元，新建一个地下停车位需0.4万元；
（2）设新建m个地上停车位，则
解得：30≤m≤33，
因为m为整数，所以m＝30或m＝31或m＝32或m＝33，
对应的50﹣m＝20或50﹣m＝19或50﹣m＝18或50﹣m＝17，
所以，有四种建造方案；
（3）设地上停车位为a个，地下停车位为b个，则
当a＝30，b＝20时，1000a+4000b＝30×100+20×300﹣3600＝9000﹣3600＝5400．
∴a+4b＝5.4，
∴a、b不能同时取得整数解，此方案不符合题意；
同理，可以验证a＝31或a＝33时，均不能使a、b同时取得整数，此两种方案也不符合题意；
当a＝32，b＝18时，1000a+4000b＝32×100+18×300﹣3600＝8600﹣3600＝5000．
即a+4b＝5，此时a＝1，b＝1．
∴可修建一个地上停车位和一个地下停车位，1000元+4000元＝5000元．
∴该小区选择的建造方案是：32个地上停车位，18个地下停车位．
【点评】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式组的应用，解题的关键是审清题意，正确列出方程组或不等式组．
25．（10分）（2023春 上城区校级期中）如图①，已知AD∥BC，∠B＝∠D．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠B＝100°，点E、F在线段CD上，且满足AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，如图②，求∠FAC的度数；
（3）若点E在直线CD上，且满足，求∠ACD：∠AED的值（用含n的代数式表示）．（请自己画出正确图形，并解答）
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）40°；
（3）∠ACD：∠AED＝n：（n+1）或n：（n﹣1）．
【分析】（1）依据平行线的性质以及判定，即可得到AB∥CD；
（2）依据AC平分∠BAE，AF 平分∠DAE，即可得到，，进而得出；
（3）分两种情况讨论：当点E在线段CD上时；当点E在DC的延长线上时，分别依据AB∥CD，进而得到∠ACD：∠AED的值．
【解答】（1）证明：如图①，∵AD∥∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
又∵∠B＝∠D，
∴∠D+∠A＝180°，
∴AB∥CD；
（2）解：∵AD∥∥BC，∠B＝∠D＝100°，
∴∠DAB＝80°，
∵AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，
∴，，
∴∠FAC＝∠EAC+∠EAF（∠BAE+∠DAE）∠DAB＝40°；
（3）解：分两种情况：当点E在线段CD上时，如图③所示：
由（1）可得AB∥∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC，∠AED＝∠BAE，
又∵，
∴∠ACD：∠AED＝n：（n+1）；
当点E在DC的延长线上时，如图④所示：
由（1）可得AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC，∠AED＝∠BAE，
又∵，
∴∠ACD：∠AED＝n：（n﹣1）；
综上所述：∠ACD：∠AED＝n：（n+1）或n：（n﹣1）．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．

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