资源简介

浙江省杭州市2025-2026学年八年级下学期期末模拟自测数学试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2025秋 武安市期中）下列图形中，可以看作中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）（2023秋 通川区校级月考）下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．ax2+2x＝1 B．5x﹣2y＝0
C． D．
3．（3分）（2025春 交城县期末）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）（2025 湖南模拟）用反证法证明“如果a＞b＞0，则”是真命题时，应假设（　　）
A． B． C．a＜b D．a≤b
5．（3分）（2024秋 建瓯市期中）某运动APP记录中了小明10月份每天的步数，小明统计了每周走路的平均步数并制成如下列图表，能反映他一周走路运动情况最平稳的是（　　）
周数 第一周 第二周 第三周 第四周
平均步数 8509 8523 8507 8516
方差 4 1.3 3 0.6
A．第一周 B．第二周 C．第三周 D．第四周
6．（3分）（2023秋 中原区校级期中）下列说法正确的是（　　）
A．矩形的对角线互相垂直
B．菱形的对角互补
C．矩形的四个内角都是直角
D．菱形的对角线相等
7．（3分）（2024春 拱墅区校级期中）已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0，（b，m均为常数，且a≠0）的两个解是x1＝3和x2＝7，则方程a（2x+m﹣1）2+b＝0的解是（　　）
A．x1＝2，x2＝4 B．x1＝3，x2＝7
C．x1＝5，x2＝13 D．x1＝2，x2＝6
8．（3分）（2023春 新晃县期末）如图，F是矩形ABCD内一点，过F的两直线分别与矩形的边平行，下列说法不一定成立的是（　　）
A．S△ABC＝S△ADC
B．S△AEF＝S△ANF
C．S矩形NFGD＝S矩形EFMB
D．S△AEF＝S矩形NFGD
9．（3分）（2023秋 郸城县月考）某小区中央花园有一块长方形花圃，它的宽为5m，若长不变，将宽扩大，使得扩大后的花圃变成正方形，且面积比原来增加15m2，设原来花圃长为xm，则可列方程（　　）
A．x2+5x＝15 B．x2﹣5x＝15 C．（x﹣5）2＝15 D．x2﹣52＝15
10．（3分）（2025 黄冈校级模拟）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，若BD＝3，CE＝4，则△ABC的面积为（　　）
A．36 B．38 C．40 D．42
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2021春 涧西区期中）若式子在实数范围内有意义，则x应满足的条件是 　 　 ．
12．（3分）（2024秋 盐城期中）一组数据19，15，10，x，4，它的中位数是13，则这组数据的平均数是 　 　 ．
13．（3分）（2024春 江北区校级月考）一个正多边形的一个内角等于一个外角的3倍，则这个正多边形是正 　 　 边形．
14．（3分）（2023春 宁明县期末）如果关于x的方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，那么实数m的取值范围是 　 　 ．
15．（3分）（2024 建邺区二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标是（3，1）．若顶点B在第一象限的角平分线上，则点B的坐标是 　 　 ．
16．（3分）（2023 十堰）在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰直角三角形ABC（∠A＝90°）硬纸片剪切成如图所示的四块（其中D，E，F分别AB，AC，BC的中点，G，H分别为DE，BF的中点），小明将这四块纸片重新组合拼成四边形（相互不重叠，不留空隙），则所能拼成的四边形中周长的最小值为 　 　 ，最大值为 　 　 ．
三．解答题（共12小题，满分102分）
17．（9分）（2024春 陇西县月考）计算：32．
18．（9分）（2025秋 南京期中）解方程：
（1）x2﹣6x﹣5＝0；
（2）x（x+1）＝2（x+1）．
19．（9分）（2025春 张掖期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1（点A的对应点为A1，点B的对应点为B1，点C的对应点为C1）；
（2）将△ABC绕着点O顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2（点A的对应点为A2，点B的对应点为B2，点C的对应点为C2），则C2的坐标　 　 ；
（3）在平面内有一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的所有点D的坐标是　 　 ．
20．（9分）（2025春 兰溪市期末）某校团委要招聘一名节目主持人，A、B、C三位同学报名并参加了3个项目的素质测试，测试成绩如表（单位：分）．
知识积累 人文素养 实践经验
A 80 78 82
B 78 86 79
C 79 87 74
（1）计算得A同学的总成绩的平均分为80分，请求出B、C两同学的平均分；
（2）对于主持人工作，三个项目的重要性程度有所不同，规定应聘者的知识积累、人文素养、实践经验的成绩按3：3：4的比例计算，得分高的应聘，请问谁能应聘成功？
21．（9分）（2024春 华容县期末）如图，DE是△ABC的中位线，延长CB至点F，使，连接BE，DF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若，试判断△ABC的形状，并说明理由．
22．（9分）（2025秋 沙坪坝区校级月考）受高温影响，重庆多地暑假突发山火．“山火无情人有情”，多家企业及学校积极履行社会责任，主动投身到防暑抗旱、森林防火工作中，合力共克时艰，同时，他们组织捐赠油锯和水基灭火器共1.5万个，总价值450万元．已知油锯的售价为每个400元，水基灭火器的售价为每个250元．请完成下列问题：
（1）本次捐赠中，油锯和水基灭火器的数量分别为多少万个？
（2）某企业计划捐赠90个油锯、120个水基灭火器，在采购时，商家为驰援山火救援主动让利，将油锯的售价降低了m%，水基灭火器的售价降低了，最终该企业捐赠的这批物资总价为53800元，请求出m的值．
23．（9分）（2025秋 杨浦区校级月考）在数学学习活动中，小明和他的小伙伴们遇到一个问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．经过思考和探索，他的解答如表．
∵， ∴， ∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3， ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的解题过程，【解决下列问题】：
（1）计算：；
（2）若，求a4﹣4a3﹣3a+3的值．
24．（9分）（2025秋 东城区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，O（0，0），A（﹣2，﹣1），B（3，﹣1），C（3，3），D（﹣2，3），若点P关于某直线l的对称点落在长方形ABCD内（不包含边界），则称点P是长方形ABCD的“l封闭点”．
（1）若点P（1，2）是长方形ABCD的“l封闭点”，则l可以是　 　 （填序号）．
①x轴；
②y轴；
③一、三象限角平分线；
④长方形ABCD的对称轴．
（2）若点Q（a，b）是长方形ABCD的“y轴封闭点”，求点Q横坐标a的取值范围；
（3）点H（m，m）是直线l上的动点，点M（0，﹣9），点N（c，d）是线段MC上的一点，若点N是长方形ABCD的“直线l封闭点”，求点N的纵坐标d的取值范围．
25．（9分）（2023秋 黄埔区校级月考）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2﹣4x+2＝0的两根，则这个直角三角形的面积为 　 　 ．
26．（9分）（2024春 沙坪坝区期末）在 ABCD中，若∠A＝80°，则∠B的度数是 　 　 ．
27．（6分）（2023 徐汇区二模）方程组的解是 　 　 ．
28．（6分）（2020春 西岗区期末）如图，E是正方形ABCD内的一点，且DE＝DC，EB＝EC，则∠BDE的度数为 　 　 ．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2025秋 武安市期中）下列图形中，可以看作中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的定义解答即可．
【解答】解：A、图形不是中心对称图形，不符合题意；
B、图形是中心对称图形，符合题意；
C、图形不是中心对称图形，不符合题意；
D、图形不是中心对称图形，不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形的定义，熟知中心对称图形则是指在平面内把一个图形绕着某个点旋转180°后，能够与原来的图形重合的图形是解题的关键．
2．（3分）（2023秋 通川区校级月考）下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．ax2+2x＝1 B．5x﹣2y＝0
C． D．
【考点】一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．
【解答】解：A、当a＝0时，ax2+2x＝1即为2x＝1，不是一元二次方程，不符合题意；
B、5x﹣2y＝0含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
C、是一元二次方程，符合题意；
D、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是理解只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程．
3．（3分）（2025春 交城县期末）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据二次根式的运算法则计算并判断选项即可．
【解答】解：A：，结果为而非2，故错误，不符合题意；
B：与的被开方数不同，无法直接合并为，故错误，不符合题意；
C：，故等式应为2而非﹣2，故错误，不符合题意；
D：，运算正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的运算性质，正确运算是解决本题的关键．
4．（3分）（2025 湖南模拟）用反证法证明“如果a＞b＞0，则”是真命题时，应假设（　　）
A． B． C．a＜b D．a≤b
【考点】反证法．
【专题】反证法；推理能力．
【答案】B
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行解答即可．
【解答】解：反证法证明“若a＞b＞0，则”时，假设，
故选：B．
【点评】本题考查反证法，解答本题的关键要明确：在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
5．（3分）（2024秋 建瓯市期中）某运动APP记录中了小明10月份每天的步数，小明统计了每周走路的平均步数并制成如下列图表，能反映他一周走路运动情况最平稳的是（　　）
周数 第一周 第二周 第三周 第四周
平均步数 8509 8523 8507 8516
方差 4 1.3 3 0.6
A．第一周 B．第二周 C．第三周 D．第四周
【考点】方差；众数．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】D
【分析】比较方差即可．
【解答】解：由题可知，第四周的方差＜第二周的方差＜第三周的方差＜第一周的方差，
∴第四周走路运动情况最平稳；
故选：D．
【点评】本题考查了方差，一组数据中，各数据与他们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，方差是反映一组数据波动大小的一个量方差越大则平均值的离散程度越大，稳定性也越小，反之则它与其平均值的离散程度越小稳定性越好．
6．（3分）（2023秋 中原区校级期中）下列说法正确的是（　　）
A．矩形的对角线互相垂直
B．菱形的对角互补
C．矩形的四个内角都是直角
D．菱形的对角线相等
【考点】矩形的性质；多边形内角与外角；菱形的性质．
【专题】证明题；推理能力．
【答案】C
【分析】根据矩形、菱形的性质逐项判断即可．
【解答】解：A、矩形的对角线相等且平分，不垂直，选项错误，不符合题意；
B、菱形的对角相等，不是互补，选项错误，不符合题意；
C、矩形的四个角都是直角，选项正确，符合题意；
D、菱形的对角线垂直且平分，不相等，选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】】此题考查了矩形、菱形的性质，熟记各种特殊四边形的性质是解题关键．
7．（3分）（2024春 拱墅区校级期中）已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0，（b，m均为常数，且a≠0）的两个解是x1＝3和x2＝7，则方程a（2x+m﹣1）2+b＝0的解是（　　）
A．x1＝2，x2＝4 B．x1＝3，x2＝7
C．x1＝5，x2＝13 D．x1＝2，x2＝6
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．
【专题】整体思想；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】把后面一个方程中的2x﹣1看作整体，相当于前面一个方程中x的求解．
【解答】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是 x1＝3，x2＝7，
∴方程a（2x+m﹣1）2+b＝0变形为a[（2x﹣1）+m]2+b＝0，
即此方程中2x﹣1＝3或2x﹣1＝7，
解得x1＝2，x2＝4．
故选：A．
【点评】此题考查了方程解的定义，运用整体思想是解题的关键．
8．（3分）（2023春 新晃县期末）如图，F是矩形ABCD内一点，过F的两直线分别与矩形的边平行，下列说法不一定成立的是（　　）
A．S△ABC＝S△ADC
B．S△AEF＝S△ANF
C．S矩形NFGD＝S矩形EFMB
D．S△AEF＝S矩形NFGD
【考点】矩形的性质；平行线之间的距离；三角形的面积．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据矩形的性质可判定△ABC和△CDA全等，从而可对选项A进行判断；再根据MN∥AB，EG∥BC可得到四边形AEFN，四边形NFGD，四边形MFGC，四边形EFMB均为矩形，据此可对选项B进行判断；利用选项A，B成立可对选项C进行判断；然后由题目中的已知条件不能证明S△AEF＝S矩形NFGD，由此可对选项D进行判断．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，BC＝AD，AB∥CD，BC∥AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝∠BCD＝90°，
在△ABC和△CDA中，
AB＝CD，BC＝AD，∠B＝∠D＝90°，
∴△ABC≌△CDA（SAS），
∴S△ABC＝S△ADC，
故选项A成立；
∵MN∥AB，EG∥BC，
又BC∥AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴四边形AEFN，四边形NFGD，四边形MFGC，四边形EFMB均为矩形，
由选项A正确得：S△AEF＝S△ANF，S△FMC＝S△FCG，
故选项B成立；
∵S△ABC＝S△AEF+S矩形EFMB+S△FMC，S△ADC＝S△ANF+S矩形NFGB+S△FCG，
∴S△AEF+S矩形EFMB+S△FMC＝S△ANF+S矩形NFGB+S△FCG，
∵S△AEF＝S△ANF，S△FMC＝S△FCG，
∴S矩形EFMB＝S矩形NFGB，
故选项C成立；
根据题目中的条件不能得到：S△AEF＝S矩形NFGD，
因此选项D不一定成立．
故选：D．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，理解矩形的两组对边分别平行且相等，四个角都是直角是解答此题的关键．
9．（3分）（2023秋 郸城县月考）某小区中央花园有一块长方形花圃，它的宽为5m，若长不变，将宽扩大，使得扩大后的花圃变成正方形，且面积比原来增加15m2，设原来花圃长为xm，则可列方程（　　）
A．x2+5x＝15 B．x2﹣5x＝15 C．（x﹣5）2＝15 D．x2﹣52＝15
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】设原来花圃长为xm，根据“扩大后的花圃变成正方形，且面积比原来增加15m2”列出一元二次方程即可．
【解答】解：设原来花圃长为xm，
由题意得：x2﹣5x＝15，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是弄清题意，找到等量关系．
10．（3分）（2025 黄冈校级模拟）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，若BD＝3，CE＝4，则△ABC的面积为（　　）
A．36 B．38 C．40 D．42
【考点】勾股定理；等腰直角三角形；旋转的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】将△AEC顺时针方向旋转90°至△AFB，得出∠ABF＝∠ACD＝45°，∠BAF＝∠CAE，AE＝AF，证明△DAE≌△DAF（SAS），由全等三角形的判定与性质得出DE＝DF，由勾股定理求出DE的长，根据三角形的面积可求出答案．
【解答】解：如图，将△AEC顺时针方向旋转90°至△AFB，连接DF，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
根据旋转的性质可得△AEC≌△ABF，
∴∠ABF＝∠ACD＝45°，∠BAF＝∠CAE，AE＝AF，
∴∠FBE＝45°+45°＝90°，BF＝CE，
∴BD2+BF2＝DF2，
∴∠DAE＝45°，
∴∠BAD+∠CAE＝45°，
∴∠BAD+∠BAF＝45°，
∴∠DAE＝∠DAF，
又∵AD＝AD，
∴△DAE≌△DAF（SAS），
∴DE＝DF，
∴BD2+BF2＝DE2，
∵BD＝3，CE＝4，
∴，
∴BC＝BD+DE+CE＝3+5+4＝12，，
∴△ABC的面积为，
故选：A．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2021春 涧西区期中）若式子在实数范围内有意义，则x应满足的条件是 x≤5　 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】x≤5．
【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．
【解答】解：由题可知，
5﹣x≥0，
解得x≤5．
故答案为：x≤5．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
12．（3分）（2024秋 盐城期中）一组数据19，15，10，x，4，它的中位数是13，则这组数据的平均数是 　12.2　 ．
【考点】中位数；算术平均数．
【专题】统计与概率；运算能力．
【答案】12.2．
【分析】由中位数的定义“将数据按大小顺序排列起来，形成一个数列，居于数列中间位置的那个数据”即可判断出x的值，再利用求平均数的公式求出结果即可．
【解答】解：∵这组数据由5个数组成，为奇数个，且中位数为13，
∴x＝13，
∴这组数据为4，19，10，13，15，
∴这组数据的平均数．
故答案为：12.2．
【点评】本题考查中位数，求平均数，掌握中位数的定义和求平均数公式是解答本题的关键．
13．（3分）（2024春 江北区校级月考）一个正多边形的一个内角等于一个外角的3倍，则这个正多边形是正 　八　 边形．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】八．
【分析】设这个正多边的外角为x°，则内角为3x°，根据内角和外角互补可得x+3x＝180，解可得x的值，再利用外角和360°除以外角度数可得边数．
【解答】解：设这个正多边的一个外角为x°，由题意得：
x+3x＝180，
解得：x＝45，
360°÷45°＝8．
∴这个正多边形是正八边形．
故答案为：八．
【点评】此题主要考查了多边形的内角和外角，关键是计算出外角的度数，进而得到边数．
14．（3分）（2023春 宁明县期末）如果关于x的方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，那么实数m的取值范围是 m＞1　 ．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】m＞1．
【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4m＜0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4m＜0，
解得m＞1，
即实数m的取值范围为m＞1．
故答案为：m＞1．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
15．（3分）（2024 建邺区二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标是（3，1）．若顶点B在第一象限的角平分线上，则点B的坐标是 　（4，4）　 ．
【考点】菱形的性质；坐标与图形性质．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（4，4）．
【分析】由“SSS”可证△AHB≌△AHO，可得OH＝BH，∠AHO＝∠AHB＝45°，由等腰直角三角形的性质可得AF＝FH＝1，即可求解．
【解答】解：如图，过点B作BH⊥x轴于H，过点A作AF⊥OH于F，连接AH，
∵点A的坐标是（3，1），
∴AF＝1，OF＝3，
∵四边形OABC是菱形，
∴OA＝AB，
∵点B在第一象限的角平分线上，
∴△OBH是等腰直角三角形，
∴BH＝OH，
又∵AH＝AH，
∴△AHB≌△AHO（SSS），
∴OH＝BH，∠AHO＝∠AHB＝45°，
∵AF⊥OH，
∴AF＝FH＝1，
∴OH＝BH＝4，
∴点B（4，4），
故答案为：（4，4）．
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
16．（3分）（2023 十堰）在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰直角三角形ABC（∠A＝90°）硬纸片剪切成如图所示的四块（其中D，E，F分别AB，AC，BC的中点，G，H分别为DE，BF的中点），小明将这四块纸片重新组合拼成四边形（相互不重叠，不留空隙），则所能拼成的四边形中周长的最小值为 　8　 ，最大值为 　8+2　 ．
【考点】图形的剪拼；等腰直角三角形；轴对称﹣最短路线问题．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】8；8+2．
【分析】根据题意，可固定四边形GFCE，平移或旋转其它图形，组合成四边形，求出周长，判断最小值，最大值．
【解答】解：如图，
BC＝4，AC＝42，CI＝BD＝CEAC，DI＝BC＝4，
∴四边形BCID周长＝4+4+28+2；
如图，
AF＝AI＝IC＝FC＝2，
∴四边形AFCI周长为2×4＝8；
故答案为：8，8+2．
【点评】本题考查图形变换及勾股定理，通过平移、旋转组成满足要求的四边形是解题的关键．
三．解答题（共12小题，满分102分）
17．（9分）（2024春 陇西县月考）计算：32．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】2．
【分析】先算乘除，化为最简二次根式，再合并同类二次根式．
【解答】解：原式＝322
2
＝2．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．
18．（9分）（2025秋 南京期中）解方程：
（1）x2﹣6x﹣5＝0；
（2）x（x+1）＝2（x+1）．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1），；
（2）x1＝2，x2＝﹣1．
【分析】（1）运用配方法进行解方程，即可作答．
（2）运用因式分解法进行解方程，即可作答．
【解答】解：（1）∵x2﹣6x﹣5＝0，
∴x2﹣6x＝5，
∴x2﹣6x+9＝5+9，
∴（x﹣3）2＝14，
∴x﹣3＝±，
∴，；
（2）x（x+1）＝2（x+1），
∵x（x+1）﹣2（x+1）＝0，
∴（x﹣2）（x+1）＝0，
∴x﹣2＝0或x+1＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法和配方法是解题的关键．
19．（9分）（2025春 张掖期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1（点A的对应点为A1，点B的对应点为B1，点C的对应点为C1）；
（2）将△ABC绕着点O顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2（点A的对应点为A2，点B的对应点为B2，点C的对应点为C2），则C2的坐标　（4，﹣3）　 ；
（3）在平面内有一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的所有点D的坐标是　（6，5）或（2，﹣1）或（0，3）　 ．
【考点】作图﹣旋转变换；平行四边形的判定与性质；作图﹣平移变换．
【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位得到的△A1B1C1，如图1即为所求；
（2）将△ABC绕着点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2，如图2即为所求；
（4，﹣3）；
（3）（6，5）或（2，﹣1）或（0，3）．
【分析】（1）根据平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）根据旋转的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
（3）有三种情形，画出平行四边形，可得结论．
【解答】解：（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位得到的△A1B1C1，如图1即为所求；
（2）将△ABC绕着点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2，如图2即为所求；
由图可知，C2（4，﹣3），
故答案为：（4，﹣3）；
（3）依题意，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，
由图可知，D的坐标是（6，5）或（2，﹣1）或（0，3）．
故答案为：（6，5）或（2，﹣1）或（0，3）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平行四边形的判定与性质，作图﹣平移变换，解题的关键是熟练掌握平移与旋转的性质．
20．（9分）（2025春 兰溪市期末）某校团委要招聘一名节目主持人，A、B、C三位同学报名并参加了3个项目的素质测试，测试成绩如表（单位：分）．
知识积累 人文素养 实践经验
A 80 78 82
B 78 86 79
C 79 87 74
（1）计算得A同学的总成绩的平均分为80分，请求出B、C两同学的平均分；
（2）对于主持人工作，三个项目的重要性程度有所不同，规定应聘者的知识积累、人文素养、实践经验的成绩按3：3：4的比例计算，得分高的应聘，请问谁能应聘成功？
【考点】加权平均数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）B的平均分81分；C的平均分80分．（2）B将成功应聘．
【分析】（1）利用平均数的公式即可直接求解；
（2）利用加权平均数公式求解．
【解答】解：（1）B的平均分：81（分），
C的平均分：80（分）．
（2）A的加权平均分是：80×0.3+78×0.3+82×0.4＝80.2（分），
B的加权平均分是：78×0.3+86×0.3+79×0.4＝80.8（分），
C的加权平均分是：79×0.3+87×0.3+74×0.4＝79.4（分），
因为B的加权平均分最高，所以B将成功应聘．
【点评】本题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算是解题的关键．
21．（9分）（2024春 华容县期末）如图，DE是△ABC的中位线，延长CB至点F，使，连接BE，DF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【考点】平行四边形的判定与性质；三角形中位线定理．
【专题】多边形与平行四边形；几何直观；推理能力．
【答案】（1）证明见解析过程；
（2）△ABC为直角三角形，理由见解析过程．
【分析】（1）根据三角形中位线定理可得DE∥BC，，求出DE＝BF，根据平行四边形的判定可得结论；
（2）根据平行四边形的性质和三角形中位线定理求出AE＝EC＝BE，可得∠EAB＝∠EBA，∠ECB＝∠EBC，然后利用三角形内角和定理求出∠EBA+∠EBC＝90°即可．
【解答】（1）证明：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，，
∵，
∴DE＝BF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：△ABC为直角三角形；理由如下：
∵四边形BEDF是平行四边形，
∴DF＝BE，
∵，
∴，
∵DE是△ABC的中位线，
∴．
∴AE＝EC＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA，∠ECB＝∠EBC，
∵∠EAB+∠EBA+∠ECB+∠EBC＝180°，
∴∠EBA+∠EBC＝90°，即∠ABC＝90°，
∴△ABC为直角三角形．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
22．（9分）（2025秋 沙坪坝区校级月考）受高温影响，重庆多地暑假突发山火．“山火无情人有情”，多家企业及学校积极履行社会责任，主动投身到防暑抗旱、森林防火工作中，合力共克时艰，同时，他们组织捐赠油锯和水基灭火器共1.5万个，总价值450万元．已知油锯的售价为每个400元，水基灭火器的售价为每个250元．请完成下列问题：
（1）本次捐赠中，油锯和水基灭火器的数量分别为多少万个？
（2）某企业计划捐赠90个油锯、120个水基灭火器，在采购时，商家为驰援山火救援主动让利，将油锯的售价降低了m%，水基灭火器的售价降低了，最终该企业捐赠的这批物资总价为53800元，请求出m的值．
【考点】一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）本次捐赠中，油锯和水基灭火器的数量分别为0.5万个，1万个；
（2）m＝20．
【分析】（1）设本次捐赠中，油锯和水基灭火器的数量分别为x万个，y万个，然后根据油锯和水基灭火器共1.5万个，总价值450万元列出方程组求解即可；
（2）根据物资总价＝油锯的价值+灭火器的价值列出方程求解即可．
【解答】解：（1）设本次捐赠中，油锯和水基灭火器的数量分别为x万个，y万个，
由题意得，
解得，
答：本次捐赠中，油锯和水基灭火器的数量分别为0.5万个，1万个；
（2）由题意得，
36000（1﹣m%）+3000053800，
∴36000﹣360m+30000﹣250m＝53800，
解得m＝20．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
23．（9分）（2025秋 杨浦区校级月考）在数学学习活动中，小明和他的小伙伴们遇到一个问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．经过思考和探索，他的解答如表．
∵， ∴， ∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3， ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的解题过程，【解决下列问题】：
（1）计算：；
（2）若，求a4﹣4a3﹣3a+3的值．
【考点】二次根式的化简求值；规律型：数字的变化类；平方差公式；分母有理化．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）44；
（2）．
【分析】（1）将各式分母有理化后，合并同类二次根式即可；
（2）根据阅读材料化简可得a2﹣4a＝1，将所求代数式变形为含a2﹣4a的式子，代入求值即可．
【解答】解：（1），
，

，
＝45﹣1
＝44；
（2）∵，
∴，
∴a2﹣4a+4＝5，
∴a2﹣4a＝1，
∴原式＝a2（a2﹣4a）﹣3a+3
＝a2﹣3a+3
＝a2﹣4a+a+3
＝1+a+3
＝4+a
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键．
24．（9分）（2025秋 东城区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，O（0，0），A（﹣2，﹣1），B（3，﹣1），C（3，3），D（﹣2，3），若点P关于某直线l的对称点落在长方形ABCD内（不包含边界），则称点P是长方形ABCD的“l封闭点”．
（1）若点P（1，2）是长方形ABCD的“l封闭点”，则l可以是　②③④　 （填序号）．
①x轴；
②y轴；
③一、三象限角平分线；
④长方形ABCD的对称轴．
（2）若点Q（a，b）是长方形ABCD的“y轴封闭点”，求点Q横坐标a的取值范围；
（3）点H（m，m）是直线l上的动点，点M（0，﹣9），点N（c，d）是线段MC上的一点，若点N是长方形ABCD的“直线l封闭点”，求点N的纵坐标d的取值范围．
【考点】四边形综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）②③④；
（2）﹣3＜a＜2；
（3）﹣2＜d＜3．
【分析】（1）根据点P的坐标分别求出点P关于直线x轴、y轴、一、三象限角平分线、长方形ABCD的对称轴的对称点，根据对称点的坐标进行判断；
（2）分点 Q在y轴左侧、y轴右侧、y轴上三种情况求出a的取值范围；
（3）根据点H（m，m）是直线l上的动点，可知直线l的解析式是y＝x，根据点N（c，d）是线段MC上的一点，可知﹣9≤d≤3，点N（c，d）关于直线l的对称点的坐标是（d，c），根据对称点在长方形ABCD的内部，可知﹣2＜d＜3，综合起来，可得﹣2＜d＜3．
【解答】解：（1）如图1，O（0，0），A（﹣2，﹣1），B（3，﹣1），C（3，3），D（﹣2，3），点P（1，2）是长方形ABCD的“l封闭点”，
∵点 P（1，2）关于x轴的对称点的坐标是（1，﹣2），在长方形ABCD外部，
∴l不是x轴；
故①选项错误；
点 P（1，2）关于y轴的对称点的坐标是（﹣1，2），在长方形ABCD内部，
∴l可以是y轴，
故②选项正确；
∵一、三象限角平分线的解析式是y＝x，
点 P（1，2）关于y＝x轴的对称点的坐标是（2，1），在长方形ABCD内部，
∴l可以是一、三象限角平分线，
故③选项正确；
∵长方形ABCD有2条对称轴，一条是直线，另一条是直线，
点 P（1，2）关于直线的对称点的坐标是（0，2），在长方形ABCD内部，
点 P（1，2）关于y＝1的对称点的坐标是（1，0），在长方形ABCD内部，
∴l可以是长方形ABCD的对称轴，
故④选项正确；
综上所述，l可以是②③④，
故答案为：②③④；
（2）如图2，
当点Q在y轴的左侧时，过点Q作x轴的平行线，交y轴于点E，交于BC点F，则EF＝3，
∵点Q是长方形ABCD的“轴封闭点”，
∴﹣3＜a＜0；
如图3，
当点Q在y轴的右侧时，过点Q作x轴的平行线，交y轴于点E，交于点G，则EG＝2，
∵点Q是长方形ABCD的“轴封闭点”，
∴0＜a＜2；
当点Q在y轴上时，点Q关于y轴的对称点还是点Q；
综上所述，点Q横坐标a的取值范围为﹣3＜a＜2；
（3）∵点H（m，m）是直线l上的动点，
∴直线l的解析式是y＝x，
∵点N（c，d）是线段MC上的一点，
∴﹣9≤d≤3，
∴点N关于直线l的对称点的坐标是（d，c），
∵点N是长方形ABCD的“直线l封闭点”，
∴﹣2＜d＜3，
∴点N的纵坐标d的取值范围为﹣2＜d＜3．
【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了新定义、坐标与图形变化﹣轴对称，解决本题的关键是根据“l封闭点”的定义确定点的坐标的取值范围．
25．（9分）（2023秋 黄埔区校级月考）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2﹣4x+2＝0的两根，则这个直角三角形的面积为 　1　 ．
【考点】根与系数的关系；勾股定理．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】1．
【分析】设直角三角形的两直角边分别为a、b，则利用根与系数的关系得ab＝2，然后利用三角形面积公式得到这个直角三角形的面积．
【解答】解：设直角三角形的两直角边分别为a、b，
根据根与系数的关系得ab＝2，
所以这个直角三角形的面积ab2＝1．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
26．（9分）（2024春 沙坪坝区期末）在 ABCD中，若∠A＝80°，则∠B的度数是 　100°　 ．
【考点】平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；几何直观；推理能力．
【答案】100°．
【分析】如图，由平行四边形的性质得AD∥BC，则∠A+∠B＝180°，即可得出答案．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝80°，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∴∠B＝180°﹣∠A＝180°﹣80°＝100°．
故答案为：100°．
【点评】本题考查平行四边形的性质．理解和掌握平行四边形的性质是解题的关键．
27．（6分）（2023 徐汇区二模）方程组的解是 　，　 ．
【考点】高次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】，．
【分析】由①得出（x﹣y）（x﹣2y）＝0，求出x﹣y＝0或x﹣2y＝0③，由③和②组成两个二元一次方程组，求出两方程组的解即可．
【解答】解：，
由①得：（x﹣y）（x﹣2y）＝0，
x﹣y＝0或x﹣2y＝0③，
由③和②组成两个二元一次方程组：
，，
解得：，，
所以原方程组的解是，．
故答案为：，．
【点评】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．
28．（6分）（2020春 西岗区期末）如图，E是正方形ABCD内的一点，且DE＝DC，EB＝EC，则∠BDE的度数为 　15°　 ．
【考点】正方形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】15°．
【分析】连接AE，由正方形的性质得AB＝DC＝AD，∠ABC＝∠DCB＝∠BAD＝90°，则∠ADB＝∠ABD＝45°，因为DE＝DC，EB＝EC，所以DE＝AD，∠EBC＝∠ECB，推导出∠ABE＝∠DCE，可证明△ABE≌△DCE，则AE＝DE＝AD，所以△ADE是等边三角形，则∠ADE＝60°，求得∠BDE＝∠ADE﹣∠ADB＝15°，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DC＝AD，∠ABC＝∠DCB＝∠BAD＝90°，
∴∠ADB＝∠ABD＝45°，
∵DE＝DC，EB＝EC，
∴DE＝AD，∠EBC＝∠ECB，
∴∠ABC﹣∠EBC＝∠DCB﹣∠ECB，
∴∠ABE＝∠DCE，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴AE＝DE，
∴AE＝DE＝AD，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE＝60°，
∴∠BDE＝∠ADE﹣∠ADB＝60°﹣45°＝15°，
故答案为：15°．
【点评】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．

展开更多......

收起↑