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浙江省杭州市2025-2026学年八年级下学期期末模拟自测数学试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023秋 泗水县月考）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2+y+1＝0
C． D．（x﹣1）（x+2）＝1﹣x
2．（3分）（2024 绥化）若式子有意义，则m的取值范围是（　　）
A．m B．m C．m D．m
3．（3分）（2024秋 大荔县校级月考）8名同学引体向上成绩（单位：个）为：10，4，4，4，8，5，5，5，2，这组数据的众数是（　　）
A．4 B．4.5 C．5 D．4和5
4．（3分）（2025秋 景德镇期中）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）（2025秋 江夏区月考）把方程x2﹣6x+7＝0转化成（x+m）2＝n的形式，则m、n的值是（　　）
A．﹣3、2 B．3、2 C．﹣3、﹣7 D．3、﹣7
6．（3分）（2019春 博罗县期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC、BD的交点，下列说法不一定正确的是（　　）
A．AD＝BC B．∠ABC＝∠ADC C．OB＝OD D．∠ACB＝∠ACD
7．（3分）（2024秋 高州市校级月考）下列运算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）（2024 张北县校级开学）某校连续三年开展植树活动．第一年植树500棵，第三年植树720棵，设该校这两年植树棵数的年平均增长率为x，下面所列方程正确的是（　　）
A．500×（1+x）＝720
B．500（1+x）2＝720
C．500+500（1+x）+500（1+x）2＝720
D．500（1+x）（1+2x）＝720
9．（3分）（2022春 甘南县校级期中）直角三角形中一直角边的长为10，另两边长为连续偶数，则直角三角形的周长为（　　）
A．49 B．17 C．60 D．不能确定
10．（3分）（2022春 乐清市校级期中）将一组数，2，，2，，…，2，按下面的方式进行排列：
2 2
2 4 3 2
… … … … …
若的位置记为（1，3），3的位置记为（2，4），则这组数中最大有理数的位置记为（　　）
A．（2，3） B．（4，3） C．（5，4） D．（6，5）
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2024秋 农安县期中）已知，，则　 　 ．
12．（3分）若一个多边形的内角和比这个多边形的外角和大540°，则这个多边形的边数为 　 　 ．
13．（3分）（2025秋 承德县期末）已知一组数据a，2，4，1，6的平均数是3，则a＝　 　 ．
14．（3分）（2023秋 凤城市期末）如图，在边长为4的等边△ABC中，点P为BC边上任意一点，PE⊥AB于点，PF⊥AC于点F，则PE+PF的长度和为 　 　 ．
15．（3分）（2023秋 巴南区校级期末）对两个有理数a，b，定义新运算：a◇b．若（x+3）◇x＝﹣1，则x的值为 　 　 ．
16．（3分）（2024春 东阳市月考）在 ABCD中，AD＝5cm，∠BAD的平分线交边CD于点E，∠ABC的平分线交边CD于点F，当C、D、E、F相邻两点间的距离相等时，求线段AB的长 　 　 cm．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）（2024春 泗水县期末）计算：
（1）；
（2）．
18．（8分）（2025秋 金水区期中）解方程：
（1）x2+8x﹣9＝0；
（2）x（5x+2）＝2（5x+2）．
19．（8分）（2025 黔东南州二模）如图，在 ABCD中，AD＞AB，AE平分∠BAD交BC于点E，点F在AD上，AF＝AB，连接EF．
（1）试判断四边形ABEF是我们学过的什么特殊四边形？说明理由；
（2）连接BF交AE于点O，若BF＝8，AB＝5，且AD＝2AB，求 ABCD的面积．
20．（8分）（2024秋 梅县区期末）当前各国都高度重视人工智能，并视其为提升国家竞争力的重要力量，随着人工智能与各个垂直领域的不断深入融合，普通公民也越来越需要具备人工智能的基本知识和应用能力，人工智能逐步成为中小学重要教学内容之一．某同学设计了一款机器人，为了了解它的操作技能情况，对同一设计动作与人工进行了比赛，机器人和人工各操作10次，测试成绩（百分制）如下：
平均数 中位数 众数 方差
机器人 92 b 95 d
人工 a 90 c 108.8
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求出表格中a，b，c，d的值；
（2）根据以上数据，请你分析机器人和人工操作在此技能方面谁更有优势，并说明理由．
21．（8分）（2024春 通河县期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC上一点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，AD＝DF，连接DE．
（1）求证：AE平分∠BAD；
（2）若点E为BC中点，∠B＝60°，AD＝5，求平行四边形ABCD的周长．
22．（10分）（2024 辽宁一模）如图，在坡顶A处的同一水平面上有一建筑BC，在斜坡底P处测得该建筑顶点B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡PA攀行了13米到达坡顶，在坡顶A处又测得该建筑的顶点B的仰角为72°．
（1）求坡顶A到地面的距离；
（2）求该建筑BC的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.01）
23．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0．
（1）判断方程根的情况；
（2）若方程的两根x1、x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝6，求k值；
（3）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两根，第三边BC的长为5，
①则k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
②k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求出△ABC的周长．
24．（12分）（2023秋 金华期中）在平面直角坐标系中，点B、E的坐标分别为，E（4，0），过点E作直线l⊥x轴，设直线l上的动点A的坐标为（4，m），连接AB，将线段BA绕点B顺时针方向旋转30°得到线段BA′，在射线BA′上取点C，构造Rt△ABC，使得∠BAC＝90°．
（1）如图1，当时，求直线AB的函数表达式．
（2）当点C落在x轴上如图2的位置时，求点C的坐标．
（3）已知点B关于原点O的对称点是点D，在点A的运动过程中，是否存在某一位置，使△ACD与△ABC相似（包括全等）？若存在，请直接写出点A的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023秋 泗水县月考）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2+y+1＝0
C． D．（x﹣1）（x+2）＝1﹣x
【考点】一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；模型思想．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断即可求解．
【解答】解：A、当a＝0时，原方程化为：bx+c＝0，不是一元二次方程，故不符合题意；
B、x2+y+1＝0，有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意；
C、原方程的分母含未知数，不是一元二次方程，故不符合题意；
D、原方程化为：x2+2x﹣3＝0，是一元二次方程，故符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．（3分）（2024 绥化）若式子有意义，则m的取值范围是（　　）
A．m B．m C．m D．m
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：2m﹣3≥0，
解得：m，
故选：C．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
3．（3分）（2024秋 大荔县校级月考）8名同学引体向上成绩（单位：个）为：10，4，4，4，8，5，5，5，2，这组数据的众数是（　　）
A．4 B．4.5 C．5 D．4和5
【考点】众数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】D
【分析】根据众数的定义求解即可．
【解答】解：这组数据中，4和5出现3次，次数最多，
所以这组数据的众数是4和5，
故选：D．
【点评】本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数的定义．
4．（3分）（2025秋 景德镇期中）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据二次根式的乘除法法则、二次根式的加减法法则对各项进行计算即可得到答案．
【解答】解：A．和不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意；
B．4，故B符合题意；
C．，故C不符合题意；
D．，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次根式的加法、二次根式的减法、二次根式的乘法、二次根式的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5．（3分）（2025秋 江夏区月考）把方程x2﹣6x+7＝0转化成（x+m）2＝n的形式，则m、n的值是（　　）
A．﹣3、2 B．3、2 C．﹣3、﹣7 D．3、﹣7
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】方程移项整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可确定出m与n的值．
【解答】解：移项得x2﹣6x＝﹣7，
配方得x2﹣6x+9＝2，
所以（x﹣3）2＝2，
所以m＝﹣3，n＝2．
故选：A．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解本题的关键．
6．（3分）（2019春 博罗县期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC、BD的交点，下列说法不一定正确的是（　　）
A．AD＝BC B．∠ABC＝∠ADC C．OB＝OD D．∠ACB＝∠ACD
【考点】平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质，进行判断即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC、BD的交点，
∴AD＝BC，∠ABC＝∠ADC，OB＝OD；
A、AD＝BC，说法正确，故不符合题意；
B、∠ABC＝∠ADC，说法正确，故不符合题意；
C、OB＝OD，说法正确，故不符合题意；
D、无法得到∠ACB＝∠ACD，说法错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质解答．
7．（3分）（2024秋 高州市校级月考）下列运算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据平方根的定义进行求解即可．
【解答】解：A． ，故不符合题意；
B． ，故不符合题意；
C． 无意义，故不符合题意；
D． ，故符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
8．（3分）（2024 张北县校级开学）某校连续三年开展植树活动．第一年植树500棵，第三年植树720棵，设该校这两年植树棵数的年平均增长率为x，下面所列方程正确的是（　　）
A．500×（1+x）＝720
B．500（1+x）2＝720
C．500+500（1+x）+500（1+x）2＝720
D．500（1+x）（1+2x）＝720
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】利用该校第三年植树的棵数＝该校第一年植树的棵数×（1+该校这两年植树棵数的年平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：500（1+x）2＝720．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．（3分）（2022春 甘南县校级期中）直角三角形中一直角边的长为10，另两边长为连续偶数，则直角三角形的周长为（　　）
A．49 B．17 C．60 D．不能确定
【考点】一元二次方程的应用；勾股定理．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】设另一直角边为x，则斜边为x+2，根据勾股定理得（x+2）2＝x2+102，即可求出x，再得出周长即可．
【解答】解：设另一直角边为x，则斜边为x+2，
根据勾股定理得：（x+2）2＝x2+102，
解得x＝24，
∴直角三角形的周长为10+24+26＝60，故C正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是设出未知数，根据勾股定理列出方程．
10．（3分）（2022春 乐清市校级期中）将一组数，2，，2，，…，2，按下面的方式进行排列：
2 2
2 4 3 2
… … … … …
若的位置记为（1，3），3的位置记为（2，4），则这组数中最大有理数的位置记为（　　）
A．（2，3） B．（4，3） C．（5，4） D．（6，5）
【考点】规律型：点的坐标；算术平方根．
【专题】规律型；推理能力．
【答案】B
【分析】根据规律发现，被开方数是从2开始的偶数列，最后一个数的被开方数是60，所以最大的有理数是被开方数是36的数，然后求出36在这列数的序号，又5个数一组，求出是第几组第几个数，即可确定它的位置．
【解答】解：∵2，
∴这列数中最大的数是6，
设36是这列数中的第n个数，则
2n＝36，
解得n＝18，
观察发现，每5个数一行，即5个数一循环，
∴18÷5＝3……3，
∴是第4组的第3个数．
最大的有理数n的位置记为（4，3）．
故选：B．
【点评】本题利用算术平方根考查了数字的规律变化问题，求出最大的有理数的序号，并6个数作为一个循环组是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2024秋 农安县期中）已知，，则　31.9　 ．
【考点】算术平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】31.9
【分析】根据算术平方根的定义进行解题即可．
【解答】解：∵10，3.19，
∴3.19×10＝31.9．
故答案为：31.9．
【点评】本题考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．
12．（3分）若一个多边形的内角和比这个多边形的外角和大540°，则这个多边形的边数为 　7　 ．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】7．
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2） 180°，外角和等于360°列出方程求解即可．
【解答】解：设多边形的边数是n，
根据题意得，（n﹣2） 180°﹣360°＝540°，
解得n＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，注意利用多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°是解题的关键．
13．（3分）（2025秋 承德县期末）已知一组数据a，2，4，1，6的平均数是3，则a＝　2　 ．
【考点】算术平均数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】2．
【分析】根据一组数据a，2，4，1，6的平均数是3，可以得到（a+2+4+1+6）÷5＝3，然后求解即可．
【解答】解：∵一组数据a，2，4，1，6的平均数是3，
∴（a+2+4+1+6）÷5＝3，
解得a＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查算术平均数，解答本题的关键是明确算术平均数的计算方法．
14．（3分）（2023秋 凤城市期末）如图，在边长为4的等边△ABC中，点P为BC边上任意一点，PE⊥AB于点，PF⊥AC于点F，则PE+PF的长度和为 　2　 ．
【考点】等边三角形的性质；勾股定理；三角形的面积．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】2．
【分析】连接AP，作CD⊥AB交AB于点D，由S△ABC＝S△ABP+S△ACP得CD＝PE+PF，再根据等边三角形的性质以及勾股定理求出CD的长即可得到答案．
【解答】解：如图所示，连接AP，作CD⊥AB交AB于点D，
则S△ABC＝S△ABP+S△ACP，
即AB CDAB PEAC PF，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，
∴CD＝PE+PF，
∵AB＝AC＝BC＝4，CD⊥AB，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形面积的计算方法、勾股定理等知识，通过作辅助线，根据三角形面积相等得出CD＝PE+PF是解题的关键．
15．（3分）（2023秋 巴南区校级期末）对两个有理数a，b，定义新运算：a◇b．若（x+3）◇x＝﹣1，则x的值为 　﹣4　 ．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】新定义；一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣4．
【分析】根据a◇b．（x+3）◇x＝﹣1，可以得到关于x的方程，然后求解即可．
【解答】解：∵a◇b．（x+3）◇x＝﹣1，
∴1，
解得x＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查一元一次方程的应用、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
16．（3分）（2024春 东阳市月考）在 ABCD中，AD＝5cm，∠BAD的平分线交边CD于点E，∠ABC的平分线交边CD于点F，当C、D、E、F相邻两点间的距离相等时，求线段AB的长 　15或7.5　 cm．
【考点】平行四边形的性质；角平分线的定义；角平分线的性质；等腰三角形的判定．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】15或7.5．
【分析】根据平行四边形的性质得DE＝CF＝AD，分类讨论①当点F在点E左侧时，得出DE＝CF＝AD再得出DF＝FE＝CE，进而得出答案；②当点F在点B右侧时，得出DE＝CF＝AD，进而得出AB＝CD＝3AD，即可得出答案．
【解答】解：在 ABCD中CD＝AB，BC＝AD，AB∥CD，
∴∠AED＝∠EAB
∵∠BAD的平分线交边CD于点E，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠DAE＝∠AED，
∴DE＝AD，
同理BC＝CF，
∴DE＝CF＝AD，
∵AD＝5cm，
∴B C＝5cm，
①当点F在点E左侧时，如图1，
∴DE＝CF＝AD＝5cm，
∵C、D、E、F相邻两点间的距离相等，
∴DF＝FE＝CE，
DF＝FE＝CE＝x，
∴DE+CF＝DF+FE+FE+CE＝4x＝10cm，
∴x＝2.5cm，
∴CE＝2.5cm，DE＝5cm
∴AB＝CD＝DE+CE＝7.5cm，
②当点F在点E右侧时，如图2
∵DE＝CF＝AD＝5cm，
∵C、D、E、F相邻两点间的距离相等，
∴DE＝EF＝CE＝5cm，
∴AB＝CD＝DE+EF+FE＝15cm，
故线段AB的长为15或7.5；
故答案为：15或7.5．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）（2024春 泗水县期末）计算：
（1）；
（2）．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）22；
（2）10+2．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝682
＝22；
（2）原式＝3+25+3﹣1
＝10+2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键．
18．（8分）（2025秋 金水区期中）解方程：
（1）x2+8x﹣9＝0；
（2）x（5x+2）＝2（5x+2）．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝1，x2＝﹣9；
（2）x1＝2，．
【分析】（1）直接利用因式分解法即可得出结论；
（2）先移项，再利用因式分解法即可得出结论．
【解答】解：（1）x2+8x﹣9＝0，
（x﹣1）（x+9）＝0，
x﹣1＝0或x+9＝0，
x1＝1，x2＝﹣9；
（2）x（5x+2）＝2（5x+2），
x（5x+2）﹣2（5x+2）＝0，
（x﹣2）（5x+2）＝0，
∴x﹣2＝0或5x+2＝0，
x1＝2，．
【点评】本题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法是解题的关键．
19．（8分）（2025 黔东南州二模）如图，在 ABCD中，AD＞AB，AE平分∠BAD交BC于点E，点F在AD上，AF＝AB，连接EF．
（1）试判断四边形ABEF是我们学过的什么特殊四边形？说明理由；
（2）连接BF交AE于点O，若BF＝8，AB＝5，且AD＝2AB，求 ABCD的面积．
【考点】平行四边形的性质；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】（1）菱形，理由见解析；
（2）48．
【分析】（1）由角平分线的定义得到∠BAE＝∠FAE，再由平行四边形对边平行结合平行线的性质可证明∠BAE＝∠AEB，得到AB＝BE，据此可证明AF＝BE，则四边形ABEF是平行四边形，进而可证明四边形ABEF是菱形．
（2）由菱形的性质得到AE⊥BF，；由勾股定理得到．则AE＝2OA＝6，据此求出菱形的面积即可得到答案．
【解答】解：（1）四边形ABEF是菱形，理由如下：
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠FAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∵AF＝AB，
∴AF＝BE，
又∵AD∥BC，即AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AF＝AB，
∴四边形ABEF是菱形．
（2）∵四边形ABEF是菱形．
∴AE⊥BF，．
∵AB＝5．
∴OA3．
∴AE＝2OA＝2×3＝6，
∴，
∵AD＝2AB，
∴S平行四边形ABCD＝2S菱形ABEF＝2×24＝48．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质与判定定理是解题的关键．
20．（8分）（2024秋 梅县区期末）当前各国都高度重视人工智能，并视其为提升国家竞争力的重要力量，随着人工智能与各个垂直领域的不断深入融合，普通公民也越来越需要具备人工智能的基本知识和应用能力，人工智能逐步成为中小学重要教学内容之一．某同学设计了一款机器人，为了了解它的操作技能情况，对同一设计动作与人工进行了比赛，机器人和人工各操作10次，测试成绩（百分制）如下：
平均数 中位数 众数 方差
机器人 92 b 95 d
人工 a 90 c 108.8
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求出表格中a，b，c，d的值；
（2）根据以上数据，请你分析机器人和人工操作在此技能方面谁更有优势，并说明理由．
【考点】方差；算术平均数；中位数；众数．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】（1）a＝89，b＝91.5，c＝100，d＝8.2；
（2）∵机器人的样本数据的平均数高于人工，方差较小，
∴可以推断机器人操作在技能方面谁更有优势．
【分析】（1）根据平均数、中位数、众数和方差的定义解答即可；
（2）结合方差和平均数的统计意义即可求解．
【解答】解：（1）a89，
机器人技能测试成绩排序为：88，89，89，90，91，92，95，95，95，96，
∴中位数b91.5，
∵人工技能测试成绩中100分出现的次数最多，
∴众数c＝100；
d[（88﹣92）2+2×（89﹣92）2+（90﹣92）2+（91﹣92）2+3×（95﹣92）2+（96﹣92）2]＝8.2；
（2）∵机器人的样本数据的平均数高于人工，方差较小，
∴可以推断机器人操作在技能方面谁更有优势．
【点评】本题考查了平均数，方差，中位数和众数，掌握各统计数据的意义和计算方法是关键．
21．（8分）（2024春 通河县期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC上一点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，AD＝DF，连接DE．
（1）求证：AE平分∠BAD；
（2）若点E为BC中点，∠B＝60°，AD＝5，求平行四边形ABCD的周长．
【考点】平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）15．
【分析】（1）证出∠BAE＝∠F，∠DAE＝∠F，则可得出答案；
（2）证明△ABE是等边三角形，得出AB＝BE，则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
即AB∥DF，
∴∠BAE＝∠F，
∵AD＝DF，
∴∠DAE＝∠F，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴AE平分∠BAD；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵AD＝5，
∴BC＝5，
∵E为BC的中点，
∴BEBC5，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴△ABE为等腰三角形，
又∵∠B＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE，
∴CD＝AB，
∴平行四边形ABCD的周长为2AD+2AB＝2×5+215．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
22．（10分）（2024 辽宁一模）如图，在坡顶A处的同一水平面上有一建筑BC，在斜坡底P处测得该建筑顶点B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡PA攀行了13米到达坡顶，在坡顶A处又测得该建筑的顶点B的仰角为72°．
（1）求坡顶A到地面的距离；
（2）求该建筑BC的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.01）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】（1）坡顶A到地面的距离为5米；
（2）该建筑BC的高度为10.5米．
【分析】（1）过点A作AD⊥PQ于点D，过点C作CE⊥PQ于点E，如图，在Rt△ADP中，PD＝2.4AD，PD2+AD2＝PA2，进而作答即可；
（2）四边形ACED是矩形，在Rt△ABC中，BC＝AC tan72°，在Rt△BPE中，BE＝PE，分别代入即可作答．
【解答】解：（1）过点A作AD⊥PQ于点D，过点C作CE⊥PQ于点E，如图，
在Rt△ADP中，坡度为1：2.4，PA＝13米，
∴PD＝2.4AD，
∵PD2+AD2＝PA2，
∴AD＝5米，PD＝12米，
∴坡顶A到地面的距离为5米；
（2）∵四边形ACED是矩形，
∴AD＝CE，
在Rt△ABC中，∠BAC＝72°，
∴BC＝AC tan72°，
在Rt△BPE中，∠BPQ＝45°，
∴BE＝PE，
BE＝BC+CE＝AC tan72°+5，
PE＝PD+DE＝12+AC，
∴AC tan72°+5＝12+AC，
∴AC3.5（米），
BC＝AC tan72°≈10.5（米），
∴该建筑BC的高度为10.5米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作辅助线．
23．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0．
（1）判断方程根的情况；
（2）若方程的两根x1、x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝6，求k值；
（3）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两根，第三边BC的长为5，
①则k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
②k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求出△ABC的周长．
【考点】根与系数的关系；等腰三角形的判定；勾股定理；根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出Δ＝1＞0，由此即可得出方程有两个不相等的实数根；
（2）根据根与系数的关系进行解答；
（3）利用分解因式法可求出x1＝k+1，x2＝k+2．①不妨设AB＝k+1，AC＝k+2，根据BC＝5利用勾股定理即可得出关于k的一元二次方程，解方程即可得出k的值；②根据（1）结论可得出AB≠AC，由此可找出△ABC是等腰三角形分两种情况，分AB＝BC、AC＝BC两种情况考虑，根据两边相等找出关于k的一元一次方程，解方程求出k值，进而可得出三角形的三边长，再根据三角形的周长公式即可得出结论
【解答】解：（1）∵在方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2k+3）]2﹣4（k2+3k+2）＝1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）由题知：x1+x2＝2k+3，x1x2＝k2+3k+2．
∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝6变形为：x1x2﹣（x1+x2）+1＝6
∴k2+3k+2﹣（2k+3）+1＝6．得：k1＝﹣3，k2＝2．
（3）∵x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝（x﹣k﹣1）（x﹣k﹣2）＝0．
∴x1＝k+1，x2＝k+2．
①不妨设AB＝k+1，AC＝k+2，
斜边BC＝5时，有AB2+AC2＝BC2，
即：（k+1）2+（k+2）2＝25，
解得：k1＝2，k2＝﹣5（x1、x2为负，舍去）．
当k＝2时，△ABC是直角三角形；
②∵AB＝k+1，AC＝k+2，BC＝5，由（1）知AB≠AC
故有两种情况：
（I）当AC＝BC＝5时，k+2＝5，
..k＝3，AB＝3+1＝4，
∵4、5、5满足任意两边之和大于第三边，．此时△ABC的周长为4+5+5＝14；
（II）当AB＝BC＝5时，k+1＝5，
..k＝4，AC＝k+2＝6，
∵6、5、5满足任意两边之和大于第三边，．此时△ABC的周长为6+5+5＝16．
综上可知：当k＝3时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为14；当k＝4时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为16．
【点评】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及等腰三角形的判定，熟练掌握“当根的判别式Δ＞0时，方程有两个不等实数根．”是解题的关键．
24．（12分）（2023秋 金华期中）在平面直角坐标系中，点B、E的坐标分别为，E（4，0），过点E作直线l⊥x轴，设直线l上的动点A的坐标为（4，m），连接AB，将线段BA绕点B顺时针方向旋转30°得到线段BA′，在射线BA′上取点C，构造Rt△ABC，使得∠BAC＝90°．
（1）如图1，当时，求直线AB的函数表达式．
（2）当点C落在x轴上如图2的位置时，求点C的坐标．
（3）已知点B关于原点O的对称点是点D，在点A的运动过程中，是否存在某一位置，使△ACD与△ABC相似（包括全等）？若存在，请直接写出点A的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】一次函数综合题．
【专题】几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）；
（2）C（5，0）；
（3）存在某一位置，使△ACD与△ABC相似（包括全等）；点A的坐标为或或或或．
【分析】（1）设直线AB的函数表达式为y＝kx+b，然后把A、B两点的坐标代入即可求解；
（2）结合三角形相似，建立等量关系，求出C点坐标即可；
（3）存在，分五种情况进行分类讨论，灵活运用相似三角形的判定和性质进行求解．
【解答】解：（1）设直线AB的函数表达式为y＝kx+b，把A、B坐标代入得：
，
解得：，
∴直线AB的解析式为：；
（2）当点C在x轴上时，如图2，设C点的坐标为（n，0）；
过B作BH⊥l于点H，则BH＝6，CE＝n﹣4，，
∵∠BAE+∠EAC＝∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠BAE＝∠ACE，
∴△ABH∽△CAE，
∴，
∴，
解得：，n＝5，
∴C点坐标为（5，0）；
（3）∵，，
①如图3，过点A、D作直线l的垂线，与过点B、C作y轴的平行线分别交于点F、G、H，则四边形AQHG为矩形，
∵△ABC∽△CDA，
∴∠DCA＝∠BAC＝90°，∠ABC＝∠ADC＝30°，
由题意可得△ABC≌△CDA（相似比为1）．
∴AF＝6，，，，
∵∠FAB+∠GAC＝∠GAC+∠ACG＝90°，
∴∠FAB＝∠ACG，
∴△FAB∽△GCA，
同理△GCA∽△HDC∽△FAB，
又∵AB＝DC，
∴FA＝HD，FB＝HC，
∴△FAB≌△HDC（SSS），
∴，
解得：，，
∴，AF＝DH＝DQ+QH＝6，
即，
解得：
∴点A的坐标为；
②如图4，当点C在l上时，则∠BAC＝90°，
∴D的坐标为，A点的坐标为，
在Rt△ABC中，∠B＝30°，
∴，
∴，
∴DC∥x轴，即∠DCA＝90°，
∵，
∴∠ADC＝60°，
∴△ABC∽△CAD，
∴符合题意；
③如图5，当点D在BC上时，作CG⊥l于点G，BF⊥l于点F，
同①可得：
∴C点的坐标为，
直线OB的解析式为：，
把点，代入解析式为，
可求得，
点，，
由两点间的距离公式求得：，，，
∵
∴∠ADC＝90°，
∴△CDA∽△CBA，
点符合题意；
④如图6，当AD∥x轴时，作BF⊥l于点F，CG⊥l于点G，
同②可求A点的坐标为；
⑤如图7，当点D在线段AB上时，作BF⊥l于点F，CG⊥l于点G，
同③可求A点的坐标为；
∴点A的坐标为或或或或．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，含有30°角的直角三角形的性质，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，正确分类是解决问题的关键．

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